Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Klenke
Wahrscheinlichkeitstheorie

Achim Klenke
Wahrscheinlichkeitstheorie
Mit 34 Abbildungen
123

Prof. Dr. Achim Klenke
Institut für Mathematik
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Staudingerweg 9
55099 Mainz, Deutschland
e-mail: math@aklenke.de
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ISBN-10 3-540-25545-1 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-25545-1 Springer Berlin Heidelberg New York
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Vorwort
Das vorliegende Buch basiert auf den vierstündigen Vorlesungen Stochastik I und
Stochastik II, die ich in den vergangenen Jahren an der Universität zu Köln und
an der Johannes Gutenberg-Universität in Mainz gehalten habe, und die an eine
Vorlesung über elementare Stochastik anschließen. Eine gewisse Vertrautheit mit
den Ideen der elementaren Stochastik wird zwar nicht formal vorausgesetzt, dem
Leser jedoch empfohlen.
Ziel dieses Buches ist es, die zentralen Objekte und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie
vorzustellen: Zufallsvariablen, Unabhängigkeit, Gesetze der großen
Zahl und zentrale Grenzwertsätze, Martingale, Austauschbarkeit und unbegrenzte
Teilbarkeit, Markovketten und -prozesse sowie den Zusammenhang mit der diskreten
Potentialtheorie, Kopplung, Ergodentheorie, die Brown’sche Bewegung und
das Itô-Integral (nebst stochastischen Differentialgleichungen), den Poisson’schen
Punktprozess, Perkolation und die Theorie der großen Abweichungen, sowie stochastische
Differentialgleichungen.
Die Maß- und Integrationstheorie wird entwickelt, soweit sie für das Verständnis
und die Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie notwendig ist: Konstruktion
von Maßen und Integralen, Satz von Radon-Nikodym und reguläre bedingte Verteilungen,
Konvergenzsätze für Funktionen (Lebesgue) und Maße (Prohorov) und
Konstruktion von Maßen in Produkträumen. Die einzelnen maßtheoretischen Kapitel
kommen nicht als Block am Anfang des Buches, obwohl sie so geschrieben sind,
dass das möglich wäre, nämlich unabhängig von den wahrscheinlichkeitstheoretischen
Kapiteln, sondern abwechselnd mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Kapiteln,
die so gebaut sind, dass sie mit den gerade zur Verfügung stehenden Begriffen
auskommen (beispielsweise kann man Perkolation studieren, ohne einen Integralbegriff
an der Hand zu haben). Als einzige Ausnahme wird die systematische Konstruktion
von unabhängigen Zufallsvariablen erst im 14ten Kapitel nachgeliefert.
Ich verspreche mir von diesem Vorgehen eine Auflockerung des maßtheoretischen
Stoffes, der von manchen als etwas trocken empfunden wird. Letztlich ist dieses
genauso eine Geschmacksfrage wie diejenige, welches der beiden Themen als linke
und welches als rechte Hand anzusehen ist.
Wer eine maßtheoretische Grundbildung hat, kann insbesondere das erste Kapitel
beim ersten Lesen zunächst überspringen und braucht eventuell nur Einzelnes darin
nachzuschlagen. Das Gleiche gilt für das vierte Kapitel (Integrationstheorie).

VI Vorwort
In den ersten acht Kapiteln wird das Fundament gelegt, das in allen weiteren Kapiteln
benötigt wird. Danach können die sieben inhaltlichen Einheiten von Kapitel
9–12, 13, 14, 15–16, 17–19, 20, und 23 einigermaßen unabhängig voneinander gelesen
werden. Das Kapitel zur Brown’schen Bewegung (21) greift auf die Kapitel
9–15 zurück. Danach sind unabhängig voneinander die Blöcke 22, 24 und 25–26
lesbar.
Ich danke all denjenigen, die das Manuskript gelesen und zahlreiche Verbesserungsvorschläge
und Korrekturen angebracht haben: Den Mitarbeitern und Studenten Roland
Alkemper, Dirk Brüggemann, Anne Eisenbürger, Ortwin Lorenz, Mario Oeler,
Marcus Schölpen, den Kollegen Wolfgang Bühler und Wolfgang König sowie besonders
dem Münchener Kollegen Hans-Otto Georgii. Für weitere Hinweise auf
Fehler unter math@aklenke.de wäre ich dankbar.
Außerdem möchte ich mich beim Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit bedanken.
Mainz, Achim Klenke
November 2005

Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Maßtheorie .................................. 1
1.1 Mengensysteme . . . . ........................................ 1
1.2 Mengenfunktionen . ........................................ 11
1.3 FortsetzungvonMaßen ..................................... 17
1.4 Messbare Abbildungen . . .................................... 33
1.5 Zufallsvariablen . . . . ........................................ 42
2 Unabhängigkeit ............................................. 47
2.1 UnabhängigkeitvonEreignissen.............................. 47
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen . . . . ...................... 54
2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz . . . ............................. 61
2.4 Beispiel: Perkolation . . . . .................................... 64
3 Erzeugendenfunktion ........................................ 75
3.1 Definition und Beispiele . .................................... 75
3.2 Poisson-Approximation . .................................... 78
3.3 Verzweigungsprozesse . . .................................... 80
4 Das Integral ................................................ 83
4.1 KonstruktionundeinfacheEigenschaften ...................... 83
4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou .................. 91
4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral . . . .................. 93
5 Momente und Gesetze der Großen Zahl ......................... 97
5.1 Momente ................................................. 97
5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl . . . . . ......................104

VIII Inhaltsverzeichnis
5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl . .............................107
5.4 KonvergenzrateimstarkenGGZ..............................115
5.5 Der Poissonprozess . ........................................118
6 Konvergenzsätze ............................................ 125
6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz . . . ..................125
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit . . . .............................130
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung. ......................136
7 Lp-Räume und Satz von Radon-Nikodym ....................... 139
7.1 Definitionen...............................................139
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz . . . ..................141
7.3 Hilberträume ..............................................147
7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz . . .............................150
7.5 Ergänzung: Signierte Maße . . . . . .............................154
7.6 Ergänzung: Dualräume......................................160
8 Bedingte Erwartungen ....................................... 165
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . ..................165
8.2 Bedingte Erwartungen . . ....................................168
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung . . . ..................175
9 Martingale ................................................. 183
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten . . . . . . ......................183
9.2 Martingale ................................................188
9.3 Diskretes stochastisches Integral . .............................192
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell . ...........194
10 Optional Sampling Sätze ..................................... 199
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation . . ..................199
10.2 Optional Sampling und Optional Stopping . . . . ..................203
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling . ...........207
11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen ................... 209

Inhaltsverzeichnis IX
11.1 Die Doob’sche Ungleichung . . . . .............................209
11.2 Martingalkonvergenzsätze . . . . . . .............................211
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess . . .............................219
12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit..................... 221
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen . ..................221
12.2 Rückwärtsmartingale .......................................226
12.3 Satz von de Finetti . . ........................................228
13 Konvergenz von Maßen ...................................... 233
13.1 Wiederholung Topologie ....................................233
13.2 Schwache und vage Konvergenz . .............................240
13.3 Der Satz von Prohorov . . ....................................248
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti – anders angeschaut . . ...........257
14 W-Maße auf Produkträumen ................................. 259
14.1 Produkträume..............................................260
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne........................263
14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Projektive Familien . . . . . ...........272
14.4 Markov’sche Halbgruppen . . . ................................276
15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz ......... 281
15.1 Trennende Funktionenklassen . . . .............................281
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele . . ......................288
15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz . . . .............................294
15.4 Charakteristische Funktion und Momente ......................299
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz . . . . . .............................304
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz . . ..................312
16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen .............................. 315
16.1 Die Lévy-Khinchin Formel . . . . . .............................315
16.2 Stabile Verteilungen ........................................327
17 Markovketten .............................................. 333

X Inhaltsverzeichnis
17.1 Begriffsbildung und Konstruktion . . . . . . . ......................333
17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele .............................340
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit . ......................344
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz . . . . . ...........349
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten . ...........353
17.6 Invariante Verteilungen . . ....................................360
18 Konvergenz von Markovketten ................................ 365
18.1 Periodizität von Markovketten . . . .............................365
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz . . .............................369
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode . . . . ......................376
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit. . . . . .............................383
19 Markovketten und elektrische Netzwerke ....................... 389
19.1 Harmonische Funktionen ....................................389
19.2 Reversible Markovketten ....................................392
19.3 Elektrische Netzwerke . . ....................................393
19.4 Rekurrenz und Transienz ....................................399
19.5 Netzwerkreduktion . ........................................405
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung . . .............................412
20 Ergodentheorie ............................................. 415
20.1 Begriffsbildung . . . . ........................................415
20.2 Ergodensätze . . . . . . ........................................418
20.3 Beispiele . . . ...............................................421
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten . . . ......................423
20.5 Mischung . . ...............................................426
21 Die Brown’sche Bewegung .................................... 429
21.1 Stetige Modifikationen ......................................429
21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften . . . . . ......................436
21.3 Starke Markoveigenschaft . . . . . . .............................441
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse . . . . . .............................444

Inhaltsverzeichnis XI
21.5 Konstruktion durch L2-Approximation ........................447
21.6 Der Raum C([0, ∞)) .......................................451
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, ∞)) ......................453
21.8 Satz von Donsker. ..........................................456
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen∗ .............460
21.10Quadratische Variation und lokale Martingale . ..................465
22 Gesetz vom iterierten Logarithmus ............................. 477
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown’sche Bewegung . . ...........477
22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz . .............................480
22.3 Satz von Hartman-Wintner . . . . . . .............................486
23 Große Abweichungen ........................................ 489
23.1 Satz von Cramér ...........................................490
23.2 Prinzip der großen Abweichungen . . . . . . ......................494
23.3 Satz von Sanov . . . . ........................................498
23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie . . . . ..................502
24 Der Poisson’sche Punktprozess ................................ 509
24.1 Zufällige Maße . . . . ........................................509
24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses . . . . . ...........513
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung∗ .............................519
25 Das Itô-Integral ............................................. 527
25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung ...........527
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen . . . . . . . ......................535
25.3 Die Itô-Formel.............................................538
25.4 Dirichlet-Problem und Brown’sche Bewegung ..................546
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown’schen Bewegung . ...........548
26 Stochastische Differentialgleichungen .......................... 551
26.1 Starke Lösungen . . . ........................................551
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem . . ..................560
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität .................567

XII Inhaltsverzeichnis
Literatur....................................................... 575
Notation ....................................................... 583
Glossar englischer Ausdrücke ..................................... 587
Namensregister ................................................. 589
Sachregister .................................................... 593

1 Grundlagen der Maßtheorie
In diesem Kapitel führen wir die Mengensysteme ein, die eine systematische Betrachtung
von Ereignissen und zufälligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie
erlauben. Ferner sollen Maße, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße,
auf solchen Mengensystemen konstruiert werden. Schließlich werden wir Zufallsvariablen
als messbare Abbildungen definieren.
1.1 Mengensysteme
Im Folgenden ist stets Ω �= ∅ eine Menge und A⊂2 Ω (Potenzmenge von Ω)
eine Familie von Teilmengen. Später wird die Menge Ω als Raum von Elementarereignissen
interpretiert werden und A als ein System von beobachtbaren Ereignissen.
Wir wollen in diesem Abschnitt Mengensysteme, die abgeschlossen sind unter
einfachen mengentheoretischen Verknüpfungen, mit Namen versehen und einfache
Beziehungen zwischen solchen Systemen herstellen.
Definition 1.1. Das Mengensystem A heißt
– ∩-stabil (sprich: schnittstabil) oder ein π-System, falls für je zwei Mengen
A, B ∈Agilt, dass auch A ∩ B ∈A,
– σ-∩-stabil (sigma-schnittstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen
A1,A2,...∈Agilt, dass auch ∞�
An ∈A,
n=1
– ∪-stabil (vereinigungsstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈Agilt, dass auch
A ∪ B ∈A,
– σ-∪-stabil (sigma-vereinigungsstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen
A1,A2,...∈Agilt, dass auch ∞�
An ∈A,
n=1
– \-stabil (differenzmengenstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈Agilt, dass
auch A \ B ∈A,
– komplementstabil, falls mit jeder Menge A ∈Aauch Ac := Ω \ A ∈Agilt.

2 1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.2 (σ-Algebra). Ein Mengensystem A⊂2 Ω heißt σ-Algebra, falls
die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
(i) Ω ∈A,
(ii) A ist komplementstabil,
(iii) A ist σ-∪-stabil.
σ-Algebren sind die natürlichen Mengensysteme für zufällige Ereignisse, denn wie
wir sehen werden, können wir diesen Ereignissen in konsistenter Weise Wahrscheinlichkeiten
zuordnen.
Satz 1.3. Ist A komplementstabil, so gelten die beiden folgenden Äquivalenzen.
A ist ∩ -stabil ⇐⇒ A ist ∪ -stabil,
A ist σ- ∩ -stabil ⇐⇒ A ist σ- ∪ -stabil.
Beweis. Dies folgt direkt aus den de Morgan’schen Regeln (Erinnerung: ( � Ai) c =
� A c i ). Ist beispielsweise A σ-∩-stabil und sind A1,A2,...∈A, so ist auch
∞�
n=1
An =
� ∞�
n=1
A c n
� c
∈A.
Also ist A auch σ-∪-stabil. Die anderen Fälle folgen analog. ✷
Satz 1.4. Ist A\-stabil, so gelten die folgenden Aussagen.
(i) A ist ∩-stabil.
(ii) Falls A σ-∪-stabil ist, dann ist A auch σ-∩-stabil.
(iii) Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A
lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung
von Mengen in A schreiben.
Beweis. (i) Seien A, B ∈A. Dann ist auch A ∩ B = A \ (A \ B) ∈A.
(ii) Seien A1,A2,...∈A.Dannist
∞�
n=1
An =
∞�
∞�
∞�
(A1 ∩ An) = A1 \ (A1 \ An) =A1 \ (A1 \ An) ∈A.
n=2
n=2
(iii) Seien A1,A2,... ∈A.Dannist ∞�
An als abzählbare, disjunkte Vereinigung
in A darstellbar durch
n=1
n=2

1.1 Mengensysteme 3
∞�
An = A1 ⊎ (A2 \ A1) ⊎ ((A3 \ A1) \ A2) ⊎ (((A4 \ A1) \ A2) \ A3) ⊎ ... ✷
n=1
Bemerkung 1.5. Manchmal bezeichnen wir, wie im obigen Beweis, die Vereinigung
paarweise disjunkter Mengen mit dem Symbol � . Dies soll lediglich der optischen
Verdeutlichung dienen und ist keine neue Verknüpfung. ✸
Definition 1.6. Ein Mengensystem A⊂2 Ω heißt Algebra, falls gilt:
(i) Ω ∈A,
(ii) A ist \-stabil,
(iii) A ist ∪-stabil.
Offenbar ist in einer Algebra stets ∅ = Ω \ Ω enthalten. Diese Eigenschaft ist im
Allgemeinen jedoch schwächer als (i) in Definition 1.6.
Satz 1.7. Ein Mengensystem A⊂2 Ω ist genau dann eine Algebra, wenn es folgende
drei Eigenschaften hat:
(i) Ω ∈A,
(ii) A ist komplementstabil,
(iii) A ist ∩-stabil.
Beweis. Übung! ✷
Definition 1.8. Ein Mengensystem A⊂2 Ω heißt Ring, falls gilt:
(i) ∅∈A,
(ii) A ist \-stabil,
(iii) A ist ∪-stabil.
Ein Ring heißt σ-Ring, falls er σ-∪-stabil ist.
Definition 1.9. Ein Mengensystem A⊂2 Ω heißt Semiring (oder Halbring), falls
gilt:
(i) ∅∈A,
(ii) für je zwei Mengen A, B ∈Aist B \ A endliche Vereinigung von paarweise
disjunkten Mengen aus A,
(iii) A ist ∩-stabil.

4 1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.10. Ein Mengensystem A ⊂ 2 Ω heißt Dynkin-System (oder λ-System),
falls gilt:
(i) Ω ∈A,
(ii) für je zwei Mengen A, B ∈Amit A ⊂ B ist B \ A ∈A,
(iii) für
�
je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A1,A2,... ∈ A gilt
∞
n=1 An ∈A.
Beispiele 1.11. (i) Ist Ω eine beliebige nichtleere Menge, so sind A = {∅,Ω} und
A = 2 Ω die trivialen Beispiele für Algebren, σ-Algebren und Dynkin-Systeme.
Hingegen sind A = {∅} und A =2 Ω die trivialen Beispiele für Semiringe, Ringe
und σ-Ringe.
(ii) Sei Ω = R. DannistA = {A ⊂ R : A ist abzählbar} ein σ-Ring.
(iii) A = {(a, b] : a, b ∈ R, a≤ b} ist ein Semiring über Ω = R (aber kein
Ring).
(iv) Die Menge endlicher Vereinigungen von beschränkten Intervallen ist ein Ring
über Ω = R (aber keine Algebra).
(v) Die Menge endlicher Vereinigungen beliebiger (auch unbeschränkter) Intervalle
ist eine Algebra über Ω = R (aber keine σ-Algebra).
(vi) Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω := E N die Menge aller Folgen
ω =(ωn)n∈N mit Werten in E.Für ω1,...,ωn ∈ E sei
[ω1,...,ωn] :={ω ′ ∈ Ω : ω ′ i = ωi für jedes i =1,...,n}
die Menge aller Folgen, die mit den Werten ω1,...,ωn beginnen. Sei A0 = {∅}.
Für n ∈ N setze
An := {[ω1,...,ωn] : ω1,...,ωn ∈ E}. (1.1)
Dann ist A := �∞ n=0 An ein Semiring, aber kein Ring (falls #E >1).
(vii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder A c ist endlich}
eine Algebra. Ist #Ω = ∞, soistAjedoch keine σ-Algebra.
(viii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder A c ist abzählbar}
eine σ-Algebra.
(ix) Jede σ-Algebra ist auch ein Dynkin-System.
(x) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und A = � ∅, {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4} � .
Dann ist A ein Dynkin-System, aber keine Algebra. ✸

Satz 1.12 (Inklusionen zwischen Mengensystemen).
1.1 Mengensysteme 5
(i) Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System, eine Algebra und ein σ-Ring.
(ii) Jeder σ-Ring ist ein Ring, jeder Ring ein Semiring.
(iii) Jede Algebra ist auch ein Ring. Eine Algebra auf einer endlichen Menge Ω ist
auch eine σ-Algebra.
Beweis. (i) Das ist klar.
(ii) Sei A ein Ring. Nach Satz 1.4 ist A schnittstabil und damit ein Semiring.
(iii) Sei A eine Algebra, und seien A, B ∈A.DannistA \ B =(A c ∪ B) c ∈A,
also ist A ein Ring. Ist zudem Ω endlich, so ist A endlich und damit jede abzählbare
Vereinigung in A schon eine endliche Vereinigung. ✷
Definition 1.13 (liminf und limsup). Es seien A1,A2,...Teilmengen von Ω. Dann
heißen
lim inf
n→∞ An
∞� ∞�
∞� ∞�
:= Am und lim sup An := Am
n→∞
n=1 m=n
n=1 m=n
Limes inferior beziehungsweise Limes superior der Folge (An)n∈N.
Bemerkung 1.14. (i) Es gilt
lim inf
n→∞ An = � ω ∈ Ω :#{n ∈ N : ω �∈ An} < ∞ � ,
lim sup An =
n→∞
� ω ∈ Ω :#{n ∈ N : ω ∈ An} = ∞ � .
Der Limes inferior ist also das Ereignis, dass schließlich alle der An eintreten, der
Limes superior hingegen das Ereignis, dass unendlich viele der An eintreten. Insbesondere
ist A∗ := lim infn→∞ An ⊂ A ∗ := lim sup n→∞ An.
(ii) Bezeichnen wir mit
A(x) :=
� 1, falls x ∈ A,
0, falls x �∈ A,
die Indikatorfunktion auf der Menge A,sogilt
A∗
= lim inf
n→∞ An, A∗ = lim sup
n→∞
An.
(1.2)
(iii) Ist A⊂2 Ω eine σ-Algebra und An ∈Afür jedes n ∈ N, soistA∗ ∈Aund
A ∗ ∈A. ✸
Beweis. Übung! ✷

6 1 Grundlagen der Maßtheorie
Satz 1.15 (Schnitt von Mengensystemen). Ist I eine beliebige Indexmenge und Ai
eine σ-Algebra für jedes i ∈ I,soist
AI := � A ⊂ Ω : A ∈Ai für jedes i ∈ I � = �
eine σ-Algebra. Dies gilt analog für: Ringe, σ-Ringe, Algebren und Dynkin-Systeme;
nicht aber für Semiringe.
Beweis. Wir führen den Beweis hier nur für σ-Algebren durch. Wir prüfen für A
die Punkte (i)-(iii) aus Definition 1.2.
(i) Für jedes i ∈ I ist Ω ∈Ai.AlsoistΩ ∈A.
(ii) Sei A ∈A.DannistA ∈Ai für jedes i ∈ I. Also ist auch A c ∈Ai für jedes
i ∈ I. Mithin ist A c ∈A.
(iii) Seien A1,A2,...∈A.DannistAn ∈Ai für jedes n ∈ N und jedes i ∈ I.Also
ist auch A := � ∞
n=1 An ∈Ai für jedes i ∈ I und damit A ∈A.
Gegenbeispiel für Semiringe: Seien Ω = {1, 2, 3, 4}, A1 = {∅,Ω,{1}, {2, 3}, {4}}
und A2 = {∅,Ω,{1}, {2}, {3, 4}}. Dann sind A1 und A2 Semiringe, aber A1 ∩
A2 = {∅,Ω,{1}} ist keiner. ✷
Satz 1.16 (Erzeugte σ-Algebra). Sei E ⊂ 2Ω Algebra σ(E) mit E⊂σ(E):
. Dann existiert eine kleinste σ-
�
σ(E) :=
A.
A⊂2 Ω ist σ-Algebra
A⊃E
σ(E) heißt die von E erzeugte σ-Algebra. E heißt Erzeuger von σ(E). Analog wird
das von E erzeugte Dynkin-System δ(E) definiert.
Beweis. A =2 Ω ist eine σ-Algebra mit E⊂A. Also ist der Schnitt nicht leer. Nach
Satz 1.15 ist σ(E) eine σ-Algebra, und dies ist offenbar die kleinste σ-Algebra, die
E enthält. Für Dynkin-Systeme geht der Beweis genauso. ✷
Bemerkung 1.17. Es gelten die folgenden einfachen Aussagen.
(i) E⊂σ(E).
(ii) Gilt E1 ⊂E2,soistσ(E1) ⊂ σ(E2).
(iii) A ist genau dann σ-Algebra, wenn σ(A) =A.
Die analogen Aussagen gelten für Dynkin-Systeme. Ferner ist stets δ(E) ⊂ σ(E).✸
i∈I
Ai

1.1 Mengensysteme 7
Satz 1.18 (Schnittstabiles Dynkin-System). Ist D⊂2 Ω ein Dynkin-System, so gilt
Beweis. ” ⇐= “ Dies ist klar.
D ist ∩-stabil ⇐⇒ D ist eine σ-Algebra.
” =⇒ “ Wir prüfen die Eigenschaften (i)-(iii) aus Definition 1.2.
(i) Offensichtlich ist Ω ∈D.
(ii) (Komplementstabilität) Sei A ∈D.DaΩ ∈Dgilt, und nach Eigenschaft (ii)
des Dynkin-Systems, ist Ac = Ω \ A ∈D.
(iii) (σ-∪-Stabilität) Seien A, B ∈D. Nach Voraussetzung ist A ∩ B ∈D, und es
gilt trivialerweise A ∩ B ⊂ A. AlsoistA \ B = A \ (A ∩ B) ∈D. Mithin ist
D\-stabil. Seien nun A1,A2,... ∈D. Nach Satz 1.4(iii) existieren paarweise
disjunkte Mengen B1,B2,...∈Dmit ∞�
An = ∞�
Bn ∈D. ✷
Satz 1.19 (Dynkin’scher π–λ–Satz). Sei E⊂2 Ω ein ∩-stabiles Mengensystem.
Dann gilt
σ(E) =δ(E).
n=1
Beweis. ” ⊃“ Dies ist klar nach Bemerkung 1.17.
” ⊂“ Zu zeigen ist: δ(E) ist eine σ-Algebra. Nach Satz 1.18 reicht es zu zeigen,
dass δ(E) ∩-stabil ist. Für B ∈ δ(E) sei
n=1
DB := {A ∈ δ(E) :A ∩ B ∈ δ(E)}.
Für die Schnittstabilität von δ(E) reicht es zu zeigen, dass
δ(E) ⊂DB für jedes B ∈ δ(E). (1.3)
Wir zeigen, dass DE für jedes E ∈ δ(E) ein Dynkin-System ist, indem wir (i)-(iii)
aus Definition 1.10) prüfen:
(i) Offenbar ist Ω ∩ E = E ∈ δ(E), also ist Ω ∈DE.
(ii) Für A, B ∈DE mit A ⊂ B ist (B \ A) ∩ E =(B∩ E) \ (A ∩ E) ∈ δ(E).
(iii) Seien A1,A2,...∈DE paarweise disjunkt. Dann ist
�
∞�
�
∞�
∩ E = (An ∩ E) ∈ δ(E).
An
n=1
n=1

8 1 Grundlagen der Maßtheorie
Nach Voraussetzung ist für A ∈Eauch A ∩ E ∈E, also ist E⊂DE, falls E ∈E
gilt. Nach Bemerkung 1.17(ii) ist daher auch δ(E) ⊂DE für E ∈E.Für B ∈ δ(E)
und E ∈Eist also B ∩ E ∈ δ(E). Mithin gilt E ∈DB für jedes B ∈ δ(E), also
E⊂DB für jedes B ∈ δ(E), und damit gilt (1.3). ✷
Von besonderer Bedeutung sind σ-Algebren, die von Topologien erzeugt werden.
Hier wiederum spielt natürlich der euklidische Raum R n die prominenteste Rolle,
aber wir wollen auch den (unendlichdimensionalen) Raum C([0, 1]) der stetigen
Funktionen [0, 1] → R im Blick haben. Auf diesem Raum wird durch die Norm
�f�∞ =sup x∈[0,1] |f(x)| eine Topologie erzeugt. Zur Erinnerung bringen wir hier
das Axiomensystem der Topologie.
Definition 1.20 (Topologie). Sei Ω �= ∅ eine beliebige Menge. Ein Mengensystem
τ ⊂ Ω heißt Topologie auf Ω, falls folgende drei Eigenschaften gelten.
(i) ∅,Ω ∈ τ.
(ii) Sind A, B ∈ τ,soistauchA∩B∈τ. (iii) Ist F⊂τ eine beliebige Familie, so ist auch ��
A∈F A� ∈ τ.
Das Paar (Ω,τ) heißt dann topologischer Raum. Die Mengen A ∈ τ heißen offen,
die Mengen A ⊂ Ω mit A c ∈ τ heißen abgeschlossen.
Anders als bei σ-Algebren sind bei Topologien nur endliche Schnitte, jedoch auch
überabzählbare Vereinigungen erlaubt. Ist d eine Metrik auf Ω, und bezeichnet
Br(x) ={y ∈ Ω : d(x, y) 0, so wird eine Topologie erzeugt durch
� �
τ =
(x,r)∈F Br(x)
�
: F ⊂ Ω × (0, ∞) .
Dies ist das gewöhnliche System offener Mengen, das man in den meisten Analysisbüchern
findet.
Definition 1.21 (Borel’sche σ-Algebra). Sei (Ω,τ) ein topologischer Raum. Die
von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra
B(Ω) :=B(Ω,τ) :=σ(τ)
heißt Borel’sche σ-Algebra auf Ω. Die Elemente A ∈B(Ω,τ) heißen Borel’sche
Mengen oder Borel-messbare Mengen.
Bemerkung 1.22. Wir sind meistens an B(R n ) interessiert, wobei wir auf R n den
euklidischen Abstand annehmen:

1.1 Mengensysteme 9
�
�
�
d(x, y) =�x − y�2 = � n �
(xi − yi) 2 .
(i) Es gibt Teilmengen von R n , die keine Borel’schen Mengen sind. Diese sind
kompliziert herzustellen, wie beispielsweise die Vitali-Mengen, die man in Analysisbüchern
findet (siehe etwa [7]). Wir wollen hier auf diesen Aspekt nicht näher
eingehen, sondern lediglich die - mathematisch unpräzise - Feststellung treffen, dass
jede Menge, die man sich konstruktiv herstellen kann, auch Borel’sch ist.
(ii) Jede abgeschlossene Menge C ⊂ R n ist in B(R n ),dennesistC c ∈ τ, also ist
C =(C c ) c ∈ σ(τ). Speziell ist {x} ∈B(R n ) für jedes x ∈ R n .
(iii) B(R n ) ist keine Topologie. Sei nämlich V ⊂ R n , V �∈ B(R n ).Wäre B(R n )
eine Topologie, so wären beliebige Vereinigungen Borel’scher Mengen wieder Borel’sch,
also auch V = �
x∈V {x} ∈B(Rn ). ✸
Das Mengensystem der offenen Mengen, das die Borel’sche σ-Algebra erzeugt, ist
in vielen Fällen unhandlich groß. Wir wollen daher andere Mengensysteme als Erzeuger
von B(Rn ) identifizieren, mit denen wir in der Praxis besser arbeiten können.
Hierzu wollen wir einerseits Mengen von einfacher Struktur, Quader etwa, betrachten,
andererseits aber auch die Größe des Systems einschränken, indem wir
abzählbare Mengensysteme betrachten. Wir führen folgende Notationen ein. Mit
Q bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen, mit Q + die Menge der strikt
positiven rationalen Zahlen. Für a, b ∈ Rn schreiben wir
a

10 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. Wir zeigen nur exemplarisch ein paar der Identitäten.
(1) B(Rn )=σ(E1) gilt per Definition.
(2) Sei A ∈E1. DannistA c ∈E2, also A =(A c ) c ∈ σ(E2). Daher gilt E1 ⊂
σ(E2) und dann (wegen Bemerkung 1.17) auch σ(E1) ⊂ σ(E2). Analog folgt aber
σ(E2) ⊂ σ(E1) und damit die Gleichheit.
(3) Jede kompakte Menge ist abgeschlossen. Also gilt σ(E3) ⊂ σ(E2). Sei nun
A ∈E2. Dann sind die Mengen AK := A ∩ [−K, K] n , K ∈ N, kompakt, also ist
die abzählbare Vereinigung A = �∞ K=1 AK in σ(E3). Es gilt also E2 ⊂ σ(E3) und
damit σ(E2) =σ(E3).
(4) Offenbar ist E4 ⊂E1, also σ(E4) ⊂ σ(E1). Sei nun A ⊂ Rn offen. Für x ∈ A
sei R(x) =min(1, sup{r >0: Br(x) ⊂ A}). DaA offen ist, folgt R(x) > 0.
Sei r(x) ∈ (R(x)/2,R(x)) ∩ Q. Für jedes y ∈ A und x ∈ BR(y)/3 ∩ Qn ist nun
R(x) ≥ R(y) −�x− y�2 > 2
1
3R(y), also r(x) > 3R(y), also y ∈ Br(x)(x). Also
ist A = �
x∈A∩Qn Br(x)(x) eine abzählbare Vereinigung von Mengen aus E4 und
damit in σ(E3). Es gilt also auch σ(E1) ⊂ σ(E4).
(5-12) Ähnliche Ausschöpfungsargumente wie in (4) funktionieren auch für die
Quader. In (4) können statt der offenen Kugeln Br(x) offene Quader genommen
werden. So folgt die Gleichheit mit σ(E5). Man bemerke beispielsweise, dass
n
× [ai,bi) =
i=1
∞�
n
× k=1 i=1
�
ai − 1
k ,bi
�
∈ σ(E5).
Die anderen Inklusionen Ei ⊂ σ(Ej) zeigt man analog. ✷
Bemerkung 1.24. Jedes der Mengensystem E1, E2, E3, E5,...,E12 (nicht aber E4)
ist schnittstabil, mithin ist die Borel’sche σ-Algebra jeweils gleich dem erzeugten
Dynkin-System: B(R n ) = δ(Ei) für i = 1,...,12. Die Mengensysteme
E4,...,E12 sind zudem abzählbar. Dies ist eine Eigenschaft, die wir an späterer
Stelle wieder benötigen werden. ✸
Definition 1.25 (Spur eines Mengensystems). Es sei A⊂2 Ω ein beliebiges System
von Teilmengen von Ω und A ∈ 2 Ω \ {∅}. Das Mengensystem
A � � := {A ∩ B : B ∈A}⊂2
A
A
heißt Spur von A auf A, oder Einschränkung von A auf A.
(1.6)
Satz 1.26. Ist A eine σ-Algebra, oder eines der Mengensysteme aus den Definitionen
1.6 – 1.10 auf Ω, soistA � � ein Mengensystem vom selben Typ, allerdings auf
A
A statt Ω.
Beweis. Übung! ✷

1.2 Mengenfunktionen 11
Übung 1.1.1. Sei A ein Semiring. Man zeige: Jede abzählbare (beziehungsweise
endliche) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweise
endliche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben. ♣
Übung 1.1.2. Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass im die Allgemeinen die Vereinigung
A∪A ′ zweier σ-Algebren keine σ-Algebra ist. ♣
Übung 1.1.3. Seien (Ω1,d1) und (Ω2,d2) metrische Räume, f : Ω1 → Ω2 eine
beliebige Abbildung und Uf = � x ∈ Ω1 : f ist unstetig in x � die Menge der
Unstetigkeitsstellen. Man zeige: Uf ∈B(Ω1).
Hinweis: Man zeige zunächst, dass für ε>0 und δ>0 die Menge
U δ,ε
f := � x ∈ Ω1 : es gibt y, z ∈ Bε(x) mit d2(f(y),f(z)) >δ �
(wobei Bε(x) ={y ∈ Ω1 : d1(x, y)

12 1 Grundlagen der Maßtheorie
(v) σ-subadditiv, falls für je abzählbar viele A, A1,A2,... ∈Amit A ⊂ ∞�
gilt, dass μ(A) ≤ ∞�
μ(Ai).
i=1
Ai
i=1
Definition 1.28. Sei A ein Semiring und μ : A→[0, ∞] eine Mengenfunktion mit
μ(∅) =0. μ heißt
– Inhalt, falls μ additiv ist,
– Prämaß, falls μσ-additiv ist,
– Maß, falls μ ein Prämaß ist und A eine σ-Algebra,
– Wahrscheinlichkeitsmaß (kurz W-Maß), falls μ ein Maß ist und μ(Ω) =1.
Definition 1.29. Sei A ein Semiring. Ein Inhalt μ auf A heißt
(i) endlich, falls μ(A) < ∞ für jedes A ∈A,
(ii) σ-endlich, falls es Mengen Ω1,Ω2,... ∈ A gibt mit Ω = ∞�
μ(Ωn) < ∞ für jedes n ∈ N.
n=1
Ωn und
Beispiel 1.30 (Inhalte, Maße). (i) Sei ω ∈ Ω und δω(A) = A(ω) (siehe (1.2)).
Dann ist δω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf jeder σ-Algebra A⊂2 Ω und heißt
Dirac-Maß im Punkt ω, oder Einheitsmasse.
(ii) Sei Ω eine endliche, nichtleere Menge. Durch
μ(A) := #A
#Ω
für A ⊂ Ω,
wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A =2 Ω definiert. μ heißt Gleichverteilung
oder uniforme Verteilung auf Ω. Wirführen hierfür das Symbol UΩ := μ ein.
Dersodefinierte Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, UΩ) wird auch Laplace-Raum
genannt.
(iii) Sei Ω abzählbar unendlich und
A := {A ⊂ Ω :#A

1.2 Mengenfunktionen 13
(iv) Sei (μn)n∈N eine Folge von Maßen (Prämaßen, Inhalten) und (αn)n∈N ei-
ne Folge von nichtnegativen Zahlen. Dann ist auch μ := � ∞
n=1 αnμn ein Maß
(Prämaß, Inhalt).
(v) Sei Ω eine (höchstens) abzählbare, nichtleere Menge und A =2Ω . Ferner
seien (pω)ω∈Ω nichtnegative Zahlen. Dann wird durch μ(A) := �
ω∈A pω für jedes
A ⊂ Ω, ein σ-endliches Maß auf 2Ω definiert. Wir nennen p =(pω)ω∈Ω die
Gewichtsfunktion von μ.
(vi) Ist in (v) speziell �
ω∈Ω pω =1,soistμein Wahrscheinlichkeitsmaß. Wir interpretieren
dann pω als Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω und nennen
p =(pω)ω∈Ω auch einen Wahrscheinlichkeitsvektor.
(vii) Ist in (v) speziell pω =1für jedes ω ∈ Ω, so heißt μ das Zählmaß auf Ω.
Ist Ω endlich, so ist auch μ endlich.
(viii) Sei A der Ring endlicher Vereinigungen von Intervallen (a, b] ⊂ R. Für
a1

14 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. (i) Es ist A∪B = A⊎(B \A) und B =(A∩B)⊎(B \A).Daμ additiv
ist, folgt
μ(A ∪ B) =μ(A)+μ(B \ A) und μ(B) =μ(A ∩ B)+μ(B \ A).
Hieraus folgt sofort (i).
(ii) Sei A ⊂ B. WegenA ∩ B = A folgt μ(B) =μ(A ⊎ (B \ A)) = μ(A) +
μ(B \ A), falls B \ A ∈Aist, insbesondere also, falls A ein Ring ist. Ist nun A nur
ein Semiring, so ist B \ A = � n
i=1 Ci für gewisses n ∈ N und paarweise disjunkte
Mengen C1,...,Cn ∈A. In diesem Fall ist μ(B) =μ(A)+ � n
i=1 μ(Ci) ≥ μ(A),
also ist μ monoton.
(iii) Seien n ∈ N und A, A1,...,An ∈Amit A ⊂ � n
i=1 Ai. Setze B1 = A1 und
�
k−1
Bk = Ak \ Ai =
i=1
k−1 �
(Ak \ (Ak ∩ Ai)) für k =2,...,n.
i=1
Per Definition des Semirings ist jedes Ak \(Ak ∩Ai) disjunkte Vereinigung endlich
vieler Mengen in A, also existiert ein ck ∈ N und Mengen Ck,1,...,Ck,ck ∈Amit
� ck
i=1 Ck,i = Bk ⊂ Ak. Analog existieren dk ∈ N und Dk,1,...,Dk,dk ∈Amit
Ak \ Bk = � dk
i=1 Dk,i.Daμ additiv ist, gilt
μ(Ak) =
ck�
i=1
μ(Ck,i)+
dk�
i=1
μ(Dk,i) ≥
ck�
i=1
μ(Ck,i).
Wiederum aufgrund von Additivität und Monotonie gilt
�
n� ck�
�
n� ck�
μ(A) =μ (Ck,i ∩ A) = μ(Ck,i ∩ A)
≤
n�
k=1 i=1
ck�
k=1 i=1
μ(Ck,i) ≤
n�
μ(Ak).
k=1
k=1 i=1
Also ist μ subadditiv. Die σ-Subadditivität folgt aus der σ-Additivität in analoger
Weise.
(iv) Sei A ein Ring und A = ∞�
An ∈A.Daμadditiv (und damit monoton) ist,
gilt nach (ii)
n=1
m�
�
m�
μ(An) =μ
�
≤ μ(A) für jedes m ∈ N.
Also ist
n=1
n=1
An
∞�
μ(An) ≤ μ(A). ✷
n=1

1.2 Mengenfunktionen 15
Bemerkung 1.32. In (iv) kann strikte Ungleichheit herrschen (siehe etwa Beispiel
1.30(iii)). Mit anderen Worten: Es gibt Inhalte, die keine Prämaße sind. ✸
Satz 1.33 (Einschluss- Ausschlussformel). Sei A ein Ring und μ ein Inhalt. Dann
gelten für n ∈ N und A1,...,An ∈Adie Einschluss- Ausschlussformeln
μ(A1 ∪ ...∪ An) =
μ(A1 ∩ ...∩ An) =
n�
(−1) k−1
k=1
n�
(−1) k−1
k=1
�
{i1,...,ik}⊂{1,...,n}
�
{i1,...,ik}⊂{1,...,n}
μ(Ai1 ∩ ...∩ Aik ),
μ(Ai1 ∪ ...∪ Aik ),
wobei sich die Summen über alle k-elementigen Teilmengen von {1,...,n} erstrecken.
Beweis. Übung! Hinweis: Man verwende vollständige Induktion über n. ✷
Wir wollen die σ-Subadditivität durch eine Stetigkeitseigenschaft charakterisieren
(Satz 1.36). Hierzu verabreden wir die folgende Sprechweise und Notation.
Definition 1.34. Sind A, A1,A2,...Mengen, so schreiben wir
– An ↑ A, falls A1 ⊂ A2 ⊂ ... und �∞ n=1 An = A,
– An ↓ A, falls A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... und �∞ n=1 An = A.
Wir sagen dann, dass (An)n∈N gegen A aufsteigt beziehungsweise absteigt.
Definition 1.35 (Stetigkeit von Inhalten). Sei μ ein Inhalt auf dem Ring A.
(i) μ heißt stetig von unten, falls für jedes A ∈Aund jede Folge (An)n∈N in A
mit An ↑ A gilt: μ(An) n→∞
−→ μ(A).
(ii) μ heißt stetig von oben, falls für jedes A ∈Aund jede Folge (An)n∈N in A
mit An ↓ A sowie μ(An) < ∞ für jedes n ∈ N gilt: μ(An) n→∞
−→ μ(A).
(iii) μ heißt ∅-stetig, falls (ii) für A = ∅ gilt.
Bei der Stetigkeit von oben wurde die Endlichkeitsbedingung eingeführt, weil sogar
für das Zählmaß μ auf (N, 2 N ) und An := {n, n+1,...}↓∅sonst keine Gleichheit
gelten kann.

16 1 Grundlagen der Maßtheorie
Satz 1.36 (Stetigkeit und Prämaß). Sei μ ein Inhalt auf einem Ring A. Betrachte
die folgenden fünf Eigenschaften.
(i) μ ist σ-additiv (also ein Prämaß).
(ii) μ ist σ-subadditiv.
(iii) μ ist stetig von unten.
(iv) μ ist ∅-stetig.
(v) μ ist stetig von oben.
Dann gelten die Implikationen (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iii)=⇒ (iv) ⇐⇒ (v).
Ist μ endlich, so gilt auch (iv) =⇒ (iii).
Beweis. (i) =⇒ (ii)“ Seien A, A1,A2,... ∈Amit A ⊂
” �∞ i=1 Ai. Setze B1 =
A1 und Bn = An \ �n−1 i=1 Ai ∈Afür n =2, 3,...Dann ist A = �∞ n=1 (A ∩ Bn),
also wegen der Monotonie von μ und der σ-Additivität von μ
∞�
∞�
μ(A) = μ(A ∩ Bn) ≤ μ(An).
n=1
Damit ist μ als σ-subadditiv erkannt.
” (ii) =⇒ (i)“ Dies folgt aus Lemma 1.31(iv).
” (i) =⇒ (iii)“ Sei μ ein Prämaß und A ∈Asowie (An)n∈N eine Folge in A mit
An ↑ A sowie A0 = ∅. Dann gilt
μ(A) =
∞�
μ(Ai \ Ai−1) = lim
i=1
n�
n→∞
i=1
n=1
μ(Ai \ Ai−1) = lim
n→∞ μ(An).
” (iii) =⇒ (i)“ Gelte nun (iii). Seien B1,B2,... ∈Apaarweise disjunkt, und
gelte B = ∞�
Bn ∈A. Setze An = n�
Bi für jedes n ∈ N. Dann folgt aus (iii)
n=1
i=1
μ(B) = lim
n→∞ μ(An) =
Also ist μσ-additiv und damit ein Prämaß.
∞�
μ(Bi).
” (iv) =⇒ (v)“ Seien A, A1,A2,... ∈Amit An ↓ A und μ(A1) < ∞. Setze
Bn = An \ A ∈Afür jedes n ∈ N. Dann gilt Bn ↓∅. Es gilt also μ(An) − μ(A) =
μ(Bn) n→∞
−→ 0.
” (v) =⇒ (iv)“ Dies ist trivial.
i=1

1.3 Fortsetzung von Maßen 17
” (iii) =⇒ (iv)“ Seien A1,A2,... ∈Amit An ↓∅und μ(A1) < ∞. Dann gilt
A1 \ An ∈Afür jedes n ∈ N und A1 \ An ↑ A1, also
μ(A1) = lim
n→∞ μ(A1 \ An) =μ(A1) − lim
n→∞ μ(An).
Wegen μ(A1) < ∞ ist lim
n→∞ μ(An) =0.
” (iv) =⇒ (iii)“ (für den Fall μ endlich) Es gelte nun μ(A) < ∞ für jedes A ∈A,
und μ sei ∅-stetig. Seien A, A1,A2,...∈Amit An ↑ A. Dann gilt A \ An ↓∅und
μ(A) − μ(An) =μ(A \ An) n→∞
−→ 0.
Also gilt (iii). ✷
Beispiel 1.37. (Vergleiche Beispiel 1.30(iii).) Sei Ω abzählbar und
A = {A ⊂ Ω :#A

18 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beispiel 1.39 (Lebesgue-Maß). Sei n ∈ N und
A = {(a, b] : a, b ∈ R n ,a

d(ω, ω ′ )=
1.3 Fortsetzung von Maßen 19
� 2 − inf{n∈N: ωn�=ω ′
n } , falls ω �= ω ′ ,
0, falls ω = ω ′ .
Dann ist (Ω,d) ein kompakter, metrischer Raum. Offenbar ist
[ω1,...,ωn] =B 2 −n(ω) ={ω ′ ∈ Ω : d(ω, ω ′ ) < 2 −n }.
(1.9)
Das Komplement von [ω1,...,ωn] ist die Vereinigung von (#E) n − 1 offenen
Kugeln
[ω1,...,ωn] c =
�
[ω ′ 1,...,ω ′ n],
(ω ′ 1 ,...,ω′ n )�=(ω1,...,ωn)
also offen. Damit ist [ω1,...,ωn] abgeschlossen und kompakt, weil Ω kompakt ist.
Ähnlich wie in Satz 1.23 kann man zeigen, dass σ(A) =B(Ω,d).
Übung: Man zeige die obigen Aussagen. ✸
Das Hauptergebnis dieses Kapitels ist der Fortsetzungssatz für Maße, den wir hier
in der Form von Carathéodory formulieren.
Satz 1.41 (Carathéodory). Sei A⊂2 Ω ein Ring und μ ein σ-endliches Prämaß
auf A. Dann kann μ auf genau eine Weise zu einem Maß �μ auf σ(A) fortgesetzt
werden, und ˜μ ist σ-endlich.
Den Beweis dieses Satzes müssen wir mit einigen Lemmata vorbereiten. Wir zeigen
dann in Satz 1.53 eine etwas stärkere Aussage. Dort wird auch die griffige Formulierung
” kann fortgesetzt werden“ präzisiert.
Lemma 1.42 (Eindeutigkeit durch schnittstabilen Erzeuger). Sei (Ω,A,μ) ein
σ-endlicher Maßraum und E ⊂ A ein schnittstabiler Erzeuger von A. Esgebe
E1,E2,... ∈Emit En ↑ Ω und μ(En) < ∞ für jedes n ∈ N. Dann ist μ durch
die Werte μ(E), E ∈E, eindeutig festgelegt.
Ist μ ein W-Maß, so gilt die Folgerung auch ohne die Existenz der Folge (En)n∈N.
Beweis. Sei ν ein weiteres σ-endliches Maß auf (Ω,A) mit der Eigenschaft
μ(E) =ν(E) für jedes E ∈E.
Sei E ∈Emit μ(E) < ∞. Betrachte das Mengensystem
DE = {A ∈A: μ(A ∩ E) =ν(A ∩ E)}.
Um zu zeigen, dass DE ein Dynkin-System ist, prüfen wir die Eigenschaften aus
Definition 1.10:
(i) Offensichtlich ist Ω ∈DE.

20 1 Grundlagen der Maßtheorie
(ii) Seien A, B ∈DE mit A ⊃ B.Dannist
μ ((A \ B) ∩ E) =μ(A ∩ E) − μ(B ∩ E)
= ν(A ∩ E) − ν(B ∩ E) =ν ((A \ B) ∩ E) .
Also ist A \ B ∈DE.
(iii) Seien A1,A2,...∈DE paarweise disjunkt sowie A = ∞�
An. Dannist
also A ∈DE.
n=1
n=1
∞�
∞�
μ(A ∩ E) = μ(An ∩ E) = ν(An ∩ E) =ν(A ∩ E),
Offenbar ist E⊂DE, also δ(E) ⊂DE.DaE schnittstabil ist, ist nach Satz 1.19
n=1
A⊃DE ⊃ δ(E) =σ(E) =A.
Also ist DE = A.
Für jedes A ∈Aund E ∈Emit μ(E) < ∞ gilt also μ(A ∩ E) =ν(A ∩ E). Seien
nun E1,E2,...∈Emit En ↑ Ω und μ(En) < ∞ für jedes n ∈ N.Daμund ν von
unten stetig sind, gilt für A ∈A
μ(A) = lim
n→∞ μ(A ∩ En) = lim
n→∞ ν(A ∩ En) =ν(A).
Der Zusatz ist trivial, denn ˜ E := E∪{Ω} ist ebenfalls ein schnittstabiler Erzeuger
von A, und der Wert μ(Ω) =1ist bekannt. Es kann also die konstante Folge En =
Ω, n ∈ N,gewählt werden. Man beachte jedoch, dass es nicht reicht zu fordern, dass
μ endlich ist, weil dann im Allgemeinen die Gesamtmasse μ(Ω) nicht eindeutig
festgelegt ist (siehe Beispiel 1.45(ii)). ✷
Beispiel 1.43. Sei Ω = Z und E = � En : n ∈ Z � , wobei En =(−∞,n] ∩ Z. E
ist schnittstabil und σ(E) =2 Ω . Also ist ein endliches Maß μ auf (Ω,2 Ω ) eindeutig
festgelegt durch die Werte μ(En), n ∈ N.
Ein σ-endliches Maß auf Z ist jedoch durch die Werte auf E noch nicht eindeutig
bestimmt: Sei μ das Zählmaß auf Z und ν =2μ. Dannistμ(E) =∞ = ν(E) für
jedes E ∈E.Umμ und ν zu unterscheiden, brauchen wir also einen Erzeuger, der
Mengen endlichen Maßes (für μ) enthält. Tun es die Mengen ˜ Fn =[−n, n] ∩ Z,
n ∈ N? InderTatistfür jedes σ-endliche Maß μ jetzt μ( ˜ Fn) < ∞ für jedes
n ∈ N. Allerdings erzeugen die ˜ Fn nicht 2 Ω (sondern welche σ-Algebra?). Wir
können aber die Definition so modifizieren: Fn =[−n/2, (n +1)/2] ∩ Z.Dannist
σ({Fn, n∈ N}) =2 Ω , also E = {Fn, n∈ N} ein schnittstabiler Erzeuger von 2 Ω
und μ(Fn) < ∞ für jedes n ∈ N. WegenFn ↑ Ω sind die Bedingungen des Satzes
erfüllt. ✸

1.3 Fortsetzung von Maßen 21
Beispiel 1.44 (Verteilungsfunktion). Ein W-Maß μ auf dem Raum (R n , B(R n )) ist
durch Angabe der Werte μ((−∞,b]) auf den Mengen (−∞,b]=× n
i=1(−∞,bi],
b ∈ R n , eindeutig festgelegt, da diese Mengen einen schnittstabilen Erzeuger bilden
(Satz 1.23). Speziell ist ein W-Maß μ auf R durch Angabe der Verteilungsfunktion
F : R → [0, 1], x ↦→ μ((−∞,x]) eindeutig bestimmt. ✸
Beispiel 1.45. (i) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und E = { � 1, 2}, {2, 3} � . Offenbar gilt
σ(E) =2Ω , jedoch ist E nicht schnittstabil. Tatsächlich ist hier ein W-Maß μ durch
Angabe der Werte μ({1, 2}) =μ({2, 3}) = 1
2 nicht eindeutig festgelegt. Es gibt
beispielsweise die Möglichkeiten μ = 1
2δ1 + 1
2δ3 oder μ ′ = 1
2δ2 + 1
2δ4. (ii) Sei Ω = {1, 2} und E = {{1}}. DannistEein schnittstabiler Erzeuger von
2Ω , und ein W-Maß μ ist durch Angabe von μ({1}) eindeutig festgelegt. Allerdings
gilt dies nicht für endliche Maße im Allgemeinen, denn μ =0und ν = δ2 sind zwei
endliche Maße, die auf E übereinstimmen. ✸
Definition 1.46 (Äußeres Maß). Eine Mengenfunktion μ ∗ : 2 Ω → [0, ∞] heißt
äußeres Maß, falls gilt:
(i) μ∗ (∅) =0,
(ii) μ∗ ist monoton,
(iii) μ∗ ist σ-subadditiv.
Lemma 1.47. Sei A⊂2Ω ein beliebiges Mengensystem mit ∅∈Aund μ eine
monotone Mengenfunktion auf A mit μ(∅) =0.Für A ⊂ Ω sei
�
U(A) = F⊂A: F ist höchstens abzählbar und A ⊂ �
�
F
F ∈F
die Menge der abzählbaren Überdeckungen F von A mit Mengen F aus A. Setze
μ ∗ � �
�
(A) :=inf μ(F ): F∈U(A) ,
F ∈F
wobei inf ∅ = ∞. Dann ist μ ∗ (A) =μ(A) für jedes A ∈A, und μ ∗ ist ein äußeres
Maß.
Beweis. Wir weisen die Eigenschaften (i)-(iii) des äußeren Maßes nach.
(i) Wegen ∅∈Aist {∅} ∈ U(∅), also ist μ ∗ (∅) =0.
(ii) Ist A ⊂ B,soistU(A) ⊃U(B), also ist μ ∗ (A) ≤ μ ∗ (B).
(iii) Sei An ⊂ Ω für jedes n ∈ N und A ⊂ � ∞
n=1 An. Wirmüssen zeigen, dass
μ ∗ (A) ≤ � ∞
n=1 μ∗ (An). Ohne Einschränkung sei μ ∗ (An) < ∞ und damit

22 1 Grundlagen der Maßtheorie
U(An) �= ∅ für jedes n ∈ N. Wähle ε > 0 und zu jedem n ∈ N eine
Überdeckung Fn ∈U(An) mit
�
F ∈Fn
Dann ist F := � ∞
n=1 Fn ∈U(A) und
F ∈F
μ(F ) ≤ μ ∗ (An)+ε 2 −n .
μ ∗ (A) ≤ �
∞� �
∞�
μ(F ) ≤ μ(F ) ≤ μ ∗ (An)+ε. ✷
n=1 F ∈Fn
Definition 1.48 (μ ∗ -messbare Mengen). Sei μ ∗ ein äußeres Maß. Eine Menge A ∈
2 Ω heißt μ ∗ -messbar, falls
n=1
μ ∗ (A ∩ E)+μ ∗ (A c ∩ E) =μ ∗ (E) für jedes E ∈ 2 Ω . (1.10)
Wir schreiben M(μ ∗ )={A ∈ 2 Ω : A ist μ ∗ -messbar}.
Lemma 1.49. Es ist A ∈M(μ ∗ ) genau dann, wenn
μ ∗ (A ∩ E)+μ ∗ (A c ∩ E) ≤ μ ∗ (E) für jedes E ∈ 2 Ω .
Beweis. Da μ ∗ subadditiv ist, gilt stets die andere Ungleichung. ✷
Lemma 1.50. M(μ ∗ ) ist eine Algebra.
Beweis. Wir prüfen die Eigenschaften (i)-(iii) der Algebra aus Satz 1.7.
(i) Ω ∈M(μ∗ ) ist klar.
(ii) (Komplementstabilität) Per Definition ist A ∈M(μ∗ ) ⇐⇒ Ac ∈M(μ∗ ).
(iii) (Schnittstabilität) Seien A, B ∈M(μ∗ ) und E ∈ 2Ω .Dannist
μ ∗ ((A ∩ B) ∩ E)+μ ∗ ((A ∩ B) c ∩ E)
= μ ∗ (A ∩ B ∩ E)+μ ∗� (A c ∩ B ∩ E) ∪ (A c ∩ B c ∩ E) ∪ (A ∩ B c ∩ E) �
≤ μ ∗ (A ∩ B ∩ E)+μ ∗ (A c ∩ B ∩ E)
+ μ ∗ (A c ∩ B c ∩ E)+μ ∗ (A ∩ B c ∩ E)
= μ ∗ (B ∩ E)+μ ∗ (B c ∩ E)
= μ ∗ (E).
Dabei haben wir in der vorletzten Gleichung A ∈M(μ ∗ ) benutzt und in der letzten
B ∈M(μ ∗ ). ✷
Lemma 1.51. Ein äußeres Maß μ ∗ ist σ-additiv auf M(μ ∗ ).

Beweis. Seien A, B ∈M(μ ∗ ) mit A ∩ B = ∅. Dannist
1.3 Fortsetzung von Maßen 23
μ ∗ (A ∪ B) =μ ∗ (A ∩ (A ∪ B)) + μ ∗ (A c ∩ (A ∪ B)) = μ ∗ (A)+μ ∗ (B).
Induktiv folgt die (endliche) Additivität. Da μ ∗ per Definition σ-subadditiv ist, folgt
nach Satz 1.36, dass μ ∗ auch σ-additiv ist. ✷
Lemma 1.52. Ist μ ∗ ein äußeres Maß, so ist M(μ ∗ ) eine σ-Algebra. Speziell ist μ ∗
ein Maß auf M(μ ∗ ).
Beweis. Nach Lemma 1.50 ist M(μ ∗ ) eine Algebra, also insbesondere schnittstabil.
Nach Satz 1.18 reicht es zu zeigen, dass M(μ ∗ ) ein Dynkin-System ist.
Seien also A1,A2,... ∈M(μ ∗ ) paarweise disjunkt und A := ∞�
ist A ∈M(μ ∗ ), also
n=1
An. Zu zeigen
μ ∗ (A ∩ E)+μ ∗ (A c ∩ E) ≤ μ ∗ (E) für jedes E ∈ 2 Ω . (1.11)
Setze Bn = n�
Ai für jedes n ∈ N. Es gilt für jedes n ∈ N
i=1
μ ∗ (E ∩ Bn+1) =μ ∗� (E ∩ Bn+1) ∩ Bn
= μ ∗ (E ∩ Bn)+μ ∗ (E ∩ An+1),
� ∗
+ μ � (E ∩ Bn+1) ∩ B c �
n
und induktiv μ∗ (E ∩ Bn) = �n i=1 μ∗ (E ∩ Ai). Wegen der Monotonie von μ∗ folgt
μ ∗ (E) =μ ∗ (E ∩ Bn)+μ ∗ (E ∩ B c n) ≥ μ ∗ (E ∩ Bn)+μ ∗ (E ∩ A c )
n�
=
μ
i=1
∗ (E ∩ Ai)+μ ∗ (E ∩ A c ).
Indem wir n →∞gehen lassen, folgt mit der σ-Subadditivität von μ ∗
μ ∗ (E) ≥
∞�
i=1
μ ∗ (E ∩ Ai)+μ ∗ (E ∩ A c ) ≥ μ ∗ (E ∩ A)+μ ∗ (E ∩ A c ).
Also gilt (1.11), und der Beweis ist komplett. ✷
Wir zeigen nun einen Satz, der mit schwächeren Voraussetzungen auskommt als der
Satz von Carathéodory (Satz 1.41) und diesen impliziert.
Satz 1.53 (Fortsetzungssatz für Maße). Sei A ein Semiring und μ : A→[0, ∞]
eine additive, σ-subadditive, σ-endliche Mengenfunktion mit μ(∅) =0.
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß �μ : σ(A) → [0, ∞] mit
�μ(A) =μ(A) für jedes A ∈A.

24 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. Da A schnittstabil ist, folgt die Eindeutigkeit aus Lemma 1.42.
Um die Existenz zu zeigen, definieren wir wie in Lemma 1.47
μ ∗ � �
�
(A) :=inf μ(F ): F∈U(A) für jedes A ∈ 2 Ω .
F ∈F
Nach Lemma 1.31(ii) ist μ monoton, also ist μ∗ nach Lemma 1.47 ein äußeres Maß
und μ∗ (A) =μ(A) für jedes A ∈A.Wirmüssen zeigen, dass M(μ∗ ) ⊃ σ(A) gilt.
Da M(μ∗ ) eine σ-Algebra ist (Lemma 1.52), reicht es, A⊂M(μ∗ ) zu zeigen.
Seien also A ∈ A und E ∈ 2Ω mit μ∗ (E) < ∞. Seiε > 0. Dann gibt es
E1,E2,...∈Amit
E ⊂
∞�
En und
n=1
∞�
μ(En) ≤ μ ∗ (E)+ε.
n=1
Setze Bn := En ∩ A ∈A.DaA ein Semiring ist, gibt es zu jedem n ∈ N ein
mn ∈ N sowie C1 n,...,Cmn n ∈Amit En \ A = En \ Bn = mn �
Ck n.Alsoist
∞�
E ∩ A ⊂ Bn, E ∩ A c ∞�
⊂
n=1
n=1
mn �
k=1
k=1
C k n und En = Bn ⊎
μ∗ ist σ-subadditiv, und nach Voraussetzung ist μ additiv. Wegen μ∗� �A ≤ μ (es gilt
sogar Gleichheit, wie wir gleich sehen) folgt
μ ∗ (E ∩ A)+μ ∗ (E ∩ A c ) ≤
n=1
n=1
k=1
mn �
k=1
∞�
μ ∗ ∞�
(Bn)+ μ ∗� mn �
μ(C k �
n)
∞�
∞� mn �
≤ μ(Bn)+ μ(C k n)
=
=
n=1
n=1 k=1
∞�
�
mn �
μ(Bn)+ μ(C k �
n)
n=1
k=1
∞�
μ(En) ≤ μ ∗ (E)+ε.
n=1
Daher ist μ ∗ (E ∩ A) +μ ∗ (E ∩ A c ) ≤ μ ∗ (E) und damit A ∈M(μ ∗ ), also ist
A⊂M(μ ∗ ). Setze nun �μ : σ(A) → [0, ∞], A ↦→ μ ∗ (A). Nach Lemma 1.51 ist �μ
ein Maß und �μ ist σ-endlich, weil μσ-endlich ist. ✷
Beispiel 1.54 (Lebesgue-Maß, Fortsetzung von Beispiel 1.39). Wir wollen das auf
den Quadern A = {(a, b] : a, b ∈ R n ,a

1.3 Fortsetzung von Maßen 25
� n
i=1 (bi − ai) zu einem Maß auf der Borel’schen σ-Algebra B(R n ) fortsetzen. Um
die Voraussetzungen von Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir nur noch zeigen, dass μ
σ-subadditiv ist. Seien also (a, b], (a(1),b(1)], (a(2),b(2)],...∈Amit
Wir müssen zeigen, dass
(a, b] ⊂
μ((a, b]) ≤
∞�
(a(k),b(k)].
k=1
∞�
μ((a(k),b(k)]). (1.12)
k=1
Hierzu benutzen wir ein Kompaktheitsargument, um (1.12) auf die endliche Additivität
zurück zu führen. Sei also ε>0, und sei für jedes k ∈ N ein bε(k) >b(k) so
gewählt, dass
μ((a(k),bε(k)]) ≤ μ((a(k),b(k)]) + ε 2 −k−1 .
Ferner sei aε ∈ (a, b) so gewählt, dass μ((aε,b]) ≥ μ((a, b]) − ε
2 . Nun ist [aε,b]
kompakt und
∞�
∞�
(a(k),bε(k)) ⊃ (a(k),b(k)] ⊃ (a, b] ⊃ [aε,b].
k=1
k=1
Also existiert ein K0 mit � K0
k=1 (a(k),bε(k)) ⊃ (aε,b]. Daμ (endlich) subadditiv
ist (Lemma 1.31(iii)), folgt
μ((a, b]) ≤ ε
2 + μ((aε,b]) ≤ ε
2 +
K0 �
μ((a(k),bε(k)])
k=1
k=1
≤ ε
2 +
K0 � � �
∞�
−k−1
ε 2 + μ((a(k),b(k)]) ≤ ε + μ((a(k),b(k)]).
Da ε>0 beliebig war, folgt (1.12) und damit die σ-Subadditivität von μ. ✸
k=1
Zusammen mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt.
Satz 1.55 (Lebesgue-Maß). Es existiert ein eindeutig bestimmtes Maß λ n auf
(R n , B(R n )) mit der Eigenschaft
λ n ((a, b]) =
n�
(bi − ai) für alle a, b ∈ R n mit a

26 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beispiel 1.56 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Sei Ω = R und A = {(a, b] : a, b ∈
R, a ≤ b}. A ist ein Semiring und σ(A) = B(R), woB(R) die Borel’sche σ-
Algebra auf R ist. Ferner sei F : R → R monoton wachsend und rechtsseitig stetig.
Wir definieren eine Mengenfunktion
˜μF : A→[0, ∞), (a, b] ↦→ F (b) − F (a).
Offensichtlich ist ˜μF (∅) =0, und ˜μF ist additiv.
Seien (a, b], (a(1),b(1)], (a(2),b(2)],... ∈Amit (a, b] ⊂ �∞ n=1 (a(n),b(n)]. Sei
ε>0, und sei aε ∈ (a, b) so gewählt, dass F (aε) − F (a) b(k)
so gewählt, dass F (bε(k)) − F (b(k)) 0,
also hat (xn)n∈N keinen Häufungspunkt.
(v) Gilt lim
x→∞ F (x) − F (−x) =1,soistμF ein W-Maß. ✸
� x
Den Fall, wo μF ein W-Maß ist, wollen wir noch weiter untersuchen.

1.3 Fortsetzung von Maßen 27
Definition 1.59 (Verteilungsfunktion). Eine rechtsseitig stetige, monoton wachsende
Funktion F : R → [0, 1] mit F (−∞) := lim F (x) =0und F (∞) :=
x→−∞
lim F (x) =1heißt Verteilungsfunktion. Gilt statt F (∞) =1lediglich F (∞) ≤
x→∞
1, soheißtFuneigentliche Verteilungsfunktion.
Ist μ ein (Sub-)W-Maß auf (R, B(R)), so heißt Fμ : x ↦→ μ((−∞,x]) die Verteilungsfunktion
von μ.
Offenbar ist Fμ rechtsseitig stetig und F (−∞) =0, weil μ stetig von oben und
endlich ist (Satz 1.36). Auf Grund der Stetigkeit von unten ist F (∞) =μ(R), also
ist Fμ tatsächlich eine (uneigentliche) Verteilungsfunktion, wenn μ ein (Sub-)W-
Maß ist.
Die Argumentation aus Beispiel 1.56 liefert nun den folgenden Satz.
Satz 1.60. Die Abbildung μ ↦→ Fμ ist eine Bijektion von der Menge der W-Maße
auf (R, B(R)) auf die Menge der Verteilungsfunktionen, beziehungsweise von der
Menge der Sub-W-Maße auf die der uneigentlichen Verteilungsfunktionen.
Wir sehen also, dass jedes endliche Maß auf (R, B(R)) ein Lebesgue-Stieltjes-Maß
für eine gewisse Funktion F ist. Für σ-endliche Maße ist dies im Allgemeinen
falsch, wie wir in Beispiel 1.58(iv) gesehen haben.
Wir kommen nun zu einem Satz, der Satz 1.55 mit dem Lebesgue-Stieltjes-Maß
kombiniert. Später werden wir sehen, dass dieser Satz in größerer Allgemeinheit
gültig ist. Speziell kann man auf die Bedingung verzichten, dass die einzelnen Faktoren
vom Lebesgue-Stieltjes-Typ sind.
Satz 1.61 (Endliche Produkte von Maßen). Sei n ∈ N, und seien μ1,...,μn
endliche Maße oder, allgemeiner, Lebesgue-Stieltjes-Maße auf (R, B(R)). Dann
existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ auf (R n , B(R n )) mit
μ((a, b]) =
Wir nennen μ =:
n�
μi((ai,bi]) für alle a, b ∈ R n mit a

28 1 Grundlagen der Maßtheorie
Messräumen gilt. Wir können auch unendliche (sogar überabzählbare) Produkte betrachten,
wenn wir voraussetzen, dass alle Faktoren Wahrscheinlichkeitsräume sind
(Satz 14.36). ✸
Beispiel 1.63 (Unendliches Produktmaß, Fortsetzung von Beispiel 1.40). Sei E
eine endliche Menge und Ω = E N der Raum der Folgen mit Werten in E. Ferner sei
(pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Der auf A = {[ω1,...,ωn] : ω1,...,ωn ∈
E, n ∈ N} definierte Inhalt
μ([ω1,...,ωn]) =
soll nun zu einem Maß auf σ(A) fortgesetzt werden. Um die Voraussetzungen von
Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir zeigen, dass μσ-subadditiv ist. Wie im vorangehenden
Beispiel geht dies mit Hilfe eines Kompaktheitsarguments.
Seien also A, A1,A2,... ∈Aund A ⊂ �∞ n=1 An. Es reicht zu zeigen, dass es ein
N ∈ N gibt mit der Eigenschaft
A ⊂
n�
i=1
pωi
N�
An. (1.13)
n=1
Dann ist nämlich aufgrund der endlichen Subadditivität von μ (Lemma 1.31(iii))
schon μ(A) ≤ N�
μ(An) ≤ ∞�
μ(An), also ist μσ-subadditiv.
n=1
n=1
Wir geben nun zwei Beweise für (1.13) an.
1. Beweis Wie in Beispiel 1.40 angemerkt, ist Ω mit der von der Metrik d in
(1.9) erzeugten Produkttopologie kompakt, und jedes A ∈ A ist abgeschlossen
und damit auch kompakt. Da jedes der An zugleich offen ist, gibt es eine endliche
Teilüberdeckung von A, mithin gilt (1.13).
2. Beweis Wir zeigen nun auf elementare Weise die Gültigkeit von (1.13).
Das Vorgehen imitiert den Beweis dafür, dass Ω kompakt ist. Wir setzen Bn :=
A \ �n i=1 Ai, nehmen an, dass Bn �= ∅ für jedes n ∈ N und führen dies zum Widerspruch.
Nach dem Dirichlet’schen Schubfachprinzip (E ist endlich) können wir
ein ω1 ∈ E auswählen, sodass [ω1] ∩ Bn �= ∅ für unendlich viele n ∈ N. Wegen
B1 ⊃ B2 ⊃ ...folgt
[ω1] ∩ Bn �= ∅ für jedes n ∈ N.
Wähle nun sukzessive ω2,ω3,...∈ E so aus, dass
[ω1,...,ωk] ∩ Bn �= ∅ für alle k, n ∈ N.
Bn ist disjunkte Vereinigung von gewissen Mengen Cn,1,...,Cn,mn ∈A.Daher
existiert zu jedem n ∈ N ein in ∈{1,...,mn} mit [ω1,...,ωk] ∩ Cn,in �= ∅ für
unendlich viele k ∈ N.Wegen[ω1] ⊃ [ω1,ω2] ⊃ ...folgt

1.3 Fortsetzung von Maßen 29
[ω1,...,ωk] ∩ Cn,in �= ∅ für alle k, n ∈ N.
Für festes n ∈ N und großes k ist [ω1,...,ωk] ⊂ Cn,in , also ist ω =(ω1,ω2,...) ∈
Cn,in ⊂ Bn. Es folgt im Widerspruch zur Annahme, dass �∞ n=1 Bn �= ∅. ✸
Zusammen mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt.
Satz 1.64 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Sei E eine endliche, nichtleere Menge
und Ω = E N sowie (pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Dann gibt es ein
eindeutig bestimmtes W-Maß μ auf σ(A) =B(Ω) mit
μ([ω1,...,ωn]) =
n�
i=1
pωi für alle ω1,...,ωn ∈ E und n ∈ N.
Wir nennen μ das Produktmaß oder Bernoulli-Maß auf Ω mit Gewichten (pe)e∈E.
Wir schreiben auch �� �⊗N := μ.
e∈E peδe
Ferner nennen wir (2E ) ⊗N := σ(A) die Produkt-σ-Algebra auf Ω.
Auf Produktmaße gehen wir systematisch noch einmal in Kapitel 14 ein.
Der Fortsetzungssatz liefert uns einen abstrakten Existenz- und Eindeutigkeitssatz
für Maße, die wir zuvor nur auf einem Semiring A definiert hatten. Der folgende
Satz zeigt, wie gut wir das Maß von σ(A)-messbaren Mengen durch endliche,
beziehungsweise abzählbare Operationen mit Mengen aus A annähern können.
Wir schreiben
A △ B := (A \ B) ∪ (B \ A), für A, B ⊂ Ω, (1.14)
für die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B.
Satz 1.65 (Approximationssatz für Maße). Sei A⊂2 Ω ein Semiring und μ ein
Maß auf σ(A), das σ-endlich auf A ist.
(i) Zu A ∈ σ(A) und ε>0 gibt es paarweise disjunkte Mengen A1,A2,...∈A
mit A ⊂ ∞�
�
∞�
�
An und μ
0 � gibt es n ∈ N und paarweise
disjunkte Mengen A1,...,An ∈Amit μ A △ n�
�

30 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. (ii) Da μ auf σ(A) mit dem äußeren Maß μ ∗ übereinstimmt und μ(A)
endlich ist, gibt es nach Definition von μ ∗ (siehe Lemma 1.47) eine Überdeckung
B1,B2,...∈Avon A mit
Sei n ∈ N mit ∞�
i=n+1
Mengen C, D, E gilt
μ(A) ≥
μ(Bi) < ε
2
∞�
μ(Bi) − ε/2.
i=1
(dies existiert, weil μ(A) < ∞). Für je drei
C △D =(D \C)∪(C \D) ⊂ (D \C)∪(C \(D ∪E))∪E ⊂ (C △(D ∪E))∪E.
Mit C = A, D = �n i=1 Bi und E = �∞ i=n+1 Bi erhalten wir
�
n�
� �
∞�
� �
∞�
�
μ A △ ≤ μ A △ + μ
Schreibe nun
i=1
i=1
Bi
≤ μ
� ∞�
i=1
Bi
i=2 j=1
i=1
Bi
i=n+1
Bi
�
− μ(A)+ ε
≤ ε.
2
n�
n� i−1 �
Bi = B1 ⊎ (Bi \ Bj) =:
für ein gewisses k ∈ N und gewisse A1,...,Ak ∈A(Semiring-Eigenschaft).
(i) Sei A ∈ σ(A) und En ↑ Ω, En ∈ σ(A) mit μ(En) < ∞ für jedes n ∈ N.
Wähle zu n ∈ N eine Überdeckung (Bn,m)m∈N von A ∩ En mit
∞�
μ(A ∩ En) ≥ μ(Bn,m) − 2 −n ε.
m=1
(Dies ist möglich nach Definition des äußeren Maßes μ∗ , das auf A mit μ übereinstimmt.)
Schreibe ∞�
Bn,m = ∞�
An für gewisse An ∈ A, n ∈ N
m,n=1
(Übung 1.1.1). Dann ist
�
∞�
� �
∞�
μ An \ A = μ
n=1
≤ μ
≤
∞�
n=1
n=1 m=1
� ∞�
∞�
n=1 m=1
∞�
��
∞�
n=1
m=1
Bn,m \ A
�
k�
i=1
Ai
� Bn,m \ (A ∩ En) ��
μ(Bn,m)
�
�
− μ(A ∩ En) ≤ ε.

1.3 Fortsetzung von Maßen 31
(iii) Sei A ∈M(μ ∗ ) und (En)n∈N wie oben. Wähle zu m, n ∈ N ein An,m ∈
σ(A) mit An,m ⊃ A ∩ En und μ ∗ (An,m) ≤ μ ∗ (A ∩ En)+ 2−n
m .
Setze Am := ∞�
A+ := ∞�
m=1
n=1
An,m ∈ σ(A). DannistAm⊃ A und μ∗ (Am \ A) ≤ 1
m . Setze
Am. Dannistσ(A) ∋ A+ ⊃ A und μ ∗ (A+ \ A) =0.Wähle analog
(A−) c ∈ σ(A) mit (A−) c ⊃ A c und μ ∗ ((A−) c \A c )=0.DannistA+ ⊃ A ⊃ A−
und μ(A+ \ A−) =μ ∗ (A+ \ A−) =μ ∗ (A+ \ A)+μ ∗ (A \ A−) =0. ✷
Bemerkung 1.67. (Regularität von Maßen) (Vergleiche auch Satz 13.6 auf Seite
236.) Sei λ n das Lebesgue-Maß auf (R n , B(R n )). SeiA der Semiring der Quader
der Form [a, b) ⊂ R n . Nach Satz 1.23 ist B(R n )=σ(A). Nach dem Approximationssatz
gibt es zu A ∈B(R n ) und ε>0 abzählbar viele A1,A2,... ∈A
mit
λ n� ∞ �
�
Ai \ A

32 1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.69. Ein Maßraum (Ω,A,μ) heißt vollständig, falls Nμ ⊂A.
Bemerkung 1.70 (Vervollständigung eines Maßraums). Sei (Ω,A,μ) ein Maßraum.
Es gibt genau eine kleinste σ-Algebra A ∗ ⊃ A und eine Fortsetzung
μ ∗ von μ auf A ∗ , sodass (Ω,A ∗ ,μ ∗ ) vollständig ist. (Ω,A ∗ ,μ ∗ ) heißt die Ver-
vollständigung von (Ω,A,μ). In der Notation des Beweises von Satz 1.53 ist
�
Ω,M(μ ∗ ),μ ∗� �
� ∗
M(μ )
diese Vervollständigung.
Ferner ist M(μ ∗ )=σ(A∪Nμ) ={A ∪ N : A ∈A,N∈Nμ} und μ ∗ (A ∪ N) =
μ(A) für jedes A ∈Aund N ∈Nμ.
Da wir diese Aussagen im Folgenden nicht benötigen werden, verzichten wir auf
den Beweis und verweisen auf die gängigen Maßtheoriebücher, etwa [43].
Beispiel 1.71. Ist λ das Lebesgue-Maß (genauer: das Lebesgue-Borel-Maß) auf
(Rn , B(Rn )), solässt sich λ eindeutig fortsetzen zu einem Maß λ∗ auf
B ∗ (R n )=σ(B(R n ) ∪N),
wo N die Menge der Teilmengen der Lebesgue-Borel’schen Nullmengen bezeichnet.
B ∗ (R n ) heißt σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen. Zur Unterscheidung
wird manchmal λ das Lebesgue-Borel-Maß genannt und λ ∗ das Lebesgue-
Maß. Wir werden diese Unterscheidung im Folgenden aber nicht benötigen. ✸
Beispiel 1.72. Sei μ = δω auf einem Messraum (Ω,A). Ist{ω} ∈A, so ist die
Vervollständigung A ∗ = 2 Ω , μ ∗ = δω. Im Extremfall der trivialen σ-Algebra
A = {∅,Ω} hingegen ist Nμ = {∅}, also die Vervollständigung A ∗ = {∅,Ω},
μ ∗ = δω. Man beachte, dass man auf dieser trivialen σ-Algebra die Dirac-Maße zu
verschiedenen Punkten aus Ω nicht unterscheiden kann. ✸
Definition 1.73. Sei (Ω,A,μ) ein Messraum und Ω ′ ∈A. Dann wird durch
μ � � (A) :=μ(A) für A ∈A mit A ⊂ Ω′
′
Ω
ein Maß auf der Spur-σ-Algebra A � � definiert. Dieses Maß nennen wir die Ein-
′
Ω
schränkung von μ auf Ω ′ .
Beispiel 1.74. Die Einschränkung des Lebesgue-Borel-Maßes λ von (R, B(R)) auf
[0, 1] ist ein W-Maß auf ([0, 1], B(R) � � ). Allgemeiner nennen wir für messbares
[0,1]
A ∈B(R) die Einschränkung λ � � das Lebesgue-Maß auf A. Oftmals wird als Sym-
A
bol wieder λ verwendet, weil wir nicht zu viele kleinliche Unterscheidungen treffen
wollen.
Wir sehen später (Korollar 1.84), dass B(R) � � = B(A), wobei B(A) die Borel’sche
A
σ-Algebra auf A ist, die von den in A (relativ) offenen Mengen erzeugt wird. ✸

1.4 Messbare Abbildungen 33
Beispiel 1.75 (Gleichverteilung). Ist A ∈B(Rn ) mit n-dimensionalem Lebesgue-
Maß λn (A) ∈ (0, ∞), so wird durch
μ(B) := λn (B)
λn für B ∈B(R
(A)
n ),B⊂ A,
ein W-Maß auf B(Rn ) � � definiert. Wir nennen μ die uniforme Verteilung oder
A
Gleichverteilung auf A und schreiben UA := μ. ✸
Übung 1.3.1. Man zeige die folgende Verallgemeinerung von Beispiel 1.58(iv): Ein
Maß �∞ αnδxn n=1 ist genau dann ein Lebesgue-Stieltjes Maß zu einer geeigneten
Funktion F ,wenn �
n: |xn|≤K αn < ∞ für jedes K>0 gilt. ♣
Übung 1.3.2. Sei Ω eine überabzählbare Menge und ω0 ∈ Ω ein beliebiges Element.
Sei A = σ({ω} : ω ∈{ω0}).
(i) Charakterisiere A ähnlich wie in Übung 1.1.4 (Seite 11).
(ii) Zeige, dass (Ω,A,δω0 ) vollständig ist. ♣
Übung 1.3.3. Sei (μn)n∈N eine Folge von endlichen Maßen auf dem Messraum
(Ω,A). Für jedes A ∈Aexistiere der Grenzwert μ(A) := lim
n→∞ μn(A).
Man zeige: μ ist ein Maß auf (Ω,A).
Hinweis: Zu zeigen ist insbesondere die ∅-Stetigkeit von μ. ♣
1.4 Messbare Abbildungen
Eine Zwangshandlung in der Mathematik ist es, Homomorphismen zwischen Objekten
anzugeben, also strukturerhaltende Abbildungen. Für topologische Räume
sind dies die stetigen Abbildungen, für Messräume die messbaren Abbildungen.
Seien im Folgenden stets (Ω,A) und (Ω ′ , A ′ ) Messräume.
Definition 1.76 (Messbare Abbildungen).
(i) Eine Abbildung X : Ω → Ω ′ heißt A – A ′ -messbar (oder kurz: messbar),
falls X −1 (A ′ ):={X −1 (A ′ ):A ′ ∈A ′ }⊂Aist, falls also
X −1 (A ′ ) ∈A für jedes A ′ ∈A ′ .
Ist X messbar, so schreiben wir auch X :(Ω,A) → (Ω ′ , A ′ ).
(ii) Ist Ω ′ = R und A ′ = B(R) die Borel’sche σ-Algebra auf R, soheißtX :
(Ω,A) → (R, B(R)) kurz eine reelle A-messbare Abbildung.

34 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beispiel 1.77. (i) Die Identität id : Ω → Ω ist A – A-messbar.
(ii) Ist A =2 Ω oder A ′ = {∅,Ω ′ }, so ist jede Abbildung X : Ω → Ω ′ schon A
– A ′ -messbar.
(iii) Sei A ⊂ Ω. Die Indikatorfunktion A : Ω →{0, 1} ist genau dann A –
2 {0,1} -messbar, wenn A ∈A. ✸
Satz 1.78 (Erzeugte σ-Algebra). Sei (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum und Ω eine nichtleere
Menge sowie X : Ω → Ω ′ eine Abbildung. Das Urbild
X −1 (A ′ ):={X −1 (A ′ ): A ′ ∈A ′ } (1.15)
ist die kleinste σ-Algebra, bezüglich der X messbar ist. Wir nennen σ(X) :=
X −1 (A ′ ) die von X erzeugte σ-Algebra auf Ω.
Beweis. Übung! ✷
Wir wollen nun σ-Algebren betrachten, die von mehreren Abbildungen erzeugt werden.
Definition 1.79 (Erzeugte σ-Algebra). Sei Ω eine nichtleere Menge. Sei I eine
beliebige Indexmenge, und für jedes i ∈ I sei (Ωi, Ai) ein Messraum sowie Xi :
Ω → Ωi eine beliebige Abbildung. Dann heißt
� � � �
�
�
σ(Xi, i∈ I) :=σ σ(Xi) = σ
i∈I
i∈I
X −1
i (Ai)
die von (Xi, i∈ I) erzeugte σ-Algebra auf Ω. Dies ist die kleinste σ-Algebra,
bezüglich der jedes Xi messbar ist.
Wie bei stetigen oder linearen Abbildungen gibt es eine Verknüpfungseigenschaft.
Satz 1.80 (Verknüpfung von Abbildungen). Sind (Ω,A), (Ω ′ , A ′ ) und (Ω ′′ , A ′′ )
Messräume sowie X : Ω → Ω ′ messbar und X ′ : Ω ′ → Ω ′′ messbar, so ist die
Abbildung Y := X ′ ◦ X : Ω → Ω ′′ , ω ↦→ X ′ (X(ω)) messbar bezüglich A – A ′′ .
Beweis. Es ist Y −1 (A ′′ )=X −1 ((X ′ ) −1 (A ′′ )) ⊂ X −1 (A ′ ) ⊂A. ✷
Praktisch kann man die Messbarkeit einer Abbildung X kaum prüfen, indem man
sämtliche Urbilder X −1 (A ′ ), A ′ ∈A ′ auf Messbarkeit hin untersucht. Dafür sind
die meisten σ-Algebren A ′ einfach zu groß. Glücklicherweise reicht hier die Betrachtung
eines Erzeugers von A ′ aus:

1.4 Messbare Abbildungen 35
Satz 1.81 (Messbarkeit auf einem Erzeuger). Für jedes System E ′ ⊂A ′ von
A ′ -messbaren Mengen gilt σ(X −1 (E ′ )) = X −1 (σ(E ′ )) und damit
X ist A – σ(E ′ )-messbar ⇐⇒ X −1 (E ′ ) ∈A für jedes E ′ ∈E ′ .
Ist speziell σ(E ′ )=A ′ , dann gilt
X ist A – A ′ -messbar ⇐⇒ X −1 (E ′ ) ⊂A.
Beweis. Offenbar ist X −1 (E ′ ) ⊂ X −1 (σ(E ′ )) = σ(X −1 (σ(E ′ ))). Also ist auch
σ(X −1 (E ′ )) ⊂ X −1 (σ(E ′ )).
Für die andere Inklusion betrachten wir das Mengensystem
A ′ 0 := � A ′ ∈ σ(E ′ ):X −1 (A ′ ) ∈ σ(X −1 (E ′ )) �
und zeigen zunächst, dass A ′ 0 eine σ-Algebra ist, indem wir die Punkte (i)-(iii) aus
Definition 1.2 prüfen:
(i) Offensichtlich ist Ω ′ ∈A ′ 0.
(ii) (Komplementstabilität) Ist A ′ ∈A ′ 0,soist
X −1 ((A ′ ) c )=(X −1 (A ′ )) c ∈ σ(X −1 (E ′ )),
also (A ′ ) c ∈A ′ 0.
(iii) (σ-∪-Stabilität) Seien A ′ 1,A ′ 2,...∈A ′ 0.Dannist
X −1
�
∞�
n=1
also ist � ∞
n=1 A′ n ∈A ′ 0.
A ′ n
�
∞�
= X −1 (A ′ n) ∈ σ(X −1 (E ′ )),
n=1
Wegen E ′ ⊂A ′ 0 ist A ′ 0 = σ(E ′ ), also X −1 (A ′ ) ∈ σ(X −1 (E ′ )) für jedes A ′ ∈ σ(E ′ )
und damit X −1 (σ(E ′ )) ⊂ σ(X −1 (E ′ )). ✷
Korollar 1.82 (Messbarkeit von verknüpften Abbildungen). Sei I eine nichtleere
Indexmenge sowie (Ω,A), (Ω ′ , A ′ ) und (Ωi, Ai) Messräume, i ∈ I. Sei ferner
(Xi : i ∈ I) eine Familie messbarer Abbildungen Xi : Ω ′ → Ωi mit der Eigenschaft
A ′ = σ(Xi : i ∈ I). Dann gilt: Eine Abbildung Y : Ω → Ω ′ ist genau dann
A-A ′ messbar, wenn Xi ◦ Y messbar ist bezüglich A-Ai für jedes i ∈ I.
Beweis. Ist Y messbar, so ist nach Satz 1.80 jedes Xi ◦ Y messbar. Sei nun jede
der zusammengesetzten Abbildungen Xi ◦ Y messbar bezüglich A-Ai. Die Menge
E ′ := {X −1
i (A ′′ ): A ′′ ∈Ai, i∈ I} ist nach Voraussetzung ein Erzeuger von A ′ ,
und es gilt Y −1 (A ′ ) ∈Afür jedes A ′ ∈E ′ wegen der Messbarkeit aller Xi ◦ Y .
Nach Satz 1.81 ist also Y messbar. ✷

36 1 Grundlagen der Maßtheorie
Wir erinnern an den Begriff der Spur eines Mengensystems aus Definition 1.25.
Korollar 1.83 (Spur der erzeugten σ-Algebra). Ist E⊂2Ω und A ⊂ Ω nichtleer,
so gilt σ � E � � �
� = σ(E) �A
A
Beweis. Sei X : A↩→ Ω, ω ↦→ ω die Inklusionsabbildung. Dann ist X−1 (B) =
A ∩ B für jedes B ∈ Ω. Nach Satz 1.81 ist
σ � E � �
� = σ({E ∩ A : E ∈E})
A
= σ({X −1 (E) : E ∈E})=σ(X −1 (E))
= X −1 (σ(E)) = {A ∩ B : B ∈ σ(E)} = σ(E) � � A . ✷
Zur Erinnerung: Für eine Teilmenge A ⊂ Ω eines topologischen Raums (Ω,τ) ist
τ � � die Topologie der in A relativ offenen Mengen. Mit B(Ω,τ) =σ(τ) bezeichnen
A
wir die Borel’sche σ-Algebra auf (Ω,τ).
Korollar 1.84 (Spur der Borel’schen σ-Algebra). Sei (Ω,τ) ein topologischer
Raum und A ⊂ Ω eine beliebige Teilmenge von Ω. Dann gilt
B(Ω,τ) � � = B
A
� A, τ � �
� .
A
Beispiel 1.85. (i) Ist Ω ′ abzählbar, so ist X : Ω → Ω ′ genau dann A – 2Ω′ -
messbar, wenn X−1 ({ω ′ }) ∈Afür jedes ω ′ ∈ Ω ′ .Für überabzählbare Ω ′ ist dies
im Allgemeinen falsch. (Man betrachte etwa Ω = Ω ′ = R, A = B(R), X(ω) =ω
für jedes ω ∈ Ω. Offenbar ist X−1 (ω) ={ω} ∈B(R). Ist andererseits A ⊂ R
nicht in B(R), soistA∈ 2R , jedoch X−1 (A) �∈ B(R).)
(ii) Für x ∈ R verabreden wir folgende Schreibweisen für das Ab- und Aufrunden
⌊x⌋ := max{k ∈ Z : k ≤ x} und ⌈x⌉ :== min{k ∈ Z : k ≥ x}. (1.16)
Die Abbildungen R → Z, x ↦→ ⌊x⌋ und x ↦→ ⌈x⌉ sind messbar bezüglich B(R)
– 2 Z ,dennfür jedes k ∈ Z sind die Urbilder {x ∈ R : ⌊x⌋ = k} =[k, k +1)
und {x ∈ R : ⌈x⌉ = k} = (k − 1,k] in B(R). Nach dem Verknüpfungssatz
(Satz 1.80) sind dann für jede messbare Abbildung f :(Ω,A) → (R, B(R)) auch
die Abbildungen ⌊f⌋ und ⌈f⌉ messbar bezüglich A – 2 Z .
(iii) Eine Abbildung X : Ω → R d ist genau dann A – B(R d )-messbar, wenn
X −1 ((−∞,a]) ∈A für jedes a ∈ R d ,
denn σ((−∞,a], a∈ R d )=B(R d ) nach Satz 1.23. Analog gilt dies auch für die
anderen Mengensysteme E1,...,E12 aus Satz 1.23. ✸

1.4 Messbare Abbildungen 37
Beispiel 1.86. Sei d(x, y) =�x − y�2 der gewöhnliche euklidische Abstand auf Rn und B(Rn ,d)=B(Rn ) die Borel’sche σ-Algebra zu der von d erzeugten Topologie.
Für jede Teilmenge A von Rn ist dann B(A, d) =B(Rn ,d) � � . ✸
A
Wir wollen die reellen Zahlen um die Punkte −∞ und +∞ erweitern und definieren
R := R ∪{−∞, +∞}.
Topologisch wollen wir R als die so genannte Zweipunktkompaktifizierung ansehen,
indem wir R als topologisch isomorph zu [−1, 1] betrachten, beispielsweise
vermöge der Abbildung
⎧
⎪⎨ tan(πx/2), falls x ∈ (−1, 1),
ϕ :[−1, 1] → R, x ↦→
⎪⎩
−∞,
∞,
falls x = −1,
falls x =+1.
In der Tat wird durch ¯ d(x, y) = � �ϕ −1 (x)−ϕ −1 (y) � � für x, y ∈ R eine Metrik auf R
definiert, sodass ϕ und ϕ −1 stetig sind (also ist ϕ ein topologischer Isomorphismus).
Mit ¯τ bezeichnen wir die induzierte Topologie auf R, mit τ die gewöhnliche
Topologie auf R.
Korollar 1.87. Es gilt ¯τ � � R = τ, und daher gilt B(R) � � R = B(R).
Ist speziell X :(Ω,A) → (R, B(R)) messbar, so ist X in kanonischer Weise auch
eine R-wertige messbare Abbildung.
Mit R haben wir also eine echte Erweiterung der reellen Zahlen geschaffen, und die
Inklusion R ↩→ R ist messbar.
Satz 1.88 (Messbarkeit stetiger Abbildungen). Sind (Ω,τ) und (Ω ′ ,τ ′ ) topologische
Räume und f : Ω → Ω ′ stetig, dann ist f auch B(Ω) – B(Ω ′ )-messbar.
Beweis. Wegen B(Ω ′ )=σ(τ ′ ) reicht es nach Satz 1.81 zu zeigen, dass f −1 (A ′ ) ∈
σ(τ) für jedes A ′ ∈ τ ′ .Daf stetig ist, gilt aber sogar f −1 (A ′ ) ∈ τ für jedes
A ′ ∈ τ ′ . ✷
Für x, y ∈ R verabreden wir folgende Notationen
x ∨ y =max(x, y) (Maximum),
x ∧ y =min(x, y) (Minimum),
x + =max(x, 0) (Positivteil),
x − =max(−x, 0) (Negativteil),
|x| =max(x, −x) =x − + x + (Absolutbetrag),
sign(x) = {x>0} − {x

38 1 Grundlagen der Maßtheorie
Analog bezeichnen wir für reelle messbare Abbildungen beispielsweise X + =
max(X, 0). Die Abbildungen x ↦→ x + , x ↦→ x − und x ↦→ |x| sind stetig (und
damit nach dem vorangehenden Satz messbar), die Abbildung x ↦→ sign(x) ist offenbar
auch stetig. Wir erhalten also (zusammen mit Korollar 1.82):
Korollar 1.89. Ist X eine reelle oder R-wertige messbare Abbildung, so sind auch
die Abbildungen X − , X + , |X| und sign(X) messbar.
Satz 1.90 (Koordinatenabbildungen sind messbar). Sei (Ω,A) ein Messraum
und f1,...,fn : Ω → R Abbildungen, sowie f := (f1,...,fn) :Ω → R n . Dann
gilt
f ist A – B(R n )-messbar ⇐⇒ jedes fi ist A – B(R)-messbar.
Die Aussage gilt analog für fi : Ω → R := R ∪{±∞}.
Beweis. Für b ∈ R n ist f −1 ((−∞,b)) = n�
i=1
f −1
i ((−∞,bi)). Ist jedes fi messbar,
so ist also f −1 ((−∞,b)) ∈A. Die Quader (−∞,b), b ∈ R n , erzeugen aber B(R n ),
und daher ist dann f messbar. Sei nun f messbar. Für i =1,...,nsei πi : R n → R,
x ↦→ xi die i-te Projektion. Offenbar ist πi stetig also B(R n ) – B(R)-messbar. Nach
Satz 1.80 ist auch fi = πi ◦ f messbar. ✷
Für den folgenden Satz vereinbaren wir die Konvention x
0 := 0 für jedes x ∈ R.
Satz 1.91. Sei (Ω,A) ein Messraum und f,g : (Ω,A) → (R n , B(R n )) sowie
h :(Ω,A) → (R, B(R)) messbar. Dann sind auch die Abbildungen f + g, f − g,
f · h und f/h messbar.
Beweis. Die Abbildung π : Rn × R → Rn , (x, α) ↦→ α · x ist stetig, also messbar.
Nach Satz 1.90 ist (f,h) :Ω → Rn × R messbar, also auch die zusammengesetzte
Abbildung f · h = π ◦ (f,h). Analog folgt die Messbarkeit von f + g und f − g.
Um die Messbarkeit von f/h zu zeigen, definieren wir H : R → R, x ↦→ 1/x.
Nach unserer Konvention ist H(0) = 0. Dannistf/h = f · H ◦ h. Es reicht also
zu zeigen, dass H messbar ist. Offenbar ist H � � stetig. Für offenes U ⊂ R ist
R\{0}
auch U \{0} offen und damit H−1 (U \{0}) ∈B(R).FerneristH−1 ({0}) ={0}.
Also ist schließlich H−1 (U) =H−1 (U \{0}) ∪ (U ∩{0}) ∈B(R). ✷
Satz 1.92. Sind X1,X2,... messbare Abbildungen (Ω,A) → (R, B(Rq)), dann
sind auch die folgenden Abbildungen messbar:
inf
n∈N Xn, sup Xn, lim inf
n→∞ Xn, lim sup Xn.
n∈N
n→∞

Beweis. Für jedes a ∈ R gilt
�
inf
n∈N Xn
�−1 ([−∞,a)) =
∞�
n=1
1.4 Messbare Abbildungen 39
X −1
n ([−∞,a)) ∈A.
Nach Satz 1.81 folgt hieraus die Messbarkeit von inf
n∈N Xn. Analog geht der Beweis
für sup Xn.
n∈N
Für n ∈ N setzen wir Yn := inf
m≥n Xm. DannistYnmessbar, und damit auch
lim inf Yn. Analog folgt der Beweis für den Limes superior. ✷
n→∞ Xn := sup
n∈N
Ein wichtiges Beispiel für messbare Abbildungen (Ω,A) → (R, B(R)) sind Elementarfunktionen.
Definition 1.93 (Elementarfunktion). Sei (Ω,A) ein Messraum. Eine Abbildung
f : Ω → R heißt Elementarfunktion, wenn es ein n ∈ N und paarweise disjunkte,
messbare Mengen A1,...,An ∈A, sowie Zahlen α1,...,αn ∈ R gibt mit
n�
f = αi Ai .
i=1
Bemerkung 1.94. Eine messbare Abbildung, die nur endlich viele Werte annimmt
ist eine Elementarfunktion. (Übung!) ✸
Definition 1.95. Sind f,f1,f2,...Abbildungen Ω → R mit
f1(ω) ≤ f2(ω) ≤ ... und lim
n→∞ fn(ω) =f(ω) für jedes ω ∈ Ω,
so schreiben wir fn ↑ f und sagen, dass (fn)n∈N punktweise monoton aufsteigend
gegen f konvergiert. Analog schreiben wir fn ↓ f, falls (−fn) ↑ (−f).
Satz 1.96. Sei (Ω,A) ein Messraum und f : Ω → [0, ∞] messbar. Dann gelten
die folgenden Aussagen.
(i) Es gibt eine Folge nichtnegativer Elementarfunktionen (fn)n∈N mit fn ↑ f.
∞�
(ii) Es gibt A1,A2,...∈Aund α1,α2,...≥ 0 mit f = αn An .
Beweis. (i) Für n ∈ N0 definiere fn =(2 −n ⌊2 n f⌋) ∧ n. Dannistfn messbar
(nach Satz 1.92 und Beispiel 1.85(ii)) und nimmt höchstens n2 n +1Werte an, ist
also eine Elementarfunktion. Offenbar gilt fn ↑ f.
n=1

40 1 Grundlagen der Maßtheorie
(ii) Seien fn wie oben, Bn,i := {ω : fn(ω)−fn−1(ω) =i 2 −n } und βn,i = i 2 −n
für n ∈ N und i =1,...,2n .Manüberlege sich, dass �2 n
i=1 Bn,i = Ω. Dannist
fn − fn−1 = 2n �
βn,i Bn,i . Nach Umnummerierung (n, i) ↦→ m erhalten wir
i=1
(αm)m∈N und (Am)m∈N, sodass
f = f0 +
∞�
(fn − fn−1) =
n=1
∞�
m=1
αm Am . ✷
Als Korollar zu dieser Strukturaussage für messbare [0, ∞]-wertige Abbildungen
zeigen wir das Faktorisierungslemma.
Korollar 1.97 (Faktorisierungslemma). Seien (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum und Ω eine
nichtleere Menge. Sei f : Ω → Ω ′ eine Abbildung. Eine Abbildung g : Ω → R
ist genau dann messbar bezüglich σ(f) – B(R), wenn es eine messbare Abbildung
ϕ :(Ω ′ , A ′ ) → (R, B(R)) gibt mit g = ϕ ◦ f.
Beweis. ” ⇐= “ Ist ϕ messbar und g = ϕ ◦ f, soistg messbar nach Satz 1.80.
” =⇒ “ Sei nun g messbar bezüglich σ(f) – B(R). Wir betrachten zunächst den
Fall, wo g nichtnegativ ist. Dann existieren messbare Mengen A1,A2 ... ∈ σ(f)
sowie Zahlen α1,α2,...,∈ [0, ∞) mit g = �∞ n=1 αn An .NachderDefinition
von σ(f) gibt es für jedes n ∈ N eine Menge Bn ∈A ′ mit f −1 (Bn) =An, also
mit An = Bn ◦ f.Wirdefinieren nun ϕ : Ω′ → R durch
ϕ =
∞�
αn Bn
n=1
.
Offenbar ist ϕ messbar bezüglich A ′ – B(R), und es gilt g = ϕ ◦ f.
Sei nun der allgemeine Fall betrachtet, wo g auch negative Werte annehmen kann.
Dann existieren messbare Abbildungen ϕ − und ϕ + mit g − = ϕ − ◦ f und g + =
ϕ + ◦ f. Daher leistet ϕ := ϕ + − ϕ − das Gewünschte. ✷
Mit einer messbaren Abbildung wird auch ein Maß von einem Raum auf einen anderen
transportiert.
Definition 1.98 (Bildmaß). Seien (Ω,A) und (Ω ′ , A ′ ) Messräume und μ ein Maß
auf (Ω,A). Ferner sei X :(Ω,A) → (Ω ′ , A ′ ) messbar. Das durch
μ ◦ X −1 : A ′ → [0, ∞], A ′ ↦→ μ(X −1 (A ′ ))
definierte Maß auf (Ω ′ , A ′ ) heißt Bildmaß von μ unter X.

1.4 Messbare Abbildungen 41
Beispiel 1.99. Sei μ ein Maß auf Z2 und X : Z2 → Z, (x, y) ↦→ x + y. Dannist
μ ◦ X −1 ({x}) = �
μ({x − y, y}). ✸
y∈Z
Beispiel 1.100. Ist L : R n → R n eine bijektive lineare Abbildung und λ das
Lebesgue-Maß auf (R n , B(R n )), soistλ ◦ L −1 = | det(L)| −1 λ. Dies ist klar, weil
für a, b ∈ R n mit a

42 1 Grundlagen der Maßtheorie
(i) Zeige: A = σ(Xn : n ∈ N).
(ii) Zeige: U ist A–B([0, 1]) messbar.
(iii) Bestimme das Bildmaß μ ◦ U −1 auf ([0, 1], B([0, 1])).
(iv) Man gebe ein Ω0 ∈Aan, sodass Ũ := U�� bijektiv ist.
Ω0
(v) Man zeige, dass Ũ −1 messbar ist bezüglich B([0, 1])–A � � .
Ω0
(vi) Welche Interpretation hat die Abbildung Xn ◦ Ũ −1 ? ♣
1.5 Zufallsvariablen
In diesem Abschnitt werden wir messbare Abbildungen als Zufallsvariablen auffassen,
die zufällige Beobachtungen beschreiben. Wir definieren den Begriff der
Verteilung von Zufallsvariablen.
Im Folgenden sei stets (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Mengen A ∈A
heißen Ereignisse. P[A] wird als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass A eintritt.
Oft ist allerdings nicht der Wahrscheinlichkeitsraum selbst betrachtbar, sondern
nur gewisse Beobachtungsgrößen. Wir wollen also Wahrscheinlichkeiten dafür definieren,
dass Zufallsgrößen bestimmte Werte annehmen und einen Kalkül für, zum
Beispiel, Summen von Zufallsgrößen entwickeln.
Definition 1.102 (Zufallsvariablen). Sei (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum und X : Ω →
Ω ′ messbar.
(i) X heißt Zufallsvariable mit Werten in (Ω ′ , A ′ ).Ist(Ω ′ , A ′ )=(R, B(R)),so
nennen wir X eine reelle Zufallsvariable oder schlicht Zufallsvariable.
(ii) Ist A ′ ∈A ′ , so schreiben wir {X ∈ A ′ } := X−1 (A ′ ) und P[X ∈ A ′ ]:=
P[X−1 (A ′ )]. Speziell schreiben wir {X ≥ 0} := X−1 ([0, ∞)) und analog
{X ≤ b} und so weiter.
Definition 1.103 (Verteilungen). Sei X eine Zufallsvariable.
(i) Das W-Maß PX := P ◦ X−1 heißt Verteilung von X.
(ii) Ist X eine reelle Zufallsvariable, so heißt die Abbildung FX : x ↦→ P[X ≤ x]
die Verteilungsfunktion von X (eigentlich von PX). Ist μ = PX, soschreiben
wir auch X ∼ μ und sagen, dass X nach μ verteilt ist.
(iii) Eine Familie (Xi)i∈I heißt identisch verteilt, falls PXi = PXj für alle
i, j ∈ I. Wir schreiben X D = Y , falls PX = PY (D für distribution).

1.5 Zufallsvariablen 43
Satz 1.104. Zu jeder Verteilungsfunktion F existiert eine reelle Zufallsvariable X
mit FX = F .
Beweis. Wir müssen explizit einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) und eine
Zufallsvariable X : Ω → R angeben mit FX = F .
Die einfachste Möglichkeit ist, (Ω,A) =(R, B(R)) zu wählen, X : R → R die
identische Abbildung und P das Lebesgue-Stieltjes Maß mit Verteilungsfunktion F
(siehe Beispiel 1.56).
Eine andere Möglichkeit, die zudem etwas lehrreicher ist, beruht darauf, zunächst
unabhängig vom konkreten F eine Art Standard-Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren,
auf dem eine uniform auf (0, 1) verteilte Zufallsvariable definiert ist, die
dann vermöge der Umkehrabbildung F −1 zu einer Zufallsvariablen X mit Verteilungsfunktion
F transformiert wird: Wir wählen Ω := (0, 1), A := B(R) � � und
Ω
P das Lebesgue-Maß auf (Ω,A) (siehe Beispiel 1.74). Definiere die (linkssstetige)
Inverse von F
Dann ist
F −1 (t) :=inf{x ∈ R : F (x) ≥ t} für t ∈ (0, 1).
F −1 (t) ≤ x ⇐⇒ t ≤ F (x).
Speziell ist {t : F −1 (t) ≤ x} =(0,F(x)] ∩ (0, 1), also ist F −1 :(Ω,A) →
(R, B(R)) messbar und
P[{t : F −1 (t) ≤ x}] =F (x).
Mithin ist X := F −1 die gewünschte Zufallsvariable. ✷
Beispiel 1.105. Wir geben zu verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R
reelle Zufallsvariablen X mit ebendieser Verteilung an. (Der konkrete Ort in diesem
Buch dient lediglich als Vorwand, um ein paar der wichtigsten Verteilungen
einzuführen, auf die wir bei späteren Gelegenheiten immer wieder zurückkommen.)
(i) Ist p ∈ [0, 1] und P[X =1]=p, P[X =0]=1−p,soheißtPX =: Berp die
Bernoulli-Verteilung mit Parameter p. Formal ist
Berp =(1− p) δ0 + pδ1,
und die Verteilungsfunktion ist
⎧
⎨ 0, falls x

44 1 Grundlagen der Maßtheorie
so heißt PX =: bn,p die Binomialverteilung mit Parametern n und p. Formal ist
bn,p =
n�
k=0
(iii) Ist p ∈ (0, 1] und X : Ω → N0 mit
P[X = n] =p (1 − p) n
� �
n
p
k
k (1 − p) n−k δk.
für jedes n ∈ N0,
so heißt γp := b − 1,p := PX die geometrische Verteilung 1 mit Parameter p. Formal
können wir schreiben:
Die Verteilungsfunktion ist
γp =
n=0
∞�
p (1 − p) n δn.
F (x) =1− (1 − p) ⌊x⌋∨0
für x ∈ R.
Wir können X +1als die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei unabhängigen“
”
Zufallsexperimenten auffassen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg
führen. In der Tat: Sei Ω = {0, 1} N und P das Produktmaß � �⊗N (1 − p)δ0 + pδ1
(Satz 1.64), sowie A = σ([ω1,...,ωn] : ω1,...,ωn ∈{0, 1}, n∈ N). Wir setzen
X(ω) :=inf{n ∈ N : ωn =1}−1,
mit der Konvention inf ∅ = ∞. Offenbar ist jede der Abbildungen
Xn : Ω → R,
�
n − 1,
ω ↦→
∞,
falls ωn =1,
falls ωn =0,
A – B(R)-messbar und X = infn∈N Xn. AlsoistX auch A – B(R)-messbar,
also eine Zufallsvariable. Sei ω 0 := (0, 0,...) ∈ Ω. DannistP[X ≥ n] =
P[[ω 0 1,...,ω 0 n]] = (1 − p) n .Alsoist
P[X = n] =P[X ≥ n] − P[X ≥ n +1]=(1− p) n − (1 − p) n+1 = p (1 − p) n .
(iv) Seien r>0 (nicht notwendigerweise ganzzahlig) und p ∈ (0, 1]. Mit
b − r,p :=
∞�
k=0
� �
−r
(−1)
k
k p r (1 − p) k δk
(1.17)
bezeichnen wir die negative Binomialverteilung oder Pascal-Verteilung mit Parametern
r und p. (Hierbei ist � � x x(x−1)···(x−k+1)
k = für x ∈ R und k ∈ N der
1
Obacht: Manche Autoren nennen die um Eins verschobene Verteilung auf N die geometrische
Verteilung.
k!

1.5 Zufallsvariablen 45
verallgemeinerte Binomialkoeffizient.) Für r ∈ N ist b − r,p, ähnlich wie im vorangehenden
Beispiel, die Verteilung der Wartezeit auf den r-ten Erfolg bei unabhängigen
Versuchen. Wir werden hierauf in Beispiel 3.4(iv) zurückkommen.
(v) Ist λ ∈ [0, ∞) und X : Ω → N0 mit
−λ λn
P[X = n] =e
n!
für jedes n ∈ N0,
so heißt PX =: Poiλ die Poisson-Verteilung mit Parameter λ.
(vi) Die hypergeometrische Verteilung mit Parametern S, W, n ∈ N
� �� S W �
HypS,W,n({s}) =
s n−s
� , s ∈{0,...,n}, (1.18)
� S+W
n
gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und W weißen Kugeln
bei n-maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau s schwarze Kugeln zu ziehen.
(vii) Seien μ ∈ R, σ 2 > 0 und X reell mit
P[X ≤ x] =
1
√ 2πσ 2
� x
−∞
(t−μ)2
−
e 2σ2 dt für x ∈ R,
Dann heißt PX =: N μ,σ 2 Gauß’sche Normalverteilung mit Parametern μ und σ 2 .
(viii) Ist X ≥ 0 reell und θ>0,sowie
P[X ≤ x] =P[X ∈ [0,x]] =
� x
0
θe −θt dt für x ≥ 0,
so heißt PX Exponentialverteilung mit Parameter θ (kurz: exp θ).
(ix) Ist X Rd-wertig, μ ∈ Rd , Σ eine positiv definite d × d Matrix und
P[X ≤ x] = det(2πΣ) −1/2
� �
exp − 1
�
t − μ, Σ
2
−1 ��
(t − μ) λ d (dt)
(−∞,x]
für x ∈ R d (wobei 〈 · , · 〉 das Skalarprodukt im R d bezeichnet), so heißt PX =:
Nμ,Σ die d-dimensionale Normalverteilung mit Parametern μ und Σ. ✸
Definition 1.106. Hat die Verteilungsfunktion F : R n → [0, 1] die Gestalt
F (x) =
� x1
dt1 ···
−∞
� xn
dtn f(t1,...,tn) für x =(x1,...,xn) ∈ R
−∞
n ,
für eine integrierbare Funktion f : R n → [0, ∞), so heißt f die Dichte der Verteilung.

46 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beispiel 1.107. (i) Für θ, r > 0 heißt die Verteilung Γθ,r auf [0, ∞) mit Dichte
x ↦→ θr
Γ (r) xr−1 e −θx
(wo Γ die Gamma-Funktion bezeichnet) Gamma-Verteilung mit Größenparameter
θ und Formparameter r.
(ii) Für r, s > 0 heißt die Verteilung βr,s auf [0, 1] mit Dichte
x ↦→
Γ (r + s)
Γ (r)Γ (s) xr−1 (1 − x) s−1
Beta-Verteilung mit Parametern r und s.
(iii) Für a>0 heißt die Verteilung Caua auf R mit Dichte
x ↦→ 1 1
aπ 1+(x/a) 2
Cauchy-Verteilung mit Parameter a. ✸
Übung 1.5.1. Man leite (1.17) nach der Interpretation als Wartezeit kombinatorisch
her unter Benutzung der Identität � � � � −n k n+k−1
k (−1) = k . ♣
Übung 1.5.2. Man gebe ein Beispiel an für zwei normalverteilte X und Y , sodass
(X, Y ) nicht (zweidimensional) normalverteilt ist. ♣
Übung 1.5.3. Man zeige mit Hilfe von Satz 1.101 (Transformationsformel für Dichten):
(i) Ist X ∼N μ,σ 2 und sind a ∈ R\{0} und b ∈ R,soist(aX +b) ∼N aμ+b,a 2 σ 2.
(ii) Ist X ∼ exp θ und a>0,soistaX ∼ exp θ/a. ♣

2 Unabhängigkeit
Die Maßtheorie aus dem vorigen Kapitel ist eine lineare Theorie, die keine Abhängigkeitsstrukturen
zwischen Ereignissen oder Zufallsvariablen kennt. Wir betreten
das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie genau an dieser Stelle mit der Definition
der Unabhängigkeit von Ereignissen und schließlich von Zufallsvariablen. Die
Unabhängigkeit ist ein zentraler Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Quantifizierung
von Abhängigkeiten eines ihrer wichtigen Anliegen.
Fortan ist stets (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und die Mengen A ∈A
sind die Ereignisse. Sobald wir die Phase hinter uns gelassen haben, in der wir W-
Räume explizit konstruieren, wird der konkrete W-Raum in den Hintergrund treten,
und die beobachtbaren Größen, also Zufallsvariablen, werden an Bedeutung gewinnen.
Das fett gedruckte P steht dann für das universelle Objekt des W-Maßes, und
Wahrscheinlichkeiten P[ · ] bezüglich P werden stets mit eckigen Klammern geschrieben.
2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen
Wir wollen zwei Ereignisse A und B als (stochastisch) unabhängig betrachten, wenn
das Eintreten von A nicht die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, dass zudem B eintritt.
Etwas formaler können wir diesen intuitiven Begriff fassen, indem wir A und B als
unabhängig betrachten, wenn
P[A ∩ B] =P[A] · P[B]. (2.1)
Beispiel 2.1 (Zweifacher Würfelwurf). Wir betrachten das Zufallsexperiment des
zweifachen Würfelwurfes. Es ist also Ω = {1,...,6} 2 mit der σ-Algebra A =2Ω und der Gleichverteilung P = UΩ (siehe Beispiel 1.30(ii)).
(i) Zwei Ereignisse A und B sollten unabhängig sein, wenn A nur vom Ergebnis
des ersten Wurfes abhängt, B hingegen nur vom Ergebnis des zweiten Wurfes.
Formal beschreiben wir diese Situation, indem wir annehmen, dass es Mengen
Ã, ˜ B ⊂{1,...,6} gibt mit
A = Ã ×{1,...,6} und B = {1,...,6}× ˜ B.

48 2 Unabhängigkeit
Wir prüfen jetzt, dass A und B tatsächlich (2.1) erfüllen. Dazu berechnen wir
P[A] = #A #Ã
#B
36 = 6 und P[B] = 36 = # ˜ B
6 . Ferner ist
P[A ∩ B] = #(Ã × ˜ B)
=
36
#Ã
6 · # ˜ B
= P[A] · P[B].
6
(ii) Stochastische Unabhängigkeit kann auch in weniger augenfälligen Situationen
auftreten. Sei hierzu A das Ereignis, dass die Augensumme ungerade ist,
A = � (ω1,ω2) ∈ Ω : ω1 + ω2 ∈ {3, 5, 7, 9, 11} � , und B das Ereignis, dass
der erste Wurf höchstens eine Drei bringt, B = {(ω1,ω2) ∈ Ω : ω1 ∈{1, 2, 3} � .
Obwohl beide Ereignisse anscheinend etwas miteinander zu tun haben, sind sie stochastisch
unabhängig, denn es gilt, wie man leicht prüft, P[A] =P[B] = 1
2 und
P[A ∩ B] = 1
4 . ✸
Wann sind nun drei Ereignisse A1,A2,A3 unabhängig? Hierzu muss natürlich jedes
der Paare (A1,A2), (A1,A3) und (A2,A3) unabhängig sein. Jedoch wollen
wir auch sicherstellen, dass beispielsweise das Eintreten von A1 und A2 nicht die
Wahrscheinlichkeit für das zusätzliche Eintreten von A3 beeinflusst. Wir müssen
also mehr als nur Paare betrachten.
Formal nennen wir daher drei Ereignisse A1,A2 und A3 (stochastisch) unabhängig,
falls
P[Ai ∩ Aj] =P[Ai] · P[Aj] für alle i, j ∈{1, 2, 3}, i�= j, (2.2)
und
P[A1 ∩ A2 ∩ A3] =P[A1] · P[A2] · P[A3]. (2.3)
Man beachte, dass (2.3) nicht aus (2.2) folgt (und (2.2) nicht aus (2.3)).
Beispiel 2.2 (Dreifacher Würfelwurf). Wir betrachten den dreifachen Wurf eines
Würfels. Sei also Ω = {1,...,6} 3 ausgestattet mit der diskreten σ-Algebra A =
2Ω und der Gleichverteilung P = UΩ (siehe Beispiel 1.30(ii)).
(i) Hängt für i =1, 2, 3 das Ereignis Ai nur vom i-ten Wurf ab, so sind die Ereignisse
A1, A2 und A3 unabhängig. In der Tat können wir sie wie im vorangehenden
Beispiel für gewisse Mengen Ã1, Ã2, Ã3 ⊂{1,...6} schreiben als
A1 = Ã1 ×{1,...,6} 2 ,
A2 = {1,...,6}× Ã2 ×{1,...,6},
A3 = {1,...,6} 2 × Ã3.
Die Gültigkeit von (2.2) folgt wie in Beispiel 2.1(i). Um (2.3) zu zeigen, berechnen
wir
P[A1 ∩ A2 ∩ A3] = #(Ã1 × Ã2 × Ã3)
216
(ii) Wir betrachten nun die folgenden drei Ereignisse
=
3�
i=1
# Ãi
6 =
3�
P[Ai].
i=1

2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 49
A1 := {ω ∈ Ω : ω1 = ω2},
A2 := {ω ∈ Ω : ω2 = ω3},
A3 := {ω ∈ Ω : ω1 = ω3}.
Dann ist #A1 =#A2 =#A3 =36, also P[A1] =P[A2] =P[A3] = 1
6 . Ferner
ist #(Ai ∩ Aj) =6, falls i �= j, also P[Ai ∩ Aj] = 1
36 . Daher gilt (2.2). Jedoch ist
#(A1 ∩ A2 ∩ A3) =6, also P[A1 ∩ A2 ∩ A3] = 1 1 1 1
36 �= 6 · 6 · 6 , mithin ist (2.3)
verletzt, und die Ereignisse A1,A2,A3 sind nicht unabhängig. ✸
Um für größere Familien von Ereignissen Unabhängigkeit zu definieren, müssen
wir die Gültigkeit von Produktformeln wie (2.2) und (2.3) nunmehr nicht nur für
Paare und Tripel fordern, sondern für alle endlichen Teilfamilien. Wir treffen daher
die folgende Definition.
Definition 2.3 (Unabhängigkeit von Ereignissen). Sei I eine beliebige Indexmenge,
und sei (Ai)i∈I eine beliebige Familie von Ereignissen. Die Familie
(Ai)i∈I heißt unabhängig, falls für jede endliche Teilmenge J ⊂ I gilt, dass
� � �
P = �
P[Aj].
j∈J
Aj
Das wichtigste Beispiel für eine unendlich große, unabhängige Familie von Ereignissen
wird durch die unendliche (unabhängige) Wiederholung eines Zufallsexperiments
gegeben.
Beispiel 2.4. Sei E eine endliche Menge (die möglichen Ausgänge des einzelnen
Experiments) und (pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor auf E. Sei (wie in
Satz 1.64) der Wahrscheinlichkeitsraum Ω = EN ausgestattet mit der σ-Algebra
A = σ({[ω1,...,ωn] :ω1,...,ωn ∈ E, n ∈ N}) und P = ��
e∈E peδe
�⊗N das
Produktmaß (oder Bernoulli-Maß) auf (Ω,A), also P � [ω1,...,ωn] � n�
= pωi .Sei
Ãi ⊂ E für jedes i ∈ N, und Ai das Ereignis, dass Ãi im i-ten Durchgang des
Experiments auftritt, also
Ai = � ω ∈ Ω : ωi ∈ Ãi
� �
=
[ω1,...,ωi].
j∈J
(ω1,...,ωi)∈E i−1 × Ãi
Nach unserer Intuition sollte die Familie (Ai)i∈N unabhängig sein, wenn die Definition
der Unabhängigkeit sinnvoll sein soll. Wir weisen jetzt nach, dass dies in der
Tat richtig ist. Sei J ⊂ N endlich mit k := #J und n := max J. Wir setzen formal
Bj = Aj und ˜ Bj = Ãj für j ∈ J und Bj = Ω und ˜ Bj = E für j ∈{1,...,n}\J.
Dann ist
i=1

50 2 Unabhängigkeit
�
�
P
j∈J
Aj
�
�
�
= P
= �
j∈J
e1∈ ˜ B1
Bj
�
··· �
�
�n
= P
n�
en∈ ˜ Bn
j=1
j=1
Bj
pej =
�
n�
�
�
j=1
e∈ ˜ Bj
pe
�
= �
�
�
j∈J
e∈ Ãj
Dies gilt speziell natürlich für #J =1, also ist P[Ai] = �
e∈Ãi pe für jedes i ∈ N.
Es folgt
�
�
�
P = �
P[Aj]. (2.4)
j∈J
Aj
Da dies für alle endlichen J ⊂ N gilt, ist die Familie (Ai)i∈N unabhängig. ✸
Sind A und B unabhängig, so sind auch A c und B unabhängig, denn P[A c ∩ B] =
P[B] − P[A ∩ B] =P[B] − P[A]P[B] =(1− P[A])P[B] =P[A c ]P[B]. Wir
wollen diese Beobachtung etwas verallgemeinern und als Satz festhalten.
Satz 2.5. Sei I eine beliebige Indexmenge, und sei (Ai)i∈I eine Familie von Ereignissen.
Setze B0 i = Ai und B1 i = Aci für i ∈ I. Dann sind folgende drei Aussagen
äquivalent.
(i) Die Familie (Ai)i∈I ist unabhängig.
(ii) Es gibt ein α ∈{0, 1} I , sodass die Familie (B αi
i )i∈I unabhängig ist.
(iii) Für jedes α ∈{0, 1} I ist die Familie (B αi
i )i∈I unabhängig.
Beweis Übung!
Beispiel 2.6 (Euler’sche Primzahlformel). Die Riemann’sche Zetafunktion ist
definiert durch die Dirichlet-Reihe
∞�
ζ(s) := n −s
für s ∈ (1, ∞).
n=1
Die Euler’sche Primzahlformel ist die Produktdarstellung
ζ(s) = � � −s
1 − p �−1 , (2.5)
p∈P
wobei P := {p ∈ N : p ist Primzahl} ist.
Wir beweisen die Produktdarstellung probabilistisch. Sei Ω = N und (für festes s)
P definiert durch
P[{n}] =ζ(s) −1 n −s
für n ∈ N.
Sei pN = {pn : n ∈ N} und Pn = {p ∈P: p ≤ n}. Wir fassen pN ⊂ Ω als
Ereignis auf und bemerken, dass (pN, p∈P) unabhängig ist. In der Tat: Für k ∈ N
und unterschiedliche p1,...,pk ∈P ist � k
i=1 piN =(p1 ···pk)N, also
j∈J
pe
�
.

2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 51
�
k�
�
∞�
P (piN) = P � {p1 ···pkn} �
i=1
n=1
= ζ(s) −1 (p1 ···pk) −s
=(p1 ···pk) −s =
∞�
n −s
n=1
k�
P[ piN ].
Nach Satz 2.5 ist nun auch ((pN) c ,p∈P) unabhängig. Deshalb gilt
ζ(s) −1 �
�
= P[{1}] =P (pN) c
�
= lim
n→∞ P
� �
= lim
�
n→∞
p∈Pn
p∈Pn
p∈P
(pN) c�
i=1
� � � � −s
1 − P[ pN ] = 1 − p � .
Damit ist (2.5) gezeigt. ✸
Wenn wir einen Würfel unendlich oft werfen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass unendlich oft (also: immer wieder mal) eine Sechs geworfen wird? Diese Wahrscheinlichkeit
sollte Eins sein, denn sonst gäbe es einen letzten Zeitpunkt, zu dem
eine Sechs fällt und danach nicht wieder. Dies wäre zumindest nicht sehr plausibel.
Man erinnere sich daran, wie wir mit Hilfe des Limes superior (Definition 1.13)
formalisiert hatten, dass unendlich viele Ereignisse aus einer Familie von Ereignissen
eintreten. Der folgende Satz bestätigt nun unsere oben geäußerte Vermutung
und gibt zudem Auskunft darüber, unter welchen Bedingungen wir nicht erwarten
können, dass unendlich viele der Ereignisse eintreten.
Satz 2.7 (Lemma von Borel-Cantelli). Seien A1,A2,...Ereignisse, und sei A∗ =
lim sup An.
n→∞
(i) Ist �∞ n=1 P[An] < ∞, soistP[A∗ ]=0. (Hier kann P ein beliebiges Maß
auf (Ω,A) sein.)
(ii) Ist (An)n∈N unabhängig und �∞ n=1 P[An] =∞,soistP[A∗ ]=1.
Beweis. (i) Da P stetig von oben und σ-subadditiv ist, ist nach Voraussetzung
P[A ∗ ] = lim
n→∞ P
�
∞�
�
∞�
Am ≤ lim P[Am] =0.
n→∞
m=n
p∈P
m=n

52 2 Unabhängigkeit
(ii) Offensichtlich ist log(1 − x) ≤−xfür x ∈ [0, 1]. Nach den de Morgan’schen
Regeln und der Stetigkeit von P von unten gilt daher
P � (A ∗ ) c� �
∞�
= P
∞�
A c �
n = lim
m→∞ P
�
∞�
A c �
n .
m=1 n=m
Nun ist aber für jedes m ∈ N
�
�∞
P
�
=
∞� �
1 − P[An] �
n=m
A c n
n=m
�
�∞
=exp
n=m
log � 1 − P[An] ��
�
≤ exp −
n=m
∞�
n=m
�
P[An] =0. ✷
Beispiel 2.8. Wir betrachten den unendlich oft wiederholten Würfelwurf und fragen
nach der Wahrscheinlichkeit, dass unendlich oft die Sechs auftritt. Es ist
also Ω = {1,...,6} N , A = (2 {1,...,6} ) ⊗N die Produkt-σ-Algebra und P =
� �
e∈{1,...,6}
1
6 δe
� ⊗N das Bernoulli-Maß (vergleiche Satz 1.64). Ferner sei An =
{ω ∈ Ω : ωn = 6} das Ereignis, dass beim n-ten Wurf eine Sechs auftritt.
Dann ist A∗ = lim sup An das Ereignis, dass unendlich oft eine Sechs auftritt (sie-
n→∞
he Beispiel 1.14). Ferner ist (An)n∈N eine unabhängige Familie mit ∞�
P[An] =
∞�
n=1
1
6 = ∞ und deshalb nach dem Lemma von Borel-Cantelli P[A∗ ]=1. ✸
Beispiel 2.9. Wir werfen einen Würfel nur einmal und definieren An für jedes n ∈
N als das Ereignis, dass bei diesem (einen) Wurf eine Sechs geworfen wurde. Man
bemerke, dass A1 = A2 = A3 = ... Dann ist �
n∈N P[An] =∞, jedoch P[A∗ ]=
P[A1] = 1
6 . Dies zeigt, dass in Teil (ii) des Lemmas von Borel-Cantelli nicht ohne
weiteres auf die Unabhängigkeit verzichtet werden kann. ✸
Beispiel 2.10. Sei Λ ∈ (0, ∞) und 0 ≤ λn ≤ Λ für n ∈ N. Ferner seien Xn, n ∈ N,
Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit Parametern λn. Dann gilt
Es ist nämlich
∞�
P[Xn ≥ n] =
n=1
P � Xn ≥ n für unendlich viele n � =0.
=
∞�
n=1 m=n
∞�
∞�
P[Xn = m] =
m�
e
m=1 n=1
−λn λmn m! ≤
∞�
m=1 n=1
∞�
m=1
n=1
m�
P[Xn = m]
m Λm
m! = ΛeΛ < ∞. ✸

2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 53
Da im obigen Satz, zumindest im Falle unabhängiger Ereignisse, nur die Wahrscheinlichkeiten
P[A∗ ]=0und P[A∗ ]=1auftreten können, zählt das Lemma
von Borel-Cantelli zu den so genannten 0-1 Gesetzen. Wir werden später weitere
0-1 Gesetze kennen lernen (siehe beispielsweise Satz 2.37).
Wir wollen jetzt den Begriff der Unabhängigkeit von Familien von Ereignissen auf
Familien von Ereignissystemen ausdehnen.
Definition 2.11 (Unabhängigkeit von Mengensystemen). Sei I eine beliebige
Indexmenge und Ei ⊂A für jedes i ∈ I. Die Familie (Ei)i∈I heißt unabhängig,
falls für jede endliche Teilmenge J ⊂ I und für jede Wahl von Ej ∈Ej, j ∈ J,
gilt, dass
�
�
�
P = �
P[Ej]. (2.6)
j∈J
Ej
Beispiel 2.12. Sei (Ω,A, P) wie in Beispiel 2.4 der Produktraum der unendlichen
Wiederholung des Experiments mit Ausgängen in der endlichen Menge E mit
Wahrscheinlichkeitsvektor p =(pe)e∈E. Setze für i ∈ N
j∈J
Ei = � {ω ∈ Ω : ωi ∈ A} : A ⊂ E � .
Dann ist für jede Wahl von Ai ∈Ei, i ∈ N, die Familie (Ai)i∈N unabhängig, also
ist (Ei)i∈N unabhängig. ✸
Satz 2.13. (i) Sei I endlich, und für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Amit Ω ∈Ei. Dann
gilt
(Ei)i∈I ist unabhängig ⇐⇒ (2.6) gilt für J = I.
(ii) (Ei)i∈I ist unabh. ⇐⇒ � (Ej)j∈J ist unabh. für alle endlichen J ⊂ I � .
(iii) Ist (Ei ∪ {∅}) ∩-stabil, dann gilt
(Ei)i∈I ist unabhängig ⇐⇒ (σ(Ei))i∈I ist unabhängig.
(iv) Sei K eine beliebige Menge und (Ik)k∈K paarweise � �
disjunkte Teilmengen
von I.Ist(Ei)i∈Iunabhängig, dann ist auch i∈Ik Ei
�
k∈K unabhängig.
Beweis. (i) ” =⇒ “ Dies ist trivial.
(i) ” ⇐= “ Für J ⊂ I und j ∈ I \ J wähle Ej = Ω.
(ii) Dies ist trivial.
(iii) ” ⇐= “ Dies ist trivial.

54 2 Unabhängigkeit
(iii) ” =⇒ “ Sei J ⊂ I endlich. Wir zeigen: Für je zwei endliche Mengen J und
J ′ mit J ⊂ J ′ ⊂ I gilt
�
�
P
i∈J ′
Ei
�
= �
�
Ei ∈ σ(Ei), falls i ∈ J,
P[Ei] für jede Wahl
Ei ∈Ei, falls i ∈ J ′ \ J.
i∈J ′
(2.7)
Mit J ′ = J ist dies genau die zu zeigende Aussage.
Wir führen den Beweis von (2.7) durch vollständige Induktion nach #J.Für #J =
0 gilt (2.7) nach Voraussetzung des Satzes.
Es gelte nun (2.7) für jedes J mit #J = n und jedes endliche J ′ ⊃ J. Sei solch ein
J gewählt und j ∈ I \ J.SeiJ ′ ⊃ ˜ J := J ∪{j}. Wir zeigen nun die Gültigkeit von
(2.7) mit ˜ J statt mit J.Wegen# ˜ J = n +1ist damit der Induktionsschritt gezeigt.
Sei Ei ∈ σ(Ei) für jedes i ∈ J und Ei ∈Eifür jedes i ∈ J ′ \ (J ∪{j}). Wir
definieren Maße μ und ν auf (Ω,A) durch
�
�
�
μ : Ej ↦→ P
und ν : Ej ↦→ �
P[Ei].
i∈J ′
Ei
Nach Induktionsvoraussetzung (2.7) gilt μ(Ej) =ν(Ej) für jedes Ej ∈Ej∪{∅,Ω}.
Da Ej ∪ {∅} schnittstabil ist, gilt nach Lemma 1.42 auch μ(Ej) =ν(Ej) für jedes
Ej ∈ σ(Ej), das heißt, es gilt (2.7) mit J ∪{j} statt J.
(iv) Dies ist trivial, weil (2.6) nur für J ⊂ I mit
i∈J ′
#(J ∩ Ik) ≤ 1 für jedes k ∈ K,
nachgewiesen werden muss. ✷
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Nachdem wir Unabhängigkeit von Ereignissen behandelt haben, wollen wir auch
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen betrachten. Auch hier läuft die Definition
auf eine Produktformel hinaus. Formal können wir jedoch die Unabhängigkeit der
von Zufallsvariablen erzeugten σ-Algebren als Definition heranziehen. Wir können
dann Verteilungen von Summen unabhängiger Zufallsvariablen vermittels Faltung
ausrechnen. Da wir an dieser Stelle noch keinen allgemeinen Integralbegriff zur
Verfügung haben, bringen wir die Faltung zunächst nur für Zufallsvariablen mit
ganzzahligen Werten.
Sei I eine beliebige Indexmenge, und für jedes i ∈ I sei (Ωi, Ai) ein Messraum
sowie Xi :(Ω,A) → (Ωi, Ai) eine Zufallsvariable mit erzeugter σ-Algebra
σ(Xi) =X −1
i (Ai).

2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 55
Definition 2.14 (Unabhängigkeit von Zufallsvariablen). Die Familie (Xi)i∈I
von Zufallsvariablen heißt unabhängig, falls die Familie (σ(Xi))i∈I von σ-
Algebren unabhängig ist.
Wir schreiben, dass (Xi)i∈I ” u.i.v.“ ist, für ” unabhängig und identisch verteilt“
(englisch: i.i.d.“ für independent and identically distributed“), falls (Xi)i∈I un-
” ”
abhängig ist und PXi = PXj für alle i, j ∈ I gilt.
Bemerkung 2.15. (i) Ist ( Ãi)i∈I eine unabhängige Familie von σ-Algebren und
ist jedes Xi messbar bezüglich Ãi – Ai, soist(Xi)i∈I unabhängig. Dies ist
klar, weil σ(Xi) ⊂ Ãi, also die Bedingung an die Unabhängigkeit von (Xi)i∈I
schwächer ist als die Bedingung an die Unabhängigkeit von ( Ãi)i∈I.
(ii) Für jedes i ∈ I sei (Ω ′ i , A′ i ) ein weiterer Messraum, sowie fi :(Ωi, Ai) →
(Ω ′ i , A′ i ) eine messbare Abbildung. Ist (Xi)i∈I unabhängig, so ist (fi ◦ Xi)i∈I un-
abhängig. Diese Aussage ist ein Spezialfall von (i), weil fi◦Xi messbar ist bezüglich
σ(Xi) – A ′ i (siehe Satz 1.80). ✸
Satz 2.16 (Unabhängigkeit von Erzeugern). Für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Ai ein
schnittstabiler Erzeuger von Ai.Ist(X −1
i (Ei))i∈I unabhängig, so ist (Xi)i∈I unabhängig.
Beweis. Nach Satz 1.81(iii) ist X −1
i (Ei) ist ein schnittstabiler Erzeuger der σ-
Algebra X −1
i (Ai) =σ(Xi). Mit Satz 2.13 folgt die Aussage. ✷
Beispiel 2.17. Sei E eine höchstens abzählbare Menge, und seien (Xi)i∈I Zufallsvariablen
mit Werten in (E,2E ). In diesem Falle ist (Xi)i∈I genau dann unabhängig,
wenn für jede endliche Teilmenge J ⊂ I und jede Wahl von xj ∈ E,
j ∈ J, gilt, dass
P � Xj = xj für jedes j ∈ J � = �
P[Xj = xj].
Dies ist klar, weil � {x} : x ∈ E � ∪ {∅} ein schnittstabiler Erzeuger von 2E ist,
also � X −1
i ({xi}) : xi ∈ E � ∪ {∅} ein schnittstabiler Erzeuger von σ(Xi) ist
(Satz 1.81). ✸
Beispiel 2.18. Sei E eine endliche Menge und p =(pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor.
Wir wollen das zu E und p gehörige Zufallsexperiment unendlich oft
unabhängig wiederholen (siehe Beispiel 1.40 und Satz 1.64). Sei Ω = EN der unendliche
Produktraum und A die von den endlichen Zylindermengen (siehe (1.8))
erzeugte σ-Algebra, sowie P = ��
e∈E peδe
�⊗N das Bernoulli-Maß. Ferner sei für
jedes n ∈ N
j∈J

56 2 Unabhängigkeit
Xn : Ω → E, (ωm)m∈N ↦→ ωn,
die Projektion auf die n-te Koordinate. Mit anderen Worten: Zu jedem Elementarereignis
ω ∈ Ω liefert Xn(ω) das Ergebnis des n-ten Experiments. Dann gilt nach
(2.4) (in Beispiel 2.4) für n ∈ N und x ∈ En P � Xj = xj für jedes j =1,...,n � = P � [x1,...,xn] � �
�n
= P X −1
�
j ({xj})
=
n�
j=1
P � X −1
j ({xj}) � =
j=1
n�
P[Xj = xj],
sowie P[Xj = xj] =pxj . Nach Satz 2.13(i) sind also (X1,...,Xn) unabhängig
und nach Satz 2.13(ii) auch (Xn)n∈N. ✸
Speziell haben wir den folgenden Satz gezeigt.
Satz 2.19. Sei E eine endliche Menge und (pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor
auf E. Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) und eine unabhängige
Familie (Xn)n∈N von E-wertigen Zufallsvariablen auf (Ω,A, P) mit
P[Xn = e] =pe für jedes e ∈ E.
Wir werden später sehen, dass wir auf die Endlichkeit von E verzichten können
und auch unterschiedliche Verteilungen zulassen können. Für den Moment gibt uns
dieser Satz aber genügend Beispiele für abzählbare Familien von unabhängigen Zufallsvariablen
an die Hand.
Wir wollen nun einfache Kriterien zur Prüfung der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
herleiten, die sich mit Hilfe von Verteilungsfunktionen beziehungsweise
Dichten ausdrücken lassen.
Definition 2.20. Für jedes i ∈ I sei Xi eine reelle Zufallsvariable. Für jede endliche
Teilmenge J ⊂ I sei
FJ := F (Xj)j∈J : R J → [0, 1],
x ↦→ P � Xj ≤ xj für jedes j ∈ J � �
�
= P
j∈J
j=1
X −1�
j (−∞,xj] ��
.
Dann heißt FJ die gemeinsame Verteilungsfunktion von (Xj)j∈J. Das W-Maß
P (Xj)j∈J auf R J heißt gemeinsame Verteilung von (Xj)j∈J.
Satz 2.21. Eine Familie (Xi)i∈I reeller Zufallsvariablen ist genau dann unabhängig,
wenn für jedes endliche J ⊂ I und jedes x =(xj)j∈J ∈ RJ gilt, dass
FJ(x) = �
F {j}(xj). (2.8)
j∈J

2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 57
Beweis. Das Mengensystem {(−∞,b], b∈ R} ist ein schnittstabiler Erzeuger der
Borel’schen σ-Algebra B(R) (siehe Satz 1.23). Die Gleichung (2.8) besagt nun aber,
dass für jede Wahl von reellen Zahlen (xi)i∈I die Ereignisse (X −1 ((−∞,xi]))i∈I
unabhängig sind. Nach Satz 2.16 folgt daher die Aussage dieses Satzes. ✷
Korollar 2.22. Zusätzlich zur Situation von Satz 2.21 nehmen wir an, dass jedes FJ
eine stetige Dichte fJ
fJ : R
= f (Xj)j∈J hat, das heißt, es gibt eine stetige Abbildung
J → [0, ∞) mit
� xj1 � xjn
FJ(x) = dt1 ··· dtn fJ(t1,...,tn) für jedes x ∈ R
−∞
−∞
J ,
(wobei J = {j1,...,jn}). Dann ist die Familie (Xi)i∈I genau dann unabhängig,
wenn für jedes endliche J ⊂ I gilt
fJ(x) = �
fj(xj) für jedes x ∈ R J . (2.9)
j∈J
Korollar 2.23. Seien n ∈ N und μ1,...,μn W-Maße auf (R, B(R)). Dann existiert
ein W-Raum (Ω,A, P) und eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen
(Xi)i=1,...,n auf (Ω,A, P) mit PXi = μi für jedes i =1,...,n.
Beweis. Sei Ω = Rn und A = B(Rn ) sowie P = �n i=1 μi das Produktmaß der μi
(siehe Satz 1.61). Ferner sei Xi : Rn → R, (x1,...,xn) ↦→ xi die Projektion auf
die i-te Koordinate für jedes i =1,...,n.Dannistfür jedes i =1,...,n
F {i}(x) = P[Xi ≤ x] = P � R i−1 × (−∞,x] × R n−i−1�
� � �
� �
= μi (−∞,x] · μj(R) = μi (−∞,x] .
j�=i
Also gilt tatsächlich PXi = μi. Ferner ist für x1,...,xn ∈ R
� n �
F {1,...,n}(x1,...,xn) =P × (−∞,xi] =
i=1
n�
i=1
�
μi (−∞,xi] � =
n�
F {i}(xi).
Nach Satz 2.21 (und Satz 2.13(i)) folgt die Unabhängigkeit von (Xi)i=1,...,n. ✷
Beispiel 2.24. Seien X1,...,Xn unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen
mit Parametern θ1,...,θn ∈ (0, ∞). DannistF {i}(x) = � x
0 θi exp(−θit) dt =
1 − exp(−θix) für x ≥ 0 und daher
�
F {1,...,n} (x1,...,xn) � =
n� � −θixi 1 − e � .
Betrachte nun die Zufallsvariable Y =max(X1,...,Xn). Dannist
i=1
i=1

58 2 Unabhängigkeit
FY (x) =P � Xi ≤ x für jedes i =1,...,n �
� �
= F {1,...,n} (x,...,x) =
n� � −θix
1 − e � .
Für die Zufallsvariable Z := min(X1,...,Xn) hat die Verteilungsfunktion eine
schöne geschlossene Form
i=1
FZ(x) =1− P[Z >x]
=1− P � Xi >x für jedes i =1,...,n �
n�
=1− e −θix =1− exp � − (θ1 + ...+ θn) x � .
i=1
Mit anderen Worten: Z ist exponentialverteilt mit Parameter θ1 + ...+ θn. ✸
Beispiel 2.25. Seien μi ∈ R und σ2 i > 0, i ∈ I, sowie(Xi)i∈Ireell mit gemeinsamen
Dichtefunktionen (für endliches J ⊂ I)
fJ(x) = �
�
− � (xj − μj) 2 �
für x ∈ R J .
j∈J
� � 1
2 − 2 2πσj exp
Dann sind die (Xi)i∈I unabhängig und normalverteilt mit Parametern (μi,σ2 i ).
Für jedes endliche I = {i1,...,in} (mit paarweise unterschiedlichen i1,...,in)
ist der Vektor Y =(Xi1 ,...,Xin ) n-dimensional normalverteilt mit μ = μI :=
(μi1 ,...,μin ) und Σ = ΣI die Diagonalmatrix mit Einträgen σ2 i1 ,...,σ2 in (vergleiche
Beispiel 1.105(ix)). ✸
Satz 2.26. Sei K eine beliebige Menge und Ik, k ∈ K, beliebige paarweise disjunkte
Indexmengen sowie I = �
Ik.
k∈K
Ist die Familie (Xi)i∈I unabhängig, dann sind auch die σ-Algebren (σ(Xj,j ∈
Ik))k∈K unabhängig.
Beweis. Sei für k ∈ K
�
�
Zk =
j∈Ik
j∈J
2σ 2 j
�
Aj : Aj ∈ σ(Xj), #{j ∈ Ik : Aj �= Ω} < ∞
der Ring der endlichdimensionalen Zylinder. Offenbar ist Zk schnittstabil und
σ(Zk) =σ(Xj,j ∈ Ik). Also reicht es nach Satz 2.13(iii) zu zeigen, dass (Zk)k∈K
unabhängig ist. Nach Satz 2.13(ii) können wir sogar annehmen, dass K endlich ist.
Für k ∈ K seien nun Bk ∈Zk und Jk ⊂ Ik endlich mit Bk = �
gewisse Aj ∈ σ(Xj). Setze J = �
k∈K Jk.Dannist
j∈Jk Aj für

�
�
P
k∈K
Bk
�
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 59
�
�
�
= P Aj = �
P[Aj] = � �
P[Aj] = �
P[Bk]. ✷
j∈J
j∈J
k∈K j∈Jk
Beispiel 2.27. Sind (Xn)n∈N unabhängige, reelle Zufallsvariablen, dann sind auch
(Yn)n∈N =(X2n − X2n−1)n∈N unabhängig. In der Tat ist für jedes n ∈ N die
Zufallsvariable Yn schon messbar bezüglich σ(X2n,X2n−1) nach Satz 1.91, und
(σ(X2n,X2n−1))n∈N ist unabhängig nach Satz 2.26. ✸
Beispiel 2.28. Seien (Xm,n) (m,n)∈N 2 unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen mit
Parameter p ∈ (0, 1). Sei
Ym := inf � n ∈ N : Xm,n =1 � − 1
die Wartezeit auf den ersten ” Erfolg“ in der m-ten Zeile der Matrix (Xm,n)m,n.
Dann sind (Ym)m∈N unabhängige, geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter
p (siehe Beispiel 1.105(iii)). Denn:
k+1 �
{Ym ≤ k} =
l=1
k∈K
{Xm,l =1}∈σ(Xm,l, l=1,...,k+1)⊂ σ(Xm,l, l∈ N).
Also ist Ym messbar bezüglich σ(Xm,l,l ∈ N), und damit ist (Ym)m∈N unabhängig.
Ferner ist
P[Ym >k]=P[Xm,l =0,l=1,...,k+1]=
k+1 �
l=1
P[Xm,l =0]=(1− p) k+1 .
Es folgt P[Ym = k] =P[Ym >k− 1] − P[Ym >k]=p(1 − p) k . ✸
Definition 2.29 (Faltung). Seien μ und ν W-Maße auf (Z, 2 Z ).Wirdefinieren die
Faltung μ ∗ ν als das W-Maß auf (Z, 2 Z ) mit
(μ ∗ ν)({n}) =
∞�
m=−∞
μ({m}) ν({n − m}).
Wir definieren die n-te Faltungspotenz rekursiv durch μ ∗1 = μ und
μ ∗(n+1) = μ ∗n ∗ μ.
Bemerkung 2.30. Es gilt μ ∗ ν = ν ∗ μ ✸
Satz 2.31. Sind X und Y unabhängige Z-wertige Zufallsvariablen, so gilt
PX+Y = PX ∗ PY .

60 2 Unabhängigkeit
Beweis. Für jedes n ∈ Z gilt
PX+Y ({n}) =P[X + Y = n]
�
�
= P
m∈Z
�
�
{X = m}∩{Y = n − m}
�
= �
P � {X = m}∩{Y = n − m} �
m∈Z
= �
PX[{m}] PY [{n − m}] = (PX∗PY )[{n}]. ✷
m∈Z
Auf Grund dieses Satzes liegt es nahe, die Faltung von zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen
auf R n (oder allgemeiner: auf abelschen Gruppen) als die Verteilung der
Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen mit den entsprechenden Verteilungen
zu definieren. Wir werden später eine andere Definition kennen lernen, die natürlich
zu dieser äquivalent ist, jedoch auf den Integralbegriff zurückgreift, der hier noch
nicht verfügbar ist (siehe Definition 14.17).
Definition 2.32 (Faltung von Maßen). Seien μ und ν W-Maße auf R n , und seien
X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit PX = μ und PY = ν. Dann definieren
wir die Faltung von μ und ν durch μ ∗ ν = PX+Y .
Iterativ definieren wir die Faltungspotenzen μ ∗k für k ∈ N, sowie μ ∗0 = δ0.
Beispiel 2.33. Seien X und Y unabhängig und Poisson-verteilt mit Parametern
μ, λ ≥ 0. Dann gilt
P[X + Y = n] =e −μ e −λ
n�
m=0
−(μ+λ) 1
= e
n!
μm λ
m!
n−m
(n − m)!
n�
� �
n
μ
m
m λ n−m −(μ+λ) (μ + λ)n
= e .
n!
m=0
Also ist Poiμ ∗ Poiλ =Poiμ+λ. ✸
Übung 2.2.1. Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit X ∼ exp θ und
Y ∼ exp ρ für gewisse θ, ρ > 0. Man zeige:
P[X

2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 61
X := � −2log(U) cos(2πV ) und Y := � −2log(U) sin(2πV ).
Man zeige: X und Y sind unabhängig und N0,1-verteilt.
Hinweis: Man berechne zunächst die Verteilung von � −2log(U) und benutze die
Transformationsformel für Dichten (Satz 1.101) sowie Polarkoordinatentransformation.
♣
2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz
Mit dem Lemma von Borel-Cantelli haben wir bereits ein 0-1 Gesetz für unabhängige
Ereignisse kennen gelernt. Wir kommen jetzt zu einem weiteren 0-1 Gesetz
für unabhängige Ereignisse, beziehungsweise σ-Algebren. Um dies zu formulieren,
müssen wir zunächst den Begriff der terminalen σ-Algebra einführen.
Definition 2.34 (Terminale σ-Algebra). Sei I eine abzählbar unendliche Indexmenge
und (Ai)i∈I eine Familie von σ-Algebren. Dann heißt
T � � �
� � �
(Ai)i∈I := σ Aj
J⊂I
#J

62 2 Unabhängigkeit
Beweis. ” ⊂“ Dies ist klar.
” ⊃“ Sei Jn ↑ I mit endlichen Mengen Jn ⊂ I, n ∈ N, und sei J ⊂ I endlich.
Dann existiert ein N ∈ N mit J ⊂ JN , und es ist
∞�
N�
n=1
� � �
σ
Am
m∈I\Jn
⊂
n=1
� � �
σ
Am
m∈I\Jn
� � � � �
= σ
Am ⊂ σ
m∈I\JN
m∈I\J Am
�
.
Die linke Seite hängt nicht von J ab, also können wir den Schnitt über alle endlichen
J bilden und erhalten
∞� � � �
σ
Am ⊂T
m∈I\Jn
� �
(Ai)i∈I . ✷
n=1
Es ist vielleicht nicht so ohne weiteres klar, dass es überhaupt noch interessante Ereignisse
in der terminalen σ-Algebra gibt. Vielleicht ist nicht einmal a priori klar,
dass nicht etwa T = {∅,Ω} gilt. Daher geben wir jetzt erst einmal einfache Beispiele
für terminale Ereignisse beziehungsweise terminal messbare Zufallsvariablen
an. In Abschnitt 2.4 werden wir ein weiteres Beispiel kennen lernen.
Beispiel 2.36. (i) Seien A1,A2,... Ereignisse. Dann sind die Ereignisse A∗ :=
lim inf
n→∞ An und A∗ := lim sup An in T ((An)n∈N). Setzen wir nämlich Bn :=
n→∞
∞�
Am für n ∈ N, dann gilt Bn ↑ A∗ und Bn ∈ σ((Am)m≥N ) für jedes n ≥ N.
m=n
Also ist A∗ ∈ σ((Am)m≥N) für jedes N ∈ N und damit A∗ ∈T((An)n∈N). Für
A∗ geht dies analog.
(ii) Ist (Xn)n∈N eine Familie R-wertiger Zufallsvariablen, so sind auch die Abbildungen
X∗ := lim infn→∞ Xn und X∗ := lim supn→∞ Xn messbar bezüglich
T ((Xn)n∈N). In der Tat: Setzen wir Yn := supm≥n Xm, soistfür jedes N ∈ N
die Zufallsvariable X∗ = infn≥1Yn = infn≥NYnmessbar bezüglich TN :=
σ(Xn, n≥ N), also auch bezüglich T ((Xn)n∈N) = �∞ n=1 Tn.
Für X∗ geht dies analog.
(iii) Seien (Xn)n∈N reellwertige Zufallsvariablen. Dann sind die Cesàro-Limiten
lim inf
n→∞
1
n
n�
i=1
Xi und lim sup
n→∞
messbar bezüglich T ((Xn)n∈N). Um dies zu zeigen, wählen wir ein N ∈ N und
beachten, dass
n�
n�
1
1
X∗ := lim inf Xi = lim inf Xi
n→∞ n
n→∞ n
i=1
1
n
n�
i=1
i=N
Xi

2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 63
σ((Xn)n≥N )-messbar ist. Da dies für jedes N gilt, ist X∗ auch T ((Xn)n∈N)messbar.
Für den Limes superior geht das analog. ✸
Satz 2.37 (Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz). Sei I eine abzählbar unendliche Indexmenge,
und sei (Ai)i∈I eine unabhängige Familie von σ-Algebren. Dann ist
die terminale σ-Algebra P-trivial, das heißt, es gilt
P[A] ∈{0, 1} für jedes A ∈T((Ai)i∈I).
Beweis. Es reicht, den Fall I = N zu betrachten. Sei A ∈T := T � �
(An)n∈N .Für
n ∈ N sei
�
�n
�
Fn := Ak : A1 ∈A1,...,An ∈An .
k=1
Dann ist F := �∞ n=1 Fn ein Semiring und σ(F) =σ( �
n∈N An). InderTatistfür
jedes n ∈ N und An ∈An auch An ∈F, also σ( �
n∈N An) ⊂ σ(F). Andererseits
ist Fm ⊂ σ( �m n=1 An) ⊂ σ( �
n∈N An) für jedes m ∈ N, also F⊂σ( �
n∈N An).
Sei A ∈T((An)n∈N), und sei ε>0. Nach dem Approximationssatz für Maße
(Satz 1.65) existiert ein n ∈ N und ein Fn = ˜ F1 ⊎ ...⊎ ˜ FN mit ˜ F1,..., ˜ FN ∈Fn
und mit P[A △ Fn] P[A \ Fn] =P[A ∩ (Ω \ Fn)] = P[A](1 − P[Fn]) ≥ P[A](1 − P[A] − ε).
Da ε>0 beliebig war, folgt 0=P[A](1 − P[A]). ✷
Korollar 2.38. Sei (An)n∈N eine Folge unabhängiger Ereignisse. Dann gilt
� �
� �
P
∈{0, 1} und P
∈{0, 1}.
lim sup An
n→∞
lim inf
n→∞ An
Beweis. Dies ist im Grunde eine Schlussfolgerung aus dem Lemma von Borel-
Cantelli. Allerdings folgt es auch direkt aus dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz,
da Limes superior und Limes inferior in der terminalen σ-Algebra liegen. ✷
Korollar 2.39. Sei (Xn)n∈N eine unabhängige Familie von R-wertigen Zufallsvariablen.
Dann sind X∗ := lim infn→∞ Xn und X∗ := lim supn→∞ Xn fast sicher
konstant, das heißt, es gibt x∗,x∗ ∈ R mit P[X∗ = x∗] =1und P[X∗ = x∗ ]=1.
Falls alle Xi sogar reellwertig sind, so sind auch die Cesàro-Limiten
fast sicher konstant.
lim inf
n→∞
1
n
n�
i=1
Xi und lim sup
n→∞
1
n
n�
i=1
Xi

64 2 Unabhängigkeit
Beweis. Sei X∗ := lim inf
n→∞ Xn. Für jedes x ∈ R ist {X∗ ≤ x} ∈T((Xn)n∈N),
also P[X∗ ≤ x] ∈{0, 1}. Setze
Ist x∗ = ∞, so ist offenbar
x∗ := inf{x ∈ R : P[X∗ ≤ x] =1}∈R.
P[X∗ < ∞] = lim
n→∞ P[X∗ ≤ n] =0.
Ist x∗ ∈ R, soist
P[X∗ ≤ x∗] = lim
n→∞ P
�
X∗ ≤ x∗ + 1
�
=1
n
und
P[X∗ −∞] = lim
n→∞ P[X∗ > −n] =0.
Für den Limes superior sowie für die Cesàro-Limiten geht dies analog. ✷
Übung 2.3.1. Man zeige: Ist (Xn)n∈N eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen
mit P[Xn = −1] = P[Xn = +1] = 1
2 , und ist Sn = X1 + ...+ Xn für jedes
n ∈ N, soistlim supn→∞ Sn = ∞ fast sicher. ♣
2.4 Beispiel: Perkolation
Wir betrachten das d-dimensionale Gitter Z d , wobei jeder Punkt durch je eine Kante
mit seinen 2d nächsten Nachbarpunkten verbunden ist. Sind x, y ∈ Z d nächste
Nachbarn, das heißt �x − y�2 = 1, so schreiben wir k = 〈x, y〉 = 〈y, x〉 für
die Kante, die x und y verbindet. Formal ist die Kantenmenge eine Teilmenge der
zweielementigen Teilmengen von Z d :
K = � {x, y} : x, y ∈ Z d mit�x − y�2 =1 � .
Etwas allgemeiner ist ein (ungerichteter) Graph G ein Paar G =(V,K), wobei
V eine Menge ist (die Menge der Knoten oder Punkte des Graphen) und K ⊂
{{x, y} : x, y ∈ V, x �= y} eine Teilmenge aller zweielementigen Teilmengen von
V (die Menge der Kanten).
Da wir unter einer Kante intuitiv eine Verbindung zwischen zwei Punkten x und
y verstehen (und nicht das ungeordnete Paar {x, y}), verwenden wir ein anderes
Symbol als die Mengenklammern und schreiben 〈x, y〉 statt {x, y}.

2.4 Beispiel: Perkolation 65
Dieses Gitter ist für uns der Ausgangspunkt für ein stochastisches Modell eines
porösen Mediums. Wir stellen uns die Kanten als Röhren vor, entlang derer Wasser
fließen kann. Nun soll das Medium allerdings nicht völlig homogen wasserdurchlässig
sein, sondern eine amorphe Struktur besitzen, etwa wie Bimsstein. Zu
diesem Zweck wollen wir zufällig einen gewissen Anteil 1 − p (wobei p ∈ [0, 1] ein
Parameter ist) der Kanten zerstören, sodass das Wasser nur durch die verbliebenen
Kanten fließen kann. Die Frage, die sich stellt, ist, bei welchen Werten von p die intakten
Röhren unendlich große verbundene Systeme bilden und bei welchen Werten
alle verbundenen Systeme nur endliche Größe haben.
Wir kommen jetzt zur formalen Beschreibung des Modells. Wir wählen einen Parameter
p ∈ [0, 1] und eine unabhängige Familie identisch verteilter Zufallsvariablen
(X p
k )k∈K mit X p
k =Berp, also P[X p
k =1]=1−P[Xp k =0]=p für jedes k ∈ K.
Dann definieren wir
K p := {k ∈ K : X p
k =1} (2.10)
als die Menge der intakten (oder offenen) Kanten. Entsprechend nennen wir die Kanten
K \ Kp defekt (oder geschlossen). Auf diese Weise haben wir einen (zufälligen)
Teilgraphen (Zd ,Kp ) von (Zd ,K) hergestellt. Wir nennen (Zd ,K) auch ein Perkolationsmodell
(genauer: ein Modell für Kantenperkolation, im Gegensatz zu
Punktperkolation, wo die einzelnen Punkte geschlossen oder offen sind). Ein (offener)
Pfad (der Länge n) in diesem Teilgraphen ist eine Folge π =(x0,x1,...,xn)
von Punkten in Zd mit 〈xi−1,xi〉 ∈Kp für jedes i =1,...,n. Wir sagen, dass zwei
Punkte x, y ∈ Zd durch einen offenen Pfad verbunden werden können, wenn es ein
n ∈ N und einen offenen Pfad (x0,x1,...,xn) mit x0 = x und xn = y gibt. In diesem
Fall schreiben wir x ←→p y. Offenbar ist ←→p“ eine Äquivalenzrelation, je-
”
doch eine zufällige, weil sie von den Werten der Zufallsvariablen (X p
k )k∈K abhängt.
Für x ∈ Zd nennen wir
C p (x) :={y ∈ Z d : x ←→p y} (2.11)
den (zufälligen) offenen Cluster von x, also die Zusammenhangskomponente von x
in dem Graphen (Z d ,K p ).
Lemma 2.40. Für je zwei Punkte x, y ∈ Z d ist {x←→ py} eine Zufallsvariable.
Insbesondere ist #C p (x) eine Zufallsvariable für jedes x ∈ Z d .
Beweis. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass x =0ist. Wir setzen
fn(y) =1, falls es einen offenen Pfad von 0 nach y der Länge höchstens n gibt, und
fn(y) =0sonst. Offenbar ist fn(y) ↑ {0←→ py}, also reicht es, die Messbarkeit
von fn zu zeigen. Sei Bn := {−n, −n +1,...,n − 1,n} d und Kn := {k ∈
K : k ∩ Bn �= ∅}. DannistYn := (X p
k : k ∈ Kn) :Ω →{0, 1} Kn messbar
(bezüglich 2 ({0,1}Kn )) nach Satz 1.90. Nun ist aber fn eine Funktion von Yn, sagen
wir fn = gn◦Yn für gewisses gn : {0, 1} Kn →{0, 1}. Nach dem Verknüpfungssatz
(Satz 1.80) ist daher fn messbar.
Der Zusatz folgt, weil #C p (x) = �
y∈Z d {x←→ py}. ✷

66 2 Unabhängigkeit
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � �
Abb. 2.1. Perkolation auf einem 15 × 15 Gitter, p =0.42
Definition 2.41. Wir sagen, dass Perkolation eintritt, falls es (wenigstens) einen unendlich
großen, offenen Cluster gibt und nennen
ψ(p) :=P[es gibt einen unendlich großen, offenen Cluster]
� �
= P {#C p �
(x) =∞}
x∈Z d
die Perkolationswahrscheinlichkeit. Wir definieren weiterhin die Funktion
θ(p) :=P[#C p (0) = ∞]
als die Wahrscheinlichkeit, dass der Ursprung in einem unendlich großen, offenen
Cluster liegt.
Auf Grund der Translationsinvarianz des Gitters ist
θ(p) =P[#C p (y) =∞] für jedes y ∈ Z d . (2.12)

2.4 Beispiel: Perkolation 67
Die Grundfrage lautet: Wie groß sind θ(p) und ψ(p) in Abhängigkeit von p?
Wir machen die folgende, intuitiv leicht einsehbare Beobachtung.
Satz 2.42. Die Abbildung [0, 1] → [0, 1], p ↦→ θ(p) ist monoton wachsend.
Beweis. Obwohl die Aussage offensichtlich erscheint, wollen wir einen formalen
Beweis geben, weil er ein wichtiges Beweisprinzip, das der Kopplung, verwendet.
Seien p, p ′ ∈ [0, 1] mit p 0.
Beweis. Ist θ(p) =0, so ist nach (2.12)
ψ(p) ≤ �
P[#C p (y) =∞] = �
θ(p) =0.
y∈Z d
y∈Z d
Sei nun A = �
y∈Zd{#Cp (y) = ∞}. Offenbar ändert es nichts am Eintreten
von A, wenn endlich viele Kanten ihren Zustand verändern. Das heißt A ∈
σ((X p
k ) k∈K\Kn
) für jedes n ∈ N. Nach Satz 2.35 ist A also in der terminalen σ-
Algebra T ((X p
k )k∈K). Nach dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz (Satz 2.37) gilt
also ψ(p) =P[A] ∈{0, 1}. Ist nun θ(p) > 0, so folgt wegen ψ(p) ≥ θ(p) schon
ψ(p) =1. ✷

68 2 Unabhängigkeit
Aufgrund der Monotonie können wir nun die folgende Definition treffen.
Definition 2.44. Der kritische Wert pc für das Auftreten von Perkolation wird definiert
als
pc = inf{p ∈ [0, 1] : θ(p) > 0} = sup{p ∈ [0, 1] : θ(p) =0}
= inf{p ∈ [0, 1] : ψ(p) =1} = sup{p∈ [0, 1] : ψ(p) =0}.
Wir kommen zu einem Hauptsatz dieses Abschnitts.
Satz 2.45. Für d =1 ist pc =1.Für d ≥ 2 ist pc(d) ∈ �
1
2d−1
�
2 , 3 .
Beweis. Sei zunächst d =1und p

2.4 Beispiel: Perkolation 69
Es reicht also, den Fall d =2zu betrachten. Hier zeigen wir pc ≤ 2
3 . Wir geben ein
Konturargument an, das von Peierls für ein Magnetismusmodell (das Ising Modell,
siehe Beispiel 18.21 und speziell (18.13)) entwickelt wurde (siehe [119]).
Für N ∈ N schreiben wir (vergleiche (2.11) mit x =(i, 0))
CN :=
N�
C p� (i, 0) �
i=0
für die Menge der Punkte, die eine offene Verbindung in die Menge {0,...,N}×
{0} haben. Dann ist wegen der Subadditivität der Wahrscheinlichkeit (und wegen
P[#C p� (i, 0) � = ∞] =θ(p) für jedes i ∈ Z)
θ(p) =
1
N +1
N�
P � #C p� (i, 0) � = ∞ � ≥
i=0
1
N +1 P� #CN = ∞ � .
Wir betrachten nun Konturen im dualen Graphen ( ˜ Z 2 , ˜ K), dieCN umschließen,
falls #CN < ∞. Der duale Graph ist dabei definiert durch
˜Z 2 �
1 1
�
= , + Z
2 2
2 ,
�
˜K = {x, y} : x, y ∈ ˜ Z 2 �
, �x − y�2 =1 .
Eine Kante ˜ k im dualen Graphen ( ˜ Z2 , ˜ K) kreuzt also genau eine Kante k in
(Z2 ,K). Wir nennen ˜ k offen, falls k offen ist, und sonst geschlossen. Ein Kreis
γ ist ein selbstüberschneidungsfreier Pfad in ( ˜ Z2 , ˜ K), bei dem Anfangs- und Endpunkt
übereinstimmen. Eine Kontur der Menge CN ist ein minimaler Kreis, der CN
umschließt. Minimal heißt dabei, dass die umschlossene Fläche minimal ist (siehe
Abb. 2.2). Für n ≥ 2N sei
�
�
Γn = γ : γ ist ein Kreis der Länge n und umschließt {0,...,N}×{0} .
Wir wollen eine obere Abschätzung für #Γn angeben. Dafür wählen wir für γ ∈
Γn � einen Punkt � aus γ willkürlich als Startpunkt aus, nämlich den oberen Punkt
1 1 m + 2 , 2 des rechtesten x-Achsendurchgangs von γ (in Abb. 2.2 ist dies der
Punkt � 5+ 1
�
1
2 , 2 ). Offenbar ist m ≥ N und m ≤ n weil der Ursprung von Γn
umschlossen wird. Ausgehend von � m + 1
�
1
2 , 2 gibt es für jede weitere Kante von γ
jeweils höchstens drei Möglichkeiten. Also ist
#Γn ≤ n · 3 n .
Der Kreis γ heißt geschlossen, wenn er nur (in ˜ K) geschlossene Kanten benutzt.
Eine Kontur von CN muss automatisch geschlossen sein und eine Länge größer als
2N haben. Daher gilt für p> 2
3

70 2 Unabhängigkeit
1
0
−1
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�
−1 0 1 5
P[#CN < ∞] =
≤
Abb. 2.2. Kontur des Clusters C5
∞�
n=2N
∞�
n=2N
P � �
es gibt einen geschlossenen Kreis γ ∈ Γn
n · � 3(1 − p) � n N→∞
−→ 0.
Es folgt pc ≤ 2
3 . ✷
Im Allgemeinen ist der Wert von pc nicht bekannt und extrem schwer zu bestimmen.
Im Fall der Kantenperkolation in Z 2 ist allerdings ein genaues Ergebnis bekannt,
da man hier das starke Hilfsmittel der Selbstdualität des Graphen (Z 2 ,K)
zur Verfügung hat. (Ist G =(V,K) ein planarer Graph, also einer, den man mit
überschneidungsfreien Kanten in den R 2 einbetten kann, so hat der duale Graph als
Punktmenge die Menge der Flächen von G und als Kante zwischen zwei solchen
Punkten, diejenige Kante aus K, die die beiden Flächenstücke trennt. Offenbar ist
das zweidimensionale Gitter als Graph isomorph zu seinem dualen Graphen. Man
beachte, dass man die Kontur in Abb. 2.2 als geschlossenen Pfad im dualen Graphen
auffassen kann.) Wir zitieren hier den Satz von Kesten [93].
Satz 2.46 (Kesten (1980)). Für Kantenperkolation in Z 2 ist die kritische Wahrscheinlichkeit
pc = 1
2 , und es gilt θ(pc) =0.
Beweis. Siehe etwa das Buch von Grimmett [62, Seite 287ff]. ✷

2.4 Beispiel: Perkolation 71
Es wird vermutet, dass θ(pc) =0in jeder Dimension d ≥ 2 gilt. Rigoros bewiesen
ist dies allerdings nur für d =2und d ≥ 19 (siehe [66]).
Eindeutigkeit des unendlichen Clusters ∗
Es sei p so gewählt, dass θ(p) > 0 ist. Wir haben gesehen, dass es mit Wahrscheinlichkeit
1 mindestens einen unendlich großen, offenen Cluster gibt. Wir wollen nun
zeigen, dass es genau einen gibt.
Sei also N ∈{0, 1,...,∞} die (zufällige) Anzahl von unendlich großen Clustern.
Satz 2.47 (Eindeutigkeit des unendlichen großen Clusters). Für jedes p ∈ [0, 1]
gilt Pp[N ≤ 1] = 1.
Beweis. Diese Aussage wurde erstmals von Aizenman, Kesten und Newman gezeigt
[1, 2]. Wir folgen der einfacheren Beweisidee von Burton und Keane [25], wie
sie etwa in [62, Abschnitt 8.2] beschrieben wird.
In den Fällen p =1und θ(p) =0(speziell also im Fall p =0) ist die Aussage
trivial. Seien nun also p ∈ (0, 1) und θ(p) > 0.
1. Schritt Wir zeigen zunächst:
Pp[N = m] =1 für ein m =0, 1,...,∞. (2.13)
Wir benötigen ein 0-1 Gesetz, ähnlich dem Kolmogorov’schen. Allerdings ist N
nicht messbar bezüglich der terminalen σ-Algebra, wir müssen also etwas subtiler
vorgehen. Sei e1 =(1, 0,...,0) der erste Einheitsvektor in Zd . Auf der Kantenmenge
K definieren wir die Translation τ : K → K durch τ(〈x, y〉) =〈x + e1,y+ e1〉.
Sei
K0 := � 〈(x1,...,xd), (y1,...,yd)〉 ∈K : x1 =0,y1≥ 0 �
die Menge aller Kanten in Zd , die zwei Punkte in {0}×Zd−1 verbinden oder einen
Punkt aus {0}×Zd−1 mit einem aus {1}×Zd−1 verbinden. Offenbar sind die Men-
gen (τ n (K0), n∈ Z) disjunkt und K = �
n∈Z τ n (K0). Daher sind die Zufallsva-
riablen Yn := (X p
τ n )k∈K0 (k) , n ∈ Z, unabhängig und identisch verteilt (mit Werten
in {0, 1} K0 ). Setze Y =(Yn)n∈Zund τ(Y )=(Yn+1)n∈Z. SeiAm∈{0, 1} K
definiert durch
{Y ∈ Am} = {N = m}.
Offenbar ändert sich der Wert von N nicht, wenn wir alle Kanten gleichzeitig verschieben.
Es gilt also {Y ∈ Am} = {τ(Y ) ∈ Am}. Ein Ereignis mit dieser
Eigenschaft nennen wir invariant. Mit einem Argument ähnlich dem für das Kolmogorov’sche
0-1 Gesetz kann man zeigen, dass invariante Ereignisse (die durch
u.i.v. Zufallsvariablen definiert werden) nur die Wahrscheinlichkeiten 0 oder 1 haben
können (für einen formalen Beweis siehe Beispiel 20.26).

72 2 Unabhängigkeit
2. Schritt Wir zeigen:
Pp[N = m] =0 für jedes m ∈ N \{1}. (2.14)
Sei also m =2, 3,... Wir nehmen an, dass P[N = m] =1gilt und führen dies
zum Widerspruch.
Für L ∈ N setzen wir BL := {−L,...,L} d und bezeichnen mit KL = {k =
〈x, y〉 ∈K : x, y ∈ BL} die Menge der Kanten, deren beide Endpunkte in BL
liegen. Für i =0, 1 sei Di L := {Xp k = i für alle k ∈ KL}. SeiN1 L die Anzahl der
unendlichen Cluster, wenn wir (unabhängig vom Wert von X p
k ) jede Kante k in KL
als offen betrachten. Analog definieren wir N 0 L , wobei wir hier die Kanten in KL
als geschlossen betrachten. Wegen Pp[Di L ] > 0, und wegen N = m fast sicher, gilt
N i L = m fast sicher für i =0, 1.
Sei
A 2 � � � � p 1 p 2 p 1
L:=
C (x ) ∩ C (x )=∅ ∩ #C (x )=#Cp(x 2 )=∞ �
x 1 ,x 2 ∈BL\BL−1
das Ereignis, dass es zwei Punkte auf dem Rand von BL gibt, die in unterschiedlichen,
unendlich großen, offenen Clustern sitzen. Offenbar gilt A2 L ↑{N ≥ 2} für
L →∞.
Sei A2 L,0 ähnlich wie A2L definiert, jedoch wollen wir alle Kanten k ∈ KL als
geschlossen betrachten, egal ob X p
k =1oder Xp
k =0ist. Tritt A2L ein, so gibt es
zwei Punkte x1 ,x2 auf dem Rand von BL und zu jedem i =1, 2 einen unendlich
langen selbstüberschneidungsfreien, offenen Pfad πxi, der in xi startet und x3−i vermeidet. Es gilt also A2 L ⊂ A2L,0 .Wähle nun L so groß, dass P[A2L,0 ] > 0 ist.
Tritt A 2 L,0 ein und werden alle Kanten in BL geöffnet, so werden mindestens zwei
der unendlich großen, offenen Cluster durch Kanten in BL verbunden, die Gesamt-
zahl der unendlich großen, offenen Cluster also um mindestens Eins verringert. Es
folgt Pp[N 1 L ≤ N 0 L − 1] ≥ Pp[A2 L,0 ] > 0, was einen Widerspruch bedeutet.
3. Schritt Da wir im zweiten Schritt bereits gezeigt haben, dass N fast sicher
keinen endlichen Wert größer als 1 annimmt, brauchen wir nun nur noch zu zeigen,
dass N fast sicher nicht den Wert ∞ annimmt. Wir zeigen hier, dass in der Tat gilt:
Pp[N ≥ 3] = 0. (2.15)
Dieses ist der schwierigste Teil. Wir nehmen an, dass Pp[N ≥ 3] > 0 gilt und
führen dies zum Widerspruch.
Wir nennen einen Punkt x ∈ Z d einen Trifurkationspunkt, falls x in einem unendlich
großen, offenen Cluster C p (x) liegt, genau drei offene Kanten zu x führen und
die Wegnahme dieser drei Kanten C p (x) in drei unendlich große, disjunkte Cluster
zerteilt. Mit T bezeichnen wir die Menge der Trifurkationspunkte und schreiben
TL := T ∩ BL. Seir := Pp[0 ∈ T ]. Aufgrund der Translationsinvarianz gilt
(#BL) −1 Ep[#TL] =r für jedes L.

Sei
A 3 L:=
�
x 1 ,x 2 ,x 3 ∈BL\BL−1
� �
i�=j
2.4 Beispiel: Perkolation 73
{C p (x i ) ∩ C p (x j � �
�3
)=∅} ∩ {#C p (x i �
)=∞}
das Ereignis, dass es drei Punkte auf dem Rand von BL gibt, die in unterschiedlichen,
unendlich großen, offenen Clustern sitzen. Offenbar gilt A3 L ↑{N ≥ 3} für
L →∞.
Analog zu A2 L,0 definieren wir A3 L,0
Rand von BL gibt, die in unterschiedlichen unendlich großen, offenen Clustern sitzen,
wenn wir alle Kanten in KL als geschlossen ansehen. Wie oben ist A3 L ⊂ A3L,0 .
i=1
als das Ereignis, dass es drei Punkte auf dem
Für drei unterschiedliche Punkte x 1 ,x 2 ,x 3 ∈ BL \BL−1 sei F x 1 ,x 2 ,x 3 das Ereignis,
dass es zu jedem i =1, 2, 3 einen unendlich langen selbstüberschneidungsfreien,
offenen Pfad π x i gibt, der in x i startet, nur Kanten aus K p \ KL benutzt und die
anderen xj , j �= i, vermeidet. Dann gilt
A 3 �
L,0 ⊂
x 1 ,x 2 ,x 3 ∈BL\BL−1
paarweise unterschiedlich
F x 1 ,x 2 ,x 3.
Sei L so groß, dass Pp[A 3 L,0 ] ≥ Pp[N ≥ 3]/2 > 0 gilt. Wähle drei unterschiedliche
Punkte x 1 ,x 2 ,x 3 ∈ BL \ BL−1 mit Pp[F x 1 ,x 2 ,x 3] > 0.
Tritt F x 1 ,x 2 ,x 3 ein,sokönnen wir einen Punkt y ∈ BL finden, von dem aus drei
disjunkte (nicht notwendigerweise offene) Pfade π1, π2 und π3 zu den Punkten x 1 ,
x 2 und x 3 führen. Sei G y,x 1 ,x 2 ,x 3 das Ereignis, dass in KL genau diejenigen Kanten
offen sind, die zu diesen Pfaden gehören, und alle anderen geschlossen. Die Ereignisse
F x 1 ,x 2 ,x 3 und G y,x 1 ,x 2 ,x 3 sind unabhängig, und y ist ein Trifurkationspunkt,
falls beide eintreten. Daher ist
r = Pp[y ∈ T ] ≥ Pp[Fx1 ,x2 ,x3] · � p ∧ (1 − p) � #KL
> 0.
Wir zeigen nun, dass r =0sein muss, was die Annahme Pp[N ≥ 3] > 0 ad absurdum
führt. Wir machen die Menge TL zu einem Graphen, indem wir zwei Punkte
x, y ∈ TL als benachbart betrachten, falls es einen offenen Pfad von x nach y gibt,
der keinen anderen Punkt in T trifft. Wir schreiben dann x ∼ y. Eine Schleife ist ein
selbstüberschneidungsfreier, endlicher Pfad, der zu seinem Startpunkt zurückkehrt.
Der Graph (TL, ∼) ist schleifenfrei. In der Tat: gäbe es einen in x ∈ TL startenden
selbstüberschneidungsfreien Pfad, der, sagen wir, die beiden Punkte y, z ∈ TL trifft,
so entstünden durch die Wegnahme der drei Kanten k ∈ Kp , die an x angrenzen,
höchstens zwei Cluster - wobei einer y und z enthält.
Wir schreiben degTL (x) für die Anzahl der Nachbarn von x in TL.DaTL schleifenfrei
ist, ist #TL− 1 �
2 x∈TL degTL (x) die Anzahl der Zusammenhangskomponenten
von TL, also insbesondere nichtnegativ. Andererseits ist 3 − degTL (x) die Anzahl

74 2 Unabhängigkeit
von Kanten k ∈ Kp , die an x angrenzen und deren Wegnahme einen unendlich
großen, offenen Cluster erzeugt, in dem kein weiterer Punkt von TL liegt. Sei ML
die Anzahl der unendlich großen, offenen Cluster, die entstehen, wenn wir von allen
Punkten in TL die drei benachbarten offenen Kanten wegnehmen. Es ist dann
ML = �
(3 − degTL (x)) ≥ #TL.
x∈TL
Zu jedem dieser Cluster gehört aber (mindestens) ein Punkt auf BL \BL−1. Es folgt
#TL
#BL
≤ #(BL \ BL−1)
#BL
≤ d
L
L→∞
−→ 0.
Wegen r =(#BL) −1 E[#TL] ≤ d/L folgt r =0. (Man beachte, dass wir hier im
Vorgriff auf Kapitel 5 den Erwartungswert E[#TL] benutzt haben.) ✷

3 Erzeugendenfunktion
Ein wichtiges Prinzip in der Mathematik ist es, eine Klasse von Objekten, die man
betrachten möchte, in eine andere Klasse von Objekten, mit denen man besser rechnen
kann, hinein abzubilden. Diese Abbildung kann eineindeutig sein, etwa bei der
Zuordnung von Matrizen zu linearen Abbildungen, oder auch nur manche Eigenschaften
eindeutig abbilden, etwa bei Determinanten.
Zu der zweiten Kategorie gehören in der Wahrscheinlichkeitstheorie die Kenngrößen
wie Median, Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen. Zur ersten
Kategorie hingegen charakteristische Funktionen, Laplace-Transformierte und Erzeugendenfunktionen,
die enge Verwandte sind und ihre Nützlichkeit daraus ziehen,
dass Addition von unabhängigen Zufallsvariablen in Multiplikation übergeht. Bevor
wirinspäteren Kapiteln insbesondere die charakteristischen Funktionen ausgiebig
behandeln, wollen wir wichtige Grundideen in der einfacheren Situation der Erzeugendenfunktionen,
deren Anwendung auf N0-wertige Zufallsvariablen beschränkt
ist, kennen lernen.
3.1 Definition und Beispiele
Definition 3.1 (Erzeugendenfunktion). Sei X eine N0-wertige Zufallsvariable.
Die Abbildung ψPX = ψX, die erklärt wird durch
ψX :[0, 1] → [0, 1], z ↦→
∞�
P[X = n] z n , (3.1)
n=0
heißt Erzeugendenfunktion von PX (oder etwas lax: von X).
Satz 3.2. (i) ψX ist stetig und in (0, 1) unendlich oft stetig differenzierbar. Es
gilt für n ∈ N und die n-te Ableitung ψ (n)
X
lim ψ
z↑1 (n)
X
(z) =
∞�
P[X = k] · k(k − 1) ···(k − n +1), (3.2)
k=n
wobei beide Seiten =+∞ sein können.

76 3 Erzeugendenfunktion
(ii) Die Verteilung PX von X ist durch ψX eindeutig charakterisiert.
(iii) ψX ist durch die Angabe von abzählbar vielen Werten ψX(xi), xi ∈ [0, 1],
i ∈ N, eindeutig festgelegt. Konvergiert die Reihe in (3.1) auch für ein z>1,
so gilt
lim X (z) =ψ(n)
X (1) < ∞ für n ∈ N,
z↑1 ψ (n)
und ψX ist durch Angabe von ψ (n)
X (1), n ∈ N, eindeutig charakterisiert.
Beweis. Das folgt aus der elementaren Theorie der Potenzreihen. ✷
Satz 3.3 (Multiplikativität der Erzeugendenfunktion). Sind X1,...,Xn unabhängig
und N0-wertig, so ist
n�
ψX1+...+Xn =
i=1
ψXi .
Beweis. Für z ∈ [0, 1) können wir ψX1 (z) ψX2 (z) als Cauchy-Produkt schreiben
�
∞�
ψX1 (z) ψX2 (z) = P[X1 = n] z n
��
∞�
P[X2 = n] z n
�
=
=
=
n=0
n=0
∞�
z n
�
n�
�
P[X1 = m] P[X2 = n − m]
n=0
∞�
z n
n=0
∞�
n=0
m=0
n�
P[X1 = m, X2 = n − m]
m=0
P[X1 + X2 = n] z n = ψX1+X2 (z).
Induktiv folgt die Aussage für jedes n ≥ 2. ✷
Beispiel 3.4. (i) Sei Xbn,p-verteilt für gewisse n ∈ N und p ∈ [0, 1]. Dannist
ψX(z) =
n�
m=0
� �
n
p
m
m (1 − p) n−m z m = � pz +(1−p) �n . (3.3)
(ii) Sind X, Y unabhängig und bm,p beziehungsweise bn,p-verteilt, so ist nach
Satz 3.3
ψX+Y (z) = � pz +(1−p) �m � �n pz +(1−p) � �m+n. = pz +(1−p) Also ist nach Satz 3.2(ii) X + Ybm+n,p-verteilt und damit (nach Satz 2.31)

m,p ∗ bn,p = bm+n,p.
3.1 Definition und Beispiele 77
(iii) Seien X und Y unabhängig und Poisson-verteilt mit Parametern λ ≥ 0 und
μ ≥ 0, also P[X = n] =e −λ λ n /n! für n ∈ N0. Dannist
ψPoiλ (z) =
∞�
n=0
Also hat X + Y die Erzeugendenfunktion
−λ (λz)n
e
n! = eλ(z−1) . (3.4)
ψPoiλ (z) · ψPoiμ (z) =eλ(z−1) e μ(z−1) = ψPoiλ+μ (z),
und daher ist X + Y ∼ Poiλ+μ. Es folgt
Poiλ ∗ Poiμ =Poiλ+μ. (3.5)
(iv) Seien X1,...,Xn ∼ γp unabhängig und geometrisch verteilt mit Parameter
p ∈ (0, 1). Wir setzen Y = X1 + ...+ Xn.Esistfür z ∈ [0, 1]
ψX1 (z) =
∞�
k=0
p(1 − p) k z k =
p
. (3.6)
1 − (1 − p)z
Nach der verallgemeinerten binomischen Formel (siehe Lemma 3.5 mit α = −n),
Satz 3.3 und (3.6) ist
ψY (z) =ψX1 (z)n p
=
n
(1 − (1 − p)z) n
∞�
= p n
� �
−n
(−1)
k
k (1 − p) k z k
=
k=0
∞�
b − n,p({k}) z k ,
k=0
wobei für beliebiges r ∈ (0, ∞) und p ∈ (0, 1]
b − r,p =
∞�
k=0
� �
−r
(−1)
k
k p r (1 − p) k δk
(3.7)
die negative Binomialverteilung mit Parametern r und p ist. Nach dem Eindeutigkeitssatz
für Erzeugendenfunktionen ist damit Y ∼ b− n,p, also (siehe Definition 2.29
für die n-te Faltungspotenz) b− n,p = γ∗n p . ✸
Lemma 3.5 (Verallgemeinerter binomischer Lehrsatz). Für α ∈ R und k ∈ N0
definieren wir den Binomialkoeffizienten

78 3 Erzeugendenfunktion
� �
α
:=
k
Es gilt die erweiterte binomische Formel:
Speziell gilt
(1 + x) α =
1
√ 1 − x =
∞�
n=0
∞�
k=0
α · (α − 1) ···(α − k +1)
. (3.8)
k!
� �
α
x
k
k
� �
2n
4
n
−n x n
für jedes x ∈ C mit |x| < 1. (3.9)
für jedes x ∈ C mit |x| < 1. (3.10)
Beweis. Die Abbildung f : x ↦→ (1 + x) α ist holomorph bis auf eventuell eine
Singularität bei x = −1, ist also um 0 in eine Potenzreihe entwickelbar mit Radius
mindestens 1:
f(x) =
∞�
k=0
f (k) (0)
k!
x k
für |x| < 1.
Für k ∈ N0 ist die k-te Ableitung f (k) (0) = α(α − 1) ···(α − k +1), also folgt
(3.9).
Der Zusatz folgt, weil für α = −1/2 gilt, dass � � � � −1/2 2n −n
n = n (−4) . ✷
Übung 3.1.1. Man zeige b − r,p ∗ b − s,p = b − r+s,p für r, s ∈ (0, ∞) und p ∈ (0, 1]. ♣
3.2 Poisson-Approximation
Lemma 3.6. Seien μ und (μn)n∈N W-Maße auf (N0, 2N0 ) mit Erzeugendenfunktionen
ψμ und ψμn ,n∈ N. Dann sind äquivalent
(i) μn({k}) n→∞
−→ μ({k}) für jedes k ∈ N0,
(ii) μn(A) n→∞
−→ μ(A) für jedes A ⊂ N0,
(iii) ψn(z) n→∞
−→ ψ(z) für jedes z ∈ [0, 1],
(iv) ψn(z) n→∞
−→ ψ(z) für jedes z ∈ [0,η) für ein η>0.
Gilt eine der vier Bedingungen, so schreiben wir μn
konvergiere schwach gegen μ.
n→∞
−→ μ und sagen (μn)n∈N
Beweis. (i) =⇒ (ii) Sei ε>0 und N ∈ N so gewählt, dass μ({N +1,N +
2,...}) < ε
4 .Für hinreichend großes n0 ∈ N ist ferner

N� �
�μn({k}) − μ({k}) � �
ε
<
4
k=0
3.2 Poisson-Approximation 79
für jedes n ≥ n0.
Speziell ist für n ≥ n0 auch μn({N +1,N +2,...}) < ε
2 .Alsoistfür n ≥ n0
�
�μn(A) − μ(A) � � ≤ μn({N +1,N +2,...})+μ({N +1,N +2,...})
n). Für jedes n ∈ N sei (Xn,k)k∈N eine unabhängige
Familie von Zufallsvariablen mit Xn,k ∼ Berpn,k . Setze
S n :=
∞�
l=1
Xn,l und S n k :=
k�
Xn,l für k ∈ N.
Satz 3.7 (Poisson-Approximation). Unter den obigen Annahmen konvergieren
die Verteilungen (PS n)n∈N schwach gegen die Poisson-Verteilung Poiλ.
Beweis. Die Poisson-Verteilung hat die Erzeugendenfunktion ψ(z) =eλ(z−1) (siehe
(3.4)). Andererseits sind Sn − Sn k und Sn k unabhängig für jedes k ∈ N, also
.Nunistfür jedes z ∈ [0, 1]
ψS n = ψS n k · ψS n −S n k
1 ≥
ψS n(z)
l=1
ψS n k (z) = ψS n −S n k (z) ≥ 1 − P[Sn − S n k ≥ 1] ≥ 1 −
∞�
l=k+1
pn,l
k→∞
−→ 1,

80 3 Erzeugendenfunktion
also
ψSn(z) = lim
k→∞ ψSn(z) =
k
∞�
l=1
=exp
(pn,lz +(1− pn,l))
� ∞�
l=1
log � 1+pn,l(z − 1) ��
.
Für |x| < 1
2 ist | log(1 + x) − x| ≤x2 . Nach Voraussetzung gilt max
l∈N pn,l → 0 für
n →∞, also ist für hinreichend großes n
��
� �∞
�
� log
l=1
� 1+pn,l(z − 1) ��
� ∞�
��
���
− (z − 1) pn,l
l=1
∞�
≤ p 2 �
∞�
�
n→∞
n,l ≤
−→ 0.
Zusammen mit (3.11) folgt
lim ψSn(z) = lim
n→∞ n→∞ exp
3.3 Verzweigungsprozesse
l=1
l=1
�
∞�
(z − 1)
l=1
pn,l
pn,l
max
l∈N pn,l
�
= e λ(z−1) . ✷
Seien T,X1,X2,...unabhängige, N0-wertige Zufallsvariablen. Wie sieht die Verteilung
von S := �T n=1 Xn aus? Zunächst bemerken wir, dass S messbar ist, denn
∞�
{S = k} = {T = n}∩{X1 + ...+ Xn = k}.
n=0
Satz 3.8. Sind die X1,X2,...zusätzlich identisch verteilt, so ist die Erzeugendenfunktion
von S gegeben durch ψS(z) =ψT (ψX1 (z)).
Beweis.
ψS(z) =
=
=
∞�
P[S = k] z k
k=0
∞�
k=0 n=0
∞�
n=0
∞�
P[T = n] P[X1 + ...+ Xn = k] z k
P[T = n] ψX1 (z)n �
= ψT ψX1 (z)� . ✷

3.3 Verzweigungsprozesse 81
Wir nehmen jetzt an, dass p0,p1,p2,... ∈ [0, 1] sind mit � ∞
k=0 pk = 1.Sei
(Xn,i)n,i∈N0 eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen mit P[Xn,i = k] =pk
für jedes k ∈ N0 und jedes i ∈ N.
Setze Z0 =1und
Zn =
Zn−1 �
i=1
Xn−1,i für n ∈ N.
Wir geben die folgende Interpretation an: Zn ist die Anzahl von Individuen in der
n-ten Generation einer sich zufällig entwickelnden Population. Das i-te Individuum
aus der n-ten Generation hat Xn,i Nachkommen (in der (n +1)-ten Generation).
Definition 3.9. (Zn)n∈N0 heißt Galton-Watson-Prozess oder Verzweigungsprozess
mit Nachkommenverteilung (pk)k∈N0 .
Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Verzweigungsprozessen sind
Erzeugendenfunktionen. Sei also
ψ(z) =
∞�
k=0
pk z k
die Erzeugendenfunktion der Nachkommenverteilung und ψ ′ deren Ableitung. Wir
definieren die n-te Iterierte von ψ durch
ψ1 := ψ, ψn := ψ ◦ ψn−1 für n =2, 3,...
Sei schließlich ψZn die Erzeugendenfunktion von Zn.
Lemma 3.10. Es gilt ψn = ψZn
für jedes n ∈ N.
Beweis. Für n =1ist dies per Definition richtig. Für n ∈ N folgt mit Satz 3.8
induktiv ψZn+1 = ψ ◦ ψZn = ψ ◦ ψn = ψn+1. ✷
Offenbar ist die Wahrscheinlichkeit qn := P[Zn =0],dassZ zur Zeit n schon
ausgestorben ist, wachsend in n. Wir bezeichnen mit
q := lim
n→∞ P[Zn =0]
die Aussterbewahrscheinlichkeit.
Unter welchen Bedingungen ist q =0, q =1, oder q ∈ (0, 1)? Offenbar ist q ≥ p0.
Ist andererseits p0 =0,soistZn wachsend in n, also q =0.

82 3 Erzeugendenfunktion
Satz 3.11 (Aussterbewahrscheinlichkeit des Galton-Watson-Prozesses).
Sei p1 �= 1.
(i) Es gilt {r ∈ [0, 1] : ψ(r) =r} = {q, 1}.
(ii) Es gelten die Äquivalenzen
q 1 ⇐⇒
∞�
kpk > 1.
Beweis. ψ ist strikt konvex und monoton wachsend und ψ(1) = 1. Istlim ψ
z↑1 ′ (z) ≤
1, soistψ(z) >zfür jedes z ∈ [0, 1). Istlim ψ
z↑1 ′ (z) > 1, so gibt es genau ein
r ∈ [0, 1) mit ψ(r) =r. Offenbar ist
q =0 ⇐⇒ p0 =0 ⇐⇒ ψ(0) = 0 ⇐⇒ ψ(z) 0 angenommen. Offenbar gilt
qn = ψn(0) = ψ(qn−1).
Wir wissen, dass qn ↑ q. Daψ stetig ist, gilt
k=1
ψ(q) =ψ( lim
n→∞ qn) = lim
n→∞ ψ(qn) = lim
n→∞ qn+1 = q.
Also ist q ein Fixpunkt von ψ, und wir müssen im Fall ψ ′ (1) > 1 noch ausschließen,
dass q =1ist. Ist r = ψ(r), soistr≥ ψ(0) = q0, also r = ψ(r) ≥ ψ(q0) =q1
und induktiv r ≥ qn für jedes n ∈ N0, also r ≥ q. Mithin ist q die kleinste Lösung
in [0, 1] von ψ(r) =r.
Die zweite Äquivalenz in (ii) folgt aus (3.2). ✷

4 Das Integral
Nach dem Begriff des Maßraums und der messbaren Abbildung ist das Integral
messbarer reeller Abbildungen bezüglich allgemeiner Maße, nicht nur des
Lebesgue-Maßes, wie es in den meisten Analysis-Vorlesungen behandelt wird, ein
Eckstein der systematischen Wahrscheinlichkeitstheorie, der es uns beispielsweise
erlaubt, Erwartungswerte und höhere Momente zu definieren.
In diesem Kapitel definieren wir das Integral durch Approximation mit Elementarfunktionen
und leiten einfache Eigenschaften her wie das Lemma von Fatou. Die
anderen Konvergenzsätze für Integrale folgen in den Kapiteln 6 und 7.
4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften
Sei im Folgenden stets (Ω,A,μ) ein Maßraum. Wir bezeichnen mit E den Vektorraum
der Elementarfunktionen (siehe Definition 1.93) auf (Ω,A) und mit E + :=
{f ∈ E : f ≥ 0} den Kegel (woher der Name?) der nichtnegativen Elementarfunktionen.
Gilt
m�
f = αi Ai (4.1)
i=1
für gewisses m ∈ N und für α1,...,αm ∈ (0, ∞) sowie paarweise disjunkte Mengen
A1,...,Am ∈A, so sagen wir, dass (4.1) eine Normaldarstellung der Elementarfunktion
f ist.
Lemma 4.1. Sind f = �m i=1 αi Ai und f = �n j=1 βj Bj
lungen von f ∈ E + , so gilt
m�
αi μ(Ai) =
i=1
n�
βj μ(Bj).
j=1
zwei Normaldarstel-
Beweis. Ist μ(Ai ∩ Bj) > 0 für gewisse i und j, soistAi∩Bj �= ∅, und für jedes
ω ∈ Ai ∩ Bj ist f(ω) =αi = βj. Außerdem ist offenbar Ai ⊂ �n j=1 Bj, falls
αi �= 0und Bj ⊂ �m i=1 Ai, falls βj �= 0. Es folgt

84 4 Das Integral
m�
m� n�
αi μ(Ai) = αi μ(Ai ∩ Bj)
i=1
=
i=1 j=1
m�
i=1 j=1
n�
βj μ(Ai ∩ Bj) =
n�
βj μ(Bj). ✷
Dieses Lemma erlaubt uns, die folgende Definition zu treffen (weil der definierte
Wert I(f) von der gewählten Normaldarstellung nicht abhängt).
Definition 4.2. Wir definieren eine Abbildung I : E + → [0, ∞] durch
I(f) =
m�
i=1
αi μ(Ai),
falls f die Normaldarstellung f = � m
i=1 αi Ai hat.
Lemma 4.3. Die Abbildung I ist positiv linear und monoton: Seien f,g ∈ E + und
α ≥ 0. Dann gelten die folgenden Aussagen.
(i) I(αf) =αI(f).
(ii) I(f + g) =I(f)+I(g).
(iii) Ist f ≤ g,soistI(f) ≤ I(g).
Beweis. Übung. ✷
Definition 4.4 (Integral). Ist f : Ω → [0, ∞] messbar, so definieren wir das Integral
von f bezüglich μ durch
�
fdμ:= sup � I(g) : g ∈ E + ,g≤ f � .
Bemerkung 4.5. Nach Lemma 4.3(iii) ist I(f) = � fdμfür jedes f ∈ E + .Also
ist das Integral eine Fortsetzung der Abbildung I von E + auf die Menge der nichtnegativen
messbaren Funktionen. ✸
Sind f,g : Ω → R Abbildungen, so schreiben wir f ≤ g, falls f(ω) ≤ g(ω)
für jedes ω ∈ Ω gilt. Analog verwenden wir die Schreibweise f ≥ 0 und so fort.
Hingegen schreiben wir ” f ≤ g fast überall“, falls die schwächere Bedingung gilt,
dass eine μ-Nullmenge N existiert mit f(ω) ≤ g(ω) für jedes ω ∈ N c .
j=1

4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 85
Lemma 4.6. Seien f,g,f1,f2,...messbare Abbildungen Ω → [0, ∞]. Dann gilt
(i) (Monotonie) Ist f ≤ g, dann ist � fdμ≤ � gdμ.
(ii) (Monotone Konvergenz) Gilt fn ↑ f, dann konvergieren auch die Integrale
� fn dμ ↑ � fdμ.
(iii) (Linearität) Sind α, β ∈ [0, ∞], so gilt
�
�
(αf + βg) dμ = α
wobei wir die Konvention ∞·0:=0benutzen.
�
fdμ+ β
Beweis. (i) Dies folgt direkt aus der Definition des Integrals.
(ii) Nach (i) gilt
�
lim
n→∞
�
fn dμ =sup
n∈N
gdμ,
�
fn dμ ≤ fdμ.
Wir müssen also nur noch � �
fdμ≤ sup fn dμ zeigen.
n∈N
Sei g ∈ E + mit g ≤ f. Es reicht zu zeigen, dass
� �
sup
n∈N
fn dμ ≥ gdμ. (4.2)
Die Elementarfunktion g habe die Normaldarstellung g = �N i=1 αi Ai , wobei
α1,...,αN ∈ (0, ∞) sind und A1,...,AN ∈Apaarweise disjunkt sind. Für jedes
ε>0 und n ∈ N definieren wir die Menge
B ε n = {fn ≥ (1 − ε) g}.
Wegen fn ↑ f ≥ g gilt Bε n ↑ Ω für jedes ε>0. Also gilt nach (i) für ε>0
� �
�(1
fn dμ ≥ − ε) g Bε �
dμ n
=
N�
(1 − ε) αi μ(Ai ∩ B
i=1
ε n)
n→∞
−→
N�
�
(1 − ε) αi μ(Ai) = (1−ε) gdμ.
i=1
Da ε>0 beliebig war, folgt (4.2) und damit die Aussage (ii).
(iii) Nach Satz 1.96 ist jede nichtnegative messbare Abbildung monotoner Limes
von Elementarfunktionen. Es gibt also Folgen (fn)n∈N und (gn)n∈N in E + mit

86 4 Das Integral
fn ↑ f und gn ↑ g. Es gilt dann aber auch (αfn + βgn) ↑ αf + βg. Nach (ii)
und Lemma 4.3 gilt daher
�
�
(αf + βg) dμ = lim
n→∞
(αfn + βgn) dμ
�
�
� �
= α lim
n→∞
fn dμ + β lim
n→∞
gn dμ = α fdμ+ β gdμ. ✷
Für messbares f : Ω → R ist f + ≤|f| und f − ≤|f|, also gilt auch � f ± dμ ≤
� |f| dμ. Ist speziell � |f| dμ < ∞, so ist auch � f − dμ < ∞ und � f + dμ < ∞.
Daher können wir die folgende Definition treffen, die abschließend das Integral für
messbare Funktionen erklärt.
Definition 4.7 (Integral für messbare Funktionen). Eine messbare Funktion
f : Ω → R heißt μ-integrierbar, falls � |f| dμ < ∞. Wir schreiben
L 1 (μ) :=L 1 �
(Ω,A,μ):= f : Ω → R : f ist messbar und � �
|f| dμ < ∞ .
Für f ∈L1 (μ) definieren wir das Integral von f bezüglich μ durch
�
� �
f(ω) μ(dω) := fdμ:= f + �
dμ − f − dμ. (4.3)
Ist lediglich � f − dμ < ∞ oder � f + dμ < ∞,sodefinieren wir ebenfalls � fdμ
durch (4.3), wobei wir dann die Werte +∞ beziehungsweise −∞ zulassen.
� �
Ist A ∈A, so schreiben wir fdμ:= (f A) dμ.
Satz 4.8. Sei f : Ω → [0, ∞] messbar.
A
(i) Es ist f =0 fast überall genau dann, wenn � fdμ=0gilt.
(ii) Ist � fdμ

4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 87
(ii) Sei A = {ω : f(ω) =∞}. Für n ∈ N ist 1
n f {f≥n} ≥ {f≥n}, also nach
Lemma 4.6(i)
� �
μ(A) = A dμ ≤
{f≥n} dμ ≤ 1
�
n
f {f≥n} dμ ≤ 1
�
n
Satz 4.9 (Eigenschaften des Integrals). Seien f,g ∈L 1 (μ).
(i) (Monotonie) Ist f ≤ g fast überall, so ist � fdμ≤ � gdμ.
Ist speziell f = g fast überall, so ist � fdμ= � gdμ.
(ii) (Dreiecksungleichung) Es gilt stets � � � fdμ � � ≤ � |f| dμ.
(iii) (Linearität) Sind α, β ∈ R, dann ist αf + βg ∈L1 (μ) und
�
� �
(αf + βg) dμ = α fdμ+ β gdμ.
fdμ n→∞
−→ 0. ✷
Diese Gleichung gilt auch, wenn höchstens eines der Integrale � fdμund
� gdμeinen der Werte ±∞ annimmt.
Beweis. (i) Es gilt f + ≤ g + und f − ≥ g − f.ü., also ist nach Lemma 4.6(i)
�
Es folgt
�
fdμ =
f + dμ ≤
�
�
f + �
dμ −
g + dμ und
f − dμ ≤
�
�
f − dμ ≥
g + �
dμ −
�
g − dμ.
g − dμ =
(ii) Wegen f + + f − = |f| ist nach Lemma 4.6(iii)
� �
�
�
� � �
� �
fdμ�
= � f + �
dμ − f − � �
�
dμ�
≤ f + �
dμ + f − dμ
�
gdμ.
�
�f + −
= + f � �
dμ = |f| dμ.
(iii) Wegen |αf + βg| ≤ |α| ·|f| + |β| ·|g| ist nach Lemma 4.6(i) und (iii)
auch αf + βg ∈L 1 (μ). Um die Linearität zu zeigen, reicht es die drei folgenden
Eigenschaften zu prüfen.
(a) � (f + g) dμ = � fdμ+ � gdμ.
(b) Für α ≥ 0 ist � αf dμ = α � fdμ.
(c) � (−f) dμ = − � fdμ.

88 4 Das Integral
Zu (a): Es ist (f + g) + − (f + g) − = f + g = f + − f − + g + − g− , also ist
(f + g) + + f − + g− =(f + g) − + f + + g + . Nach Lemma 4.6(iii) gilt
�
(f + g) + �
dμ + f − �
dμ + g − �
dμ = (f + g) − �
dμ + f + �
dμ + g + dμ,
also ist
�
�
(f + g) dμ =
�
=
�
=
Zu (b):
�
Für α ≥ 0 ist
�
αf dμ = αf + �
dμ −
Zu (c): Es ist
�
�
(−f) dμ =
�
=
(f + g) + �
dμ − (f + g) − dμ
f + �
dμ − f − �
dμ + g + �
dμ −
fdμ+ gdμ.
αf − �
dμ = α
f + �
dμ − α
(−f) + �
dμ − (−f) − dμ
f − �
dμ − f + �
dμ = −
�
g − dμ
f − �
dμ = α
fdμ.
fdμ.
Der Zusatz ist simpel und verbleibt zur Übung. ✷
Satz 4.10 (Bildmaß). Seien (Ω,A) und (Ω ′ , A ′ ) Messräume, μ ein Maß auf (Ω,A)
und X : Ω → Ω ′ messbar. Sei μ ′ = μ ◦ X −1 das Bildmaß von μ unter X und
f : Ω ′ → R integrierbar bezüglich μ ′ . Dann ist f ◦ X ∈L1 (μ) und
�
�
(f ◦ X) dμ = fd(μ◦ X −1 ).
Ist speziell X eine Zufallsvariable auf (Ω,A, P),soist
�
�
� �
f(x) P[X ∈ dx] := f(x) PX[dx] = fdPX = f(X(ω)) P[dω].
Beweis. Übung! ✷
Beispiel
�
4.11 (Diskreter Maßraum). Sei (Ω,A) ein diskreter Messraum und μ =
αωδω für gewisse Zahlen αω ≥ 0, ω ∈ Ω. Eine Abbildung f : Ω → R ist
ω∈Ω
genau dann integrierbar, wenn �
|f(ω)| αω < ∞ ist. In diesem Fall gilt
ω∈Ω
�
fdμ= �
f(ω) αω. ✸
ω∈Ω

4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 89
Definition 4.12 (Lebesgue-Integral). Sei λ das Lebesgue-Maß auf R n und f :
R n → R messbar bezüglich B ∗ (R n ) – B(R) (wobei B ∗ (R n ) die Lebesgue’sche
σ-Algebra ist, siehe Beispiel 1.71) und λ-integrierbar. Dann nennen wir
�
fdλ
das Lebesgue-Integral von f. IstA∈B(Rn ) und f : Rn → R messbar (oder
f : A → R messbar bezüglich B∗ (Rn ) � � – B(R) und damit f A messbar bezüglich
A
B ∗ (R n ) – B(R)), so schreiben wir
�
A
�
fdλ:= f A dλ.
Definition 4.13. Sei μ ein Maß auf (Ω,A) und f : Ω → [0, ∞) messbar. Wir sagen,
dass das durch
�
ν(A) := ( A f) dμ für A ∈A
definierte Maß fμ := ν die Dichte f bezüglich μ hat.
Bemerkung 4.14. Wir müssen noch zeigen, dass ν ein Maß ist und prüfen hierzu
die Bedingung von Satz 1.36 nach. Offenbar ist ν(∅) =0. Endliche Additivität folgt
aus der Additivität des Integrals (Lemma 4.6(iii)) und Stetigkeit von unten aus dem
Satz von der monotonen Konvergenz (Satz 4.20). ✸
Satz 4.15. Es ist g ∈L1 (fμ) genau dann, wenn (gf) ∈L1 (μ). In diesem Fall gilt
�
�
gd(fμ)= (gf) dμ.
Beweis. Die Aussage gilt zunächst für Indikatorfunktionen und wird dann mit den
üblichen Argumenten auf Elementarfunktionen, nichtnegative Funktionen sowie
schließlich auf messbare Funktionen fortgesetzt. ✷
Definition 4.16. Für messbares f : Ω → R definieren wir
��
�f�p := |f| p �1/p dμ , falls p ∈ [1, ∞),
und
�f�∞ := inf � K ≥ 0:μ({|f| >K}) =0 � .
Ferner definieren wir für jedes p ∈ [1, ∞] den Vektorraum
L p �
�
(μ) := f : Ω → R ist messbar und �f�p < ∞ .

90 4 Das Integral
Satz 4.17. Die Abbildung � · �1 ist eine Pseudonorm auf L 1 (μ), das heißt, es gilt
für f,g ∈L 1 (μ) und α ∈ R
�αf�1 = |α|·�f�1
�f + g�1 ≤�f�1 + �g�1
�f�1 ≥ 0 für alle f und �f�1 =0, falls f =0 f.ü.
(4.4)
Beweis. Die erste und dritte Aussage folgen aus Satz 4.9(iii) und Satz 4.8(i). Die
zweite folgt aus Satz 4.9(i), denn es ist |f + g| ≤|f| + |g|, also
�
� �
�f + g�1 = |f + g| dμ ≤ |f| dμ + |g| dμ = �f�1 + �g�1. ✷
Bemerkung 4.18. Tatsächlich ist � · �p für jedes p ∈ [1, ∞] eine Pseudonorm auf
L p (μ). Linearität und Positivität sind klar, und die Dreiecksungleichung ist die Minkowski’sche
Ungleichung, die wir in Satz 7.17 zeigen werden. ✸
Satz 4.19. Seien μ(Ω) < ∞ und 1 ≤ p ′ ≤ p ≤∞. Dann ist Lp (μ) ⊂Lp′ (μ), und
die kanonische Inklusion i : Lp (μ) ↩→ Lp′ (μ), f ↦→ f ist stetig.
Beweis. Sei f ∈L∞ (μ) und p ′ ∈ [1, ∞). Dannist|f| p′
�
|f| p′
�
dμ ≤
�f� p′
∞ dμ = �f� p′
∞ · μ(Ω) < ∞.
≤�f� p′
∞ fast überall, also
Für f,g ∈L∞ (μ) ist also �f − g�p ′ ≤ μ(Ω)1/p′ �f − g�∞ und damit ist i stetig.
Seien nun p, p ′ ∈ [1, ∞) mit p ′ 0 ist
|f − g| p′
= |f − g| p′
{|f−g|≤c} + |f − g| p′
Speziell erhalten wir mit c = �f − g�p
{|f−g|>c} ≤ c p′
+ c p′ −p p
|f − g| .
�
�f − g�p ′ ≤ c p′
μ(Ω)+c p′ � ′
1/p
−p p
�f − g�p =(1+μ(Ω)) 1/p′
�f − g�p.
Also ist i auch in diesem Falle stetig. ✷
Übung 4.1.1 (Folgenräume). Wir nehmen jetzt nicht mehr an, dass μ(Ω) < ∞ ist.
Man zeige: Gibt es ein a>0, sodass für jedes A ∈Aentweder μ(A) =0oder
μ(A) ≥ a gilt, so gilt die zu Satz 4.19 umgekehrte Inklusion
L p′
(μ) ⊂L p (μ), falls 1 ≤ p ′ ≤ p ≤∞. (4.5)
♣

4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou 91
Übung 4.1.2. Sei 1 ≤ p ′

92 4 Das Integral
Beispiel 4.22 (Petersburger Spiel). Wir wollen durch ein Beispiel zeigen, dass auf
die Voraussetzung der Existenz einer integrierbaren Minorante im Lemma von Fatou
nicht verzichtet werden kann. Wir betrachten ein Glücksspiel in einem Casino,
bei dem in jeder Runde ein vom Spieler gewählter Einsatz entweder verdoppelt
zurückgezahlt wird oder verloren geht. Dies ist etwa beim Roulette der Fall, wo der
Spieler zum Beispiel auf Rot“ setzen kann. Kommt eine rote Zahl, so gewinnt der
”
Spieler seinen Einsatz verdoppelt zurück, ansonsten verliert er ihn. Es gibt 37 Felder,
von denen 18 rot sind und 18 schwarz, sowie die Null, die grün ist. Die Gewinnchance
sollte also p = 18 1
37 < 2 betragen. Dieses Glücksspiel werde unendlich oft unabhängig
hintereinander ausgeführt. Wir können es also auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,A, P) realisieren, wobei (Ω = {−1, 1} N , A =(2 {−1,1} ) ⊗N die von
den Zylindern [ω1,...,ωn] erzeugte σ-Algebra ist und P =((1−p)δ−1 + pδ1) ⊗N
das Produktmaß. Wir bezeichnen mit Dn : Ω →{−1, 1}, ω ↦→ ωn das Ergebnis der
n-ten Runde für jedes n ∈ N. Macht der Spieler in der n-ten Runde den (zufälligen)
Einsatz Hn, so beträgt die Summe der Gewinne nach der n-ten Runde
n�
Sn = HnDn.
i=1
Wir nehmen nun an, dass der Spieler die folgende Strategie verfolgt: In der ersten
Runde ist der Einsatz H1 =1. Gewinnt er, so setzt er in den folgenden Spielen gar
nicht mehr, also ist Hn =0für jedes n ≥ 2, falls D1 =1. Verliert er hingegen, so
setzt er in der zweiten Runde den doppelten Einsatz, also ist H2 =2, falls D1 = −1.
Gibt die zweite Runde einen Gewinn, so setzt er ab der dritten Runde gar nicht
mehr, andernfalls verdoppelt er wiederum seinen Einsatz in der dritten Runde und
so weiter. Wir erhalten also als Strategie
�
0, falls es ein i ∈{1,...,n− 1} gibt mit Di =1,
Hn =
2n−1 , sonst.
Man beachte, dass Hn nur von D1,...,Dn−1 abhängt, also messbar ist bezüglich
σ(D1,...,Dn−1). Dies ist offenbar ein wichtige Forderung an jede Spielstrategie,
da man die Entscheidung über den Einsatz aufgrund der vorhandenen Kenntnis zum
jeweiligen Zeitpunkt treffen muss und nicht in die Zukunft blicken kann.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt n kein Spiel gewonnen wurde ist
(1 − p) n , also ist P[Sn =1−2n ]=(1−p) n und P[Sn =1]=1− (1 − p) n .Man
erwartet also im Mittel einen Gewinn von
�
Sn dP =(1−p) n (1 − 2 n )+(1− (1 − p) n )=1− � 2(1− p) �n ≤ 0,
da p ≤ 1
2 ist (in den profitablen Spielbanken). Wir setzen nun
�
−∞, falls − 1=D1 = D2 = ...,
S =
1, sonst.

4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral 93
n→∞
�
Dann gilt Sn −→ S f.s., jedoch ist limn→∞ Sn dP < � SdP =1, weil S =1
fast sicher gilt. Nach dem Lemma von Fatou ist dies nur möglich, wenn es keine
integrierbare Minorante zur Folge (Sn)n∈N gibt. Setzen wir ˜ S := inf{Sn : n ∈ N},
so gilt in der Tat P[ ˜ S =1−2n−1 ]=P[D1 = ...= Dn−1 = −1 undDn =1}] =
p(1 − p) n−1 , also � SdP ˜
�∞ = n=1 (1 − 2n−1 ) p(1 − p) n−1 = −∞, weil p ≤ 1
2 .✸
Übung 4.2.1. Sei (Ω,A,μ) ein Maßraum und f ∈L 1 (μ). Man zeige: Zu jedem
ε>0 gibt es ein A ∈Amit μ(A) < ∞ und � � �
A fdμ− � fdμ � �

94 4 Das Integral
Satz 4.23 (Riemann-Integral und Lebesgue-Integral). Sei f : I → R Riemannintegrierbar
auf I =[a, b]. Dann ist f Lebesgue-integrierbar auf I mit Integral
�
I
fdλ=
� b
a
f(x) dx.
Beweis. Sei t so gewählt, dass (4.6) gilt. Nach Voraussetzung gibt es ein n ∈ N
mit |U t n(f)| < ∞ und |O t n(f)| < ∞. Alsoistf beschränkt. Indem wir f durch
f + �f�∞ ersetzen, können wir annehmen, dass f ≥ 0 gilt. Setze
gn := f(b) {b} +
hn := f(b) {b} +
n�
i=1
n�
i1
(inf f([t n i−1,t n i ))) [t n i−1 ,t n i ),
(sup f([t n i−1,t n i ))) [t n i−1 ,t n i ).
Da t n+1 eine Verfeinerung von t n ist, gilt gn ≤ gn+1 ≤ hn+1 ≤ hn. Also existieren
g und h mit gn ↑ g und hn ↓ h. Nach Konstruktion gilt g ≤ h und
�
�
gdλ= lim
I
n→∞
gn dλ = lim
I
n→∞ U t n(f)
� �
hn dλ = hdλ.
= lim
n→∞ Ot n(f) = lim
n→∞
Also ist λ-fast überall h = g. Nach Konstruktion ist g ≤ f ≤ h, und g und h sind als
Limiten von Elementarfunktionen messbar bezüglich B(I) – B(R). Es folgt, dass
für jedes α ∈ R
{f ≤ α} = � {g ≤ α}∩{g = h} � ⊎ � {f ≤ α}∩{g �= h} �
die Vereinigung einer B(I)-Menge mit einer Teilmenge einer Nullmenge ist, also in
B(I) ∗ (der Lebesgue’schen Vervollständigung von B(I)) liegt. Mithin ist f messbar
bezüglich B(I) ∗ . Nach dem Satz über monotone Konvergenz (Satz 4.20) ist
�
I
�
fdλ= lim gn dλ =
n→∞
I
� b
a
I
f(x) dx. ✷
Beispiel 4.24. Sei f :[0, 1] → R, x ↦→ Q. Dannistfoffenbar nicht Riemannintegrierbar,
weil Un(f) =0und On(f) =1für jedes n ∈ N. Andererseits ist f
Lebesgue-integrierbar mit Integral �
fdλ=0,dennQ∩ [0, 1] ist eine Nullmen-
[0,1]
ge. ✸
I

4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral 95
Bemerkung 4.25. Eine uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion f auf einem
halboffenen Intervall I =(a, b] oder I =[0, ∞) ist nicht notwendigerweise auch
Lebesgue-integrierbar. Hier wird nämlich das uneigentliche Integral � ∞
f(x) dx :=
� 0
n
limn→∞ f(x) dx durch eine Grenzwertprozedur definiert, die Rücksicht auf die
0
Geometrie von R nimmt. Dies tut das Lebesgue-Integral nicht. So ist die Funktion
f :[0, ∞) → R, x ↦→ 1
1+x sin(x) (uneigentlich) Riemann-integrierbar, jedoch nicht
Lebesgue-integrierbar, weil �
|f| dλ = ∞ ist. ✸
[0,∞)
Wir haben schon gesehen, dass uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen
nicht notwendigerweise auch Lebesgue-integrierbar sind. Andererseits gibt es Lebesgue-integrierbare
Funktionen, die nicht Riemann-integrierbar sind (wie etwa
Q). Geometrisch lässt sich dies so interpretieren, dass das Riemann-Integral die
Geometrie des Integrationsbereiches respektiert, indem es als Grenzwert von Flächen
schmaler senkrechter Streifen entsteht, während das Lebesgue-Integral als Grenzwert
mit flachen waagerechten Streifen gedacht werden kann. Insbesondere macht
dieses Integral gar keine Annahmen an den Definitionsbereich des Integranden, weshalb
es eben universeller einsetzbar ist. Um dies zu unterstreichen, bringen wir einen
Satz, der uns auch ansonsten noch nützlich sein wird.
Satz 4.26. Sei f : Ω → R messbar und f ≥ 0 fast überall. Dann gelten
∞�
μ({f ≥ n}) ≤
�
fdμ ≤
∞�
μ({f >n}) (4.7)
n=1
und �
fdμ =
� ∞
0
n=0
μ({f ≥ t}) dt. (4.8)
Beweis. Setze f ′ = ⌊f⌋ und f ′′ = ⌈f⌉. Dannistf ′ ≤ f ≤ f ′′ und deshalb
� f ′ dμ ≤ � fdμ≤ � f ′′ dμ. Nun ist
�
Analog ist
f ′ dμ =
�
∞�
μ({f ′ = k}) · k =
k=1
f ′′ dμ =
=
=
∞�
k=1 n=1
∞�
n=1 k=n
k�
μ({f ′ = k})
∞�
μ({f ′ = k})
∞�
μ({f ′ ≥ n}) =
n=1
∞�
μ({f ′′ ≥ n}) =
n=1
∞�
μ({f ≥ n}).
n=1
∞�
μ({f >n−1}). n=1

96 4 Das Integral
Hieraus folgt (4.7).
Gilt g(t) :=μ({f ≥ t}) =∞ für ein t>0, so sind beide Seiten in (4.8) gleich ∞.
Sei im Folgenden also g(t) < ∞ für alle t>0.
Für ε>0 und k ∈ N setze f ε := f {f≥ε} sowie f ε k =2kfε und
Dann gilt α ε k
α ε k =2 −k
≤ 2 −k
∞�
α ε k := 2 −k
μ({f
n=1
ε ≥ n2 −k }).
k→∞
−→ � ∞
ε g(t) dt. Ferner gilt nach (4.7) (mit f ε k statt f)
∞�
μ({f ε �
k ≥ n}) ≤ f ε dμ
n=1
∞�
Wegen 2 −k g(ε) k→∞
∞�
μ({f
n=0
ε k >n}) =2 −k
μ({f
n=0
ε >n2 −k }) ≤ α ε k +2 −k g(ε).
−→ 0 folgt � ∞
ε g(t) dt = � f ε dμ. Wegenfε↑f für ε ↓ 0 folgt
(4.8) aus dem Satz über monotone Konvergenz. ✷
Übung 4.3.1. Sei f :[0, 1] → R beschränkt. Zeige: f ist genau dann (eigentlich)
Riemann-integrierbar, wenn fλ-f.ü. stetig ist. ♣
Übung 4.3.2. Ist f :[0, 1] → R Riemann-integrierbar, so ist f Lebesgue-messbar.
Man zeige durch ein Beispiel, dass f nicht Borel-messbar sein muss. (Hinweis: Man
verwende ohne Beweis die Existenz einer Teilmenge von [0, 1], die nicht Borelmessbar
ist und konstruiere hieraus eine nicht-Borel’sche Menge, deren Abschluss
eine Nullmenge ist.) ♣

5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Die wichtigsten Kenngrößen für Zufallsvariablen sind Median, Erwartungswert und
Varianz. Der Erwartungswert beschreibt für großes n den typischen ungefähren
Wert des arithmetischen Mittels (X1 + ... + Xn)/n von u.i.v. Zufallsvariablen
(Gesetz der Großen Zahl). In Kapitel 15 werden wir sehen, wie die Varianz hingegen
die typischen Abweichungen des arithmetischen Mittels vom Erwartungswert
determiniert.
5.1 Momente
Im Folgenden sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 5.1. Sei X eine Zufallsvariable.
(i) Ist X ∈L1 (P),soheißtXintegrierbar, und wir nennen
�
E[X] := XdP
den Erwartungswert von X. IstE[X] =0,soheißtXzentriert. Etwas allgemeiner
schreiben wir auch E[X] = � XdP, falls nur X− oder X + integrierbar
ist.
(ii) Ist n ∈ N und X ∈Ln (P), so heißen die Größen
mk := E � X k� , Mk := E � |X| k�
für jedes k =1,...,n,
die k-ten Momente beziehungsweise absoluten Momente von X.
(iii) Ist X ∈L2 (P),soheißtXquadratintegrierbar, und wir nennen
Var[X] :=E � X 2� − E[X] 2
die Varianz von X. Die Zahl σ := √ Var[X] heißt die Streuung oder Standardabweichung
von X. Formal setzen wir manchmal Var[X] = ∞, falls
E[X 2 ]=∞ ist.

98 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
(iv) Sind X, Y ∈L 2 (P), sodefinieren wir die Kovarianz von X und Y durch
Cov[X, Y ]:=E �� X − E[X] �� Y − E[Y ] �� .
X und Y heißen unkorreliert, falls Cov[X, Y ]=0ist.
Bemerkung 5.2. (i) Die Definition in (ii) ist sinnvoll, denn für X ∈L n (P) ist
nach Satz 4.19 Mk < ∞ für jedes k =1,...,n.
(ii) Sind X, Y ∈L 2 (P), soistwegen|XY |≤X 2 + Y 2 auch XY ∈L 1 (P).
Deshalb ist die Definition in (iv) sinnvoll, und es gilt
Cov[X, Y ]=E[XY ] − E[X] E[Y ].
Speziell ist Var[X] =Cov[X, X]. ✸
Wir fassen die wichtigsten Rechenregeln für Erwartungswerte als Satz zusammen.
Alle aufgeführten Eigenschaften folgen direkt aus den Eigenschaften des Integrals.
Satz 5.3 (Rechenregeln für den Erwartungswert). Seien X, Y, Xn,Yn, n ∈ N,
reelle integrierbare Zufallsvariablen auf (Ω,A, P). Dann gilt
(i) Ist PX = PY ,soistE[X] =E[Y ].
(ii) (Linearität) Sei c ∈ R. Dann gelten cX ∈L 1 (P) und X + Y ∈L 1 (P) sowie
E[cX] =cE[X] und E[X + Y ]=E[X]+E[Y ].
(iii) Ist X ≥ 0 fast sicher, so gilt
E[X] =0 ⇐⇒ X =0 fast sicher.
(iv) (Monotonie) Gilt X ≤ Y fast sicher, so gilt E[X] ≤ E[Y ] mit Gleichheit
genau dann, wenn X = Y fast sicher.
(v) (Dreiecksungleichung) Es ist � � � �
�E[X] � ≤ E |X| .
�
� ∞�
(vi) Ist Xn ≥ 0 fast sicher für jedes n ∈ N, soistE (vii) Gilt Yn ↑ Y , so gilt E[Y ] = limn→∞ E[Yn].
Xn
n=1
= ∞�
E[Xn].
Die Wahrscheinlichkeitstheorie beginnt wieder an der Stelle, wo die Unabhängigkeit
ins Spiel kommt, wir also den Bereich der linearen Integrationstheorie verlassen.
Satz 5.4 (Unabhängige Zufallsvariablen sind unkorreliert).
Seien X, Y ∈ L 1 (P) unabhängig. Dann ist (XY) ∈ L 1 (P) und E[XY ] =
E[X] E[Y ]. Speziell sind unabhängige Zufallsvariablen unkorreliert.
n=1

5.1 Momente 99
Beweis. Wir nehmen zunächst an, dass X und Y nur endlich viele Werte annehmen.
Dann nimmt auch XY nur endlich viele Werte an, speziell ist offenbar
XY ∈L1 (P). Es folgt
E[XY ]= �
z P[XY = z]
z∈R\{0}
= �
�
z∈R\{0} x∈R\{0}
= �
�
y∈R\{0} x∈R\{0}
x∈R
x z
P[X = x, Y = z/x]
x
xy P[X = x] P[Y = y]
�
�
��
�
�
= x P[X = x] y P[Y = y]
= E[X] E[Y ].
Für N ∈ N sind auch die Zufallsvariablen XN := � 2 −N � 2 N |X| �� ∧ N und YN :=
� 2 −N � 2 N |Y | �� ∧ N, die nur endlich viele Werte annehmen, unabhängig, und es
gilt XN ↑|X| sowie YN ↑|Y |. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
(Satz 4.20) ist daher
y∈R
E[|XY |] = lim
N→∞ E[XN YN ] = lim
N→∞ E[XN ] E[YN ]
�
= lim
N→∞ E[XN
��
] lim
N→∞ E[YN
�
] = E[|X|] E[|Y |] < ∞.
Also ist XY ∈L 1 (P). Außerdem haben wir damit den Satz gezeigt für den Fall,
wo X und Y nichtnegativ sind. Daher (und weil jede der Familien {X + ,Y + },
{X − ,Y + }, {X + ,Y − } und {X − ,Y − } unabhängig ist) gilt
E[XY ]=E[(X + − X − )(Y + − Y − )]
= E[X + Y + ] − E[X − Y + ] − E[X + Y − ]+E[X − Y − ]
= E[X + ] E[Y + ] − E[X − ] E[Y + ] − E[X + ] E[Y − ]+E[X − ] E[Y − ]
= E[X + − X − ] E[Y + − Y − ]=E[X] E[Y ]. ✷
Satz 5.5 (Wald’sche Identität). Seien T,X1,X2,... unabhängige, reelle Zufallsvariablen
in L1 (P). EsseiP[T ∈ N0] =1, und es seien X1,X2,... identisch
verteilt. Wir setzen
T�
ST := Xi.
i=1
Dann ist ST ∈L 1 (P) und E[ST ]=E[T ] E[X1].
Beweis. Setze Sn = �n i=1 Xi für n ∈ N0. DannistST = �∞ n=1 Sn {T =n}.
Nach Bemerkung 2.15 sind Sn und {T =n} unabhängig für jedes n ∈ N und damit
unkorreliert. Es folgt (mit Hilfe der Dreiecksungleichung, siehe Satz 5.3(v))

100 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
E � |ST | � =
≤
∞�
n=1
E � �
|Sn| {T =n} =
∞�
n=1
E � |Sn| � E � �
{T =n}
∞�
E � |X1| � n P[T = n] =E[|X1|] E[T ].
n=1
Die selbe Rechnung ohne Betragstriche liefert den Rest der Behauptung. ✷
Wir stellen hier ein paar einfache Eigenschaften der Varianz zusammen.
Satz 5.6. Sei X ∈L 2 (P). Dann gilt:
(i) Var[X] =E � (X − E[X]) 2� ≥ 0,
(ii) Var[X] =0 ⇐⇒ X = E[X] fast sicher,
(iii) Die Abbildung f : R → R, x ↦→ E � (X −x) 2� ist minimal genau in x0 = E[X]
mit f(E[X]) = Var[X].
Beweis. (i) Klar nach Bemerkung 5.2(ii).
(ii) Nach Satz 5.3(iii) ist E � (X − E[X]) 2� =0 ⇐⇒ (X − E[X]) 2 =0f.s.
(iii) Es ist f(x) =E[X 2 ] − 2x E[X]+x 2 = Var[X]+(x − E[X]) 2 . ✷
Satz 5.7. Die Abbildung Cov : L2 (P) ×L2 (P) → R ist eine positiv semidefinite
symmetrische Bilinearform, und es gilt Cov[X, Y ]=0, falls Y fast sicher konstant
ist. Ausgeschrieben heißt dies: Für X1,..., Xm, Y1,..., Yn ∈L2 (P) und
α1,...,αm, β1,...,βn ∈ R, sowie d, e ∈ R gilt
⎡
⎤
m�
n�
Cov ⎣d + αiXi,e+ ⎦ = �
αiβj Cov[Xi,Yj]. (5.1)
i=1
βjYj
j=1
Speziell gilt die Bienaymé-Gleichung
�
m�
�
m�
Var = Var[Xi]+
Xi
i=1
i=1
i,j
m�
i,j=1
i�=j
Cov[Xi,Xj]. (5.2)
Für unkorrelierte X1,...,Xm gilt Var [ � m
i=1 Xi] = � m
i=1 Var[Xi].

Beweis.
� m�
Cov d + αi Xi, e+
i=1
n�
j=1
��
�m
= E
=
=
m�
i=1
i=1 j=1
m�
i=1 j=1
βj Yj
�
��
�n
αi(Xi − E[Xi])
j=1
5.1 Momente 101
��
βj(Yj − E[Yj])
n�
αiβj E � (Xi − E[Xi])(Yj − E[Yj]) �
n�
αiβj Cov[Xi,Yj]. ✷
Satz 5.8 (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung). Sind X, Y ∈L2 (P), sogilt
� �2 Cov[X, Y ] ≤ Var[X] Var[Y ].
Es gilt genau dann Gleichheit, wenn es a, b, c ∈ R gibt aX + bY + c =0 f.s.
Beweis. Die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung gilt für jede positiv semidefinite
Bilinearform 〈 · , · 〉 auf einem Vektorraum V . Es gilt jeweils genau dann Gleichheit
〈x, y〉 2 = 〈x, x〉〈y, y〉, wenn es Zahlen a, b ∈ R gibt mit 〈ax − by, ax − by〉 =0.
Wenden wir dies auf die positiv semidefinite Bilinearform Cov[ · , · ] auf L2 (P)
an, so erhalten wir die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung für X, Y ∈L2 (P) mit
Gleichheit genau dann, wenn Var[aX + bY ]=0, also genau dann, wenn (vergleiche
Satz 5.6(ii)) aX + bY = c := E[aX + bY ] fast sicher.
Zeigen wir nun also die Aussage für die allgemeine positiv semidefinite Bilinearform
auf R. Ohne Einschränkung gilt 〈y, y〉 > 0 (sonst ist die Aussage trivial). Es
gilt dann mit θ = − 〈x,y〉
〈y,y〉
0 ≤ � x + θy, x + θy � �
〈y, y〉 = 〈x, x〉 +2θ〈x, y〉 + θ 2 �
〈y, y〉 〈y, y〉
= 〈x, x〉〈y, y〉−〈x, y〉 2 . ✷
Beispiel 5.9. (i) Es sei p ∈ [0, 1] und X ∼ Berp. DannistE[X 2 ]=E[X] =
P[X =1]=p und damit Var[X] =p(1 − p).
(ii) Seien n ∈ N und p ∈ [0, 1] sowie X binomialverteilt X ∼ bn,p. Dannist

102 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Ferner ist
E[X] =
n�
kP[X = k] =
k=0
= np ·
E[X(X − 1)] =
=
n�
k=1
n�
� �
n
k p
k
k (1 − p) n−k
k=0
� �
n − 1
p
k − 1
k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np.
n�
k(k − 1) P[X = k]
k=0
n�
� �
n
k(k − 1) p
k
k (1 − p) n−k
k=0
= np ·
n�
� �
n − 1
(k − 1) p
k − 1
k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1)
k=1
= n(n − 1)p 2 ·
= n(n − 1)p 2 .
n�
k=2
� �
n − 2
p
k − 2
k−2 (1 − p) (n−2)−(k−2)
Also ist E[X 2 ]=E[X(X − 1)] + E[X] =n 2 p 2 + np(1 − p) und damit Var[X] =
np(1 − p).
Etwas einfacher als durch die direkte Berechnung sehen wir dies ein, indem wir
bemerken (siehe nach Beispiel 3.4(ii)), dass bn,p = b ∗n
1,p. Das heißt, es gilt (siehe
Satz 2.31) PX = PY1+...+Yn ,woY1,...,Yn unabhängig sind und Yi ∼ Berp für
jedes i =1,...,n. Es folgt
E[X] = nE[Y1] = np
Var[X] = nVar[Y1] = np(1 − p).
(iii) Seien μ ∈ R und σ 2 > 0 sowie X normalverteilt X ∼N μ,σ 2.Dannist
E[X] =
=
1
√ 2πσ 2
1
√ 2πσ 2
= μ +
� ∞
−∞
� ∞
1
√ 2πσ 2
−∞
� ∞
xe −(x−μ)2 /(2σ 2 ) dx
(x + μ) e −x2 /(2σ 2 ) dx
−∞
Ähnlich folgt Var[X] =E[X 2 ] − μ 2 = ...= σ 2 .
xe −x2 /(2σ 2 ) dx = μ
(5.3)
(5.4)

(iv) Sei θ>0 und X exponentialverteilt X ∼ exp θ.Dannist
E[X] =θ
� ∞
Var[X] =−θ −2 + θ
0
xe −θx dx = 1
θ ,
� ∞
x
0
2 e −θx dx = θ −2
�
−1+
� ∞
0
5.1 Momente 103
x 2 e −x �
dx = θ −2 . ✸
Satz 5.10 (Blackwell-Girshick). Seien T,X1,X2,...unabhängige, reelle Zufallsvariablen
in L2 (P). EsseiP[T ∈ N0] =1, und es seien X1,X2,... identisch
verteilt. Wir setzen
T�
ST := Xi.
Dann ist ST ∈L 2 (P) und
i=1
Var[ST ]=E[X1] 2 Var[T ]+E[T ] Var[X1].
Beweis. Wir setzen Sn = � n
i=1 Xi für n ∈ N. Dann sind (wie beim Beweis der
Wald’schen Identität) Sn und {T =n} unabhängig, also S 2 n und {T =n} unkorreliert
und damit
E � S 2 �
T =
=
=
=
∞�
n=0
∞�
n=0
E � {T =n} S 2� n
E[ {T =n}] E � S 2� n
∞�
P[T = n] � Var[Sn]+E[Sn] 2�
n=0
∞�
n=0
�
P[T = n] n Var[X1]+n 2 E[X1] 2�
= E[T ] Var[X1]+E � T 2� E[X1] 2 .
Nach der Wald’schen Identität (Satz 5.5) ist E[ST ]=E[T ] E[X1], also ist
Var[ST ]=E � S 2 �
T − E[ST ] 2 = E[T ] Var[X1]+ � E � T 2� − E[T ] 2� E[X1] 2 .
Dies ist aber die Behauptung. ✷
Übung 5.1.1. Man zeige (mit Satz 4.15): Ist X eine integrierbare reelle Zufallsvariable,
deren Verteilung PX die Dichte f (bezüglich des Lebesgue-Maßes λ) besitzt,
so gilt
�
E[X] = xf(x) λ(dx). ♣
R

104 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Übung 5.1.2. Sei X ∼ βr,s eine Beta-verteilte Zufallsvariable mit Parametern
r, s > 0 (vergleiche Beispiel 1.107(ii)). Man zeige
E[X n ]=
n−1 �
k=0
r + k
r + s + k
für jedes n ∈ N. ♣
Übung 5.1.3. Es seien X1,X2,...u.i.v. nichtnegative Zufallsvariablen. Man zeige
mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli:
1
lim sup
n→∞ n Xn
�
0 f.s., falls E[X1] < ∞,
=
♣
∞ f.s., falls E[X1] =∞.
Übung 5.1.4. Es seien X1,X2,... u.i.v. nichtnegative Zufallsvariablen Man zeige
mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli: Für jedes c ∈ (0, 1) gilt
∞�
lim sup e
n→∞
Xn c n
�
< ∞ f.s., falls E[X1] < ∞,
♣
= ∞ f.s., falls E[X1] =∞.
n=1
5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl
Satz 5.11 (Markov’sche Ungleichung, Chebyshev’sche Ungleichung).
Sei X eine Zufallsvariable und f :[0, ∞) → [0, ∞) monoton wachsend. Dann
gilt für jedes ε>0 mit f(ε) > 0 die Markov’sche Ungleichung
P � |X| ≥ε � ≤ E[f(|X|)]
.
f(ε)
Im Spezialfall f(x) =x 2 erhalten wir P � |X| ≥ε � ≤ ε −2 E � X 2� und, falls
X ∈L 2 (P), insbesondere die Chebyshev’sche Ungleichung
Beweis. Es gilt
P � |X − E[X]| ≥ε � ≤ ε −2 Var[X].
E[f(|X|)] ≥ E � �
f(|X|) {f(|X|)≥f(ε)}
≥ E � �
f(ε) {f(|X|)≥f(ε)}
≥ f(ε) P � |X| ≥ε � . ✷

5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl 105
Definition 5.12. Sei (Xn)n∈N eine Folge reeller Zufallsvariablen in L 1 (P) und
�Sn = � n
i=1 (Xi − E[Xi]).
(i) Wir sagen, (Xn)n∈N genüge dem schwachen Gesetz der großen Zahl, falls
lim
n→∞ P
��
��� 1
n � �
�
Sn�
� >ε
�
=0 für jedes ε>0.
(ii) Wir sagen, (Xn)n∈N genüge dem starken Gesetz der großen Zahl, falls
� �
�
P lim sup �
1
�
n→∞ n � �
�
Sn�
� =0
�
=1.
Bemerkung 5.13. Das starke Gesetz der großen Zahl impliziert das schwache. Ist
nämlich Aε ��� 1
n := n � � � � �
Sn�
>ε und A = lim sup � 1
n
n→∞
� � �
Sn�
> 0 , so gilt offenbar
A = �
lim sup A
n→∞
m∈N
1/m
n ,
�
also P lim sup A
n→∞
ε �
n =0für ε>0. Nach dem Lemma von Fatou (Satz 4.21) ist
�
lim sup P [A
n→∞
ε n]=1− lim inf
n→∞ E � (Aε n )c
�
≤ 1 − E lim inf
n→∞
(Aε n )c
�
�
= E lim sup
n→∞
Aε n
�
= 0. ✷
Satz 5.14. Seien X1,X2,... unkorrelierte Zufallsvariablen in L2 (P) mit V :=
supn∈N Var[Xn] < ∞. Dann genügt (Xn)n∈N dem schwachen Gesetz der großen
Zahl. Es gilt sogar für jedes ε>0
��
��� 1
P
n � � �
�
Sn�
� ≥ ε
≤ V
ε 2 n
für jedes n ∈ N. (5.5)
Beweis. Ohne Einschränkung sei E[Xi] = 0 für jedes i ∈ N und damit Sn =
X1 + ···+ Xn. Nach der Formel von Bienaymé (Satz 5.7) ist
Var
� 1
n � Sn
�
= n −2
n�
i=1
Var [Xi] ≤ V
n .
Nach der Chebyshev’schen Ungleichung (Satz 5.11) gilt für ε>0
P � | � Sn/n| >ε � ≤ V
ε 2 n
n→∞
−→ 0. ✷

106 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Beispiel 5.15 (Weierstraß’scher Approximationssatz). Sei f :[0, 1] → R eine
stetige Abbildung. Nach dem Weierstraß’schen Approximationssatz existieren Polynome
fn vom Grad höchstens n, sodass
�fn − f�∞
n→∞
−→ 0,
wobei �f�∞ := sup{|f(x)| : x ∈ [0, 1]} die Supremumsnorm von f ∈ C([0, 1])
bezeichnet.
Wir führen hier einen probabilistischen Beweis dieser Aussage vor. Für n ∈ N sei
das Polynom fn definiert durch
n�
� �
n
fn(x) := f(k/n) x
k
k (1 − x) n−k
für x ∈ [0, 1].
k=0
Dieses Polynom heißt Bernstein-Polynom der Ordnung n.
Sei ε>0 fest gewählt. Da f auf [0, 1] stetig ist, ist f sogar gleichmäßig stetig. Es
existiert also ein δ>0, sodass
|f(x) − f(y)|

5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 107
P � Sn ≥ (1 + δ)m � �
e
≤
δ
(1 + δ) 1+δ
�m
und
P � Sn ≤ (1 − δ)m � �
≤ exp − δ2 �
m
.
2
Hinweis: Verwende für Sn die Markov’sche Ungleichung mit f(x) =eλx für gewisses
λ>0 und finde dasjenige λ, das die Abschätzung optimiert. ♣
5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl
Wir kommen nun zu einem starken Gesetz der großen Zahl, nämlich dem in der
Form von Etemadi für identisch verteilte, paarweise unabhängige Zufallsvariablen.
Es gibt viele verschiedene Formen von starken Gesetzen der großen Zahl, die unterschiedliche
Voraussetzungen machen. So kann man darauf verzichten, dass die
Zufallsvariablen identisch verteilt sind, wenn man stärkere Annahmen, etwa beschränkte
Varianzen, macht und so weiter. Wir werden hier nicht bis in alle Tiefen
gehen, sondern nur exemplarisch ein paar Aussagen vorstellen. Um die Methode für
den Beweis des Satzes von Etemadi zu illustrieren, stellen wir zunächst ein Starkes
Gesetz der großen Zahl unter stärkeren Annahmen vor.
Satz 5.16. Sind X1,X2,... ∈L 2 (P) paarweise unabhängig (das heißt, Xi und
Xj sind unabhängig für alle i, j ∈ N mit i �= j) und identisch verteilt, so genügt
(Xn)n∈N dem starken Gesetz der großen Zahl.
Beweis. Es sind (X + n )n∈N und (X− n )n∈N wieder paarweise unabhängige Familien
quadratintegrierbarer Zufallsvariablen (vergleiche Bemerkung 2.15(ii)). Es reicht
daher, (X + n )n∈N zu betrachten. Wir nehmen also im Folgenden an, dass Xn ≥ 0 ist
fast sicher für jedes n ∈ N.
Sei Sn = X1 + ...+ Xn für n ∈ N. Wähle ε>0. Für jedes n ∈ N setzen wir
kn = ⌊(1 + ε) n⌋≥ 1
2 (1 + ε)n . Dann ist nach der Chebyshev’schen Ungleichung
(Satz 5.11)
∞�
n=1
��
��� Skn
P
kn
�
�
�
∞�
− E[X1] �
� ≥ (1 + ε)−n/4 ≤ (1 + ε) n/2 Var � k −1
=
n=1
∞�
n Skn
(1 + ε)
n=1
n/2 k −1
n Var[X1]
≤ 2 Var[X1]
∞�
(1 + ε) −n/2 < ∞.
n=1
�
(5.6)

108 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli gibt es daher für P-f.a. ω ein n0 = n0(ω) mit
�
�
�Skn
�
�
� − E[X1] �
� < (1 + ε)−n/4 für jedes n ≥ n0.
kn
Also gilt
�
�
lim sup �k
n→∞
−1
�
�
n Skn − E[X1] � =0 fast sicher.
Für hinreichend großes n ∈ N ist kn+1 ≤ (1 + 2ε)kn. Für l ∈{kn,...,kn+1} ist
dann
1
1+2ε k−1
n Skn
≤ k−1
n+1 Skn ≤ l−1 Sl ≤ k −1
n Skn+1
≤ (1 + 2ε) k−1 Skn+1 n+1 .
Wegen 1 − (1 + 2ε) −1 ≤ 2ε folgt
�
�
lim sup �l
l→∞
−1 �
�
�
�
Sl − E[X1] � ≤ lim sup �k
n→∞
−1
�
�
n Skn − E[X1] � +2ε lim sup
n→∞
≤ 2ε E[X1] fast sicher,
k −1
n Skn
und damit gilt das starke Gesetz der großen Zahl. ✷
Die Ähnlichkeit der Varianzabschätzungen im schwachen Gesetz der großen Zahl
und in (5.6) legen nahe, dass im vorangehenden Satz auf die Bedingung verzichtet
werden kann, dass die Zufallsvariablen X1,X2,... identisch verteilt sind, wenn
man nur fordert, dass die Varianzen beschränkt sind (siehe Übung 5.3.1).
Wir können die Bedingung in Satz 5.16 in anderer Weise abschwächen, indem wir
nur Integrierbarkeit statt Quadratintegrierbarkeit der Zufallsvariablen fordern.
Satz 5.17 (Starkes Gesetz der großen Zahl von Etemadi (1981)). Es seien
X1,X2,... ∈L 1 (P) paarweise unabhängig und identisch verteilt. Dann genügt
(Xn)n∈N dem starken Gesetz der großen Zahl.
Wir folgen dem Beweis in [38]. Setze im Folgenden μ = E[X1]. Zur Vorbereitung
des Beweises stellen wir ein paar Lemmata bereit.
Lemma 5.18. Für n ∈ N seien Yn := Xn {|Xn|≤n} und Tn = Y1 + ···+ Yn. Die
Folge (Xn)n∈N erfüllt das starke Gesetz der großen Zahl, falls Tn/n n→∞
−→ μ f.s.
Beweis. Nach Satz 4.26 ist ∞�
P
n=1
� |Xn| >n � ≤ E � |X1| � < ∞. Nach dem Lemma
von Borel-Cantelli ist daher
P � Xn �= Yn für unendlich viele n � =0.
Es gibt also ein n0 = n0(ω) mit Xn = Yn für jedes n ≥ n0. Daher gilt für n ≥ n0
Tn − Sn
n
= Tn0 − Sn0
n
n→∞
−→ 0. ✷

5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 109
Lemma 5.19. Für jedes x ≥ 0 ist 2x �
n −2 ≤ 4.
n>x
Beweis. Für m ∈ N ist nach dem Integralvergleichskriterium
Lemma 5.20. Es gilt
∞�
n
n=m
−2 ≤ m −2 � ∞
+
m
∞�
n=1
E � Y 2 �
n
n2 ≤ 4 E[|X1|].
t −2 dt = m −2 + m −1 ≤ 2
. ✷
m
Beweis. Nach Satz 4.26 ist E � Y 2 � � ∞
n = 0 P�Y 2 n > t � dt. Mit der Substitution
x = √ t erhalten wir
E � Y 2� n =
� ∞
0
2x P[|Yn| >x] dx ≤
� n
0
2x P[|X1| >x] dx.
Nach dem Satz über monotone Konvergenz und Lemma 5.19 gilt für m →∞
�
m�
�
fm(x) =
2x P[|X1| >x] ↑ f(x) ≤ 4 P[|X1| >x].
n=1
n −2 {xx] dx =4E[|X1|]. ✷
Beweis von Satz 5.17 Wie im Beweis von Satz 5.16 reicht es, Xn ≥ 0 zu betrachten.
Wähle ε>0 und setze α =1+ε.Für n ∈ N setzen wir kn = ⌊α n ⌋ und haben
speziell kn ≥ α n /2. Es ist also (mit n0 = ⌈log m/ log α⌉)
�
n: kn≥m
k −2
n ≤ 4
∞�
n=n0
α −2n =4α −2n0 (1 − α −2 ) −1 ≤ 4(1 − α −2 ) −1 m −2 . (5.7)
Unser Ziel ist es, mit Hilfe von Lemma 5.20 die Abschätzung (5.6) für (Yn)n∈N
und (Tn)n∈N zu verfeinern. Die Chebyshev’sche Ungleichung liefert (zusammen
mit (5.7)) wiederum für δ>0

110 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
∞�
P �� �Tkn − E� �� �
Tkn
� −2
>δkn ≤ δ
n=1
= δ −2
∞�
n=1
k −2
n
∞�
n=1
Var [Tkn ]
k 2 n
kn�
Var[Ym] =δ −2
m=1
≤ 4(1 − α −2 ) −1 δ −2
∞�
m=1
∞�
Var[Ym] �
m=1
n: kn≥m
k −2
n
m −2 E � Y 2 �
m < ∞ nach Lemma 5.20.
(Im dritten Schritt durften wir die Summationsreihenfolge vertauschen, weil alle
Summanden nichtnegativ sind.) Da δ>0 beliebig war, folgt (mit dem Lemma von
Borel-Cantelli)
Tkn − E [Tkn ]
lim
=0
n→∞ kn
fast sicher. (5.8)
Nach dem Satz über monotone Konvergenz (Satz 4.20) gilt
E[Yn] =E � X1
� n→∞
{|X1|≤n} −→ E[X1].
n→∞
Also gilt E[Tkn ]/kn −→ E[X1] und wegen (5.8) auch Tkn /kn
Wie im Beweis von Satz 5.16 gilt jetzt auch (weil Yn ≥ 0)
Tl
lim
l→∞ l = E[X1] fast sicher.
n→∞
−→ E[X1] f.s.
Nach Lemma 5.18 folgt hieraus die Behauptung von Satz 5.17. ✷
Beispiel 5.21 (Monte Carlo Integration). Betrachte eine Funktion f :[0, 1] → R,
deren Integral I := � 1
f(x) dx numerisch bestimmt werden soll. Wir nehmen an,
0
dass uns der Computer Zahlen X1,X2,... generiert, die wir als unabhängige Zufallszahlen
auffassen können, die auf [0, 1] gleichverteilt sind. Für n ∈ N definieren
wir den Schätzwert
�In := 1
n�
f(Xi).
n
i=1
Unter der Annahme, dass f ∈L1 ([0, 1]) ist, liefert das starke Gesetz der großen
Zahl � n→∞
In −→ I fast sicher.
Allerdings haben wir im letzten Satz keine Aussage zur Geschwindigkeit der Konvergenz,
also zur Größe P[| � In − I| >ε] bekommen. Um genauere Schätzungen für
das Integral zu bekommen, benötigen wir zusätzliche Information, etwa den Wert
V1 := � f 2 (x) dx − I2 , falls f ∈L2 ([0, 1]) ist. (Für beschränktes f etwa lässt sich
V1 leicht nach oben abschätzen.) Dann ist nämlich Var[ � In] =V1/n, also ist nach
der Chebyshev’schen Ungleichung
�
P | � In − I| >εn −1/2�
≤ V1/ε 2 .

5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 111
Der Fehler ist mithin maximal von der Größenordnung n−1/2 . Der Zentrale Grenzwertsatz
wird uns zeigen, dass der Fehler exakt von dieser Ordnung ist.
Wenn über f minimale Glattheitseigenschaften bekannt sind, so liefern die gängigen
numerischen Verfahren sehr viel bessere Konvergenzordnungen. Die hier beschriebene
Monte Carlo Simulation sollte also nur angewandt werden, wenn alle anderen
Verfahren ungeeignet sind. Speziell ist dies der Fall, wenn statt [0, 1] ein Gebiet
G ⊂ Rd für sehr großes d betrachtet wird. ✸
Definition 5.22 (Empirische Verteilungsfunktion). Seien X1,X2,... reelle Zufallsvariablen.
Dann heißt die Abbildung F : R → [0, 1], x ↦→ 1
n�
n
i=1 (−∞,x](Xi)
die empirische Verteilungsfunktion von X1,...,Xn.
Satz 5.23 (Glivenko-Cantelli). Seien X1,X2,...u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
Verteilungsfunktion F , und seien Fn, n ∈ N, die empirischen Verteilungsfunktionen.
Dann gilt
lim sup
n→∞
�
sup �Fn(x) − F (x)
x∈R
� � =0 fast sicher.
Beweis. Wähle ein x ∈ R und setze Yn(x) = (−∞,x](Xn) und Zn(x) =
(−∞,x)(Xn) für n ∈ N. Wirdefinieren außerdem die linksseitigen Limiten
F (x−) = limy↑x F (y) und analog für Fn. Dann sind (Yn(x))n∈N und (Zn(x))n∈N
jeweils unabhängige Familien und E[Yn(x)] = P[Xn ≤ x] = F (x) sowie
E[Zn(x)] = P[Xn

112 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
und
Also gilt
Fn(x) ≥ Fn(xj−1) ≥ F (xj−1) − Rn ≥ F (x) − Rn − 1
N .
lim sup
n→∞
�
sup �Fn(x) − F (x)
x∈R
� �
1
≤
N
+ lim sup Rn =
n→∞
1
N .
Indem wir N →∞gehen lassen, folgt die Behauptung. ✷
Beispiel 5.24 (Satz von Shannon). Wir betrachten eine Informationsquelle, die
zufällig (und unabhängig) hintereinander Zeichen X1,X2,... eines endlichen Alphabets
E (also einer beliebigen endlichen Menge) ausgibt. Dabei soll pe die
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Zeichens e ∈ E sein. Formal sind also
X1,X2,...u.i.v. E-wertige Zufallsvariablen mit P[Xi = e] =pe für e ∈ E.
Sei für jedes ω ∈ Ω und n ∈ N
πn(ω) :=
n�
pXi(ω) die Wahrscheinlichkeit, dass die beobachtete Sequenz X1(ω),...,Xn(ω) auftritt.
Wir setzen Yn := − log(pXn(ω)). Dannist(Yn)n∈Nu.i.v. und E[Yn] = H(p),
wobei
H(p) :=− �
pe log(pe)
i=1
e∈E
die Entropie der Verteilung p =(pe)e∈E ist. Aus dem starken Gesetz der großen
Zahl folgt der Satz von Shannon:
− 1
n log πn = 1
n
n�
i=1
Yi
Entropie und Quellenkodierungssatz ∗
n→∞
−→ H(p) fast sicher. ✸
Wir wollen kurz auf die Bedeutung von πn und der Entropie eingehen. Wie groß ist
die ” Information“, die in einer Nachricht X1(ω),...,Xn(ω) steckt? Diese Information
kann man messen durch die Länge der kürzesten Folge von Nullen und Einsen,
mit der man die Nachricht kodieren kann. Wir wollen jetzt natürlich nicht für jede
Nachricht eine eigene Kodierung erfinden, und auch nicht für jede mögliche Nachrichtenlänge.
Stattdessen ordnen wir jedem einzelnen Zeichen e ∈ E eine Folge
von Nullen und Einsen zu, die dann aneinander gereiht die Nachricht ergeben. Die
Länge l(e) der Folge, die das Zeichen e kodiert, darf dabei von e abhängen. So geben
wir Zeichen, die häufiger auftreten, einen kürzeren Code als den selteneren Zeichen,
um einen möglichst effizienten Code zu bekommen. Beim Morse-Alphabet ist dies

5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 113
so ähnlich eingerichtet ( e“ und t“, die im Englischen häufig vorkommen, haben
” ”
die Codes kurz“ und lang“, der seltenere Buchstabe q“ hat den Code lang-lang-
” ” ” ”
kurz-lang“), allerdings besteht der Morse-Code nicht nur aus kurzen und langen
Signalen, sondern auch noch aus Pausenzeichen, die das Ende eines Buchstabens
signalisieren. Wenn wir nur Nullen und Einsen verwenden dürfen, haben wir keine
solchen Pausenzeichen und müssen den Code so anlegen, dass der Code eines
Zeichens nicht gleichzeitig der Anfang eines Codes eines anderen Zeichens ist. Wir
dürfen also nicht etwa ein Zeichen mit 0110 kodieren und ein anderes mit 011011.
Ein Code, der diese Bedingung erfüllt, heißt ein binärer Präfixcode. Wir bezeichnen
mit c(e) ∈{0, 1} l(e) den Code von e, wobei l(e) die Länge ist. Wir können die
Codes aller Zeichen in einem Baum darstellen.
Wir wollen nun einen Code C =(c(e), e∈ E) herstellen, der effizient ist in dem
Sinne, dass die erwartete Länge des Codes (für ein zufälliges Zeichen)
Lp(C) := �
e∈E
pe l(e)
möglichst klein ist.
Wir konstruieren zunächst einen Code und zeigen dann, dass dieser fast optimal ist.
Als ersten Schritt nummerieren wir E = {e1,...,eN } so, dass pe1 ≥ pe2 ≥ ... ≥
gilt. Wir definieren ℓ(e) ∈ N für jedes e ∈ E durch
peN
2 −ℓ(e) ≤ pe < 2 −ℓ(e)+1 .
Setze ˜pe =2−ℓ(e) für jedes e ∈ E und ˜qk = �
˜pel lk, also ist
� c1(ek),...,c ℓ(ek)(ek) � �= � c1(el),...,c ℓ(ek)(el) �
für alle l ≥ k.
Daher ist C =(c(e) : e ∈ E) ein Präfixcode.
Wir schreiben für jedes b>0 und x>0logb(x) := log(x)
log(b) für den Logarithmus
von x zur Basis b. Nach Konstruktion ist − log2(pe) ≤ l(e) ≤ 1 − log2(pe). Also
ist die erwartete Länge
− �
pe log2(pe) ≤ Lp(C) ≤ 1 − �
pe log2(pe). e∈E
e∈E

114 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Die Länge dieses Codes für die ersten n Zeichen unserer zufälligen Quelle ist also
ungefähr �n k=1 log2(pXk(ω)) = log2 πn(ω), womit wir den Anknüpfungspunkt
zum Satz von Shannon haben. Dieser trifft also eine Aussage über die Länge eines
Binärcodes, der zur Übertragung einer langen Nachricht gebraucht wird.
Ist nun der oben angegebene Code optimal, oder gibt es Codes mit geringerer erwarteter
Länge? Antwort gibt der Quellenkodierungssatz, den wir hier mit einer
Definition und einem Lemma vorbereiten.
Definition 5.25 (Entropie). Sei p = (pe)e∈E eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf einer höchstens abzählbaren Menge E.Für b>0 definieren wir
Hb(p) :=− �
pe logb(pe), e∈E
wobei wir 0log b(0) := 0 festlegen. Wir nennen H(p) :=He(p) (e die Euler’sche
Zahl) die Entropie und H2(p) die binäre Entropie von p.
Man beachte, dass nur für endliches E die Entropie stets endlich ist.
Lemma 5.26 (Entropie-Ungleichung). Seien b und p wie oben. Ferner sei q eine
Sub-Wahrscheinlichkeitsverteilung, also qe ≥ 0 für jedes e ∈ E und �
e∈E qe ≤ 1.
Dann gilt
Hb(p) ≤− �
pe logb(qe) (5.9)
e∈E
mit Gleichheit genau dann, wenn Hb(p) =∞ oder q = p.
Beweis. Ohne Einschränkung können wir mit b = e, also mit dem natürlichen Logarithmus
rechnen. Es gilt log(1 + x) ≤ x für x>−1 mit Gleichheit genau dann,
wenn x =0ist. Ist in (5.9) die linke oder die rechte Seite endlich, so können wir
die rechte von der linken Seite abziehen und erhalten
H(p)+ �
pe log(qe) = �
pe log(qe/pe)
e∈E
e: pe>0
= �
e: pe>0
≤ �
�
pe log 1+ qe
�
− pe
pe
qe − pe
pe
pe
e: pe>0
= �
e∈E
� �
qe − pe ≤ 0.
Ist q �= p, soistqe �= pe für ein e ∈ E mit pe > 0. Ist dies nun der Fall, so gilt
strikte Ungleichheit, falls H(p) < ∞. ✷
Satz 5.27 (Quellenkodierungssatz). Sei p =(pe)e∈E eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf dem endlichen Alphabet E. Für jeden binären Präfixcode C =
(c(e), e ∈ E) gilt Lp(C) ≥ H2(p), und es gibt einen solchen Code C mit
Lp(C) ≤ H2(p)+1.

5.4 Konvergenzrate im starken GGZ 115
Beweis. Der zweite Teil des Satzes wurde durch die obige Konstruktion schon gezeigt.
Sei nun also ein Präfixcode gegeben. Sei L =maxe∈E l(e). Für e ∈ E sei
CL(e) ={c ∈{0, 1} L : ck = ck(e) für k ≤ l(e)} die Menge aller Binärfolgen
der Länge L, diewiec(e) beginnen. Da wir einen Präfixcode vorliegen haben, sind
die CL(e), e ∈ E, paarweise disjunkt und �
e∈E CL(e) ⊂{0, 1} L . Setzen wir also
qe := 2−l(e) , so ist (beachte: #CL(e) =2L−l(e) )
� �
−L
qe =2 #CL(e) ≤ 1.
e∈E
e∈E
Nach Lemma 5.26 gilt Lp(C) = �
pe l(e) =− �
pe log2(qe) ≥ H2(p). ✷
e∈E
Übung 5.3.1. Man zeige die folgende Verbesserung von Satz 5.16: Sind X1,X2,...
∈L 2 (P) paarweise unabhängig mit beschränkten Varianzen, so genügt (Xn)n∈N
dem starken Gesetz der großen Zahl. ♣
Übung 5.3.2. Man zeige: Ist (Xn)n∈N eine unabhängige Folge identisch verteilter
Zufallsvariablen mit 1
n (X1 + ...+ Xn) n→∞
−→ Y fast sicher für eine Zufallsvariable
Y ,soistX1∈L1 (P) und Y = E[X1] fast sicher.
Hinweis: Man zeige zunächst
P � |Xn| >n für unendlich viele n � =0 ⇐⇒ X1 ∈L 1 (P). ♣
Übung 5.3.3. Sei E endlich und p ein Wahrscheinlichkeitsvektor auf E. Man zeige,
dass die Entropie H(p) minimal ist (nämlich Null), falls p = δe für ein e ∈ E und
maximal (nämlich log(#E)), falls p die Gleichverteilung auf E ist. ♣
Übung 5.3.4. Sei b ∈{2, 3, 4,...}. Ein b-adischer Präfixcode ist ähnlich definiert
wie ein binärer Präfixcode, jedoch sind jetzt als Zeichen die Zahlen 0, 1,...,b− 1
zugelassen. Man zeige, dass die Aussage des Quellenkodierungssatzes sinngemäß
für b-adische Präfixcodes gilt, mit Hb(p) statt H2(p). ♣
5.4 Konvergenzrate im starken GGZ
Im schwachen Gesetz der großen Zahl hatten wir auch eine Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit
gemacht (Satz 5.14), im starken Gesetz der großen Zahl
hingegen nicht. Da wir hier nur erste Momente der Zufallsvariablen gefordert hatten,
können wir auch keine brauchbaren allgemein gültigen Aussagen erwarten. Nehmen
wir hingegen höhere Momente an, so bekommen wir nützliche Aussagen zur Konvergenzgeschwindigkeit.
Das Herzstück des schwachen Gesetzes der großen Zahl ist die Chebyshev’sche
Ungleichung. Hier geben wir eine schärfere Ungleichung an, die mit der gleichen
e∈E

116 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
oberen Schranke nun das Maximum über alle Partialsummen bis zu einer bestimmten
Grenze abschätzt.
Satz 5.28 (Kolmogorov’sche Ungleichung). Seien n ∈ N und X1,X2,...,Xn
unabhängige Zufallsvariablen mit E[Xi] =0und Var[Xi] 0
P � max{Sk : k =1,...,n}≥t � ≤
sowie die Kolmogorov’sche Ungleichung
Var[Sn]
t 2 + Var[Sn]
(5.10)
P � max{|Sk| : k =1,...,n}≥t � ≤ t −2 Var[Sn]. (5.11)
In Satz 11.2 werden wir mit der Doob’schen Ungleichung eine Verallgemeinerung
der Kolmogorov’schen Ungleichung kennen lernen.
Beweis. Wir führen eine Zerlegung durch nach dem ersten Zeitpunkt τ, zu dem die
Partialsummen t überschreiten. Sei also
τ := min � k ∈{1,...,n} : Sk ≥ t �
und Ak = {τ = k} für k =1,...,nsowie
n�
A = Ak = � max{Sk : k =1,...,n}≥t � .
k=1
Sei c ≥ 0. Die Zufallsvariable (Sk + c) Ak ist messbar bezüglich σ(X1,...,Xk),
und Sn − Sk ist messbar bezüglich σ(Xk+1,...,Xn). Nach Satz 2.26 sind die
beiden Zufallsvariablen unabhängig, und es gilt
E � (Sk + c) Ak (Sn − Sk) � = E � � � �
(Sk + c) Ak E Sn − Sk =0.
Offenbar sind die Ereignisse A1,...,An paarweise disjunkt, also �n k=1 Ak =
A ≤ 1. Wir erhalten so
Var[Sn]+c 2 = E � (Sn + c) 2�
�
n�
≥ E (Sn + c) 2 �
n�
Ak = E � (Sn + c) 2 �
Ak
=
=
≥
k=1
k=1
k=1
n�
E � (Sk + c) 2 �
Ak .
k=1
k=1
n�
E �� (Sk + c) 2 +2(Sk + c)(Sn − Sk)+(Sn − Sk) 2� �
Ak
n�
E � (Sk + c) 2 �
n�
Ak + E � (Sn − Sk) 2 (5.12)
�
Ak
k=1

5.4 Konvergenzrate im starken GGZ 117
Wegen c ≥ 0 ist (Sk + c) 2 Ak ≥ (t + c)2 Ak , also können wir (5.12) fortsetzen
durch
≥
n�
E � (t + c) 2 � 2
Ak =(t + c) P[A].
k=1
Für c = Var[Sn]/t ≥ 0 erhalten wir
P[A] ≤
Var[Sn]+c 2
(t + c) 2
= c(t + c)
tc
=
(t + c) 2 t2 Var[Sn]
=
+ tc t2 + Var[Sn] .
Damit ist (5.10) gezeigt. Um (5.11) zu zeigen, wähle ¯τ := min � k ∈{1,...,n} :
|Sk| ≥t � und Āk = {¯τ = k} sowie Ā = {¯τ ≤ n}. Die obige Fortsetzung von
(5.12) mit c>0 ist jetzt nicht zulässig. Wenn wir aber c =0wählen, gilt S2 k ≥
t2 Āk . Mit der selben Rechnung wie in (5.12) erhalten wir P[Ā] ≤ t−2Var[Sn].✷ Wir folgern aus der Kolmogorov’schen Ungleichung eine erste Verschärfung des
starken Gesetzes der großen Zahl.
Satz 5.29. Seien X1,X2,...unabhängige Zufallsvariablen mit E[Xn] =0für jedes
n ∈ N und V := sup{Var[Xn] : n ∈ N} < ∞. Dann gilt für jedes ε>0
lim sup
n→∞
|Sn|
n1/2 =0 fast sicher.
(log(n)) (1/2)+ε
Beweis. Setze kn =2 n und l(n) =n 1/2 (log(n)) (1/2)+ε für n ∈ N. Für k ∈ N mit
kn ≤ k ≤ kn+1 ist |Sk|/k ≤ 2|Sk|/kn+1. Also reicht es, für δ>0 zu zeigen, dass
lim sup l(kn)
n→∞
−1 max{|Sk| : k ≤ kn} ≤δ fast sicher. (5.13)
Für δ > 0 und n ∈ N setze Aδ n := � max{|Sk| : k ≤ kn} > δl(kn) � .Die
Kolmogorov’sche Ungleichung liefert
∞�
n=1
P � A δ �
n ≤
∞�
n=1
δ −2 (l(kn)) −2 Vkn =
V
δ 2 (log 2) 1+2ε
∞�
n −1−2ε < ∞.
Das Borel Cantelli Lemma liefert nun P � lim supn→∞ Aδ �
n =0, also (5.13). ✷
Wir werden in Kapitel 22 sehen, dass für unabhängige, identisch verteilte, quadratintegrierbare,
zentrierte Zufallsvariablen X1,X2,...die folgende Verschärfung gilt
lim sup
n→∞
n=1
|Sn|
� =1 fast sicher.
2n Var[X1] log(log(n))
Die Konvergenzrate ist also in diesem Fall genau bekannt. Sind die X1,X2,...nicht
unabhängig, sondern nur paarweise unabhängig, so verschlechtert sich die Konvergenzrate,
wenngleich nicht drastisch: Wir geben hier ohne Beweis einen Satz an,
den Rademacher 1922 [134] und Menshov 1923 [111] unabhängig voneinander gefunden
haben.

118 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Satz 5.30 (Rademacher–Menshov). Seien X1,X2,... unkorrelierte quadratintegrierbare
zentrierte Zufallsvariablen und (an)n∈N eine wachsende Folge nichtnegativer
Zahlen mit
∞�
(log n) 2 a −2
n Var[Xn] < ∞. (5.14)
Dann gilt lim sup
n→∞
�
�
�
�
n=1
n�
� a−1 n Xk
k=1
�
�
�
� =0 fast sicher.
�
Beweis. Siehe etwa [120]. ✷
Bemerkung 5.31. Die Bedingung (5.14) ist scharf in dem Sinne, dass es für jede
wachsende Folge (an)n∈N mit �∞ n=1 a−2 n (log n) 2 = ∞ eine Folge paarweise
unabhängiger, quadratintegrierbarer, zentrierter Zufallsvariablen X1,X2,...mit
Var[Xn] =1für jedes n ∈ N gibt, sodass
�
�
�
lim sup �
n→∞ � a−1
n�
�
�
�
n Xk�
= ∞ fast sicher.
�
k=1
Siehe [24]. Dort wird ein Beispiel von Tandori [151] für so genannte orthogonale
Reihen weiter entwickelt. Siehe auch [114]. ✸
Für Zufallsvariablen mit unendlicher Varianz werden Aussagen über die Konvergenzgeschwindigkeit
naturgemäß schwächer. Es gilt beispielsweise (siehe [11]):
Satz 5.32 (Baum und Katz (1965)). Sei γ>1, und seien X1,X2,... u.i.v. sowie
Sn = X1 + ...+ Xn für n ∈ N. Dann gilt
∞�
n γ−2 P[|Sn|/n>ε] < ∞ für jedes ε>0 ⇐⇒ E[|X1| γ ]0 die Ungleichung
von Etemadi gilt:
�
P max
k=1,...,n |Sk|
�
≥t
5.5 Der Poissonprozess
≤ 3 max
k=1,...,n P� |Sk| ≥t/3 � . ♣
Wir wollen ein Modell für die Anzahl der Klicks entwickeln, die ein Geigerzähler
in einem (Zeit-)Intervall I =(a, b] macht. Die Anzahl der Klicks soll dabei

5.5 Der Poissonprozess 119
– zufällig sein und unabhängig für disjunkte Intervalle,
– zeitlich homogen in dem Sinne, dass die Anzahl der Klicks in I =(a, b] die selbe
Verteilung hat, wie die Anzahl der Klicks in c + I =(a + c, b + c],
– einen Erwartungswert besitzen,
– keine Doppelpunkte aufweisen: der Zähler macht zu jedem Zeitpunkt nur einen
Klick.
Wir formalisieren diese Forderungen, indem wir die Notation einführen:
I := {(a, b] : a, b ∈ [0, ∞), a≤ b}.
ℓ((a, b]) := b − a (die Länge des Intervalls I =(a, b]).
Für I ∈Isei NI die Anzahl der Klicks nach Zeitpunkt a und nicht später als b.
Speziell setzen wir Nt := N (0,t] für die Gesamtzahl aller Klicks bis zur Zeit t. Die
obigen Forderungen lassen sich nun übersetzen zu: (NI, I ∈I) ist eine Familie
von Zufallsvariablen mit Werten in N0 mit den Eigenschaften
(P1) NI∪J = NI + NJ, falls I ∩ J = ∅ und I ∪ J ∈Iist.
(P2) Die Verteilung von NI hängt nur von der Länge von I ab: PNI = PNJ für
alle I,J ∈Imit ℓ(I) =ℓ(J).
(P3) Ist J ⊂ I mit I ∩ J = ∅ für alle I,J ∈Jmit I �= J, soist(NJ, J∈J)
eine unabhängige Familie.
(P4) Für jedes I ∈Igilt E[NI] < ∞.
(P5) Es gilt lim supε↓0 ε−1 P[Nε ≥ 2] = 0.
Die Bedeutung von (P5) erklärt sich durch die folgende Rechnung: Setzen wir λ :=
lim supε↓0 ε−1 k k→∞
P[Nε ≥ 2],soist(wegen(1 − ak/k) −→ e−a , falls ak
P � es gibt einen Doppelklick in (0, 1] � = lim
n→∞ P
=1− lim
n→∞ P
2
=1− lim
n→∞
n −1
k=0
=1− lim
n→∞
=1− e −λ .
� 2 n �−1
k→∞
−→ a)
� N(k 2 −n ,(k+1)2 −n ] ≥ 2 ��
k=0
� 2 n �−1
�
N(k 2−n ,(k+1)2−n ] ≤ 1 ��
�
k=0
P � N (k 2 −n ,(k+1)2 −n ] ≤ 1 �
� 1 − P[N2 −n ≥ 2] � 2 n
Wir müssen also λ =0fordern; dies ist aber gerade (P5).

120 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Der nächste Satz zeigt, dass die Bedingungen (P1) – (P5) die Zufallsvariablen
(NI, I∈I) eindeutig charakterisieren und zwar als Poissonprozess.
Definition 5.33 (Poissonprozess). Eine Familie (Nt, t≥ 0) von N0–wertigen Zufallsvariablen
heißt Poissonprozess mit Intensität α ≥ 0, falls N0 =0und:
(i) Für jedes n ∈ N und je n +1Zahlen 0=t0 s≥ 0 ist Nt − Ns Poisson-verteilt mit Parameter α(t − s), also
−α(t−s) (α(t − s))k
P[Nt − Ns = k] =e
k!
für jedes k ∈ N0.
Die Existenz eines Poissonprozesses ist an dieser Stelle noch nicht gesichert. Darauf
kommen wir in Satz 5.35 zurück.
Satz 5.34. Erfüllt (NI, I∈I) die Bedingungen (P1) – (P5), so ist (N (0,t], t≥ 0)
ein Poissonprozess mit Intensität α := E[N (0,1]]. Ist umgekehrt (Nt, t≥ 0) ein
Poissonprozess, so erfüllt (Nt − Ns, (s, t] ∈I) die Bedingungen (P1)–(P5).
Beweis. Sei zunächst (Nt, t≥ 0) ein Poissonprozess mit Intensität α ≥ 0. Dann
ist für I =(a, b] offenbar PNI =Poi α(b−a) =Poi αℓ(I). Also gilt (P2). Wegen (i)
gilt (P3). Offenbar ist E[NI] =αℓ(I) < ∞, also gilt (P4). Schließlich ist P[Nε ≥
2] = 1 − e −αε − αεe −αε = f(0) − f(αε), wobei f(x) :=e −x + xe −x . Wir bilden
die Ableitung f ′ (x) =−xe −x . Dann ist offenbar
lim ε
ε↓0 −1 P[Nε ≥ 2] = −αf ′ (0) = 0.
Also gilt auch (P5).
Erfülle nun (NI, I∈I) die Bedingungen (P1) – (P5). Setze α(t) :=E[Nt]. Dann
ist (wegen (P2))
α(s + t) =E � � � � � �
N (0,s] + N (s,s+t] = E N(0,s] + E N(0,t] = α(s)+α(t).
Da t ↦→ α(t) monoton wachsend ist, folgt hieraus sogar α(t) =tα(1) für jedes t ≥
0. Wir setzen α := α(1) und erhalten E[NI] =αℓ(I).Wirmüssen nur noch zeigen,
dass PNt =Poiαt gilt. Um den Satz über die Poissonapproximation (Satz 3.7) zu
verwenden, zerlegen wir für festes n ∈ N, das Intervall (0,t] in 2 n disjunkte gleich
lange Intervalle
I n (k) := � (k − 1)2 −n t, k2 −n t � , k =1,...,2 n ,
und setzen Xn (k) :=NIn (k) sowie
X n �
n 1, falls X (k) ≥ 1,
(k) :=
0, sonst.

5.5 Der Poissonprozess 121
Nach den Annahmen (P2) und (P3) sind (X n (k), k=1,...,2 n ) unabhängig und
identisch verteilt. Daher ist auch (X n (k), k=1,...,2 n ) unabhängig und identisch
verteilt, nämlich X n (k) ∼ Berpn , wobei pn = P[N 2 −n t ≥ 1].
Schließlich setzen wir N n t := �2 n
k=1 Xn (k). DannistNn t ∼ b2n ,pn . Offenbar ist
N n+1
t − N n t ≥ 0. Nun gilt nach (P5)
P [Nt �= N n �
t ] ≤ P [X n (k) ≥ 2] = 2 n P [N2−nt ≥ 2] n→∞
−→ 0. (5.15)
2 n
k=1
�
Also ist P Nt = lim
n→∞ N n t
�
=1. Nach dem Satz über monotone Konvergenz gilt
αt= E [Nt] = lim
n→∞ E [N n t ] = lim
n→∞ pn 2 n .
Nach dem Satz über Poisson-Approximation (Satz 3.7) gilt daher für jedes l ∈ N0
P[Nt = l] = lim
n→∞ P [N n t = l] =Poiαt({l}).
Also ist PNt =Poiαt. ✷
Bislang steht noch der Nachweis aus, dass es überhaupt Poissonprozesse gibt. In Kapitel
24 werden wir ein allgemeines Konstruktionsprinzip kennen lernen, das auch
für allgemeinere Räume als [0, ∞) funktioniert (siehe auch Übung 5.5.1).
Eine weitere, instruktive Konstruktion basiert auf den Wartezeiten zwischen den
Klicks, oder formal zwischen den Unstetigkeitsstellen der Abbildung t ↦→ Nt(ω).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir zur Zeit s auf den nächsten Klick des
Zählers länger als t Zeiteinheiten warten müssen? Wenn wir die Klicks als Poissonprozess
mit Intensität α modellieren, ist diese Wahrscheinlichkeit
P � N (s,s+t] =0 � = e −αt .
Mithin ist die Wartezeit auf den nächsten Klick exponentialverteilt mit Parameter
α. Außerdem sollten die Wartezeiten unabhängig voneinander sein. Wir nehmen
nun die Wartezeiten als Startpunkt der Betrachtung und konstruieren hieraus den
Poissonprozess.
Sei W1,W2,...eine unabhängige Familie von exponentialverteilten Zufallsvariablen
mit Parameter α>0, also P[Wn >x]=e−αx . Wir setzen
n�
Tn := Wk
k=1
und interpretieren Wn als die Wartezeit zwischen dem (n − 1)-ten und dem nten
Klick. Tn ist der Zeitpunkt des n-ten Klicks. In Anlehnung an diese Intuition
definieren wir

122 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Nt := #{n ∈ N0 : Tn ≤ t}
als die Anzahl der Klicks bis zur Zeit t. Es ist dann
Speziell ist also Nt eine Zufallsvariable.
{Nt = k} = {Tk ≤ t

� ∞
0
···
� ∞
dxk+1 ··· dxk+l {s

6 Konvergenzsätze
Im starken und schwachen Gesetz der großen Zahl hatten wir implizit schon die
Begriffe von fast sicherer und stochastischer Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen
kennen gelernt und gesehen, dass die fast sichere die stochastische Konvergenz
impliziert. In diesem Kapitel definieren wir die Begriffe von fast sicherer
und stochastischer Konvergenz sowie Konvergenz im Mittel von Folgen messbarer
Abbildungen und setzen sie in Beziehung zueinander. Eine Schlüsselrolle kommt
dabei dem Konzept der gleichgradigen Integrierbarkeit zu.
6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz
Im Folgenden ist (Ω,A,μ) stets ein σ-endlicher Maßraum. Wir definieren zunächst
Fast-überall-Konvergenz und stochastische Konvergenz in metrischen Räumen und
vergleichen dann beide Konzepte miteinander. Hierfür benötigen wir zunächst zwei
Lemmata, die sicher stellen, dass die Abstandsfunktion zweier messbarer Abbildungen
wieder messbar ist. Sei im Folgenden (E,d) ein separabler, metrischer Raum
mit Borel’scher σ-Algebra B(E). ” Separabel“ heißt dabei bekanntlich, dass es eine
abzählbare, dichte Teilmenge gibt. Für x ∈ E und r>0 bezeichnen wir mit
Br(x) ={y ∈ E : d(x, y)

126 6 Konvergenzsätze
Seien f,f1,f2,... : Ω → E messbar bezüglich A – B(E).
Definition 6.2. Wir sagen: (fn)n∈N konvergiert gegen f
stoch
(i) μ-stochastisch (oder dem Maße nach), in Formeln fn −→ f,wennfür jedes
A ∈Amit μ(A) < ∞ und für jedes ε>0 gilt, dass
μ({d(f,fn) >ε}∩A) n→∞
−→ 0.
f.ü.
(ii) μ-fast überall, in Formeln fn −→ f, wenn es eine μ-Nullmenge N ∈Agibt,
sodass für jedes ω ∈ Ω \ N gilt, dass
d(f(ω),fn(ω)) n→∞
−→ 0.
Ist μ ein W-Maß, so sagen wir in diesem Fall auch, dass (fn)n∈N fast sicher
f.s.
konvergiert und schreiben fn −→ f. Gelegentlich werden die Hinweise fast
”
überall“ und fast sicher“ auch weglassen.
”
Bemerkung 6.3. Fast-überall-Konvergenz ist äquivalent zur Fast-überall-Konvergenz
auf allen Mengen endlichen Maßes. ✸
Bemerkung 6.4. Fast-überall-Konvergenz impliziert die stochastische: Sei zu ε>0
Dn(ε) ={d(f,fm) >ε für ein m ≥ n}.
Dann gilt D(ε) := �∞ n=1 Dn(ε) ⊂ N, wobei N die Nullmenge aus der Definition
der F.ü.-Konvergenz ist. Die σ-Stetigkeit von oben von μ impliziert μ(Dn(ε) ∩
A) n→∞
−→ μ(D(ε) ∩ A) =0für jedes A ∈Amit μ(A) < ∞. ✸
Bemerkung 6.5. Stochastische oder Fast-überall-Konvergenz legen den Grenzwert
stoch
stoch
eindeutig fest bis auf Gleichheit fast überall. In der Tat: Sei fn −→ f und fn −→ g.
Seien A1,A2,... ∈Amit An ↑ Ω und μ(An) < ∞ für jedes n ∈ N. Dannist
(wegen d(f,g) ≤ d(f,fn)+d(g, fn)) für jedes m ∈ N und ε>0
μ � Am ∩{d(f,g) >ε} �
≤ μ � Am ∩{d(f,fn) >ε/2} � + μ � Am ∩{d(g, fn) >ε/2} � n→∞
−→ 0.
Also ist μ � {d(f,g) > 0} � =0. ✸
Bemerkung 6.6. Im Allgemeinen impliziert stochastische Konvergenz nicht F.ü.-
Konvergenz. In der Tat: Sei (Xn)n∈N eine unabhängige Familie von Zufallsvari-
stoch
ablen mit Xn ∼ Ber1/n. Dann gilt Xn −→ 0, jedoch ist nach dem Lemma von
Borel-Cantelli lim supn→∞ Xn =1fast sicher. ✸

6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz 127
Satz 6.7. Seien A1,A2,... ∈Amit AN ↑ Ω und μ(AN ) < ∞ für jedes N ∈ N.
Für messbare f,g : Ω → E setze
˜d(f,g) :=
∞�
N=1
2 −N
1+μ(AN )
�
AN
� 1 ∧ d(f(ω),g(ω)) � μ(dω). (6.1)
Dann ist ˜ d eine Metrik, die die stochastische Konvergenz erzeugt: Sind f,f1,f2,...
messbar, so gilt
fn
Beweis. Für N ∈ N setze
�
˜dN (f,g) :=
stoch
−→ f ⇐⇒ ˜ d(f,fn) n→∞
−→ 0.
AN
� 1 ∧ d(f(ω),g(ω)) � μ(dω).
Genau dann gilt ˜ d(f,fn) n→∞
−→ 0,wenn˜ dN(f,fn) n→∞
−→ 0 für jedes N ∈ N.
” =⇒ “ Es gelte fn
stoch
−→ f. Dannistfür jedes ε ∈ (0, 1)
˜dN (f,fn) ≤ μ � AN ∩{d(f,fn) >ε} � + εμ(AN ) n→∞
−→ εμ(AN ).
Da ε ∈ (0, 1) beliebig war, gilt ˜ dN (f,fn) n→∞
−→ 0.
” ⇐= “ Es gelte ˜ d(f,fn) n→∞
−→ 0. SeiB ∈Amit μ(B) < ∞. Wähle δ>0 und
N ∈ N so groß, dass μ(B \ AN ) ε} � ≤ δ + μ � AN ∩{d(f,fn) >ε} �
≤ δ + ε −1 ˜ dN (f,fn) n→∞
−→ δ.
Da δ>0 beliebig war, folgt μ � B ∩{d(f,fn) >ε} � n→∞
stoch
−→ 0, also fn −→ f. ✷
Wir betrachten nun den wichtigen Fall E = R mit der euklidischen Metrik. Hier
haben wir durch das Integral einen weiteren Konvergenzbegriff zur Verfügung.
Definition 6.8 (Konvergenz im Mittel). Seien f,f1,f2,... ∈L 1 (μ). Wir sagen
(fn)n∈N konvergiere im Mittel gegen f, in Formeln
falls �fn − f�1
n→∞
−→ 0.
Bemerkung 6.9. Gilt fn
fn
L 1
−→ f,
L 1
−→ f, so gilt insbesondere � fn dμ n→∞
−→ � fdμ. ✸

128 6 Konvergenzsätze
L 1
Bemerkung 6.10. Gilt fn −→ f und fn −→ g, soistf = g fast überall. In der Tat
n→∞
ist nach der Dreiecksungleichung �f − g�1 ≤�fn− f�1 + �fn − g�1 −→ 0. ✸
Bemerkung 6.11. L 1 -Konvergenz und F.ü.-Konvergenz implizieren jeweils stochastische
Konvergenz. Alle anderen Implikationen sind im Allgemeinen falsch. ✸
Satz 6.12 (Schnelle Konvergenz). Sei (E,d) ein separabler, metrischer Raum.
Damit die Folge (fn)n∈N messbarer Abbildungen Ω → E fast überall konvergiert,
ist hinreichend, dass eine der folgenden Bedingungen gilt.
L 1
(i) Es gilt E = R, es gibt ein p ∈ [1, ∞) mit fn ∈Lp (μ) für jedes n ∈ N, und
es gibt ein f ∈Lp ∞�
(μ) mit �fn − f�p < ∞.
(ii) Es gibt ein messbares f mit
n=1
∞�
μ(A ∩{d(f,fn) >ε}) < ∞ für jedes ε>0
n=1
und für jedes A ∈Amit μ(A) < ∞.
In beiden Fällen gilt fn
n→∞
−→ f fast überall.
(iii) E ist vollständig, und es gibt eine summierbare Folge (εn)n∈N, sodass
∞�
μ(A ∩{d(fn,fn+1) >εn}) < ∞ für jedes A ∈A mit μ(A) < ∞.
n=1
Beweis. Offenbar impliziert (i) schon (ii), denn nach der Markov’schen Ungleichung
ist μ({|f − fn| >ε}) ≤ ε−p�f − fn�p p.
Nach Bemerkung 6.3 reicht es, den Fall μ(Ω) < ∞ zu betrachten.
Gelte nun (ii). Sei Bn(ε) = {d(f,fn) > ε} und B(ε) = lim sup Bn(ε). Das
n→∞
Lemma von Borel-Cantelli liefert μ(B(ε)) = 0.SeiN = �∞ n=1 B (1/n). Dann gilt
μ(N) =0und fn(ω) n→∞
−→ f(ω) für jedes ω ∈ Ω \ N.
Gelte (iii). Sei Bn = {d(fn+1,fn) >εn} und B = lim sup Bn. Dannistμ(B) =
n→∞
0, und für jedes ω ∈ Ω\B ist (fn(ω))n∈N eine Cauchy-Folge in E.DaE vollständig
ist, existiert der Limes f(ω) := limn→∞ fn(ω). Für ω ∈ B setze f(ω) =0. ✷
Korollar 6.13. Sei (E,d) vollständig und separabel. Seien f,f1,f2,... messbare
Abbildungen Ω → E. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent.
(i) fn
n→∞
−→ f stochastisch,
(ii) Zu jeder Teilfolge von (fn)n∈N existiert eine gegen f fast überall konvergente
Teilfolge.

6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz 129
Beweis. ” (ii) =⇒ (i)“ Wir nehmen an, dass (i) nicht gilt. Dann gibt es ein ε>0
und eine Teilfolge (fnk )k∈N mit ˜ d(fn,k,f) >εfür jedes k ∈ N. Offenbar konvergiert
keine Teilfolge von (fnk )k∈N stochastisch gegen f, also auch nicht f.ü.
” (i) =⇒ (ii)“ Gelte nun (i). Nach Bemerkung 6.3 können wir ohne Einschrän-
stoch
kung annehmen, dass μ(Ω) < ∞ gilt. Sei nk ↑∞beliebig. Wegen fnk −→ f für
k →∞,können wir eine Teilfolge (fnk )l∈N wählen, sodass
l
∞�
l=1
�
μ
|f − fnk l | > 1
l
�
< ∞.
Nach Satz 6.12(ii) konvergiert (fnk l )l∈N fast überall gegen f. ✷
Korollar 6.14. Ist (Ω,A,μ) ein Maßraum, bei dem stochastische und F.ü.-Konvergenz
nicht zusammenfallen, so gibt es keine Topologie auf der Menge der messbaren
Abbildungen Ω → E, die die F.ü.-Konvergenz erzeugt.
Beweis. Wir nehmen an, dass es eine Topologie gibt, die die F.ü.-Konvergenz er-
stoch
zeugt. Seien f,f1,f2,...messbare Abbildungen mit der Eigenschaft, dass fn −→
n→∞
f, jedoch nicht fn −→ f fast überall. Sei nun U eine offene Menge, die f enthält,
für die jedoch fn �∈ U für unendlich viele n ∈ N gilt. Sei also (fnk )k∈N eine Teil-
k→∞
folge mit fnk �∈ U für jedes k ∈ N. Wegenfnk−→
f stochastisch, gibt es nach
Korollar 6.13 wiederum eine Teilfolge (fnk )l∈N von (fnk l )k∈N
l→∞
mit fnk −→ f
l
fast überall. Es ist dann aber fnk ∈ U für alle bis auf endlich viele l, was einen
l
Widerspruch darstellt. ✷
Korollar 6.15. Sei (E,d) ein separabler, vollständiger metrischer Raum. Es sei
(fn)n∈N eine stochastische Cauchy-Folge in E, das heißt, für jedes A ∈ A mit
μ(A) < ∞ und jedes ε>0 gilt
μ � A ∩{d(fn,fm) >ε} � −→ 0 für m, n →∞.
Dann konvergiert (fn)n∈N stochastisch.
Beweis. Ohne Einschränkung kann μ(Ω) < ∞ angenommen werden. Wähle eine
Teilfolge (fnk )k∈N, sodass
μ �� d(fn,fnk ) > 2−k�� < 2 −k
für jedes n ≥ nk.
k→∞
Nach Satz 6.12(iii) gibt es ein f mit fnk −→ f fast überall, also insbesondere
k→∞
μ({d(fnk ,f) >ε/2}) −→ 0 für jedes ε>0. Nun ist aber
μ({d(fn,f) >ε}) ≤ μ({d(fnk ,fn) >ε/2})+μ({d(fnk ,f) >ε/2}).
Ist k so groß, dass 2−k ε}) n→∞
−→ 0, das heißt, es gilt fn
stoch
−→ f. ✷

130 6 Konvergenzsätze
Übung 6.1.1. Man zeige: Ist Ω höchstens abzählbar, so folgt aus stochastischer
Konvergenz schon F.ü.-Konvergenz. ♣
Übung 6.1.2. Man gebe jeweils ein Beispiel an für eine Folge, die
(i) in L1 konvergiert, aber nicht fast überall,
(ii) fast überall konvergiert, aber nicht in L1 . ♣
Übung 6.1.3. (Satz von Egorov (1911)) Sei (Ω,A,μ) ein endlicher Maßraum,
und seien f1,f2,...messbare Funktionen, die fast überall gegen ein f konvergieren.
Man zeige: Zu jedem ε>0 gibt es eine Menge A ∈Amit μ(Ω \ A) �g}
Ist μ(Ω) < ∞, so ist die gleichgradige Integrierbarkeit äquivalent zu jeder der
beiden folgenden Bedingungen
(i) inf
a∈[0,∞) sup
�
(|f|−a)
f∈F
+ dμ =0,
(ii) inf
a∈[0,∞) sup
�
|f| dμ =0.
f∈F
{|f|>a}

6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 131
Beweis. Offenbar gilt (|f|−g) + ≤|f|·
gradige Integrierbarkeit.
{|f|>g}, also impliziert (6.3) die gleich-
Gelte nun (6.2). Für jedes ε>0 sei gε ∈L1 (μ) so gewählt, dass
�
sup
f∈F
(|f|−gε) + dμ ≤ ε. (6.4)
Setze �gε =2gε/2. Dannistfür f ∈F
�
�
|f| dμ ≤ (|f|−gε/2) + dμ +
{|f|> �gε}
{|f|> �gε}
�
{|f|> �gε}
g ε/2 dμ.
Per Konstruktion ist �
{|f|> �gε} (|f|−gε/2) + dμ ≤ ε/2 und gε/2 {|f|> �gε} ≤ (|f|−
gε/2) + {|f|> �gε}, also auch �
{|f|> �gε} gε/2 dμ ≤ �
|f|> �gε (|f| −gε/2) + dμ ≤ ε/2.
Insgesamt haben wir also
�
sup |f| dμ ≤ ε. (6.5)
f∈F
{|f|> �gε}
Offenbar impliziert (ii) schon (i), und (i) impliziert die gleichgradige Integrierbarkeit
von F, denn das Infimum wird hier ja über die kleinere Menge der konstanten
Funktionen gebildet. Wir müssen noch zeigen, dass gleichgradige Integrierbarkeit
(ii) impliziert. Sei also F gleichgradig integrierbar und μ(Ω) < ∞. Zu gegebenem
ε>0 (und gε und ˜gε wie oben) wählen wir aε so, dass �
{�g ε/2>aε} �g ε/2 dμ < ε
2 .
Dann ist
�
{|f|>aε}
�
|f| dμ ≤
{|f|>�g ε/2}
�
|f| dμ + �g ε/2 dμ < ε. ✷
{�g ε/2>aε}
Satz 6.18. (i) Ist F ⊂ L 1 (μ) eine endliche Menge, so ist F gleichgradig integrierbar.
(ii) Sind F, G⊂L 1 (μ) gleichgradig integrierbar, dann sind auch (f + g : f ∈
F, g∈G) und (f − g : f ∈F,g∈G) sowie {|f| : f ∈F}gleichgradig
integrierbar.
(iii) Ist F gleichgradig integrierbar und existiert zu jedem g ∈Gein f ∈Fmit
|g| ≤|f|, soistauchG gleichgradig integrierbar.
Beweis. Der einfache Beweis verbleibt zur Übung. ✷
Der folgende Satz beschreibt ein sehr gut anwendbares Kriterium für gleichgradige
Integrierbarkeit. Wir werden diesen Satz an vielen Stellen einsetzen.

132 6 Konvergenzsätze
Satz 6.19. Für endliches μ ist F⊂L1 (μ) genau dann gleichgradig integrierbar,
wenn es eine Funktion H :[0, ∞) → [0, ∞) gibt mit limx→∞ H(x)/x = ∞ und
�
sup H(|f|) dμ < ∞.
f∈F
H kann sogar monoton wachsend und konvex gewählt werden.
Beweis. ⇐= “ Es existiere H mit den angegebenen Eigenschaften. Dann gilt
”
Ka := infx≥a H(x)
x ↑∞,wenna↑∞.Alsoistfür a>0
sup
f∈F
�
|f| dμ ≤
{|f|≥a}
1
Ka
sup
f∈F
�
H(|f|) dμ
{|f|≥a}
�
H (|f|) dμ a→∞
−→ 0.
≤ 1
Ka
sup
f∈F
” =⇒ “ Sei F gleichgradig integrierbar. Da μ(Ω) < ∞ gilt, gibt es (nach
Satz 6.17) eine Folge an ↑∞mit
�
sup (|f|−an)
f∈F
+ dμ < 2 −n .
Wir setzen
H(x) =
∞�
(x − an) +
n=1
für jedes x ≥ 0.
Dann ist H als Summe konvexer Funktionen konvex. Ferner gilt für jedes n ∈ N
und x ≥ 2an, dassH(x)/x ≥ �n k=1 (1 − ak/x) + ≥ n/2, also gilt H(x)/x ↑∞.
Schließlich ist nach dem Satz über monotone Konvergenz für jedes f ∈F
�
∞�
�
H(|f(ω)|) μ(dω) = (|f|−an) + ∞�
dμ ≤ 2 −n =1. ✸
n=1
Zur Notation � · �p erinnere man sich an Definition 4.16.
Definition 6.20. Sei p ∈ [1, ∞]. Eine Familie F ⊂ L p (μ) heißt beschränkt in
L p (μ), falls sup{�f�p : f ∈F}< ∞ gilt.
Korollar 6.21. Ist μ(Ω) < ∞ und p>1 sowie F beschränkt in L p (μ), dann ist F
gleichgradig integrierbar.
Beweis. Wende Satz 6.19 an mit der konvexen Abbildung H(x) =x p . ✷
n=1

6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 133
Korollar 6.22. Ist (Xi)i∈I eine Familie von Zufallsvariablen mit sup{|E[Xi]| : i ∈
I} < ∞ und sup{Var[Xi] : i ∈ I} < ∞, dann ist (Xi)i∈I gleichgradig integrierbar.
Beweis. Dies folgt aus Korollar 6.21 mit p =2,dennE[X 2 i ]=E[Xi] 2 + Var[Xi]
ist in i ∈ I beschränkt. ✷
Lemma 6.23. Es existiert eine Abbildung h ∈L 1 (μ) mit h>0 fast überall.
Beweis. Seien A1,A2,...,∈Amit An ↑ Ω und μ(An) < ∞ für n ∈ N. Setze
∞�
h = 2 −n� 1+μ(An)) −1 An .
n=1
Dann ist h>0 fast überall und � hdμ≤ ∞�
n=1
2−n μ(An)
1+μ(An) ≤ 1. ✷
Satz 6.24. Eine Familie F⊂L1 (μ) ist genau dann gleichgradig integrierbar, wenn
die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
�
(i) C := sup
f∈F
|f| dμ < ∞.
(ii) Es gibt eine Funktion 0 ≤ h ∈L1 (μ), sodass für jedes ε>0 ein δ(ε) > 0
existiert mit
�
�
sup
f∈F
|f| dμ ≤ ε für jedes A ∈A mit hdμ0 gibt es ein δ(ε) > 0, sodass
�
sup
f∈F
|f| dμ ≤ ε für jedes A ∈A mit μ(A) 0
fast überall. Sei ε>0 und �g ε/3 eine ε/3–Schranke für F (wie in (6.5)). Wegen
� �gε/3 ≥ αh � ↓∅für α →∞, gilt für hinreichend großes α = α(ε)
�
�g ε/3≥αh
�g ε/3 dμ < ε
3 .
Mit δ(ε) := ε
�
3α(ε) gilt dann für jedes A ∈Amit hdμ

134 6 Konvergenzsätze
�
|f| dμ ≤
A
�
{|f|>�g ε/3}
≤ ε
3
A
�
|f| dμ +
�
+ α hdμ +
A
�g ε/3 dμ
�
�g ε/3≥αh
�g ε/3 dμ ≤ ε.
Damit ist (ii) gezeigt. Setzen wir in die Rechnung A = Ω ein, so erhalten wir
�
|f| dμ ≤ 2ε
Damit ist auch (i) gezeigt.
�
+ α
3
hdμ0. Wähle h und δ(ε) > 0 wie in (ii) und C
wie in (i). Setze �h = C
δ(ε) h. Dann ist
�
hdμ= δ(ε)
C
�
�
�
δ(ε)
hdμ≤
C
|f| dμ ≤ δ(ε),
{|f|> � h}
also nach Voraussetzung
�
{|f|> � h}
{|f|> � h}
|f| dμ < ε.
” (ii) =⇒ (iii)“ Es gelte (ii). Sei ε>0 und δ = δ(ε) wie in (ii) gewählt. Sei
K

Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies ist klar.
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 135
” (ii) =⇒ (iii)“ Für jedes ε>0 gibt es ein nε ∈ N, sodass �fn − fnε�1 ε}) ≤ ε −1 �fm − fn�1 −→ 0 für m, n →∞.
Deshalb ist (fn)n∈N auch eine stochastische Cauchy-Folge, also stochastisch konvergent
nach Korollar 6.15.
” (iii) =⇒ (i)“ Sei f der stochastische Grenzwert der Folge (fn)n∈N. Wir nehmen
an, dass (fn)n∈N nicht in L1 gegen f konvergiert. Dann gibt es ein ε>0 und eine
Teilfolge (fnk )k∈N mit
�f − fnk�1 > 2ε für jedes k ∈ N, (6.6)
wobei wir �f − fnk�1 = ∞ setzen, falls f �∈ L1 (μ) ist. Nach Korollar 6.13 gibt
es eine Teilfolge (fn ′ k )k∈N von (fnk )k∈N mit fn ′ k→∞
−→ f fast überall. Nach dem
k
Lemma von Fatou (Satz 4.21) mit 0 als Minorante gilt daher
�
�
|f| dμ ≤ lim inf
k→∞
|fn ′ | dμ < ∞.
k
Also ist f ∈L 1 (μ). Nach Satz 6.18(ii) (mit G = {f})ist(f −fn ′ k )n∈N gleichgradig
integrierbar, also gibt es ein 0 ≤ g ∈L 1 (μ), sodass � (|f − fn ′ k |−g)+ dμ < ε.
Setze
k→∞
gk = |fn ′ k
− f|∧g für jedes k ∈ N.
Dann gilt gk −→ 0 fast überall und g − gk ≥ 0. Nach dem Lemma von Fatou ist
� �
�
lim sup
k→∞
gk dμ =
�
gdμ− lim inf
k→∞
� �
(g − gk) dμ
�
≤ gdμ− lim (g − gk)
k→∞
dμ = 0.
Wegen {|f − fn ′ k | >gk} = {|f − fn ′ k
lim sup �f − fn
k→∞
′ k �1 ≤ lim sup
k→∞
{|f−fn ′ |>g}
k
| >g} ist also
�
|f − fn ′ �
| dμ + lim sup
k
k→∞
gk dμ ≤ ε,
im Widerspruch zu (6.6). ✷
Korollar 6.26 (Lebesgue’scher Konvergenzsatz, majorisierte Konvergenz). Sei
f messbar und (fn)n∈N eine Folge in L1 (μ) mit fn
n→∞
−→ f stochastisch. Es existiere
eine integrierbare Majorante 0 ≤ g ∈L1 (μ) mit |fn| ≤g fast überall für
jedes n ∈ N. Dann gilt f ∈L1 (μ) und fn
n→∞
−→ f in L1 �
fn dμ
, also insbesondere
n→∞
−→ � fdμ.

136 6 Konvergenzsätze
Beweis. Das folgt aus Satz 6.25, weil die Majorante die gleichgradige Integrierbarkeit
der Folge (fn)n∈N sichert. ✷
Übung 6.2.1. Sei H ∈L 1 (μ) mit H>0 μ-f.ü. (siehe Lemma 6.23) und (E,d) ein
separabler metrischer Raum. Man zeige:
(i) Durch
�
�1 �
dH(f,g) := ∧ d(f(ω),g(ω)) H(ω) μ(dω)
wird eine Metrik definiert, die die stochastische Konvergenz erzeugt.
(ii) Ist (E,d) vollständig, so ist dH vollständig. ♣
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung
Wir wollen untersuchen, wie sich Eigenschaften wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit
von Zweiparameterfunktionen unter Integration nach einer Variablen erhalten.
Satz 6.27 (Stetigkeitslemma). Sei (E,d) ein metrischer Raum, x0 ∈ E und f :
Ω × E → R eine Abbildung mit den Eigenschaften
(i) für jedes x ∈ E ist die Abbildung ω ↦→ f(ω, x) in L1 (μ),
(ii) für fast alle ω ∈ Ω ist die Abbildung x ↦→ f(ω, x) stetig im Punkte x0,
(iii) die Abbildung h : ω ↦→ supx∈E |f(ω, x)| ist in L1 (μ).
�
Dann ist die Abbildung F : E → R, x ↦→ f(ω, x) μ(dω) stetig in x0.
Beweis. Sei (xn)n∈N eine Folge in E mit lim
n→∞ xn = x0. Setze fn = f( · ,xn).
n→∞
Nach Voraussetzung ist |fn| ≤h und fn −→ f( · ,x0) fast überall. Nach dem
Satz von der majorisierten Konvergenz (Korollar 6.26) ist
�
F (xn) = fn dμ n→∞
�
−→ f( · ,x0) dμ = F (x0).
Also ist F stetig in x0. ✷

6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung 137
Satz 6.28 (Differentiationslemma). Sei I ⊂ R ein nichttriviales, offenes Intervall
und f : Ω × I eine Abbildung mit den Eigenschaften
(i) für jedes x ∈ I ist (ω ↦→ f(ω, x)) ∈L1 (μ),
(ii) für fast alle ω ∈ Ω ist I → R, x ↦→ f(ω, x) differenzierbar, wobei wir die
Ableitung mit f ′ bezeichnen,
(iii) h := supx∈I |f ′ ( · ,x)| ∈L1 (μ).
Dann gilt: Für jedes x ∈ I ist f ′ ( · ,x) ∈ L1 � (μ). Die Funktion F : x ↦→
f(ω, x) μ(dω) ist differenzierbar mit Ableitung
F ′ �
(x) = f ′ (ω, x) μ(dω).
Beweis. Sei x0 ∈ I und (xn)n∈N eine Folge in I mit xn �= x0 für jedes n ∈ N,
sowie lim
n→∞ xn = x0. Wir zeigen, dass entlang der Folge (xn)n∈N die Differenzenquotienten
konvergieren. Setze
gn(ω) = f(ω, xn) − f(ω, x0)
xn − x0
Nach Voraussetzung (ii) gilt
gn
für jedes ω ∈ Ω.
n→∞
−→ f ′ ( · ,x0) μ − fast überall.
Nach dem Zwischenwertsatz der Differentialrechnung existiert zu jedem n ∈ N und
fast jedem ω ∈ Ω ein yn(ω) ∈ I mit gn(ω) =f ′ (ω, yn(ω)). Speziell ist |gn| ≤h
für jedes n ∈ N. Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz (Korollar 6.26)
ist also die Grenzfunktion f ′ ( · ,x0) in L1 (μ) und
F (xn) − F (x0)
lim
= lim
n→∞ xn − x0 n→∞
�
�
gn(ω) μ(dω) = f ′ (ω, x0) μ(dω). ✷
Beispiel 6.29. (Laplace-Transformation) Sei X eine nichtnegative Zufallsvariable
auf (Ω,A, P), I =[0, ∞) und f(x, λ) =e−λx für λ ∈ I. Dannist
F (λ) =E � e −λX�
in (0, ∞) unendlich oft differenzierbar. Die ersten Ableitungen sind F ′ (λ) =
−E[Xe −λX ] und F ′′ (λ) =E[(X 2 )e −λX ]. Sukzessive erhalten wir die n-te Ableitung
F (n) (λ) =E[(−X) n e −λX ]. Es gilt (monotone Konvergenz)
E[X] =− lim
λ↓0 F ′ (λ) (6.7)

138 6 Konvergenzsätze
und
E[X n ]=(−1) n lim
λ↓0 F (n) (λ) für jedes n ∈ N. (6.8)
In der Tat: Für ε>0 und I =(ε, ∞) ist sup
x≥0,λ∈I
�
� d
dλ f(x, λ)� � = sup
x≥0,λ∈I
xe −λx =
ε −1 e −1 < ∞. Damit gelten die Voraussetzungen des Satzes für F . Iterativ erhalten
wir die Aussage für F (n) ,denn � � d n
dλ n f(x, λ) � � ≤ (n/ε) n e −n < ∞ für x ≥ 0 und
λ ≥ ε. ✸
Übung 6.3.1. Sei X eine Zufallsvariable auf (Ω,A, P) und
Λ(t) :=log � E � e tX��
für jedes t ∈ R.
Man zeige, dass D := {t ∈ R : Λ(t) < ∞} ein nichtleeres Intervall ist, und dass Λ
im Inneren von D unendlich oft differenzierbar ist. ♣

7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
In diesem Kapitel wollen wir die Räume der Funktionen untersuchen, deren p-te
Potenz integrierbar ist. Wir leiten in Abschnitt 7.2 zunächst wichtige Ungleichungen
her (Hölder, Minkowski, Jensen) und untersuchen dann in Abschnitt 7.3 den
Fall p =2, wo wir Hilberträume vorliegen haben, im Detail. Neben den genannten
Ungleichungen sind die wichtigsten Ergebnisse für die Stochastik der Zerlegungssatz
von Lebesgue sowie der Satz von Radon-Nikodym in Abschnitt 7.4. Der Leser
mag beim ersten Lesen die anderen, eher analytisch als stochastisch ausgerichteten,
Teile dieses Kapitels überschlagen.
7.1 Definitionen
In Definition 4.16 hatten wir für messbares f : Ω → R definiert
��
�f�p := |f| p �1/p dμ für p ∈ [1, ∞),
und
�f�∞ := inf � K ≥ 0: μ(|f| >K)=0 � .
Ferner hatten wir die Räume definiert, wo diese Ausdrücke endlich sind
L p (Ω,A,μ)=L p (A,μ)=L p (μ) ={f : Ω → R ist messbar und �f�p < ∞}.
Wir hatten gesehen, dass � · �1 eine Pseudonorm auf L 1 (μ) ist. Unser erstes Ziel
ist es hier, � · �p zu einer echten Norm zu machen, und zwar für jedes p ∈ [1, ∞].
Abgesehen davon, dass die Dreiecksungleichung noch zu zeigen ist, müssen wir zu
diesem Zwecke auch den Raum verändern, denn es gilt nur
�f − g�p =0 ⇐⇒ f = g μ-f.ü.
Bei einer echten (also nicht nur Pseudo-)Norm muss aus der linken Seite schon
Gleichheit (nicht nur f.ü.) von f und g gelten. Wir sehen daher f und g als äquivalent
an, falls f = g fast überall. Sei also
N = {f ist messbar und f =0 μ-f.ü.}.

140 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Für jedes p ∈ [1, ∞] ist N ein Untervektorraum von L p (μ).Wirkönnen also formal
den Quotientenraum bilden. Dies ist das Standardverfahren, um aus einer Pseudonorm,
eine Norm zu machen.
Definition 7.1 (Quotientenraum). Für jedes p ∈ [1, ∞] definieren wir
L p (Ω,A,μ):=L p (Ω,A,μ)/N = { ¯ f := f + N : f ∈L p (μ)}.
Für ¯ f ∈ L p (μ) setzen wir � � ¯ f � �p = �f�p für ein f ∈ ¯ f und � ¯ fdμ= � fdμ, falls
dieser Ausdruck für f definiert ist.
Man beachte, dass � � ¯ f � �p nicht von der Wahl des Repräsentanten f ∈ ¯ f abhängt.
Wir wollen jetzt zunächst die Konvergenz bezüglich � · �p untersuchen und erweitern
dazu den entsprechenden Satz (Satz 6.25) über die Konvergenz bezüglich
� · �1.
Definition 7.2. Seien p ∈ [1, ∞] und f,f1,f2,... ∈Lp n→∞
(μ). Falls �fn − f�p −→
0 gilt, so sagen wir, dass (fn)n∈N im p-ten Mittel gegen f konvergiere und schreiben
L p
−→ f.
fn
Satz 7.3. Seien p ∈ [1, ∞] und f1,f2,...∈L p (μ). Dann sind äquivalent:
(i) Es gibt ein f ∈Lp L
(μ) mit fn
p
−→ f.
(ii) (fn)n∈N ist eine Cauchy-Folge in Lp (μ).
Ist p

7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 141
stochastisch, und (gn)n∈N ist gleichgradig integrierbar, da gn ≤ 2p (|fn| p + |f| p ).
Also gilt (nach Satz 6.25) �fn − f�p p = �gn�1
n→∞
−→ 0. ✷
Übung 7.1.1. Seien (Xi)i∈N unabhängige, quadratintegrierbare Zufallsvariablen mit
E[Xi] =0für jedes i ∈ N.
(i) Man zeige: Gilt �∞ i=1 Var[Xi] < ∞, so existiert eine reelle Zufallsvariable
X mit �n i=1 Xi
n→∞
−→ X fast sicher.
(ii) Gilt in (i) auch die Umkehrung? ♣
Übung 7.1.2. Sei f : Ω → R messbar. Zeige:
(i) Gilt � |f| p dμ < ∞ für ein p ∈ (0, ∞), so gilt �f�p
p→∞
−→ �f�∞.
(ii) Auf die Integrierbarkeitsbedingung in (i) kann nicht verzichtet werden. ♣
Übung 7.1.3. Sei p ∈ (1, ∞), f ∈L p (λ), wobei λ das Lebesgue-Maß auf R ist,
und T : R → R, x ↦→ x +1. Man zeige:
n−1
1 �
n
k=0
f ◦ T k n→∞
−→ 0 in L p (λ). ♣
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz
Wir wollen eine der wichtigsten Ungleichungen der Wahrscheinlichkeitstheorie, die
Jensen’sche Ungleichung für konvexe Funktionen, herleiten. Aus dieser kann man
die Hölder’sche Ungleichung und die Minkowski’sche Ungleichung folgern, die uns
die Dreiecksungleichung für � · �p liefern sowie den Dualraum zu bestimmen helfen.
Allerdings geben wir hier direkte (und einfachere) Beweise für die beiden letztgenannten
Ungleichungen.
Bevor wir zur Jensen’schen Ungleichung kommen, wiederholen wir kurz Grundsätzliches
zur Konvexität von Mengen und Funktionen.
Definition 7.4. Eine Teilmenge G eines Vektorraums (beziehungsweise eines affinlinearen
Raums) heißt konvex, falls für je zwei Punkte x, y ∈ G und jedes λ ∈ [0, 1]
auch λx +(1− λ)y ∈ G ist.
Beispiele 7.5. (i) Die konvexen Teilmengen von R sind die Intervalle.
(ii) Ein linearer Unterraum eines Vektorraums ist konvex.
(iii) Die Menge aller W-Maße auf einem Messraum ist eine konvexe Menge ✸

142 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Definition 7.6. Sei G eine konvexe Menge. Eine Abbildung ϕ : G → R heißt konvex,
falls für je zwei Punkte x, y ∈ G und jedes λ ∈ [0, 1] gilt
f heißt konkav, falls −f konvex ist.
ϕ(λx +(1− λ)y) ≤ λϕ(x)+(1− λ)ϕ(y).
Ist I ⊂ R ein Intervall und ϕ : I → R stetig und im Inneren I ◦ zweimal stetig differenzierbar
mit zweiter Ableitung ϕ ′′ ,soistϕ genau dann konvex, wenn ϕ ′′ (x) ≥ 0
ist für alle x ∈ I ◦ . Anders ausgedrückt: Die erste Ableitung ϕ ′ einer konvexen
Funktion ist eine monoton wachsende Funktion. Wir werden im nächsten Satz sehen,
dass dies auch dann noch gilt, wenn ϕ nicht zweimal stetig differenzierbar ist,
wenn wir zur rechtsseitigen Ableitung D + ϕ übergehen (oder zur linksseitigen), von
der wir zeigen, dass sie immer existiert.
Satz 7.7. Sei I ⊂ R ein Intervall mit Innerem I ◦ , sowie ϕ : I → R eine konvexe
Abbildung. Dann gilt:
(i) ϕ ist stetig in I◦ und insbesondere messbar bezüglich B(I).
(ii) Für x ∈ I◦ definiere die Funktion der Differenzenquotienten
ϕ(y) − ϕ(x)
gx(y) := für y ∈ I \{x}.
y − x
Dann ist gx monoton wachsend, und es existieren die links- und rechtsseitigen
Ableitungen
und
D − ϕ(x) := lim
y↑x gx(y) =sup{gx(y) : yx}.
(iii) Für x ∈ I ◦ gilt D − ϕ(x) ≤ D + ϕ(x) und
ϕ(x)+(y − x)t ≤ ϕ(y) für jedes y ∈ I ⇐⇒ t ∈ [D − ϕ(x),D + ϕ(x)].
D−ϕ(x) und D + ϕ(x) sind also die minimale und die maximale Tangentensteigung
in x.
(iv) Die Abbildungen x ↦→ D−ϕ(x) und x ↦→ D + ϕ(x) sind monoton wachsend.
x ↦→ D−ϕ(x) ist linksstetig und x ↦→ D + ϕ(x) ist rechtsstetig. Es gilt
D−ϕ(x) =D + ϕ(x) in allen Stetigkeitspunkten von D−ϕ und D + ϕ.
(v) ϕ ist genau dann in x differenzierbar, wenn D−ϕ(x) =D + ϕ(x) ist. In diesem
Fall ist die Ableitung ϕ ′ (x) =D + ϕ(x).
(vi) ϕ ist fast überall differenzierbar, und es gilt ϕ(b) − ϕ(a) = � b
a D+ ϕ(x) dx für
a, b ∈ I ◦ .

7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 143
Beweis. (i) Sei x ∈ I ◦ . Wir nehmen an, dass lim infn→∞ ϕ(x−1/n) ≤ ϕ(x)−ε
für ein ε>0 gilt. Da ϕ konvex ist, gilt
ϕ(y) ≥ ϕ(x)+n(y − x)(ϕ(x) − ϕ(x − 1/n)) für jedes y>x und n ∈ N.
Zusammen mit der obigen Annahme folgt ϕ(y) = ∞ für jedes y > x. Mithin
war die Annahme falsch. Die analoge Überlegung für die rechte Seite liefert die
Stetigkeit von ϕ in x.
(ii) Die Monotonie folgt aus der Konvexität. Die anderen Aussagen sind klar.
(iii) Aufgrund der Monotonie von gx gilt D−ϕ(x) ≤ D + ϕ(x). Per Konstruktion
ist ϕ(x)+(y − x)t ≤ ϕ(y) für alle yxgenau dann, wenn t ≤ D + ϕ(x) ist.
(iv) Für ε>0 ist aufgrund der Konvexität x ↦→ gx(x + ε) monoton wachsend
und nach (i) stetig. Als Infimum monotoner, stetiger Funktionen ist x ↦→ D + ϕ(x)
monoton wachsend und rechtsstetig. Analog folgt die Aussage für D−ϕ.Dax ↦→
gx(y) monoton ist, folgt D + ϕ(x ′ ) ≥ D−ϕ(x ′ ) ≥ D + ϕ(x) für x ′ >x.IstD + ϕ
stetig in x,soistD−ϕ(x) =D + ϕ(x).
(v) Dies ist klar, da D−ϕ und D + ϕ die Limiten der linksseitigen und rechtsseitigen
Sekantensteigungsfolgen sind.
(vi) Für ε>0 sei Aε = {x ∈ I : D + ϕ(x) ≥ ε + limy↑x D + ϕ(y)} die Menge
der Unstetigkeitsstellen der Höhe mindestens ε. Für je zwei Punkte a, b ∈ I mit
a

144 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Beweis. ” (ii) =⇒ (iii) ⇐⇒ (iv)“ Dies ist klar.
” (iii) =⇒ (i)“ Das Supremum konvexer Funktionen ist konvex, und jede affin
lineare Funktion ist konvex. Also ist sup L(ϕ) konvex, falls L(ϕ) �= ∅.
” (i) =⇒ (ii)“ Nach Satz 7.7(iii) ist für jedes x0 ∈ I die Abbildung x ↦→ ϕ(x0)+
(x − x0)D + ϕ(x0) in L(ϕ). ✷
Satz 7.9 (Jensen’sche Ungleichung). Sei I ⊂ R ein Intervall und X eine Zufallsvariable
mit Werten in I und E[|X|] < ∞.Istϕ konvex, dann gilt E[ϕ(X) − ] < ∞
und
E[ϕ(X)] ≥ ϕ(E[X]).
Beweis. Da nach Korollar 7.8(iii) L(ϕ) �= ∅ ist, können wir a, b ∈ R so wählen,
dass ax + b ≤ ϕ(x) gilt für alle x ∈ I. Es ist dann
E[ϕ(X) − ] ≤ E[(aX + b) − ] ≤|b| + |a|·E[|X|] < ∞.
Wir unterscheiden die Fälle, wo E[X] im Inneren I◦ oder am Rand ∂I liegt.
1. Fall Ist E[X] ∈ I◦ ,soseit + := D + ϕ(E[X]) die maximale Tangentensteigung
von ϕ in E[X]. Dannistϕ(x) ≥ t + · (x − E[X]) + ϕ(E[X]) für jedes x ∈ I, also
E[ϕ(X)] ≥ t + E[X − E[X]] + E[ϕ(E[X])] = ϕ(E[X]).
2. Fall Ist E[X] ∈ ∂I, soistX = E[X] f.s., also E[ϕ(X)] = E[ϕ(E[X])] =
ϕ(E[X]). ✷
Die Jensen’sche Ungleichung lässt sich auf den R n ausweiten. Hierfür benötigen
wir eine Darstellung konvexer Funktionen mehrerer Veränderlicher als Supremum
von affin linearen Funktionen. Dabei heißt eine Funktion g : R n → R affin linear,
wenn es ein a ∈ R n und ein b ∈ R gibt mit g(x) =〈a, x〉 + b für jedes x. Hierbei
bezeichnet 〈 · , · 〉 das gewöhnliche Skalarprodukt auf R n .
Satz 7.10. Sei G ⊂ R n offen und konvex und ϕ : G → R eine Abbildung. Dann gilt
Korollar 7.8 sinngemäß mit I = G. Istϕ konvex, so ist ϕ stetig und insbesondere
messbar. Ist ϕ zweimal stetig differenzierbar, so ist ϕ genau dann konvex, wenn die
Hesse-Matrix positiv semidefinit ist.
Beweis. Da wir die Aussagen nur für den Beweis der mehrdimensionalen Jensen’schen
Ungleichung benötigen, die aber im weiteren Verlaufe keine tragende
Bedeutung hat, geben wir nur die Literatur an: Im Buch von Rockafellar [138] folgt
die Stetigkeit aus Theorem 10.1, die Aussage von 7.8 aus Theorem 12.1 beziehungsweise
Theorem 18.8. Die Aussage über die Hesse-Matrix steht in Theorem 4.5. ✷

7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz 145
Satz 7.11 (Jensen’sche Ungleichung im R n ). Sei G ⊂ R n konvex, und seien
X1,...,Xn integrierbare reelle Zufallsvariablen mit P[(X1,...,Xn) ∈ G] =1.
Sei ferner ϕ : G → R konvex. Dann ist E[ϕ(X1,...,Xn) − ] < ∞ und
E � ϕ(X1,...,Xn) � ≥ ϕ(E[X1],...,E[Xn]).
Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall, wo G offen ist. Die Argumentation läuft
hier ähnlich wie beim Beweis von Satz 7.9.
Sei g ∈ L(ϕ) mit g(E[X1],...,E[Xn]) = ϕ(E[X1],...,E[Xn]). Dag ≤ ϕ linear
ist, folgt
E � ϕ(X1,...,Xn) � ≥ E[g(X1,...,Xn)] = g(E[X1],...,E[Xn]).
Die Integrierbarkeit von ϕ(X1,...,Xn) − folgt völlig analog wie im eindimensionalen
Fall. Sei jetzt der allgemeine Fall betrachtet, das heißt derjenige, wo G nicht
notwendigerweise offen ist. Hier ist das Problem, wenn (E[X1],...,E[Xn]) ∈ ∂G
liegt, etwas kniffliger als im eindimensionalen Fall, weil ∂G flache Stücke haben
kann, die aber selbst notwendigerweise wieder konvex sind. Man kann also nicht
schließen, dass (X1,...,Xn) fast sicher gleich dem Erwartungswert ist. Wir skizzieren
nur das Argument: Zunächst kann man nur folgern, dass (X1,...,Xn) fast
sicher in einem solchen flachen Stück liegt. Dieses ist dann notwendigerweise von
Dimension kleiner als n ist (oder Null, falls das Stück schon ein Punkt ist). Jetzt
muss man ϕ auf das flache Stück einschränken und sich iterativ in der Dimension
herunter arbeiten. Die Details finden sich beispielsweise in [37, Theorem 10.2.6].✷
Beispiel 7.12. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit E[X 2 ] < ∞, I = R und
ϕ(x) =x 2 . Aus der Jensen’schen Ungleichung folgt
Var[X] =E[X 2 ] − (E[X]) 2 ≥ 0. ✸
Beispiel 7.13. G =[0, ∞) × [0, ∞), und α ∈ (0, 1), sowieϕ(x, y) =x α y 1−α .
ϕ ist konkav (Übung!), daher gilt für nichtnegative Zufallsvariablen X und Y mit
endlicher Erwartung (nach Satz 7.11)
E � X α Y 1−α� ≤ (E[X]) α (E[Y ]) 1−α . ✸
Beispiel 7.14. Seien G, X und Y wie in Beispiel 7.13. Sei p ∈ (1, ∞). Dannist
ψ(x, y) = � x 1/p + y 1/p�p konkav. Daher gilt (nach Satz 7.11)
�
E[X] 1/p + E[Y ] 1/p� p
��
≥ E X 1/p + Y 1/p� p�
. ✸
Wir kommen nun zu den beiden weiteren wichtigen Ungleichungen, der Hölder’schen
Ungleichung und der Minkowski’schen Ungleichung. Zur Vorbereitung bringen
wir ein Lemma.

146 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Lemma 7.15 (Young’sche Ungleichung). Für p, q ∈ (1, ∞) mit 1
p
x, y ∈ [0, ∞) gilt
xy ≤ xp
p
1 + q =1und für
yq
+ . (7.1)
q
Beweis. Wir halten y ∈ [0, ∞) fest und definieren f(x) := xp
p
+ yq
q
− xy für
x ∈ [0, ∞). f ist zweimal stetig differenzierbar in (0, ∞) mit Ableitungen f ′ (x) =
x p−1 − y und f ′′ (x) =(p − 1)x p−2 . Speziell ist f strikt konvex und besitzt daher
eine eindeutige Minimalstelle bei x0 = y 1/(p−1) . Nach Voraussetzung ist q = p
p−1 ,
also x p
0 = yq und daher
f(x0) =
� �
1 1
+ y
p q
q − y 1/(p−1) y =0. ✷
Satz 7.16 (Hölder’sche Ungleichung). Seien p, q ∈ [1, ∞] mit 1
p
f ∈L p (μ), g∈L q (μ). Dann gilt (fg) ∈L 1 (μ) und
�fg�1 ≤�f�p ·�g�q.
+ 1
q =1und
Beweis. Die Fälle p =1und p = ∞ sind trivial. Sei also nun p ∈ (1, ∞) und
f ∈ L p (μ) und g ∈ L q (μ) nicht fast überall Null. Indem wir zu f/�f�p und
g/�g�q übergehen, können wir �f�p = �g�q =1annehmen. Nach Lemma 7.15 ist
�
�fg�1 = |f|·|g| dμ ≤ 1
�
|f|
p
p dμ + 1
�
|g|
q
q dμ
= 1 1
+
p q =1 = �f�p ·�g�q. ✷
Satz 7.17 (Minkowski’sche Ungleichung). Für p ∈ [1, ∞] und f,g ∈L p (μ) gilt
�f + g�p ≤�f�p + �g�p. (7.2)
Beweis. Der Fall p = ∞ ist wiederum trivial. Sei also p ∈ [1, ∞). Die linke Seite
in (7.2) wird nicht kleiner, wenn wir f und g durch |f| und |g| ersetzen. Wir können
also ohne Einschränkung annehmen, dass f ≥ 0 und g ≥ 0 gelten.
Nun ist (f + g) p ≤ 2 p (f p ∨ g p ) ≤ 2 p (f p + g p ), also ist f + g ∈L p (μ). Mit Hilfe
der Hölder’schen Ungleichung, angewandt auf f ·(f +g) p−1 und auf g ·(f +g) p−1 ,
erhalten wir
�f + g� p p =
�
(f + g) p �
dμ =
f(f + g) p−1 �
dμ +
≤�f�p ·�(f + g) p−1 �q + �g�p ·�(f + g) p−1 �q
=(�f�p + �g�p) ·�f + g� p−1
p ,
g(f + g) p−1 dμ

7.3 Hilberträume 147
wobei wir im letzten Schritt ausgenutzt haben, dass p − p/q =1ist. Teilen wir nun
beide Seiten durch �f + g� p−1
p , so folgt (7.2). ✷
Wir haben in Satz 7.17 die Dreiecksungleichung gezeigt und damit, dass � · �p
eine Norm ist. In Satz 7.3 wurde hingegen gezeigt, dass diese Norm vollständig
ist (jede Cauchy-Folge konvergiert). Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt
Banachraum. Wir haben also den folgenden Satz gezeigt:
Satz 7.18 (Fischer-Riesz). Für p ∈ [1, ∞] ist (L p (μ), � · �p) ein Banachraum.
Übung 7.2.1. Zeige die Hölder’sche Ungleichung mit Hilfe der Jensen’schen Ungleichung
mit der Funktion aus Beispiel 7.13. ♣
Übung 7.2.2. Zeige die Minkowski’sche Ungleichung mit Hilfe der Jensen’schen
Ungleichung mit der Funktion aus Beispiel 7.14. ♣
Übung 7.2.3. Sei X eine reelle Zufallsvariable und p, q ∈ (1, ∞) mit 1
p
+ 1
q =1.
Zeige: X ist genau dann in L p (P), wenn es ein C 0 für jedes x ∈ V \{0}.
Gelten lediglich (i), (ii) und 〈x, x〉 ≥0 für jedes x, soheißt〈 · , · 〉 eine positiv
semidefinite symmetrische Bilinearform.
Ist 〈 · , · 〉 ein Skalarprodukt, so heißt (V,〈 · , · 〉) ein (reeller) Hilbertraum, falls
die durch �x� := 〈x, x〉 1/2 definierte Norm vollständig ist, falls also (V,� · �) ein
Banachraum ist.

148 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Definition 7.20. Für f,g ∈L2 (μ) definieren wir
�
〈f,g〉 := fgdμ.
Für ¯ f,¯g ∈ L 2 (μ) definieren wir 〈 ¯ f,¯g〉 := 〈f,g〉, wobei f ∈ ¯ f und g ∈ ¯g.
Man beachte, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten f
und g ist.
Satz 7.21. 〈 · , · 〉 ist ein Skalarprodukt auf L 2 (μ) und eine positiv semidefinite symmetrische
Bilinearform auf L 2 (μ). Es gilt �f�2 = 〈f,f〉 1/2 .
Beweis. Übung! ✷
Als Korollar zu Satz 7.18 erhalten wir:
Korollar 7.22. (L 2 (μ), 〈 · , · 〉) ist ein reeller Hilbertraum.
Lemma 7.23. Ist 〈 · , · 〉 eine positiv semidefinite Bilinearform auf dem reellen Vektorraum
V ,soist〈 · , · 〉 : V × V → R stetig (bezüglich der Produkttopologie der
Topologie auf V , die von der Pseudometrik d(x, y) =〈x − y, x − y〉 1/2 erzeugt
wird).
Beweis. Klar. ✷
Definition 7.24 (Orthogonales Komplement). Sei V ein reeller Vektorraum mit
Skalarprodukt 〈 · , · 〉.IstW ⊂ V , so bezeichnen wir den Untervektorraum
W ⊥ := � v ∈ V : 〈v, w〉 =0 für alle w ∈ W �
als das orthogonale Komplement von W .
Satz 7.25 (Orthogonale Zerlegung). Sei (V,〈 · , · 〉) ein Hilbertraum und W ⊂ V
ein abgeschlossener linearer Unterraum. Für jedes x ∈ V existiert eine eindeutige
Darstellung x = y + z, wobei y ∈ W und z ∈ W ⊥ ist.
Beweis. Sei x ∈ V und c := inf{�x − w� : w ∈ W }. Sei ferner (wn)n∈N eine
Folge in W mit �x − wn� n→∞
−→ c. Die Parallelogrammgleichung ergibt
�wm − wn� 2 =2�wm − x� 2 +2�wn − x� 2 �
�
− 4 �
1
�2
(wm
�2
�
+ wn) − x�
� .
Da W linear ist, ist (wm + wn)/2 ∈ W , also � 1
2 (wm + wn) − x� ≥c. Alsoist
(wn)n∈N eine Cauchy-Folge: �wm − wn� −→0, falls m, n →∞.

7.3 Hilberträume 149
Da V vollständig ist und W abgeschlossen, ist auch W vollständig, also gibt es ein
n→∞
y ∈ W mit wn −→ y. Setze nun z := x−y.Dannist�z� = limn→∞ �wn−x� =
c aufgrund der Stetigkeit der Norm (Lemma 7.23).
Betrachte ein beliebiges w ∈ W \{0}. Wir setzen ϱ := −〈z,w〉/�w�2 und erhalten
y + ϱw ∈ W , also
c 2 ≤ �x − (y + ϱw)� 2 = �z� 2 + ϱ 2 �w� 2 +2ϱ 〈z,w〉 = c 2 − ϱ 2 �w� 2 .
Folglich ist 〈z,w〉 =0für alle w ∈ W und damit z ∈ W ⊥ .
Die Eindeutigkeit der Darstellung klar: Ist x = y ′ + z ′ eine weitere orthogonale
Zerlegung, so ist y − y ′ ∈ W und z − z ′ ∈ W ⊥ sowie y − y ′ + z − z ′ =0, also ist
0 = �y − y ′ + z − z ′ � 2 = �y − y ′ � 2 + �z − z ′ � 2 +2〈y − y ′ ,z− z ′ 〉
= �y − y ′ � 2 + �z − z ′ � 2 .
Es folgt y = y ′ und z = z ′ . ✷
Satz 7.26 (Darstellungssatz von Riesz-Fréchet). Sei (V,〈 · , · 〉) ein Hilbertraum
und F : V → R eine Abbildung. Dann sind äquivalent:
(i) F ist stetig und linear.
(ii) Es gibt ein f ∈ V mit F (x) =〈x, f〉 für alle x ∈ V .
Das Element f ∈ V in (ii) ist eindeutig bestimmt.
Beweis. ” (ii) =⇒ (i)“ Für jedes f ∈ V ist per Definition des Skalarprodukts die
Abbildung x ↦→ 〈x, f〉 linear. Nach Lemma 7.23 ist diese Abbildung auch stetig.
” (i) =⇒ (ii)“ Ist F ≡ 0, sowähle f =0. Sei nun F nicht identisch Null. Da F
stetig ist, ist der Kern W := F −1 ({0}) ein abgeschlossener echter linearer Unterraum
von V .Seiv∈ V \W und v = y +z für y ∈ W und z ∈ W ⊥ die orthogonale
Zerlegung von v. Dannistz�= 0, und F (z) =F (v) − F (y) =F (v) �= 0, und
wir können u := z/F(z) ∈ W ⊥ definieren. Offenbar ist F (u) =1, und für jedes
x ∈ V ist F (x − F (x)u) =F (x) − F (x)F (u) =0, also x − F (x)u ∈ W
und damit 〈x − F (x)u, u〉 =0. Folglich ist F (x) =〈x, u〉/�u�2 . Setzen wir nun
f := u/�u�2 ,soistF (x) =〈x, f〉 für alle x ∈ V .
” Eindeutigkeit“ Sei 〈x, f〉 = 〈x, g〉 für alle x ∈ V . Setzen wir x = f − g, so
erhalten wir 0=〈f − g, f − g〉, also f = g. ✷
Wir werden den Darstellungssatz im folgenden Abschnitt für den Raum L 2 (μ) brauchen
statt für den Hilbertraum L 2 (μ). Mit ein bisschen abstract nonsense lässt sich
aber der vorangehende Satz auf diese Situation anwenden. Wir erinnern daran, dass
N = {f ∈L 2 (μ) : 〈f,f〉 =0} der Unterraum der Funktionen ist, die fast sicher
Null sind, und L 2 (μ) =L 2 (μ)/N der Quotientenraum. Dies ist ein Spezialfall der

150 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Situation, wo (V,〈 · , · 〉) ein linearer Raum mit vollständiger positiv semidefiniter
symmetrischer Bilinearform ist. In diesem Fall ist N := {v ∈ V : 〈v, v〉 =0} und
V0 = V/N := {f + N : f ∈ V }. Wir schreiben 〈v + N ,w+ N〉0 := 〈v, w〉 und
erhalten so einen Hilbertraum (V0, 〈 · , · 〉0).
Korollar 7.27. Sei (V,〈 · , · 〉) ein linearer Vektorraum mit vollständiger positiv semidefiniter
symmetrischer Bilinearform. Die Abbildung F : V → R ist genau dann
stetig und linear, wenn es ein f ∈ V gibt mit F (x) =〈x, f〉 für alle x ∈ V .
Beweis. Die eine Implikation ist trivial. Sei also F stetig und linear. Dann ist
F (0) = 0, weil F linear ist, und für jedes v ∈Nist F (v) =F (0) = 0, weil
F stetig ist (klar: v liegt in jeder offenen Umgebung von 0, also muss F in v denselben
Wert annehmen wie in 0). Also induziert F eine stetige lineare Abbildung
F0 : V0 → R durch F0(x + N )=F (x). Nach Satz 7.26 existiert ein f + N∈V0
mit F0(x + N )=〈x + N ,f+ N〉0 für jedes x + N∈V0. Nach Definition von F0
und 〈 · , · 〉0 ist nun aber F (x) =〈x, f〉 für jedes x ∈ V . ✷
Korollar 7.28. Die Abbildung F : L 2 (μ) → R ist genau dann stetig und linear,
wenn es ein f ∈L 2 (μ) gibt mit F (g) = � gf dμ für alle g ∈L 2 (μ).
Beweis. Der Raum L 2 (μ) erfüllt die Bedingungen des vorangehenden Korollars.✷
7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
In diesem Abschnitt benutzen wir die eben gewonnen Aussagen über Hilberträume,
um ein Maß zu zerlegen in einen singulären und einen absolutstetigen Anteil bezüglich
eines zweiten Maßes. Für den absolutstetigen Anteil zeigen wir, dass er eine
Dichte besitzt. Seien μ und ν Maße auf (Ω,A). Nach Definition 4.13 heißt eine
messbare Funktion f : Ω → [0, ∞) eine Dichte von ν bezüglich μ, falls
�
ν(A) := f A dμ für jedes A ∈A. (7.3)
Andererseits definiert für jedes messbare f : Ω → [0, ∞) Gleichung (7.3) ein Maß
ν auf (Ω,A). Wir schreiben in diesem Fall auch
ν = fμ und f = dν
. (7.4)
dμ
Beispielsweise hat die Normalverteilung ν = N0,1 die Dichte f(x) = 1
√ 2π e −x2 /2
bezüglich des Lebesgue-Maßes μ = λ auf R.
Ist g : Ω → [0, ∞] messbar, so gilt (nach Satz 4.15)

7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz 151
� �
gdν = gf dμ. (7.5)
Wir erhalten so, dass genau dann g ∈L 1 (ν) ist, wenn gf ∈L 1 (μ) gilt, und in
diesem Fall ist (7.5) erfüllt.
Gilt ν = fμ, so ist offenbar ν(A) =0für jedes A ∈Amit μ(A) =0. In gewissem
Sinne komplementär ist die Situation beispielsweise bei der Poissonverteilung μ =
Poiϱ mit Parameter ϱ>0 und ν = N0,1. Hier ist N0 ⊂ R eine ν-Nullmenge mit
μ(R \ N0) =0. Wir sagen, dass ν singulär zu μ ist.
Das Ziel dieses Kapitels ist es, im allgemeinen Fall zu zeigen, dass ein beliebiges
σ-endliches Maß ν auf einem Messraum (Ω,A) zerlegt werden kann in einen Teil,
der singulär zum σ-endlichen Maß μ ist, und einen Teil, der eine Dichte bezüglich
μ hat (Lebesgue’scher Zerlegungssatz, Satz 7.33).
Satz 7.29 (Eindeutigkeit der Dichte). Sei νσ-endlich. Sind f1 und f2 Dichten von
ν bezüglich μ, sogiltf1 = f2 μ-fast überall. Speziell ist die Dichtefunktion dν
dμ
eindeutig bis auf Gleichheit μ-fast überall.
Beweis. Sei En ↑ Ω mit ν(En) < ∞, n ∈ N. SeiAn = En ∩{f1 >f2} für
n ∈ N. Dannistν(An) < ∞, also
�
0=ν(An) − ν(An) = f1 − f2 dμ.
Nach Satz 4.8(i) gilt f2 An = f1 An μ–f.ü., also μ(An) =0und μ({f1 >f2}) =
μ( �
n∈N An) =0. Analog folgt μ({f1 0, soistμ(A) = �
fdλ>0 falls λ(A) > 0,
A
also μ ≈ λ.Istλ({f =0}) > 0,soist(wegenμ({f =0}) =0) λ �≪ μ.

152 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
(ii) Betrachte die Bernoulli-Verteilungen Berp und Berq für p, q ∈ [0, 1]. Istp∈ (0, 1), so gilt Berq ≪ Berp. Istp ∈{0, 1}, soistBerq ≪ Berp genau dann, wenn
p = q, und Berq ⊥ Berp genau dann, wenn q =1− p.
(iii) Betrachte die Poisson-Verteilungen Poiα und Poiβ für α, β ≥ 0. Es ist genau
dann Poiα ≪ Poiβ,wennβ>0 oder α =0.
(iv) Betrachte die unendlichen Produktmaße (siehe Satz 1.64) Ber ⊗N
p
auf Ω = {0, 1} N .DannistBer ⊗N
p
und Ber ⊗N
q
⊥ Ber ⊗N
q , falls p �= q. In der Tat: Sei
Xn((ω1,ω2,...)) = ωn für jedes n ∈ N die Projektion von Ω auf die n-te Koordinate.
Dann ist (Xn)n∈N unabhängig und Bernoulli-verteilt (siehe Beispiel 2.18)
mit Parameter r unter Ber ⊗N
r . Nach dem starken Gesetz der großen Zahl gibt es also
für r ∈{p, q} eine messbare Menge Ar ⊂ Ω mit Ber ⊗N
r (Ω \ Ar) =0und
1
lim
n→∞ n
n�
Xi(ω) =r für jedes ω ∈ Ar.
i=1
Speziell ist also Ap ∩ Aq = ∅, falls p �= q, und damit Ber ⊗N
p ⊥ Ber ⊗N
q . ✸
Satz 7.33 (Zerlegungssatz von Lebesgue). Seien μ und νσ-endliche Maße auf
(Ω,A). Dann lässt sich ν auf eindeutige Weise zerlegen in den (bezüglich μ) absolutstetigen
Anteil νa und den singulären Anteil νs:
ν = νa + νs, wobei νa ≪ μ und νs ⊥ μ.
νa hat eine Dichte bezüglich μ, und dνa
dμ
ist A-messbar und μ–f.ü. endlich.
Korollar 7.34 (Satz von Radon-Nikodym). Seien μ und νσ-endliche Maße auf
(Ω,A). Dann gilt
ν hat eine Dichte bezüglich μ ⇐⇒ ν ≪ μ.
In diesem Fall ist dν
dν
dμ A-messbar und μ–f.ü. endlich. dμ heißt Radon-Nikodym-
Ableitung von ν nach μ.
Beweis. Die eine Richtung ist trivial. Sei also ν ≪ μ. Mit Satz 7.33 bekommen
wir, dass ν = νa eine Dichte bezüglich μ hat. ✷
Beweis (Satz 7.33). Die Idee geht auf v. Neumann zurück, wir folgen der Darstellung
in [37].
Wir können uns durch die üblichen Ausschöpfungsargumente auf den Fall beschränken
wo μ und ν endlich sind. Nach Satz 4.19 ist die kanonische Inklusion

7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz 153
i : L2 (Ω,A,μ+ ν) ↩→ L1 (Ω,A,μ+ ν) stetig. Wegen ν ≤ μ + ν ist also auch
die Linearform L2 (Ω,A,μ + ν) → R, h ↦→ � hdν stetig. Nach dem Satz von
Riesz-Fréchet (hier: Korollar 7.28) existiert daher ein g ∈L2 (Ω,A,μ+ ν) mit
� �
hdν = hg d(μ + ν) für jedes h ∈L 2 (Ω,A,μ+ ν), (7.7)
oder äquivalent dazu
�
f(1 − g) d(μ + ν) =
�
fdμ für jedes f ∈L 2 (Ω,A,μ+ ν). (7.8)
Wählen wir in (7.7) speziell h = {g1}, in (7.8) dass (μ + ν)-fast überall g ≤ 1 gilt,
also ist 0 ≤ g ≤ 1. Sei nun f ∈L 1 (Ω,A,μ+ ν), und seien (fn)n∈N nichtnegative
Funktionen in L 2 (Ω,A,μ + ν) mit fn ↑ f. Nach dem Satz von der monotonen
Konvergenz (angewandt auf das Maß (1 − g)(μ + ν), dem Maß mit Dichte (1 − g)
bezüglich μ + ν) erhalten wir, dass (7.8) für alle messbaren f ≥ 0 gilt. Analog folgt
die Gültigkeit von (7.7) für alle messbaren h ≥ 0.
Sei E := g −1 ({1}). Setzen wir f = E in (7.8) ein, so erhalten wir μ(E) =0.Wir
definieren jetzt zwei Maße νa und νs für A ∈Adurch
νa(A) :=ν(A \ E) und νs(A) :=ν(A ∩ E).
Offenbar gilt ν = νa + νs und νs(Ω \ E) =0, also νs ⊥ μ. Ist nun A ∩ E = ∅
und μ(A) =0,soist � A dμ =0, also nach (7.8) auch �
(1 − g) d(μ + ν) =0.
A
Andererseits ist 1−g >0 auf A, also μ(A)+ν(A) =0und damit νa(A) =ν(A) =
0. Ist allgemeiner B messbar mit μ(B) =0,soistμ(B \ E) =0, also nach dem
Gezeigten νa(B) =νa(B \ E) =0. Folglich ist νa ≪ μ und ν = νa + νs die
gewünschte Zerlegung.
Um die Dichte von νa bezüglich μ zu erhalten, setzen wir f := g
1 − g Ω\E. Für
jedes A ∈Aist nun nach (7.8) und (7.7) mit h = A\E
�
A
�
fdμ =
A∩E c
gd(μ + ν) =ν(A \ E) =νa(A).
Also ist f = dνa
dμ . ✷
Übung 7.4.1. Wir definieren eine Abbildung F : (0, 1] → (0, 1] an der Stelle
x ∈ (0, 1] mit nicht abbrechender Binärdarstellung x = (0,x1x2x3 �
...) :=
∞
n=1 xn2−n durch
∞�
F (x) =(0,x1x1x2x2x3x3 ...)= 3 xn 4 −n .
Man zeige, dass F die stetige Verteilungsfunktion eines W-Maßes μ auf B((0, 1])
ist, und dass μ singulär zum Lebesgue-Maß λ � � ist. ♣
(0,1]
n=1

154 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Übung 7.4.2. Sei n ∈ N und p, q ∈ [0, 1]. Unter welchen Bedingungen gilt für die
Binomialverteilungen bn,p ≪ bn,q? Man bestimme die Radon-Nikodym Ableitung
dbn,p
. ♣
dbn,q
7.5 Ergänzung: Signierte Maße
In diesem Abschnitt bringen wir die Zerlegungssätze für signierte Maße (Hahn, Jordan)
und liefern einen alternativen Beweis für den Lebesgue’schen Zerlegungssatz.
Definition 7.35. Seien μ und ν zwei Maße auf (Ω,A). ν heißt totalstetig bezüglich
μ, falls es für jedes ε>0 ein δ>0 gibt, sodass für jedes A ∈Agilt
μ(A) 0.
k=n
∞�
2 −k = 0.
Also ist ν �≪ μ. ✷

7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
Beispiel 7.38. Die Endlichkeitsannahme ist für die Umkehrung im vorigen Satz essenziell.
Sei beispielsweise μ = N0,1 die Standardnormalverteilung auf R und ν
das Lebesgue-Maß auf R. Dann hat ν bezüglich μ die Dichte f(x) = √ 2πex2 /2 .
Speziell gilt ν ≪ μ. Andererseits gilt μ([n, ∞)) n→∞
−→ 0 und ν([n, ∞)) = ∞ für
jedes n ∈ N. Mithin ist ν nicht totalstetig bezüglich μ. ✸
Beispiel 7.39. Sei (Ω,A) ein Messraum, und seien μ und ν endliche Maße auf
(Ω,A). MitZbezeichnen wir die Menge der endlichen Zerlegungen von Ω in disjunkte,
messbare Mengen. Das heißt, Z ∈Zist eine endliche Teilmenge von A so,
dass die Mengen C ∈ Z paarweise disjunkt sind und �
C∈Z C = Ω für jedes Z.
Für Z ∈Zdefinieren wir eine Funktion fZ : Ω → R durch
fZ(ω) =
�
C∈Z: μ(C)>0
ν(C)
μ(C) C(ω).
Wir zeigen, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:
(i) Die Familie (fZ : Z ∈ Z) ist gleichgradig integrierbar in L 1 (μ) und
� fZ dμ = ν(Ω) für jedes Z ∈Z.
(ii) Es gilt ν ≪ μ.
(iii) ν ist totalstetig bezüglich μ.
Die Äquivalenz von (ii) und (iii) wurde im vorigen Satz bewiesen. Gilt (ii), so ist
für jedes Z ∈Z �
fZ dμ =
�
ν(C) =ν(Ω),
C∈Z: μ(C)>0
weil ν(C) =0ist für diejenigen C, die in der Summe nicht auftauchen. Sei nun
ε>0 gegeben. Da aus (iii) aus (ii) folgt, gibt es ein δ ′ > 0, sodass ν(A)

156 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Es folgt schließlich für A ∈Amit μ(A) 0
�
0ν(C)
μ(A ∩ C) ν(C)
μ(C) +
�
Kμ(C)>ν(C)
Kμ(A ∩ C) ≤ ε
+ Kμ(A) < ε.
2
Also ist (fZ, Z∈Z) gleichgradig integrierbar nach Satz 6.24(iii).
μ(A ∩ C) ν(C)
μ(C)
Gelte nun (i). Ist μ =0,soist � fdμ=0für jedes f, also ν(Ω) =0und damit
ν ≪ μ. Sei also μ �= 0.SeiA ∈Amit μ(A) =0.DannistZ = {A, A c }∈Zund
fZ = A cν(Ac )/μ(A c ). Nach Voraussetzung ist ν(Ω) = � fdμ = ν(A c ), also
ν(A) =0und damit ν ≪ μ. ✸
Definition 7.40 (Ladungsverteilung, signiertes Maß). Eine Mengenfunktion ϕ :
A → R heißt signiertes Maß oder Ladungsverteilung auf (Ω,A), falls sie σ–
additiv ist, falls also für jede Folge paarweise disjunkter Mengen A1,A2,... ∈A
gilt, dass
�
∞�
�
∞�
ϕ = ϕ(An). (7.10)
n=1
An
Die Menge aller Ladungsverteilungen bezeichnen wir mit LV = LV(Ω,A).
Bemerkung 7.41. (i) Ist ϕ ein signiertes Maß, so liegt in (7.10) automatisch schon
absolute Konvergenz vor. Tatsächlich ändert sich ja der Wert der linken Seite nicht,
wenn wir die Mengen A1,A2,... umnummerieren. Damit dies für die rechte Seite
auch gilt, muss nach dem Weierstraß’schen Umordnungssatz die Reihe absolut
konvergieren. Speziell gilt für jede Folge (An)n∈N �
paarweise disjunkter Mengen
∞
lim
n→∞
k=n |ϕ(Ak)| =0.
(ii) Ist ϕ ∈LV,soistϕ(∅) =0,daR ∋ ν(∅) = �
n∈N ν(∅).
(iii) ϕ ∈LVist im Allgemeinen nicht σ-subadditiv. ✸
Beispiel 7.42. Sind μ + ,μ − endliche Maße, so ist ϕ := μ + −μ − ∈LV. Wir werden
sehen, dass jedes signierte Maß eine solche Darstellung besitzt. ✸
Satz 7.43 (Zerlegungssatz von Hahn). Sei ϕ ein signiertes Maß. Dann gibt es
eine Menge Ω + ∈Amit ϕ(A) ≥ 0 für jedes A ∈A, A ⊂ Ω + und ϕ(A) ≤ 0 für
jedes A ∈A, A ⊂ Ω − := Ω \ Ω + . Eine solche Darstellung Ω = Ω − ⊎ Ω + wird
auch Hahn-Zerlegung von Ω (bezüglich ϕ) genannt.
n=1

7.5 Ergänzung: Signierte Maße 157
Beweis. Sei α := sup � ϕ(A) : A ∈A � .Wirmüssen zeigen, dass ϕ das Maximum
α tatsächlich annimmt, dass es also ein Ω + ∈Agibt mit ϕ(Ω + )=α. Dannist
nämlich α ∈ R, und für A ⊂ Ω + , A ∈Agilt
α ≥ ϕ(Ω + \ A) =ϕ(Ω + ) − ϕ(A) =α − ϕ(A),
also ϕ(A) ≥ 0. Für A ⊂ Ω − , A ∈Aist ϕ(A) ≤ 0,denn
α ≥ ϕ(Ω + ∪ A) =ϕ(Ω + )+ϕ(A) =α + ϕ(A).
Wir konstruieren nun Ω + mit ϕ(Ω + ) = α. Sei(An)n∈Neine Folge in A mit
α = lim
n→∞ ϕ(An). Setze A := �∞ n=1 An. Da jedes An noch Anteile mit negati-
”
ver Masse“ enthalten kann, können wir nicht einfach Ω + = A wählen. Vielmehr
müssen wir Schicht für Schicht die negativen Anteile abfischen.
Setze A 0 n := An und A 1 n := A \ An sowie
�
n�
Pn :=
i=1
A s(i)
i
: s ∈{0, 1} n
�
die Partition von A,dievonA1,...,An erzeugt wird. Offensichtlich gilt für B,C ∈
Pn entweder B = C oder B ∩ C = ∅. Außerdem gilt An = �
B. Setze
und
B∈Pn
B⊂An
P − n := {B ∈Pn : ϕ(B) < 0}, P + n := Pn \P − n ,
B∈Pn
B⊂An
Cn := �
B∈P +
n
B⊂An
B∈P + n
Wegen der endlichen Additivität von ϕ ist
ϕ(An) = �
ϕ(B) ≤ �
ϕ(B) ≤ �
ϕ(B) =ϕ(Cn).
B.
B∈P + n
Für m ≤ n setze En m = Cm ∪ ...∪ Cn.Für m

158 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Wir setzen jetzt Ω + = �∞ m=1 Em, also Em ↓ Ω + .Dannist
⎛
ϕ(Em) =ϕ ⎝Ω + ⊎ �
⎞
(En \ En+1) ⎠
= ϕ(Ω + )+
n≥m
∞�
n=m
ϕ(En \ En+1) m→∞
−→ ϕ(Ω + ),
wobei wir im letzten Schritt Bemerkung 7.41(i) ausgenutzt haben. Insgesamt ist
α = lim
m→∞ ϕ(Am) ≤ lim
m→∞ ϕ(Em) =ϕ(Ω + ).
Per Definition ist aber α ≥ ϕ(Ω + ), also α = ϕ(Ω + ), was zu zeigen war. ✷
Korollar 7.44 (Zerlegungssatz von Jordan). Sei ϕ ∈LV(Ω,A) ein signiertes
Maß. Dann gibt es eindeutig bestimmte endliche Maße ϕ + ,ϕ − mit ϕ = ϕ + − ϕ −
und ϕ + ⊥ ϕ − .
Beweis. Sei Ω = Ω + ⊎ Ω − die Hahn-Zerlegung. Setze ϕ + (A) :=ϕ(A ∩ Ω + ) und
ϕ − (A) :=−ϕ(A ∩ Ω − ).
Die Eindeutigkeit der Zerlegung ist trivial. ✷
Korollar 7.45. Sei ϕ ∈LV(Ω,A) und ϕ = ϕ + − ϕ− die Jordan-Zerlegung von ϕ,
sowie Ω = Ω + ⊎ Ω− die Hahn-Zerlegung von Ω. Dann definiert
�ϕ�TV := sup � ϕ(A) − ϕ(Ω \ A) : A ∈A �
= ϕ(Ω + ) − ϕ(Ω − )
= ϕ + (Ω)+ϕ − (Ω)
eine Norm auf LV(Ω,A), die so genannte Totalvariationsnorm.
Beweis. Zu zeigen ist nur die Dreiecksungleichung. Seien ϕ1,ϕ2 ∈LV.SeiΩ =
Ω + ⊎ Ω − die Hahn-Zerlegung bezüglich ϕ := ϕ1 + ϕ2 und Ω = Ω +
i
bezüglich ϕi, i =1, 2. Dann gilt
�ϕ1 + ϕ2�TV = ϕ1(Ω + ) − ϕ1(Ω − )+ϕ2(Ω + ) − ϕ2(Ω − )
≤ ϕ1(Ω + 1 ) − ϕ1(Ω − 1 )+ϕ2(Ω + 2 ) − ϕ2(Ω − 2 )
⊎ Ω−
i die
= �ϕ1�TV + �ϕ2�TV. ✷
Wir wollen jetzt einen alternativen Beweis des Zerlegungssatzes von Lebesgue
(Satz 7.33) angeben und bereiten dies mit einem Lemma vor.

7.5 Ergänzung: Signierte Maße 159
Lemma 7.46. Seien μ, ν endliche Maße auf (Ω,A), die nicht singulär zueinander
sind, kurz: μ �⊥ ν. Dann gibt es ein A ∈Amit μ(A) > 0 und ein ε>0 mit
εμ(E) ≤ ν(E) für jedes E ∈A mit E ⊂ A.
Beweis. Für n ∈ N sei Ω = Ω + n ⊎Ω− n eine Hahn-Zerlegung zu (ν− 1
nμ) ∈LV. Setze
M := �
n∈N Ω− n .Offenbarist(ν−1 1
nμ)(M) ≤ 0, also ν(M) ≤ nμ(M) für jedes
n ∈ N und deshalb ν(M) =0.Wegenμ�⊥ ν folgt μ � Ω \M) =μ( �
n∈N Ω+ �
n > 0,
also μ(Ω + n0 ) > 0 für ein n0 ∈ N. Setze A := Ω + 1
n0 und ε := . Damit ist dann
n0
μ(A) > 0 und (ν − εμ)(E) ≥ 0 für jedes E ⊂ A, E ∈A. ✷
Alternativer Beweis von Satz 7.33 Wir zeigen hier nur die Existenz der Zerlegung.
Indem wir eine geeignete Folge Ωn ↑ Ω betrachten, können wir annehmen, dass ν
schon endlich ist. Betrachte die Menge der Funktionen
�
�
�
G := g : Ω → [0, ∞] : g ist messbar und gdμ≤ ν(A) für alle A ∈A
A
und setze
�
γ := sup
�
�
gdμ: g ∈G .
Unser Ziel ist es, ein maximales Element f in G zu konstruieren (also eines mit
� fdμ= γ), das dann die gesuchte Dichte von νa ist.
Offenbar ist 0 ∈G, also G �= ∅. Weiter gilt
f,g ∈G impliziert f ∨ g ∈G. (7.11)
Mit E := {f ≥ g} ist nämlich für A ∈A
�
�
�
f ∨ gdμ = fdμ+ gdμ ≤ ν(A ∩ E)+ν(A \ E) = ν(A).
A
A∩E
A\E
Wähle eine Folge (gn)n∈N in G mit � gn dμ n→∞
−→ γ und setze fn = g1 ∨ ...∨ gn.
Wegen (7.11) ist fn ∈G. Der Satz von der monotonen Konvergenz liefert für f :=
sup{fn : n ∈ N}
�
�
fdμ = sup
A
n∈N
(das heißt f ∈G) und weiter
�
fdμ = sup
n∈N
fn dμ ≤ ν(A) für jedes A ∈A,
A
�
�
fn dμ ≥ sup
n∈N
gn dμ = γ,
also � fdμ= γ ≤ ν(Ω).Wirdefinieren nun für jedes A ∈A

160 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
�
νa(A) := fdμ, νs(A) :=ν(A) − νa(A).
A
Nach Konstruktion ist nun νa ≪ μ ein endliches Maß mit Dichte f bezüglich μ.
Wegen f ∈Gist νs(A) =ν(A) − �
fdμ≥ 0 für jedes A ∈A, also ist auch νs
A
ein endliches Maß. Es bleibt zu zeigen, dass νs ⊥ μ.
An dieser Stelle benutzen wir Lemma 7.46. Wir nehmen an, dass νs �⊥ μ gälte.
Dann gäbe es ein ε>0 und ein A ∈Amit μ(A) > 0 so, dass εμ(E) ≤ νs(E) für
jedes E ⊂ A, E ∈A.Für B ∈Awäre dann
�
�
(f + ε A) dμ = fdμ+ εμ(A ∩ B)
B
B
≤ νa(B)+νs(A ∩ B) ≤ νa(B)+νs(B) = ν(B).
Mit anderen Worten: (f + ε A) ∈Gund damit � (f + ε A) dμ = γ + εμ(A) >γ,
was im Widerspruch zur Definition von γ steht. Also ist tatsächlich νs ⊥ μ. ✷
Übung 7.5.1. Sei μ ein σ-endliches Maß auf (Ω,A) und ϕ ein signiertes Maß auf
(Ω,A). Man zeige, dass, analog zum Satz von Radon-Nikodym, die beiden folgenden
Aussagen äquivalent sind:
(i) Für jedes A ∈Amit μ(A) =0ist ϕ(A) =0.
(ii) Es gibt ein f ∈L1 (μ) mit ϕ = fμ, also �
fdμ= ϕ(A) für jedes A ∈A. ♣
Übung 7.5.2. Seien μ, ν, α endliche Maße auf (Ω,A) mit ν ≪ μ ≪ α.
(i) Zeige, dass die Kettenregel für die Radon-Nikodym-Ableitung gilt:
dν
dα
= dν
dμ
dμ
dα
A
α-f.ü.
(ii) Zeige, dass f := dν
dν f
d(μ+ν) existiert und dass μ-f.ü. dμ = 1−f gilt. ♣
7.6 Ergänzung: Dualräume
Nach dem Darstellungssatz von Riesz-Fréchet (Satz 7.26) hat jede stetige Linearform
F : L 2 (μ) → R eine Darstellung F (g) =〈f,g〉 für ein f ∈ L 2 (μ). Andererseits
ist für jedes f ∈ L 2 (μ) die Abbildung L 2 (μ) → R, g ↦→ 〈f,g〉 stetig und
linear. Daher ist L 2 (μ) in kanonischer Weise isomorph zu seinem topologischen
Dualraum (L 2 (μ)) ′ . Dieser ist allgemein wie folgt definiert.
Definition 7.47 (Dualraum). Sei (V,� · �) ein Banachraum. Der Dualraum V ′ von
V ist definiert durch

V ′ := {F : V → R ist stetig und linear}.
Für F ∈ V ′ setzen wir �F � ′ := sup{|F (f)| : �f� =1}.
7.6 Ergänzung: Dualräume 161
Bemerkung 7.48. Da F stetig ist, existiert für jedes δ > 0 ein ε > 0, sodass
|F (f)|

162 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Beweis. Für den Beweis greifen wir zurück auf den Satz von Radon-Nikodym (Korollar
7.34). Allerdings skizzieren wir den Beweis nur, weil wir die Theorie der
signierten Maße und Inhalte nicht vertiefen wollen. Ein signierter Inhalt ν ist eine
additive Mengenfunktion, die sich als Differenz ν = ν + − ν − zweier endlicher
Inhalte darstellen lässt, also auch negative Werte annehmen kann. (Diese Begriffsbildung
ist analog zu der des signierten Maßes, das sich ja als Differenz zweier
Maße darstellen lässt.)
Da κ eine Isometrie ist, ist κ insbesondere injektiv. Wir müssen also nur noch zeigen,
dass κ surjektiv ist. Sei F ∈ (L p (μ)) ′ .Dannistν(A) =F ( A) ein signierter Inhalt
auf A, und es gilt
|ν(A)| ≤�F � ′ p (μ(A)) 1/p .
Da μ ∅-stetig ist, ist also auch ν ∅-stetig und daher ein signiertes Maß auf A. Es gilt
sogar ν ≪ μ. Nach dem Satz von Radon-Nikodym (Korollar 7.34) (angewandt auf
die Maße ν − und ν + , vergleiche Übung 7.5.1) besitzt ν eine Dichte bezüglich μ,
also eine messbare Funktion f mit ν = fμ.
Sei Ee := {g : g ist Elementarfunktion mit μ(g �= 0)< ∞} und E + e := {g ∈
Ee : g ≥ 0}. Dannistfür g ∈ Ee
�
F (g) = gf dμ. (7.13)
Um zu zeigen, dass (7.13) für alle g ∈L p (μ) gilt, müssen wir zunächst zeigen, dass
f ∈L q (μ) liegt. Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall 1: p =1. Für jedes α>0 ist
μ({|f| >α}) ≤ 1
ν({|f| >α})
α
= 1
α F ( {|f|>α}) ≤ 1
α �F �′ 1 ·� {|f|>α}�1 = 1
α �F �′ 1 · μ({|f| >α}).
Es folgt μ({|f| >α}) =0, falls α>�F � ′ 1, also �f�∞ ≤�F � ′ 1 < ∞.
Fall 2: p ∈ (0, ∞). Nach Satz 1.96 existieren g1,g2,... ∈ E + e so, dass gn ↑|f|
μ–f.ü. Setzen wir hn =sign(f)(gn) q−1 ∈ Ee,sogilt
�gn� q �
q ≤ hnf dμ = F (hn)
≤ �F � ′ p ·�hn�p = �F � ′ p · (�gn�q) q−1 ,
also ist �gn�q ≤ �F � ′ p. Monotone Konvergenz (Satz 4.20) liefert nun �f�q ≤
�F � ′ p < ∞ also f ∈L q (μ).
Daher ist die Abbildung � F : g ↦→ � gf dμ in (L p (μ)) ′ und � F (g) =F (g) für jedes
g ∈ Ee.Da � F stetig ist und Ee ⊂ L p (μ) dicht liegt, gilt schon � F = F . ✷

7.6 Ergänzung: Dualräume 163
Bemerkung 7.51. Die Aussage von Satz 7.50 ist für p = ∞ im Allgemeinen falsch.
(Für endliches A ist die Aussage trivialerweise auch für p = ∞ richtig.) Sei beispielsweise
Ω = N, A =2Ω und μ das Zählmaß. Wir betrachten also Folgenräume
ℓp = Lp (N, 2N ,μ). Für den Unterraum ℓK ⊂ ℓ∞ der konvergenten Folgen ist
F : ℓK → R, (an)n∈N ↦→ lim
n→∞ an ein stetiges lineares Funktional. Nach den
Hahn-Banach Sätzen der Funktionalanalysis (siehe etwa [73] oder [156]) kann F
zu einem stetigen linearen Funktional auf ℓ∞ fortgesetzt werden. Offenbar gibt es
jedoch kein (bn)n∈N ∈ ℓ1 mit F ((an)n∈N) = ∞�
ambm. ✸
m=1
Übung 7.6.1. Man zeige, dass Ee ⊂ L p (μ) dicht liegt, falls p ∈ [1, ∞). ♣

8 Bedingte Erwartungen
Wenn über den Ausgang eines Zufallsexperimentes eine Teilinformation vorhanden
ist, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ereignisse. Das Konzept
der bedingten Wahrscheinlichkeiten und bedingten Erwartungen formalisiert den
zugehörigen Kalkül.
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beispiel 8.1. Wir werfen einen fairen sechsseitigen Würfel und betrachten die Ereignisse
A := {Augenzahl drei oder kleiner},
B := {Augenzahl ungerade}.
Offenbar ist P[A] = 1
1
2 und P[B] = 2 . Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit,
dass B eintritt, wenn wir schon wissen, dass A eintritt?
Wir modellieren das Experiment auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P),
wobei Ω = {1,...,6}, A =2Ω und P die Gleichverteilung auf Ω ist. Dann ist
A = {1, 2, 3} und B = {1, 3, 5}.
Wenn wir nur wissen, dass A eingetreten ist, liegt es nahe, auf {1, 2, 3} die Gleichverteilung
zu vermuten. Wir definieren also auf (A, 2 A ) ein neues W-Maß PA durch
PA[C] = #C
#A
für C ⊂ A.
Indem wir Punkten in Ω \ A die Wahrscheinlichkeit Null geben (die können ja nicht
eingetreten sein, wenn A eingetreten ist), können wir PA auf Ω fortsetzen durch
P[C |A] := PA[C ∩ A] =
So erhalten wir P[B |A] =
#{1, 3}
#{1, 2, 3}
#(C ∩ A)
#A
für C ⊂ Ω.
2
= . ✸
3

166 8 Bedingte Erwartungen
Durch das Beispiel motiviert treffen wir die folgende Definition.
Definition 8.2 (Bedingte Wahrscheinlichkeit). Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum
und A ∈A. Dann definieren wir die bedingte Wahrscheinlichkeit
gegeben A für jedes B ∈Adurch
⎧
⎨ P[A ∩ B]
, falls P[A] > 0,
P[B |A] = P[A]
(8.1)
⎩
0, sonst.
Bemerkung 8.3. Die genaue Festsetzung in (8.1) für den Fall P[A] =0ist willkürlich
und unerheblich. ✸
Satz 8.4. Ist P[A] > 0, soistP[ · |A] ein W-Maß auf (Ω,A).
Beweis. Trivial! ✷
Satz 8.5. Seien A, B ∈Amit P[A], P[B] > 0. Dann gilt
A, B sind unabhängig ⇐⇒ P[B |A] =P[B] ⇐⇒ P[A|B] =P[A].
Beweis. Trivial! ✷
Satz 8.6 (Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit).
Sei I eine höchstens abzählbare Menge und (Bi)i∈I paarweise disjunkte Mengen
mit P ��
i∈I Bi
�
=1. Dann gilt für jedes A ∈A
P[A] = �
P[A|Bi] P[Bi]. (8.2)
i∈I
Beweis. Wegen der σ-Additivität von P ist
� �
�
P[A] =P (A ∩ Bi) = �
P[A ∩ Bi] = �
P[A|Bi]P[Bi]. ✷
i∈I
i∈I
Satz 8.7 (Bayes’sche Formel). Sei I eine höchstens abzählbare Menge sowie
(Bi)i∈I paarweise disjunkte Mengen mit P ��
i∈I Bi
�
=1. Dann gilt für jedes
A ∈Amit P[A] > 0 und jedes k ∈ I
i∈I
P[Bk |A] = P[A|Bk] P[Bk]
�
i∈I P[A|Bi] P[Bi]
(8.3)

Beweis. Es gilt
P[Bk |A] = P[Bk ∩ A]
P[A]
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 167
= P[A|Bk] P[Bk]
.
P[A]
Setze jetzt (8.2) für P[A] ein. ✷
Beispiel 8.8. Bei der Produktion gewisser elektronischer Bauteile sind 2% der Ware
defekt. Ein schnelles Testverfahren erkennt ein defektes Bauteil mit Wahrscheinlichkeit
95%, meldet aber bei 10% der intakten Bauteile falschen Alarm.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein als defekt erkanntes Bauteil wirklich defekt?
Wir formalisieren die obige Beschreibung. Seien
A := {Bauteil wird als defekt deklariert},
B := {Bauteil ist defekt},
sowie
P[B] =0.02, P[Bc ]=0.98,
P[A|B] =0.95, P[A|B c ]=0.1.
Die Bayes’sche Formel liefert nun
P[B |A] =
P[A|B] P[B]
P[A|B] P[B]+P[A|B c ] P[B c ]
0.95 · 0.02 19
=
= ≈ 0.162.
0.95 · 0.02 + 0.1 · 0.98 117
Andererseits ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein nicht als defekt erkanntes Bauteil
dennoch defekt ist
P[B |A c ] =
0.05 · 0.02
0.05 · 0.02 + 0.9 · 0.98
= 1
883
≈ 0.00113. ✸
Sei nun X ∈L 1 (P).IstA ∈A, so ist offenbar auch AX ∈L 1 (P), und wir setzen
E[X; A] :=E[ A X]. (8.4)
Ist P[A] > 0, soistP[ · |A] ein W-Maß. Wegen AX ∈L 1 (P) ist auch X ∈
L 1 (P[ · |A]). Alsokönnen wir den Erwartungswert von X bezüglich P[ · |A] definieren.
Definition 8.9. Sei X ∈L1 (P) und A ∈A. Dann setzen wir
E[X |A] :=
�
X(ω) P[dω|A] =
⎧
⎨ E[ AX]
,
P[A]
⎩
0,
falls P[A] > 0,
sonst.
(8.5)

168 8 Bedingte Erwartungen
Offenbar ist P[B |A] =E[ B |A] für jedes B ∈A.
Wir betrachten nun die Situation, die wir bei der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
untersucht hatten. Sei also I eine höchstens abzählbare Menge, und
seien (Bi)i∈I paarweise disjunkte Ereignisse mit �
Bi = Ω. Wirdefinieren F :=
σ(Bi, i∈ I). Für X ∈L 1 (P) definieren wir eine Abbildung E[X |F]:Ω → R
durch
E[X |F](ω) =E[X |Bi] ⇐⇒ Bi ∋ ω. (8.6)
Lemma 8.10. Die Abbildung E[X |F] hat die folgenden Eigenschaften:
(i) E[X |F] ist F-messbar,
(ii) E[X |F] ∈L1 �
(P), und für jedes A ∈Fgilt
Beweis. (i) Sei f die Abbildung f : Ω → I, mit
i∈I
f(ω) =i ⇐⇒ Bi ∋ ω.
A
�
E[X |F] dP =
A
XdP.
Ferner sei g : I → R, i ↦→ E[X |Bi]. DaI diskret ist, ist g messbar. Da f messbar
ist bezüglich F, ist auch E[X |F]=g ◦ f messbar bezüglich F.
(ii) Sei A ∈Fund J ⊂ I mit A = �
j∈J Bj. SeiJ ′ := {i ∈ J : P[Bi] > 0}.
Dann ist
�
E[X |F] dP = �
P[Bi] E[X |Bi] = �
E[ BiX]= �
XdP. ✷
A
i∈J ′
Übung 8.1.1 (Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung). Sei X eine nichtnegative
Zufallsvariable und θ>0. Man zeige: Genau dann ist X exponentialverteilt,
wenn
i∈J ′
P[X >t+ s|X >s]=P[X >t] für alle s, t ≥ 0.
Insbesondere gilt für θ>0: Genau dann ist X ∼ exp θ,wennP[X >t+ s|X >
s] =e −θt für alle s, t ≥ 0 gilt. ♣
8.2 Bedingte Erwartungen
Wir nehmen an, dass X eine uniform auf [0, 1] verteilte Zufallsvariable ist, und dass
bei Kenntnis des Wertes X = x die Zufallsvariablen Y1,...,Yn unabhängig und
Berx-verteilt sind. Mit unserem Apparat können wir bisher bedingte Wahrscheinlichkeiten
vom Typ P[ · |X ∈ [a, b]], a < b, ausrechnen. Wie sieht es aber aus
A

8.2 Bedingte Erwartungen 169
mit P[Y1 = ... = Yn =1 � �X = x]? Intuitiv sollte dies xn sein. Wir brauchen
einen Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit, der auch für Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit
Null in konsistenter Weise unserer Intuition entspricht. Wir werden
(im nächsten Abschnitt) sehen, dass dies im vorliegenden Beispiel mit Hilfe von
Übergangskernen möglich ist. Zunächst aber betrachten wir die allgemeine Situation.
Sei im Folgenden stets F ⊂ A eine Unter-σ-Algebra und X ∈L1 (Ω,A, P). In
Anlehnung an Lemma 8.10 treffen wir die folgende Definition.
Definition 8.11 (Bedingte Erwartung). Eine Zufallsvariable Y heißt bedingte
Erwartung von X gegeben F, symbolisch E[X |F]:=Y , falls gilt:
(i) Y ist F-messbar.
(ii) Für jedes A ∈Fgilt E[X A] =E[Y A].
Für B ∈Aheißt P[B |F]:=E[ B |F] die bedingte Wahrscheinlichkeit von B
gegeben F.
Satz 8.12. E[X |F] existiert und ist eindeutig (bis auf Gleichheit fast sicher).
Da bedingte Erwartungen nur bis auf Gleichheit f.s. definiert sind, sind alle Gleichheiten
mit bedingten Erwartungen immer nur als Gleichheiten f.s. zu verstehen, auch
wenn nicht explizit darauf hingewiesen wird.
Beweis. Eindeutigkeit. Seien Y und Y ′ Zufallsvariablen, die (i) und (ii) erfüllen.
Setze A = {Y > Y ′ }∈F. Dann ist nach Bedingung (ii)
0 = E[Y A] − E[Y ′ A] = E[(Y − Y ′ ) A].
Wegen (Y − Y ′ ) A ≥ 0, ist dann P[A] =0, also Y ≤ Y ′ fast sicher. Analog folgt
Y ≥ Y ′ fast sicher.
Existenz. Seien X + = X ∨ 0 und X − = X + − X. Durch
Q ± (A) :=E[X ± A] für jedes A ∈F,
werden zwei endliche Maße auf (Ω,F) definiert. Offenbar ist Q ± ≪ P, also liefert
der Satz von Radon-Nikodym (Korollar 7.34) die Existenz von Dichten Y ± , sodass
Q ± �
(A) = Y ± dP = E[Y ± A].
A
Setze nun Y = Y + − Y − . ✷
Definition 8.13. Ist Y eine Zufallsvariable und X ∈ L 1 (P), sodefinieren wir
E[X |Y ]:=E[X |σ(Y )].

170 8 Bedingte Erwartungen
Satz 8.14 (Eigenschaften der bedingten Erwartung). Seien (Ω,A, P) und X
wie oben sowie G⊂F⊂Aσ-Algebren. Ferner sei Y ∈L 1 (Ω,A, P). Dann gilt:
(i) (Linearität) E[λX + Y |F]=λE[X |F]+E[ Y |F].
(ii) (Monotonie) Ist X ≥ Y f.s., so ist E[X |F] ≥ E[ Y |F].
(iii) Ist E[|XY |] < ∞ und Y messbar bezüglich F, dann ist
E[XY |F]=Y E[X |F] und E[ Y |F]=E[ Y |Y ]=Y.
(iv) (Turmeigenschaft) E[E[X |F]|G]=E[E[X |G]|F]=E[X |G].
(v) (Dreiecksungleichung) E[|X| � �F] ≥ � �E[X |F] � �.
(vi) (Unabhängigkeit) Sind σ(X) und F unabhängig, so ist E[X |F]=E[X].
(vii) Gilt P[A] ∈{0, 1} für jedes A ∈F,soistE[X |F]=E[X].
(viii) (Majorisierte Konvergenz) Ist Y ≥ 0 und ist (Xn)n∈N eine Folge von Zu-
n→∞
fallsvariablen mit |Xn| ≤Y für n ∈ N sowie Xn −→ X f.s., so gilt
lim
n→∞ E[Xn |F]=E[X |F] f.s. und in L 1 (P). (8.7)
Beweis. (i) Die rechte Seite ist F-messbar, und für A ∈Fist
E � � �� �
A λE[X |F]+E[Y |F] = λE A E[X |F] � + E � A E[Y |F] �
= λE[ A X]+E[ A Y ]
= E � A (λX + Y ) � .
(ii) Sei A = {E[X |F] < E[Y |F]} ∈F.WegenX ≥ Y ist E[ A (X − Y )] ≥ 0,
also P[A] =0.
(iii) Sei zunächst X ≥ 0 und Y ≥ 0. Für n ∈ N setze Yn =2 −n ⌊2 n Y ⌋. Dannist
Yn ↑ Y sowie Yn E[X |F] ↑ Y E[X |F] (da E[X |F] ≥ 0 nach (ii)). Es gilt nach
dem Satz von der monotonen Konvergenz (Lemma 4.6(ii))
Andererseits ist
E � A Yn E[X |F] � n→∞
−→ E � A Y E[X |F] � .
E � A Yn E[X |F] � =
=
∞�
E � A {Yn=k 2−n } k 2 −n E[X |F] �
k=1
∞�
E � A {Yn=k 2−n } k 2 −n X �
k=1
= E � A YnX � n→∞
−→ E[ A YX].

8.2 Bedingte Erwartungen 171
Also gilt E[ A Y E[X |F]] = E[ A YX]. Im allgemeinen Fall schreiben wir X =
X + − X − und Y = Y + − Y − und nutzen die Linearität der bedingten Erwartung
aus.
(iv) Die zweite Gleichung folgt aus (iii) mit Y = E[X |G] und X =1. Sei nun
A ∈G. Dann ist insbesondere auch A ∈F, also
E � AE[E[X |F]|G] � = E � AE[X |F] � = E[ A X] = E � A E[X |G] � .
(v) Das folgt aus (i) und (ii) mit X = X + − X − .
(vi) Trivialerweise ist E[X] messbar bezüglich F. SeiA ∈F. Dann sind X und
A unabhängig, also ist E[E[X |F] A] =E[X A] =E[X] E[ A].
(vii) Für jedes A ∈Fund B ∈Agilt P[A ∩ B] =0, falls P[A] =0ist, und
P[A∩B] =P[B], falls P[A] =1ist. Also ist F von A unabhängig und damit auch
von jeder Teil-σ-Algebra von A. Speziell ist F von σ(X) unabhängig. Die Aussage
folgt also aus (vi).
n→∞
(viii) Sei |Xn| ≤Y für jedes n ∈ N und Xn −→ X fast sicher. Setze Zn :=
supk≥n |Xk − X|. Dannist0≤ Zn ≤ 2Y und Zn
f.s.
−→ 0. Nach Korollar 6.26
(majorisierte Konvergenz) gilt E[Zn] n→∞
−→ 0, also nach der Dreiecksungleichung
E �� �E[Xn |F]−E[X |F] � � � ≤ E[E[|Xn−X| � �F]] = E[|Xn−X|] ≤ E[Zn] n→∞
−→ 0.
Dies ist aber die L1 �
(P)-Konvergenz in (8.7). Sei Z := lim supn→∞ E[Zn
�F].
Nach dem Lemma von Fatou ist
E[Z] ≤ lim
n→∞ E[Zn] = 0,
�
also Z =0und damit E[Zn
�F] n→∞
−→ 0 fast sicher. Nach (v) ist aber
� � � �
�E[Xn
�F] − E[X �F] � ≤ E[Zn]. ✷
Bemerkung 8.15. Intuitiv ist E[X |F] die beste Vorhersage, die wir für den Wert
von X machen können, wenn uns die Information aus der σ-Algebra F zur Verfügung
steht. Ist beispielsweise σ(X) ⊂ F, kennen wir also X schon, dann ist
E[X |F] =X, wie in (iii) gezeigt. Am anderen Ende der Skala ist der Fall, wo
X und F unabhängig sind, wir also durch Kenntnis von F keine Information über
X gewinnen. Hier ist die beste Vorhersage für X der Erwartungswert selber, also
E[X] =E[X |F] wie in (vii) gezeigt.
Was heißt dabei aber eigentlich genau ” beste Vorhersage“? Wir wollen dies für quadratintegrierbare
Zufallsvariablen X als diejenige F-messbare Zufallsvariable verstehen,
die den L 2 –Abstand zu X minimiert. Dass dies die bedingte Erwartung
tatsächlich tut, ist der Inhalt des folgenden Korollars. ✸

172 8 Bedingte Erwartungen
Korollar 8.16 (Bedingte Erwartung als Projektion). Sei F⊂Aeine σ-Algebra
und X eine Zufallsvariable mit E[X2 ] < ∞. Dann ist E[X |F] die orthogonale
Projektion von X auf L2 (Ω,F, P). Es gilt also für jedes F-messbare Y mit
E[Y 2 ] < ∞
E � (X − Y ) 2� ≥ E � (X − E[X |F]) 2�
mit Gleichheit genau dann, wenn Y = E[X |F].
Beweis. Sei Y messbar bezüglich F. Dann ist (mit der Turmeigenschaft) E[XY ]=
E[E[X |F]Y ] und E � XE[X |F] � = E � E[XE[X |F] � �F] � = E � E[X |F] 2� , also
E � (X − Y ) 2� ��X �� �
2
− E − E[X |F
�
= E X 2 − 2XY + Y 2 − X 2 +2XE[X |F] − E[X |F] 2�
�
= E Y 2 − 2Y E[X |F]+E[X |F] 2�
��Y � �
2
= E − E[X |F] ≥ 0. ✷
Beispiel 8.17. Seien X, Y ∈L 1 (P) unabhängig. Dann ist
E[X + Y |Y ]=E[X |Y ]+E[Y |Y ]=E[X]+Y. ✸
Beispiel 8.18. Seien X1,...,XN unabhängig mit E[Xi] =0, i =1,...,N. Setze
Fn := σ(X1,...,Xn) und Sn := X1 + ...+ Xn für n =1,...,N.Dannistfür
n ≥ m
�
�
�
E[Sn
�Fm] =E[X1
�Fm]+...+ E[Xn
�Fm] = X1 + ...+ Xm + E[Xm+1]+...+ E[Xn]
= Sm
Nach Satz 8.14(iv) ist wegen σ(Sm) ⊂Fm auch
E[Sn |Sm] = E � E[Sn |Fm] � �
�Sm = E[Sm |Sm] = Sm. ✸
Wir kommen nun zur Jensen’schen Ungleichung für bedingte Erwartungen.
Satz 8.19 (Jensen’sche Ungleichung). Sei I ⊂ R ein Intervall, und sei ϕ : I →
R konvex und X eine Zufallsvariable auf (Ω,A, P) mit Werten in I. Ferner sei
E[|X|] < ∞ und F⊂Aeine σ-Algebra. Dann gilt
∞ ≥ E[ϕ(X)|F] ≥ ϕ(E[X |F]).
Beweis. (Man erinnere sich der Definition 1.68 zur Sprechweise ” fast sicher auf
A“.) Auf dem Ereignis {E[X |F] ist ein Randpunkt von I} ist X = E[X |F] fast

8.2 Bedingte Erwartungen 173
sicher, und die Aussage ist trivial. In der Tat: Ohne Einschränkung sei 0 der linke
Randpunkt von I und A := {E[X |F]=0}. DaX Werte in I ⊂ [0, ∞) annimmt,
ist 0 ≤ E[X A] =E[E[X |F] A] =0, also ist X A =0. Der Fall eines rechten
Randpunktes geht analog.
Sei also nun das Ereignis B := {E[X |F] ist innerer Punkt von I} betrachtet.
Für jeden inneren Punkt x ∈ I sei D + ϕ(x) die maximale Tangentensteigung von ϕ
in x, also der maximale Wert t mit ϕ(y) ≥ (y − x)t + ϕ(x) für alle y ∈ I (siehe
Satz 7.7). Die Abbildung x ↦→ D + ϕ(x) ist monoton wachsend, also messbar, und
daher ist D + ϕ(E[X |F]) eine F-messbare Zufallsvariable. Es folgt
E � ϕ(X)|F � ��X � � � +
≥ E − E[X |F] D ϕ(E[X |F]) + ϕ E[X |F] � �
�
�F
= ϕ � E[X |F] �
f.s auf B. ✷
Korollar 8.20. Sei p ∈ [1, ∞] und F ⊂ A eine Teil-σ-Algebra. Dann ist die
Abbildung Lp (Ω,A, P) → Lp (Ω,F, P), X ↦→ E[X |F] eine Kontraktion (das
heißt: �E[X |F]�p ≤ �X�p) und damit insbesondere stetig. Es gilt also für
X, X1,X2,...∈Lp n→∞
(Ω,A, P) mit �Xn − X�p −→ 0 auch
�
�E[Xn |F] − E[X |F] � � p
n→∞
−→ 0.
Beweis. Für p ∈ [1, ∞) benutze die Jensen’sche Ungleichung mit ϕ(x) =|x| p �
.Für
p = ∞ beachte, dass |E[X |F]| ≤E[|X||F] ≤ E[�X�∞ �F] =�X�∞. ✷
Korollar 8.21. Ist (Xi, i∈ I) gleichgradig integrierbar � und (Fj, j∈ J) eine Familie
von Teil-σ-Algebren von A, sowie Xi,j := E[Xi
�Fj], dann ist (Xi,j, (i, j) ∈
I × J) gleichgradig integrierbar. Insbesondere ist für X ∈ L1 (P) die Familie
(E[X |Fj], j∈ J) gleichgradig integrierbar.
Beweis. Nach Satz 6.19 existiert eine wachsende, konvexe Funktion f mit der Eigenschaft
f(x)/x →∞, x →∞und L := sup i∈I E[f(|Xi|)] < ∞. Dannist
x ↦→ f(|x|) konvex, also nach der Jensen’schen Ungleichung
E � f(|Xi,j|) � = E � f �� �E[Xi |Fj] � � �� ≤ L < ∞.
Nach Satz 6.19 ist daher (Xi,j, (i, j) ∈ I × J) gleichgradig integrierbar. ✷
Beispiel 8.22. Seien μ und ν endliche Maße mit ν ≪ μ.Seif = dν/dμ die Radon-
Nikodym-Ableitung, und sei I = {F ⊂ A : F ist eine σ-Algebra}. Betrachte die
auf F eingeschränkten Maße μ � � und ν
F
� � .Dannistν
F
� � ≪ μ
F
� � (klar, denn in
F
F gibt es ja weniger μ–Nullmengen), also existiert die Radon-Nikodym-Ableitung
fF := dν � � /dμ
F
� � .Dannist(fF : F ∈ I) gleichgradig integrierbar (bezüglich
F
μ). (Für endliche σ-Algebren F wurde dies schon in Beispiel 7.39 gezeigt.) In der

174 8 Bedingte Erwartungen
Tat: Sei P = μ/μ(Ω) und Q = ν/μ(Ω). DannistfF = dQ � � /dP
F
� � .Für jedes
F
F ∈ F ist also E[fF F ] = �
F fF dP = Q(F ) = �
F fdP = E[f F ], also
fF = E[f |F]. Nach dem vorangehenden Korollar ist (fF : F∈I) gleichgradig
integrierbar bezüglich P und damit auch bezüglich μ. ✸
Übung 8.2.1. (Bayes’sche Formel) Seien A ∈Aund B ∈F. Man zeige
�
P[A|F] dP
B P[B |A] = � .
P[A|F] dP
Wird F von paarweise disjunkten Mengen B1,B2,... erzeugt, so ist dies gerade
die Bayes’sche Formel aus Satz 8.7. ♣
Übung 8.2.2. Man zeige durch ein Beispiel, dass E[E[X |F]|G] �= E[E[X |G]|F]
gelten kann. ♣
Übung 8.2.3. Man zeige die bedingte Markov’sche Ungleichung: Für monoton
wachsendes f :[0, ∞) → [0, ∞) und ε>0 mit f(ε) > 0 ist
P � |X| ≥ε|F � ≤ E�f(|X|) � �
�F . ♣
f(ε)
Übung 8.2.4. Man zeige die bedingte Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung: Für quadratintegrierbare
Zufallsvariablen X, Y gilt
E[XY |F] 2 ≤ E[X 2 |F] E[Y 2 |F]. ♣
Übung 8.2.5. Seien X1,...,Xn integrierbar, unabhängig und identisch verteilt. Sei
Sn = X1 + ...+ Xn. Zeige:
E[Xi |Sn] = 1
n Sn für jedes i =1,...,n. ♣
Übung 8.2.6. Seien X1 und X2 unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter
θ>0. Man bestimme E[X1 ∧ X2 |X1]. ♣
Übung 8.2.7. Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f,
und sei h : R → R messbar mit E[|h(X)|] < ∞. Es bezeiche λ das Lebesgue-Maß
auf R.
(i) Zeige, dass fast sicher gilt:
E[h(X)|Y ]=
� h(x)f(x, Y ) λ(dx)
� f(x, Y ) λ(dx)
(ii) Seien speziell X und Y unabhängig und exp θ-verteilt für ein θ>0. Bestimme
E[X |X + Y ] und P[X ≤ x|X + Y ] für x ≥ 0. ♣
.

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 175
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung
Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in einem Messraum (E,E),sokönnen wir mit
unserem Apparat bisher für festes A ∈Adie bedingte Wahrscheinlichkeit P[A|X]
angeben. Können wir die Situation aber auch so einrichten, dass wir für jedes x ∈ E
ein W-Maß P[ · |X = x] angeben können, sodass für jedes A ∈Agilt P[A|X] =
P[A|X = x] auf {X = x}?
Wir sind beispielsweise an einem zweistufigen Zufallsexperiment interessiert: Im
ersten Schritt wird eine Münze in zufälliger Weise so gefälscht, dass sie die Erfolgswahrscheinlichkeit
X hat. Danach werden unabhängige Würfe Y1,...,Yn mit
dieser Münze durchgeführt. Die ” bedingte Verteilung von (Y1,...,Yn) gegeben
{X = x}“ sollte also (Berx) ⊗n sein.
Sei X wie oben und Z eine σ(X)-messbare, reelle Zufallsvariable. Nach dem Faktorisierungslemma
(Korollar 1.97) existiert eine E – B(R)-messbare Abbildung
ϕ : E → R mit ϕ(X) =Z. IstX surjektiv, so ist ϕ eindeutig festgelegt. Wir
schreiben dann Z ◦ X −1 := ϕ (auch wenn die Umkehrabbildung X −1 selber nicht
existiert).
Definition 8.23. Sei Y ∈L1 (P) und X :(Ω,A) → (E,E). Dann definieren wir
die bedingte Erwartung von Y gegeben X = x, kurz E[Y |X = x], als die Funktion
ϕ aus dem Faktorisierungslemma mit Z = E[Y |X].
�
Wir setzen analog P[A|X = x] =E[ �X A = x] für A ∈A.
Für eine Menge B ∈Amit P[B] > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P[ · |B]
ein W-Maß. Gilt das Gleiche für P[ · |X = x]? Der Fall liegt hier komplizierter, da
wir für jedes A ∈Aden Ausdruck P[A|X = x] für x nur bis auf eine Ausnahmemenge,
die allerdings von A abhängt, definiert haben. Wenn wir die σ-Algebra
A nun durch abzählbar viele A genügend gut approximieren können, besteht Hoffnung,
dass die Ausnahmemengen sich zu einer Nullmenge vereinigen. Wir fassen
zunächst die Begriffe genauer und zeigen dann das angedeutete Ergebnis.
Definition 8.24 (Übergangskern, Markovkern). Sind (Ω1, A1), (Ω2, A2) Messräume,
so heißt κ : Ω1 ×A2 → [0, ∞] ein (σ–)endlicher Übergangskern (von Ω1
nach Ω2), falls
(i) ω1 ↦→ κ(ω1,A2) ist A1-messbar für jedes A2 ∈A2.
(ii) A2 ↦→ κ(ω1,A2) ist ein (σ–)endliches Maß auf (Ω2, A2) für jedes ω1 ∈ Ω1.
Ist das Maß in (ii) ein W-Maß für jedes ω1 ∈ Ω1, soheißtκ stochastischer Kern
oder Markovkern. Wird in (ii) zusätzlich κ(ω1,Ω2) ≤ 1 für jedes ω1 ∈ Ω1 gefordert,soheißtκ
sub-Markov’sch oder substochastisch.

176 8 Bedingte Erwartungen
Bemerkung 8.25. Es reicht, in Definition 8.24 die Eigenschaft (i) nur für Mengen
A2 aus einem schnittstabilen Erzeuger E von A2, derΩ2oder eine Folge En ↑ Ω2
enthält, zu fordern. Es ist nämlich stets
D := � A2 ∈A2 : ω1 ↦→ κ(ω1,A2) ist A1-messbar �
ein Dynkin-System (Übung!). Wegen E⊂Dist (Satz 1.19) D = σ(E) =A2. ✸
Beispiel 8.26. (i) Sind (Ω1, A1) und (Ω2, A2) diskrete Messräume, so liefert jede
Matrix (Kij) i∈Ω1 j∈Ω2 mit nichtnegativen Einträgen und endlichen Zeilensummen
Ki := �
Kij < ∞ für i ∈ Ω1,
j∈Ω2
einen endlichen Übergangskern von Ω1 nach Ω2 vermöge κ(i, A) = �
Kij. Der
Kern ist stochastisch, falls Ki =1für jedes i ∈ N und substochastisch, falls Ki ≤ 1
für jedes i ∈ Ω1.
(ii) Ist μ2 ein endliches Maß auf Ω2, dannistκ(ω1, · ) ≡ μ2 ein endlicher Übergangskern.
(iii) κ(x, · )=Poix ist ein stochastischer Kern von [0, ∞) nach N0 (beachte: für
jedes A ⊂ N0 ist x ↦→ Poix(A) stetig, also insbesondere messbar).
(iv) Sei μ eine Verteilung auf R n und X eine Zufallsvariable mit PX = μ. Dann
definiert κ(x, · )=P[X + x ∈ · ]=δx ∗ μ einen stochastischen Kern von R n nach
R n . In der Tat: Die Mengen (−∞,y], y ∈ R n , bilden einen schnittstabilen Erzeuger
von B(R n ) und x ↦→ κ(x, (−∞,y]) = μ((−∞,y−x]) ist linksstetig, also messbar.
Nach Bemerkung 8.25 ist daher x ↦→ κ(x, A) messbar für jedes A ∈B(R n ). ✸
Definition 8.27. Sei Y eine Zufallsvariable mit Werten in einem Messraum (E,E)
und F⊂Aeine Unter-σ-Algebra. Ein stochastischer Kern κY,F von (Ω,F) nach
(E,E) heißt reguläre Version der bedingten Verteilung von Y gegeben F, falls
κY,F(ω, B) =P[{Y ∈ B}|F](ω) für P-fast alle ω ∈ Ω und für jedes B ∈E.
Sei speziell F = σ(X) für eine Zufallsvariable X (in einem beliebigen Messraum
(E ′ , E ′ )). Dann heißt der stochastische Kern (x, A) ↦→ κY,X(x, A) =P[{Y ∈
A}|X = x] =κ Y,σ(X)(X −1 (x),A) (die Funktion aus dem Faktorisierungslemma
mit beliebiger Festsetzung für x �∈ X(Ω)) eine reguläre Version der bedingten
Verteilung von Y gegeben X.
Satz 8.28 (Reguläre bedingte Verteilungen in R). Ist Y :(Ω,A) → (R, B(R))
reellwertig, dann existiert eine reguläre Version κY,F der bedingten Verteilungen
P[{Y ∈ · }|F].
j∈A

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 177
Beweis. Die Strategie besteht darin, eine messbare Version der Verteilungsfunktion
der bedingten Verteilung von Y zu konstruieren, indem diese zunächst für rationale
Werte festgelegt wird (bis auf eine Nullmenge) und dann auf die reellen Zahlen
fortgesetzt wird.
Für r ∈ Q sei F (r, · ) eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit P[Y ∈
(−∞,r]|F]. Für r ≤ s ist offenbar {Y ∈(−∞,r]} ≤ {Y ∈(−∞,s]}, also gibt es
nach Satz 8.14(ii) (Monotonie der bedingten Erwartung) eine Nullmenge Ar,s ∈F
mit
F (r, ω) ≤ F (s, ω) für jedes ω ∈ Ω \ Ar,s.
Nach Satz 8.14(viii) (majorisierte Konvergenz) gibt es Nullmengen (Br)r∈Q ∈F
und C ∈F, sodass
lim
n→∞ F
�
r + 1
n ,ω
�
= F (r, ω) für jedes ω ∈ Ω \ Br und
lim F (−n, ω) =0, lim F (n, ω) =1 für jedes ω ∈ Ω \ C.
n→∞ n→∞
Setze N := �
r,s∈Q Ar,s ∪ �
r∈Q Br ∪ C.Für ω ∈ Ω \ N definieren wir
˜F (z,ω) :=inf � F (r, ω) : r ∈ Q, r≥ z �
für alle z ∈ R.
Da F ( · ,ω) monoton wachsend ist, ist ˜ F ( · ,ω) monoton wachsend und rechtsstetig
in jedem z ∈ R \ Q. DaF ( · ,ω) zudem rechtsstetig ist, ist ˜ F ( · ,ω) rechtsstetig in
jedem z ∈ Q. Alsoist˜ F ( · ,ω) eine Verteilungsfunktion für jedes ω ∈ Ω \ N. Für
ω ∈ N setze ˜ F ( · ,ω)=F0, wobei F0 eine beliebige fest gewählte Verteilungsfunktion
ist.
Für jedes ω ∈ Ω definieren wir κ(ω, · ) als das durch die Verteilungsfunktion
˜F ( · ,ω) definierte W-Maß auf (Ω,A). Für r ∈ Q und B =(−∞,r] ist dann
ω ↦→ κ(ω, B) =P[Y ∈ B |F](ω) N c(ω)+F0(r) N (ω) (8.8)
F-messbar. Nun ist {(−∞,r], r∈ Q} ein schnittstabiler Erzeuger von B(R). Nach
Bemerkung 8.25 gilt die Messbarkeit also für jedes B ∈B(R), und damit ist κ als
stochastischer Kern erkannt.
Wir müssen noch zeigen, dass κ eine Version der bedingten Verteilungen ist. Für
A ∈F, r ∈ Q und B =(−∞,r] ist nach (8.8)
�
�
κ(ω, B) P[dω] = P � Y ∈ B |F � dP = P � A ∩{Y ∈ B} � .
A
A
Als Funktion von B sind beide Seiten endliche Maße auf B(R), die auf dem schnittstabilen
Erzeuger � (−∞,r],r∈ Q � übereinstimmen. Nach dem Eindeutigkeitssatz
(Lemma 1.42) gilt daher für jedes B ∈B(R) Gleichheit und damit P-fast sicher
κ( · ,B)=P[Y ∈ B |F], also κ = κY,F. ✷

178 8 Bedingte Erwartungen
Beispiel 8.29. Seien Z1,Z2 unabhängig und Poisson-verteilt mit den Parametern
λ1,λ2 ≥ 0. Dann kann man zeigen (Übung!), dass (mit Y = Z1 und X = Z1 + Z2)
P[Z1 = k � � Z1 + Z2 = n] =bn,p(k) für k =0,...,n,
wobei p = λ1
ist. ✸
λ1+λ2
Dieses Beispiel ließ sich aber im Grunde genommen auch noch mit elementaren
Mitteln bearbeiten. Die volle Stärke des Ergebnisses nutzen wir in den folgenden
Beispielen aus.
Beispiel 8.30. Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion
f (bezüglich des Lebesgue-Maßes λ2 auf R2 ). Für x ∈ R setzen wir
�
fX(x) = f(x, y) λ(dy).
R
Offenbar ist fX(x) > 0 für PX-f.a. x ∈ R und f −1
X ist die Dichte des absolutstetigen
Anteils des Lebesgue-Maßes λ bezüglich PX. Die reguläre Version der bedingten
Verteilung von Y gegeben X hat die Dichte
P[Y ∈ dy|X = x]
dy
= f Y |X(x, y) :=
f(x, y)
fX(x)
für PX[dx]-f.a. x ∈ R. (8.9)
In � der Tat ist nach dem Satz von Fubini (siehe Satz 14.16) die Abbildung x ↦→
B fY |X(x, y) λ(dy) messbar für jedes B ∈B(R), und für A, B ∈B(R) gilt
�
�
P[X ∈ dx] fY |X(x, y) λ(dy)
A
B�
= P[X ∈ dx] fX(x)
A
−1
�
f(x, y) λ(dy)
� �
B
= λ(dx) f(x, y) λ(dy)
A
�
B
= fdλ 2 = P[X ∈ A, Y ∈ B]. ✸
.
A×B
Beispiel 8.31. Seien μ1,μ2 ∈ R, σ1,σ2 > 0 und Z1,Z2 unabhängig und N μi,σ 2 i
verteilt (i =1, 2). Dann existiert eine reguläre Version der bedingten Verteilung
P[Z1 ∈ · |Z1 + Z2 = x] für x ∈ R.
Setzen wir X = Z1+Z2 und Y = Z1,soist(X, Y ) ∼Nμ,Σ �
bivariat normalverteilt
2 σ1 + σ
mit Kovarianzmatrix Σ :=
2 2 σ2 �
� �
1
μ1 + μ2
und mit μ :=
.Wegen
σ 2 1
σ 2 1
μ1

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 179
Σ −1 = � σ 2 1σ 2 �
� 2
−1 σ1 2
−σ2 −σ
1
2 1 σ2 1 + σ2 �
2
= (σ 2 1σ 2 2) −1 B T B,
� �
σ1 −σ1
wo B =
ist, hat (X, Y ) die Dichte (siehe Beispiel 1.105(ix))
0 σ2
f(x, y) = det(2πΣ) −1/2 �
exp − 1
2σ2 1σ2 �
�
�
�
2
B
� ��2 x − (μ1 + μ2) ���
y − μ1
�
= � 4π 2 σ 2 1σ 2 �
�−1/2 2 exp − σ2 1(y − (x − μ1)) 2 + σ2 2(y − μ2) 2
2σ2 1σ2 �
2
= Cx exp � − (y − μx) 2 /2σ 2� x ,
wobei Cx eine Normalisierungskonstante ist und
μx = μ1 + σ2 1
σ2 1 + σ2 (x − μ1 − μ2)
2
und σ 2 x = σ2 1σ2 2
σ2 1 + σ2 .
2
Nach (8.9) hat P[Z1 ∈ · |Z1 + Z2 = x] die Dichte
also ist
y ↦→ fY |X(x, y) = Cx
fX(x) exp
�
−
(y − μx) 2
2σ 2 x
P[Z1 ∈ · |Z1 + Z2 = x] =N μx,σ 2 x für fast alle x ∈ R. ✸
Beispiel 8.32. Sind X und Y unabhängige, reelle Zufallsvariablen, so ist für PXfast
alle x ∈ R
P[X + Y ∈ · |X = x] =δx ∗ PY . ✸
Die Situation ist noch nicht vollends zufriedenstellend, da wir die sehr starke Annahme
gemacht haben, dass Y reellwertig ist. Ursprünglich waren wir aber auch an
einer Situation interessiert, wo Y Werte in R n annimmt, oder sogar in allgemeineren
Räumen. Wir dehnen nun das Ergebnis auf eine größere Klasse von Wertebereichen
von Y aus.
Definition 8.33. Zwei Messräume (E,E) und (E ′ , E ′ ) heißen isomorph, falls es eine
bijektive Abbildung ϕ : E → E ′ gibt, sodass ϕ messbar ist bezüglich E–E ′ und
die Umkehrabbildung ϕ −1 messbar ist bezüglich E ′ –E. Wir nennen dann ϕ einen
Messraum-Isomorphismus. Sind zudem μ und μ ′ Maße auf (E,E) und (E ′ , E ′ )
und gilt μ ′ = μ ◦ ϕ −1 ,soistϕ ein Maßraum-Isomorphismus, und die Maßräume
(E,E,μ) und (E ′ , E ′ ,μ ′ ) heißen isomorph.
Definition 8.34. Ein Messraum (E,E) heißt Borel’scher Raum, falls es eine Borel’sche
Menge B ∈B(R) gibt, sodass (E,E) und (B,B(B)) isomorph sind.
�
,

180 8 Bedingte Erwartungen
Ein separabler topologischer Raum, dessen Topologie durch eine vollständige Metrik
erzeugt wird, heißt polnischer Raum. Speziell sind R d , Z d , R N , (C([0, 1]), � ·
�∞) und so fort polnisch. Abgeschlossene Teilmengen von polnischen Räumen sind
ebenfalls polnisch. Wir kommen auf polnische Räume im Zusammenhang mit der
Konvergenz von Maßen in Kapitel 13 zurück. Ohne Beweis bringen wir das folgende
topologische Ergebnis (siehe etwa [37, Theorem 13.1.1]).
Satz 8.35. Ist E ein polnischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E, dann ist (E,E)
ein Borel’scher Raum.
Satz 8.36 (Reguläre bedingte Verteilungen). Sei F⊂Aeine Unter-σ-Algebra.
Sei Y eine Zufallsvariable mit Werten in einem Borel’schen Raum (E,E) (also
zum Beispiel E polnisch, E = R d , E = R ∞ , E = C([0, 1]) usw.). Dann existiert
eine reguläre Version κY,F der bedingten Verteilungen P[{Y ∈ · }|F].
Beweis. Sei B ∈ B(R) und ϕ : E → B ein Messraum-Isomorphismus. Mit
Satz 8.28 erhalten wir die regulären bedingten Verteilungen κY ′ ,F der reellen Zufallsvariablen
Y ′ = ϕ ◦ Y . Wir setzen nun κY,F(ω, A) = κY ′ ,F(ω, ϕ(A)) für
A ∈E. ✷
Abschließend greifen wir das eingangs betrachtete Beispiel wieder auf und können
nun die dort in Anführungszeichen gemachte Aussage formal hinschreiben. Sei also
X uniform auf [0, 1] verteilt, und gegeben den Wert X = x seien (Y1,...,Yn)
unabhängig Berx–verteilt. Wir setzen Y =(Y1,...,Yn). Nach Satz 8.36 (mit E =
{0, 1} n ⊂ R n ) existieren die regulären bedingten Verteilungen
κY,X(x, · )=P[Y ∈ · |X = x] für x ∈ [0, 1].
In der Tat ist für fast alle x ∈ [0, 1]
P[Y ∈ · |X = x] =(Berx) ⊗n .
Satz 8.37. Sei X ein Zufallsvariable auf (Ω,A, P) mit Werten in einem Borel’schen
Raum (E,E). SeiF ⊂ A eine σ-Algebra und κX,F eine Version der regulären
bedingten Verteilungen von X gegeben F. Sei ferner f : E → R messbar und
E[|f(X)|] < ∞. Dann ist
�
E[f(X)|F](ω) = f(x) κY,F(ω, dx) für P-fast alle ω. (8.10)
Beweis. Wir rechnen nach, dass die rechte Seite in (8.10) die Eigenschaften des
bedingten Erwartungswertes hat.
Es reicht, den Fall f ≥ 0 zu betrachten. Indem wir f durch Elementarfunktionen
approximieren, sehen wir, dass die rechte Seite in (8.10) messbar bezüglich F ist

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 181
(siehe Lemma 14.20 für ein formales Argument). Nach Satz 1.96 existieren dann
Mengen A1,A2,...∈Eund Zahlen α1,α2,...≥ 0 mit
gn :=
Für jedes n ∈ N und B ∈Fist nun
E[gn(X) B] =
=
=
n�
i=1
αi Ai
n→∞
−→ f.
n�
αi P[{X ∈ Ai}∩B]
i=1
n�
i=1
n�
i=1
�
=
�
=
αi
αi
B i=1
B
�
�
B
B
P[{X ∈ Ai}|F] P[dω]
κX,F(ω, Ai) P[dω]
n�
αi κX,F(ω, Ai) P[dω]
��
�
gn(x) κX,F(ω, dx) P[dω].
Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz konvergiert für fast jedes ω das
innere Integral gegen � f(x)κX,F(ω, dx). Erneute Anwendung des Satzes von der
monotonen Konvergenz liefert
E[f(X) B] = lim
n→∞ E[gn(X)
� �
B] = f(x) κX,F(ω, dx) P[dω]. ✷
Übung 8.3.1. Sei (E,E) ein Borel’scher Raum und μ ein atomloses Maß (das heißt,
μ({x}) =0für jedes x ∈ E). Man zeige: Für jedes A ∈Eund jedes n ∈ N
existieren paarweise disjunkte Mengen A1,...,An ∈Emit �n k=1 Ak = A und
μ(Ak) =μ(A)/n für jedes k =1,...,n. ♣
Übung 8.3.2. Seien p, q ∈ (1, ∞) mit 1
p
B
+ 1
q = 1, und seien X ∈ Lp (P) und
Y ∈L q (μ). SeiF⊂Aeine σ-Algebra. Man zeige mit Hilfe des vorangehenden
Satzes die bedingte Version der Hölder’schen Ungleichung:
E � |XY | � � F � ≤ E � |X| p � �F � 1/p E � |Y | q � �F � 1/q
fast sicher. ♣
Übung 8.3.3. Sei (X, Y ) uniform verteilt auf B := {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}
beziehungsweise auf [−1, 1] 2 .
(i) Man bestimme jeweils die bedingte Verteilung von Y gegeben X = x.
(ii) Sei R := √ X 2 + Y 2 und Θ = arctan(Y/X). Man bestimme jeweils die
bedingte Verteilung von Θ gegeben R = r. ♣

182 8 Bedingte Erwartungen
Übung 8.3.4. Sei (X, Y ) uniform verteilt auf G := {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}.
Man bestimme die bedingte Verteilung von Y gegeben X = x. ♣
Übung 8.3.5. Sei A ⊂ R n eine Borel-messbare Menge mit endlichem Lebesgue-
Maß λ(A) ∈ (0, ∞), und sei B ⊂ A messbar mit λ(B) > 0. Zeige: Ist X uniform
verteilt (siehe Beispiel 1.75) auf A, so ist die bedingte Verteilung von X gegeben
{X ∈ B} die uniforme Verteilung auf B. ♣
Übung 8.3.6. (Borel’sches Paradoxon) Wir wollen die Erde als Kugel ansehen und
betrachten einen zufälligen uniform auf der Erdoberfläche verteilten Punkt X. Wir
wollen die Koordinaten von X durch die geografische Länge Θ und Breite Φ angeben.
Allerdings soll, entgegen der üblichen Konvention, Θ die Werte in [0,π)
annehmen und Φ in [−π, π). Damit wird für festes Θ ein kompletter Großkreis beschrieben,
wenn Φ seinen Wertebereich durchläuft. Ist nun Φ gegeben Θ uniform
verteilt auf [−π, π)? Man sollte annehmen, dass jeder Punkt auf dem Großkreis
gleich wahrscheinlich ist. Dies ist jedoch nicht der Fall! Der etwas ” aufgedickte“
Großkreis, mit Längen zwischen Θ und Θ + ε (für kleines ε)istamÄquator dicker
als an den Polen. Lassen wir ε → 0 gehen, so sollten wir, zumindest intuitiv, die
bedingten Wahrscheinlichkeiten erhalten.
(i) Man zeige: P[{Φ ∈ · }|Θ = θ] hat für fast alle θ die Dichte 1
4 | cos(φ)| für
φ ∈ [−π, π).
(ii) Man zeige: P[{Θ ∈ · }|Φ = φ] =U [0,π) für fast alle φ.
Hinweis: Man zeige, dass Θ und Φ unabhängig sind und bestimme die Verteilungen
von Θ und Φ. ♣
Übung 8.3.7 (Verwerfungmethode zur Erzeugung von Zufallsvariablen). Sei
E höchstens abzählbar und P und Q Wahrscheinlichkeitsmaße auf E. Esgebe
ein c > 0 mit f(e) := Q({e})
P ({e}) ≤ c für jedes e ∈ E mit P ({e}) > 0. Seien
X1,X2,... unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung P und U1,U2,... davon
unabhängige u.i.v. Zufallsvariablen, die uniform auf [0, 1] verteilt sind. Wähle N
als die (zufällige) kleinste natürliche Zahl n, sodass Un ≤ f(Xn)/c, und setze
Y := XN .
Man zeige: Y hat die Verteilung Q.
Anmerkung: Dieses Verfahren zur Erzeugung einer Zufallsvariable mit einer gewünschten
Verteilung Q wird auch Verwerfungsmethode (rejection sampling) genannt,
denn man kann es so interpretieren: Die Zufallsvariable X1 ist ein Vorschlag
für den möglichen Wert von Y . Dieser Vorschlag wird mit Wahrscheinlichkeit
f(X1)/c angenommen, ansonsten wird X2 betrachtet und so weiter. ♣
Übung 8.3.8. Sei E ein polnischer Raum und P, Q ∈M1(R), sowiec>0 mit
≤ cP-fast sicher. Zeige die analoge Aussage zu Übung 8.3.7. ♣
f := dQ
dP

9 Martingale
Einer der wichtigsten Begriffe der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie ist das
Martingal, das die Idee eines fairen Spiels (Xn)n∈N0 formalisiert. In diesem Kapitel
wird der Begriffsapparat für die Beschreibung allgemeiner stochastischer Prozesse
aufgebaut. Danach werden Martingale und das diskrete stochastische Integral
eingeführt und auf ein Modell der Finanzmathematik angewandt.
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten
Wir führen die grundlegenden technischen Begriffe für die Behandlung stochastischer
Prozesse, darunter Martingale, ein. Um die Begriffe später in einem anderen
Kontext weiter verwenden zu können, streben wir eine größere Allgemeinheit an als
für die Behandlung von Martingalen notwendig wäre.
Im Folgenden sei stets (E,τ) ein polnischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E.
Weiter sei (Ω,F, P) ein W-Raum und I ⊂ R beliebig. Meistens interessieren uns
die Fälle I = N0, I = Z, I =[0, ∞) und I ein Intervall.
Definition 9.1 (Stochastischer Prozess). Sei I ⊂ R. Eine Familie von Zufallsvariablen
X =(Xt, t∈ I) (auf (Ω,F, P)) mit Werten in (E,E) heißt stochastischer
Prozess mit Zeitbereich I und Zustandsraum E.
Bemerkung 9.2. Etwas allgemeiner werden manchmal auch beliebig indizierte Familien
von Zufallsvariablen stochastischer Prozess genannt. Beispielsweise ist dies
beim Poisson’schen Punktprozess aus Kapitel 24 der Fall. ✸
Bemerkung 9.3. Oftmals werden wir (gewissen Traditionen folgend) einen stochastischen
Prozess auch als X =(Xt)t∈I schreiben, wenn wir weniger den Aspekt
betonen wollen, dass X eine Familie von Zufallsvariablen ist, sondern den zeitlichen
Verlauf der Beobachtungen stärker gewichten. Formal sollen beide Objekte
identisch sein. ✸
Beispiel 9.4. Sei I = N0 und (Yn, n∈ N) eine Familie von u.i.v. Zufallsvariablen
auf einem W-Raum (Ω,F, P), mit P[Yn =1]=1− P[Yn = −1] = 1
2 . Setze

184 9 Martingale
E = Z (mit der diskreten Topologie) und
Xt =
t�
Yn für jedes t ∈ N0.
n=1
(Xt, t∈ N0) heißt symmetrische einfache Irrfahrt auf Z. ✸
Beispiel 9.5. Der Poissonprozess X =(Xt)t≥0 mit Intensität α>0 (siehe Kapitel
5.5) ist ein stochastischer Prozess mit Wertebereich N0. ✸
Wir führen weitere Begriffe ein:
Definition 9.6. Ist X eine Zufallsvariable (oder ein stochastischer Prozess), so
schreiben wir auch L[X] = PX für die Verteilung von X. IstG ⊂ F eine σ-
Algebra, so schreiben wir L[X |G] für eine reguläre Version der bedingten Verteilung
von X gegeben G.
Definition 9.7. Ein stochastischer Prozess X =(Xt)t∈I mit Werten in E heißt
(i) reellwertig, falls E = R,
(ii) Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, falls X reellwertig ist und für jedes
n ∈ N und alle t0,...,tn ∈ I mit t0

9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten 185
(iii) Sei (Xn)n∈Z reellwertig und stationär, und seien k ∈ N und c1,...,ck ∈ R.
Dann definiert
k�
Yn :=
i=1
ciXn−i
einen stationären Prozess Y =(Yn)n∈Z. Gilt c1,...,ck ≥ 0 und c1 + ...+ ck =1,
so wird Y das gleitende Mittel von X (mit Gewichten c1,...,ck) genannt. ✸
Die beiden folgenden Definitionen sind auch für allgemeinere halbgeordnete Mengen
I sinnvoll, wir beschränken uns jedoch weiterhin auf den Fall I ⊂ R.
Definition 9.9 (Filtration). Eine Familie F =(Ft, t∈ I) von σ-Algebren mit
Ft ⊂Ffür jedes t ∈ I, heißt Filtration, falls Fs ⊂Ft für alle s, t ∈ I mit s ≤ t.
Definition 9.10 (adaptiert). Ein stochastischer Prozess X =(Xt, t∈ I) heißt
adaptiert an die Filtration F, falls Xt bezüglich Ft messbar ist für jedes t ∈ I.
Gilt Ft = σ(Xs, s≤ t) für jedes t ∈ I, so schreiben wir F = σ(X) und nennen
F die von X erzeugte Filtration.
Bemerkung 9.11. Offenbar ist ein stochastischer Prozess stets an seine erzeugte
Filtration adaptiert. Die erzeugte Filtration ist die ” kleinste“ Filtration, an die ein
Prozess adaptiert ist. ✸
Definition 9.12 (vorhersagbar / previsibel). Ein stochastischer Prozess X =
(Xn, n ∈ N0) heißt vorhersagbar (oder previsibel) bezüglich der Filtration
F =(Fn, n∈ N0), falls X0 konstant ist und für jedes n ∈ N gilt:
Xn ist Fn−1-messbar.
Beispiel 9.13. Seien I = N0, und seien Y1,Y2,... reelle Zufallsvariablen sowie
Xn := � n
m=1 Ym. Setze
F0 = {∅,Ω} und Fn = σ(Y1,...,Yn) für n ∈ N.
Dann ist F =(Fn, n∈ N0) =σ(Y ) die von Y =(Yn)n∈N erzeugte Filtration,
und X ist an F adaptiert, also ist σ(X) ⊂ F. Offenbar ist (Y1,...,Yn) messbar
bezüglich σ(X1,...,Xn), also σ(Y ) ⊂ σ(X), und daher gilt auch F = σ(X).
Sei nun � Xn := � n
m=1 [0,∞)(Ym). Dann ist auch � X an F adaptiert, jedoch ist im
Allgemeinen F�σ( � X). ✸
Beispiel 9.14. Sei I = N0, und seien D1,D2,...unabhängig und identisch verteilt
mit P[Di = −1] = P[Di =1]= 1
2 für jedes i ∈ N. Setze D =(Di)i∈N und

186 9 Martingale
F = σ(D). Wir interpretieren Di als das Ergebnis einer Wette, die uns pro Spielschein
einen Gewinn oder Verlust von einer Geldeinheit bringt. Vor jedem Spiel entscheiden
wir, wie viele Spielscheine wir einsetzen wollen. Die Anzahl Hn der in der
n-ten Runde eingesetzten Spielscheine darf nur von den Ergebnissen der bisherigen
Spiele abhängen, nicht aber von Dn und auch nicht von einem Dm für m>n.Mit
anderen Worten: Es muss eine Funktion Fn : {−1, 1} n−1 → N geben mit Hn =
Fn(D1,...,Dn−1). (Für das Petersburger Spiel (Beispiel 4.22) galt beispielsweise
Fn(x1,...,xn−1) =2 n−1 {x1=x2=...=xn−1=0}.) Damit ist H dann vorhersagbar.
Andererseits besitzt jedes vorhersagbare H die Gestalt Hn = Fn(D1,...,Dn−1),
n ∈ N, für gewisse Funktionen Fn : {−1, 1} n−1 → N, kommt also als Spielstrategie
in Betracht. ✸
Definition 9.15 (Stoppzeit). Eine Zufallsvariable τ mit Werten in I ∪ {∞} heißt
Stoppzeit (bezüglich F), falls für jedes t ∈ I gilt, dass
{τ ≤ t} ∈Ft.
Die Idee hinter dieser Definition ist, dass Ft den Kenntnisstand eines Beobachters
zur Zeit t wiedergibt. Der Wahrheitsgehalt der Aussage {τ ≤ t} kann also aufgrund
der Beobachtungen bis zur Zeit t bestimmt werden.
Satz 9.16. Ist I abzählbar, so ist τ genau dann eine Stoppzeit, wenn {τ = t} ∈Ft
für jedes t ∈ I gilt.
Beweis. Übung! ✷
Beispiel 9.17. Seien I ⊂ [0, ∞) abzählbar und K ⊂ R messbar, sowie X ein reeller,
adaptierter stochastischer Prozess. Wir betrachten den Zeitpunkt, zu dem X
erstmals in K ist:
τK := inf{t ≥ 0: Xt ∈ K}.
Intuitiv ist klar, dass τK eine Stoppzeit ist, denn ob {τ ≤ t} eintritt oder nicht,
können wir aufgrund der Beobachtungen von X bis zur Zeit t entscheiden. Formal
können wir argumentieren, indem wir bemerken, dass {Xs ∈ K} ∈Fs ⊂Ftfür s ≤ t gilt. Also ist auch die abzählbare Vereinigung dieser Mengen wieder in Ft:
{τK ≤ t} = �
{Xs ∈ K} ∈ Ft.
s∈I∩[0,t]
Betrachte nun den zufälligen Zeitpunkt �τ := sup{t ≥ 0: Xt ∈ K} des letzten
Aufenthalts von X in K. Zu fester Zeit t können wir aufgrund der bisherigen Beobachtungen
nicht entscheiden, ob X bereits das letzte Mal in K war. Hierzu bedürfte
es der Prophetie. Also ist �τ im Allgemeinen keine Stoppzeit. ✸

Lemma 9.18. Seien σ und τ Stoppzeiten. Dann gilt:
(i) σ ∨ τ und σ ∧ τ sind Stoppzeiten.
(ii) Gilt σ, τ ≥ 0, dann ist auch σ + τ eine Stoppzeit.
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten 187
(iii) Ist s ≥ 0, dann ist τ + s eine Stoppzeit, jedoch im Allgemeinen nicht τ − s.
Bevor wir zum einfachen formalen Beweis kommen, wollen wir festhalten, dass insbesondere
(i) und (iii) Eigenschaften sind, die wir von Stoppzeiten erwarten konnten:
Bei (i) ist die Interpretation klar. Für (iii) beachte man, dass τ − s um s in die
Zukunft blickt (denn {τ −s ≤ t} ∈Ft+s), während τ +s um s in die Vergangenheit
schaut. Stoppzeiten ist aber nur der Blick in die Vergangenheit erlaubt.
Beweis. (i) Für t ∈ I ist {σ ∨ τ ≤ t} = {σ ≤ t}∩{τ ≤ t} ∈Ft und {σ ∧ τ ≤
t} = {σ ≤ t}∪{τ ≤ t} ∈Ft.
(ii) Sei t ∈ I. Nach (i) sind τ ∧ t und σ ∧ t Stoppzeiten für jedes t ∈ I. Speziell
ist für jedes s ≤ t dann {τ ∧ t ≤ s} ∈Fs ⊂Ft. Andererseits ist für s>tstets
τ ∧ t ≤ s. Alsosindτ ′ := (τ ∧ t)+ {τ>t} und σ ′ := (σ ∧ t)+ {σ>t} messbar
bezüglich Ft und damit auch τ ′ + σ ′ . Es folgt {τ + σ ≤ t} = {τ ′ + σ ′ ≤ t} ∈Ft.
(iii) Für τ + s folgt dies aus (ii) (mit der Stoppzeit σ ≡ s). Für τ − s beachte man,
dass in der Definition der Stoppzeit für jedes t ∈ I lediglich gefordert wird, dass
{τ − s ≤ t} = {τ ≤ t + s} ∈Ft+s. Im Allgemeinen ist aber Ft+s eine echte
Obermenge von Ft, also τ − s keine Stoppzeit. ✷
Definition 9.19. Ist τ eine Stoppzeit, so heißt
Fτ := � A ∈F: A ∩{τ ≤ t} ∈Ft für jedes t ∈ I �
die σ-Algebra der τ-Vergangenheit.
Beispiel 9.20. Sei I höchstens abzählbar, X ein adaptierter, reellwertiger stochastischer
Prozess, K ∈ R und τ = inf{t : Xt ≥ K} die Stoppzeit des ersten
Eintretens in [K, ∞). Betrachte die Ereignisse A = {sup{Xt : t ∈ I} >K− 5}
und B = {sup{Xt : t ∈ I} >K+5}.
Für jedes t ∈ I ist {τ ≤ t} ⊂A, also ist A ∩{τ ≤ t} = {τ ≤ t} ∈Ft. Es folgt
A ∈Fτ . Jedoch ist im Allgemeinen B/∈Fτ , denn wir können bis zur Zeit τ eben
nicht entscheiden, ob X auch die Hürde K +5noch nehmen wird oder nicht. ✸
Lemma 9.21. Sind σ und τ Stoppzeiten mit σ ≤ τ, so gilt Fσ ⊂Fτ .
Beweis. Sei A ∈Fσ und t ∈ I. DannistA∩{σ ≤ t} ∈Ft. Daτ eine Stoppzeit
ist, ist auch {τ ≤ t} ∈Ft.Wegenσ≤τ ist also
A ∩{τ ≤ t} = � A ∩{σ ≤ t} � ∩{τ ≤ t} ∈ Ft. ✷

188 9 Martingale
Definition 9.22. Ist τs.
Bemerkung 9.25. Offenbar ist für Martingale t ↦→ E[Xt] konstant, für Submartingale
monoton wachsend und für Supermartingale monoton fallend. ✸
Bemerkung 9.26. Die Etymologie des Begriffs Martingal ist nicht völlig geklärt.
Das französische la martingale (ursprünglich provenzalisch martegalo nach der

9.2 Martingale 189
Stadt Martiques) bedeutet im Reitsport einen ” beim Spring- und Geländereiten verwendeten
Hilfszügel“ als Teil des Zaumzeugs ([22]). Manchmal wird die verzweigte
Form, insbesondere des Jagdmartingals (französisch: la martingale à anneaux,
englisch: running martingale), als sinnbildlich für die Verdoppelungsstrategie im
Petersburger Spiel angesehen. Eben diese Verdoppelungsstrategie ist die zweite Bedeutung
von la martingale. Von hier aus scheint eine Bedeutungsverschiebung hin
zum mathematischen Begriff durchaus möglich. Eine andere Herleitung geht, statt
vom Aussehen, von der Funktion des Zaumzeugs aus und nennt das Bestreben einer
Spielstrategie, den Zufall im Zaume zu halten. So wird der Begriff des Martingals
zunächst auf Spielstrategien im Allgemeinen, dann auf die Verdoppelungsstrategie
im Speziellen übertragen. ✸
Bemerkung 9.27. Ist I = N, I = N0 oder I = Z, so reicht es, jeweils nur
t = s +1zu betrachten, denn nach der Turmeigenschaft der bedingten Erwartung
(Satz 8.14(iv)) ist
�
E[Xs+2
�Fs] =E � �
E[Xs+2
�Fs+1] � �
�Fs ,
und wenn die definierende Gleichung (beziehungsweise Ungleichung) in einem
Zeitschritt gilt, dann zieht sie sich durch in den zweiten Zeitschritt und so fort. ✸
Bemerkung 9.28. Geben wir die Filtration F nicht explizit an, so nehmen wir stillschweigend
an, dass F die von X erzeugte Filtration Ft = σ(Xs, s≤ t) ist. ✸
Bemerkung 9.29. Sind F und F ′ Filtrationen mit Ft ⊂F ′ t für jedes t, und ist X an
F adaptiert und ein F ′ -(Sub-, Super-)Martingal, dann ist X auch ein (Sub-, Super-)
Martingal bezüglich der kleineren Filtration F. Es gilt nämlich für ssist E[Yr �Fs] =0.Alsoistfür t>s
�
�
�
E[Xt
�Fs] = E[Xs
�Fs]+E[Xt − Xs
�Fs] = Xs +
Es folgt, dass X ein F-Martingal ist.
t�
r=s+1
�
E[Yr
�Fs] = Xs.
Analog ist X ein Submartingal, falls E[Yt] ≥ 0 für jedes t gilt beziehungsweise ein
Supermartingal, falls E[Yt] ≤ 0 für jedes t gilt. ✸

190 9 Martingale
Beispiel 9.31. Wir betrachten die Situation des vorangehenden Beispiels, jedoch mit
E[Yt] =1und Xt = �t s=1 Ys für t ∈ N0. Nach Satz 5.4 ist Y1 · Y2 integrierbar.
Iterativ erhalten wir E[|Xt|] < ∞ für jedes t ∈ N0. Offenbar ist X an F adaptiert,
und für s ∈ N0 gilt
�
�
�
E[Xs+1 �Fs] = E[XsYs+1 �Fs] = Xs E[Ys+1 �Fs] = Xs.
Also ist X ein F-Martingal. ✸
Satz 9.32. (i) X ist genau dann ein Supermartingal, wenn (−X) ein Submartingal
ist.
(ii) Seien X und Y Martingale und a, b ∈ R. Dann ist (aX + bY ) ein Martingal.
(iii) Seien X und Y Supermartingale und a, b ≥ 0. Dann ist (aX + bY ) ein
Supermartingal.
(iv) Seien X und Y Supermartingale. Dann ist Z := X ∧ Y =(min(Xt,Yt))t∈I
ein Supermartingal.
(v) Ist (Xt)t∈N0 ein Supermartingal und E[XT ] ≥ E[X0] für ein T ∈ N0, dann
ist (Xt) t∈{0,...,T } ein Martingal. Gibt es eine Folge TN →∞mit E[XTN ] ≥
E[X0], dann ist X ein Martingal.
Beweis. (i), (ii) und (iii) Dies ist klar.
(iv) Wegen |Zt| ≤ |Xt| + |Yt| ist E[|Zt|] < ∞ für jedes � t ∈ I. Wegen � der
Monotonie der bedingten Erwartung (Satz 8.14(ii)) ist E[Zt
�Fs] ≤ E[Xt
�
� �
�
Fs] ≤
Xs für t>sund E[Zt
�Fs] ≤ E[Yt
�Fs] ≤ Ys, also E[Zt
�Fs] ≤ Xs ∧ Ys = Zs.
�
(v) Für t ≤ T setze Yt := E[XT
�Ft]. DannistYein Martingal und Yt ≤ Xt.
Daher ist
E[X0] ≤ E[XT ]=E[YT ]=E[Yt] ≤ E[Xt] ≤ E[X0].
(Die erste Ungleichung gilt hierbei nach Voraussetzung.) Es folgt Yt = Xt fast
sicher für jedes t, und daher ist (Xt) t∈{0,...,T } ein Martingal.
Sei TN →∞mit E[XTN ] ≥ E[X0] für� jedes N ∈ N. Dann gibt es für t>s≥ 0
ein N ∈ N mit TN >t. Daher ist E[Xt
�Fs] =E[Xs], also X ein Martingal. ✷
Bemerkung 9.33. Viele Aussagen über Supermartingale gelten mutatis mutandis
auch für Submartingale. So gilt im vorangehenden Satz Aussage (i) mit vertauschten
Rollen, Aussage (iv) gilt für Submartingale, wenn das Minimum durch ein Maximum
ersetzt wird, und so fort. Wir geben die Aussagen nicht stets sowohl für Submartingale
wie für Supermartingale an, sondern wählen pars pro toto einen Fall aus.
Man beachte aber, dass die Aussagen, die explizit über Martingale gemacht werden,
nicht ohne weiteres auf Sub- oder Supermartingale übertragen werden können (vergleiche
etwa (ii) im vorangehenden Satz). ✸

9.2 Martingale 191
Korollar 9.34. Sei X ein Submartingal und a ∈ R. Dann ist (X − a) + ein Submartingal.
Beweis. Offenbar sind 0 und Y = X − a Submartingale. Nach (iv) ist daher auch
(X − a) + = Y ∨ 0 ein Submartingal. ✷
Satz 9.35. Sei X ein Martingal und ϕ : R → R eine konvexe Funktion.
(i) Ist
E[ϕ(Xt) + ] < ∞ für jedes t ∈ I, (9.1)
dann ist (ϕ(Xt))t∈I ein Submartingal.
(ii) Ist t∗ := sup(I) ∈ I, so impliziert E[ϕ(Xt∗)+ ] < ∞ schon (9.1).
(iii) Ist speziell p ≥ 1 und E[|Xt| p ] < ∞ für jedes t ∈ I, dann ist (|Xt| p )t∈I ein
Submartingal.
Beweis. (i) Es ist stets E[ϕ(Xt) − ] < ∞ (Satz 8.19), also nach Voraussetzung
E[|ϕ(Xt)|] < ∞ für jedes t ∈ I. Die Jensen’sche Ungleichung (Satz 8.19) liefert
für t>s
E[ϕ(Xt) � �
�Fs] ≥ ϕ(E[Xt
�Fs]) = ϕ(Xs).
(ii) Da ϕ konvex ist, ist auch x ↦→ ϕ(x) + konvex. Weiter ist nach Voraussetzung
E[ϕ(Xt∗)+ ] < ∞, also gilt nach der Jensen’schen Ungleichung für jedes t ∈ I:
E[ϕ(Xt) + ]=E � ϕ � E[Xt∗ �
�Ft] � +� �
≤ E E[ϕ(Xt∗)+ � �Ft] � = E � ϕ(Xt∗)+� < ∞.
(iii) Dies ist klar, weil x ↦→ |x| p konvex ist. ✷
Beispiel 9.36. (Siehe Beispiel 9.4.) Die symmetrische einfache Irrfahrt X auf Z ist
ein quadratintegrierbares Martingal. Also ist (X2 n)n∈N0 ein Submartingal. ✸
Übung 9.2.1. Sei Y eine Zufallsvariable mit E[|Y |] < ∞ und F eine Filtration
sowie
Xt := E[Y � �Ft] für jedes t ∈ I.
Man zeige, dass X ein F-Martingal ist. ♣
Übung 9.2.2. Sei (Xn)n∈N0 ein vorhersagbares F-Martingal. Man zeige, dass dann
für jedes n ∈ N0 fast sicher Xn = X0 gilt. ♣
Übung 9.2.3. Man zeige, dass die Aussage von Satz 9.35 auch gilt, wenn X nur
ein Submartingal, ϕ jedoch zusätzlich monoton wachsend ist. Man zeige durch ein
Beispiel, dass hier auf die Monotonie im Allgemeinen nicht verzichtet werden kann.
(Vergleiche Korollar 9.34.) ♣

192 9 Martingale
Übung 9.2.4 (Ungleichung von Azuma). Man zeige:
(i) Ist X eine Zufallsvariable mit |X| ≤1 f.s., so gibt es eine Zufallsvariable Y
mit Werten in {−1, +1} und mit E[Y |X] =X.
(ii) Für X wie in (i) mit E[X] =0folgere man (mit Hilfe der Jensen’schen Ungleichung)
E � e λX� ≤ cosh(λ) ≤ e λ2 /2
für alle λ ∈ R.
(iii) Ist (Mn)n∈N0 ein Martingal mit M0 = 0, und gibt es eine Folge (ck)k∈N
nichtnegativer Zahlen mit |Mn − Mn−1| ≤cn f.s. für jedes n ∈ N, sogilt
E � e λMn� �
1
≤ exp
2 λ2
n�
c 2 �
k .
(iv) Unter den Bedingungen von (iii) gilt die Azuma’sche Ungleichung
P � |Mn| ≥λ � �
≤ 2exp−
λ2 �
für alle λ ≥ 0.
k=1
2 � n
k=1 c2 k
Hinweis: Verwende die Markov’sche Ungleichung für f(x) =e γx und wähle
γ optimal. ♣
9.3 Diskretes stochastisches Integral
Bisher haben wir das Martingal als Partialsummenprozess eines fairen Spiels kennen
gelernt. Dies kann beispielsweise auch der Kurs einer Aktie sein, die zu diskreten
Zeitpunkten an einer Börse gehandelt wird. Bei dieser Interpretation ist es
besonders evident, dass es natürlich ist, neue stochastische Prozesse zu generieren,
indem man Anlagestrategien für die entsprechende Aktie betrachtet. Die Wertentwicklung
des neuen Prozesses ist dann die mit der jeweilig im Portefeuille befindlichen
Anzahl von Aktien zu multiplizierende Wertentwicklung des Aktienkurses.
Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.
Definition 9.37 (Diskretes Stochastisches Integral). Sei (Xn)n∈N0 ein reeller, Fadaptierter
Prozess und (Hn)n∈N reellwertig und F-vorhersagbar. Wir definieren
den stochastischen Prozess H ·X durch
(H ·X)n :=
n�
Hm(Xm − Xm−1) für n ∈ N0, (9.2)
m=1
und nennen H·X das diskrete stochastische Integral von H bezüglich X.IstX ein
Martingal, so nennen wir H ·X auch die Martingaltransformierte von X.

9.3 Diskretes stochastisches Integral 193
Bemerkung 9.38. Offenbar ist H ·X adaptiert an F. ✸
Sei X ein (möglicherweise unfaires) Spiel, wobei Xn − Xn−1 den Spielgewinn pro
Spielschein in der n-ten Runde bezeichnet. Wir interpretieren Hn als die Anzahl
der Spielscheine, die für das n-te Spiel eingesetzt werden, und verstehen H als
Spielstrategie. Offenbar muss die Entscheidung, wie groß Hn sein soll, zur Zeit
n − 1, also vor der Bekanntgabe des Ergebnisses Xn fallen. Das heißt, H muss
vorhersagbar sein.
Ist nun X ein faires Spiel, also ein Martingal, und ist H lokal � beschränkt (das
heißt, jedes Hn ist beschränkt), dann ist (wegen E[Xn+1 − Xn
�Fn] =0)
�
E[(H ·X)n+1
�Fn] =E[(H ·X)n + Hn+1(Xn+1 − Xn) � �Fn]
�
�Fn] =(H ·X)n + Hn+1 E[Xn+1 − Xn
=(H ·X)n.
Also ist H · X ein Martingal. Im folgenden Satz zeigen wir, dass auch die Umkehrung
gilt, also X ein Martingal ist, wenn für hinreichend viele vorhersagbare
Prozesse das stochastische Integral ein Martingal ist.
Satz 9.39 (Stabilitätssatz für Stochastische Integrale).
Sei (Xn)n∈N0 ein adaptierter, reeller stochastischer Prozess mit E[|X0|] < ∞.
(i) X ist genau dann ein Martingal, wenn für jeden lokal beschränkten, vorhersagbaren
Prozess H das stochastische Integral H ·X ein Martingal ist.
(ii) X ist genau dann ein Submartingal (Supermartingal), wenn H ·X ein Submartingal
(Supermartingal) ist für jedes beschränkte, vorhersagbare H ≥ 0.
Beweis. (i) ” =⇒ “ Dies hat die obige Diskussion schon gezeigt.
” ⇐= “ Wähle n0 ∈ N. Setze Hn = {n=n0}. Dannist(H ·X)n0−1 =0, also
0 = E � � � � � �
(H ·X)n0
�Fn0−1 = E Xn0
�Fn0−1 − Xn0−1.
(ii) Dies geht analog wie in (i). ✷
Der vorangehende Satz sagt uns insbesondere, dass wir keine (beschränkte) Spielstrategie
finden können, die aus einem Martingal (oder schlimmer: einem Supermartingal)
ein Submartingal machte. Genau dies wird einem aber natürlich durch
diverse Aufforderungen zum so genannten ” Systemlotto“ und Ähnlichem nahe gelegt.
Beispiel 9.40 (Petersburger Spiel). Wir führen Beispiel 9.14 fort (siehe auch Beispiel
4.22). Setzen wir Xn := D1 + ...+ Dn für n ∈ N0, soistX ein Martingal.
Die Spielstrategie Hn := 2 n−1 {D1=D2=...=Dn−1=−1} für n ∈ N und H0 =1ist

194 9 Martingale
vorhersagbar und lokal beschränkt. Sei Sn = �n i=1 HiDi =(H·X)n der Zugewinn
nach n Runden. Dann ist S nach dem vorangehenden Satz ein Martingal. Speziell
erhalten wir das bereits in Beispiel 4.22 gezeigte Ergebnis, dass E[Sn] =0ist für
jedes n ∈ N. Dass dies, wie dort gezeigt, in zumindest vordergründigem Kontrast zu
n→∞
der Aussage Sn −→ 1 f.s. steht, wird uns später noch einmal beschäftigen (siehe
Beispiel 11.6).
Für den Moment sei angemerkt, dass das Martingal S ′ = (1 − Sn)n∈N0 wie in
Beispiel 9.31 die Struktur eines Produkts unabhängiger Zufallsvariablen mit Erwartungswert
1 hat. Es gilt nämlich S ′ n = �n i=1 (1 − Di). ✸
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell
Wir haben nun gesehen, dass wir vermittels des stochastischen Integrals aus einem
Martingal X durch eine Spielstrategie H ein neues Martingal H ·X herstellen
können. Welche Martingale Y (mit Y0 =0) sind nun durch eine geeignete Spielstrategie
H = H(Y ) aus X zu gewinnen? Womöglich alle? Dies ist sicher nicht
der Fall, wie das folgende Beispiel zeigt. Allerdings sind alle Martingale darstellbar,
wenn für die Zuwächse Xn+1 − Xn immer nur zwei Werte in Frage kommen
(gegeben X1,...,Xn). Wir geben für diesen Fall einen Darstellungssatz an und
diskutieren in der Folge den fairen Preis der europäischen Kaufoption (europäischer
Call) in dem Aktienkursmodell von Cox-Ross-Rubinstein. Wir wollen dabei einen
naiven Standpunkt einnehmen und einen in vielerlei Hinsicht idealisierten Markt
voraussetzen (keine Handelskosten, gebrochene Anzahlen handelbar, und so fort).
Für eine umfassendere Lektüre zum Thema Finanzmathematik eignen sich etwa die
Lehrbücher [41], [79], [98], [56], [12] oder [47].
Beispiel 9.41. Wir betrachten ein ganz einfaches Martingal X =(Xn)n=0,1 mit nur
zwei Zeitpunkten. Es sei X0 =0fast sicher und P[X1 = −1] = P[X1 =0]=
P[X1 =1]= 1
3 .SeiY0 =0sowie Y1 =2, falls X1 =1und Y1 = −1 sonst. Dann
ist Y offenbar ein σ(X)-Martingal. Allerdings können wir keine Zahl H1 angeben,
sodass H1X1 = Y1 wäre. ✸
Sei T ∈ N ein fester Zeitpunkt. Ist (Yn)n=0,1,...,T �
ein F-Martingal, dann ist
Yn = E[YT
�Fn] für jedes n ≤ T . Durch die Angabe von YT ist ein F-Martingal Y
also eindeutig festgelegt (und umgekehrt). Da (H ·X) ein Martingal ist, falls X ein
Martingal ist, reduziert sich das Darstellungsproblem für Martingale auf das Problem,
eine integrierbare Zufallsvariable V := YT darzustellen als v0 +(H ·X)T ,
wobei v0 = E[YT ] ist, falls X ein Martingal ist.
Wir haben eben schon gesehen, dass dies im Allgemeinen nicht möglich ist, wenn
die Differenzen Xn+1 − Xn drei (oder mehr) unterschiedliche Werte annehmen
können. Wir betrachten nun also den Fall, wo nur zwei Werte möglich sind. Hier
muss in jedem Schritt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und

9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell 195
zwei Unbekannten gelöst werden. Im Falle von drei möglichen Werten von Xn+1 −
Xn wären dies drei Gleichungen für zwei Unbekannte, und im Allgemeinen ist
dieses Gleichungssystem dann nicht lösbar.
Definition 9.42 (Binäres Modell). Ein stochastischer Prozess X0,...,XT heißt
binäres Modell, falls es Zufallsvariablen D1,...,DT mit Werten in {−1, +1} gibt
und Funktionen fn : R n−1 ×{−1, +1} →R für n =1,...,T, sowie x0 ∈ R,
sodass X0 = x0 und
Xn = fn(X1,...,Xn−1,Dn) für jedes n =1,...,T.
Mit F = σ(X) bezeichnen wir dann die von X erzeugte Filtration.
Man beachte, dass Xn nur von X1,...,Xn−1 und Dn abhängt und nicht von der
vollen Information der Werte D1,...,Dn. Man mache sich klar, dass im letzteren
Fall eine mehr als binäre Aufspaltung der Werte in einem Zeitschritt möglich wäre.
Satz 9.43 (Darstellungssatz). Sei X ein binäres Modell und VT eine FT -messbare
Zufallsvariable. Dann existiert ein beschränkter, vorhersagbarer Prozess H und ein
v0 ∈ R mit VT = v0 +(H ·X)T .
Man beachte, dass F die von X erzeugte Filtration ist, nicht die im Allgemeinen
größere, von D1,...,DT erzeugte. Für diese ist die Aussage des Satzes im Allgemeinen
nicht zutreffend, weil wir eben mit H nicht auf die Di sondern nur auf X
wetten können.
Beweis. Wir zeigen, dass es FT −1-messbare Zufallsvariablen VT −1 und HT gibt,
sodass VT = VT −1 + HT (XT − XT −1). Dies liefert per Rückwärtsinduktion die
gewünschte Aussage.
Da VT messbar ist bezüglich FT , existiert nach dem Faktorisierungslemma (Korollar
1.97) eine Funktion gT : RT → R mit VT = gT (X1,...,XT ). Wir setzen
X ±
T = fT (X1,...,XT−1, ±1) und V ±
T
= gT (X1,...,XT −1,X ±
T ).
Jede dieser vier Zufallsvariablen ist offenbar FT −1-messbar. Wir suchen nun also
VT −1 und HT , die das folgende lineare Gleichungssystem lösen
Per Konstruktion ist X +
T
auflösen und erhalten
VT −1 + HT (X −
T − XT −1) =V −
T ,
VT −1 + HT (X +
T − XT −1) =V +
T .
HT :=
− X−
T
⎧
⎨
⎩
�=0, falls V +
T
− V −
T
V + −
T −VT X +
T −X−
, falls X
T
+
T
0, sonst,
(9.3)
�=0.Alsokönnen wir (9.3)
�= X−
T ,
und VT −1 = V +
T − HT (X +
T − XT −1) =V −
T − HT (X −
T − XT −1). ✷

196 9 Martingale
Wir wollen nun X als Kurs einer Aktie auffassen und VT als Auszahlungsfunktion
eines Finanzderivats auf X, eines so genannten Claims. Beispielsweise kann
VT eine europäische Kaufoption (Call) mit Fälligkeitszeitpunkt (maturity) T und
Ausübungspreis (strike price) K ≥ 0 sein. In diesem Fall wäre VT =(XT − K) + .
Ökonomisch ausgedrückt gibt diese Option dem Käufer das Recht (aber nicht die
Pflicht) vom Herausgeber der Option zum Zeitpunkt T die Eingehung eines Kaufvertrages
über eine Aktie zum Preis K einzufordern. Von diesem Recht macht man
sinnvollerweise nur dann Gebrauch, wenn XT ≥ K ist. In diesem Fall kann man
die erworbene Aktie zum Preis XT wieder an der Börse verkaufen und hat einen
Gewinn von VT gemacht.
An den Börsen werden nun aber nicht nur Aktien, sondern auch Derivate auf Aktien
gehandelt. Welches ist also der faire Preis π(VT ) für den eine Börsenhändlerin
den Claim VT anbieten kann? Gibt es eine Strategie H und ein v0, sodass VT =
v0 +(H ·X)T ist, dann kann die Händlerin gegen Bezahlung von v0 risikolos VT
nachbilden, indem sie H als Handelsstrategie an der Börse benutzt. Wir nennen den
Claim VT dann replizierbar und die Strategie H einen Hedge. Ein Markt, in dem
jeder Claim replizierbar ist, heißt vollständig. In diesem Sinne ist das Binärmodell
also ein vollständiger Markt.
Gäbe es nun eine zweite Strategie H ′ und ein zweites v ′ 0 mit v ′ 0 +(H ′ ·X)T = VT ,
so wäre insbesondere v0 − v ′ 0 =((H ′ − H)·X)T .Wäre v0 >v ′ 0,sokönnte die
Händlerin risikolos durch Verfolgen der Strategie H ′ − H einen Gewinn v0 − v ′ 0
machen, im Falle v0

9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell 197
Das Maß PX ′ wird auch äquivalentes Martingalmaß genannt. Während es hier
für uns nur von rechnerischem Interesse ist, hat es eine ökonomische Interpretation
als Maß für die Preisbildung, falls alle Händler sich risikoneutral verhalten, also den
Wert einer künftigen Auszahlung allein nach deren Erwartungswert bemessen (was
typischerweise nicht der Fall ist; die meisten Anleger sind risikoavers, lassen sich
also Unsicherheiten durch einen Aufschlag bezahlen).
Nun wollen wir aber ein Modell im Detail betrachten.
Definition 9.44. Seien T ∈ N, a ∈ (−1, 0) und b>0 sowie p ∈ (0, 1). Ferner
seien D1,...,DT u.i.v. mit P[D1 =1]=1− P[D1 = −1] = p. Wirdefinieren
X0 = x0 > 0 und für n =1,...,T
�
(1 + b) Xn−1, falls Dn =+1,
Xn =
(1 + a) Xn−1, falls Dn = −1.
X heißt mehrstufiges Binomialmodell oder Cox-Ross-Rubinstein’sches Modell
(ohne Verzinsung).
Nach dem bisher Gezeigten ist das CRR Modell vollständig. Ferner können wir
den Prozess X zu einem Martingal machen. Mithin ist
durch die Wahl p∗ = a
a−b
das Modell auch arbitragefrei (für jedes p ∈ (0, 1)). Wir wollen nun den Preis des
europäischen Calls VT := (XT − K) + explizit ausrechnen. Hierzu können wir
wieder p = p∗ annehmen. Wir erhalten dann mit A := min{i ∈ N0 :(1+b) i (1 +
a) T −ix0 >K},
π(VT )=Ep ∗[VT ]=
= x0
T�
i=A
T�
bT,p∗({i}) � (1 + b) i (1 + a) T −i x0 − K �+
i=0
� �
T
(p
i
∗ ) i (1 − p ∗ ) T −i � (1 + b) i (1 + a) T −i� − K
T�
i=A
bT,p ∗({i}).
Setzen wir p ′ =(1+b)p ∗ ,dannistp ′ ∈ (0, 1) und 1 − p ′ =(1− p ∗ )(1 + a). Wir
erhalten so die Cox-Ross-Rubinstein’sche Formel
π(VT )=x0 bT,p ′({A,...,T}) − KbT,p∗({A,...,T}). (9.5)
Dies ist das diskrete Analogon zur berühmten Black–Scholes Formel für die Optionsbewertung
in gewissen zeitkontinuierlichen Märkten.

10 Optional Sampling Sätze
Wir haben im vorigen Kapitel gesehen, dass aus Martingalen wieder Martingale
werden, wenn man gewisse Spielstrategien anwendet. Wir wollen in diesem Kapitel
ähnliche Stabilitätseigenschaften für zufällig gestoppte Martingale zeigen. Um die
Aussagen auch für Submartingale und Supermartingale zu bekommen, geben wir
im ersten Abschnitt einen Zerlegungssatz für adaptierte Prozesse an. Im zweiten
Abschnitt kommen dann die Optional Sampling und Optional Stopping Sätze.
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation
Sei X =(Xn)n∈N0 ein adaptierter Prozess mit E[|Xn|] < ∞ für jedes n ∈ N0.Wir
wollen X zerlegen in eine Summe aus einem Martingal und einem vorhersagbaren
Prozess. Dazu definieren wir für n ∈ N0
und
Mn := X0 +
n�
An :=
k=1
n�
k=1
� �
Xk − E[Xk
�Fk−1] �
� �
�
E[Xk �Fk−1] − Xk−1 .
(10.1)
Offenbar ist Xn = Mn + An. Per Konstruktion ist A vorhersagbar mit A0 =0, und
M ist ein Martingal, denn
�
E[Mn − Mn−1
�Fn−1] = E � �
Xn − E[Xn �Fn−1] � �
�Fn−1 = 0.
Satz 10.1 (Doob-Zerlegung). Sei X =(Xn)n∈N0 ein adaptierter, integrierbarer
Prozess. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung X = M + A, wobei A vorhersagbar
ist mit A0 =0und M ein Martingal. Diese Darstellung von X heißt
Doob–Zerlegung. X ist genau dann ein Submartingal, wenn A monoton wachsend
ist.
Beweis. Nur die Eindeutigkeit ist zu zeigen. Seien also X = M + A = M ′ + A ′
zwei Zerlegungen mit den genannten Eigenschaften. Dann ist M −M ′ = A ′ −A ein

200 10 Optional Sampling Sätze
vorhersagbares Martingal, also ist (siehe Übung 9.2.2) Mn − M ′ n = M0 − M ′ 0 =0
für jedes n ∈ N0. ✷
Beispiel 10.2. Sei I = N0 oder I = {0,...,N}. Sei(Xn)n∈Iein quadratisch integrierbares
F–Martingal (das heißt E[X2 n] < ∞ für jedes n ∈ I). Nach Satz 9.32
ist Y := (X2 n)n∈I ein Submartingal. Sei Y = M + A die Doob-Zerlegung
von Y . Es ist dann (X2 �
n − An)n∈I ein Martingal. Ferner ist E[Xi−1Xi
�Fi−1]
�
=
Xi−1E[Xi
, also (wie in (10.1))
An =
�Fi−1] =X 2 i−1
=
=
n�
i=1
�
E[X 2 �
�Fi−1] i − X 2 �
i−1
n� �
E[(Xi − Xi−1) 2 � �Fi−1] − 2X 2 �
i−1 +2E[Xi−1Xi
i=1
n�
i=1
� Fi−1]
E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�Fi−1 . ✸
Definition 10.3. Sei (Xn)n∈I ein quadratisch integrierbares F-Martingal. Der
eindeutig bestimmte vorhersagbare Prozess A, mit dem (X 2 n − An)n∈I ein Martingal
wird, heißt quadratischer Variationsprozess von X und wird in Formeln mit
(〈X〉n)n∈I := A bezeichnet.
Aus dem vorangehenden Beispiel ergibt sich sofort der folgende Satz.
Satz 10.4. Sei X wie in Definition 10.3. Dann ist für n ∈ N0
und
〈X〉n =
n�
i=1
E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�Fi−1 �
(10.2)
E[〈X〉n] =Var[Xn − X0]. (10.3)
Bemerkung 10.5. Sind Y und A wie in Beispiel 10.2, dann ist A monoton wachsend,
weil (X 2 n)n∈I ein Submartingal ist (vergleiche Satz 10.1). Deshalb wird A
manchmal auch der wachsende Prozess von Y genannt. ✸
Beispiel 10.6. Seien Y1,Y2,... unabhängige, quadratisch integrierbare, zentrierte
Zufallsvariablen. Dann wird durch Xn := Y1 + ... + Yn ein quadratisch integrierbares
Martingal definiert mit 〈X〉n = �n 2
i=1 E[Yi ],dennesistAn �
=
n �
2
i=1 E[Y �Y1,...,Yi−1] i
= �n 2
i=1 E[Yi ] (wie in Beispiel 10.2).
Man beachte, dass es für diese einfache Darstellung von 〈X〉 nicht ausreicht, dass
die Y1,Y2,... unkorreliert sind. ✸

10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation 201
Beispiel 10.7. Seien Y1,Y2,... unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen
mit E[Yn] = 1 für n ∈ N. Setze Xn := �n i=1 Yi für n ∈ N0. Dann
ist X =(Xn)n∈N0 ein quadratisch integrierbares Martingal (warum?) bezüglich
F = σ(X) und
E � (Xn − Xn−1) 2 � � �
�Fn−1 = E (Yn − 1) 2 X 2 � �
�
n−1 Fn−1 = Var[Yn] X 2 n−1.
Also ist 〈X〉n = �n i=1 Var[Yi] X2 i−1 . Wir sehen, dass der quadratische Variationsprozess
also durchaus ein echt zufälliger Prozess sein kann. ✸
Beispiel 10.8. Sei (Xn)n∈N0 die eindimensionale symmetrische einfache Irrfahrt:
n�
Xn = Ri für jedes n ∈ N0,
i=1
wobei R1,R2,R3,... u.i.v. sind mit P[Ri =1]=1− P[Ri = −1] = 1
2 .
Offenbar ist X ein Martingal, also |X| ein Submartingal. Sei |X| = M + A die
Doob-Zerlegung von |X|. Dannist
n� �
An = E[|Xi| � �Fi−1] −|Xi−1| � .
Nun ist
Also gilt
i=1
⎧
⎪⎨
|Xi−1| + Ri, falls Xi−1 > 0,
|Xi| = |Xi−1|−Ri,
⎪⎩
1,
falls Xi−1 < 0,
falls Xi−1 =0.
E[|Xi| � �
|Xi−1|, falls |Xi−1| �= 0,
�Fi−1] =
1, falls |Xi−1| =0.
Mithin ist
An =# � i ≤ n − 1:|Xi| =0 �
die Lokalzeit von X in 0. Es folgt (wegen P[X2j =0]= � � 2j −j
j 4 und P[X2j+1 =
0] = 0):
E[|Xn|] =E � #{i ≤ n − 1: Xi =0} �
n−1 �
= P[Xi =0]=
i=0
⌊(n−1)/2⌋ �
j=0
� �
2j
4
j
−j . ✸
Beispiel 10.9. Wir wollen das vorangehende Beispiel jetzt noch etwas verallgemeinern.
Offenbar brauchten wir (außer in der letzten Formel) nicht, dass X eine Irrfahrt
ist, sondern lediglich, dass die Differenzen (ΔX)n := Xn − Xn−1 nur die Werte

202 10 Optional Sampling Sätze
−1 und +1 annehmen können. Sei also jetzt X ein Martingal mit |Xn − Xn−1| =1
fast sicher für jedes n ∈ N und mit X0 = x0 ∈ Z fast sicher. Sei f : Z → R eine
beliebige Abbildung. Dann ist Y := (f(Xn))n∈N0 ein integrierbarer, adaptierter
Prozess (weil |f(Xn)| ≤maxx∈{x0−n,...,x0+n} |f(x)|). Um die Doob-Zerlegung
von Y zu bestimmen, definieren wir die erste und zweite (diskrete) Ableitung von f
und
f ′ (x) :=
f(x +1)− f(x − 1)
2
f ′′ (x) :=f(x − 1) + f(x +1)− 2f(x).
Wir setzen noch F ′ n := f ′ (Xn−1) und F ′′
n := f ′′ (Xn−1). Durch Unterscheidung
der Fälle Xn = Xn−1 − 1 und Xn = Xn−1 +1sehen wir, dass für jedes n ∈ N
f(Xn) − f(Xn−1) = f(Xn−1 +1)−f(Xn−1 − 1)
(Xn − Xn−1)
2
+ 1
2 f(Xn−1 − 1) + 1
2 f(Xn−1 +1)− f(Xn−1)
= f ′ (Xn−1)(Xn − Xn−1)+ 1
2 f ′′ (Xn−1)
= F ′ n · (Xn − Xn−1)+ 1 ′′
F n .
2
Insgesamt erhalten wir also die diskrete Itô-Formel
f(Xn) =f(x0)+
n�
i=1
= f(x0)+(F ′ ·X)n +
f ′ (Xi−1)(Xi − Xi−1)+
n�
i=1
1 ′′
F i .
2
n�
i=1
1
2 f ′′ (Xi−1)
(10.4)
Hierbei ist F ′ ·X das diskrete stochastische Integral (siehe Definition 9.37). Nun ist
M := f(x0)+F ′ ·X ein Martingal nach Satz 9.39, weil F ′ vorhersagbar ist (und
|F ′ n|≤maxx∈{x0−n,...,x0+n} |F ′ (x)|), und A := ��n i=1 1
�
′′
2F i ist vorhersag-
n∈N0
bar. Also ist f(X) :=(f(Xn))n∈N0 = M + A die Doob-Zerlegung von f(X).
Speziell ist natürlich f(X) ein Submartingal, wenn f ′′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ Z,wenn
also f konvex ist. Dies wussten wir zwar schon aus Satz 9.35, allerdings haben wir
hier auch noch quantifiziert, wie weit f(X) von einem Martingal abweicht.
In den Spezialfällen f(x) =x2 und f(x) =|x| ist f ′′ (x) =2beziehungsweise
f ′′ (x) =2· {0}(x), und wir erhalten aus (10.4) die Aussagen von Satz 10.4 und
Beispiel 10.8.
Später werden wir eine zu (10.4) vergleichbare Formel auch für stochastische Prozesse
in stetiger Zeit herleiten (siehe Kapitel 25.3). ✸

10.2 Optional Sampling und Optional Stopping 203
10.2 Optional Sampling und Optional Stopping
Lemma 10.10. Sei I ⊂ R höchstens abzählbar, (Xt)t∈I � ein Martingal, T ∈ I und τ
eine Stoppzeit mit τ ≤ T . Dann gilt Xτ = E[XT
�Fτ ] und speziell E[Xτ ]=E[X0].
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass E[XT A] =E[Xτ A] für jedes A ∈Fτ gilt.
Nach der Definition von Fτ ist {τ = t}∩A ∈Ft für jedes t ∈ I, also
E[Xτ A] = �
E[Xt {τ=t}∩A] = �
E � �
�
E[XT
�Ft] {τ=t}∩A
t≤T
t≤T
= �
E[XT A {τ=t}] = E[XT A]. ✷
t≤T
Satz 10.11 (Optional Sampling Theorem). Sei X =(Xn)n∈N0 ein Supermartingal,
und seien σ ≤ τ Stoppzeiten.
(i) Gibt es ein T ∈ N mit τ ≤ T , dann ist
�
Xσ ≥ E[Xτ
�Fσ] und speziell E[Xσ] ≥ E[Xτ ].IstX ein Martingal, so gilt jeweils Gleichheit.
(ii) Ist X nichtnegativ und τ < ∞ f.s., �so
gelten E[Xτ ] ≤ E[X0] < ∞,
E[Xσ] ≤ E[X0] < ∞ und Xσ ≥ E[Xτ �Fσ].
(iii) Ist allgemeiner X lediglich adaptiert und integrierbar, so ist X genau dann
ein Martingal, wenn E[Xτ ]=E[X0] für jede beschränkte Stoppzeit τ gilt.
Beweis. (i) Sei X = M + A die Doob-Zerlegung von X, also A vorhersagbar
und monoton fallend, A0 =0, und M ein Martingal. Dann ist nach Lemma 10.10,
angewandt auf M,
�
Xσ = Aσ + Mσ = E[Aσ + MT �Fσ]
�
�
≥ E[Aτ + MT
�Fσ] = E[Aτ + E[MT
�Fτ ] � �Fσ]
�
�
= E[Aτ + Mτ
�Fσ] = E[Xτ
�Fσ]. Wir haben dabei Fτ ⊃Fσ, die Turmeigenschaft und die Monotonie der bedingten
Erwartung (Satz 8.14) ausgenutzt.
n→∞
(ii) Es gilt Xτ∧n −→ Xτ fast sicher. Nach (i) gilt E[Xτ∧n] ≤ E[X0] für jedes
n ∈ N. Nach dem Lemma von Fatou ist also
Analog zeigt man E[Xσ] ≤ E[X0].
E[Xτ ] ≤ lim inf
n→∞ E[Xτ∧n] ≤ E[X0] < ∞.

204 10 Optional Sampling Sätze
Seien nun m, n ∈ N mit m ≥ n. Teil (i) mit den beschränkten Stoppzeiten τ ∧ m ≥
σ ∧ n liefert
�
Xσ∧n ≥ E[Xτ∧m
�Fσ∧n].
Für A ∈Fσ ist {σ

10.2 Optional Sampling und Optional Stopping 205
Also ist X τ ein F-Submartingal. Da X τ an F τ adaptiert und F τ die kleinere Filtration
ist, ist X auch ein F τ –Submartingal (siehe Bemerkung 9.29). ✷
Beispiel 10.16. Sei X die symmetrische einfache Irrfahrt aus Beispiel 10.8. Seien
a, b ∈ Z, a0 sowie
τa =inf{t ≥ 0:Xt = a}, τb =inf{t ≥ 0:Xt = b} und τa,b = τa ∧ τb.
τa,b ist eine Stoppzeit nach Lemma 9.18. Sei A = {τa,b = τa} das Ereignis, dass
X in a ist bevor es in b ist. Wir wollen P[A] bestimmen. Nach Übung 2.3.1 ist
fast sicher lim supn→∞ Xn = ∞ und lim infn→∞ Xn = −∞. Also ist fast sicher
τa < ∞ und τb < ∞. Nach dem Optional Stopping Theorem Xτa,b ein Martingal.
Wegen τa,b ∧ n n→∞
−→ τa,b fast sicher, gilt X τa,b n→∞
n −→ Xτa,b fast sicher. Da |Xτa,b n |
durch b − a beschränkt ist, gilt X τa,b n→∞
n −→ Xτa,b auch in L1 .Alsoist
0 = lim
n→∞ E � X τa,b�
� �
n = E Xτa,b = a · P [τa,b = τa]+b · P [τa,b = τb]
= b +(a− b) P[τa,b = τa].
Es folgt P [τa,b = τa] = b
. ✸
b − a
Beispiel 10.17. Schließlich wollen wir unsere Maschinerie benutzen, um E[τa,b]
und E[τa] zu berechnen. Der quadratische Variationsprozess 〈X〉 (vergleiche Definition
10.3) ist gegeben durch
〈X〉n =
n�
i=1
E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�Fi−1 = n,
also ist � X2 n − n �
ein Martingal. Nach dem Optional Stopping Theorem ist
n∈N0
0=E � X 2 τa,b∧n − (τa,b ∧ n) �
für jedes n ∈ N0.
Monotone Konvergenz liefert
E [τa,b] =E � X 2 � 2
τa,b = a P [τa,b = τa]+b 2 P [τa,b = τb] =|a|·b.
Um E[τa] zu berechnen, bemerken wir, dass τa,b ↑ τa fast sicher gilt, falls b →∞.
Der Satz von der monotonen Konvergenz liefert also E[τa] = lim
b→∞ E[τa,b] =∞. ✸
Bemerkung 10.18. Offenbar ist Xτb = b>0, also X0 < E � � �
Xτb
�F0 = b. Die
Aussage des Optional Sampling Theorems gilt also im Allgemeinen nicht, falls die
Stoppzeit unbeschränkt ist. ✸
Beispiel 10.19 (Gambler’s Ruin Problem). Wir betrachten ein Spiel zwischen
zwei Personen A und B. In jeder Runde wird eine Münze geworfen. Je nach Ergebnis
erhält A von B eine Geldeinheit oder B von A. Gespielt wird so lange, bis

206 10 Optional Sampling Sätze
einer der beiden Spieler ruiniert ist. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass A
zum Spielbeginn kA ∈ N Geldeinheiten hat, B hingegen kB = N − kA, wobei
N ∈ N, N ≥ kA. Gesucht ist die Ruinwahrscheinlichkeit von B. In Beispiel 10.16
haben wir für den Fall einer fairen Münze bereits ausgerechnet, dass die Ruinwahrscheinlichkeit
kA/N ist. Nun wollen wir den Fall einer unfairen Münze betrachten.
Seien also Y1,Y2,... unabhängig und P[Yi =1]=1− P[Yi = −1] = p für alle
i ∈ N und für gewisses p ∈ (0, 1) \{ 1
2 }.MitXn := kB + �n i=1 Yi bezeichnen
wir den Kontostand von B nach n Runden, wobei wir formal annehmen, dass die
Spiele weiter gehen, auch wenn ein Spieler bereits ruiniert ist. Wir definieren noch
wie oben τ0, τN und τ0,N als die ersten Eintreffzeiten von X in 0, N beziehungs-
weise {0,N}. Die Ruinwahrscheinlichkeit von B ist nun p N B := P[τ0,N = τ0].
Da X kein Martingal ist (außer im Falle p = 1
2 , den wir hier ausschließen wollen),
behelfen wir uns mit einem Trick: Wir definieren einen neuen Prozess Z durch
Zn := rXn = rkB �n i=1 rYi , wobei wir r>0 noch geeignet wählen müssen, sodass
Z ein Martingal wird. Nach Beispiel 9.31 ist dies genau dann der Fall, wenn
E[rY1 ]=pr +(1− p)r−1 =1ist, also wenn r =1oder r = 1−p
p ist. Offenbar
ist die Wahl r = 1 nutzlos, also nehmen wir r = 1−p
p an. Wir erhalten so
τ0 =inf{n ∈ N0 : Zn =1} und τN =inf{n ∈ N0 : Zn = rN }.
(Man beachte, dass wir hier nicht wie oben argumentieren können, um zu zeigen,
dass τ0 < ∞ und τN < ∞ fast sicher gilt. In der Tat ist für p �= 1
2 auch stets
nur genau eine der beiden Aussagen richtig. Allerdings erhält man, beispielsweise
durch das starke Gesetz der großen Zahl, dass lim infn→∞ Xn = ∞ (und damit
τN < ∞) fast sicher, falls p> 1
2 . Analog ist τ0 < ∞ fast sicher, falls p< 1
2 .)
Wie in Beispiel 10.16 liefert der Optional Stopping Satz r kB = Z0 = E[Zτ0,N ]=
p N B +(1− pN B )rN , also ist die Ruinwahrscheinlichkeit von B
p N B = rkB − rN . (10.5)
1 − rN Ist das Spiel vorteilhaft für B, also p> 1
2 ,soistr

10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling 207
Übung 10.2.2. Wir betrachten hier eine allgemeinere Situation als im vorangehenden
Beispiel, indem wir nur noch annehmen, dass Y1,Y2,... u.i.v. integrierbare
Zufallsvariablen sind, die nicht fast sicher konstant sind (und Xn = Y1 + ...+ Yn).
Weiter nehmen wir an, dass es ein δ > 0 gibt mit E[exp(θY1)] < ∞ für jedes
θ ∈ (−δ, δ). Wirdefinieren eine Abbildung ψ : (−δ, δ) → R durch θ ↦→
log � E[exp(θY1)] � und setzen Z θ n := exp(θXn − nψ(θ)) für n ∈ N0. Man zeige:
(i) Für jedes θ ∈ (−δ, δ) ist Zθ ist ein Martingal.
(ii) ψ ist strikt konvex.
(iii) E �� Zθ � n→∞
n −→ 0 für θ �= 0.
(iv) Z θ n
n→∞
−→ 0 fast sicher.
Interpretieren wir Yn als die Differenz zwischen Prämieneinnahmen und Schadensauszahlungen
einer Versicherungsgesellschaft zur Zeit n,sogibtk0+Xn den Kontostand
der Versicherung zur Zeit n wieder, wenn das Anfangskapital k0 > 0 beträgt.
Wir interessieren uns für die Ruinwahrscheinlichkeit
p(k0) =P � inf{Xn + k0 : n ∈ N0} < 0 �
in Abhängigkeit vom Startkapital.
Man kann davon ausgehen, dass die Prämien so kalkuliert sind, dass E[Y1] > 0.
Man zeige: Falls die Gleichung ψ(θ) =0eine Lösung θ∗ �=0hat, so ist θ∗ < 0.
Man zeige, dass in diesem Fall die Cramér-Lundberg’sche Ungleichung gilt:
p(k0) ≤ exp(θ ∗ k0). (10.8)
In dem Fall, wo Yi nur die Werte −1 und 1 annimmt und k0 ∈ N ist, gilt Gleichheit,
und wir erhalten Gleichung (10.6) mit r =exp(θ ∗ ). ♣
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling
Wir wollen jetzt das Optional Sampling Theorem auf unbeschränkte Stoppzeiten
ausweiten. Dies geht, falls das zugrunde liegende Martingal gleichgradig integrierbar
ist (vergleiche Definition 6.16).
Lemma 10.20. Sei X ein gleichgradig integrierbares Martingal. Dann ist die Familie
(Xτ : τ ist endliche Stoppzeit) gleichgradig integrierbar.
Beweis. Nach Satz 6.19) eine monoton wachsende, konvexe Funktion f :[0, ∞) →
[0, ∞) mit lim infx→∞ f(x)/x = ∞ und L := supn∈N0 E[f(|Xn|)] < ∞. Ist
τ

208 10 Optional Sampling Sätze
E � � � �
f(|Xτ |) {τ≤n} = E f(|Xτ∧n|) {τ≤n}
≤ E � E � f(|Xn|) � � �
�Fτ∧n {τ≤n}
= E � �
f(|Xn|) {τ≤n} ≤ L.
Also ist E[f(|Xτ |)] ≤ L. Nach Satz 6.19 ist (Xτ ,τ ist endliche Stoppzeit) gleichgradig
integrierbar. ✷
Satz 10.21 (Optional Sampling und gleichgradige Integrierbarkeit).
Ist (Xn, n ∈ N0) ein gleichgradig integrierbares Martingal (beziehungsweise
Supermartingal), und sind σ ≤ τ Stoppzeiten, dann gilt E[|Xτ |] < ∞ und Xσ �
�
=
E[Xτ
�Fσ] (beziehungsweise Xσ ≥ E[Xτ
�Fσ]). Beweis. Sei zunächst X ein Martingal. Für A ∈Fσ ist {σ ≤ n}∩A ∈Fσ∧n, also
nach dem Optional Sampling Theorem (Satz 10.11)
E � � � �
Xτ∧n {σ≤n}∩A = E Xσ∧n {σ≤n}∩A .
Nach Lemma 10.20 ist (Xσ∧n, n ∈ N0) und damit (Xσ∧n {σ≤n}∩A, n ∈ N0)
gleichgradig integrierbar. Analog gilt dies für Xτ . Nach Satz 6.25 gilt daher
E[Xτ A] = lim
n→∞ E�Xτ∧n �
{σ≤n}∩A = lim
n→∞ E�Xσ∧n �
{σ≤n}∩A = E[Xσ A].
�
Es folgt E[Xτ �Fσ] =Xσ.
Sei nun X ein Supermartingal. Dann hat X die Doob-Zerlegung X = M + A,
wobei M ein Martingal ist und A ≤ 0 vorhersagbar und fallend. Wegen
E[|An|] =E[−An] ≤ E[|Xn − X0|] ≤ E[|X0|]+ supE[|Xm|]
< ∞,
m∈N0
gilt An ↓ A∞ für ein A∞ ≤ 0 mit E[−A∞] < ∞. AlsoistA damit auch M =
X − A gleichgradig integrierbar (Satz 6.19). Es folgt
Ferner ist
E[|Xτ |] ≤ E[−Aτ ]+E[|Mτ |] ≤ E[−A∞]+E[|Mτ |] < ∞.
�
E[Xτ �Fσ] =E[Mτ
�
�
�Fσ]+E[Aτ �Fσ]
= Mσ + Aσ + E[(Aτ − Aσ) � �Fσ]
≤ Mσ + Aσ = Xσ. ✷
Korollar 10.22. Ist X ein gleichgradig integrierbares Martingal (beziehungsweise
Supermartingal), und sind τ1 ≤ τ2 ≤ ...endliche Stoppzeiten, so ist (Xτn )n∈N ein
Martingal (beziehungsweise Supermartingal).

11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Wir haben Martingale X =(Xn)n∈N0 als faire Spiele kennen gelernt und festgestellt,
dass sie unter gewissen Transformationen (Optionales Stoppen, diskretes stochastisches
Integral) wieder zu Martingalen werden. In diesem Kapitel werden wir
sehen, dass unter schwachen Bedingungen (Nichtnegativität oder gleichgradige Integrierbarkeit)
Martingale fast sicher konvergieren. Zudem impliziert die Martingalstruktur
die Lp-Konvergenz schon unter formal schwächeren Annahmen als denen,
die wir in Kapitel 7 gesehen haben. Die grundlegenden Ideen dieses Kapitels liegen
in der Doob’schen Ungleichung (Satz 11.2) und in der Aufkreuzungsungleichung
(Lemma 11.3).
11.1 Die Doob’sche Ungleichung
Wir haben mit der Kolmogorov’schen Ungleichung (Satz 5.28) eine Ungleichung
kennen gelernt, die analog zur Chebyshev’schen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit
für große Werte des Maximums eines quadratisch integrierbaren Prozesses mit
unabhängigen, zentrierten Zuwächsen nach oben abschätzt. An dieser Stelle wollen
wir die Ungleichung in mehrere Richtungen verbessern. Einerseits wollen wir
Martingale betrachten. Andererseits wollen wir mit weniger als zweiten Momenten
auskommen, beziehungsweise bei Anwesenheit höherer Momente die Ungleichung
verschärfen.
Sei I ⊂ N0 und X =(Xn)n∈I ein stochastischer Prozess. Wir schreiben für n ∈ N
X ∗ n =sup{Xk : k ≤ n} und |X| ∗ n =sup{|Xk| : k ≤ n}.
Lemma 11.1. Ist X ein Submartingal, dann gilt für jedes λ>0
λ P � X ∗ n ≥ λ � ≤ E � Xn {X∗ n≥λ} � � �
≤ E |Xn| {X∗ n≥λ} .
Beweis. Die zweite Ungleichung ist trivial. Für die erste betrachte
τ := inf � k ∈ I : Xk ≥ λ � ∧ n.
Nach Satz 10.11 (Optional Sampling Theorem) ist

210 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
E[Xn] ≥ E[Xτ ]=E � Xτ {X∗ n≥λ} � �
+ E Xτ {X∗ n

E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤
11.2 Martingalkonvergenzsätze 211
p
p − 1 E� (|X| ∗ n ∧ K) p� (p−1)/p · E � |Xn| p� 1/p .
Indem wir beide Seiten zur p-ten Potenz erheben und durch E � (|X| ∗ n ∧ K) p�p−1 teilen (hier wird das Abschneiden bei K gebraucht, damit wir sicher durch eine
endliche Zahl teilen), erhalten wir
E � (|X| ∗ n ∧ K) p� � �p p
≤
E
p − 1
� |Xn| p� .
Jetzt lassen wir K nach ∞ gehen. ✷
Übung 11.1.1. Sei (Xn)n∈N0 ein Submartingal oder Supermartingal. Man zeige mit
Hilfe von Satz 11.2 und der Doob-Zerlegung, dass für jedes n ∈ N und λ>0
λ P � |X| ∗ n ≥ λ � ≤ 12 E[|X0|]+9E[|Xn|]. ♣
11.2 Martingalkonvergenzsätze
In diesem Abschnitt zeigen wir die gängigen Martingalkonvergenzsätze und geben
ein paar kleinere Beispiele an. Wir beginnen mit dem Herzstück der Martingalkonvergenzsätze,
der Aufkreuzungsungleichung.
� �
Sei F =(Fn)n∈N0 eine Filtration und F∞ = σ
n∈N0 Fn
� .Sei(Xn)n∈N0 re-
ellwertig und an F adaptiert. Seien a, b ∈ R mit a < b. Stellen wir uns X als
Aktienkurs vor, so wäre es eine sinnvolle Handelsstratgie, immer dann die Aktie
zu kaufen, wenn ihr Kurs unter a gefallen ist, und zu verkaufen, sobald der Kurs
wieder über b gestiegen ist – jedenfalls dann, wenn wir sicher wissen, dass der Kurs
immer wieder über b steigt. Jedes Mal, wenn der Kurs der Aktie eine solche Aufkreuzung
von a nach b macht, erhalten wir einen Gewinn von mindestens b − a.
Indem wir den maximal möglichen Gewinn nach oben abschätzen, erhalten wir eine
obere Abschätzung für die Zahl der Aufkreuzungen. Ist diese aber endlich für je
zwei Werte a

212 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Lemma 11.3 (Aufkreuzungsungleichung). Es sei (Xn)n∈N0 ein Submartingal.
Dann ist
E � U a,b�
E[(Xn − a)
n ≤ + ] − E[(X0 − a) + ]
.
b − a
Beweis. Wir erinnern an das diskrete stochastische Integral (Definition 9.37) H ·X
und beschreiben formal die oben angedeutete Handelsstrategie H durch m ∈ N0
�
1, falls m ∈{τk +1,...,σk} für ein k ∈ N,
Hm :=
0, sonst.
H ist nichtnegativ und vorhersagbar, denn für m ∈ N ist
{Hm =1} =
∞� �
{τk ≤ m − 1}∩{σk >m− 1} � ,
k=1
und jedes der Ereignisse liegt in Fm−1. Setze Y = max(X, a). Istk∈ N und
σk < ∞, so ist offenbar Yσi − Yτi = Yσi − a ≥ b − a für jedes i ≤ k , also ist
(H ·Y )σk =
k�
σi �
i=1 j=τi+1
(Yj − Yj−1) =
k�
(Yσi − Yτi ) ≥ k(b − a).
Für j ∈{σk,...,τk+1} ist (H ·Y )j =(H ·Y )σk , und für j ∈{τk +1,...,σk} ist
(H ·Y )j ≥ (H ·Y )τk =(H ·Y )σk−1 .Für n ∈ N ist daher (H ·Y )n ≥ (b − a)U a,b
n .
Nach Korollar 9.34 ist Y ein Submartingal, und damit (nach Satz 9.39) auch H ·Y
und (1 − H)·Y . Nun ist Yn − Y0 =(1·Y )n =(H ·Y )n + ((1 − H)·Y )n, also
E[Yn − Y0] ≥ E � � � � a,b
(H ·Y )n ≥ (b − a)E Un . ✷
Satz 11.4 (Martingalkonvergenzsatz).
Sei (Xn)n∈N0 ein Submartingal mit sup{E[X+ n ]: n ≥ 0} < ∞. Dann existiert
n→∞
eine F∞-messbare Zufallsvariable X∞ mit E[|X∞|] < ∞ und Xn −→ X∞
fast sicher.
Beweis. Für a

und
C = �
a,b∈Q
a

214 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Bemerkung 11.8. Die Aussage von Satz 11.7 lässt sich so ausdrücken: Der Prozess
(Xn) n∈N0∪{∞} ist ein (Sub-, Super-) Martingal bezüglich (Fn) n∈N0∪{∞}. ✸
Beweis. Wir führen den Beweis für den Fall, wo X ein Submartingal ist. Gleichgradige
Integrierbarkeit impliziert sup{E[X + n ]: n ≥ 0} < ∞. Nach Satz 11.4 existiert
der fast sichere Limes X∞. Nach Satz 6.25 gilt dann E[|Xn − X∞|] n→∞
−→ 0.
Nach Korollar 8.20 impliziert diese L1-Konvergenz schon die L1-Konvergenz der
bedingten Erwartungen E �� �
�
�E[Xn �Fm] − E[X∞
�Fm] � � � n→∞
−→ 0. DaX ein Submartingal
ist, ist � � �− E[Xn
�Fm] − Xm =0für n ≥ m. Die Dreiecksungleichung
liefert also
� �E[X∞ � � �
−
E �Fm] − Xm = lim
n→∞ E
� �E[Xn � � �
− �Fm] − Xm =0.
�
Es folgt, dass E[X∞ �Fm] − Xm ≥ 0 fast sicher. ✷
Korollar 11.9. Sei X ≥ 0 ein Martingal und X∞ = lim
n→∞ Xn. Genau dann ist
E[X∞] =E[X0], wennX gleichgradig integrierbar ist.
Beweis. Das folgt direkt aus Satz 6.25. ✷
Sei p ∈ [1, ∞). Ein reellwertiger stochastischer Prozess (Xi)i∈I heißt L p –beschränkt,
falls sup i∈I E[|Xi| p ] < ∞ (Definition 6.20). Im Allgemeinen folgt aus
der L p –Beschränktheit eines Prozesses (Xi)i∈I nicht, dass (|Xi| p )i∈I gleichgradig
integrierbar wäre. Ist X ein Martingal und p > 1, so folgt dies jedoch aus
der Doob’schen Ungleichung. Insbesondere folgt dann aus fast sicherer Konvergenz
schon die Konvergenz in L p .
Satz 11.10 (Lp-Konvergenzsatz für Martingale).
Sei p>1 und (Xn)n∈N0 ein Lp-beschränktes Martingal. Dann existiert eine F∞messbare
Zufallsvariable X∞ mit E[|X∞| p n→∞
] < ∞, sowie Xn −→ X∞ fast
gleichgradig integrierbar.
sicher und in L p . Speziell ist (|Xn| p )n∈N0
Beweis. Nach Korollar 6.21 ist X gleichgradig integrierbar. Also existiert der fast
sichere Limes X∞. Nach der Doob’schen Ungleichung (Satz 11.2) ist für n ∈ N
E � sup � |Xk| p : k ≤ n �� � �p p
≤
E
p − 1
� |Xn| p� .
Also ist
�
E sup � |Xk| p �
: k ∈ N0
� � �p p
�
≤
sup E
p − 1
� |Xn| p� �
: n ∈ N0 < ∞.
Insbesondere ist (|Xn| p )n∈N0 also gleichgradig integrierbar.
Majorisierte Konvergenz liefert (wegen |Xn − X∞| p ≤ 2p sup{|Xn| p : n ∈ N0})
E � |X∞| p� < ∞ und E � |Xn − X∞| p� n→∞
−→ 0. ✷

11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
Für den Fall quadratintegrierbarer Martingale gibt es ein handliches Kriterium für
die L 2 -Beschränktheit, das wir hier als Korollar festhalten (siehe Definition 10.3).
Korollar 11.11. Sei X ein quadratintegrierbares Martingal X mit quadratischem
Variationsprozess 〈X〉. Dann sind folgende vier Aussagen äquivalent:
(i) supn∈N E[X2 n] < ∞,
(ii) limn→∞ E[〈X〉n] < ∞,
(iii) X konvergiert in L2 ,
(iv) X konvergiert fast sicher und in L2 .
Beweis. (i) ⇐⇒ (ii)“ Wegen Var[Xn − X0] =E[〈X〉n] (siehe Satz 10.4) ist
”
X genau dann in L2 beschränkt, wenn (ii) gilt.
” (iv) =⇒ (iii) =⇒ (i)“ Dies ist trivial.
” (i) =⇒ (iv)“ Dies ist die Aussage von Satz 11.10. ✷
Bemerkung 11.12. Die Aussage von Satz 11.10 ist für p = 1 im Allgemeinen
falsch. Siehe Übung 11.2.1. ✸
Lemma 11.13. Sei X ein quadratintegrierbares Martingal mit quadratischem Variationsprozess
〈X〉, und sei τ eine Stoppzeit. Dann hat der gestoppte Prozess X τ
den quadratischen Variationsprozess 〈X τ 〉 = 〈X〉 τ := (〈X〉τ∧n)n∈N0 .
Beweis. Übung! ✷
Nehmen wir statt wie in Korollar 11.11 nicht die Beschränktheit der Erwartungswerte
der quadratischen Variation an, sondern lediglich die fast sichere Beschränktheit,
so erhalten wir immerhin noch fast sichere Konvergenz von X, im Allgemeinen
nicht jedoch L 2 -Konvergenz.
Satz 11.14. Sei X ein quadratintegrierbares Martingal mit sup n∈N〈X〉n < ∞ fast
sicher. Dann konvergiert X fast sicher.
Beweis. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass X0 =0ist, sonst betrachten
wir das Martingal (Xn − X0)n∈N0 , das den selben quadratischen Variationsprozess
hat. Betrachte für K>0
τK := inf{n ∈ N : 〈X〉n+1 ≥ K}.
Dies ist eine Stoppzeit, da 〈X〉 vorhersagbar ist. Offenbar ist supn∈N〈X〉τK∧n ≤ K
fast sicher. Nach Korollar 11.11 konvergiert der gestoppte Prozess XτK fast sicher
(und in L2 ) gegen eine Zufallsvariable, die wir XτK ∞ nennen wollen. Nach Voraussetzung
gilt P[τK = ∞] → 1 für K →∞, also konvergiert X fast sicher. ✷

216 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Beispiel 11.15. Sei X die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z, das heißt Xn �
=
n
k=1 Rk, wobei R1,R2,... u.i.v. sind mit P[R1 =1]=1− P[R1 = −1] = 1
2 .
Dann ist X ein Martingal, jedoch ist lim supn→∞ Xn = ∞ und lim infn→∞ Xn =
−∞, also X nicht einmal uneigentlich konvergent. Dies geht nach dem Martingalkonvergenzsatz
einher damit, dass X nicht gleichgradig integrierbar ist. ✸
Beispiel 11.16 (Wählermodell). Wir betrachten ein einfaches Modell zum Verhalten
von opportunistischen Wählern, die nur einer von zwei Meinungen (zu einem
politischen Thema) fähig sind, sagen wir 0 und 1. Wir betrachten eine Menge
Λ ⊂ Zd , die wir als die Menge der Orte auffassen, an denen je ein Individuum
sitzt. Zur Einfachheit nehmen wir an, dass Λ = {0,...,L− 1} d für ein L ∈ N.Mit
x ∈{0, 1} Λ bezeichnen wir einen generischen Zustand des gesamten Wahlvolkes,
wobei x(i) ∈{0, 1} die Meinung des Individuums i ∈ Λ ist. Wir stellen uns nun
vor, dass sich die Meinungen in diskreten Zeitschritten ändern. Zu jedem Zeitpunkt
n vergisst ein zufällig gewähltes Individuum In seine Meinung und übernimmt stattdessen
die Meinung eines zufällig gewählten Nachbarn In + Nn, wobei wir die
Addition als komponentenweise modulo L verstehen (manchmal wird dies auch
periodische Randbedingungen genannt, weil wir Λ als diskreten Torus auffassen).
So erhalten wir eine zufällige Folge (Xn)n∈N0 von Zuständen in {0, 1}Λ , die die
zufällige Entwicklung der Meinungen darstellt.
Um noch einmal formal zu fassen, was wir gerade beschrieben haben: Wir betrachten
unabhängige Zufallsvariablen (In)n∈N und (Nn)n∈N. Für jedes n ∈ N sei In
uniform verteilt auf Λ und Nn uniform verteilt auf den 2d direkten Nachbarn des
Ursprungs N := {i ∈ Zd : �i�2 =1}. Zudem ist x = X0 ∈{0, 1} Λ der ursprüngliche
Zustand. Die weiteren Zustände definieren wir induktiv durch
�
Xn−1(i), falls In �= i,
Xn(i) =
Xn−1(In + Nn), falls In = i.
Wir interessieren uns jetzt für das Langzeitverhalten von (Xn)n∈N0 .Wirdesauf
lange Sicht einen Konsens unter allen Individuen geben, oder können zwei konkurrierende
Meinungen koexistieren? Wir betrachten dazu die Gesamtzahl aller Individuen
mit Meinung 1 zur Zeit n, nämlich Mn := �
i∈Λ Xn(i). SeiFdie Filtration
F =(Fn)n∈N0 , wobei Fn = σ(Ik, Nk : k ≤ n) ist für jedes n ∈ N0. DannistM
an F adaptiert und
�
E[Mn
�Fn−1] =Mn−1 − E[Xn−1(In) � �Fn−1]+E[Xn−1(In + Nn) � �Fn−1] = Mn−1 + �
P[In = i] Xn−1(i) − �
P[In + Nn = i] Xn−1(i)
= Mn−1,
i∈Λ
weil P[In = i] = P[In + Nn = i] = L −d für jedes i ∈ Λ. AlsoistM ein
beschränktes F-Martingal und damit fast sicher und in L 1 konvergent gegen eine
Zufallsvariable M∞.DaM nur ganzzahlige Werte annimmt, gibt es ein (zufälliges)
i∈Λ

11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
n0, sodass Mn = Mn0 für jedes n ≥ n0. Damit ist aber auch Xn = Xn0 für jedes
n ≥ n0. Offenbar ist jedoch kein Zustand x mit x �≡ 0 und x �≡ 1 stabil, denn hier
gilt, falls i und j in Λ benachbart sind und x(i) �= x(j),
�
P[Xn �= Xn−1
�Xn−1 = x] ≥ P[In−1 = i, Nn−1 = j − i] =L −d (2d) −1 .
Es muss also M∞ ∈{0,L d } gelten. Nun ist aber E[M∞] =M0, also gilt
P � M∞ = L d � = M0
Ld und P � M∞ =0 � =1− M0
.
Ld Etwas formaler sehen wir den Sachverhalt, dass nur die beiden extremen Zustände
stabil sind, so ein: Wir betrachten den quadratischen Variationsprozess 〈M〉 von M.
Dann ist
n�
n�
〈M〉n = {Mk�=Mk−1} =
Also ist
k=1
k=1
L 2d ≥ Var[Mn] =E[〈M〉n]
n�
=
k=1
{Xk−1(Ik)�=Xk−1(Ik+Nk)}.
P[Xk−1(Ik) �= Xk−1(Ik + Nk)]
≥ (2d) −1 L −d
n�
k=1
P[Mk−1 �∈ {0,L d }].
Es folgt, dass � ∞
k=1 P[Mk−1 �∈ {0,L d }] ≤ 2dL 3d < ∞, also ist nach dem Lemma
von Borel-Cantelli M∞ ∈{0,L d }. ✸
Beispiel 11.17 (Satz von Radon-Nikodym). Wir wollen mit Hilfe des Martingalkonvergenzsatzes
einen alternativen Beweis des Satzes von Radon-Nikodym (Korollar
7.34) angeben.
Sei (Ω,F, P) ein W-Raum und Q ein weiteres W-Maß auf (Ω,A). Wir nehmen
zudem an, dass F abzählbar erzeugt ist, dass es also (höchstens) abzählbar viele
Mengen A1,A2,...∈Fgibt, sodass F = σ({A1,A2,...}). Dies ist beispielsweise
dann richtig, wenn F die Borel’sche σ-Algebra auf einem polnischen Raum ist.
Speziell können wir für den Fall Ω = Rd offene Kugeln mit rationalen Radien und
rationalen Zentren nehmen.
Wir bilden nun eine Filtration F =(Fn)n∈N, indem wir Fn := σ({A1,...,An})
setzen. Offenbar ist #Fn < ∞ für jedes n ∈ N. Genauer gilt, dass es eine endliche
(eindeutig bestimmte) Teilmenge Zn ⊂Fn \ {∅} gibt mit B = �
C für jedes
C∈Zn
C⊂B
B ∈Fn. Zn ist die Zerlegung von Fn in ” Atome“. Schließlich definieren wir einen
stochastischen Prozess (Xn)n∈N durch

218 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Xn :=
�
C∈Zn: P[C]>0
Q(C)
P[C] C.
Offenbar ist X an F adaptiert. Sei B ∈Fnund m ≥ n. Für jedes C ∈ Zm gilt
entweder C ∩ B = ∅ oder C ⊂ B.Alsoist
E[Xm B] = � Q(C)
P[C ∩B] =
P[C] �
Q(C) =Q(B). (11.1)
C∈Zm: P[C]>0
Insbesondere ist X also ein F-Martingal.
C∈Zm: C⊂B
Wir nehmen nun an, dass Q absolutstetig bezüglich P ist. Nach Beispiel 7.39 ist X
dann gleichgradig integrierbar. Nach dem Martingalkonvergenzsatz konvergiert X
fast sicher und in L1 gegen eine Zufallsvariable X∞. Nach (11.1) ist E[X∞ B] =
Q(B) für jedes B ∈ �
n∈N Fn, also auch für jedes B ∈F. Mithin ist X∞ die
Radon-Nikodym-Dichte von Q bezüglich P.
Man beachte, dass wir für diesen Beweis des Satzes von Radon-Nikodym nirgends
die Existenz bedingter Erwartungen vorausgesetzt haben, also nicht in versteckter
Weise auf den Satz selber zurückgegriffen haben.
Man könnte einwenden, dass wir hier nur den Spezialfall von W-Maßen behandeln
konnten. Dieser Mangel kann jedoch sehr leicht behoben werden: Sind μ und ν
beliebige (jedoch von Null verschiedene) σ-endliche Maße, dann gibt es messbare
Funktionen g, h : Ω → (0, ∞) mit � gdμ =1und � hdν =1. Wir setzen nun
P = gμ und Q = hν. Offenbar gilt genau dann Q ≪ P, wennν≪μ. In diesem
Fall ist g
hX∞ eine Version der Radon-Nikodym-Ableitung dν
dμ .
Auf die Einschränkung, dass F abzählbar erzeugt werden kann, kann man ebenfalls
verzichten. Mit Hilfe der Approximationssätze für Maße kann man zeigen, dass es
stets eine abzählbar erzeugte σ-Algebra G⊂Fgibt, sodass für jedes A ∈Fein
B ∈Gexistiert mit P[A △ B] =0. Hiermit lässt sich der allgemeine Fall beweisen.
Wir führen dies hier nicht aus, sondern verweisen auf [157, Kapitel 14.13]. ✸
Übung 11.2.1. Die Aussage von Satz 11.10 ist für p =1im Allgemeinen falsch.
Man gebe ein Beispiel an für ein nichtnegatives Martingal X mit E[Xn] =1für
n→∞
jedes n ∈ N, aber Xn −→ 0 fast sicher. ♣
Übung 11.2.2. Seien X1,X2,...unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen
mit �∞ n=1 1
n2 Var[Xn] < ∞. Man zeige mit Hilfe des Martingalkonvergenzsatzes
das starke Gesetz der großen Zahl für (Xn)n∈N. ♣
Übung 11.2.3. Man gebe ein Beispiel an für ein quadratisch integrierbares Martingal,
das fast sicher konvergiert, aber nicht in L 2 . ♣
Übung 11.2.4. Man zeige: In Satz 11.14 gilt im Allgemeinen nicht die Umkehrung.
Das heißt, es gibt ein quadratintegrierbares Martingal X, das fast sicher konvergiert,
für das aber nicht gilt, dass lim
n→∞ 〈X〉n < ∞ fast sicher. ♣

11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess 219
Übung 11.2.5. Man zeige: In Satz 11.14 gilt die Umkehrung unter der zusätzlichen
Annahme, dass es ein K>0 gibt mit |Xn − Xn−1| ≤K f.s. für jedes n ∈ N. ♣
Übung 11.2.6. Sei (Fn)n∈N0 eine Filtration und (An)n∈N Ereignisse. Setze A∗ =
lim supn→∞ An und A∞ = � �∞ n=1 P[An |Fn−1] =∞ � . Man zeige die bedingte
Version des Borel-Cantelli Lemmas: P[A∞ △ A∗ ]=0.
Hinweis: Wende Übung 11.2.5 an auf Xn = �∞ n=1 ( An − P[An |Fn−1]). ♣
Übung 11.2.7. Sei p ∈ [0, 1] und X =(Xn)n∈N0 ein stochastischer Prozess mit
Werten in [0, 1]. Für jedes n ∈ N0 gelte: Gegeben X0,...,Xn ist
�
1 − p + pXn mit Wahrscheinlichkeit Xn,
Xn+1 =
pXn mit Wahrscheinlichkeit 1 − Xn.
Man zeige, dass X ein Martingal ist und fast sicher konvergiert. Man bestimme die
Verteilung des fast sicheren Grenzwerts limn→∞ Xn. ♣
Übung 11.2.8. Sei f ∈L1 (λ), wobei λ die Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf
[0, 1] bezeichnet. Sei In,k =[k2−n , (k +1)2−n ) für n ∈ N und k =0,...,2n − 1.
Definiere fn :[0, 1] → R durch
fn(x) =2 n
�
fdλ, falls k so gewählt ist, dass x ∈ Ik,n.
Ik,n
Zeige: Für λ-fast alle x ∈ [0, 1] gilt fn(x) n→∞
−→ f(x). ♣
Übung 11.2.9. Sei (Ω,A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration F =
(Fn)n∈N. SeiF∞ := σ(Fn : n ∈ N), und sei M der Vektorraum der gleichgradig
integrierbaren F-Martingale. Man zeige: die Abbildung Φ : L 1 (F∞) →M, X∞ ↦→
(E[X∞ |Fn])n∈N ist ein Vektorraumisomorphismus. ♣
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
Sei p =(pk)k∈N0 ein Wahrscheinlichkeitsvektor auf N0 und (Zn)n∈N0 der Galton-
Watson-Prozess mit einem Urahn und Nachkommenverteilung p (siehe Definition
3.9). Zur Erinnerung geben wir die Konstruktion von Z an. Seien (Xn,i)n∈N0,i∈N
u.i.v. Zufallsvariablen P[X1,1 = k] =pk für k ∈ N0. Setze Z0 =1und induktiv
Zn
Zn+1 =
i=1
�
Xn,i für n ∈ N0.
Wir interpretieren Zn als Größe einer Population zur Zeit n und Xn,i als Anzahl der
Nachkommen des i-ten Individuums aus der n-ten Generation.
Seien m := E[X1,1] < ∞ die erwartete Kinderanzahl pro Individuum und σ 2 :=
Var[X1,1] ∈ (0, ∞) die Varianz der Kinderzahl. Setze Fn := σ(Xk,i : k

220 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Lemma 11.18. W ist ein Martingal. Speziell ist E[Z n ]=m n für jedes n ∈ N.
Beweis. Wir berechnen die bedingte Erwartung für n ∈ N0:
�
E[Wn+1
�Fn] =m −(n+1) �
E[Zn+1
�Fn] = m −(n+1) � �
Zn � �
E Xn,i
�Fn
= m −(n+1)
= m −n
i=1
∞�
E � � �
{Zn=k}k · Xn,i
�Fn
k=1
∞�
E � � �
k · �Fn
{Zn=k}
k=1
= m −n Zn = Wn. ✷
Satz 11.19. Sei Var[X1,1] ∈ (0, ∞). Es existiert der fast sichere Limes W∞ =
lim
n→∞ Wn, und es gilt
m>1 ⇐⇒ E[W∞] =1 ⇐⇒ E[W∞] > 0.
Beweis. W∞ existiert, weil W ≥ 0 ein Martingal ist. Ist m ≤ 1, so folgt, dass
(Zn)n∈N f.s. gegen ein Z∞ konvergiert. Wegen σ2 > 0 kommt nur Z∞ =0in
Frage.
Sei nun m>1. Es gilt nach dem Satz von Blackwell-Girshick (Satz 5.10) wegen
E[Zn−1] =mn−1 (Lemma 11.18)
Var[Wn] =m −2n � σ 2 E[Zn−1]+m 2 Var[Zn−1] �
= σ 2 m −(n+1) + Var[Wn−1].
Induktiv folgt Var[Wn] =σ 2
n+1 �
m
k=2
−k ≤ σ2 m
m − 1 < ∞. AlsoistWin L2 beschränkt,
und Satz 11.10 liefert, dass Wn → W∞ in L2 und damit auch in L1 .
Speziell ist E[W∞] =E[W0] =1. ✷
Unter der Annahme der endlichen Varianz waren die Aussagen von Satz 11.19 nicht
schwer zu zeigen. Es gilt aber eine viel stärkere Aussage, die wir hier nur zitieren
(siehe [94], beziehungsweise [108] für einen modernen Beweis).
Satz 11.20 (Kesten-Stigum (1966)). Sei m>1. Dann sind äquivalent
(i) E[W∞] =1,
(ii) E[W∞] > 0,
(iii) E[X1,1 log(X1,1) + ] < ∞.

12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Bei vielen Datenerhebungen, etwa Telefonumfragen, ist die Reihenfolge, in der die
Daten kommen, unerheblich. Mathematisch sprechen wir von austauschbaren Zufallsvariablen,
wenn sich die gemeinsame Verteilung unter endlichen Vertauschungen
nicht ändert. Der Struktursatz für austauschbare Zufallsvariablen von de Finetti
besagt, dass sich eine unendlich große austauschbare Familie von Zufallsvariablen
mit Werten im Raum E als Zweistufenexperiment beschreiben lässt: In der ersten
Stufe wird eine zufällige Wahrscheinlichkeitsverteilung Ξ auf E ausgewürfelt. In
der zweiten Stufe werden die Zufallsvariablen u.i.v. mit Verteilung Ξ realisiert.
Wir definieren zunächst den Begriff der Austauschbarkeit. Danach betrachten wir
Rückwärtsmartingale und zeigen den Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale.
Dieser ist der Eckstein für den Beweis des Satzes von de Finetti.
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen
Definition 12.1. Sei I eine beliebige Indexmenge und E ein polnischer Raum. Eine
Familie (Xi)i∈I von Zufallsvariablen mit Werten in E heißt austauschbar, falls für
jede endliche Permutation ϱ : I → I gilt, dass
L
��Xϱ(i) �
i∈I
�
= L � �
(Xi) i∈I .
Als endliche Permutation bezeichnen wir dabei eine Bijektion ϱ : I → I, die alle
bis auf endlich viele Koordinaten unverändert lässt.
Bemerkung 12.2. Offenbar sind äquivalent:
(i) (Xi)i∈I ist austauschbar.
(ii) Für n ∈ N und paarweise unterschiedliche i1,...,in ∈ I sowie paarweise
unterschiedliche j1,...,jn ∈ I gilt L[(Xi1 ,...,Xin )] = L[(Xj1 ,...,Xjn )].
Insbesondere sind austauschbare Zufallsvariablen stets identisch verteilt (dies ist (ii)
mit n =1). ✸

222 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Beispiel 12.3. (i) Ist (Xi)i∈I u.i.v., so ist (Xi)i∈I austauschbar.
(ii) In einer Urne seien N Kugeln, davon M schwarz. Wir ziehen sukzessive ohne
Zurücklegen alle Kugeln und setzen
�
1, falls die n-te Kugel schwarz ist,
Xn :=
0, sonst.
Dann ist (Xn)n=1,...,N austauschbar. Dies folgt aus elementarer Kombinatorik,
denn für jede Wahl von x1,...,xN ∈{0, 1} mit x1 + ...+ xN = M ist offenbar
P � � 1
X1 = x1,...,XN = xN = �.
Diese Formel können wir aber auch formal durch eine kleine Rechnung mit bedingten
Wahrscheinlichkeiten herleiten, die wir in ähnlicher Form für das Pólya’sche
Urnenmodell in Beispiel 12.29 noch einmal durchführen werden. Setze dazu sk =
x1 + ...+ xk für k =0,...,N und
�
M − sk, falls x =1,
gk(x) =
N − M + sk − k, falls x =0.
Dann ist P[X1 = x1] =g0(x1)/N und
P[Xk+1 = xk+1 |X1 = x1,...,Xk = xk] = gk(xk+1)
N − k
� N
M
für k =1,...,N − 1.
Ferner ist offenbar gk(0) = N − M − l, wobei l =#{i

12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen 223
Sei X =(Xn)n∈N ein stochastischer Prozess mit Werten in einem polnischen Raum
E.SeiS(n) die Menge der Permutationen ϱ : {1,...,n}→{1,...,n}. Wir fassen
ϱ ebenfalls als Abbildung N → N auf durch ϱ(k) =k für k>n.Für ϱ ∈ S(n)
und x =(x1,...,xn) ∈ E n schreiben wir x ϱ =(x ϱ(1),...,x ϱ(n)). Für x ∈ E N
schreiben wir analog x ϱ =(x ϱ(1),x ϱ(2),...) ∈ E N .IstE ′ ein weiterer polnischer
Raum, so definieren wir für messbare Abbildungen f : E n → E ′ und F : E N → E ′
die Abbildungen f ϱ und F ϱ durch f ϱ (x) =f(x ϱ ) und F ϱ (x) =F (x ϱ ). Ferner
schreiben wir f(x) =f(x1,...,xn) auch, falls x ∈ E N .
Definition 12.4. (i) Eine Abbildung f : En → E ′ heißt symmetrisch, falls f ϱ =
f ist für jedes ϱ ∈ S(n).
(ii) Eine Abbildung F : EN → E ′ heißt n-symmetrisch, falls F ϱ = F für jedes
ϱ ∈ S(n). F heißt symmetrisch, falls Fn-symmetrisch ist für jedes n ∈ N.
Beispiel 12.5. (i) Für x ∈ RN definieren wir das n-te arithmetische Mittel durch
an(x) = 1 �n n i=1 xi. Offenbar ist an eine n-symmetrische Abbildung (aber nicht
m-symmetrisch für ein m>n). Weiter definiert ā(x) := lim sup an(x) eine sym-
n→∞
metrische Abbildung RN → R ∪{−∞, +∞}.
(ii) Die Abbildung s : RN → [0, ∞], x ↦→ �∞ i=1 |xi| ist symmetrisch. Anders als
ā hängt der Wert von s von jeder einzelnen Koordinate ab, falls er endlich ist.
(iii) Für x ∈ EN �
definieren wir die n-te empirische Verteilung durch ξn(x) =
1 n
n i=1 δxi . Offenbar ist ξn eine n-symmetrische Abbildung.
(iv) Sei k ∈ N und ϕ : Ek → R eine Abbildung. Das n-te symmetrisierte Mittel
An(ϕ) :E N → R, x ↦→ 1
n!
�
ϕ(x ϱ ) (12.1)
ϱ∈S(n)
ist eine n-symmetrische Abbildung. ✸
Definition 12.6. Sei X =(Xn)n∈N ein stochastischer Prozess mit Werten in E.Für
n ∈ N sei En := σ(F ◦ X : F : E N → R ist messbar und n-symmetrisch) die
σ-Algebra der unter allen Permutation ϱ ∈ S(n) invarianten Ereignisse. Ferner sei
E :=
∞�
En = σ � F ◦ X : F : E N → R ist messbar und symmetrisch �
n=1
die σ-Algebra der austauschbaren Ereignisse für X, oder kurz die austauschbare
σ-Algebra.
Bemerkung 12.7. Ist A ∈ σ(Xn, n∈ N) ein Ereignis, so gibt es ein messbares
B ⊂ E N mit A = {X ∈ B}. Schreiben wir A ϱ = {X ϱ ∈ B} für ϱ ∈ S(n), soist
En = {A : A ϱ = A für alle ϱ ∈ S(n)}. Dies rechtfertigt den Namen ” austauschbares
Ereignis“. ✸

224 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Bemerkung 12.8. Schreiben wir Ξn(ω) :=ξn(X(ω)) = 1 �n n i=1 δXi(ω) für die
n-te empirische Verteilung, so ist nach Übung 12.1.1 En = σ(Ξn). ✸
Bemerkung 12.9. Bezeichnen wir mit T = �
n∈N σ(Xn+1,Xn+2,...) die terminale
σ-Algebra, so ist T ⊂ E, wobei im Falle #E ≥ 2 strikte Inklusion gilt.
In der Tat: Offenbar ist σ(Xn+1,Xn+2,...) ⊂En für n ∈ N, alsoT ⊂ E. Sei nun
#E ≥ 2.Wähle ein messbares B ⊂ E mit B �= ∅ und B c �= ∅. Die Zufallsvariable
S := � ∞
n=1 B(Xn) ist messbar bezüglich E, nicht aber bezüglich T . ✸
Satz 12.10. Sei X = (Xn)n∈N austauschbar. Ist ϕ : E k → R messbar und
E[|ϕ(X)|] < ∞, dann gilt für jedes n ≥ k und jedes ϱ ∈ S(n)
Speziell ist
E[ϕ(X)|En] =E[ϕ(X ϱ )|En]. (12.2)
E[ϕ(X) � � En] =An(ϕ) := 1
n!
�
ϱ∈S(n)
ϕ(X ϱ ). (12.3)
Beweis. Sei A ∈En und F = X(A). DannistF ◦ X = A. Nach der Definition
von En ist also F : E N → R messbar, n-symmetrisch und beschränkt. Daher ist
E � ϕ(X)F (X) � = E � ϕ(X ϱ )F (X ϱ ) � = E � ϕ(X ϱ )F (X) � ,
wobei wir in der ersten Gleichung die Austauschbarkeit von X benutzt haben, in der
zweiten hingegen die Symmetrie von F . Hieraus folgt (12.2). Nun ist aber An(ϕ)
schon En-messbar, also ist
⎡
⎤
E � ϕ(X) � �
�En = E ⎣ 1
n!
�
ϱ∈S(n)
ϕ(X ϱ �
�
) �
� En
Heuristik zur Struktur austauschbarer Familien
⎦ = 1
n!
�
ϱ∈S(n)
ϕ(X ϱ ). ✷
Wir betrachten eine endliche, austauschbare Familie X1,...,XN von E-wertigen
Zufallsvariablen. Wie sieht für n ≤ N die bedingte Verteilung von (X1,...,Xn)
gegeben ΞN aus? Für jedes messbare A ⊂ E kommt {Xi ∈ A} für genau NΞN(A)
viele i ∈{1,...,N} vor, wobei die Reihenfolge des Auftretens keinen Einfluss auf
die Wahrscheinlichkeit hat. Wir sind also in der Situation des Ziehens von gefärbten
Kugeln ohne Zurücklegen. Genauer gesagt können wir annehmen, dass die paarweise
unterschiedlichen e1,...,ek ∈ E die Atome von ΞN mit Häufigkeiten
N1,...,Nk sind, dass also ΞN = �k i=1 =(Ni/N )δei gilt. Wir haben es also mit
Kugeln in k Farben zu tun, wobei von der i-ten Farbe genau Ni Kugeln vorhanden
sind. Wir ziehen n dieser Kugeln ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge.
Bis auf die Beachtung der Reihenfolge ist die resultierende Verteilung also

12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen 225
die allgemeine hypergeometrische Verteilung (siehe etwa [58, Abschnitt 2.3.2]). Es
gilt also für paarweise disjunkte, messbare Mengen A1,...,Ak mit �k l=1 Al = E,
für i1,...,in ∈{1,...,k}, paarweise unterschiedliche j1,...,jn ∈{1,...,N}
und mit der Festlegung ml := #{r ∈{1,...,n} : ir = l} für l ∈{1,...,k}
P � Xjr ∈ Air für jedes r =1,...,n� �
k� 1 �
�ΞN = NΞN(Al)
(N)n l=1
�ml , (12.4)
wobei wir (n)l := n(n − 1) ···(n − l +1)definieren.
Was passiert nun, wenn wir N →∞gehen lassen? Wir nehmen hier der Einfachheit
halber an, dass der Limes Ξ∞(Al) = limN→∞ ΞN(Al) für jedes l =1,...,k in
einem geeigneten Sinne existiert. Dann wird aus (12.4) formal
P � Xjr ∈ Air für jedes r =1,...,n� �
n�
�Ξ∞ = Ξ∞(Al) ml . (12.5)
Aus dem Ziehen der Kugeln ohne Zurücklegen wird nun also asymptotisch für
große Kugelanzahl das Ziehen mit Zurücklegen. Damit sind die Zufallsvariablen
X1,X2,...unabhängig mit Verteilung Ξ∞ gegeben Ξ∞.
Einen formalen Beweis, der entlang der von dieser Heuristik vorgezeichneten Linie
verläuft, bringen wir in Kapitel 13.4.
Um diese Aussage, den so genannten Satz von de Finetti, in Abschnitt 12.3 rigoros
zu formulieren und zu beweisen, brauchen wir noch etwas Begriffsbildung (etwa
bedingte Unabhängigkeit). Als technisches Hilfsmittel verwenden wir in diesem
Kapitel den Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale, den wir in Abschnitt 12.2
formulieren.
Übung 12.1.1. Sei n ∈ N. Man zeige, dass sich jede symmetrische Funktion f :
En → R schreiben lässt als f(x) =g � � 1 n
n i=1 δxi
�
, wobei g (abhängig von f)
geeignet zu wählen ist. ♣
Übung 12.1.2. Man leite (12.4) formal her. ♣
Übung 12.1.3. Seien X1,...,Xn austauschbare quadratintegrierbare Zufallsvariablen.
Man zeige
Cov[X1,X2] ≥− 1
n − 1 Var[X1]. (12.6)
Man gebe für n ≥ 2 ein (nichttriviales) Beispiel für Gleichheit in (12.6) an. ♣
Übung 12.1.4. Seien X1,X2,X3 ...austauschbare, quadratintegrierbare Zufallsvariablen.
Man zeige, dass Cov[X1,X2] ≥ 0 gilt. ♣
Übung 12.1.5. Man zeige: Für jedes n ∈ N\{1} gibt es eine austauschbare Familie
von Zufallsvariablen X1,...,Xn, die nicht zu einer unendlichen, austauschbaren
Familie X1,X2,... fortgesetzt werden kann. ♣
l=1

226 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
12.2 Rückwärtsmartingale
Die Begriffe der Filtration und des Martingals haben nirgends vorausgesetzt, dass
die Zeitmenge I ⊂ [0, ∞) wäre. Wir wollen jetzt den Fall I = −N0 betrachten.
Definition 12.11 (Rückwärtsmartingal). Sei F =(Fn)n∈−N0 eine Filtration und
X = (Xn)n∈−N0 ein F-Martingal. Dann nennen wir X = (X−n)n∈N0ein Rückwärtsmartingal.
Bemerkung 12.12. Ein Rückwärtsmartingal ist stets gleichgradig � integrierbar. Dies
folgt aus Korollar 8.21 und der Tatsache, dass X−n = E[X0
�F−n] für jedes n ∈
N0. ✸
Beispiel 12.13. Seien X1,X2,...austauschbare, reelle Zufallsvariablen. Für n ∈ N
setze F−n = En und
Y−n = 1
n�
Xi.
n
i=1
Die folgende Rechnung zeigt, dass (Y−n)n∈N ein F-Rückwärtsmartingal ist: Adaptiertheit
ist klar. Außerdem ist nach Satz 12.10 (mit k = n und ϕ(X1,...,Xn) =
1
n−1 (X1 + ...+ Xn−1))
E � � �
Y−n+1
�
1
F−n =
n!
�
ϱ∈S(n)
1 � �
Xϱ(1) + ...+ Xϱ(n−1) = Y−n.
n − 1
Betrachten wir statt F die kleinere Filtration G =(Gn)n∈−N, diefür n ∈ N durch
G−n = σ(Y−n,Xn+1,Xn+2,...) = σ(Y−n,Y−n−1,Y−n−2,...) definiert wird,
also die von Y erzeugte Filtration, so ist Y natürlich auch bezüglich G ein Rückwärtsmartingal
(siehe Bemerkung 9.29). ✸
Seien a

1
n
n�
i=1
Xi
In der Tat: Setzen wir Y−n := 1
n
�
−→ E[X1 �E] f.s. und in L1 .
n→∞
12.2 Rückwärtsmartingale 227
n�
Xi, so ist (nach Beispiel 12.13) (Y−n)n∈N ein
i=1
Rückwärtsmartingal bezüglich (Fn)n∈−N =(E−n)n∈−N, und daher gilt
Y−n
�
−→ Y−∞ = E[X1
� 1 E] f.s. und in L .
n→∞
Nun ist nach Beispiel 2.36(ii) Y−∞ schon T -messbar, also � (wegen T ⊂ E und der
Turmeigenschaft der bedingten Erwartung) Y−∞ = E[X1
�T ]. ✸
Beispiel 12.16 (Starkes Gesetz der großen Zahl). Sind Z1,Z2,...reell und u.i.v.
mit E[|Z1|] < ∞, dann gilt
1
n
n�
Zi
i=1
n→∞
−→ E[Z1] fast sicher.
Nach dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz (Satz 2.37) ist die terminale σ-Algebra T
nämlich trivial, also gilt
�
E[Z1
�T ]=E[Z1] fast sicher.
In Korollar 12.19 werden wir sehen, dass � im Falle unabhängiger Zufallsvariablen
auch E schon P-trivial ist, woraus E[Z1
�E]=E[Z1] folgt. ✸
Wir schließen diesen Abschnitt, indem wir Beispiel 12.15 auf Mittelwerte von Funktionen
von k ∈ N Variablen verallgemeinern. Diese Schlussfolgerung aus dem Konvergenzsatz
für Rückwärtsmartingale wird im folgenden Abschnitt in essenzieller
Weise benötigt.
Satz 12.17. Sei X =(Xn)n∈N eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit
Werten in E, seik∈ N und ϕ : Ek → R messbar mit E[|ϕ(X1,...,Xk)|] < ∞.
Wir schreiben ϕ(X) =ϕ(X1,...,Xk) und setzen An(ϕ) := 1 �
n! ϱ∈S(n) ϕ(Xϱ ).
Dann gilt
E[ϕ(X) � � E]=E[ϕ(X) � �T ] = lim
n→∞ An(ϕ) f.s. und in L 1 . (12.7)
Beweis. Nach Satz 12.10 ist An(ϕ) =E[ϕ(X) � �En]. Alsoist(A−n(ϕ)) n≥k ein
Rückwärtsmartingal bezüglich (E−n)
n∈−N . Nach Satz 12.14 ist also
An(ϕ) n→∞
−→ E � ϕ(X) � �
�E f.s. und in L1 . (12.8)
Wir können wie für das arithmetische Mittel (Beispiel 12.16) argumentieren, dass
limn→∞ An(ϕ) schon T -messbar ist. In der Tat ist

228 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
#
lim sup
n→∞
� ϱ ∈ S(n) : ϱ−1 (i) ≤ l für ein i ∈{1,...,k} �
=0
n!
für jedes l ∈ N.
Der Wert von An(ϕ) hängt für große n also in zu vernachlässigender Weise von den
ersten l Koordinaten ab. Zusammen mit (12.8) folgt (12.7). ✷
Korollar 12.18. Sei X =(Xn)n∈N austauschbar. Dann gibt es für jedes A ∈Eein
B ∈T mit P[A △ B] =0.
Man beachte, dass T ⊂ E ist, dass also die Aussage trivialerweise gilt, wenn wir
die Rollen von E und T vertauschen.
Beweis. Wegen E ⊂ σ(X1,X2,...) existiert nach dem Approximationssatz für
Maße eine Folge von messbaren Mengen (Ak)k∈N mit Ak ∈ σ(X1,...,Xk) und
P[A △ Ak] k→∞
−→ 0. SeiCk∈ Ek messbar mit Ak = {(X1,...,Xk) ∈ Ck} für
jedes k ∈ N. Mitϕk := Ck folgt aus Satz 12.17
�
A = E[ A |E]=E lim
k→∞ ϕk(X)
� �
�
�E = lim
k→∞ E[ϕk(X)|E]
= lim
k→∞ E[ϕk(X)|T ]=:ψ fast sicher.
Es gibt also eine T -messbare Funktion ψ mit ψ = A fast sicher. Wir können nun
annehmen, dass ψ = B für ein B ∈T. ✷
Als weitere Anwendung erhalten wir das 0-1 Gesetz von Hewitt und Savage [71].
Korollar 12.19 (0-1 Gesetz von Hewitt-Savage). Seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen.
Dann ist die austauschbare σ-Algebra P-trivial, also P[A] ∈{0, 1} für
jedes A ∈E.
Beweis. Nach dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz (Satz 2.37) ist T trivial. Die Aussage
folgt also ohne weiteres aus Korollar 12.18. ✷
12.3 Satz von de Finetti
Wir zeigen in diesem Abschnitt den Struktursatz für (abzählbar) unendliche, austauschbare
Familien, den wir heuristisch schon am Ende von Abschnitt 12.1 motiviert
hatten. Es soll also gezeigt werden, dass eine unendliche, austauschbare Familie
von Zufallsvariablen eine unabhängige, identisch verteilte Familie ist gegeben
die austauschbare σ-Algebra E. Ferner berechnen wir die bedingte Verteilung der
einzelnen Zufallsvariablen. Als ersten Schritt geben wir eine Definition der bedingten
Unabhängigkeit an.

12.3 Satz von de Finetti 229
Definition 12.20 (Bedingte Unabhängigkeit). Seien (Ω,F, P) ein W-Raum, A⊂
F eine Teil-σ-Algebra sowie (Ai)i∈I eine beliebige Familie von Teil-σ-Algebren
von F. Die Familie (Ai)i∈I heißt unabhängig gegeben A, falls für jedes endliche
J ⊂ I und jede Wahl von Aj ∈Aj für j ∈ J gilt
� �
P
j∈J
� �
Aj �A
= �
j∈J
P � �
Aj �A �
fast sicher. (12.9)
Eine Familie (Xi)i∈I von Zufallsvariablen auf (Ω,F, P) heißt unabhängig (und
identisch verteilt) gegeben A, falls die erzeugten σ-Algebren (σ(Xi))i∈I unabhängig
gegeben A sind (und die bedingten Verteilungen P[Xi ∈ · |A] alle gleich sind).
Beispiel 12.21. Jede beliebige Familie (Ai)i∈I von σ-Algebren von F ist unabhängig
gegeben F. In der Tat ist in diesem Fall nämlich (mit A = �
j∈J Aj)
P[A|F] = A = �
j∈J
Aj
= �
j∈J
P � �
Aj �F �
fast sicher. ✸
Beispiel 12.22. Ist (Ai)i∈I eine unabhängige Familie von σ-Algebren, und ist A
trivial, dann ist (Ai)i∈I unabhängig gegeben A. ✸
Beispiel 12.23. Es gibt keine ” Monotonie“ bei der bedingten Unabhängigkeit in folgendem
Sinne: Sind F1, F2 und F3 σ-Algebren mit F1 ⊂F2 ⊂F3, und ist (Ai)i∈I
unabhängig sowohl gegeben F1 wie auch gegeben F3, so folgt noch nicht die Unabhängigkeit
gegeben F2.
Um dies zu illustrieren, nehmen wir an, dass X und Y nichttriviale, unabhängige,
reelle Zufallsvariablen sind. Wir wählen F1 = {∅,Ω}, F2 = σ(X + Y ) und F3 =
σ(X, Y ). Dann sind σ(X) und σ(Y ) unabhängig gegeben F1 und gegeben F3, nicht
jedoch gegeben F2. ✸
Sei X =(Xn)n∈N ein stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,F, P) mit Werten in einem polnischen Raum E. SeiE die austauschbare σ-
Algebra und T die terminale σ-Algebra.
Satz 12.24 (de Finetti). Die Familie X =(Xn)n∈N ist genau dann austauschbar,
wenn es eine σ-Algebra A⊂Fgibt, sodass (Xn)n∈N u.i.v. gegeben A ist. In
diesem Fall kann A = E oder A = T gewählt werden.
Beweis. ” =⇒ “ Sei X austauschbar, und sei A = E oder A = T .Für jedes
n ∈ N sei fn : E → R eine messbare und beschränkte Abbildung. Setze
ϕk(x1,...,xk) =
k�
fi(xi) für jedes k ∈ N.
i=1

230 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Dann ist (wobei An(ϕ) das symmetrisierte Mittel aus Satz 12.17 ist)
wobei
�
An(ϕk−1)An(fk) = 1
n!
� Rn,k
= 1
n!
�
ϱ∈S(n)
�
ϱ∈S(n)
� � �
� ≤ 2 �ϕk−1�
·
∞ � �
�fk � ·
∞ 1 1
n! n
=2 � �
�ϕk−1 � ·
∞ � �
�fk � ·
∞
Es folgt zusammen mit Satz 12.17
ϕk−1(X ϱ ) 1
n
n�
fk(Xi)
i=1
ϕk(X ϱ )+Rn,k = An(ϕk)+Rn,k,
k − 1
n
�
n�
ϱ∈S(n) i=1
n→∞
−→ 0.
{i∈{ϱ(1),...,ϱ(k−1)}}
An(ϕk−1) An(fk) n→∞
−→ E � ϕk(X1,...,Xk) � � A � f.s. und in L 1 .
Andererseits gilt nach Satz 12.17
und
also
An(ϕk−1) n→∞
−→ E � ϕk−1 (X1,...,Xk−1) � � A �
An(fk) n→∞
−→ E � fk(X1) � �A � ,
E � ϕk(X1,...,Xk) � � A � = E � ϕk−1(X1,...,Xk−1) � � A � E � fk(X1) � � A �
und induktiv
�
k� �
�
E fi(Xi) �
�A �
=
i=1
Mithin ist X u.i.v. gegeben A.
k�
E � fi(X1) � �A � .
” ⇐= “ Sei nun X u.i.v. gegeben A für eine geeignete σ-Algebra A⊂F.Für
jede beschränkte, messbare Funktion ϕ : En → R und für jedes ϱ ∈ S(n) ist dann
E[ϕ(X) � �
� ϱ A]=E[ϕ(X ) �A], also
E[ϕ(X)] = E � E[ϕ(X) � �A] � = E � E[ϕ(X ϱ ) � �A] � = E[ϕ(X ϱ )].
Mithin ist X austauschbar. ✷
Mit M1(E) bezeichnen wir die Menge der W-Maße auf E, ausgestattet mit der Topologie
der schwachen Konvergenz (siehe Definition 13.12 und Bemerkung 13.14),
i=1

12.3 Satz von de Finetti 231
das heißt: Eine Folge (μn)n∈N in M1(E) konvergiert genau dann schwach gegen
ein μ ∈ M1(E), wenn � n→∞
fdμn −→ � fdμfür jede stetige und beschränkte
Funktion f : E → R. Wir werden die schwache Konvergenz in Kapitel 13 genauer
untersuchen. An dieser Stelle wollen wir die Topologie lediglich verwenden,
um M1(E) zu einem Messraum zu machen, nämlich mit der Borel’schen
σ-Algebra B(M1(E)). Wirkönnen jetzt Zufallsvariablen mit Werten in M1(E)
betrachten, so genannte zufällige Maße (vergleiche Kapitel 24.1). Für x ∈ EN sei
ξn(x) = 1 �n δxi n i=1 ∈M1(E).
Definition 12.25. Das zufällige Maß Ξn := ξn(X) := 1
n
Verteilung von X1,...,Xn.
Wir betrachten die selben Voraussetzung wie in Satz 12.24.
n�
i=1
δXi
heißt empirische
Satz 12.26 (de Finetti Darstellungssatz). Die Familie X =(Xn)n∈N ist genau
dann austauschbar, wenn es eine σ-Algebra A⊂Fgibt und eine A-messbare Zufallsvariable
Ξ∞ : Ω →M1(E) mit der Eigenschaft: gegeben Ξ∞ ist (Xn)n∈N
u.i.v. mit L[X1 |Ξ∞] =Ξ∞. In diesem Fall kann A = E oder A = T gewählt
werden.
Beweis. ” ⇐= “ Dies ist klar wie im Beweis von Satz 12.24.
” =⇒ “ Sei X austauschbar. Dann existiert nach Satz 12.24 eine σ-Algebra A⊂
F, sodass (Xn)n∈N u.i.v. gegeben A ist. Da E polnisch ist, existiert � eine reguläre
Version der bedingten Verteilung (siehe Satz 8.36) Ξ∞ := L[X1 �A].Für messbare
A1,...,An ⊂ E ist P[Xi ∈ Ai |A]=Ξ∞(Ai) für jedes i =1,...,n, also
� n �
� �
P {Xi ∈ Ai} �
�Ξ∞ � � � n �
� �
= E P {Xi ∈ Ai} �
�A �� �
���
Ξ∞
i=1
i=1
i=1
�
�n
�
�
= E Ξ∞(Ai) �
� Ξ∞
�
=
n�
Ξ∞(Ai).
Mithin ist L[X |Ξ∞] =Ξ ⊗N
∞ . ✷
Bemerkung 12.27. In dem beschriebenen Fall ist nach dem starken Gesetz der
großen Zahl für jede stetige und beschränkte Funktion f : E → R
�
�
fdΞn
n→∞
−→ fdΞ∞ fast sicher.
Ist E zudem lokalkompakt (zum Beispiel E = R d ), so kann man sogar zeigen, dass
Ξn
i=1
n→∞
−→ Ξ∞ fast sicher. ✸

232 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Beispiel 12.28. Seien (Xn)n∈N austauschbar und Xn ∈{0, 1}. Dann existiert eine
Zufallsvariable Y : Ω → [0, 1], sodass für endliches J ⊂ N
P � Xj =1 für jedes j ∈ J � � Y � = Y #J .
Mit anderen Worten: Gegeben Y ist (Xn)n∈N unabhängig und BerY -verteilt. Vergleiche
Beispiel 12.3(iii). ✸
Beispiel 12.29. (Pólya’sches Urnenmodell) (Siehe Beispiel 14.38 und [127].) In
einer Urne seien anfangs N Kugeln, davon M schwarz und N − M weiß. In jedem
Schritt wird eine Kugel gezogen und zusammen mit einer weiteren Kugel der selben
Farbe wieder zurückgelegt. Sei
�
1, falls die n-te Kugel schwarz ist,
Xn :=
0, sonst,
und Sn = �n i=1 Xi. Dannist
P � Xn =1 � � Sn−1 �
+ M
X1,X2,...,Xn−1 =
N + n − 1 .
Sukzessive erhält man für x1,...,xn ∈{0, 1} und sk = �k i=1 xi
P � Xi = xi für jedes i =1,...,n �
= �
�
= (N − 1)!
i≤n: xi=1
M + si−1
N + i − 1
i≤n: xi=0
(N − 1+n)! · (M + sn − 1)!
(M − 1)!
N + i − 1 − M − si−1
N + i − 1
�
N − M − 1+(n− sn) � !
.
(N − M − 1)!
Die rechte Seite hängt nur von sn und nicht von der Reihenfolge der x1,...,xn ab.
1
Also ist (Xn)n∈N austauschbar. Sei Z = lim
n→∞ nSn.Dannist(Xn)n∈Nunabhängig und identisch BerZ-verteilt gegeben Z. Also ist (siehe Beispiel 12.28)
E [Z n ]=E � P � X1 = ···= Xn =1 � ��
�Z = P [Sn = n]
= (N − 1)!
(M − 1)!
(M + n − 1)!
(N + n − 1)!
für jedes n ∈ N.
Nach Übung 5.1.2 sind dies sind aber gerade die Momente der Beta-Verteilung
βM,N−M auf [0, 1] mit Parametern (M,N − M) (siehe Beispiel 1.107(ii)). Durch
Angabe der Momente ist eine Verteilung auf [0, 1] eindeutig bestimmt (Satz 15.4).
Also gilt Z ∼ βM,N−M . ✸

13 Konvergenz von Maßen
In der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert man sich für Verteilungen, die durch
das Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse zustandekommen. Oftmals lässt
sich eine brauchbare Idealisierung erreichen, indem man Grenzwerte solcher Verteilungen
anschaut, zum Beispiel, wenn die Anzahl der Einflüsse nach Unendlich geht.
Ein Beispiel ist die Konvergenz der Anzahl eingetretener Ereignisse bei vielen seltenen
Ereignissen gegen die Poisson-Verteilung (siehe Satz 3.7). Vielfach sind aber
auch Skalierungen der ursprünglichen Verteilung notwendig, um das wesentliche
Fluktuationsverhalten zu erfassen, etwa im Zentralen Grenzwertsatz. Während diese
Sätze mit reellen Zufallsvariablen auskommen, werden wir auch Grenzwertsätze
kennen lernen, bei denen die Zufallsvariablen Werte in allgemeineren Räumen annehmen,
beispielsweise im Raum aller stetigen Funktionen, wenn wir die zufällige
zeitliche Bewegung eines Teilchens modellieren.
In diesem Kapitel wird der Begriff der schwachen Konvergenz von W-Maßen auf
allgemeinen (meist polnischen) Räumen eingeführt und untersucht. Hierzu ist eine
solide Kenntnis von mengentheoretischer Topologie notwendig. Wir beginnen daher
mit einem kurzen Überblick über die verwendeten topologischen Begriffe und
Sätze.
Dieses Kapitel soll nur eine knappe Einführung in die für die Wahrscheinlichkeitstheorie
wichtigsten Sätze liefern. Als ausführlichere Darstellungen seien [17] und
[83] empfohlen.
Beim ersten Lesen mag der Leser dieses eher analytisch geprägte Kapitel vielleicht
überspringen. In diesem Fall genügt es fürs Erste, sich mit den Definitionen von
schwacher Konvergenz und Straffheit (Definition 13.12 und 13.26) vertraut zu machen,
sowie mit den Aussagen des Portemanteau Theorems (Satz 13.16) und des
Satzes von Prohorov (Satz 13.29).
13.1 Wiederholung Topologie
Wir geben kursorisch einige Definitionen und Aussagen der mengentheoretischen
Topologie an. Zum Nachlesen eignen sich etwa [90] oder [133].

234 13 Konvergenz von Maßen
Im Folgenden sei stets (E,τ) ein topologischer Raum mit der Borel’schen σ-
Algebra E = B(E) (vergleiche Definition 1.20 und 1.21).
(E,τ) heißt Hausdorffraum, falls zu je zwei Punkten x, y ∈ E mit x �= y offene
Mengen U, V existieren mit x ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅. IstA⊂ E, so
bezeichnen wir mit A den Abschluss von A, mit A◦ das Innere und mit ∂A den
Rand von A. Eine Menge A ⊂ E heißt dicht, falls A = E.
(E,τ) heißt metrisierbar, falls es eine Metrik d auf E gibt, sodass τ durch die
offenen Kugeln Bε(x) :={y ∈ E : d(x, y) 0, die ganz in U liegt und relativ kompakt ist. Indem
man εx eventuell nochmal halbiert, kann man annehmen, dass sogar der Abschluss
dieser Kugel in U liegt. Da K kompakt ist, gibt es endlich viele x1,...,xn ∈ K
mit K ⊂ V := �n i=1 Bεx (xi). Nach Konstruktion ist L = V ⊂ U kompakt.)
i
Einen in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtigen Typ von topologischen Räumen
stellen wir in einer separaten Definition vor.

13.1 Wiederholung Topologie 235
Definition 13.1. Ein topologischer Raum (E,τ) heißt polnischer Raum, falls er
vollständig metrisierbar und separabel ist.
Polnische Räume sind beispielsweise abzählbare, diskrete Räume (nicht jedoch Q
mit der üblichen Topologie), die euklidischen Räume Rn , aber auch der Raum
C([0, 1]) der stetigen Funktionen [0, 1] → R, ausgestattet mit der Supremumsnorm
� · �∞. Praktisch sind alle Räume, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie bedeutsam
sind, polnische Räume.
Sei (E,d) ein metrischer Raum. Eine Menge A ⊂ E heißt total beschränkt, falls
n�
es zu jedem ε>0 endlich viele Punkte x1,...,xn ∈ A gibt mit A ⊂ Bε(xi).
Kompakte Mengen sind offenbar total beschränkt. In polnischen Räumen gilt sogar:
Lemma 13.2. Sei (E,τ) polnisch mit vollständiger Metrik d. Eine Teilmenge A ⊂
E ist genau dann total beschränkt bezüglich d,wennA relativ kompakt ist.
Beweis. Übung! ✷
Im Folgenden sei stets (E,τ) ein topologischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra
E = B(E) :=σ(τ) und vollständiger Metrik d.Für Maße auf (E,E) führen wir die
folgenden Regularitätsbegriffe ein.
Definition 13.3. Ein σ-endliches Maß μ auf (E,E) heißt
(i) lokal endlich oder Borel-Maß, falls es zu jedem Punkt x ∈ E eine offene
Menge U ∋ x gibt mit μ(U) < ∞,
(ii) regulär von innen, falls
μ(A) =sup � μ(K) : K ⊂ A ist kompakt �
(iii) regulär von außen, falls
μ(A) =inf � μ(U) : U ⊃ A ist offen �
(iv) regulär, falls μ von innen und von außen regulär ist,
(v) Radon-Maß, falls μ ein von innen reguläres Borel-Maß ist.
i=1
für jedes A ∈E, (13.1)
für jedes A ∈E, (13.2)
Definition 13.4. Wir führen die folgenden Mengen von Maßen auf E ein.
M(E) := � Radon-Maße auf (E,E) � ,
Mf (E) := � endliche Maße auf (E,E) � ,
M1(E) := � μ ∈Mf (E) :μ(E) =1 � ,
M≤1(E) := � μ ∈Mf (E) :μ(E) ≤ 1 � .

236 13 Konvergenz von Maßen
Die Elemente von M≤1(E) nennen wir Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße auf E.
Ferner vereinbaren wir die folgende Notation für Mengen von stetigen Funktionen
C(E) := � f : E → R ist stetig � ,
Cb(E) := � f ∈ C(E) ist beschränkt � ,
Cc(E) := � f ∈ C(E) hat kompakten Träger � ⊂ Cb(E).
Der Träger einer reellen Funktion f ist dabei f −1 (R \{0}).
Ist nichts anderes vereinbart, so sind die Vektorräume C(E), Cb(E) und Cc(E) mit
der Supremumsnorm ausgestattet.
Lemma 13.5. Ist E polnisch und μ ∈Mf (E), so existiert zu jedem ε>0 eine
kompakte Menge K ⊂ E mit μ(E \ K) 0. Zu jedem n ∈ N existieren xn 1 ,xn 2 ,... ∈ E mit E =
∞�
B1/n(xn i ).Wähle Nn
� Nn �
∈ N so, dass μ E \ B1/n (x n �
i ) < ε
. Setze
2n i=1
A :=
∞�
Nn �
n=1 i=1
i=1
B 1/n (x n i ) .
Nach Konstruktion ist A total beschränkt. Da E polnisch ist, ist also A kompakt.
Außerdem folgt μ � E \ A � ≤ μ � E \ A � < ∞�
ε 2−n = ε. ✷
Satz 13.6. Ist E polnisch und μ ∈ Mf (E), soistμ regulär. Speziell ist dann
Mf (E) ⊂M(E).
Beweis. Sei B ∈ E und ε > 0. Nach dem Approximationssatz (Satz 1.65 mit
A = τ) gibt es eine offene Menge U ⊃ B mit μ(U \ B)

13.1 Wiederholung Topologie 237
Da jedes Kn beschränkt ist, ist λ(Kn) < ∞. Es existiert also nach dem vorangehenden
Satz zu jedem n ∈ N eine offene Menge Un ⊃ A ∩ Kn mit λ(Un \ A) 0 LipK(E; F ) den Raum der Lipschitzstetigen
Funktionen auf E.
Wir schreiben kurz LipK(E) :=LipK(E; R) und Lip(E) :=Lip(E; R).
Definition 13.9. Sei F ⊂ M(E) eine Familie von Radon-Maßen. Eine Familie C
messbarer Abbildungen E → R heißt trennende Familie für F, falls für je zwei
Maße μ, ν ∈Fgilt:
�� �
fdμ= fdν für jedes f ∈C∩L 1 (μ) ∩L 1 �
(ν) =⇒ μ = ν.
Lemma 13.10. Sei (E,d) ein metrischer Raum. Zu jeder abgeschlossenen Menge
A ⊂ E und jedem ε>0 gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung ρA,ε : E → [0, 1]
mit
�
1, falls x ∈ A,
ρA,ε(x) =
0, falls d(x, A) ≥ ε.
Beweis. Sei ϕ : R → [0, 1], t ↦→ (t ∨ 0) ∧ 1. Für x ∈ E setze ρA,ε(x) =
1 − ϕ � ε −1 d(x, A) � . ✷
Satz 13.11. Sei (E,d) ein metrischer Raum.
(i) Lip1(E;[0, 1]) ist trennend für M(E).
(ii) Ist E zudem lokalkompakt, so ist Cc(E) ∩ Lip1(E;[0, 1]) trennend für M(E).

238 13 Konvergenz von Maßen
Beweis. (i) Seien μ1,μ2 ∈ M(E) mit � fdμ1 = � fdμ2 für jedes f ∈
Lip 1(E;[0, 1]). IstA ∈E,soistμi(A) =sup{μi(K) : K ⊂ A ist kompakt},
da das Radon-Maß μi von innen regulär ist (i =1, 2). Es reicht also zu zeigen, dass
μ1(K) =μ2(K) für jede kompakte Menge K.
Sei nun K ⊂ E kompakt. Da μ1 und μ2 lokal endlich sind, existiert zu jedem
x ∈ K eine offene Menge Ux ∋ x mit μ1(Ux) < ∞ und μ2(Ux) < ∞. Da
K kompakt ist, können wir endlich viele Punkte x1,...,xn ∈ K finden, sodass
K ⊂ U := �n j=1 Uxj . Nach Konstruktion ist μi(U) < ∞, also U ∈ L1 (μi) für
i =1, 2. DaUc abgeschlossen ist, und U c ∩ K = ∅, istδ := d(U c ,K) > 0. Für
die Abbildung ρK,ε aus Lemma 13.10 ist also K ≤ ρK,ε ≤ U ∈ L1 ε→0
(μi), falls
ε ∈ (0,δ). WegenρK,ε −→ K �folgt aus dem Satz über majorisierte Konvergenz
(Korollar 6.26) μi(K) = limε→0 ρK,ε dμi. Nun ist aber ερK,ε ∈ Lip1(E;[0, 1])
für jedes ε>0, also nach Voraussetzung
�
ρK,ε dμ1 = ε −1
�
(ερK,ε) dμ1 = ε −1
�
�
(ερK,ε) dμ2 = ρK,ε dμ2.
Es folgt μ1(K) =μ2(K), also μ1 = μ2.
(ii) Ist E lokalkompakt, so können wir in (i) die Umgebungen Ux zusätzlich relativ
kompakt wählen. Es ist dann U relativ kompakt, also hat ρK,ε für ε ∈ (0,δ) einen
kompakten Träger, ist also in Cc(E). ✷
Übung 13.1.1. (i) Man zeige, dass C([0, 1]) eine abzählbare, dichte Teilmenge
besitzt.
(ii) Man zeige, dass der Raum (Cb([0, ∞)), � · �∞) der stetigen, beschränkten
Funktionen mit der Supremumsnorm nicht separabel ist.
(iii) Man zeige, dass der Raum Cc([0, ∞)) der stetigen Funktionen mit kompaktem
Träger, ausgestattet mit der Supremumsnorm, separabel ist. ♣
Übung 13.1.2. Man zeige: Ist μ ein lokal endliches Maß, so ist μ(K) < ∞ für jede
kompakte Menge K. ♣
Übung 13.1.3 (Satz von Lusin). Sei Ω ein polnischer Raum, μ ein σ-endliches
Maß auf (Ω,B(Ω)) und f : Ω → R eine Abbildung. Man zeige, dass die beiden
folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Es gibt eine Borel-messbare Abbildung g : Ω → R mit f = g μ-fast überall.
(ii) Zu jedem ε>0 gibt es eine kompakte Menge Kε mit μ(Ω \ Kε)

13.1 Wiederholung Topologie 239
Übung 13.1.4. Sei U eine Familie offener Intervalle in R so, dass W := �
U∈U U
endliches Lebesgue-Maß λ(W ) hat. Man zeige: Für jedes ε>0 gibt es endlich
viele, paarweise disjunkte Mengen U1,...,Un ∈Umit
n�
λ(Ui) >
i=1
1 − ε
3
λ(W ).
Hinweis: Man wähle eine endliche Familie U ′ ⊂ U, sodass �
U∈U
mindestens (1 − ε)λ(W ) hat. Hieraus wähle man eine nach absteigender Länge
sortierte maximale Folge U ′′ disjunkter Intervalle aus und zeige, dass jedes U ∈U ′
in (x − 3a, x +3a) liegt für ein (x − a, x + a) ∈U ′′ . ♣
′ U das Maß
Übung 13.1.5. Sei C ⊂ Rd eine offene, beschränkte und konvexe Menge und
U ⊂ {x + rC : x ∈ Rd ,r > 0} so gewählt, dass W := �
U∈U U endliches
Lebesgue-Maß λd (W ) hat. Man zeige: Für jedes ε>0 gibt es endlich viele, paarweise
disjunkte Mengen U1,...,Un ∈Umit
n�
λ d 1 − ε
(Ui) > λ(W ).
3d i=1
Man überlege sich ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass man auf die Bedingung der
Ähnlichkeit der offenen Mengen aus U nicht ohne Weiteres verzichten kann. ♣
Übung 13.1.6. Sei μ ein Radon-Maß auf R d und A ∈B(R d ) eine μ-Nullmenge.
Man zeige mit Hilfe von Übung 13.1.5, dass für jede beschränkte, konvexe und
offene Menge C ⊂ R d mit 0 ∈ C gilt:
μ(x + rC)
lim
r↓0 rd =0 für λ d – fast alle x ∈ A.
Man folgere: Ist F die Verteilungsfunktion eines Stieltjes-Maßes μ auf R und A ∈
F (x) =0für λ – fast alle x ∈ A. ♣
B(R) eine μ-Nullmenge, so gilt d
dx
Übung 13.1.7 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f ∈
L 1 (R d ), μ = fλ d und C ⊂ R d offen, konvex und beschränkt mit 0 ∈ C. Man
zeige:
μ(x + rC)
lim
r↓0 rd λd (C) = f(x) für λd – fast alle x ∈ R d .
Man folgere für den Fall d =1den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
�
d
fdλ= f(x)
dx [0,x]
für λ – fast alle x ∈ R.
Hinweis: Verwende Übung 13.1.6 mit μq(dx) =(f(x) − q) + λd (dx) für q ∈ Q,
sowie die Ungleichung
μ(x + rC)
. ♣
rd λd (C) ≤ q + μq(x + rC)
rd λd (C)

240 13 Konvergenz von Maßen
13.2 Schwache und vage Konvergenz
Nachdem wir in Satz 13.11 gesehen haben, dass Integrale stetiger, beschränkter
Funktionen, beziehungsweise für lokalkompaktes E sogar stetiger Funktionen mit
kompaktem Träger, ein Radon-Maß vollständig bestimmen, liegt es nahe, Cb(E)
und Cc(E) auch als Klassen von Testfunktionen für Konvergenzbegriffe für Maße
heranzuziehen.
Definition 13.12 (Schwache und vage Konvergenz). Sei E ein metrischer Raum.
(i) Seien μ, μ1,μ2,... ∈Mf (E). Wir sagen, dass (μn)n∈N schwach (weakly)
gegen μ konvergiere, in Formeln μn
n→∞
−→ μ schwach oder μ =w-lim
n→∞ μn,
falls �
�
fdμn
n→∞
−→ fdμ für jedes f ∈ Cb(E).
(ii) Es seien μ, μ1,μ2,...∈M(E). Wir sagen, dass (μn)n∈N vag (vaguely) gegen
μ konvergiert, in Formeln μn
n→∞
−→ μ vag oder μ =v-lim
n→∞ μn, falls
�
�
fdμn
n→∞
−→ fdμ für jedes f ∈ Cc(E).
Bemerkung 13.13. Ist E polnisch, so ist nach Satz 13.6 und 13.11 der schwache
Limes eindeutig. Das Gleiche gilt für den vagen Limes, falls E lokalkompakt ist.✸
Bemerkung 13.14. (i) In der Funktionalanalysis wird die hier eingeführte schwache
Konvergenz die Schwach ∗ -Konvergenz genannt.
(ii) Die schwache Konvergenz erzeugt auf Mf (E) die schwache Topologie τw
(oder Schwach ∗ -Topologie in der Funktionalanalysis). Dies ist die gröbste Topologie,
sodass für jedes f ∈ Cb(E) die Abbildung Mf (E) → R, μ ↦→ � fdμstetig
ist. Ist E separabel, so kann man zeigen, dass (Mf (E),τw) metrisierbar ist, zum
Beispiel mit der so genannten Prohorov-Metrik
wobei
dP (μ, ν) :=max{d ′ P (μ, ν),d ′ P (ν, μ)}, (13.3)
d ′ P (μ, ν) :=inf{ε >0: μ(B) ≤ ν(B ε )+ε für jedes B ∈B(E)}, (13.4)
und wo B ε = {x : d(x, B)

13.2 Schwache und vage Konvergenz 241
lokalkompakt, so ist (M(E),τv) ein Hausdorffraum. Ist E zudem polnisch, so ist
(M(E),τv) ebenfalls polnisch (siehe etwa [83, Sektion 15.7]). ✸
Während bei der schwachen Konvergenz stets auch Konvergenz der Gesamtmassen
gilt (schließlich ist 1 ∈ Cb(E)), kann bei der vagen Konvergenz ein Massendefekt
im Limes auftreten, jedoch kein Massenzuwachs, wie das folgende Lemma zeigt.
Lemma 13.15. Sei E ein lokalkompakter, polnischer Raum, und seien μ, μ1,μ2,...
n→∞
∈Mf (E) mit μn −→ μ vag. Dann gilt
μ(E) ≤ lim sup μn(E).
n→∞
Beweis. Sei (fN )N∈N eine Folge in Cc(E; [0, 1]) mit fN ↑ 1. Dann gilt
�
�
μ(E) =sup
N∈N
fN dμ =suplim
N∈N n→∞
�
fN dμn
≤ lim sup sup
n→∞
N∈N
fN dμn = lim sup μn(E). ✸
n→∞
Die Folge (δ 1/n)n∈N von W-Maßen auf R konvergiert offenbar schwach gegen δ0,
nicht jedoch in der Totalvariationsnorm: Für die abgeschlossene Menge (−∞, 0]
gilt nämlich limn→∞ δ 1/n((−∞, 0]) = 0 < 1=δ0((−∞, 0]). Etwas lax gesagt,
kann in abgeschlossene Mengen im schwachen Limes Masse an der Rändern einwandern
(nicht jedoch auswandern). Die komplementäre Aussage gilt für offene
Mengen, denn limn→∞ δ 1/n((0, ∞)) = 1 > 0=δ0((0, ∞)), hier kann also Masse
auswandern, nicht jedoch einwandern. Tatsächlich kann man die schwache Konvergenz
über diese Eigenschaft charakterisieren. Im folgenden Satz werden wir ein
ganzes Bündel solcher Aussagen ” auf einen Kleiderbügel (französisch: portemanteau)
hängen“.
Für messbares g : Ω → R sei Ug die Menge der Unstetigkeitsstellen von g. Beachte,
dass Ug Borel-messbar ist (nach Übung 1.1.3).

242 13 Konvergenz von Maßen
Satz 13.16 (Portemanteau Theorem). Sei E ein metrischer Raum, und seien
μ, μ1, μ2,...∈M≤1(E). Dann sind äquivalent:
(i) μ =w-lim
n→∞ μn.
(ii) � fdμn
(iii) � fdμn
n→∞
−→ � fdμ für alle beschränkten, Lipschitz-stetigen f.
n→∞
−→ � fdμfür alle beschränkten, messbaren f mit μ(Uf )=0.
(iv) Es gilt lim inf
n→∞ μn(E) ≥ μ(E) und lim sup μn(F ) ≤ μ(F ) für alle abge-
n→∞
schlossenen F ⊂ E.
(v) Es gilt lim sup
G ⊂ E.
n→∞
μn(E) ≤ μ(E) und lim inf
n→∞ μn(G) ≥ μ(G) für alle offenen
(vi) lim
n→∞ μn(A) =μ(A) für alle messbaren A mit μ(∂A) =0.
Ist E auch lokalkompakt und polnisch, so sind zudem jeweils äquivalent
(vii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) = lim
n→∞ μn(E).
(viii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) ≥ lim
n→∞ μn(E).
Beweis. ” (iv) ⇐⇒ (v) =⇒ (vi)“ Dies ist trivial.
” (iii) =⇒ (i) =⇒ (ii)“ Dies ist trivial.
” (ii) =⇒ (iv)“ Die Konvergenz der Gesamtmassen folgt mit der Testfunktion
1 ∈ Lip(E;[0, 1]). SeiFabgeschlossen und ρF,ε wie in Lemma 13.10. Dann ist
�
�
lim sup μn(F ) ≤ inf
n→∞
ε>0 lim
n→∞
weil ρF,ε(x) ε→0
−→ F (x) für jedes x ∈ E.
ρF,ε dμn =inf
ε>0
” (vii) =⇒ (viii)“ Dies ist klar nach Lemma 13.15.
ρF,ε dμ = μ(F ),
” (i) =⇒ (vii)“ Wegen Cc(E) ⊂ Cb(E) und 1 ∈ Cb(E) ist dies klar.
” (vii) =⇒ (v)“ Sei G offen und ε>0. Daμ von innen regulär ist (Satz 13.6),
gibt es ein Kompaktum K ⊂ G mit μ(G) − μ(K) 0 und ρK,δ wie
in Lemma 13.10. Dann ist K ≤ ρK,δ ≤ L, also ρK,δ ∈ Cc(E) und daher
�
�
ρK,δ dμn = ρK,δ dμ ≥ μ(K) ≥ μ(G) − ε.
lim inf
n→∞ μn(G) ≥ lim inf
n→∞
Indem wir ε → 0 gehen lassen, folgt die Aussage von (v).

13.2 Schwache und vage Konvergenz 243
” (vi) =⇒ (iii)“ Sei f : E → R beschränkt und messbar mit μ(Uf )=0.Wir
machen die elementare Beobachtung, dass für jedes D ⊂ R gilt
∂f −1 (D) ⊂ f −1 (∂D) ∪ Uf . (13.5)
In der Tat: Falls f in x ∈ E stetig ist, so existiert zu jedem δ>0 ein ε(δ) > 0 mit
f(Bε(δ)(x)) ⊂ Bδ(f(x)). Istx∈ ∂f−1 (D), so existieren y ∈ f −1 (D) ∩ Bε(δ)(x) und z ∈ f −1 (Dc ) ∩ Bε(δ)(x). Alsoistf(y) ∈ Bδ(f(x)) ∩ D �= ∅ und f(z) ∈
Bδ(f(x)) ∩ Dc �= ∅, also f(x) ∈ ∂D.
Sei ε>0. Offenbar ist die Menge A := � y ∈ R : μ � f −1 ({y}) � > 0 � der Atome
des endlichen Maßes μ ◦ f −1 höchstens abzählbar. Daher gibt es N ∈ N und y0 ≤
−�f�∞

244 13 Konvergenz von Maßen
�
lim sup�E[f(Yn)]
− E[f(X)]
n→∞
� �
�
≤ lim sup �E[f(X)] − E[f(Xn)]
n→∞
� �
� + lim sup �E[f(Xn) − f(Yn)]
n→∞
� � =0. ✷
n→∞
Korollar 13.19. Gilt Xn −→ X stochastisch, so gilt auch Xn
Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.
D
−→ X, n →∞.
Beispiel 13.20. Sind X, X1,X2,...u.i.v. (mit nicht-trivialer Verteilung), so gilt trivialerweise
Xn
D
−→ X, jedoch nicht Xn
n→∞
−→ X stochastisch. ✸
Man erinnere sich an die Definition der Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes
in Definition 1.59.
Definition 13.21. Seien F, F1,F2,... Verteilungsfunktionen von W-Maßen auf R.
n→∞
Wir sagen (Fn)n∈N konvergiere schwach gegen F , in Formeln Fn =⇒ F ,
Fn
D
−→ F oder F =w-lim
n→∞ Fn,wenn
F (x) = lim
n→∞ Fn(x) für alle Stetigkeitspunkte x von F. (13.6)
Sind F, F1,F2,... Verteilungsfunktionen von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen, so
setzen wir F (∞) := limx→∞ F (x) und fordern für die schwache Konvergenz
zusätzlich F (∞) ≥ lim supn→∞ Fn(∞).
Man beachte, dass aus (13.6) stets F (∞) ≤ lim infn→∞ Fn(∞) folgt. Gilt nun
D
−→ F , so ist also F (∞) = limn→∞ Fn(∞).
Fn
Beispiel 13.22. Ist F die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf
R und Fn(x) :=F (x + n) für x ∈ R,sokonvergiert(Fn)n∈N punktweise gegen 1.
Dies ist jedoch keine Verteilungsfunktion, da diese für x →−∞gegen Null konvergieren.
Ist andererseits Gn(x) =F (x − n),sokonvergiert(Gn)n∈N punktweise
gegen G ≡ 0. Nun ist aber G(∞) =0< lim sup n→∞ Gn(∞) =1, also liegt auch
in diesem Falle keine schwache Konvergenz vor. In der Tat: es tritt jeweils im Limes
ein Massendefekt ein (bei den Fn nach links, bei den Gn nach rechts). Die Definition
der schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen ist aber so angelegt, dass
kein Massendefekt im Limes eintreten darf. ✸
Satz 13.23. Seien μ, μ1,μ2,... ∈M≤1(R) mit zugehörigen Verteilungsfunktionen
F, F1,F2,... Dann sind äquivalent
(i) μ =w-lim
n→∞ μn,
(ii) Fn
D
−→ F .

13.2 Schwache und vage Konvergenz 245
Beweis. (i) =⇒ (ii)“ Sei F in x stetig. Dann ist μ
” � ∂(−∞,x] � = μ({x}) =0.
Nach Satz 13.16 gilt Fn(x) =μn ((−∞,x]) n→∞
−→ μ((−∞,x]) = F (x).
” (ii) =⇒ (i)“ Sei f ∈ Lip1(R;[0, 1]). Nach Satz 13.16 reicht es zu zeigen, dass
�
fdμn
n→∞
−→
�
fdμ. (13.7)
Sei ε>0. Wähle N ∈ N und N +1Stetigkeitspunkte y0

246 13 Konvergenz von Maßen
Beweis. Nach Übung 1.1.3 ist Uϕ ⊂ E1 Borel-messbar. Also sind die angegebenen
Bedingungen sinnvoll.
(i) Sei f ∈ Cb(E2).Dannistf◦ϕ beschränkt und messbar, und es ist Uf◦ϕ ⊂ Uϕ,
also μ(Uf◦ϕ) =0. Nach Satz 13.16 ist
�
�
lim
n→∞
fd � μn ◦ ϕ −1� = lim
n→∞
(f ◦ ϕ) dμn
�
�
= (f ◦ ϕ) dμ = fd � μ ◦ ϕ −1� .
(ii) Dies ist klar, wegen P ϕ(X) = PX ◦ ϕ −1 . ✷
Übung 13.2.1. Man zeige: Für d ′ P aus (13.4) und μ, ν ∈M1(E) gilt: dP (μ, ν) =
d ′ P (μ, ν) =d′ P (ν, μ). ♣
Übung 13.2.2. Man zeige: Die Topologie der schwachen Konvergenz auf Mf (E)
ist gröber als die von der Totalvariation (siehe Korollar 7.45) erzeugte Topologie auf
n→∞
n→∞
Mf (E). Das heißt, es gilt �μn − μ�TV −→ 0,sogiltμn−→
μ schwach. ♣
Übung 13.2.3. Sei E = R und μn = 1 �n n k=0 δk/n sowie μ = λ � � das auf [0, 1]
[0,1]
eingeschränkte Lebesgue-Maß. Man zeige, dass μ =w-lim
n→∞ μn. ♣
Übung 13.2.4. Sei E = R und λ das Lebesgue-Maß auf R. Für n ∈ N sei μn =
λ � � . Man zeige: λ =v-lim
[−n,n]
n→∞ μn, jedoch ist (μ)n∈N nicht schwach konvergent. ♣
Übung 13.2.5. Sei E = R und μn = δn für n ∈ N. Man zeige: v-lim
n→∞ μn =0,
jedoch ist (μn)n∈N nicht schwach konvergent. ♣
Übung 13.2.6 (Lévy-Abstand). Für zwei Verteilungsfunktionen F und G von
Wahrscheinlichkeitsmaßen auf R wird der Lévy-Abstand definiert als
d(F, G) =inf � ε ≥ 0: G(x − ε) − ε ≤ F (x) ≤ G(x + ε)+ε für alle x ∈ R � .
Zeige:
(i) d ist eine Metrik auf der Menge der Verteilungsfunktionen.
(ii) Es gilt Fn
n→∞
=⇒ F genau dann, wenn d(Fn,F) n→∞
−→ 0.
(iii) Zu jedem P ∈M1(R) gibt es eine Folge (Pn)n∈N in M1(R), sodass jedes Pn
endlichen Träger hat, und sodass Pn
n→∞
=⇒ P . ♣

13.2 Schwache und vage Konvergenz 247
Übung 13.2.7. Wir können die Begriffe schwache Konvergenz und vage Konvergenz
auf Ladungsverteilungen ausdehnen, also auf Differenzen ϕ := μ + −μ− von Maßen
aus Mf (E) beziehungsweise M(E), indem wir den Wortlaut von Definition 13.12
auf diese Klassen anwenden. Man zeige, dass man hier die schwache Konvergenz
im Allgemeinen nicht metrisieren kann.
Anleitung: Man betrachte E =[0, 1].
(i) Für n ∈ N definiere ϕn = δ1/n − δ2/n. Zeige: Für jedes C>0 konvergiert
(Cϕn)n∈N schwach gegen das Nullmaß.
(ii) Man nehme an, dass es eine Metrik gäbe, die die schwache Konvergenz erzeugt.
Man zeige: Dann gäbe es eine Folge (Cn)n∈N mit Cn ↑ ∞ und
0=w-lim
n→∞ (Cnϕn).
(iii) Wähle ein f ∈ C([0, 1]) mit f(2−n )=(−1) nC −1/2
n
� � �
zeige: fd(Cnϕn)
n∈N
konvergiert nicht gegen Null.
für jedes n ∈ N und
(iv) Man führe diese Konstruktion zum Widerspruch mit der Metrisierbarkeitsannahme.
♣
Übung 13.2.8. Man zeige, dass durch (13.3) eine Metrik auf M1(E) definiert wird,
und dass diese die Topologie der schwachen Konvergenz erzeugt. ♣
Übung 13.2.9. Man zeige die Implikation ” (vi) =⇒ (iv)“ aus Satz 13.16 direkt. ♣
Übung 13.2.10. Seien X, X1,X2,... und Y1,Y2,... reelle Zufallsvariablen. Es
gelte PYn = N0,1/n für jedes n ∈ N. Man zeige: Es gilt genau dann Xn
D
−→ X,
wenn Xn + Yn
D
−→ X. ♣
Übung 13.2.11. Betrachte die Maße μn := 1
n (δ 1/n +...+δ (n−1)/n +δ1) auf [0, 1].
Zeige, dass μn schwach gegen das Lebesgue-Maß auf [0, 1] konvergiert. ♣
Übung 13.2.12. Für jedes n ∈ N sei Xn eine geometrisch verteilte Zufallsvariable
mit Parameter pn ∈ (0, 1). Wie muss die Folge (pn)n∈N gewählt sein, damit P Xn/n
schwach gegen die Exponentialverteilung mit Parameter α>0 konvergiert? ♣
Übung 13.2.13. Seien X, X1,X2,... reelle Zufallsvariablen mit Xn
Zeige:
(i) E[|X|] ≤ lim infn→∞ E[|Xn|].
n→∞
=⇒ X.
(ii) Ist p > 0 und sup n∈N E[|Xn| r ] < ∞ für eine r > p, so gilt E[|X| p ] =
limn→∞ E[|Xn| p ]. ♣

248 13 Konvergenz von Maßen
13.3 Der Satz von Prohorov
Sei E stets ein polnischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E. Eine grundlegende
Frage ist, wann eine Folge (μn)n∈N von Maßen auf (E,E) einen schwachen Grenzwert
besitzt, oder wenigstens einen schwachen Häufungspunkt. Eine offensichtlich
notwendige Bedingung ist, dass (μn(E))n∈N beschränkt ist, deshalb werden wir
ohne Beschränkung der Allgemeinheit nur Folgen in M≤1(E) betrachten. Dies ist
allerdings nicht hinreichend, denn beispielsweise konvergiert die Folge (δn)n∈N von
W-Maßen auf R nicht schwach. Wir müssen also zusätzlich noch sicher stellen, dass
keine Masse ins Unendliche auswandert“. Dies liefert gerade die Bedingung der
”
Straffheit.
Wir beginnen diesen Abschnitt, indem wir zunächst als Hauptsatz den Satz von
Prohorov [128] vorstellen. Wir geben den Beweis erst in dem Spezialfall E = R an
und kommen dann zu Anwendungen, bevor wir den Satz am Ende des Abschnitts
in voller Allgemeinheit beweisen.
Definition 13.26 (Straffheit). Eine Familie F ⊂ Mf (E) heißt straff, falls zu
jedem ε>0 eine kompakte Menge K ⊂ E existiert mit
sup � μ(E \ K) : μ ∈F � 0 und K =[−C/ε,C/ε] ist
nach der Markov’schen Ungleichung PXi (R \ K) =P[|Xi| >C/ε] ≤ ε.
(iii) Die Familie (δn)n∈N von W-Maßen auf R ist nicht straff.
(iv) Die Familie (U [−n,n])n∈N von uniformen Verteilungen auf den Intervallen
[−n, n] ist nicht straff. ✸

13.3 Der Satz von Prohorov 249
Satz 13.29 (Satz von Prohorov (1956)). Sei (E,d) ein metrischer Raum und F⊂
M≤1(E).
(i) Es gilt
F ist straff =⇒ F ist schwach relativ folgenkompakt.
(ii) Ist E zudem polnisch, so gilt auch die Umkehrung
F ist straff ⇐= F ist schwach relativ folgenkompakt.
Korollar 13.30. Sei E ein kompakter, metrischer Raum. Dann sind die Mengen
M≤1(E) und M1(E) schwach folgenkompakt.
Korollar 13.31. Ist E ein lokalkompakter, separabler, metrischer Raum, so ist
M≤1(E) vag folgenkompakt.
Beweis. Seien x1,x2,... dicht in E. DaE lokalkompakt ist, existiert zu jedem
n ∈ N eine offene Umgebung Un ∋ xn, deren Abschluss U n kompakt ist. Dann ist
aber auch En := � n
k=1 U n kompakt für jedes n ∈ N. Für jede kompakte Menge
K ⊂ E gibt es nun eine endliche Überdeckung K ⊂ � n
k=1 Uk ⊂ En, wobei
n = n(K) von K abhängt.
Nach Korollar 13.30 gibt es zu jedem n ∈ N ein ˜μn ∈M≤1(Kn) und eine Teilfolge
(kn l )l∈N mit ˜μn =w-lim
l→∞ μkn �
� . Mit Hilfe des Diagonalfolgenarguments können
l
Kn
wir annehmen, dass (k n+1
l
)l∈N eine Teilfolge von (kn l )l∈N
�
ist und damit ˜μn+1�
=
Kn
˜μn für jedes n ∈ N. Es existiert also ein μ ∈M≤1(E) mit μ � � =˜μn für jedes
Kn
n ∈ N.Für jedes f ∈ Cc(E) ist der Träger in einem Km enthalten, also gilt (wegen
μkn � n→∞
� −→ μ n
Km
� � schwach)
Km
�
�
n→∞
−→ fdμ,
und damit μk n n
fdμk n n
n→∞
−→ μ vag. ✷
Bemerkung 13.32. Die Implikation in Satz 13.29(ii) ist die weitaus einfachere,
wenn auch weniger nützliche. Hier wird benötigt, dass E polnisch ist, denn eine
einelementige Familie ist offenbar immer schwach kompakt, jedoch nur unter Zusatzannahmen
straff – beispielsweise eben, wenn E polnisch ist (Lemma 13.5). ✸
Beweis (von Satz 13.29(ii)). Wir gehen zunächst ähnlich vor wie im Beweis von
Lemma 13.5. Sei {x1,x2,...}⊂E dicht. Für n ∈ N setze An,N := N�
B1/n(xi). i=1
Dann gilt An,N ↑ E für N →∞für jedes n ∈ N.Sei

250 13 Konvergenz von Maßen
δ := sup
n∈N
inf
N∈N sup μ(A
μ∈F
c n,N ).
Dann gibt es ein n ∈ N, sodass für jedes N ∈ N ein μN ∈ F existiert mit
μN(A c n,N ) ≥ δ/2. DaF schwach relativ folgenkompakt ist, besitzt (μN )N∈N
eine schwach konvergente Teilfolge (μNk )k∈N mit einem schwachen Limes μ ∈
M≤1(E). Nach dem Portemanteau Theorem (Satz 13.16(iv)) gilt für jedes N ∈ N
μ(A c n,N ) ≥ lim inf
k→∞ μNk (Acn,N ) ≥ lim inf
k→∞ μNk (Acn,Nk ) ≥ δ/2.
Andererseits gilt Ac n,N ↓∅für N →∞, also μ(Ac N→∞
n,N ) −→ 0. Mithin ist δ =0.
Sei nun ε>0 beliebig. Nach dem eben Gezeigten können wir zu jedem n ∈ N
ein N ′ n ∈ N wählen, sodass μ(Ac n,N ′ n )

13.3 Der Satz von Prohorov 251
besitzt (Fn(q1))n∈N eine konvergente Teilfolge � Fn1 (q1)
k �
k∈N
eine Teilfolge (n2 k )k∈N von (n1 k )k∈N, sodass � Fn2 (q2)
k �
k∈N
halten wir Teilfolgen (n1 k ) ⊃ (n2 k ) ⊃ (n3 k ) ⊃ ..., sodass � Fnl (ql)
k �
. Ebenso finden wir
konvergiert. Iterativ er-
für jedes
k∈N
l ∈ N konvergiert. Setze jetzt nk := nk k . Dann konvergiert � Fnk (q)� für jedes
k∈N
q ∈ Q. Setze � F (q) = lim Fnk (q) und
k→∞
F (x) =inf � � F (q) : q ∈ Q mit q>x � .
Da � F monoton wachsend ist, ist F rechtsstetig und monoton wachsend.
Ist F stetig in x, so existieren zu ε>0 Zahlen q− ,q + ∈ Q, q− K.Istx > K eine Stetigkeitsstelle von F , dann gilt
lim supk→∞ Fnk (∞) ≤ lim supk→∞ Fnk (x)+ε = F (x)+ε ≤ F (∞)+ε. ✷
Wir kommen zu einer ersten Anwendung des Satzes von Prohorov. Die ganze Stärke
des folgenden Satzes wird erst deutlich, wenn wir geeignete trennende Funktionenklassen
zur Verfügung haben. Diese werden wir in Kapitel 15 genauer untersuchen.
Satz 13.34. Sei E polnisch, und seien μ, μ1, μ2,...∈M≤1(E). Dann sind äquivalent:
(i) μ =w-lim
n→∞ μn.
(ii) (μn)n∈N ist straff, und es gibt eine trennende Familie C⊂Cb(E) mit
�
�
fdμ= lim
n→∞
fdμn für jedes f ∈C. (13.8)
Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Nach der einfachen Implikation im Satz von Prohorov
(Satz 13.29(ii)) folgt aus der schwachen Konvergenz die Straffheit.

252 13 Konvergenz von Maßen
” (ii) =⇒ (i)“ Sei (μn)n∈N straff und C⊂Cb(E) trennend mit (13.8). Wir nehmen
an, (μn)n∈N konvergiere nicht schwach gegen μ. Dann existieren ε>0, f ∈ Cb(E)
und (nk)k∈N mit nk ↑∞und
��
�
� fdμnk � −
� �
�
fdμ�
� >ε für alle k ∈ N. (13.9)
Nach dem Satz von Prohorov (Satz 13.29) existiert ein ν ∈ M≤1(E) und eine
Teilfolge (n ′ k )k∈N von (nk)k∈N mit μn ′ → ν schwach. Wegen (13.9) ist
�
k
� � fdμ− � fdν � � ≥ ε, also μ �= ν. Andererseits ist
�
�
hdμ= lim
k→∞
hdμn ′ k =
�
hdν für jedes h ∈C,
also μ = ν. Damit ist die Annahme zum Widerspruch geführt, und es gilt (i). ✷
Wir wollen den Zusammenhang zwischen schwacher und vager Konvergenz näher
beleuchten.
Satz 13.35. Sei E ein lokalkompakter, polnischer Raum, und seien μ, μ1,μ2,...
∈Mf (E). Dann sind äquivalent:
(i) μ =w-lim
n→∞ μn,
(ii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) = lim
n→∞ μn(E),
(iii) μ =v-lim
n→∞ μn und μ(E) ≥ lim sup μn(E),
n→∞
(iv) μ =v-lim
n→∞ μn und {μn, n∈ N} ist straff.
Beweis. ” (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iii)“ Dies folgt aus dem Portemanteau Theorem.
” (ii) =⇒ (iv)“ Es reicht zu zeigen, dass für jedes ε>0 ein Kompaktum K ⊂ E
existiert mit lim supn→∞ μn(E \ K) ≤ ε.Daμregulär ist (Satz 13.6) existiert eine
kompakte Menge L ⊂ E mit μ(E \ L)

13.3 Der Satz von Prohorov 253
�
sup μn(E) ≤ 1+supμn(L)
≤ 1+sup ρdμn < ∞,
n∈N
n∈N
n∈N
weil nach Voraussetzung � ρdμnkonvergiert. Es ist also auch
C := max(μ(E), sup{μn(E) : n ∈ N}) < ∞,
und wir können zu μ/C und μn/C übergehen und ohne Einschränkung annehmen,
dass alle Maße in M≤1(E) liegen. Da Cc(E) trennend ist für M≤1(E) (siehe
Satz 13.11), folgt (i) aus Satz 13.34. ✷
Beweis des Satzes von Prohorov, Teil (i), allgemeiner Fall. Es gibt prinzipiell
zwei Möglichkeiten, den Satz im allgemeinen Fall zu beweisen. Die eine
Möglichkeit besteht darin, den Satz zunächst für Maße auf R d zu zeigen (das haben
wir für d =1bereits getan, siehe auch Übung 13.3.4 für d ≥ 2). In einem
zweiten Schritt wird die Aussage auf Folgenräume R N angehoben. Schließlich wird
im dritten Schritt eine Einbettung von E in R N konstruiert. Diesen Weg findet man
beispielsweise in [14] oder [84].
Wir folgen hier der anderen Route, wie sie etwa in [15] (beziehungsweise [17]) oder
[43] dargestellt wird. Der Hauptpunkt des Beweises besteht darin, einen Kandidaten
für einen schwachen Häufungspunkt der Familie F zu finden. Wir werden diesen
zunächst als Inhalt auf einem abzählbaren Mengensystem konstruieren und dann
ein äußeres Maß daraus ableiten. Schließlich zeigen wir, dass die abgeschlossenen
Mengen messbar bezüglich dieses äußeren Maßes sind. Die Argumentation verläuft
also in Teilen recht ähnlich wie beim Beweis des Satzes von Carathéodory.
Sei (E,d) ein metrischer Raum und F⊂M≤1(E) straff. Dann existiert eine aufsteigende
Folge K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ ... von kompakten Mengen in E, sodass
μ(Kc n) < 1
n gilt für jedes μ ∈ F und jedes n ∈ N. Setze E′ := �∞ n=1 Kn.
Dann ist E ′ ein σ-kompakter, metrischer Raum, also insbesondere separabel. Da
nach Konstruktion μ(E \ E ′ ) = 0 für jedes μ ∈ F gilt, können wir jedes μ
als Maß auf E ′ auffassen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir al-
so annehmen, dass Eσ-kompakt und damit separabel ist. Es existiert also eine
abzählbare Basis U der Topologie τ � � auf E, das heißt eine abzählbare Menge E
E
von offenen Mengen, sodass A = �
U∈U,U⊂A U für jedes offene A ⊂ E ist. Setze
C ′ := � U ∩ Kn : U ∈U,n∈ N � und
�
�N
C :=
n=1
Cn : N ∈ N und C1,...,CN ∈C ′
�
.
Offenbar ist C eine abzählbare Menge kompakter Mengen in E, und C ist vereinigungsstabil.
Jedes Kn hat eine endliche Überdeckung mit Mengen aus U, also ist
Kn ∈C.
Sei nun (μn)n∈N eine Folge in F. Mit Hilfe des Diagonalfolgenarguments (siehe
Beweis des Auswahlsatzes von Helly, Satz 13.33) können wir eine Teilfolge
(μnk )k∈N finden, für die der Grenzwert

254 13 Konvergenz von Maßen
α(C) := lim μnk (C)
k→∞
(13.10)
für jedes C ∈ C existiert. Angenommen es gibt ein Maß μ auf der Borel’schen
σ-Algebra E von E, sodass
μ(A) =sup � α(C) : C ∈C mit C ⊂ A �
für A ⊂ E offen. (13.11)
Dann ist
μ(E) ≥ sup α(Kn) =suplim
μnk (Kn)
n∈N
n∈N k→∞
≥ sup lim sup
n∈N k→∞
�
= lim sup μnk
k→∞
(E).
Für offenes A und für C ∈Cmit C ⊂ A ist ferner
α(C) = lim
k→∞
1
μnk (E) −
n
μnk (C) ≤ lim inf μnk (A),
k→∞
also μ(A) ≤ lim infk→∞ μnk (A). Nach dem Portemanteau Theorem (Satz 13.16)
ist μ =w-lim μnk , und damit ist F als schwach relativ folgenkompakt erkannt. Es
k→∞
bleibt zu zeigen, dass es ein Maß μ auf (E,E) gibt, das (13.11) erfüllt.
Die Mengenfunktion α auf C ist offenbar monoton, additiv und subadditiv:
Wir definieren
und
α(C1) ≤ α(C2), falls C1 ⊂ C2,
α(C1 ∪ C2) =α(C1)+α(C2),
α(C1 ∪ C2) ≤ α(C1)+α(C2).
falls C1 ∩ C2 = ∅,
β(A) :=sup � α(C) : C ∈C mit C ⊂ A �
μ ∗ (G) :=inf � β(A) : A ⊃ G ist offen �
�
für A ⊂ E offen
für G ∈ 2 E .
(13.12)
Offenbar ist β(A) =μ ∗ (A) für jedes offene A. Es reicht zu zeigen (Schritte 1-3
unten), dass μ ∗ ein äußeres Maß ist (siehe Definition 1.46), und (4. Schritt) dass
die σ-Algebra der μ ∗ -messbaren Mengen (siehe Definition 1.48 und Lemma 1.52)
die abgeschlossenen Mengen und damit ganz E enthält. Nach Lemma 1.52 ist dann
nämlich μ∗ ein Maß auf der σ-Algebra der μ∗-messbaren Mengen, und die Einschränkung
μ := μ∗� �E erfüllt μ(A) =μ∗ (A) =β(A) für alle offenen A, also gilt
Gleichung (13.11).
Offenbar ist μ ∗ (∅) =0, und μ ∗ ist monoton. Um zu zeigen, dass μ ∗ ein äußeres
Maß ist, müssen wir nur noch die σ-Subadditivität nachweisen.

13.3 Der Satz von Prohorov 255
1. Schritt (endliche Subadditivität von β) Seien A1,A2 ⊂ E offen und C ∈C
mit C ⊂ A1 ∪ A2. Sein ∈ N mit C ⊂ Kn.Wirdefinieren zwei Mengen
B1 := � x ∈ C : d(x, A c 1) ≥ d(x, A c 2) � ,
B2 := � x ∈ C : d(x, A c 1) ≤ d(x, A c 2) � .
A
1
B1 B2 C
Offenbar ist B1 ⊂ A1 und B2 ⊂ A2. Dax ↦→ d(x, Ac i ) stetig ist für i =1, 2, sind
B1 und B2 als abgeschlossene Teilmengen von C kompakt. Also ist d(B1,Ac 1) > 0.
Es existiert also eine offene Menge D1 mit B1 ⊂ D1 ⊂ D1 ⊂ A1.(Manwähle etwa
D1 als Vereinigung einer endlichen Überdeckung von B1 mit Kugeln vom Radius
d(B1,Ac 1)/2. Diese Kugeln liegen nebst ihren Abschlüssen in A1.) Sei UD1 :=
{U ∈U: U ⊂ D1}. DannistB1⊂ D1 = �
U. Wähle nun eine endliche
U∈UD1 Teilüberdeckung {U1,...,UN }⊂UD1 von B1 und setze C1 := �N i=1 U i ∩ Kn.
Dann ist B1 ⊂ C1 ⊂ A1 und C1 ∈C.Wähle analog ein C2 ∈Cmit B2 ⊂ C2 ⊂ A2.
Es folgt
α(C) ≤ α(C1 ∪ C2) ≤ α(C1)+α(C2) ≤ β(A1)+β(A2).
Also gilt auch
β(A1 ∪ A2) =sup � �
α(C) : C ∈C mit C ⊂ A1 ∪ A2 ≤ β(A1)+β(A2).
2. Schritt (σ-Subadditivität von β) Seien A1,A2,...offene Mengen und C ∈C
mit C ⊂ �∞ i=1 Ai. DaC kompakt ist, existiert ein n ∈ N mit C ⊂ �n i=1 Ai. Die
schon gezeigte endliche Subadditivität von β impliziert
�
�n
α(C) ≤ α
� �
�n
= β
� ∞�
≤ β(Ai).
Ai
i=1
Ai
i=1
Indem wir das Supremum über solche C bilden, folgt
�
�∞
� �
∞�
β =sup α(C) : C ∈C mit C ⊂
Ai
i=1
i=1
Ai
i=1
� ∞�
≤ β(Ai).
3. Schritt (σ-Subadditivität von μ∗ ) Seien G1,G2,... ∈ 2E .Seiε>0. Wähle
für jedes n ∈ N eine offene Menge An ⊃ Gn mit β(An)

256 13 Konvergenz von Maßen
Da ε>0 beliebig war, folgt μ∗� �∞ äußeres Maß.
n=1 Gn
� ≤ � ∞
n=1 μ∗ (Gn). Mithin ist μ ∗ ein
4. Schritt (Abgeschlossene Mengen sind in μ∗-messbar) eine Menge B ⊂ E genau dann μ
Nach Lemma 1.49 ist
∗-messbar, wenn
μ ∗ (B ∩ G)+μ ∗ (B c ∩ G) ≤ μ ∗ (G) für alle G ∈ 2 E .
Indem wir das Infimum über alle offenen Mengen A ⊃ G bilden, reicht es zu zeigen,
dass für jedes abgeschlossene B und jedes offene A ⊂ E gilt, dass
μ ∗ (B ∩ A)+μ ∗ (B c ∩ A) ≤ β(A). (13.13)
Sei ε>0. Wähle C1 ∈Cmit C1 ⊂ A ∩ Bc und α(C1) >β(A∩ Bc ) − ε. Wähle
ferner C2 ∈Cmit C2 ⊂ A ∩ Cc 1 und α(C2) >β(A∩ Cc 1) − ε.WegenC1∩C2 = ∅
und C1 ∪ C2 ⊂ A folgt
β(A) ≥ α(C1 ∪ C2) =α(C1)+α(C2) ≥ β(A ∩ B c )+β(A ∩ C c 1) − 2ε
≥ μ ∗ (A ∩ B c )+μ ∗ (A ∩ B) − 2ε.
Indem wir ε → 0 gehen lassen, folgt (13.13). Damit ist der Beweis des Satzes von
Prohorov vollständig. ✷
Übung 13.3.1. Man zeige: Eine Familie F⊂Mf (R) ist genau dann straff, wenn
es eine messbare � Abbildung f : R → [0, ∞) gibt mit f(x) →∞für |x| →∞und
supμ∈F fdμ

13.4 Anwendung: Satz von de Finetti – anders angeschaut 257
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti – anders angeschaut
(Nach einer Idee von Götz Kersting.) Sei E ein polnischer Raum und X1,X2,...
eine austauschbare Folge von Zufallsvariablen mit Werten in E. Wir wollen hier,
alternativ zu dem Rückwärtsmartingalargument aus Kapitel 12.3, einen Beweis für
den Satz von de Finetti (Satz 12.26) angeben, der besagt, dass es ein zufälliges W-
Maß Ξ auf E gibt, sodass, gegeben Ξ, die Zufallsvariablen X1,X2,...unabhängig
und Ξ-verteilt sind. Für x =(x1,x2,...) ∈ EN seien ξn(x) := 1 �n δxl n l=1 die
empirische Verteilung von x1,...,xn,
μn,k(x) :=ξn(x) ⊗k = n −k
n�
i1,...,ik=1
δ (xi1 ,...,xi k )
die Verteilung auf E k des k-fachen unabhängigen Ziehens (mit Beachtung der Reihenfolge)
aus (x1,...,xn) mit Zurücklegen und
νn,k(x) :=
(n − k)!
n!
n�
i 1 ,...,i k =1
#{i 1 ,...,i k }=k
δ (xi1 ,...,xi k )
die Verteilung auf E k des k-fachen unabhängigen Ziehens (mit Beachtung der Reihenfolge)
aus (x1,...,xn) ohne Zurücklegen. Für jedes x ∈ E N gilt
�
� μn,k(x) − νn,k(x) � � TV ≤ Rn,k :=
k(k − 1)
.
n
In der Tat ist die Wahrscheinlichkeit pn,k, beim k-maligen Ziehen (mit Zurücklegen)
aus n unterscheidbaren Kugeln keine zwei gleichen Kugeln zu ziehen,
k−1
pn,k =
�
(1 − l/n)
l=1
und Rn,k ≥ 2(1 − pn,k). Wir erhalten also die, intuitiv klare, Aussage, dass sich
für n →∞die Verteilungen des k-maligen Ziehens mit und ohne Zurücklegen
annähern
lim
n→∞ sup
x∈EN �
�μn,k(x) − νn,k(x) � � =0.
TV
Seien nun f1,...,fk ∈ Cb(E) und F (x1,...,xk) :=f1(x1) ···fk(xk). Dann gilt
wegen der Austauschbarkeit der Folge X1,X2,... für jede Wahl von paarweise
unterschiedlichen Zahlen 1 ≤ i1,...,ik ≤ n
E[F (X1,...,Xk)] = E[F (Xi1 ,...,Xik )].
Indem wir über alle solchen Wahlen von i1,...,ik mitteln, erhalten wir

258 13 Konvergenz von Maßen
E � f1(X1) ···fk(Xk) � = E � F (X1,...,Xk) � �
= E
�
Also ist
�
�
�E � f1(X1) ···fk(Xk) � �
− E
�
� �
�
= �E
�
�
f1 dξn(X) ···
� �
Fdνn,k(X) − E
�
�
Fdνn,k(X) .
��
��
fk dξn(X)
��
��
Fdμn,k(X)
n→∞
≤�F�∞ Rn,k −→ 0.
Wir machen uns jetzt das folgende Kriterium für die Straffheit von Teilmengen von
M1(M1(E)) zu Nutze.
Übung 13.4.1. Man zeige: Eine Teilmenge K ⊂ M1(M1(E)) ist genau dann
straff, wenn für jedes ε>0 eine kompakte Menge K ⊂ E existiert mit der Eigenschaft
�μ �� μ ∈M1(E) : μ(K c ) >ε �� 0 existiert also ein Kompaktum K ⊂ E
mit P[X1 ∈ Kc ] ε] ≤ ε−1E[ξn(X)(Kc )] =
ε−1P[X1 ∈ Kc ] ≤ ε. Also ist die Familie (Pξn(X))n∈N straff. Sei Ξ∞ eine Zufallsvariable
(mit Werten in M1(E)), sodass PΞ∞ =w-lim
l→∞ Pξn (X) für eine geeignete
l
Teilfolge (nl)l∈N. Die Abbildung ξ ↦→ � Fdξ= � f1 dξ ··· � fk dξ ist beschränkt
und (als Produkt stetiger Abbildungen) stetig bezüglich der Topologie der schwachen
Konvergenz auf M1(E), also aus Cb(M1(E)). Daher gilt
�
E
�
FdΞ ⊗k
� �
∞ = lim E
l→∞ �
�
f1 dξnl (X) ··· fk dξnl (X)
�
= E � f1(X1) ···fk(Xk) � .
Nun hängt der Grenzwert aber nicht mehr von der gewählten Teilfolge ab und ist
damit eindeutig. Es folgt, noch einmal komplett ausgeschrieben, dass
E � f1(X1) ···fk(Xk) � �
= E
�
� �
f1 dΞ∞ ···
.
fk dΞ∞
Durch diese Integrale ist aber die Verteilung von (X1,...,Xk) vollständig bestimmt,
und es folgt, dass P (X1,...,Xk) = P Ξ ⊗k
∞ , oder als Zufallsvariablen ausgedrückt:
(X1,...,Xk) D = (Y1,...,Yk), wo, gegeben Ξ∞, die Zufallsvariablen
Y1,...,Yk unabhängig mit Verteilung Ξ∞.
Übung 13.4.2. Man zeige: Eine Familie (Xn)n∈N von Zufallsvariablen ist genau
dann austauschbar, wenn für jede Wahl von natürlichen Zahlen mit 1 ≤ n1

14 W-Maße auf Produkträumen
Als Motivation betrachten wir das folgende Beispiel. Sei X eine uniform auf [0, 1]
verteilte Zufallsvariable. Sobald wir den Wert von X kennen, wollen wir n mal
eine Münze werfen, die Erfolgswahrscheinlichkeit X hat. Die Ergebnisse seien
Y1,...,Yn.
Wie konstruieren wir einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum, auf dem alle Zufallsvariablen
definiert sind?
Eine Möglichkeit: Wir wissen schon, wie wir n +1unabhängige Zufallsvariablen
Z0,...,Zn konstruieren, die uniform auf [0, 1] verteilt sind (siehe etwa Korollar
2.23). Setze nun X = Z0 und
�
1, falls Zk

260 14 W-Maße auf Produkträumen
14.1 Produkträume
Definition 14.1 (Produktraum). Sei (Ωi, i∈ I) eine beliebige Familie von Mengen.
Mit Ω = × Ωi bezeichnen wir die Menge der Abbildungen ω : I →
i∈I
�
Ωi
i∈I
mit der Eigenschaft, dass ω(i) ∈ Ωi für jedes i ∈ I gilt. Ω heißt das Produkt der
(Ωi, i∈ I), oder kurz Produktraum. Sind speziell alle Ωi gleich, etwa Ωi = Ω0,
so schreiben wir Ω = × Ωi = Ω
i∈I
I 0.
Beispiele 14.2. (i) Ist Ω1 = {1,...,6} und Ω2 = {1, 2, 3}, soist
Ω1 × Ω2 = � ω =(ω1,ω2) : ω1 ∈{1,...,6}, ω2 ∈{1, 2, 3} � .
(ii) Ist Ω0 = R und I = {1, 2, 3}, soistR {1,2,3} isomorph zum üblichen R3 .
(iii) Ist Ω0 = R und I = N, soistRNder Raum der Folgen (ω(n), n∈ N) in R.
(iv) Ist I = R und Ω0 = R,soistRRMenge der Abbildungen R → R. ✸
Definition 14.3 (Koordinatenabbildung). Ist i ∈ I, so bezeichnet Xi : Ω → Ωi,
ω ↦→ ω(i) die i-te Koordinatenabbildung. Allgemeiner nennen wir für J ⊂ J ′ ⊂ I
die eingeschränkte Abbildung
′
J
XJ : × Ωj −→ × j∈J ′
j∈J
Ωj, ω ′ ↦→ ω ′� �J
die kanonische Projektion. Speziell schreiben wir XJ := X I J .
(14.1)
Definition 14.4 (Produkt-σ-Algebra). Seien (Ωi, Ai), i ∈ I, Messräume. Die
Produkt-σ-Algebra
A = �
i∈I
ist die kleinste σ- Algebra auf Ω, sodass für jedes i ∈ I die Abbildung Xi messbar
bezüglich A – Ai ist:
Ai
A = σ � Xi, i∈ I � := σ � X −1
i (Ai), i∈ I � .
Ist (Ωi, Ai) =(Ω0, A0) für jedes i ∈ I, so schreiben wir auch A = A ⊗I
0 .
Für J ⊂ I schreiben wir ΩJ = × Ωj und AJ =
j∈J
�
Aj.
j∈J
Bemerkung 14.5. Die Begriffsbildung der Produkt-σ-Algebra ist analog zu der der
Produkttopologie: Sind((Ωi, τi),i ∈ I) topologische Räume, so ist die Produkttopologie
τ auf Ω = × Ωi die gröbste Topologie, bezüglich der alle Koordinaten-
i∈I
abbildungen Xi : Ω −→ Ωi stetig sind. ✸

14.1 Produkträume 261
Definition 14.6. Sei I �= ∅ eine beliebige Indexmenge, (E,E) ein Messraum,
(Ω,A) =(E I , B(E) ⊗I ) und Xt : Ω → E die Koordinatenabbildung für jedes
t ∈ I. Dann nennen wir die Familie (Xt)t∈I den kanonischen Prozess auf (Ω,A).
Lemma 14.7. Sei ∅ �= J ⊂ I. Dann ist X I J messbar bezüglich AI – AJ.
Beweis. Für jedes j ∈ J ist Xj = XJ j ◦ XI J messbar bezüglich A – Aj. Nach
Korollar 1.82 ist daher XI J messbar. ✷
Satz 14.8. Sei I höchstens abzählbar, und für jedes i ∈ I sei (Ωi, τi) polnisch mit
Borel’scher σ-Algebra Bi = σ(τi). Esseiτdie Produkttopologie auf Ω = × Ωi
i∈I
und B = σ(τ).
Dann ist (Ω, τ) polnisch und B = �
Bi. Speziell ist B(Rd )=B(R) ⊗d für d ∈ N.
i∈I
Beweis. Ohne Einschränkung sei I = N.Für i ∈ N sei di eine vollständige Metrik,
die τi erzeugt. Man prüft leicht nach, dass dann
d(ω, ω ′ ):=
∞�
2 −i
i=1
di(ω(i),ω ′ (i))
1+di(ω(i),ω ′ (i))
(14.2)
eine vollständige Metrik auf Ω ist, die τ erzeugt.
Für jedes i ∈ N sei nun Di ⊂ Ωi eine abzählbare, dichte Teilmenge und yi ∈ Di
ein beliebiger fester Punkt. Die Menge
�
�
D = x ∈× Di : xi �= yi nur endlich oft
i∈N
ist, wie man leicht prüft, eine abzählbare, dichte Teilmenge von Ω.AlsoistΩsepa rabel und damit polnisch.
Sei nun βi = {Bε(xi) : xi ∈ Di, ε∈ Q + } für jedes i ∈ I eine abzählbare Basis
der Topologie von Ωi aus ε-Kugeln. Setze
�
N�
�
β :=
∞�
N=1
i=1
X −1
i (Bi) : B1 ∈ β1,...,BN ∈ βN
Dann ist β eine abzählbare Basis der Topologie τ, also ist jede offene Menge A ⊂ Ω
(abzählbare) Vereinigung von Mengen in β ⊂ �
i∈N Bi. Mithin ist τ ⊂ �
i∈N Bi
und damit B⊂ �
i∈N Bi.
Andererseits ist jedes Xi stetig, also messbar bezüglich B – Bi und damit B ⊃
�
i∈N Bi. ✷
.

262 14 W-Maße auf Produkträumen
Definition 14.9 (Zylindermengen). Für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Ai ein Teilsystem der
messbaren Mengen.
Für jedes A ∈AJ heißt X −1
(A) ⊂ Ω Zylindermenge mit Basis J. Die Menge
J
dieser Zylindermengen wird mit ZJ bezeichnet. Ist speziell A = ×j∈J Aj für ge-
wisse Aj ∈Aj, so heißt X −1
J (A) Rechteckzylinder mit Basis J. Die Menge dieser
bezeichnet, die Menge aller Rechteckzylinder, für die
Rechteckzylinder wird mit ZR J
zusätzlich Aj ∈Ej für jedes j ∈ J gilt, mit Z E,R
J .
Wir schreiben
Z =
J⊂I endlich
und definieren analog ZR und ZE,R . Ferner definieren wir
und analog Z E,R
∗ .
Z R ∗ =
∞�
N=1
� N�
n=1
�
ZJ, (14.3)
An : A1,...,An ∈Z R
Bemerkung 14.10. Jedes ZJ ist eine σ-Algebra, und Z und Z R ∗ sind Algebren.
Außerdem gilt �
i∈I Ai = σ(Z). ✸
Lemma 14.11. Ist jedes Ei schnittstabil, beziehungsweise ein Semiring, so ist Z E,R
schnittstabil, beziehungsweise ein Semiring.
Beweis. Übung! ✷
Satz 14.12. Für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Ai ein Erzeuger von Ai.
(i) Für jedes endliche J ⊂ I gilt � �
�
Aj = σ × Ej : Ej ∈Ej .
j∈J
j∈J
(ii) Es gilt �
Ai = σ(Z R )=σ � ZE,R� .
i∈I
(iii) Sei μ ein σ-endliches Maß auf A, und sei jedes Ei zudem schnittstabil. Ferner
gebe es eine Folge (En)n∈N in Z E,R mit En ↑ Ω und μ(En) < ∞ für jedes
n ∈ N (speziell ist diese Bedingung natürlich erfüllt, wenn μ endlich ist und
Ωi ∈Ei für jedes i ∈ I). Dann ist μ durch Angabe von μ(A) für jedes A ∈
Z E,R eindeutig festgelegt.
Beweis. (i) Sei A ′ J
�
= σ
× j∈J
× j∈J
�
�
Ej : Ej ∈Ej für jedes j ∈ J .Esist
Ej = �
j∈J
(X J j ) −1 (Ej) ∈AJ,

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 263
also A ′ J ⊂AJ. Umgekehrt gilt (X J j )−1 (Ej) ∈A ′ J für j ∈ J und Ej ∈Ej. Da
Ei ein Erzeuger von Ai ist, ist (X J j )−1 (Aj) ∈A ′ J für jedes Aj ∈Aj, also gilt
AJ ⊂A ′ J .
(ii) Offenbar ist Z E,R ⊂Z R ⊂A, also auch σ(Z E,R ) ⊂ σ(Z R ) ⊂A. Nach
Satz 1.81 gilt σ � Z E,R�
{i} = σ(Xi) für jedes i ∈ I, also σ(Xi) ⊂ σ(Z E,R ) und damit
AI ⊂ σ(Z E,R ).
(iii) Nach (ii) und Lemma 14.11 ist Z E,R ein schnittstabiler Erzeuger von A. Die
Aussage folgt daher aus Lemma 1.42. ✷
Übung 14.1.1. Man zeige:
�
Ai =
i∈I
�
J⊂I abzählbar
ZJ. (14.4)
Hinweis: Man zeige, dass die rechte Seite eine σ-Algebra ist. ♣
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne
Wir betrachten jetzt die Situation endlich vieler σ-endlicher Maßräume (Ωi, Ai,μi),
i =1,...,n, wobei n ∈ N.
Lemma 14.13. Sei A ∈A1 ⊗A2 und f : Ω1 × Ω2 → R eine A1 ⊗A2-messbare
Abbildung. Dann gilt für jedes ˜ω1 ∈ Ω1 und ˜ω2 ∈ Ω2
A˜ω1 := {ω2 ∈ Ω2 :(˜ω1,ω2) ∈ A} ∈A2,
A˜ω2 := {ω1 ∈ Ω1 :(ω1, ˜ω2) ∈ A} ∈A1,
f˜ω1 : Ω2 → R, ω2↦→ f(˜ω1,ω2) ist A2–messbar,
f˜ω2 : Ω1 → R, ω1↦→ f(ω1, ˜ω2) ist A1–messbar.
Beweis. Für ˜ω1 definiere die Einbettung i : Ω2 → Ω1×Ω2 durch i(ω2) =(˜ω1,ω2).
Da X1 ◦ i konstant gleich ˜ω1 ist (also A1-messbar), und X2 ◦ i =idΩ2 (also A2messbar),
ist nach Korollar 1.82 die Abbildung i messbar bezüglich A2 – (A1⊗A2).
Mithin ist A˜ω1 = i−1 (A) ∈A2 und f˜ω1 = f ◦ i messbar bezüglich A2. ✷
Der folgende Satz verallgemeinert Satz 1.61.

264 14 W-Maße auf Produkträumen
Satz 14.14 (Endliche Produktmaße). Es existiert genau ein σ-endliches Maß μ
auf A := �n i=1 Ai mit
n�
μ(A1 ×···×An) = μi(Ai) für Ai ∈Ai, i=1,...,n. (14.5)
Wir nennen
i=1
n�
μi := μ1 ⊗···⊗μn := μ das Produktmaß der μi.
i=1
Sind alle Räume gleich (Ω0, A0,μ0), so schreiben wir μ ⊗n
0 := n�
Beweis. Sei ˜μ auf Z R wie μ in (14.5) festgesetzt. Offenbar ist ˜μ(∅) = 0, und
man überlegt sich leicht, dass ˜μ σ-endlich ist. Seien A 1 ,A 2 ,... ∈Z R paarweise
disjunkt und A ∈Z R mit A ⊂ � ∞
k=1 Ak . Dann ist nach dem Satz über monotone
Konvergenz
�
˜μ(A) =
�
≤
�
μ1(dω1) ···
�
μ1(dω1) ···
k=1
i=1
μ0.
μn(dωn) A((ω1,...,ωn))
∞�
μn(dωn) Ak((ω1,...,ωn)) ∞�
= ˜μ(A k ).
Ist speziell A = A 1 � A 2 ,soerhält man analog ˜μ(A) =˜μ(A 1 )+˜μ(A 2 ). Mithin ist
˜μ eine σ-endliche, additive, σ-subadditive Mengenfunktion auf dem Semiring Z R
mit ˜μ(∅) =0. Nach dem Fortsetzungssatz (Satz 1.53) kann ˜μ in eindeutiger Weise
zu einem σ-endlichen Maß fortgesetzt werden. ✷
Beispiel 14.15. Für i =1,...,nsei (Ωi, Ai, Pi) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Auf
dem Raum (Ω,A, P) := � × n
i=1 Ωi, �n i=1 Ai, �n i=1 Pi
�
sind die Koordinatenabbildungen
Xi : Ω → Ωi unabhängig mit Verteilung PXi = Pi. ✸
k=1

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 265
Satz 14.16 (Fubini). Seien (Ωi, Ai,μi) σ-endliche Maßräume, i = 1, 2, sowie
f : Ω1 × Ω2 → R messbar bezüglich A1 ⊗A2.Istf≥ 0 oder f ∈L1 (μ1 ⊗ μ2),
dann gelten
�
ω1 ↦→ f(ω1,ω2) μ2(dω2) ist A1-messbar,
�
(14.6)
ω2 ↦→ f(ω1,ω2) μ1(dω1) ist A2-messbar,
und
�
Ω1×Ω2
�
fd(μ1 ⊗ μ2) =
�
=
Ω1
Ω2
��
��
Ω2
Ω1
�
f(ω1,ω2) μ2(dω2) μ1(dω1)
�
f(ω1,ω2) μ1(dω1) μ2(dω2).
(14.7)
Beweis. Der Beweis folgt dem üblichen Schema der schrittweisen Approximation
ausgehend von einfachen Funktionen.
Sei zunächst f = A für A = A1 × A2 mit A1 ∈A1 und A2 ∈A2. Dann gelten
(14.6) und (14.7) trivialerweise. Durch endliche Summenbildung gilt dies nun auch
für A ∈Z R ∗ (Algebra der endlichen Vereinigungen von Rechtecken).
Sei nun A ∈ A1 ⊗A2. Nach dem Approximationssatz (Satz 1.65) gibt es eine
Folge von Mengen (A n )n∈N in Z R ∗ ,dieA dem Maße μ1 ⊗ μ2 nach approximieren.
Da Limiten messbarer Funktionen wieder messbar sind, und nach Konstruktion die
Integrale konvergieren, gelten (14.6) und (14.7) jetzt auch für f = A und A ∈
A1 ⊗A2. Durch endliche Summenbildung gelten nun (14.6) und (14.7) auch für
den Fall, wo f eine Elementarfunktion ist.
Wir betrachten jetzt f ≥ 0. Dann existiert nach Satz 1.96 eine Folge von Elementarfunktionen
(fn)n∈N mit fn ↑ f. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
(Satz 4.20) gelten (14.6) und (14.7) nun auch für dieses f.
Ist f ∈L 1 (μ1⊗μ2),dannistf = f + −f − mit integrierbaren Funktionen f + ,f − ≥
0, für die (14.6) und (14.7) gelten, also auch für f. ✷
In Definition 2.32 hatten wir die Faltung zweier W-Maße μ und ν als die Verteilung
der Summe zweier unabhängiger, wie μ und ν verteilter Zufallsvariablen definiert.
Als eine einfache Anwendung des Satzes von Fubini wollen wir eine neue Definition
geben (die natürlich mit der alten konsistent ist), die alle endlichen Maße auf dem
R n umfasst. Haben diese Maße zusätzlich Dichten bezüglich des Lebesgue-Maßes,
so können wir eine explizite Formel zur Berechnung der Faltung angeben.
Seien also X und Y R n -wertige Zufallsvariablen mit Dichten fX und fY .Das
heißt, fX,fY : R n → [0, ∞] sind messbar und integrierbar bezüglich des ndimensionalen
Lebesgue-Maßes λ n , und es gilt für jedes x ∈ R n

266 14 W-Maße auf Produkträumen
�
P[X ≤ x] = fX(t) λ
(−∞,x]
n �
(dt) und P[Y ≤ x] = fY (t) λ
(−∞,x]
n (dt).
Hierbei ist (−∞,x]={y ∈ R n : yi ≤ xi für i =1,...,n} (vergleiche (1.5)).
Definition 14.17. Sei n ∈ N. Für zwei Lebesgue-integrierbare Abbildungen f,g :
Rn → [0, ∞] definieren wir die Faltung f ∗ g : Rn → [0, ∞] durch
�
(f ∗ g)(x) = f(y) g(x − y) λ n (dy).
R n
Für zwei endliche Maße μ, ν ∈ Mf (R n ) definieren wir die Faltung μ ∗ ν ∈
Mf (R n ) durch
� �
(μ ∗ ν)((−∞,x]) =
wobei Ax := {(u, v) ∈ R n × R n : u + v ≤ x} ist.
Ax (u, v) μ(du) ν(dv),
Lemma 14.18. Die Abbildung f ∗ g ist messbar, und es gelten f ∗ g = g ∗ f und
�
(f ∗ g) dλ n ��
= fdλ n
���
gdλ n
�
.
R n
Ebenso gelten μ ∗ ν = ν ∗ μ und (μ ∗ ν)(R n )=μ(R n ) ν(R n ).
R n
Beweis. Die Aussagen folgen direkt aus dem Satz von Fubini. ✷
Satz 14.19 (Faltung von n-dimensionalen Maßen).
(i) Sind X und Y unabhängige R n -wertige Zufallsvariablen mit Dichten fX und
fY ,sohatX + Y die Dichte fX ∗ fY .
(ii) Sind μ = fλ n und ν = gλ n endliche Maße mit Dichten f und g bezüglich
des Lebesgue-Maßes, so gilt μ ∗ ν =(f ∗ g)λ n .
Beweis. (i) Sei x ∈ R n und A := {(u, v) ∈ R n × R n : u + v ≤ x}. Dann gilt
nach mehrfacher Anwendung des Satzes von Fubini (sowie der Translationsinvarianz
von λ n )
R n

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 267
P[X + Y ≤ x] =P[(X, Y ) ∈ A]
�
=
Rn ×Rn �
=
Rn ��
Rn A(u, v) fX(u) λ n �
(du)
�
=
Rn �� fX(u) λ
(−∞,x−v]
n �
(du)
�
=
Rn �� fX(u − v) λ
(−∞,x]
n �
(du)
� ��
=
�
=
(−∞,x]
A(u, v) fX(u) fY (v) (λ n ) ⊗2 (d(u, v))
R n
(fX ∗ fY ) dλ
(−∞,x]
n .
fY (v) λ n (dv)
fY (v) λ n (dv)
fY (v) λ n (dv)
fX(u − v) fY (v) λ n �
(dv) λ n (du)
(ii) Ersetze in (i) μ = PX und ν = PY . Die Aussage folgt unmittelbar. ✷
Wir kommen zu einer Begriffsbildung, die diejenige der Produktmaße verallgemeinert
und in Richtung unseres Eingangsbeispiels steuert.
Wir erinnern an den Begriff des Übergangskerns aus Definition 8.24.
Lemma 14.20. Sei κ ein endlicher Übergangskern von (Ω1, A1) nach (Ω2, A2),
und sei f : Ω1 × Ω2 → [0, ∞] messbar bezüglich A1 ⊗A2 −B([0, ∞]). Dann ist
die Abbildung
If : Ω1 → [0, ∞]
�
ω1 ↦→ f(ω1,ω2) κ(ω1,dω2)
wohldefiniert und A1–messbar.
Beweis. Nach Lemma 14.13 ist für jedes ω1 ∈ Ω1 die Abbildung fω1 messbar
bezüglich A2, also ist If (ω1) = � fω1 (ω2) κ(ω1,dω2) wohldefiniert. Wir müssen
also nur noch die Messbarkeit von If zeigen.
Ist g = A1×A2 für A1 ∈A1und A2 ∈A2, soistIg(ω1) = A1 (ω1)κ(ω1,A2)
offenbar messbar. Sei nun D = � A ∈A1⊗A2 : I ist A1–messbar A � . Wir zeigen,
dass D ein Dynkin-System ist:
(i) Offenbar ist Ω1 × Ω2 ∈D.
(ii) Sind A, B ∈Dmit A ⊂ B,soistI B\A = I B − I A messbar, wobei wir die
Endlichkeit von κ ausgenutzt haben, also ist B \ A ∈D.

268 14 W-Maße auf Produkträumen
(iii) Sind A1,A2,... ∈Dpaarweise disjunkt und A := �∞ n=1 An,
�
soistI = A
∞
n=1 I messbar, also A ∈D.
An
Nun ist D also ein Dynkin-System, das den schnittstabilen Erzeuger aller Rechteckmengen
in A1 ⊗A2 enthält, also ist (nach Satz 1.19) D = A1 ⊗A2. Mithin
ist I A messbar für jedes A ∈ A1 ⊗A2. Es folgt, dass Ig messbar ist für
jede Elementarfunktion. Sei nun (fn)n∈N eine Folge von Elementarfunktion mit
fn ↑ f.Für jedes feste ω1 ∈ Ω1 gilt nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
If (ω1) = limn→∞ Ifn (ω1), und If ist als Limes messbarer Funktionen messbar. ✷
Bemerkung 14.21. Wir schreiben im Folgenden oft � κ(ω1,dω2) f(ω1,ω2) statt
� f(ω1,ω2) κ(ω1,dω2), denn bei Mehrfachintegralen erlaubt diese Notation es, den
Integrator näher an das betreffende Integralzeichen heran zu rücken. ✸
Satz 14.22. Seien (Ωi, Ai), i = 0, 1, 2, Messräume und κ1 ein endlicher Übergangskern
von (Ω0, A0) nach (Ω1, A1) sowie κ2 ein endlicher Übergangskern von
(Ω0 × Ω1, A0 ⊗A1) nach (Ω2, A2). Dann ist die Abbildung
κ1 ⊗ κ2 : Ω0 × (A1 ⊗A2) → [0, ∞)
�
�
(ω0,A) ↦→ κ1(ω0,dω1)
Ω1
Ω2
κ2((ω0,ω1),dω2) A((ω1,ω2))
wohldefiniert und ist ein σ-endlicher (aber nicht notwendig endlicher) Übergangskern
von (Ω0, A0) nach (Ω1 × Ω2, A1 ⊗A2). Sindκ1 und κ2 (sub-)stochastisch,
so ist κ1 ⊗ κ2 (sub-)stochastisch. Wir nennen κ1 ⊗ κ2 das Produkt von κ1 und κ2.
Ist κ2 ein Kern von (Ω1, A1) nach (Ω2, A2), sodefinieren wir das Produkt κ1 ⊗
κ2 analog, indem wir κ2 einfach formal als Kern von (Ω0 × Ω1, A0 ⊗A1) nach
(Ω2, A2) auffassen, der nicht von der Ω0-Koordinate abhängt.
Beweis. Sei A ∈A1⊗A2. Die Abbildung
�
gA :(ω0,ω1) ↦→ κ2((ω0,ω1),dω2) A(ω1,ω2)
ist nach Lemma 14.20 wohldefiniert und messbar bezüglich A0 ⊗A1. Daher ist,
wiederum nach Lemma 14.20, die Abbildung
�
ω0 ↦→ κ1 ⊗ κ2(ω0,A)= κ1(ω0,dω1) gA(ω0,ω1)
wohldefiniert und A0-messbar. Für festes ω0 ist nach dem Satz über monotone Konvergenz
die Abbildung A ↦→ κ1 ⊗ κ2(ω0,A) σ-additiv, also ein Maß.
Für ω0 ∈ Ω0 und n ∈ N sei Aω0,n := {ω1 ∈ Ω1 : κ2((ω0,ω1),Ω2) < n}.
Da κ2 endlich ist, gilt �
n≥1 Aω0,n = Ω1 für jedes ω0 ∈ Ω0, und es gilt κ1 ⊗
κ2(ω0,An × Ω2) ≤ n · κ1(ω0,An) < ∞. Alsoistκ1 ⊗ κ(ω0, · ) σ-endlich und
damit ein Übergangskern.
Der Zusatz ist trivial. ✷

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 269
Korollar 14.23 (Produkte mit Kernen). Sei (Ω1, A1,μ) ein endlicher Maßraum,
(Ω2, A2) ein Messraum und κ ein endlicher Übergangskern von Ω1 nach Ω2.
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ ⊗ κ auf (Ω1 ×
Ω2, A1 ⊗A2) mit
�
μ ⊗ κ(A1 × A2) = κ(ω1,A2) μ(dω1) für alle A1 ∈A1, A2∈A2. A1
Ist κ stochastisch und μ ein W-Maß, so ist μ ⊗ κ ein W-Maß.
Beweis. Wende Satz 14.22 an mit κ2 = κ und κ1(ω0, · )=μ. ✷
Korollar 14.24. Seien n ∈ N und (Ωi, Ai), i =0,...,n, Messräume. Für i =
� �
i−1 i−1 �
1,...,nsei κi ein substochastischer Kern von × Ωk, Ak nach (Ωi, Ai)
k=0 k=0
oder von (Ωi−1, Ai−1) nach (Ωi, Ai). Dann definiert die Rekursion κ1 ⊗ ··· ⊗
κi := (κ1 ⊗···⊗κi−1) ⊗ κi für jedes i =1,...,neinen substochastischen Kern
i�
� i
i�
�
κk := κ1 ⊗ ··· ⊗ κi von (Ω0, A0) nach × Ωk, Ak . Sind alle κi
k=1
k=1 k=0
i�
stochastisch, so ist jedes κk stochastisch.
k=1
Ist μ ein endliches Maß auf (Ω0, A0), soistμi := μ ⊗ i�
κk ein endliches Maß
k=1
� i i�
�
auf × Ωk, Ak .Istμein W-Maß und jedes κi stochastisch, so ist μi ein
k=0 k=0
Wahrscheinlichkeitsmaß.
Beweis. Die Aussagen folgen per Induktion aus Satz 14.22. ✷
Definition 14.25 (Verkettung von Kernen). Seien (Ωi, Ai) Messräume, i =0, 1, 2,
und κi ein substochastischer Kern von (Ωi−1, Ai−1) nach (Ωi, Ai), i =1, 2. Wir
definieren die Verkettung von κ1 und κ2 durch
κ1 · κ2 : Ω0 ×A2 → [0, ∞)
�
(ω0,A2) ↦→ κ1(ω0,dω1) κ2(ω1,A2).
Ω1
Satz 14.26. Bezeichnen wir mit π2 : Ω1 × Ω2 → Ω2 die Projektion auf die zweite
Koordinate, so ist
(κ1 · κ2)(ω0,A2) =(κ1⊗ κ2) � ω0,π −1 �
2 (A2) für jedes A2 ∈A2.
Speziell ist die Verkettung κ1 · κ2 ein (sub-)stochastischer Kern von (Ω0, A0) nach
(Ω2, A2).

270 14 W-Maße auf Produkträumen
Beweis. Klar. ✷
Lemma 14.27 (Kerne und Faltung). Seien μ und ν W-Maße auf R d und die Kerne
κi :(R d , B(R d )) → (R d , B(R d )), i =1, 2, definiert durch κ1(x, dy) =μ(dy)
sowie κ2(y, dz) =(δy ∗ ν)(dz). Dann ist κ1 · κ2 = μ ∗ ν.
Beweis. Das ist trivial. ✷
Satz 14.28 (Kerne und Faltung). Seien X1,X2,... unabhängige Rd-wertige Zufallsvariablen
mit Verteilungen μi := Pi, i =1,...,n. Setze Sk := X1 + ...+
Xk für k = 1,...,n und definiere stochastische Kerne von Rd nach Rd durch
κk(x, · )=δx ∗ μk für k =1,...,n. Dann gilt
�
n�
�
(0, · )=P (S1,...,Sn). (14.8)
k=1
κk
Beweis. Für k =1,...,n definiere die messbare Bijektion ϕk :(R d ) k → (R d ) k
durch
ϕk(x1,...,xk) =(x1,x1 + x2,...,x1 + ...+ xk).
Offenbar ist B((Rd ) n �
)=σ ϕn(A1 ×···×An) : A1,...,An ∈B(Rd ) � . Es reicht
also (14.8) für Mengen von diesem Typ nachzuweisen, also zu zeigen, dass
�
�n
�
n�
(0,ϕk(A1×···×An)) = P (S1,...,Sn)(ϕn(A1×···×An)) = μk(Ak).
κk
k=1
Für n =1ist die Aussage klar. Per Definition ist κn(yn−1,yn−1 + An) =μn(An).
Induktiv folgt
�
�n
�
(0,ϕn(A1 ×···×An))
κk
k=1
�
=
=
ϕn−1(A1×···×An−1)
� n−1
�
k=1
� n−1
�
k=1
κk
k=1
�
�0,d(y1,...,yk−1) � � �
κn yn−1,yn−1 + An
�
μk(Ak) μn(An). ✷
Satz 14.29 (Fubini für Übergangskerne). Seien (Ωi, Ai) Messräume, i =1, 2, μ
ein endliches Maß auf (Ω1, A1), κ ein endlicher Übergangskern von Ω1 nach Ω2
sowie f : Ω1×Ω2 → R messbar bezüglich A1⊗A2.Istf ≥ 0 oder f ∈L 1 (μ⊗κ),
dann gilt
�
Ω1×Ω2
�
fd(μ⊗ κ) =
Ω1
��
Ω2
�
f(ω1,ω2) κ(ω1,dω2) μ1(dω1). (14.9)

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 271
Beweis. Für f = A1×A2 mit A1 ∈ A1 und A2 ∈ A2 gilt die Aussage per
Definition. Für allgemeine f verwenden wir die Approximationsargumente wie in
Satz 14.16. ✷
Beispiel 14.30. Wir kommen auf das Beispiel vom Anfang des Kapitels zurück. Sei
n ∈ N und (Ω2, A2) = � {0, 1} n , (2 {0,1} ) ⊗n� der Raum des n-fachen Münzwurfs.
Für jedes p ∈ [0, 1] definieren wir
Pp =(Berp) ⊗n = � �⊗n. (1 − p)δ0 + pδ1
Pp ist dasjenige W-Maß auf (Ω2, A2), mit dem die Koordinatenabbildungen Yi unabhängige
Bernoulli-Zufallsvariablen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p sind.
Ferner sei Ω1 =[0, 1] und A1 = B([0, 1]) die Borel’sche σ-Algebra auf Ω1, sowie
μ = U [0,1] die Gleichverteilung auf [0, 1]. Die identische Abbildung X : Ω1 →
[0, 1], ist dann eine uniform auf [0, 1] verteilte Zufallsvariable auf (Ω1, A1,μ).
Schließlich betrachten wir den stochastischen Kern von Ω1 nach Ω2
κ(ω1, · )=Pω1 .
Setzen wir Ω = Ω1 × Ω2, A = A1 ⊗A2 und P = μ ⊗ κ, dann beschreiben X und
Y1,...,Yn genau die Zufallsvariablen auf (Ω,A, P) aus dem Beispiel am Anfang
des Kapitels. ✸
Bemerkung 14.31. Das Verfahren lässt sich natürlich für n-stufige Experimente
erweitern. Sei (Ωi, Ai) der Messraum des i-ten Experiments, i = 0,...,n −
1. SeiP0 ein W-Maß auf (Ω0, A0). Für i = 1,...,n − 1 sei die Verteilung
auf (Ωi, Ai) abhängig von (ω1,...,ωi−1) und gegeben durch einen stochastischen
Kern κi von Ω0 × ··· × Ωi−1 nach Ωi. Das gesamte n-stufige Experi-
ment wird dann durch die Koordinatenabbildungen in dem Wahrscheinlichkeitsraum
Ωi, n−1 �
Ai, P0 ⊗ n−1
�
�
beschrieben. ✸
� n−1
×
i=0
i=0
κi
i=1
Übung 14.2.1. Man zeige die Faltungsformeln:
(i) Normalverteilung: N μ1,σ 2 1 ∗N μ2,σ 2 2 = N μ1+μ2,σ 2 1 +σ 2 2 für alle μ1,μ2 ∈ R und
σ 2 1,σ 2 2 > 0.
(ii) Gamma-Verteilung: Γθ,r ∗ Γθ,s = Γθ,r+s für alle θ, r, s > 0.
(iii) Cauchy-Verteilung: Caur ∗ Caus =Caur+sfür alle r, s > 0. ♣
Übung 14.2.2 (Hilbert-Schmidt Operator). Seien (Ωi, Ai,μi), i = 1, 2, σendliche
Maßräume und a : Ω1 × Ω2 → R messbar mit
� �
μ1(dt1) μ2(dt2) a(t1,t2) 2 < ∞.

272 14 W-Maße auf Produkträumen
Für f ∈L2 (μ1) definiere
�
(Af)(t2) = a(t1,t2)f(t1) μ1(dt1).
Zeige: A ist ein stetiger linearer Operator von L 2 (μ1) nach L 2 (μ2). ♣
Übung 14.2.3 (Partielle Integration). Seien Fμ und Fν die Verteilungsfunktionen
der lokal endlichen Maße μ und ν auf R.Für x ∈ R definieren wir den linksseitigen
Grenzwert F (x−) =supy

14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Projektive Familien 273
Satz 14.32 (Ionescu-Tulcea). Es gibt ein eindeutig bestimmtes W-Maß auf (Ω,A),
sodass (14.11) gilt.
Beweis. Die Eindeutigkeit ist klar, weil die endlichdimensionalen Rechteckzylinder
einen schnittstabilen Erzeuger von A bilden. Es bleibt die Existenz zu zeigen.
Wir definieren eine Mengenfunktion P auf den Zylindermengen Z durch (14.11).
Offenbar ist P additiv, also ein Inhalt. Ist P nun aber ∅-stetig, so ist P nach Satz 1.36
ein Prämaß und lässt sich nach dem Satz von Carathéodory (Satz 1.41) eindeutig zu
einem Maß auf A fortsetzen.
Sei also A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ ...eine Folge in Z mit α := infn∈N0 P (An) > 0. Es
reicht zu zeigen, dass �∞ n=0 An �= ∅. Ohne Einschränkung können wir annehmen,
dass An = A ′ n × × ∞
k=n+1 Ωk für gewisses A ′ n ∈An .Für n ≥ m setze
hm,n(ω0,...,ωm) :=
� n�
k=m+1
κk
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n
und hm := infn≥m hm,n. Wir zeigen induktiv, dass es ϱi ∈ Ωi, i ∈ N0, gibt mit
Wegen A ′ n+1 ⊂ A ′ n × Ωn+1 gilt
hm,n+1(ω0,...,ωm) =
≤
=
� n+1
�
hm(ϱ0,...,ϱm) ≥ α. (14.12)
k=m+1
� n+1
�
k=m+1
� n�
k=m+1
κk
κk
κk
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n+1
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n × Ωn+1
�
�(ω0,...,ωm),A ′ �
n = hm,n(ω0,...,ωm).
Also gilt hm,n ↓ hm für n →∞und nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
�
�
hm dPm = inf
n≥m
hm,n dPm =inf
n∈N Pn(A ′ n)=α.
Daher gilt (14.12) für m =0. Gelte nun (14.12) für ein m ∈ N0. Dannist
�
� �
hm+1(ϱ0,...,ϱm,ωm+1) κm+1 (ϱ0,...,ϱm),dωm+1
�
� �
= inf hm+1,n(ϱ0,...,ϱm,ωm+1) κm+1 (ϱ0,...,ϱm),dωm+1
n≥m+1
= hm(ϱ0,...,ϱm) ≥ α.
Es folgt (14.12) für m +1.
Sei ϱ := (ϱ0,ϱ1,...) ∈ Ω. Nach Konstruktion ist α ≤ hm,m(ϱ0,...,ϱm) =
A ′ m (ϱ0,...,ϱm), also ϱ ∈ Am für jedes m ∈ N und damit � ∞
i=0 Ai �= ∅. ✷

274 14 W-Maße auf Produkträumen
Korollar 14.33 (Produktmaß). Für jedes n ∈ N0 sei Pn ein W-Maß auf (Ωn, An).
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes W-Maß P auf (Ω,A) mit
�
�
n�
P A0 ×···×An × = Pk(Ak)
∞
× Ωi
i=n+1
für Ai ∈Ai, i =0,...,nund n ∈ N0.
Wir nennen �∞ i=0 Pi := P das Produkt der Maße P0,P1,... Unter P sind die
Koordinatenabbildungen (Xi)i∈N0 unabhängig.
Beweis. Wende den Satz von Ionescu-Tulcea mit κi((ω0,...,ωi−1), · )=Pi an.✷
Wir wollen nun eine dem Satz von Ionescu-Tulcea vergleichbare Aussage treffen,
dabei jedoch auf die Annahme verzichten, dass die Maße Pk auf A k a priori durch
Kerne definiert werden. Bevor wir den Satz formulieren, wollen wir die Konsistenzbedingung
(14.10) verallgemeinern. (Erinnerung: für L ⊂ J ⊂ I bezeichnet
X J L : ΩJ −→ ΩL die Projektion.)
Definition 14.34. Eine Familie (PJ, J⊂ I endlich) von W -Maßen auf (ΩJ, AJ)
heißt projektive Familie, falls für alle endlichen L ⊂ J ⊂ I gilt
Ist P ein W-Maß auf (Ω,A), wobei
Ω =× i∈I
PL = PJ ◦ � X J�−1 L .
k=0
Ωi und A = �
Ai,
,J ⊂ I endlich) projektiv.
Projektivität ist also eine notwendige Bedingung für die Existenz des Maßes
P auf dem Produktraum. Sind alle beteiligten Messräume Borel’sche Räume (siehe
Definition 8.34) – also beispielsweise Rd , Zd , C([0, 1]) oder allgemeiner polnische
Räume –, so ist diese Bedingung auch ausreichend. Wir formulieren diese Aussage
zunächst für abzählbare Indexmengen.
so ist wegen XL = XJ L ◦ XJ, die Familie (PJ := P ◦ X −1
J
Satz 14.35. Sei I höchstens abzählbar, und seien (Ωi, Ai) Borel’sche Messräume,
i ∈ I. Sei(PJ, J⊂ I endlich) eine projektive Familie von W-Maßen. Dann gibt
es ein eindeutig bestimmtes W-Maß P auf (Ω,A) mit PJ = P ◦ X −1
J für jedes
endliche J ⊂ I.
Beweis. Ohne Einschränkung sei I = N0 und Pn := P {0,...,n}. Manprüft leicht
nach, dass endliche Produkte von Borel’schen Räumen wieder Borel’sche Räume
sind, also ist (Ω {0,...,n}, A {0,...,n}) Borel’sch für jedes n ∈ N0.
i∈I

14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Projektive Familien 275
Sei Ãn := {A × Ωn+1 : A ∈A {0,...,n}} und das W-Maß ˜ Pn auf (Ω {0,...,n+1}, Ãn )
definiert durch ˜ Pn(A×Ωn+1) =Pn(A) für A ∈A {0,...,n}. Die Projektivität liefert,
�
dass Pn+1�
n
à = ˜ Pn. Nach dem Satz über die Existenz regulärer bedingter Vertei-
lungen (Satz 8.36) existiert ein stochastischer Kern κ ′ n+1 von (Ω {0,...,n+1}, Ãn )
nach (Ωn+1, An+1) mit
Pn+1(A)
��
= A(ω0,...,ωn, ˜ωn+1) κ ′ n+1((ω0,...,ωn+1),d˜ωn+1) ˜ Pn(d(ω0,...,ωn+1))
für jedes A ∈A {0,...,n+1}. Daκ ′ n+1( · ,A) messbar ist bezüglich Ãn ,hängt κ ′ n+1
nicht von ωn+1 ab. Durch
κn+1((ω0,...,ωn), · ):=κ ′ n+1((ω0,...,ωn+1), · )
wird also ein stochastischer Kern von (Ω {0,...,n}, A {0,...,n}) nach (Ωn+1, An+1)
definiert mit
��
Pn+1(A)=
A(ω0,...,ωn+1) κn+1((ω0,...,ωn),dωn+1) Pn(d(ω0,...,ωn)).
Mithin gilt Pn+1 = Pn ⊗ κn+1, und wir können Satz 14.32 anwenden. ✷
Als letzten Schritt in unserer Konstruktion wollen wir in Satz 14.35 die abzählbare
Indexmenge durch eine beliebige Indexmenge ersetzen.
Satz 14.36 (Kolmogorov’scher Erweiterungssatz). Sei I eine beliebige Indexmenge,
und seien (Ωi, Ai) Borel’sche Messräume, i ∈ I.Sei(PJ, J⊂ I endlich)
eine projektive Familie von W-Maßen. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes W-
Maß P auf (Ω,A) mit PJ = P ◦ X −1
J . Wir nennen P den projektiven Limes und
PJ.
bezeichnen ihn in Formeln mit P =: lim
←−
J↑I
Beweis. Für abzählbares J ⊂ I gibt es nach Satz 14.35 ein eindeutig bestimmtes
Maß PJ auf (ΩJ, AJ) mit PJ ◦ (X J K )−1 = PK für endliches K ⊂ J. Durch
˜PJ(X −1
J (AJ)) := PJ(AJ), AJ ∈AJ, wird hieraus ein Maß auf (Ω,σ(XJ)).
Seien J, J ′ ⊂ I höchstens abzählbar und A ∈ σ(XJ) ∩ σ(XJ ′) ∩Zein σ(XJ) ∩
σ(XJ ′)-messbarer Zylinder mit endlicher Basis. Dann existiert ein endliches K ⊂
J ∩ J ′ und AK ∈AK mit A = X −1
K (AK).Alsoist˜ PJ(A) =PK(AK) = ˜ PJ ′(A).
Nach Satz 14.12 ist dann aber auch ˜ PJ(A) =PK(AK) = ˜ PJ ′(A) für alle A ∈
σ(XJ) ∩ σ(XJ ′). Nun gibt es (nach Übung 14.1.1) für jedes A ∈Aein abzählbares
J ⊂ I mit A ∈ σ(XJ), also können wir auf eindeutige Weise (und unabhängig von
der Wahl von J) eine Mengenfunktion P auf A definieren durch P (A) = ˜ PJ(A).Es
bleibt zu zeigen, dass P ein W-Maß ist. Offenbar ist P (Ω) =1.SindA1,A2,...∈

276 14 W-Maße auf Produkträumen
A paarweise disjunkt und A := �∞ n=1 An, sogibtesabzählbare Jn ⊂ I mit An �
∈
σ(XJn ) für n ∈ N. Setze J = n∈N Jn. Dann ist jedes An in σ(XJ) und damit
auch A ∈ σ(XJ), also
P (A) = ˜ ∞�
∞�
PJ(A) = ˜PJ(An) = P (An).
n=1
Damit ist P als W-Maß erkannt. ✷
Beispiel 14.37. Sei � (Ωi,τi), i∈ I � eine beliebige Familie von polnischen Räumen
(Erinnerung: nach Satz 8.35 sind polnische Räume auch Borel’sche Räume),
Ai = σ(τi) und Pi ein beliebiges W-Maß auf (Ωi, Ai). Für endliches J ⊂ I sei
PJ = �
j∈J Pj das Produktmaß der Pj, j ∈ J. Offenbar ist die Familie (PJ, J⊂ I
endlich) projektiv. Wir nennen
P = �
i∈I
Pi := lim PJ
←−
J↑I
das Produktmaß auf (Ω,A). Unter P sind alle Projektionen Xj unabhängig. ✸
Beispiel 14.38. (Pólya’sches Urnenmodell) (Vergleiche Beispiel 12.29.) Zunächst
befinden sich k rote und n − k blaue Kugeln in einer Urne. Es wird in jedem Zeitschritt
eine Kugel gezogen und zusammen mit einer weiteren Kugel der selben Farbe
zurückgelegt. Zur Zeit i ∈ N0 befinden sich also n + i Kugeln in der Urne, wobei
die Anzahl Xi der roten Kugeln zufällig ist.
Formal definieren wir das Modell so: Sei n ∈ N und k ∈ {0,...,n}. Sei
I = N0,Ωi = {0,...,n + i}, i ∈ N. Setze P0[{k}] = 1 und definiere die
stochastischen Kerne κi von Ωi nach Ωi+1 durch
n=1
⎧
⎪⎨
xi
n+i
κi(xi, {xi+1}) =
⎪⎩
, falls xi+1 = xi +1,
1 − xi
n+i , falls xi+1
0,
= xi,
sonst.
Setze nun Pi+1 = Pi ⊗ κi. Unter dem Maß P = lim
←−
Pi beschreiben die Projek-
i→∞
tionen (Xi, i∈ N0) gerade das Pólya’sche Urnenmodell. ✸
14.4 Markov’sche Halbgruppen
Definition 14.39. Sei E ein polnischer Raum. Sei I ⊂ R eine nichtleere Indexmenge
und (κs,t : s, t ∈ I,s

14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
Definition 14.40. Sei E ein polnischer Raum. Sei I ⊂ [0, ∞) eine Halbgruppe
(zum Beispiel I = N0 oder I = [0, ∞)). Eine Familie (κt : t ∈ I) von stochastischen
Kernen heißt eine Halbgruppe von stochastischen Kernen, oder Markov’sche
Halbgruppe, falls sie die Chapman-Kolmogorov’sche Gleichung erfüllt:
κs · κt = κs+t für alle s, t ∈ I. (14.13)
Tatsächlich ist ({κt : t ∈ I}, · ) eine Halbgruppe im algebraischen Sinne, und die
Abbildung t → κt ist ein Halbgruppenhomomorphismus. Insbesondere kommutieren
die Kerne in dem Sinne, dass κs · κt = κt · κs für alle s, t ∈ I.
Lemma 14.41. Ist (κt : t ∈ I) eine Markov’sche Halbgruppe, so ist die für t>s
durch ˜κs,t := κt−s definierte Familie von Kernen konsistent.
Beweis. Das ist trivial. ✷
Satz 14.42 (Kern durch konsistente Familie von Kernen). Sei I ⊂ [0, ∞) mit
0 ∈ I und (κs,t : s, t ∈ I,s

278 14 W-Maße auf Produkträumen
�
n�
fi(ωi) =
k=l
κjk,jk+1
�
(ωi,Aji+1
Nach Voraussetzung (und dem Satz von Fubini) ist
�
�
fl−1(ωl−1) =
�
=
κjl−1,jl
E
(ωl−1,dωl)
Al+1
Es folgt
PJ◦(X J L) −1 �
(A) =
A ′
�
= P ′ �
(d(ω0,...,ωl−1))
A ′
= PL(A).
Al+1
×···×Ajn ).
κjl−1,jl+1 (ωl−1,dωl+1) fl+1(ωl+1).
P ′ (d(ω0,...,ωl−1)) fl+1(ωl+1)
Aj l+1
κjl,jl+1 (ωl,dωl+1) fl+1(ωl+1)
(κjl−1,jl+1 )(ωl−1,dωl+1) f(ωl+1)
Wir müssen nun noch zeigen, dass κ ein stochastischer Kern ist, also dass x ↦→
κ(x, A) messbar ist bezüglich B(E) – B(E) ⊗I . Nach Bemerkung 8.25 reicht es
aus, dies für Rechteckmengen mit endlicher Basis A ∈Z R zu prüfen, denn Z R ist
ein schnittstabiler Erzeuger von B(E) ⊗I . Seien also 0=t0

14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
Korollar 14.44 (Maße durch Markov’sche Halbgruppen). Sei (κt : t ∈ I) eine
Markov’sche Halbgruppe auf dem polnischen Raum E. Dann existiert genau ein
stochastischer Kern κ von (E,B(E)) nach (E I , B(E) ⊗I ) mit der Eigenschaft:
Für jedes x ∈ E und je endlich viele Zahlen 0=t0

280 14 W-Maße auf Produkträumen
Familie von Verteilungen (νt, t ≥ 0) mit der Eigenschaft νt+s = νt ∗ νs ersetzen.
Dies gilt speziell für die Familie der Gammaverteilungen νt = Γθ,t (für festes
θ>0), die Poissonverteilung νt =Poit, die negative Binomialverteilung νt = b − t,p
(für festes p ∈ (0, 1]), die Cauchy-Verteilung νt =Caut und andere (vergleiche
Satz 15.12 und Korollar 15.13). Wir halten dieses Ergebnis in einem Satz fest.
Definition 14.46 (Faltungshalbgruppe). Sei I ⊂ [0, ∞) eine Halbgruppe. Eine
Familie ν =(νt : t ∈ I) von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Rd heißt Faltungshalbgruppe,
falls νs+t = νs ∗ νt gilt für alle s, t ∈ I.
t→0
Ist I =[0, ∞) und gilt zudem νt −→ δ0, so heißt die Faltungshalbgruppe stetig
(im Sinne der schwachen Konvergenz).
Ist d = 1 und νt((−∞, 0)) = 0 für jedes t ∈ I, soheißtνeine nichtnegative
Faltungshalbgruppe.
Für den folgenden Satz vergleiche Definition 9.7.
Satz 14.47. Zu jeder Faltungshalbgruppe (νt : t ∈ I) und jedem x ∈ R d existiert
ein W-Maß Px auf dem Produktraum (Ω,A) = � (R d ) I , B(R d ) ⊗I� , sodass der
kanonische Prozess (Xt)t∈I ein stochastischer Prozess mit Px[X0 = x] =1und
stationären unabhängigen Zuwächsen ist mit Px ◦ (Xt − Xs) −1 = νt−s für t>
s. Umgekehrt definiert jeder stochastische Prozess (Xt)t∈I (auf einem beliebigen
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P)) mit stationären unabhängigen Zuwächsen eine
Faltungshalbgruppe durch νt = P ◦ (Xt − X0) −1 für jedes t ∈ I.
Übung 14.4.1. Sei (νt : t ≥ 0) eine stetige Faltungshalbgruppe. Man zeige: Für
jedes t>0 gilt νt = lims→t νs. ♣
Übung 14.4.2. Sei (νt : t ≥ 0) eine Faltungshalbgruppe. Man zeige: Für νt/n n→∞
−→
δ0. ♣
Übung 14.4.3. Man zeige: Eine nichtnegative Faltungshalbgruppe ist stetig. ♣
Übung 14.4.4. Man zeige: Eine stetige, reelle Faltungshalbgruppe (νt : t ≥ 0) mit
νt((−∞, 0)) = 0 für ein t>0 ist nichtnegativ. ♣

15 Charakteristische Funktion und Zentraler
Grenzwertsatz
Hauptziel dieses Abschnitts ist der Zentrale Grenzwertsatz für Summen unabhängiger
Zufallsvariablen (Satz 15.37) und für unabhängige Schemata (Satz von
Lindeberg-Feller, Satz 15.43), wobei wir für den letzteren nur die eine Richtung
beweisen (Satz von Lindeberg).
Das Hilfsmittel der Wahl für die Behandlung von Zentralen Grenzwertsätzen sind
charakteristische Funktionen, also Fouriertransformierte von W-Maßen. Wir beginnen
mit einer sehr allgemeinen Betrachtung über Klassen von Testfunktionen, die
schwache Konvergenz charakterisieren können, und betrachten dann Fouriertransformierte
im Detail. Der nachfolgende Abschnitt beweist mit Hilfe von charakteristischen
Funktionen den Zentralen Grenzwertsatz für reelle Zufallsvariablen. Im
fünften Abschnitt zeigen wir den mehrdimensionalen Zentralen Grenzwertsatz.
15.1 Trennende Funktionenklassen
Sei (E,d) ein metrischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E = B(E).
Mit C = {u + iv : u, v ∈ R} bezeichnen wir den Körper der komplexen Zahlen.
Mit Re(u + iv) =u und Im(u + iv) =v bezeichnen wir den Realteil und den
Imaginärteil von z = u + iv ∈ C, mit z = u − iv die zu z komplex konjugierte Zahl
und mit |z| = √ u2 + v2 den Betrag von z. Von prominenter Bedeutung wird für
uns die komplexe Exponentialfunktion exp : C → C sein, die wir durch exp(z) =
exp(u) � cos(v)+i sin(v) � oder durch die Potenzreihe exp(z) = �∞ n=0 zn /n! definieren
können. Bekanntlich gilt exp(z1 + z2) =exp(z1) · exp(z2). Man beachte,
dass aus Re(z) =(z + z)/2 und Im(z) =(z− z)/2i folgt, dass
cos(x) = eix + e −ix
2
und sin(x) = eix − e −ix
2i
für jedes x ∈ R.
Eine Abbildung f : E → C ist genau dann messbar, wenn Re(f) und Im(f)
messbar sind (siehe Satz 1.90 mit C ∼ = R2 ). Insbesondere ist jede stetige Funktion
E → C messbar. Ist μ ∈M(E), sodefinieren wir
� �
�
fdμ:= Re(f) dμ + i Im(f) dμ,

282 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
wenn beide Integrale existieren und endlich sind. Mit Cb(E; C) bezeichnen wir den
Banachraum der stetigen, beschränkten, komplexwertigen Funktionen auf E, ausgestattet
mit der Supremumsnorm �f�∞ =sup{|f(x)| : x ∈ E}. Wir nennen
C⊂Cb(E; C) trennend für Mf (E), falls es für je zwei Maße μ, ν ∈Mf (E) mit
μ �= ν ein f ∈Cgibt mit � fdμ �= � fdν. Satz 13.34 gilt für C ⊂ Cb(E; C)
sinngemäß.
Definition 15.1. Sei K = R oder K = C. Eine Teilmenge C ⊂ Cb(E; K) heißt
Algebra, falls
(i) 1 ∈C,
(ii) für f,g ∈Csind f · g ∈Cund f + g ∈C,
(iii) für f ∈Cund α ∈ K ist (αf) ∈C.
C heißt Punkte trennend, falls es zu je zwei Punkten x, y ∈ E mit x �= y ein f ∈C
gibt mit f(x) �= f(y).
Satz 15.2 (Stone-Weierstraß). Sei E ein kompakter Hausdorffraum. Sei K = R
oder K = C. SeiC⊂Cb(E; K) eine Punkte trennende Algebra. Ist K = C, sosei
C zusätzlich abgeschlossen bezüglich komplexer Konjugation (das heißt, mit f ist
stets auch die komplex konjugierte Funktion f in C).
Dann liegt C dicht in Cb(E; K) bezüglich der Supremumsnorm.
Beweis. Wir folgen der Darstellung in Dieudonné ([34, Kapitel VII.3]). Sei zunächst
der Fall K = R betrachtet. Wir gehen in mehreren Schritten vor.
1. Schritt Nach dem Weierstraß’schen Approximationssatz (Beispiel 5.15) gibt
es eine Folge (pn)n∈N von Polynomen, die die Abbildung [0, 1] → [0, 1], t ↦→ √ t
gleichmäßig approximiert. Ist f ∈C, so ist also |f| = �f�∞ limn→∞ pn(f 2 /�f�2 ∞)
im Abschluss C von C in Cb(E; R).
2. Schritt Indem wir den 1. Schritt auf die Algebra C anwenden, folgt, dass mit
f,g ∈ C auch f ∨ g = 1
1
2 (f + g + |f − g|) und f ∧ g = 2 (f + g −|f − g|) in C
liegen.
3. Schritt Für jedes f ∈ Cb(E; R), jedes x ∈ E und jedes ε>0 existiert ein
gx ∈ C mit gx(x) =f(x) und gx(y) ≤ f(y) +ε für jedes y ∈ E. DaC Punkte
trennt, existiert für jedes z ∈ E \{x} ein Hz ∈Cmit Hz(z) �= H(x) =0.Für diese
z definieren wir hz ∈Cdurch hz(y) =f(x) + f(z)−f(x)
Hz(z) Hz(y) für jedes y ∈ E.
Zudem setzen wir hx := f. Dannisthz(x) =f(x) und hz(z) =f(z) für jedes
z ∈ E. Daf und hz stetig sind, existiert zu jedem z ∈ E eine offene Umgebung
Uz ∋ z mit h(y) ≤ f(y)+ε für jedes y ∈ Uz. Wir bilden eine endliche Überdeckung
Uz1 ,...,Uzn von E mit solchen Umgebungen und setzen gx =min(hz1 ,...,hzn ).
Nach Schritt 2 ist gx ∈ C.

15.1 Trennende Funktionenklassen 283
4. Schritt Sei f ∈ Cb(E; R), ε>0 und gx wie im 3. Schritt für jedes x ∈ E.
Da f und gx stetig sind, existiert zu jedem x ∈ E eine offene Umgebung Vx ∋ x
mit gx(y) ≥ f(y) − ε für jedes y ∈ Vx. Wir bilden eine endliche Überdeckung
Vx1 ,...,Vxn von E und definieren g := max(gx1 ,...,gxn ).Dannistg∈ C nach
Schritt 2 und �g − f�∞ 0 beliebig war, gilt also
C = Cb(E; R).
5. Schritt Sei nun K = C betrachtet. Nach Voraussetzung sind mit f auch der
Realteil Re(f) =(f + ¯ f)/2 und der Imaginärteil Im(f) =(f − ¯ f)/2i in C. Speziell
ist C0 := {Re(f) : f ∈C}⊂Ceine reelle Algebra, die nach Voraussetzung Punkte
trennt und die konstanten Funktionen enthält. Also ist C0 dicht in Cb(E; R).Wegen
C = C0 + iC0 folgt, dass C dicht in Cb(E; C) ist. ✷
Korollar 15.3. Sei E ein kompakter, metrischer Raum. Sei K = R oder K = C.
Sei C⊂Cb(E; K) eine Punkte trennende Familie, die stabil ist unter Multiplikation
und 1 enthält. Ist K = C, soseiCzusätzlich abgeschlossen bezüglich komplexer
Konjugation.
Dann ist C eine trennende Familie für Mf (E).
Beweis. Seien μ1,μ2 ∈Mf (E) mit � gdμ1 = � gdμ2für jedes g ∈C.SeiC ′ die
Algebra der endlichen Linearkombinationen von Elementen aus C. Aufgrund der
Linearität des Integrals gilt � gdμ1 = � gdμ2für jedes g ∈C ′ .
Zu jedem f ∈ Cb(E,R) und jedem ε > 0 existiert nach dem Satz von Stone-
Weierstraß ein g ∈C ′ mit � �
�f − g�∞ 0 beliebig war, gilt Gleichheit und damit μ1 = μ2 (nach Satz 13.11). ✷
Als einfache Schlussfolgerungen bekommen wir die folgenden Sätze.
Satz 15.4. Die Verteilung einer beschränkten reellen Zufallsvariablen X ist durch
die Angabe aller Momente eindeutig bestimmt.
Beweis. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass X nur Werte in E :=
[0, 1] annimmt. Für n ∈ N definiere die Abbildung fn : [0, 1] → [0, 1] durch
fn : x ↦→ x n . Ferner sei f0 ≡ 1. Die Familie C = {fn, n ∈ N0} ist Punkte
trennend und abgeschlossen unter Multiplikation, also trennend für Mf (E). PX
ist also eindeutig festgelegt durch Angabe der Momente E[X n ]= � x n PX(dx),
n ∈ N. ✷

284 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Beispiel 15.5 (nach [72]). Im vorangehenden Satz können wir nicht ohne Weiteres
auf die Beschränktheit von X verzichten, selbst wenn alle Momente existieren
(es gibt allerdings schwächere Bedingungen, siehe Korollar 15.32). Wir betrachten
hierzu X := exp(Y ), wobei Y ∼N0,1. Die Verteilung von X heißt auch Log-
Normalverteilung. Für jedes n ∈ N ist nY verteilt wie die Summe von n2 unabhängigen,
standardnormalverteilten Zufallsvariablen nY D = Y1 + ...+ Yn2.Also ist für n ∈ N
E[X n ]=E[e nY ]=E[e Y1+...+Yn2 n
]=
2
�
E[e Yi ]=E[e Y ] n2
=
i=1
�� ∞
(2π)
−∞
−1/2 e y e −y2 � 2
n
/2
dy
= e n2 /2 .
(15.1)
Wir wollen nun gleich eine ganze Familie von Verteilungen konstruieren, die die
gleichen Momente wie X besitzen. Nach der Transformationsformel für Dichten
(Satz 1.101) hat die Verteilung von X die Dichte
f(x) = 1
√ x
2π −1 �
exp − 1
2 log(x)2
�
für x>0.
Für α ∈ [−1, 1] definieren wir Wahrscheinlichkeitsdichten fα auf (0, ∞) durch
fα(x) =f(x) � 1+α sin(2π log(x)) � .
Um zu zeigen, dass fα eine Dichte ist und die selben Momente wie f besitzt, reicht
es zu zeigen, dass für jedes n ∈ N0 gilt
m(n) :=
� ∞
0
x n f(x) sin(2π log(x)) dx =0.
Mit der Substitution y = log(x) − n erhalten wir (wegen sin(2π(y + n)) =
sin(2πy))
m(n) =
� ∞
−∞
e yn+n2
(2π) −1/2 e −(y+n)2 /2
sin(2π(y + n)) dy
=(2π) −1/2 e n2 /2
� ∞
e
−∞
−y2 /2
sin(2πy) dy =0,
wobei die letzte Gleichheit folgt, weil der Integrand eine ungerade Funktion ist. ✸
Satz 15.6 (Laplace-Transformation). Ein endliches Maß μ auf [0, ∞) ist eindeutig
bestimmt durch Angabe der Laplace-Transformierten
�
Lμ(λ) := e −λx μ(dx) für λ ≥ 0.

15.1 Trennende Funktionenklassen 285
Beweis. Dem Problem, dass der Raum [0, ∞) nicht kompakt ist, begegnen wir, indem
wir zur (Einpunkt-) Kompaktifizierung E =[0, ∞] übergehen. Wir definieren
für λ ≥ 0 die stetige Funktion fλ :[0, ∞] → [0, 1] durch fλ(x) =e −λx , falls
x0. Wähle N ∈ N so groß, dass (1 + 2�f�∞) · (μ1 + μ2)(Rd \
[−N,N] d )

286 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Da ε>0 beliebig war, stimmen die Integrale überein. Nach Satz 13.11 ist also
μ1 = μ2. ✷
Korollar 15.9. Ein endliches Maß μ auf Zd ist durch die Werte
�
ϕμ(t) =
eindeutig festgelegt.
e i〈t,x〉 μ(dx), t ∈ [−π, π) d ,
Beweis. Dies ist klar, weil ϕμ(t +2πk) =ϕμ(t) für jedes k ∈ Z d . ✷
Während das vorangehende Korollar nur eine abstrakte Eindeutigkeitsaussage liefert,
wird uns manchmal eine explizite Inversionsformel von Nutzen sein.
Satz 15.10 (Diskrete Fourier-Inversionsformel). Sei μ ∈Mf (Zd ) mit charakteristischer
Funktion ϕμ. Dann gilt für jedes x ∈ Zd μ({x}) =(2π) −d
�
e −i〈t,x〉 ϕμ(t) dt.
[−π,π) d
[−π,π) d
[−π,π) d
Beweis. Nach dem Satz über majorisierte Konvergenz ist
�
e −i〈t,x〉 �
ϕμ(t) dt = e −i〈t,x〉
⎛
⎝ lim
�
e i〈t,y〉 ⎞
μ({y}) ⎠ dt
�
= lim
n→∞
[−π,π) d
= �
�
μ({y})
y∈Z d
n→∞
|y|≤n
�
−i〈t,x〉
e
[−π,π) d
|y|≤n
e i〈t,y−x〉 dt.
e i〈t,y〉 μ({y}) dt
Die Behauptung folgt, weil für y ∈ Zd gilt
�
[−π,π) d
e i〈t,y−x〉 �
d (2π) ,
dt =
0,
falls x = y,
sonst. ✷
Ähnliche Inversionsformeln gelten für Maße μ auf Rd . Besonders einfach ist der
Fall, wo μ eine integrierbare Dichte f := dμ
dλ bezüglich des d-dimensionalen
Lebesgue-Maßes λ hat. In diesem Fall gilt die Fourier-Inversionsformel
f(x) =(2π) −d
�
e −i〈t,x〉 ϕμ(t) λ(dt). (15.2)
R d
Es gilt die Plancherel’sche Gleichung: Es ist genau dann f ∈L 2 (λ), wennϕμ ∈
L 2 (λ). In diesem Fall ist �f�2 = �ϕ�2.
Da wir diese Aussagen jedoch nicht weiter verwenden werden, verweisen wir lediglich
auf die einschlägigen Lehrbücher (etwa [156, Kapitel V.2] oder [53, Theorem
XV.3.3 und Gleichung (XV.3.8)]).

15.1 Trennende Funktionenklassen 287
Übung 15.1.1. Man zeige, dass im Satz von Stone-Weierstraß auf die Kompaktheit
von E nicht verzichtet werden kann. Hinweis: Man wähle etwa E = R, nutze aus,
dass Cb(R) =Cb(R; R) nicht separabel ist und konstruiere eine abzählbare, Punkte
trennende Algebra C⊂Cb(R). ♣
Übung 15.1.2. Sei d ∈ N und μ ein endliches Maß auf [0, ∞) d . Man zeige: μ ist
durch Angabe der Laplace-Transformierten Lμ(λ) = � e −〈λ,x〉 μ(dx), λ ∈ [0, ∞) d
eindeutig bestimmt. ♣
Übung 15.1.3. Man zeige, dass unter den Voraussetzungen von Satz 15.10 die
Plancherel’sche Gleichung gilt:
�
μ({x}) 2 =(2π) −d
�
|ϕμ(t)| 2 dt. ♣
x∈Z d
[−π,π) d
Übung 15.1.4 (Mellin-Transformierte). Sei X eine nichtnegative reelle Zufallsvariable.
Für s ≥ 0 definieren wir die Mellin-Transformierte von PX
mX(s) =E[X s ]
mit Werten in [0, ∞].
Man zeige: Gibt es ein ε0 > 0 mit mX(ε0) < ∞ (beziehungsweise mX(−ε0) <
∞), so ist für jedes ε>0 die Verteilung PX eindeutig bestimmt durch die Werte
mX(s) (beziehungsweise mX(−s)), s ∈ [0,ε].
Anleitung: Für stetiges f :[0, ∞) → [0, ∞) sei
φf (s) =
� ∞
0
t z−1 f(z),
für diejenigen z ∈ C, für die dies wohldefiniert ist. Aus der Funktionentheorie ist
bekannt: Ist φf (s) < ∞ für ein s>1, soistφf holomorph in {z ∈ C : Re(z) ∈
(1,s)} (und damit durch die Werte φf (r), r ∈ (1, 1+ε) eindeutig festgelegt für
jedes ε>0), und es gilt für jedes r ∈ (1,s)
f(t) = 1
� ∞
t
2πi −∞
−(r+iρ) φf (r + iρ) dρ.
(i) Man folgere die Aussage für X mit stetiger Dichte.
(ii) Für δ>0 sei Yδ ∼U [1−δ,1] und unabhängig von X. Man zeige, dass XYδ eine
stetige Dichte hat.
(iii) Man bestimme mXYδ und zeige, dass mXYδ → mX für δ ↓ 0.
(iv) Man zeige, dass XYδ =⇒ X für δ ↓ 0. ♣

288 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Übung 15.1.5. Seien X, Y, Z unabhängige nichtnegative reelle Zufallsvariablen,
sodass P[Z > 0] > 0, und sodass die Mellin-Transformierte mXZ(s) < ∞ ist
für ein s>0.
Zeige: Gilt XZ D = YZ,soistX D = Y . ♣
Übung 15.1.6. Sei μ ein W-Maß auf R mit integrierbarer charakteristischer Funktion
ϕμ, also ϕμ ∈L1 (λ), wobei λ das Lebesgue-Maß auf R ist. Man zeige, dass μ
absolutstetig ist und die stetige und beschränkte Dichte f = dμ
dλ gegeben ist durch
f(x) = 1
� ∞
e
2π −∞
−itx ϕμ(t) dt für jedes x ∈ R.
Anleitung: Man zeige dies zunächst für die Normalverteilung N0,ε, ε>0. Man
zeige dann, dass μ ∗N0,ε absolutstetig ist mit Dichte fε, die punktweise gegen f
konvergiert. ♣
Übung 15.1.7. Sei (Ω,τ) ein separabler topologischer Raum, der das T 3 1
2 -Trennungsaxiom
erfüllt: Zu jeder abgeschlossenen Menge A ⊂ Ω und jedem Punkt
x ∈ Ω \ A existiert eine stetige Funktion f : Ω → [0, 1] mit f(x) = 0 und
f(y) =1für jedes y ∈ A. (Insbesondere ist jeder metrische Raum ein T 3 1
2 -Raum.)
Man zeige: σ(Cb(Ω)) = B(Ω), das heißt, die Borel’sche σ-Algebra wird durch die
beschränkten, stetigen Funktionen Ω → R erzeugt. ♣
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele
Lemma 15.11. Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in R d und charakteristischer
Funktion ϕX(t) =E � e i〈t,X〉� . Dann gelten
(i) |ϕX(t)| ≤1 für jedes t ∈ Rd und ϕX(0) = 1,
(ii) ϕaX+b(t) =ϕX(at) ei〈b,t〉 für jedes a ∈ R und b ∈ Rd ,
(iii) PX = P−X genau dann, wenn ϕ reellwertig ist,
(iv) Sind X und Y unabhängig, so ist ϕX+Y = ϕX · ϕY .
(v) Für jedes t ∈ R gilt für den Realteil 0 ≤ 1−Re(ϕX(2t)) ≤ 4(1−Re(ϕX(t))).
Beweis. (i) und (ii) sind trivial.
(iii) ϕX(t) =ϕX(−t) =ϕ−X(t).
(iv) Da e i〈t,X〉 und e i〈t,Y 〉 unabhängige Zufallsvariablen sind, gilt
ϕX+Y (t) =E � e i〈t,X〉 · e i〈t,Y 〉� = E � e i〈t,X〉� E � e i〈t,Y 〉� = ϕX(t) ϕY (t).

15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 289
(v) Nach dem Additionstheorem für Winkelfunktionen ist
1 − cos(2tX) =2 � 1 − (cos(tX)) 2� ≤ 4 � 1 − cos(tX) � .
Bilde jetzt den Erwartungswert. ✷
Satz 15.12 (Charakteristische Funktionen wichtiger Verteilungen). Wir geben
für verschiedene Verteilungen P mit Dichte x ↦→ f(x) auf R oder Gewichten
P ({k}), k ∈ N0, die charakteristische Funktion ϕ(t) an:
Name
Symbol
Normal
N μ,σ 2
Gleichvert.
U [0,a]
Gleichvert.
U [−a,a]
Dreieck
Tria
Verteilung Char. Fkt.
Parameter auf Dichte / Gewicht ϕ(t)
μ ∈ R
σ 2 > 0
R
√ 1
2πσ2 exp
�
− (x−μ)2
2σ2 a>0 [0,a] 1/a e iat −1
iat
a>0 [−a, a] 1/2a
a>0 [−a, a]
� �
1
+
a 1 −|x|/a
1 1−cos(ax)
N.N. a>0 R π ax2 Gamma
Γθ,r
Exponential
expθ zweiseitig
Exponential
exp2 θ
Cauchy
Caua
Binomial
bn,p
Negativ
Binomial
b − r,p
Poisson
Poiλ
θ>0
r>0
[0, ∞)
�
e iμt · e −σ2 t 2 /2
sin(at)
at
2 1−cos(at)
a 2 t 2
(1 −|t|/a) +
θ r
Γ (r) xr−1 e−θx (1 − it/θ) −r
θ>0 [0, ∞) θe −θx θ
θ − it
θ>0 R
a>0 R
n ∈ N
p ∈ [0, 1] {0,...,n}
r>0
p ∈ (0, 1]
N0
θ
2 e−θ|x|
−λ λk
λ>0 N0 e k!
1 1
aπ 1+(x/a) 2
� �
n
p
k
k (1 − p) n−k
� �
−r
(−1)
k
kpr (1 − p) k
1
1+(t/a) 2
e −a|t|
� (1 − p)+pe it � n
�
p
1 − (1 − p)e it
exp � λ(e it − 1) �
� r

290 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Beweis. (i) (Normalverteilung) Nach Lemma 15.11 reicht es, den Fall μ =0
und σ2 =1zu betrachten. Mit Hilfe des Differentiationslemmas (Satz 6.28) und
durch partielle Integration erhalten wir
� ∞
d
ϕ(t) = e
dt −∞
itx ix e −x2 /2
dx = −tϕ(t).
Diese lineare Differentialgleichung mit Anfangswert ϕ(0) = 1 hat die eindeutige
Lösung ϕ(t) =e−t2 /2 .
(ii) (Gleichverteilung) Dies ist unmittelbar.
(iii) (Dreieck) Es gilt Tria = U [−a/2,a/2] ∗U [−a/2,a/2], also ist
ϕTria(t) =ϕU (t) [−a/2,a/2] 2 =4 sin(at/2)2
a2 t2 1 − cos(at)
=2
a2 t2 ,
wobei wir ausgenutzt haben, dass nach dem Additionstheorem gilt
1 − cos(x) =sin(x/2) 2 +cos(x/2) 2 − cos(x) =2sin(x/2) 2 .
(iv) (N.N.) Dies lässt sich entweder direkt ausrechnen, oder mit Hilfe der Fourier-
Inversionsformel (Gleichung (15.2)) aus (iii) folgern.
(v) (Gammaverteilung) Es reicht wiederum, den Fall θ =1zu betrachten. Für
0 ≤ b

15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 291
�
�
0, wennb→0. Analog ist � �
ɛc,t zr−1 �
�
exp(−z) dz�
≤ cr exp(−c)(1 + t2 ) r/2 → 0,
wenn c →∞.
(vi) (Exponentialverteilung) Wegen exp θ = Γθ,1 folgt dies aus (v).
(vii) (Zweiseitige Exponentialverteilung) Sind X und Y unabhängige expθ verteilte
Zufallsvariablen, so ist X − Y ∼ exp2 θ (Nachrechnen!). Also ist
ϕ exp 2 θ (t) =ϕexp θ (t) ϕexp θ (−t) =
1
1 − it/θ
1
1+it/θ =
1
.
1+(t/θ) 2
(viii) (Cauchy Verteilung) Dies lässt sich entweder mit Hilfe des Residuenkalküls
direkt ausrechnen, oder mit Hilfe der Fourier-Inversionsformel (Gleichung
(15.2)) aus der Aussage für die zweiseitige Exponentialverteilung folgern.
(ix) (Binomialverteilung) Nach dem binomischen Lehrsatz ist
n�
� �
n
ϕ(t) = (1 − p)
k
n−k (pe it ) k =(1−p + pe it ) n .
k=0
(x) (Negative Binomialverteilung) Nach dem verallgemeinerten binomischen
Lehrsatz (Lemma 3.5) ist für jedes x ∈ C mit |x| < 1
(1 − x) −r ∞�
� �
−r
= (−x)
k
k .
k=0
Wenn wir x =(1− p) e it setzen, folgt die Behauptung.
(xi) (Poissonverteilung) Es ist ϕPoiλ (t) =
∞�
n=0
Korollar 15.13. Es gelten die folgenden Faltungsformeln:
e −λ (λeit ) n
n! = eλ(eit −1) . ✷
(i) N μ1,σ 2 1 ∗N μ2,σ 2 2 = N μ1+μ2,σ 2 1 +σ 2 2 für μ1,μ2 ∈ R und σ 2 1,σ 2 2 > 0,
(ii) Γθ,r ∗ Γθ,s = Γθ,r+s für θ, r, s > 0,
(iii) Caua ∗ Caub =Caua+bfür a, b > 0,
(iv) bm,p ∗ bn,p = bm+n,p für m, n ∈ N und p ∈ [0, 1],
(v) b − r,p ∗ b − s,p = b − r+s,p für r, s > 0 und p ∈ (0, 1],
(vi) Poiλ ∗ Poiμ =Poiλ+μ für λ, μ ≥ 0.
Beweis. Die Aussagen folgen aus dem vorangehenden Satz zusammen mit ϕμ∗∗ν =
ϕμ ϕν (Lemma 15.11). ✷
Zwei einfache Verfahren, um charakteristische Funktionen von zusammengesetzten
Verteilungen auszurechnen, liefert der folgende Satz:

292 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Satz 15.14. (i) Seien μ1,μ2,... ∈Mf (Rd ) und p1,p2,... nichtnegative Zahlen
mit ∞�
pnμn(R
n=1
d ) < ∞. Dann hat das Maß μ := ∞�
pnμn ∈Mf (R
n=1
d ) die
charakteristische Funktion
∞�
ϕμ = pn ϕμn . (15.3)
n=1
(ii) Es seien N,X1,X2,... unabhängige Zufallsvariablen. Die X1,X2,... seien
identisch verteilt auf Rd mit charakteristischer Funktion ϕX. N habe Werte in
N0 und die Erzeugendenfunktion fN. Dann hat Y := N�
Xn die charakteris-
n=1
tische Funktion ϕY (t) =fN(ϕX(t)).
(iii) Ist in (ii) speziell N ∼ Poiλ,soistϕY (t) =exp(λ(ϕX(t) − 1)).
Beweis. (i) Setzen wir νn = n�
n�
pkμk, so gilt ϕνn = pkϕμk wegen der Li-
k=1
k=1
nearität des Integrals. Nach Voraussetzung ist μ =w-lim
n→∞ νn, also auch ϕμ(t) =
lim ϕνn (t).
n→∞
(ii) Es ist
ϕY (t) =
=
∞�
P[N = n] E � e i〈t,X1+...+Xn〉�
n=0
∞�
n=0
P[N = n] ϕX(t) n = fN (ϕ(t)).
(iii) Der Spezialfall folgt, weil hier fN(z) =e λ(z−1) für z ∈ C mit |z| ≤1. ✷
Beispiel 15.15. Sei n ∈ N, und seien Punkte 0=a0 y1 > ... > yn =0gegeben. Sei ϕ : R → [0, ∞) diejenige gerade Funktion
(also ϕ(x) =ϕ(−x)), die ϕ(ak) =yk für jedes k =0,...,nerfüllt und zwischen
den Punkten ak linear interpoliert ist, sowie ferner ϕ(x) =0für |x| >anerfüllt. Wir wollen zusätzlich annehmen, dass die yk so gewählt sind, dass ϕ auf [0, ∞)
konvex ist. Das ist äquivalent zu der Bedingung, dass m1 ≤ m2 ≤ ... ≤ mn ≤ 0,
wo mk := yk−yk−1 die Steigung im k-ten Intervall ist. Wir wollen zeigen, dass ϕ
ak−ak−1
die charakteristische Funktion eines W-Maßes μ ∈M1(R) ist.
Setze pk = ak(mk+1 − mk) für k =1,...,n.
Sei μk ∈M1(Rd ) die Verteilung auf R mit Dichte 1 1−cos(akπ)
π akx2 . Nach Satz 15.12
�
hat μk die charakteristische Funktion ϕμk (t) = 1 − |t|
� +
. Die charakteristische
ak
Funktion ϕμ von μ := �n k=1 pkμk ist dann

ϕμ(t) =
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 293
n�
pk(1 −|t|/ak) + .
k=1
Dies ist eine stetige, symmetrische, reelle Funktion mit ϕμ(0) = 1, die auf den Intervallen
[ak−1,ak] jeweils linear ist. Durch partielle Summation erhalten wir (wegen
mn+1 =0)für jedes k =1,...,n
ϕμ(al) =
=
n�
k=1
�
ak(mk+1 − mk) 1 − al
� +
=
ak
�
�
(an − al)mn+1 − (al − al)ml −
= −
n�
(yk − yk−1) =yl = ϕ(al).
k=l+1
n�
(ak − al)(mk+1 − mk)
k=l
n�
(ak − ak−1)mk
k=l+1
Also ist ϕμ = ϕ. ✸
Beispiel 15.16. Wir betrachten die Funktion ϕ : R → [0, 1], die periodisch mit Periode
2π ist, und die für t ∈ [−π, π) definiert ist durch ϕ(t) =1−2|t|/π.Durchdie
diskrete Fourier-Inversionsformel (Satz 15.10) erhalten wir, dass ϕ die charakteristi-
sche Funktion des W-Maßes μ ∈M1(Z) mit μ({x}) =(2π) −1 � π
−π
cos(tx) ϕ(t) dt
ist, wenn wir zeigen können, dass alle diese Zahlen μ({x}) nichtnegativ sind. Für
x =0ist offenbar μ({x}) =0.Für x ∈ Z \{0} berechnen wir das Integral mit
Hilfe partieller Integration
� π
−π
cos(tx) ϕ(t) dt =2
Insgesamt erhalten wir
= 4
x
� π
�
0
cos(tx)(1− 2t/π) dt
1 − 2
�
sin(πx) −
π
4 4
sin(0) +
x πx
= 4
(1 − cos(πx)).
πx2 μ({x}) =
� 4
π 2 x 2 , falls x ungerade ist,
0, sonst.
� π
0
sin(tx) dt
Wegen μ(Z) =ϕ(0) = 1 ist μ tatsächlich ein W-Maß. ✸
Beispiel 15.17. Wir betrachten die Funktion ψ : R → [0, 1], die periodisch mit
Periode π ist, und die für t ∈ [−π/2,π/2) definiert ist durch ψ(t) =1− 2|t|/π.
Ist ϕ die charakteristische Funktion zum Maß μ aus dem vorangehenden Beispiel,
so ist offenbar ψ(t) =|ϕ(t)|. Andererseits ist ψ(t) = 1 1
2 + 2ϕ(2t). Nach Satz15.14

294 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
und Lemma 15.11(ii) ist daher ψ die charakteristische Funktion des Maßes ν mit
ν(A) = 1
1
2δ0(A)+ 2μ(A/2) für A ⊂ R.Alsoist
⎧
⎪⎨
1
2 , falls x =0,
8
ν({x}) = π
⎪⎩
2x2 , falls x
0,
2 ∈ Z
sonst.
ungerade ist,
✸
Beispiel 15.18. Sei ϕ(t) =(1− 2|t|/π) + die charakteristische Funktion der Verteilung
” N.N.“ aus Satz 15.12 (mit a = π/2) und ψ die charakteristische Funktion
aus dem vorangehenden Beispiel. Man beachte, dass ϕ(t) =ψ(t) für |t| ≤π/2 und
ϕ(t) =0für |t| >π/2, also ϕ 2 = ϕ · ψ. Seien nun X, Y, Z unabhängige, reelle
Zufallsvariablen mit charakteristischen Funktionen ϕX = ϕY = ϕ und ϕZ = ψ.
Dann ist ϕXϕY = ϕXϕZ, also X + Y D = X + Z, jedoch stimmen die Verteilungen
von Y und Z nicht überein. ✸
Übung 15.2.1. Sei ϕ die charakteristische Funktion der d-dimensionalen Zufallsvariablen
X. Man zeige: Ist ϕ(t) =1für ein t �= 0,soistP[X ∈ Ht] =1,wo
Ht = {x ∈ R d : 〈x, t〉 ∈2πZ}
= � y + z · (2πt/�t� 2 2): z ∈ Z, y∈ R d mit 〈y, t〉 =0 � .
Man folgere, dass ϕ(t + s) =ϕ(s) ist für jedes s ∈ R d . ♣
Übung 15.2.2. Man zeige: Es gibt reelle Zufallsvariablen X, X ′ und Y,Y ′ mit X D =
X ′ und Y D = Y ′ , sodass X ′ und Y ′ unabhängig sind und X + Y D = X ′ + Y ′ gilt,
jedoch X und Y nicht unabhängig sind. ♣
Übung 15.2.3. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit charakteristischer Funktion ϕ.
X heißt gitterverteilt, wennesa, d ∈ R gibt, sodass P[X ∈ a + dZ] =1. Zeige:
X ist genau dann gitterverteilt, wenn es ein u �= 0gibt mit |ϕ(u)| =1. ♣
15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz
Die Hauptaussage dieses Abschnitts ist der Stetigkeitssatz von Lévy (Satz 15.23),
der, grob gesprochen, besagt, dass eine Folge von charakteristischen Funktionen
genau dann punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, wenn der Grenzwert
wieder eine charakteristische Funktion ist und die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsmaße
schwach konvergieren. Wir bereiten den Beweis des Satzes mit ein
paar analytischen Aussagen vor.

15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz 295
Lemma 15.19. Sei μ ∈M1(R d ) mit charakteristischer Funktion ϕ. Dann gilt
|ϕ(t) − ϕ(s)| 2 ≤ 2 � 1 − Re(ϕ(t − s)) �
für alle s, t ∈ R d .
Beweis. Nach der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung gilt
|ϕ(t) − ϕ(s)| 2 ��
�
= �
�
Rd e i〈t,x〉 − e i〈s,x〉 �2
�
μ(dx) �
�
��
�
= �
�
Rd �2
� � �
i〈t−s,x〉 i〈s,x〉
e − 1 e μ(dx) �
�
�
≤
Rd �
�
�
� i〈t−s,x〉 2
e − 1� μ(dx) ·
Rd �
� i〈s,x〉
e � �2 μ(dx)
�
� �� � i〈t−s,x〉 −i〈t−s,x〉
= e − 1 e − 1 μ(dx)
R d
=2 � 1 − Re(ϕ(t − s)) � . ✷
Definition 15.20. Sei (E,d) ein metrischer Raum. Eine Familie (fi, i ∈ I) von
Abbildungen E → R heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, falls für jedes ε>0
ein δ>0 existiert, sodass |fi(t) − fi(s)| 0 existiert, sodass für jedes
t ∈ Rd , jedes s ∈ Rd mit |t − s| 0, sodass für x ∈ [−N,N] d und u ∈ Rd mit |u|

296 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Beweis. Sei ε>0 vorgegeben und δ>0 so gewählt, dass |fn(t) − fn(s)|

15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz 297
α := inf{h(x) : |x| ≥1} =1− sin(1) > 0. Jetzt berechnen wir (unter Benutzung
der Markov’schen Ungleichung und des Satzes von Fubini) für K>0
� c
Pn [−K, K] � ≤ α −1
�
[−K,K] c
h(x/K) Pn(dx)
≤ α −1
�
h(x/K) Pn(dx)
R
= α −1
� � � 1
�
� �
1 − cos(tx/K) dt Pn(dx)
R 0
= α −1
� 1 � �
�
� �
1 − cos(tx/K) Pn(dx) dt
= α −1
0
� 1
0
R
� 1 − Re(ϕn(t/K)) � dt.
Wir erhalten nun (mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz)
lim sup
n→∞
Pn([−K, K] c ) ≤ α −1 � 1
lim sup
n→∞ 0
� 1
= α −1
= α −1
0
� 1
0
� 1 − Re(ϕn(t/K)) � dt
� �
lim 1 − Re(ϕn(t/K))
n→∞
��
dt
� �
1 − Re(f(t/K)) dt.
Da f stetig und f(0) = 1 ist, konvergiert das letzte Integral gegen 0,wennK →∞.
Also ist (Pn)n∈N straff. ✷
Eine einfache Anwendung des Lévy’schen Stetigkeitssatzes auf Beispiel 15.15 liefert
den folgenden Satz von Pólya.
Satz 15.24 (Pólya). Sei f : R → [0, 1] stetig und gerade mit f(0) = 1. Ferner sei
f auf [0, ∞) konvex. Dann ist f die charakteristische Funktion eines W-Maßes.
Beweis. Wir können f auf [0, ∞) durch konvexe Polygonzüge fn approximieren,
indem wir fn(k/n) = f(k/n) setzen für k = 0,...,n2 und fn zwischen den
Stützstellen linear interpolieren und rechts von n konstant fortsetzen. Für x0 ist ϕα,r(t) =e−|rt|α die charakteristische
Funktion eines symmetrischen W-Maßes μα,r auf R.

298 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Bemerkung 15.26. Tatsächlich ist ϕα,r auch für α ∈ (0, 2] eine charakteristische
Funktion (für α = 2 die der Normalverteilung), siehe Kapitel 16.2. Die Verteilungen
μα,r haben die Eigenschaft α-stabil zu sein (siehe Definition 16.20): Sind
X1,X2,...,Xn unabhängig und μα,a-verteilt, so ist ϕX1+...+Xn (t) =ϕX(t) n =
ϕX(n1/α D
t), also X1 + ...+ Xn = n1/αX1. ✸
Wir haben mit dem Satz von Stone-Weierstraß gesehen, dass charakteristische Funktionen
Verteilungen eindeutig bestimmen. Der Satz von Pólya bietet eine hinreichende
Bedingung dafür, dass eine symmetrische reelle Funktion eine charakteristische
Funktion ist. Dass diese Bedingung nicht notwendig ist, sieht man schon daran,
dass die charakteristische Funktion der Normalverteilung sie nicht erfüllt. Wir geben
nun, gewissermaßen zur Allgemeinbildung und ohne Beweis, den Satz von Bochner
an, der eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür formuliert, dass eine
Funktion ϕ : R d → C die charakteristische Funktion eines W-Maßes ist.
Definition 15.27. Eine Funktion f : R d → C heißt positiv semidefinit, falls für
jedes n ∈ N und alle t1,...,tn ∈ R d sowie y1,...,yn ∈ C gilt
n�
yk ¯yl f(tk − tl) ≥ 0,
k,l=1
mit anderen Worten, falls die Matrix (f(tk − tl))k,l=1,...,n positiv semidefinit ist.
Lemma 15.28. Ist μ ∈Mf (R d ) mit charakteristischer Funktion ϕ, soistϕ positiv
semidefinit.
Beweis. Es gilt
n�
yk ¯yl ϕ(tk − tl) =
k,l=1
n�
k,l=1
yk ¯yl
�
�n
=
k,l=1
� �
���
n�
=
k=1
�
e ix(tk−tl) μ(dx)
yk e ixtk yl e ixtl μ(dx)
yk e ixtk
Der folgende Satz geht im Falle d =1auf Bochner (1932) zurück.
�2
�
�
� μ(dx) ≥ 0. ✷
Satz 15.29 (Bochner). Eine stetige Funktion f : R d → C ist genau dann die
charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf R d ,wennf
positiv semidefinit ist und f(0) = 1 gilt.
Die Aussage gilt ebenfalls, wenn wir R d durch eine lokalkompakte, abelsche Gruppe
ersetzen.

15.4 Charakteristische Funktion und Momente 299
Beweis. Für den Fall d =1siehe [20, §20, Satz 23] oder [53, Kapitel XIX.2, Seite
622]. Für den ganz allgemeinen Fall siehe etwa [70, Seite 293, Theorem 33.3]. ✷
Übung 15.3.1. (Vergleiche [49] und [3].) Man zeige: Es gibt zwei austauschbare
Folgen X =(Xn)n∈N und Y =(Yn)n∈N reeller Zufallsvariablen mit PX �= PY ,
jedoch mit
Anleitung:
n�
Xk
k=1
D
=
n�
Yk für jedes n ∈ N. (15.4)
k=1
(i) Definiere die charakteristischen Funktionen (siehe Satz 15.12) ϕ1(t) = 1
1+t2 und ϕ2(t) =(1−t/2) + . Zeige mit dem Satz von Pólya, dass
�
ϕ1(t), falls |t| ≤1,
ψ1(t) :=
ϕ2(t), falls |t| > 1,
und
�
ϕ2(t), falls |t| ≤1,
ψ2(t) :=
ϕ1(t), falls |t| > 1,
charakteristische Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R sind.
(ii) Definiere unabhängige Zufallsvariablen Xn,i, Yn,i, n ∈ N, i =1, 2, und Θn,
n ∈ N mit: Xn,i hat charakteristische Funktion ϕi, Yn,i hat charakteristische
Funktion ψi und P[Θn =1]=P[Θn = −1] = 1
2 . Setze Xn = Xn,Θn und
Yn = Yn,Θn . Zeige, dass (15.4) gilt.
(iii) Bestimme E[eit1X1+it2X2 ] und E[eit1Y1+it2Y2 ] für t1 = 1
2 und t2 =2und
folgere, dass (X1,X2) � D =(Y1,Y2) und damit PX �= PY . ♣
15.4 Charakteristische Funktion und Momente
Wir wollen den Zusammenhang zwischen den Ableitungen der charakteristischen
Funktion ϕX einer reellen Zufallsvariablen X und den Momenten von X untersuchen.
Wir beginnen mit einem elementaren Lemma.
Lemma 15.30. Für t ∈ R und n ∈ N gilt
�
�
�
�eit − 1 − it
�
(it)n−1 �
− ...− �
1! (n − 1)! �
≤ |t|n
n! .
Beweis. Dies folgt direkt aus der Taylorformel, da die n-te Ableitung von e it dem
Betrage nach 1 ist. ✷

300 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Satz 15.31 (Momente und Differenzierbarkeit). Sei X eine reelle Zufallsvariable
mit charakteristischer Funktion ϕ.
(i) Ist E[|X| n ] < ∞,soistϕn-mal stetig differenzierbar mit Ableitungen
ϕ (k) (t) =E � (iX) k e itX�
für jedes k =0,...,n.
(ii) Ist speziell E[X 2 ] < ∞,soist
ϕ(t) =1+it E[X] − 1
2 t2 E[X 2 ]+ε(t) t 2
mit ε(t) → 0 für t → 0.
|h|
(iii) Sei h ∈ R. Gilt lim
n→∞
n E[|X| n ]
n! =0,soistfür jedes t ∈ R
∞� (ih)
ϕ(t + h) =
k
k! E � e itX X k� .
k=0
Speziell gilt dies, falls E � e |hX|� < ∞.
Beweis. (i) Für t ∈ R, h ∈ R \{0} und k ∈{1,...,n} sei
Yk(t, h, x) =k! h −k e itx
�
e ihx k−1 � (ihx)
−
l
�
.
l!
Dann ist
E[Yk(t, h, X)] = k! h −k
�
k−1 �
ϕ(t + h) − ϕ(t) − E � e itX (iX) l� hl �
.
l!
Existiert nun der Limes ϕk(t) := limh→0 E[Yk(t, h, X)], soistϕk-mal differenzierbar
in t mit ϕ (k) (t) =ϕk(t).
Es gilt aber (nach Lemma 15.30 mit n = k +1) Yk(t, h, x) h→0
−→ (ix) keitx für
jedes x ∈ R und (nach Lemma 15.30 mit n = k) |Yk(t, h, x)| ≤|x| k . Da nach
Voraussetzung E[|X| k ] < ∞ gilt, folgt mit dem Satz über majorisierte Konvergenz,
dass E[Yk(t, h, X)] h→0
−→ E[(iX) keitX ]=ϕ (k) (t). Eine einfache Anwendung des
Stetigkeitslemmas (Satz 6.27) liefert die Stetigkeit von ϕ (k) .
(ii) Dies folgt direkt aus (i).
(iii) Nach Voraussetzung gilt
l=0
l=1

�
�
�
�ϕ(t
+ h) −
�
n−1 �
k=0
(ih) k
15.4 Charakteristische Funktion und Momente 301
k! E� e itX X k�� � ��� = hn
n!
�
� E[Yn(t, h, X)] � �
≤ hn E[|X| n ]
n!
n→∞
−→ 0. ✷
Korollar 15.32 (Momentenproblem). Sei X eine reelle Zufallsvariable mit
α := lim sup
n→∞
1
n E� |X| n� 1/n < ∞.
Dann ist die charakteristische Funktion ϕ von X analytisch, und die Verteilung
von X ist durch die Angabe der Momente E[X n ], n ∈ N, eindeutig bestimmt.
Speziell gilt dies, falls E � e t|X|� < ∞ ist für ein t>0.
Beweis. Nach der Stirling’schen Formel ist limn→∞ 1
n! nn e −n√ 2πn = 1.Für
|h| < 1/(3α) gilt daher
lim sup
n→∞
E � |X| n� ·|h| n √
/n! = lim sup 2πn
n→∞
�
E � |X| n� �
1/n
n
·|h|·e/n
√
n
≤ lim sup 2πn(e/3) =0.
n→∞
Die charakteristische Funktion ist also um jeden Punkt t ∈ R in eine Potenzreihe
entwickelbar mit Konvergenzradius mindestens 1/(3α), ist insbesondere also analytisch.
Damit ist sie festgelegt durch die Koeffizienten der Potenzreihe um t =0,
also durch die Momente von X. ✷
Beispiele 15.33. (i) Sei X ∼N μ,σ 2.Dannistfür jedes t ∈ R
E � e tX� = � 2πσ 2� −1/2
� ∞
−∞
= e μt+t2 σ 2 /2 � 2πσ 2� −1/2
= e μt+t2 σ 2 /2 < ∞.
e tx e −(x−μ)2 /2σ 2
dx
� ∞
e
−∞
−(x−μ−tσ2 ) 2 /2σ 2
Also ist die Verteilung von X durch Angabe aller Momente komplett bestimmt. Die
charakteristische Funktion ϕ(t) =e iμt e −σ2 t 2 /2 , die wir durch die obige Rechnung
mit it statt t erhalten, ist in der Tat analytisch.
(ii) Sei X exponentialverteilt mit Parameter θ>0. Dannistfür t ∈ (0,θ)
E[e tX ]=θ
� ∞
0
e tx e −θx dx = θ
< ∞.
θ − t
Also ist die Verteilung von X durch Angabe aller Momente bestimmt. Die selbe
Rechnung mit it statt t liefert ϕ(t) =θ/(θ − it), und diese Funktion ist in der Tat
dx

302 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
analytisch. Der Umstand, dass ϕ im Komplexen eine Singularität bei t = −iθ hat,
impliziert, dass die Potenzreihe von ϕ um 0 den Konvergenzradius θ hat. Insbesondere
folgt hieraus, dass nicht alle exponentiellen Momente existieren können. Dies
wird reflektiert durch die obige Rechnung, die zeigt, dass für t ≥ θ keine exponentiellen
Momente existieren.
(iii) Sei X log-normalverteilt (siehe Beispiel 15.5). Dann ist E[X n ] = e n2 /2 .
Speziell ist in diesem Fall α = ∞. Tatsächlich hatten wir in Beispiel 15.5 gesehen,
dass die Momente in diesem Fall nicht die Verteilung von X bestimmen.
(iv) Hat X Werte in N0 und gilt β := lim supn→∞ E[Xn ] 1/n < 1, so gilt nach
den Hadamard-Kriterium ψX(z) := �∞ k=1 P[X = k] zk < ∞ für |z| < 1/β.
Speziell ist die Erzeugendenfunktion von X durch die Ableitungen ψ (n)
X (1), n ∈ N,
und damit durch die Momente von X eindeutig festgelegt. Vergleiche Satz 3.2(iii).
✸
Satz 15.34. Sei X eine reelle Zufallsvariable und ϕ die charakteristische Funktion
von X. Sein ∈ N, und ϕ sei 2n-mal differenzierbar in 0 mit Ableitung ϕ (2n) (0).
Dann gilt E[X 2n ]=ϕ (2n) (0) < ∞.
Beweis. Wir führen den Beweis per Induktion nach n ∈ N0. Für n =0ist die
Aussage trivialerweise richtig. Sei nun n ∈ N, und ϕ sei 2n-mal differenzierbar in
0. Wir setzen u(t) =Re(ϕ(t)). Dannistuebenfalls 2n-mal differenzierbar in 0
und u (2k−1) (0) = 0 für k =1,...,n, weil u gerade ist. Da ϕ (2n) (0) existiert, ist
ϕ (2n−1) stetig in 0 und ϕ (2n−1) (t) existiert für t ∈ (−ε, ε) für gewisses ε>0.
Ferner existiert dann ϕ (k) in (−ε, ε) und ist dort stetig für jedes k =0,...,2n − 2.
Nach der Taylorformel gilt also für jedes t ∈ (−ε, ε)
�
� n−1
�
�
�u(t)
−
�
k=0
�
�
�
�
(2k)! �
u (2k) (0) t2k
≤ |t|2n−1
(2n − 1)!
sup
θ∈(0,1]
�
�
�u (2n−1) �
�
(θt) � . (15.5)
Wir definieren eine stetige Funktion fn : R → [0, ∞) durch fn(0) = 1 und für
x �= 0
fn(x) =(−1) n (2n)! x −2n
�
�
n−1 �
k x2k
cos(x) − (−1) .
(2k)!
Nach Induktionsvoraussetzung ist E[X 2k ]=u (2k) (0) für jedes k =1,...,n− 1.
Es folgt mit (15.5)
E � fn(tX) X 2n� ≤ 2n
|t|
k=0
sup |u
θ∈(0,1]
(2n−1) (θt)| ≤gn(t) :=2n sup
θ∈(0,1]
Mit dem Lemma von Fatou folgt
E � X 2n� = E � fn(0)X 2n� ≤ lim inf
t→0 E�fn(tX)X 2n�
≤ lim inf
t→0 gn(t) =2n � � u (2n) (0) � � < ∞.
|u (2n−1) (θt)|
.
θ |t|

15.4 Charakteristische Funktion und Momente 303
Hieraus folgt nach Satz 15.31 aber schon E[X 2n ]=u (2n) (0) = ϕ (2n) (0). ✷
Bemerkung 15.35. Für ungerade Momente gilt die Aussage des Satzes nicht (siehe
etwa Übung 15.4.4 für das erste Moment). In der Tat ist ϕ in 0 genau dann differenzierbar
mit Ableitung im für ein m ∈ R, wennxP[|X| >x] x→∞
−→ 0 und
E[X {|X|≤x}] x→∞
−→ m. (Siehe [53, Kapitel XVII.2a, Seite 565].) ✸
Übung 15.4.1. Es seien X und Y nichtnegative Zufallsvariablen mit
und
lim sup
n→∞
1
n E[|X|n ] 1/n 1
< ∞, lim sup
n→∞ n E[|Y |n ] 1/n < ∞,
E[X m Y n ]=E[X m ] E[Y n ] für alle m, n ∈ N0.
Man zeige: X und Y sind unabhängig.
Hinweis: Verwende Korollar 15.32 für die Zufallsvariable Y bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes
X m P[ · ]/E[X m ] um zu zeigen, dass
E[X m A(Y )]/E[X m ]=P[Y ∈ A] für jedes A ∈B(R) und m ∈ N0.
Verwende nun Korollar 15.32 für X bezüglich des W-Maßes P[ · |Y ∈ A]. ♣
Übung 15.4.2. Seien r, s > 0 und Z ∼ Γ1,r+s, B ∼ βr,s (siehe Beispiel 1.107).
Man zeige mit Hilfe von Übung 15.4.1: Die Zufallsvariablen X := BZ und Y :=
(1 − B)Z sind unabhängig mit X ∼ Γ1,r und Y ∼ Γ1,s. ♣
Übung 15.4.3. Man zeige, dass für α>2 die Funktion φα(t) =e−|t|α keine charakteristische
Funktion ist.
(Hinweis: Man nehme das Gegenteil an und zeige, dass dann die zugehörige Verteilung
verschwindende Varianz hätte.) ♣
Übung 15.4.4. Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit charakteristischer
Funktion ϕ. Man zeige:
(i) Ist ϕ differenzierbar in 0, soistϕ ′ (0) = imfür ein m ∈ R.
(ii) ϕ ist differenzierbar in 0 mit ϕ ′ (0) = im genau dann, wenn (X1 + ... +
Xn)/n n→∞
−→ m stochastisch.
(iii) Die Verteilung von X1 kann so gewählt werden, dass ϕ differenzierbar in 0 ist,
aber E[|X1|] =∞. ♣

304 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz
Während wir im starken Gesetz der großen Zahl gesehen haben, dass Summen Sn =
X1 + ...+ Xn u.i.v. integrierbarer Zufallsvariablen Werte in etwa von der Größe
n·E[X1] annehmen, wollen wir jetzt anschauen, wie groß und von welcher Form die
typischen Abweichungen von diesem Wert sind – jedenfalls unter der zusätzlichen
Annahme, dass Var[X1] ∈ (0, ∞).
Wir bereiten den Beweis des zentralen Grenzwertsatzes mit einem Lemma vor.
Lemma 15.36. Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit E[X1] =μ und
Var[X1] =σ2 ∈ (0, ∞). Sei
n�
(Xk − μ)
S ∗ n := 1
√ nσ 2
k=1
die standardisierte n-te Partialsumme. Dann gilt
lim
n→∞ ϕS∗ n (t) =e−t2 /2
für jedes t ∈ R.
Beweis. Sei ϕ = ϕXk−μ. Dann ist nach Satz 15.31(ii)
ϕ(t) =1− σ2
2 t2 + ε(t) t 2 ,
wobei ε(t) → 0, wennt→0. Nach Lemma 15.11(iv) und (ii) ist
ϕS∗ (t) =ϕ
n
�
Nun ist 1 − t2
�n n→∞
2n −→ e−t2 /2 und
�
�
�
�
�
1 − t2
�n
− ϕ
2n
� t
√nσ 2
� t
√nσ 2
≤ n t2
nσ 2
� n
.
�n � �
� � �
��� � t2
≤ n �
t ���
�1 − − ϕ √nσ
2n 2
�
�
�
�ε � ��
t ��� n→∞
√nσ −→ 0.
2
(Beachte: |u n − v n |≤|u − v|·n · max(|u|, |v|) n−1 für alle u, v ∈ C.) ✷
Satz 15.37 (Zentraler Grenzwertsatz). Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen
mit μ := E[X1] ∈ R und σ2 := Var[X1] ∈ (0, ∞). Für n ∈ N sei
S∗ n := 1 �n √
σ2n i=1 (Xi − μ). Dann gilt
PS ∗ n
n→∞
−→ N0,1 schwach.
Für −∞ ≤ a

15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
Beweis. Nach Lemma 15.36 und dem Lévy’schen Stetigkeitssatz (Satz 15.23) konvergiert
PS ∗ n gegen die Verteilung mit charakteristischer Funktion ϕ(t) =e−t2 /2 .
Nach Satz 15.12(i) ist dies N0,1. Der Zusatz folgt mit dem Portemanteau Theorem
(Satz 13.16), weil N0,1 eine Dichte hat, also N0,1(∂[a, b]) = 0 gilt. ✷
Bemerkung 15.38. Man kann ohne Benutzung des Stetigkeitssatzes auch so argumentieren:
Für jedes K>0 und n ∈ N ist P[|S∗ n| >K] ≤ Var[S ∗ n]/K2 =1/K2 ,
also ist die Folge PS∗ straff. Da die charakteristischen Funktionen verteilungsbe-
n
stimmend sind, folgt die Aussage mit Satz 13.34. ✸
Wir wollen uns nun von der Annahme von Satz 15.37 lösen, dass die Zufallsvariablen
identisch verteilt sind. Tatsächlich können wir sogar Partialsummen bilden, die
jeweils ganz unterschiedliche zentrierte Zufallsvariablen aufsummieren. Entscheidend
ist, dass die Varianz der normierten Summe 1 ist, und dass jeder einzelne
Summanden nur einen kleinen Beitrag liefert.
Definition 15.39. Für jedes n ∈ N sei kn ∈ N und seien Xn,1,...,Xn,kn reelle
Zufallsvariablen. Wir nennen (Xn,l) = � Xn,l, l=1,...,kn, n∈ N � ein Schema
von Zufallsvariablen. Wirdefinieren stets Sn = Xn,1 + ...+ Xn,kn als die
Zeilensumme. Das Schema heißt
– unabhängig, falls für jedes n ∈ N die Familie (Xn,l)l=1,...,kn unabhängig ist,
– zentriert, falls Xn,l ∈L1 (P) und E[Xn,l] =0ist für jedes n und l,
– normiert, falls Xn,l ∈L2 (P) und kn�
Var[Xn,l] =1ist für jedes n ∈ N.
l=1
Ein zentriertes Schema heißt asymptotisch vernachlässigbar, falls für jedes ε>0
lim
n→∞ max P[|Xn,l| >ε]=0.
1≤l≤kn
Definition 15.40. Ein zentriertes Schema (Xn,l) mit Xn,l ∈L 2 (P) für jedes n ∈ N
und l =1,...,kn erfüllt die Lindeberg-Bedingung, falls für jedes ε>0 gilt, dass
Ln(ε) :=
1
Var[Sn]
kn�
l=1
�
E X 2 n,l {X2 n,l >ε2 �
n→∞
Var[Sn]}
−→ 0. (15.6)
Das Schema erfüllt die Lyapunov-Bedingung, falls für ein δ>0 gilt
1
lim
n→∞ Var[Sn] 1+(δ/2)
kn�
E � |Xn,l| 2+δ� =0. (15.7)
Lemma 15.41. Die Lyapunov-Bedingung impliziert die Lindeberg-Bedingung.
l=1

306 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Beweis. Für x ∈ R ist x 2 {|x|>ε ′ } ≤ (ε ′ ) −δ |x| 2+δ {|x|>ε ′ } ≤ (ε ′ ) −δ |x| 2+δ . Mit
ε ′ := ε � Var[Sn] folgt Ln(ε) ≤ ε −δ
1
Var[Sn] 1+(δ/2)
l=1
kn�
E � |Xn,l| 2+δ� . ✷
Beispiel 15.42. Seien (Yn)n∈N u.i.v. mit E[Yn] =0und Var[Yn] =1.Seikn = n
und Xn,l = Yl √n .Dannist(Xn,l) unabhängig, zentriert und normiert. Es gilt
P[|Xn,l| > ε] = P[|Y1| > ε √ n ] n→∞
−→ 0, also ist (Xn,l) asymptotisch vernachlässigbar.
Es gilt Ln(ε) = E � Y 2
1 {|Y1|>ε √ � n→∞
n} −→ 0, alsoerfüllt (Xn,l)
die Lindeberg-Bedingung.
Gilt Y1 ∈L2+δ (P) für ein δ>0, soist
n�
l=1
E � |Xn,l| 2+δ� = n −(δ/2) E � |Y1| 2+δ� n→∞
−→ 0.
In diesem Fall erfüllt (Xn,l) auch die Lyapunov Bedingung. ✸
Der folgende Satz geht auf Lindeberg (1922) für die Richtung (i) =⇒ (ii) und Feller
(1935 und 1937) für die Richtung (ii) =⇒ (i) zurück. In den Anwendungen interessiert
meist nur die Richtung von Lindeberg (i) =⇒ (ii), daher beweisen wir nur
diesen Teil. Für die Richtung (ii) =⇒ (i) siehe etwa [145, Theorem III.4.3].
Satz 15.43 (Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller). Sei (Xn,l) ein unabhängiges,
zentriertes und normiertes Schema reeller Zufallsvariablen, sowie
Sn = Xn,1 + ...+ Xn,kn für jedes n ∈ N. Dann sind äquivalent
(i) Es gilt die Lindeberg-Bedingung.
(ii) (Xn,l) ist asymptotisch vernachlässigbar, und es gilt PSn
n→∞
−→ N0,1.
Wir bereiten den Beweis des Satzes von Lindeberg mit ein paar Lemmata vor.
Lemma 15.44. Gilt (i) in Satz 15.43, so ist (Xn,l) asymptotisch vernachlässigbar.
Beweis. Für ε>0 ist nach der Chebyshev’schen Ungleichung
kn�
P � |Xn,l| >ε � ≤ ε −2
kn�
E � X 2 n,l
�
{|Xn,l|>ε} = Ln(ε) n→∞
−→ 0. ✷
l=1
l=1
Seien im Folgenden stets ϕn,l und ϕn die charakteristischen Funktionen von Xn,l
und Sn.
Lemma 15.45. Für jedes n ∈ N und t ∈ R gilt
kn� �
�1 − ϕn,l(t) � �
t
≤ 2
2 .
l=1

15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 307
Beweis. Für jedes x ∈ R ist |e itx − 1 − itx| ≤ t2 x 2
2 .WegenE[Xn,l] =0ist
kn�
kn� �
|ϕn,l(t) − 1| = �E[e itXn,l
�
− 1] �
l=1
≤
≤
l=1
kn�
E �� � itXn,l e − itXn,l − 1 � � � + � �E[itXn,l] � �
l=1
kn� t2 l=1
2 E[X2 n,l] = t2
2
. ✷
�
kn�
�
Lemma 15.46. Gilt (i) in Satz 15.43, so ist lim � log ϕn(t)− E � e itXn,l
�
−1 � �
� =0.
n→∞
Beweis. Setze mn := max |ϕn,l(t) − 1|. Beachte, dass für jedes ε>0 gilt:
l=1,...,kn
�
�e itx − 1 � �
2 2 2 x /ε , falls |x| >ε,
� ≤
εt, falls |x| ≤ε.
Hieraus folgt
���e |ϕn,l(t) − 1| ≤E
itXn,l
� � ���e − 1� {|Xn,l|≤ε} + E
itXn,l
� �
− 1� {|Xn,l|>ε}
Also ist für jedes ε>0
≤ εt +2ε −2 �
E X 2 �
n,l {|Xn,l|>ε} .
lim sup
n→∞
l=1
� −2
mn ≤ lim sup εt +2ε Ln(ε)
n→∞
� = εt,
und damit lim
n→∞ mn =0.Nunistfür x ∈ C mit |x| ≤ 1
2 stets | log(1+x)−x| ≤x2 .
Ist n groß genug, sodass mn < 1
2 ,dannist

308 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
�
�
�
�
� log ϕn(t)
kn�
− E[e
l=1
itXn,l
�
�
�
− 1] �
� =
�
� kn�
�
� log(ϕn,l(t)) − E[e
�
l=1
itXn,l
�
�
�
− 1] �
�
≤
kn� �
ϕn,l(t) − 1 �2 l=1
≤ mn
kn�
|ϕn,l(t) − 1|
l=1
≤ 1
2 mn t 2
(nach Lemma 15.45)
−→ 0 für n →∞. ✷
Der eigentliche Trick besteht in der Einführung der Funktion
⎧
1+x
⎪⎨
ft(x) :=
⎪⎩
2
x2 �
e itx − 1 − itx
1+x2 �
, falls x �= 0,
− t2
, falls x =0,
2
sowie der Maße μn,νn ∈Mf (R), n∈ N,
l=1
l=1
(15.8)
kn�
νn(dx) := x 2 PXn,l (dx) und μn(dx)
kn� x
:=
2
PXn,l (dx).
1+x2 Lemma 15.47. Für jedes t ∈ R gilt ft ∈ Cb(R).
Beweis. Für jedes |x| ≥1 ist 1+x2
x2 ≤ 2, also gilt
�
|ft(x)| ≤2 |e itx | +1+ tx
1+x2 �
≤ 4+2|t|.
Wir müssen zeigen, dass ft stetig in 0 ist. Die Taylorformel (Lemma 15.30) liefert
e itx =1+itx − t2 x 2
mit |R(tx)| ≤ 1
6 |tx|3 .Alsoistfür festes t
lim
0�=x→0 ft(x) = lim
0�=x→0
1
x 2
�
itx
2
�
1 − 1
1+x 2
Lemma 15.48. Gilt (i) in Satz 15.43, so gilt νn
+ R(tx)
�
− t2x2 �
+ R(tx)
2
n→∞
−→ δ0 schwach.
= − t2
. ✷
2

Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn ∈M1(R), denn
νn(R) =
kn�
�
l=1
x 2 PXn,l (dx) =
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 309
kn�
Var[Xn,l] =1,
l=1
Für ε>0 gilt aber νn((−ε, ε) c )=Ln(ε) n→∞
−→ 0, also νn
Lemma 15.49. Gilt (i) in Satz 15.43, so gilt
�
�
1
n→∞
ft(x) μn(dx)+it μn(dx) −→ −
x t2
2 .
n→∞
−→ δ0. ✷
Beweis. Wegen (x ↦→ ft(x)/(1 + x2 )) ∈ Cb(R) ist nach Lemma 15.48
�
�
ft(x) μn(dx) = ft(x)
1
n→∞
νn(dx) −→ ft(0) = −
1+x2 t2
2 .
Nun ist (x ↦→ x/(1 + x2 )) ∈ Cb(R) und E[Xn,l] =0für jedes n und l, also
�
1
x μn(dx)
kn�
�
= E
Xn,l
�
kn�
�
= E
Xn,l
�
− Xn,l
l=1
kn�
�
= − E
l=1
�
= −
1+X 2 n,l
l=1
X 2 n,l · Xn,l
1+X 2 n,l
�
1+X 2 n,l
x
n→∞
νn(dx) −→ 0. ✷
1+x2 Beweis von Satz 15.43
” (i) =⇒ (ii)“ Wir müssen für jedes t ∈ R zeigen, dass lim
n→∞ log ϕn(t) =− t2
2 .
Nach Lemma 15.46 ist dies äquivalent zu
lim
n→∞
kn�
l=1
� ϕn,l(t) − 1 � = − t2
2 .
Nun ist ft(x) x2
1+x 2 = e itx − 1 − itx
1+x 2 . Also gilt
kn� �
ϕn,l(t) − 1
l=1
� kn�
� �
x
= ft(x)
l=1
2 itx
+
1+x2 1+x2 �
PXn,l (dx)
�
=
�
ft dμn + it
1
x μn(dx)
n→∞
−→ − t2
2
(nach Lemma 15.49) ✷

310 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Als eine Anwendung des Satzes von Lindeberg-Feller bringen wir den so genannten
Dreireihensatz, der auf Kolmogorov zurückgeht.
Satz 15.50 (Kolmogorov’scher Dreireihensatz). Seien X1,X2,... unabhängige
reelle Zufallsvariablen. Es sei K>0 und Yn := Xn {|Xn|≤K} für jedes n ∈ N.
Die Reihe �∞ n=1 Xn konvergiert genau dann fast sicher, wenn die folgenden drei
Bedingungen gelten:
(i)
(ii)
(iii)
∞�
P[|Xn| >K] < ∞,
n=1
∞�
E[Yn] konvergiert,
n=1
∞�
Var[Yn] < ∞.
n=1
Beweis. ⇐= “ Es gelten (i), (ii) und (iii). Nach Übung 7.1.1 konvergiert wegen
”
(iii) die Reihe �∞ n=1 (Yn − E[Yn]) f.s. Wegen (ii) konvergiert also �∞ n=1 Yn f.s.
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli existiert ein N = N(ω), sodass |Xn| Kunendlich oft, was der
Annahme widerspräche).
Wir nehmen an, dass (iii) nicht gilt und führen dies zum Widerspruch. Wir setzen
σ2 n = �n k=1 Var[Yk] und definieren ein Schema (Xn,l; l = 1,...,n, n ∈ N)
durch Xn,l = (Yl− E[Yl])/σn. Das Schema ist zentriert und normiert. Wegen
σ2 n→∞
n −→ ∞, gilt für jedes ε > 0 und großes n ∈ N, dass2K < εσn, aber
|Xn,l| ≤ ε für alle l = 1,...,n. Es folgt Ln(ε) n→∞
−→ 0, wobei Ln(ε) =
n�
E � X2 �
n,l {|Xn,l|≥ε} die Größe aus der Lindeberg-Bedingung ist (siehe (15.6)).
l=1
Nach dem Satz von Lindeberg-Feller gilt also Sn := Xn,1 +...+Xn,n
n→∞
=⇒ N0,1.
Wie
�
im ersten Teil des Beweises gezeigt, folgt aus der fast sicheren Konvergenz von
∞
n=1 Xn und aus (i)
∞�
n=1
Yn konvergiert fast sicher. (15.9)
n→∞
Insbesondere gilt Tn := (Y1 + ...+ Yn)/σn =⇒ 0. Nach dem Satz von Slutzky
gilt also auch (Sn − Tn) n→∞
=⇒ N0,1. Andererseits ist Sn − Tn deterministisch für
jedes n ∈ N, womit die Annahme, dass (iii) nicht gilt ad absurdum geführt ist.

15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 311
Nachdem wir (iii) schon gezeigt haben, folgt mit Übung 7.1.1, dass � ∞
n=1 (Yn −
E[Yn]) fast sicher konvergiert. Wegen (15.9) folgt (ii). ✷
Als Ergänzung bringen wir ohne Beweis eine Abschätzung für die Konvergenzgeschwindigkeit
im Zentralen Grenzwertsatz (siehe beispielsweise [145, Kapitel III,
§11] für einen Beweis), die mit anderen Konstanten (statt 0.8) unabhängig von Berry
[13] und Esseen [45] gefunden wurde.
Satz 15.51 (Berry-Esseen). Seien X1,X2,... unabhängig und identisch verteilt
mit E[X1] =0, E[X2 1 ]=σ2 ∈ (0, ∞) und γ := E[|X1| 3 ] < ∞. Seien S∗ n :=
√ 1
nσ2 (X1 + ···+ Xn) und Φ : x ↦→ 1
� x
√
2π −∞ e−t2 /2dt die Verteilungsfunktion
der Standardnormalverteilung. Dann gilt für jedes n ∈ N
�
sup �P [S
x∈R
∗ n ≤ x] − Φ(x) � �
0.8 γ
≤
σ3√n .
Übung 15.5.1. Die Argumentation aus Bemerkung 15.38 ist etwas direkter als die
Argumentation mit dem Lévy’schen Stetigkeitssatz, allerdings etwas weniger robust:
Man gebe eine Folge X1,X2,...von unabhängigen, reellen Zufallsvariablen
an mit E[|Xn|] =∞ für jedes n ∈ N, aber mit
X1 + ...+ Xn
√ n
n→∞
=⇒ N0,1. ♣
Übung 15.5.2. Seien Y1,Y2,... u.i.v. mit E[Yi] =0und E[Y 2
i ]=1. Davon unabhängig
seien Z1,Z2,...unabhängige Zufallsvariablen mit
P[Zi = i] =P[Zi = −i] = 1�
1 − P[Zi =0]
2
� = 1 1
.
2 i2 Setze Xi := Yi + Zi und Sn = X1 + ...+ Xn für i, n ∈ N.
Man zeige: n −1/2 Sn
n→∞
=⇒ N0,1, aber (Xi)i∈N erfüllt keine Lindeberg-Bedingung.
Hinweis: Möglichst nicht direkt ausrechnen! ♣
Übung 15.5.3. Seien X1,X2,...u.i.v. Zufallsvariablen mit Dichte
f(x) = 1
|x| 3 R\[−1,1](x).
Dann ist E[X 2 1 ]=∞, aber es gibt Zahlen A1,A2,..., sodass
X1 + ...+ Xn
An
n→∞
=⇒ N0,1.
Man gebe die Folge (An)n∈N explizit an. ♣

312 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz
Wir kommen zu einer mehrdimensionalen Variante des zentralen Grenzwertsatzes.
Definition 15.52. Sei C eine (strikt) positiv definite symmetrische reelle d×d Matrix
und μ ∈ Rd . Ein Zufallsvektor X =(X1,...,Xd) T heißt d-dimensional normalverteilt
mit Erwartungswert μ und Kovarianzmatrix C, falls X die Dichte
fμ,C(x) =
1
� (2π) d det(C) exp
für x ∈ R d hat. Wir schreiben X ∼Nμ,C.
�
− 1
2
� x − μ, C −1 (x − μ) � �
(15.10)
Satz 15.53. Sei μ ∈ R d und C eine reelle positiv definite symmetrische reelle d×d
Matrix. Ist X ∼Nμ,C, dann gelten:
(i) E[Xi] =μi für jedes i =1,...,d.
(ii) Cov[Xi,Xj] =Ci,j für alle i, j =1,...,d.
(iii) 〈λ, X〉 ∼N 〈λ,μ〉,〈λ,Cλ〉 für jedes λ ∈ Rd .
(iv) ϕ(t) :=E[ei〈t,X〉 ]=ei〈t,μ〉 1 − e 2 〈t,Ct〉 für jedes t ∈ Rd .
Es gilt sogar X ∼Nμ,C ⇐⇒ (iii) ⇐⇒ (iv).
Beweis. (i) und (ii) sind einfache Rechnungen, ebenso (iii) und (iv). Die Implikation
(iii) =⇒ (iv) ist simpel. Die Familie {ft : x ↦→ e i〈t,x〉 ,t∈ R d } ist trennend für
M1(R d ) nach dem Satz von Stone–Weierstraß. Also legt ϕ die Verteilung von X
eindeutig fest. ✷
Bemerkung 15.54. Für eindimensionale Normalverteilungen liegt es nahe, Nμ,0 als
δμ zu definieren. Einen so einfachen Begriff können wir bei mehrdimensionalen
Normalverteilungen nicht mehr erwarten (außer für den Fall C =0), wenn eine
Entartung nur in einigen Richtungen auftritt, also C nur noch positiv semidefinit
und symmetrisch ist. In diesem Fall definieren wir Nμ,C als diejenige Verteilung
auf Rn mit charakteristischer Funktion ϕ(t) =ei〈t,μ〉 1 − e 2 〈t,Ct〉 . ✸
Satz 15.55 (Cramér-Wold Device). Sind Xn =(Xn,1,...,Xn,d) T ∈ R d , n ∈
N ∪{∞}, Zufallsvektoren, so gilt genau dann
PXn
wenn für jedes λ ∈ R d gilt, dass
P 〈λ,Xn〉
n→∞
−→ PX∞
schwach, (15.11)
n→∞
−→ P 〈λ,X∞〉 schwach. (15.12)

15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz 313
Beweis. Gelte (15.11). Sei λ ∈ Rd und s ∈ R. Die Abbildung Rd → C, x ↦→
eis〈λ,x〉 ist stetig und beschränkt, also gilt E[eis〈λ,Xn〉 ] n→∞
−→ E[eis〈λ,X∞〉 ]. Damit
gilt (15.12).
Gelte nun (15.12). Dann ist (Xn,l)n∈N straff, l = 1,...,d.Alsoist(Xn)n∈N
straff und damit relativ folgenkompakt (Satz von Prohorov). Für jeden schwachen
Häufungspunkt Q von (PXn )n∈N ist für jedes λ ∈ Rd �
Q(dx) e i〈λ,x〉 = E � e i〈λ,X∞〉� .
Also gilt Q = PX∞ und damit (15.11). ✷
Satz 15.56 (Zentraler Grenzwertsatz im R d ). Seien (Xn)n∈N u.i.v. Zufallsvek-
toren mit E[Xn,i] = 0 und E[Xn,iXn,j] = Cij, i, j = 1,...,d.SeiS∗ n :=
X1+...+Xn √ . Dann gilt
n
PS ∗ n
n→∞
−→ N0,C schwach.
Beweis. Sei λ ∈ Rd . Setze Xλ n = 〈λ, Xn〉, Sλ n = 〈λ, S∗ n〉 und S∞ ∼N0,C. Dann
ist E[Xλ n]=0und Var[X λ n]=〈λ, Cλ〉. Nach dem eindimensionalen Zentralen
n→∞
Grenzwertsatz gilt PSλ −→ N
n
0,〈λ,Cλ〉 = P 〈λ, S∞〉. Nach Satz 15.55 zeigt dies
die Aussage. ✷
Übung 15.6.1. Sei μ ∈ R d , C eine symmetrische positiv semidefinite reelle d × d
Matrix und X ∼Nμ,C (im Sinne von Bemerkung 15.54). Man zeige: Für jedes
m ∈ N und jede reelle m × d Matrix A gilt AX ∼N Aμ,ACA T . ♣
Übung 15.6.2. (Cholesky-Faktorisierung) Sei C eine positiv definite symmetrische
reelle d × d Matrix. Dann existiert eine reelle d × d Matrix A = (akl)
mit A · A T = C. Man kann A sogar als untere Dreiecksmatrix wählen. Sei
W := (W1,...,Wd) T ,woW1,...,Wd unabhängig und N0,1 verteilt sind. Wir
setzen X := AW + μ. Man zeige: X ∼Nμ,C. ♣

16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Die Normalverteilung N μ,σ 2 lässt sich für jedes n ∈ N als n-te Faltungspotenz eines
W-Maßes schreiben (nämlich von N μ/n,σ 2 /n). Die selbe Eigenschaft, die wir
unbegrenzte Teilbarkeit nennen, hat die Poisson-Verteilung. Im ersten Abschnitt
untersuchen wir, welche W-Maße auf R unbegrenzt teilbar sind und geben eine
erschöpfende Beschreibung der Klasse dieser Maße durch die Lévy-Khinchin Formel.
Die Normalverteilung hat (im Gegensatz zur Poisson-Verteilung) die Eigenschaft,
dass sie als Grenzwert reskalierter Summen von u.i.v. Zufallsvariablen auftritt (Zentraler
Grenzwertsatz). Im zweiten Abschnitt untersuchen wir knapp die Teilklasse
unbegrenzt teilbarer Maße auf R, die diese Eigenschaft haben.
16.1 Die Lévy-Khinchin Formel
Zur Abkürzung verwenden wir in diesem Abschnitt die Bezeichnung CFW“ für
”
” charakteristische Funktion eines W-Maßes auf R“.
Definition 16.1. Ein Maß μ ∈M1(R) heißt unbegrenzt teilbar, falls es für jedes
n ∈ N ein μn ∈M1(R) mit der Eigenschaft μ∗n n = μ gibt. Analog nennen wir eine
CFW ϕ unbegrenzt teilbar, falls es zu jedem n ∈ N eine CFW ϕn gibt mit ϕ = ϕn n.
Eine reelle Zufallsvariable X heißt unbegrenzt teilbar, falls es zu jedem n ∈ N u.i.v.
Zufallsvariablen Xn,1,...,Xn,n gibt mit X D = Xn,1 + ...+ Xn,n.
Offenbar sind alle drei Begriffe der unendlichen Teilbarkeit äquivalent, und wir
wollen sie synonym verwenden. Man beachte, dass die Eindeutigkeit von μn beziehungsweise
ϕn keineswegs evident ist. Tatsächlich folgt aus der n-fachen Teilbarkeit
noch nicht die Eindeutigkeit der n-ten Faltungswurzel μ ∗1/n := μn beziehungsweise
von ϕn. Um dies für gerades n einzusehen, wähle man etwa eine reelle
CFW ϕ, für die |ϕ| �= ϕ ebenfalls eine CFW ist (siehe Beispiel 15.16 und 15.17).
Dann ist ϕ n = |ϕ| n n-fach teilbar, jedoch sind die Faktoren nicht eindeutig.
Mit Hilfe des Lévy’schen Stetigkeitssatzes kann man zeigen (siehe Übung 16.1.1),
dass ϕ(t) �= 0für alle t ∈ R gilt, falls ϕ unbegrenzt teilbar ist. Die probabilistische
Bedeutung dieser Aussage liegt darin, dass log(ϕ(t)) als stetige Funktion eindeutig

316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
definiert ist und damit auch nur genau eine stetige Funktion ϕ 1/n = exp(log(ϕ)/n)
existiert. Die n-ten Faltungswurzeln sind also eindeutig definiert, falls die Verteilung
unbegrenzt teilbar ist.
Beispiele 16.2. (i) δx ist unbegrenzt teilbar mit δ ∗n
x/n = δx für jedes n ∈ N.
(ii) Die Normalverteilung ist unbegrenzt teilbar mit N m,σ 2 = N ∗n
m/n,σ 2 /n .
(iii) Die Cauchy-Verteilung Caua mit Dichte x ↦→ (aπ) −1 (1 + (x/a) 2 ) −1 ist
unbegrenzt teilbar mit Caua =Cau ∗n
a/n. In der Tat: Caua hat CFW ϕa(t) =e−a|t| ,
also ist ϕn a/n = ϕa.
(iv) Jede symmetrische stabile Verteilung mit Index α ∈ (0, 2] und Größenparameter
γ>0, also mit CFW ϕα,γ(t) =e−|γt|α, ist unbegrenzt teilbar. In der Tat
ist ϕn α,γ/n1/α = ϕα,γ. (Genau genommen haben wir bislang erst für α ∈ (0, 1] (in
Korollar 15.25) und für α =2(Normalverteilung) gezeigt, dass ϕα,γ überhaupt
eine CFW ist. In Abschnitt 16.2 zeigen wir, dass dies tatsächlich für alle α ∈ (0, 2]
richtig ist. Für α>2 ist ϕα,γ hingegen keine CFW, siehe Übung 15.4.3.)
(v) Die Gamma-Verteilung Γθ,r mit CFW ϕθ,r(t) =exp(rψθ(t)), woψθ(t) =
log(1 − it/θ) ist, ist unbegrenzt teilbar mit Γθ,r = Γ ∗n
θ,r/n .
(vi) Die Poisson-Verteilung ist unbegrenzt teilbar mit Poiλ =Poi ∗n
λ/n.
(vii) Die negative Binomialverteilung b− � �
−r
r,p({k}) = (−1)
k
kpr (1 − p) k , k ∈
N0, mit Parametern r > 0 und p ∈ (0, 1) ist unbegrenzt teilbar mit b− r,p
(b
=
−
r/n,p )∗n .InderTatistϕr,p(t) =erψp(t) ,wo
ψp(t) =log(p) − log(1 − (1 − p)e it ).
(viii) Seien X und Y unabhängig und X ∼ N 0,σ 2 sowie Y ∼ Γθ,r, wobei
σ 2 ,θ,r > 0 sind. Man kann zeigen, dass die Zufallsvariable Z := X/ √ Y unbegrenzt
teilbar ist (siehe [64] oder [123]). Insbesondere ist die Student’sche t-
Verteilung mit k ∈ N Freiheitsgraden unbegrenzt teilbar (dieses ist der Fall σ 2 =1
und θ −1 = r = k).
(ix) Die Binomialverteilung bn,p ist für n ∈ N und p ∈ (0, 1) nicht unbegrenzt
teilbar (warum?).
(x) Etwas allgemeiner ist außer der trivialen Verteilung keine Verteilung unbegrenzt
teilbar, die auf ein endliches Intervall konzentriert ist. ✸
Ein Hauptziel dieses Abschnitts ist es zu zeigen, dass sich jede unbegrenzt teilbare
Verteilung aus drei generischen zusammensetzt:

– den Punktverteilungen δx mit x ∈ R,
– den Normalverteilungen Nμ,σ2 mit μ ∈ R und σ2 > 0,
– (Grenzwerten von) Faltungen von Poisson-Verteilungen.
16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 317
Da die Faltungen von Poisson-Verteilungen eine besondere Rolle spielen, wollen
wir sie hier gesondert betrachten.
Ist ν ∈ M1(R) mit CFW ϕν und ist λ > 0, so kann man leicht nachrechnen,
dass ϕ(t) =exp(λ(ϕν(t) − 1)) die CFW von μλ = �∞ λk
k=0
e−λ
k! ν∗k ist. Formal
können wir also μλ = e∗λ(ν−δ0) schreiben. Tatsächlich ist μλ unbegrenzt teilbar
. Wir wollen nun die Parameter λ und ν zu λν zusammenfassen.
mit μλ = μ∗n λ/n
Für ν ∈Mf (R) können wir ν∗n = ν(R) n (ν/ν(R)) ∗n setzen, beziehungsweise
ν∗n =0, falls ν =0. Wir treffen daher die folgende Definition.
Definition 16.3. Die zusammengesetzte Poissonverteilung (compound Poisson
distribution) mit Intensitätsmaß ν ∈Mf (R) ist das folgende W-Maß auf R:
CPoiν := e ∗(ν−ν(R)δ0) := e −ν(R)
Die CFW von CPoiν ist gegeben durch
��
ϕν(t) =exp
∞�
n=0
ν ∗n
n! .
(e itx �
− 1) ν(dx) . (16.1)
Speziell ist CPoiμ+ν =CPoiμ ∗ CPoiν, also ist CPoiν unbegrenzt teilbar.
Beispiel 16.4. Für jede messbare Menge A ⊂ R \{0} und jedes r>0 ist
r −1 CPoirν(A) =e −rν(R) ν(A)+e −rν(R)
∞�
k=2
r k−1 ν ∗k (A)
k!
r↓0
−→ ν(A).
Wir wollen dies benutzen um zu zeigen, dass b − r,p =CPoirν für ein gewisses ν ∈
Mf (N). Wir berechnen dazu für k ∈ N
r −1 b − r,p({k}) =
r(r +1)···(r + k − 1)
rk!
p r k r↓0
(1 − p) −→
(1 − p)k
.
k
Wenn b − r,p =CPoirν für ein ν ∈Mf (N) ist, ist also ν({k}) =(1− p) k /k. Wir
berechnen die CFW von CPoirν für dieses ν
�
∞�
ϕrν(t) =exp r
k
k=1
((1 − p)e it ) k
�
= � 1 − (1 − p)e it�−r .
Dies ist aber die CFW von b − r,p, also ist tatsächlich b − r,p =CPoirν. ✸

318 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Nicht jede unbegrenzt teilbare Verteilung ist vom Typ CPoiν, allerdings gilt:
Satz 16.5. Ein W-Maß μ auf R ist genau dann unbegrenzt teilbar, wenn es eine
n→∞
Folge (νn)n∈N in Mf (R \{0}) gibt mit CPoiνn −→ μ.
Da jedes CPoiνn unbegrenzt teilbar ist, müssen wir einerseits zeigen, dass diese
Eigenschaft unter schwachen Limiten erhalten bleibt. Andererseits zeigen wir, dass
für unbegrenzt teilbares μ die Folge νn = nμ∗1/n das Gewünschte leistet. Wir
bereiten den Beweis mit einem weiteren Satz vor.
Satz 16.6. Sei (ϕn)n∈N eine Folge von CFWs. Dann sind äquivalent:
(i) Für jedes t ∈ R existiert ϕ(t) = lim
n→∞ ϕnn(t), und ϕ ist stetig in 0.
(ii) Für jedes t ∈ R existiert ψ(t) = lim
n→∞ n(ϕn(t) − 1), und ψ ist stetig in 0.
Gelten (i) und (ii), so ist ϕ = e ψ eine CFW.
Beweis. Der Beweis beruht auf der Taylor-Entwicklung des Logarithmus’
| log(z) − (z − 1)| ≤|z − 1| 2 /2 für z ∈ C mit |z − 1| < 1/2.
Speziell gilt für (zn)n∈N in C
lim sup
n→∞
n |zn − 1| < ∞ ⇐⇒ lim sup |n log(zn)| < ∞. (16.2)
n→∞
und limn→∞ n(zn − 1) = limn→∞ n log(zn), falls einer der Limiten existiert.
Wenden wir dies auf zn = ϕn(t) an, so folgt (i) aus (ii). Andererseits folgt (ii) aus
(i), wenn lim infn→∞ n log(|ϕn(t)|) > −∞, also wenn ϕ(t) �= 0für jedes t ∈ R.
Da ϕ stetig in 0 ist und ϕ(0) = 1 gilt, gibt es ein ε>0 mit |ϕ(t)| > 1
2 für jedes
t ∈ [−ε, ε]. Daϕund ϕn CFWs sind, sind auch |ϕ| 2 und |ϕn| 2 CFWs. Aus der
punktweisen Konvergenz von |ϕn(t)| 2n gegen |ϕ(t)| 2 folgt nach dem Lévy’schen
Stetigkeitssatz also die gleichmäßige Konvergenz auf kompakten Mengen. Wende
nun (16.2) mit zn = |ϕn(t)| 2 an. Für t ∈ [−ε, ε] ist daher (n(1 −|ϕn(t)| 2 ))n∈N
beschränkt. Nach Lemma 15.11(v) ist dann aber auch n(1 −|ϕn(2t)| 2 ) ≤ 4n(1 −
|ϕn(t)| 2 ) beschränkt, also
|ϕ(2t)| 2 ≥ lim inf
n→∞ exp(4n(|ϕn(t)| 2 − 1)) = (|ϕ(t)| 2 ) 4 .
Iterativ erhalten wir |ϕ(t)| ≥2−(4k ) k für |t| ≤2 ε. Es gibt also ein γ>0, sodass
|ϕ(t)| > 1 t2
e−γ
2
Gelten (i) und (ii), so ist
für jedes t ∈ R. (16.3)

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 319
log ϕ(t) = lim
n→∞ n log(ϕn(t)) = lim
n→∞ n(ϕn(t) − 1) = ψ(t).
Nach dem Lévy’schen Stetigkeitssatz ist ϕ als stetiger Limes von CFWs selbst eine
CFW. ✷
Korollar 16.7. Gelten die Bedingungen von Satz 16.6, so ist ϕ r eine CFW für jedes
r>0. Insbesondere ist ϕ =(ϕ 1/n ) n unbegrenzt teilbar.
Beweis. Ist ϕn die CFW von μn ∈ M1(R), soiste rn(ϕn−1) die CFW von
CPoirnμn . Als in 0 stetiger Limes von CFWs ist ϕr = e rψ = limn→∞ e rn(ϕn−1)
nach dem Lévy’schen Stetigkeitssatz eine CFW. Mit r = 1
n folgt, dass ϕ =(ϕ1/n ) n
unbegrenzt teilbar ist. ✷
Korollar 16.8. Eine in 0 stetige Funktion ϕ : R → C ist genau dann eine unbegrenzt
teilbare CFW, wenn es eine Folge (ϕn)n∈N von CFWs gibt mit ϕ n n(t) → ϕ(t)
für jedes t ∈ R.
Beweis. Die eine Richtung ist schon in Korollar 16.7 gezeigt worden. Sei also ϕ
eine unbegrenzt teilbare CFW. Dann leistet ϕn = ϕ 1/n das Gewünschte. ✷
Korollar 16.9. Ist (μn)n∈N eine (schwach) konvergente Folge unbegrenzt teilbarer
W-Maße auf R, soistμ = limn→∞ μn unbegrenzt teilbar.
Beweis. Wende Satz 16.6 an mit ϕn die CFW von μ ∗1/n
n . ✷
Korollar 16.10. Ist μ ∈ M1(R) unbegrenzt teilbar, so existiert eine stetige Faltungshalbgruppe
(μt)t≥0 mit μ1 = μ und ein stochastischer Prozess (Xt)t≥0 mit
unabhängigen, stationären Zuwächsen Xt − Xs ∼ μt−s für t>s.
Beweis. Sei ϕ die CFW von μ. Die Existenz der Faltungshalbgruppe folgt aus Korollar
16.8 und 16.7, indem wir μr durch ϕ r definieren. Die Stetigkeit der Halbgruppe
folgt, da ϕ r → 1 für r → 0 (weil ϕ r (t) �= 0für alle t ∈ R). Schließlich folgt die
Existenz des Prozesses X aus Satz 14.47. ✷
Korollar 16.11. Ist ϕ eine unbegrenzt teilbare CFW, so existiert ein γ > 0 mit
für jedes t ∈ R. Speziell ist t ↦→ e−|t|α für kein α>2 eine CFW.
|ϕ(t)| ≥ 1 t2
2e−γ Beweis. Dies folgt direkt aus (16.3). ✷
Beweis (von Satz 16.5). Da CPoiνn unbegrenzt teilbar ist, ist nach Korollar 16.9
auch der schwache Limes unbegrenzt teilbar.
Sei nun μ unbegrenzt teilbar mit CFW ϕ. Wähle W-Maße μn mit CFW ϕn wie in
n(ϕn−1) n→∞
n→∞
Korollar 16.8. Nach Satz 16.6 gilt e −→ ϕ, also auch CPoinμn −→ ν.
✷

320 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Ohne Beweis bringen wir die folgende Verschärfung von Korollar 16.8, die auf einer
feineren Analyse mit den Argumenten aus Satz 16.6 beruht.
Satz 16.12. Sei (ϕn,l; l =1,...,kn, n∈ N) ein Schema von CFWs mit der Eigenschaft
sup lim sup sup sup |ϕn,l(t) − 1| =0. (16.4)
L>0 n→∞ t∈[−L,L] l=1,...,kn
�kn Existiert für jedes t ∈ R der Limes ϕ(t) := limn→∞ l=1 ϕn,l(t), und ist ϕ stetig
in 0, soistϕeine unbegrenzt teilbare CFW.
Beweis. Siehe etwa [53, Kapitel XV.7]. ✷
n→∞
In dem Fall, wo für jedes n die ϕn,l alle gleich sind und kn −→ ∞, gilt (16.4)
automatisch, wenn das Produkt gegen eine stetige Funktion konvergiert. Der Satz
liefert also tatsächlich eine Verbesserung von Korollar 16.8.
Der Wert des Satzes liegt in der folgenden Beobachtung. Sei (Xn,l; l =1,...,kn,
n ∈ N) ein Schema reeller Zufallsvariablen mit CFWs ϕn,l. Genau dann ist das
Schema asymptotisch vernachlässigbar, wenn (16.4) gilt: Gilt P[|Xn,l| >ε]

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 321
Satz 16.14 (Lévy-Khinchin Formel auf [0, ∞)). Sei μ ∈M1([0, ∞)) und u :
[0, ∞) → [0, 1], t ↦→ −log � e −tx μ(dx) die log-Laplace Transformierte von μ.
Genau dann ist μ unbegrenzt teilbar, wenn es ein α ≥ 0 und ein σ-endliches Maß
ν ∈M((0, ∞)) mit �
(1 ∧ x) ν(dx) < ∞ (16.5)
gibt, sodass
�
�1 −tx
u(t) =αt + − e � ν(dx) für t ≥ 0. (16.6)
Das Paar (α, ν) ist dann eindeutig. Wir nennen ν das kanonische Maß oder Lévy-
Maß von μ und α den deterministischen Anteil.
Beweis. ” =⇒ “ Sei zunächst μ unbegrenzt teilbar. Der Fall μ = δ0 ist trivial.
Sei nun μ �= δ0, also u(1) > 0.
n→∞
Nach Satz 16.5 existieren ν1,ν2,...∈Mf (R\{0}) mit CPoiνn −→ μ. Offenbar
können wir νn((−∞, 0)) = 0 annehmen. Setzen wir un(t) := � (1 − e−tx ) νn(dx),
so gilt (nach (16.1)) un(t) n→∞
−→ u(t) für jedes t ≥ 0. Speziell ist un(1) > 0 für
große n. Definiere ˜νn ∈M1([0, ∞)) durch ˜νn(dx) := 1−e−x
un(1) νn(dx). Für jedes
t ≥ 0 gilt dann
�
e −tx ˜νn(dx) = un(t +1)−un(t) n→∞ u(t +1)−u(t) −→ .
un(1)
u(1)
Also existiert ˜ν := w-lim ˜νn (in M1([0, ∞)) und ist eindeutig durch u festgelegt.
Wir setzen α := ˜ν({0}) u(1) und definieren ν ∈M((0, ∞)) durch
ν(dx) =u(1)(1 − e −x ) −1 (0,∞)(x)˜ν(dx).
Wegen 1 ∧ x ≤ 2(1 − e−x ) für alle x ≥ 0 ist dann offenbar
�
�
(1 ∧ x) ν(dx) ≤ 2 (1 − e −x ) ν(dx) ≤ u(1) < ∞.
Für jedes t ≥ 0 ist die Funktion (vergleiche (15.8))
ft :[0, ∞) → [0, ∞), x ↦→
� 1−e −tx
1−e −x , falls x>0,
t, falls x =0,
stetig und beschränkt (durch t ∧ 1), also gilt
u(t) = lim
n→∞ un(t) = lim
n→∞ un(1)
�
�
ft d˜νn
�
= u(1) ft d˜ν = αt + (1 − e −tx ) ν(dx).

322 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
” ⇐= “ Seien nun α und ν gegeben. Sei I0 =[1, ∞) und Ik =[1/(k +1), 1/k)
für k ∈ N. Seien X0,X1,...unabhängige Zufallsvariablen mit PXk =CPoi (ν| Ik )
für k = 0, 1,..., und sei X := α + �∞ k=0 Xk. �
Für jedes k ∈ N ist E[Xk] =
Ik xν(dx), also ist �∞ k=1 E[Xk] = �
xν(dx) < ∞. Mithin gilt X

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 323
(16.9) äquivalent zu der Bedingung �
(−1,1) x2 ν(dx) < ∞. Daν0 stets endlich ist,
ist dies wiederum äquivalent zu � (x2 ∧ 1) ν(dx) < ∞.
Definition 16.16. Ein σ-endliches Maß ν auf R mit ν({0}) =0und
� �x 2 ∧ 1 � ν(dx) < ∞ (16.10)
heißt kanonisches Maß.Sindσ 2 ≥ 0 und b ∈ R, so heißt (σ 2 ,b,ν) ein kanonisches
Tripel.
Zu jedem kanonischen Tripel gehört über die Konstruktion (16.8) eine unbegrenzt
teilbare Zufallsvariable. Wir setzen
ψ0(t) = log E � e itX0� �
� � itx
= e − 1 ν(dx)
und für k ∈ N
ψk(t) = log E � e it(Xk−αk) � �
=
Also genügt
der Lévy-Khinchin Formel
ψ(t) :=logE � e itX� = − σ2
2 t2 + ibt +
ψ(t) =− σ2
2 t2 + ibt +
I0
Ik
� e itx − 1 − itx � ν(dx).
∞�
ψk(t)
k=0
�
�e � itx
− 1 − itx {|x|

324 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
(i) Durch (16.11) wird das kanonische Tripel eindeutig bestimmt.
(ii) Zu jeder unbegrenzt teilbaren Verteilung existiert ein kanonisches Tripel, sodass
(16.11) gilt.
(i) Eindeutigkeit Wir setzen gt(x) =e itx − 1 − itx {|x|

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 325
Dann ist nach (16.1) und mit gt aus (i)
�
ψn(t) :=log e itx �
CPoiνn (dx) = (e itx �
− 1) νn(dx) = gt dνn + ibnt.
Wie in (16.14) ist
n→∞
ψ n(t) :=ψn(t) − 1
2
� t+1
t−1
�
ψn(s) ds = e itx h(x) νn(dx).
Da ψn −→ ψ gleichmäßig auf kompakten Mengen konvergiert (Satz 15.23(i)),
n→∞
und weil ψ stetig und damit lokal beschränkt ist, gilt ψn −→ ψ punktweise, also
�
e itx h(x) νn(dx) n→∞
−→ ψ(t). (16.15)
Speziell ist ψn(0) < 0 für große n. Setzen wir ˜νn(dx) =−(h(x)/ψn(0))νn(dx) ∈
M1(R), sogilt � eitx ˜νn(dx) n→∞
−→ −ψ(t)/ψ(0), wobei die rechte Seite stetig ist.
Nach dem Lévy’schen Stetigkeitssatz gibt es also ein ˜ν ∈M1(R) mit ˜νn
n→∞
−→ ˜ν
und
�
ψ(t) =−ψ(0) e itx ˜ν(dx).
Wir setzen σ 2 := −6 ψ(0) ˜ν({0}) und definieren ein kanonisches Maß ν durch
Die Abbildung (vergleiche (15.8))
ν(dx) =− ψ(0)
h(x)
ft : R → C, x ↦→
{x�=0} ˜ν(dx).
�
gt(x)
h(x) , falls x �= 0,
−3t 2 , falls x =0,
ist stetig und beschränkt. Nach Voraussetzung ist
� �
�
ft(x)˜νn(dx)+ibnt .
ψ(t) = lim
n→∞ ψn(t) = lim
n→∞
Da die Integrale konvergieren, existiert auch b = limn→∞ bn, und es ist
�
ψ(t) = ft d˜ν + ibt = − σ2
2 t2 �
+ ibt + gt dν. ✷
Bemerkung 16.18. Es gibt mehrere Varianten der Lévy-Khinchin Formel
ψ(t) =− σ2
2 t2 �
�e � itx
+ ibt + − 1 − it f(x) ν(dx),

326 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
die sich in der Funktion it f(x) unterscheiden, die als Zentrierung im Integral abgezogen
wird. Wir haben f(x) =x {|x|0
n Cau1/n(A) = 1
�
π
A
n2 n→∞
dx −→
1+(nx) 2 1
π
�
A
1
dx.
x2 Also hat Cau1 das kanonische Tripel � 0, 0, (πx 2 ) −1 dx � . ✸
Übung 16.1.1. Man zeige mit einem Varianzargument, dass eine unbegrenzt teilbare
Verteilung, die auf einem endlichen Intervall konzentriert liegt, schon in einem
einzigen Punkt konzentriert ist. ♣
Übung 16.1.2. Sei ϕ unbegrenzt teilbar, und für jedes n ∈ N sei ϕn eine CFW mit
ϕn n = ϕ. Man zeige mit Hilfe des Lévy’schen Stetigkeitssatzes, dass gleichmäßig
n→∞
auf kompakten Mengen ϕn −→ 1 gilt und folgere hieraus, dass ϕ(t) �= 0für
jedes t ∈ R. ♣
Übung 16.1.3. Man zeige, dass unter den Bedingungen von Satz 16.14 gilt:
α =sup � x ≥ 0: μ([0,x)) = 0 � . ♣

16.2 Stabile Verteilungen
Symmetrische stabile Verteilungen
Für α ∈ (0, 2) sei
�
θα := (1 − cos(x)) |x| −α−1 dx =
R
16.2 Stabile Verteilungen 327
� −2Γ (−α)cos(απ/2), falls α �= 1,
π, falls α =1.
Dann ist να(dx) =θ −1
α |x| −α−1 dx ein kanonisches Maß, denn
�
(1 ∧ x 2 ) να(dx) =2θ −1�
−1 −1
α α +(2−α) � < ∞.
Sei ψα die logarithmierte charakteristische Funktion, die zum unbegrenzt teilbaren
Maß μα mit kanonischem Tripel (0, 0,να) gehört. Nach der Lévy-Khinchin
Formel ist
� ∞ � � itx −1
ψα(t) = e − 1 − itx {|x|2 ist, eine charakteristische Funktion hat, die zweimal stetig differenzierbar
in 0 ist, und deren ersten beiden Ableitungen dort gleich 0 sind. Die Verteilung hat
also Erwartungswert und Varianz Null und ist damit als δ0 erkannt. Ein ähnliches
Argument zeigt, dass stabile Verteilungen im weiteren Sinne für α>2 notwendigerweise
trivial sind. ✸

328 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Asymmetrische stabile Verteilungen
Sind μ1 und μ2 unbegrenzt teilbar mit den kanonischen Tripeln (σ2 1,b1,ν1) und
(σ2 2,b2,ν2),soistμ1∗μ2 unbegrenzt teilbar mit kanonischem Tripel (σ2 1 + σ2 2,b1 +
b2,ν1+ν2). Ist nun μ unbegrenzt teilbar mit kanonischem Tripel (σ2 ,b,ν), und sind
X1,X2,...u.i.v. Zufallsvariablen mit Verteilung μ,soistX1 +...+Xn unbegrenzt
teilbar mit kanonischem Tripel (nσ2 , nb, nν). Andererseits ist n1/αX1 unbegrenzt
teilbar mit kanonischem Tripel (n2/ασ2 ,n1/αb, ν ◦ m −1
n1/α), wobei mγ : R → R,
x ↦→ γx die Multiplikation mit γ>0 ist.
Ist nun μ stabil mit Index α, so folgt aus (16.17)
nb = n 1/α b, nσ 2 = n 2/α σ 2
und nν = ν ◦ m −1
n1/α. Ist α �= 1, so folgt b =0.Für α ∈ (0, 2) ist hingegen σ2 =0. Außerdem ist
� ∞
n (1∧x
−∞
2 � ∞
) ν(dx) = (1∧x
−∞
2 ) � ν ◦m −1
n1/α Im Fall α =2folgt wegen 1 ≥ n−1 (1∧nx 2 )
1∧x2 � (dx) =
� ∞
−∞
(1∧n 2/α x 2 ) ν(dx).
n→∞
−→ 0 für alle x �= 0und wegen
(16.10) mit dem Satz über majorisierte Konvergenz
� ∞
� ∞
(1 ∧ x
−∞
2 n
) ν(dx) =
−∞
−1 (1 ∧ nx2 )
1 ∧ x2 Das heißt, es gilt ν =0, falls α =2 ist.
(1 ∧ x 2 ) ν(dx) n→∞
−→ 0.
Hat ν eine auf R\{0} stetige Dichte f, so folgt aus (16.17) die Skalierungsrelation
f(rx) =r −α−1 f(x) für jedes r>0, also mit c − := f(−1) und c + := f(1)
ν(dx)
dx =
� c − (−x) −α−1 , falls x0.
Wir haben also einen Freiheitsgrad mehr (in dem Sinne, dass wir jetzt die zwei
Parameter c − und c + statt nur c haben), wenn wir auch asymmetrische stabile
Verteilungen zulassen. Wir können nun ψ ausrechnen
ψ(t) =
� |t| α Γ (−α) � (c + + c − )cos � πα
2
� + i (c + − c − )sin � πα
2
�� , α �= 1,
−|t|(c + + c − ) � π
2 + i sign(t)(c+ − c − )log(|t|) � , α =1.
(16.18)
Im Fall α ∈ (0, 1) ∪ (1, 2) haben wir so eine stabile Verteilung hergestellt, denn es
gilt (16.17). Im Fall α =1gilt hingegen nψ(t/n) =ψ(t)+it(c + − c − )logn, also
X1 + ...+ Xn
D
= nX1 +(c + − c − ) n log(n).
Man kann zeigen, dass die stabilen Verteilungen, die wir hier hergestellt haben,
tatsächlich die gesamte Klasse der im weiteren Sinne stabilen Verteilungen ausschöpfen
(siehe etwa [53, Kapitel XVII.5]).

Konvergenz gegen stabile Verteilungen
16.2 Stabile Verteilungen 329
Zur Abrundung des Bildes zitieren wir aus [53, Kapitel XVII.5] (siehe auch [61]
und [120]) Sätze darüber, dass nur stabile Verteilungen als Grenzverteilungen reskalierter
Summen von u.i.v. Zufallsvariablen X1,X2,...auftreten können, wie die
genauen Skalierungen aussehen, und welche Verteilungen PX1 zu welchen Grenzverteilungen
führen.
Seien im Folgenden X, X1,X2,...u.i.v. Zufallsvariablen und Sn = X1 +...+Xn
für n ∈ N.
Definition 16.22 (Anziehungsbereich einer Verteilung). Sei μ ∈ M1(R)
nicht auf einen Punkt konzentriert. Der Anziehungsbereich (domain of attraction)
Dom(μ) ⊂M1(R) ist die Menge aller Verteilungen PX mit der Eigenschaft, dass
es Folgen reeller Zahlen (an)n∈N und (bn)n∈N gibt mit
Sn − bn
an
n→∞
=⇒ μ.
Ist μ stabil (im weiteren Sinne) mit Index α ∈ (0, 2], so liegt PX im normalen
Anziehungsbereich (domain of normal attraction), falls an = n 1/α gewählt werden
kann.
Satz 16.23. Sei μ ∈M1(R) nicht auf einen Punkt konzentriert. Genau dann ist
Dom(μ) �= ∅, wennμ stabil (im weiteren Sinne) ist. Es gilt dann μ ∈ Dom(μ).
Eine wichtige Rolle spielt im Folgenden die Funktion
U(x) :=E � X 2 �
{|X|≤x} . (16.19)
Eine Funktion H :(0, ∞) → (0, ∞) heißt langsam variierend bei ∞, falls
H(γx)
lim =1
x→∞ H(x)
für alle γ>0.
Wir nehmen im Folgenden an, dass es ein α ∈ (0, 2] gibt, mit der Eigenschaft:
U(x) x α−2 ist langsam variierend bei ∞. (16.20)
Satz 16.24. (i) Liegt PX im Anziehungsbereich einer Verteilung, dann existiert
ein α ∈ (0, 2], sodass (16.20) gilt.
(ii) Im Falle α =2gilt: Ist PX nicht in einem Punkt konzentriert, so ist (16.20)
hinreichend dafür, dass PX im Anziehungsbereich einer Verteilung liegt.
(iii) Im Falle α ∈ (0, 2) gilt: Genau dann liegt PX im Anziehungsbereich einer
Verteilung, wenn (16.20) gilt und
P[X ≥ x]
p := lim
existiert. (16.21)
x→∞ P[|X| ≥x]

330 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Satz 16.25. Es sei PX im Anziehungsbereich einer α-stabilen Verteilung – es gelte
also Bedingung (ii) oder (iii) aus Satz 16.24 – und es sei (an)n∈N so gewählt, dass
nU(an)
C := lim
n→∞ a2 ∈ (0, ∞)
n
existiert. Es sei ferner μ diejenige stabile Verteilung mit Index α, deren charakteristische
Funktion durch (16.18) gegeben ist mit c + = Cp und c − = C(1 − p).
(i) Im Falle α ∈ (0, 1) sei bn ≡ 0.
(ii) Im Falle α =2 und Var[X] < ∞ sei E[X] =0.
(iii) Im Falle α ∈ (1, 2] sei bn = n E[X] für jedes n ∈ N.
(iv) Im Falle α =1 sei bn = nan E[sin(X/an)] für jedes n ∈ N.
Dann gilt
Sn − bn
an
n→∞
=⇒ μ.
Korollar 16.26. Liegt PX im Anziehungsbereich einer stabilen Verteilung mit Index
α, sogiltE � |X| β� < ∞ für alle β ∈ (0,α) und E � |X| β� = ∞, falls β>α
und α0,
0, sonst.
Man zeige:
(i) F ist die Verteilungsfunktion einer 1
2-stabilen Verteilung.
(ii) Sind X1,X2,... u.i.v. mit Verteilungsfunktion F , so divergiert 1
n
für n →∞fast sicher.
� n
k=0 Xk
Hinweis: Man bestimme die Dichte von F und zeige, dass die Laplace Transformierte
gegeben ist durch λ ↦→ e −√ 2λ . ♣
Übung 16.2.4. Welche der folgenden Verteilungen liegen im Anziehungsbereich einer
stabilen Verteilung und gegebenenfalls zu welchem Parameter?

(i) Die Verteilung auf R mit Dichte
⎧
⎪⎨
ϱ
f(x) =
⎪⎩
1
1+α |x|α , falls x1,
sonst.
Dabei sind α, β < −1 und ϱ ∈ [0, 1].
(ii) Die Exponentialverteilung expθ für θ>0.
16.2 Stabile Verteilungen 331
(iii) Die Verteilung auf N mit Gewichten cn α falls n gerade ist und cn β , falls n
ungerade ist. Dabei sind α, β < −1, und c =(2 α ζ(−α)+(1− 2 β )ζ(−β)) −1
(ζ ist die Riemann’sche Zetafunktion) ist die Normierungskonstante. ♣

17 Markovketten
Markovprozesse mit abzählbarem Zustandsraum (und diskreter Zeit) sind trotz ihrer
Simplizität interessante mathematische Objekte, mit denen sich eine Vielzahl von
Phänomenen modellieren lässt. Wir bringen hier einen Einblick in die grundlegenden
Begriffe und schauen dann Beispiele etwas detaillierter an. Der Zusammenhang
mit der (diskreten) Potentialtheorie wird erst in Kapitel 19 untersucht. Beim ersten
Lesen kann in Abschnitt 17.1 die (etwas abstrakte) Konstruktion von allgemeinen
Markovprozessen übersprungen werden.
17.1 Begriffsbildung und Konstruktion
Im Folgenden sei E stets ein polnischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra B(E),
I ⊂ R und (Xt) t∈I ein stochastischer Prozess mit Werten in E. Wir nehmen an,
dass (Ft)t∈I = F = σ(X) die von X erzeugte Filtration ist.
Definition 17.1. Wir sagen, dass X die elementare Markoveigenschaft (ME) hat,
falls für jedes A ∈B(E) und je zwei s, t ∈ I mit s ≤ t gilt
P � Xt ∈ A � � �
�Fs = P Xt ∈ A � �
�Xs .
Bemerkung 17.2. Ist E abzählbar, so hat X genau dann die elementare Markoveigenschaft,
wenn für jedes n ∈ N und alle s1 < ... < sn 0 gilt
P � Xt = i � � �
�Xs1 = i1,...,Xsn = in = P Xt = i � �Xsn
�
= in . (17.1)
In der Tat impliziert (17.1) natürlich sofort die elementare Markoveigenschaft. Habe
nun X die elementare Markoveigenschaft. Wir bemerken (siehe (8.6)), dass für fast
alle ω ∈{Xsn = in} gilt P[Xt = i � �Xsn ](ω) =P[Xt = i � �Xsn = in]. Also
gilt mit A := {Xs1 = i1,...,Xsn = in} (unter Verwendung der elementaren
Markoveigenschaft in der zweiten Gleichheit)
P � �
Xt = i,Xs1 = i1,...,Xsn = in
= E � �
E[ �
{Xt=i} Fsn ] � � �
A = E E[ �
{Xt=i} Xsn ] �
A
= E � P[Xt = i � �Xsn = in]
� �
A = P Xt = i � �
�Xsn = in P[A].

334 17 Markovketten
Teilen wir jetzt auf beiden Seiten durch P[A], so folgt (17.1). ✸
Definition 17.3. Sei I = N0 oder I =[0, ∞). X =(Xt) t∈I heißt Markovprozess
mit Verteilungen (Px) x∈E auf dem Raum (Ω,A), falls gilt:
(i) Für jedes x ∈ E ist X ist ein stochastischer Prozess auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,A, Px) mit Px [X0 = x] =1.
(ii) Die Abbildung κ : E ×B(E) ⊗I → [0, 1], (x, B) ↦→ Px[X ∈ B] ist ein
stochastischer Kern.
(iii) Es gilt die (schwache) Markoveigenschaft (ME): Für jedes A ∈B(E), jedes
x ∈ E und je zwei s, t ∈ I gilt
�
Px Xt+s ∈ A � �
�Fs = κt(Xs,A) Px − f.s.
Hierbei definiert für jedes t ∈ I und x ∈ E sowie A ∈B(E)
κt(x, A) :=κ � x, {y ∈ E I : y(t) ∈ A} � = Px [Xt ∈ A]
den stochastischen Kern κt : E ×B(E) → [0, 1] der Übergangswahrscheinlichkeiten
von X zur Zeitdifferenz t.
Wir schreiben stets Ex für die Erwartungswerte bezüglich Px und Lx[X] =Px
sowie Lx[X |F]=Px[X ∈ · |F] (für eine reguläre Version der bedingten Verteilungen
von X gegeben F) und so fort.
Ist E höchstens abzählbar, so heißt X diskreter Markovprozess.
Im Spezialfall I = N0 heißt X Markovkette. Es heißt dann κn auch die Familie der
n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten.
Bemerkung 17.4. Die schwache Markoveigenschaft impliziert die elementare Markoveigenschaft.
In der Tat ist ” schwache ME = elementare ME + zeitliche Homogenität“.
✸
Wir verwenden im Folgenden die etwas nachlässige Bezeichnung PXs [X ∈ · ]:=
κ(Xs, · ). Wir verstehen also Xs als Startwert eines zweiten Markovprozesses mit
denselben Verteilungen (Px)x∈E.
Beispiel 17.5. Seien Y1,Y2,... u.i.v. R d -wertige Zufallsvariablen und
S x n = x +
n�
Yi für x ∈ R d und n ∈ N0.
i=1
Definiere W-Maße Px auf � (R d ) N0 , (B(R d )) ⊗N0
� durch Px = P ◦ (S x ) −1 .Dann
ist der kanonische Prozess Xn :(R d ) N0 → R d eine Markovkette mit Verteilungen
(Px) x∈R d. Der Prozess X heißt Irrfahrt auf R d mit Startwert x. ✸

17.1 Begriffsbildung und Konstruktion 335
Beispiel 17.6. Wir können das vorangehende Beispiel leicht auf die Situation stetiger
Zeit, also I =[0, ∞), übertragen. Sei hierzu (νt)t≥0 eine Faltungshalbgruppe
auf R d und κt(x, dy) =δx ∗ νt(dy). Zu jedem x ∈ R d sei Px das in Satz 14.47
konstruierte Maß auf � (R d ) [0,∞) , B(R d ) ⊗[0,∞)� mit
�
Px ◦ (X0,Xt1 ,...,Xtn )−1 n−1
= δx ⊗ κtn+1−tn
i=0
für je endlich viele Punkte 0=t0 0 und ν θ t ({k}) =
e −θt tk θ k
k! , k ∈ N0, die Faltungshalbgruppe der Poisson-Verteilung. Der Markovprozess
X auf N0 mit dieser Halbgruppe heißt Poissonprozess mit Rate θ. ✸
Wir wollen, ähnlich wie in Beispiel 17.6, nun etwas allgemeiner zu einer Markov’schen
Halbgruppe von stochastischen Kernen einen Markovprozess herstellen.
Satz 17.8. Sei I ⊂ [0, ∞) abgeschlossen unter Addition, und sei (κt)t∈I eine Markov’sche
Halbgruppe stochastischer Kerne von E nach E. Dann gibt es einen
Messraum (Ω,A) und einen Markovprozess ((Xt)t∈I, (Px)x∈E) auf (Ω,A) mit
Übergangswahrscheinlichkeiten
Px [Xt ∈ A] =κt(x, A) für alle x ∈ E, A ∈B(E), t∈ I. (17.2)
Umgekehrt definiert für jeden Markovprozess X die Gleichung (17.2) eine Halbgruppe
stochastischer Kerne. Durch (17.2) sind die endlichdimensionalen Verteilungen
von X eindeutig bestimmt.
Beweis. ” =⇒ “ Wir konstruieren X als kanonischen Prozess. Sei Ω = E [0,∞)
und A = B(E) ⊗[0,∞) . Ferner sei Xt die Projektion auf die t-te Koordinate. Für
x ∈ E definieren wir (siehe Korollar 14.43) auf (Ω,A) das W-Maß Px, sodass für
endlich viele Zeitpunkte 0=t0

336 17 Markovketten
also Px[Xtn ∈ An |Ftn−1 ]=κtn−tn−1 (Xtn−1 ,An). Damit ist X als Markovprozess
erkannt. Ferner ist Px[Xt ∈ A] =(δx · κt)(A) =κt(x, A).
” ⇐= “ Sei nun (X, (Px)x∈E) ein Markovprozess. Dann definiert
κt(x, A) :=Px [Xt ∈ A] für alle x ∈ E, A ∈B(E), t∈ I,
einen stochastischen Kern κt. Nach der Markoveigenschaft ist
κt+s(x, A) =Px [Xt+s ∈ A] = Ex [PXs [Xt ∈ A]]
�
=
Px [Xs ∈ dy] Py [Xt ∈ A]
�
= κs(x, dy)κt(y, A) = (κs · κt)(x, A).
Also ist (κt) t∈I eine Markov’sche Halbgruppe. ✷
Satz 17.9. Ein stochastischer Prozess X =(Xt)t∈I ist genau dann ein Markovprozess,
wenn es einen stochastischen Kern κ : E ×B(E) ⊗I → [0, 1] gibt, sodass für
jede B(E) ⊗I −B(R) messbare, beschränkte Funktion f : EI → R und für jedes
s ≥ 0 und x ∈ E gilt:
�
Ex f ((Xt+s)t∈I) � �
�Fs = EXs [f(X)] :=
�
E I
κ(Xs, dy) f(y). (17.3)
Beweis. ” ⇐= “ Die schwache Markoveigenschaft folgt aus (17.3) mit der Funktion
f(y) = A(y(t)), dennPXs [Xt ∈ A] =Px[Xt+s ∈ A|Fs] =κt(Xs,A).
” =⇒ “ Nach den üblichen Approximationsargumenten reicht es, Funktionen f
zu betrachten, die nur von endlich vielen Koordinaten 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn
abhängen. Wir führen den Beweis per Induktion über n.
Für n =1und f eine Indikatorfunktion ist dies die (schwache) Markoveigenschaft.
Für allgemeines, messbares f folgt die Aussage nun aus den üblichen Approximationsargumenten.
Sei nun die Aussage für n ∈ N bereits gezeigt. Es reicht wiederum, für f eine Indikatorfunktion
der Art f(x) = B1×···×Bn+1 (xt1 ,...,xtn+1 ) (mit B1,...,Bn+1 ∈
B(E)) zu betrachten. Zusammen mit der Markoveigenschaft (dritte und fünfte
Gleichheit in der folgenden Gleichungskette) und der Induktionsvoraussetzung
(vierte Gleichheit) erhalten wir

Ex
17.1 Begriffsbildung und Konstruktion 337
�
f � �� �
(Xt+s)t≥0 �Fs
� � � �� �
= Ex Ex f (Xt+s)t≥0
�Ftn+s
� �
�
�Fs
= Ex
= Ex
�
�
= EXs
= EXs
= EXs
�
� �
Ex
�Ftn+s
{Xtn+1 +s∈Bn+1}
B1 (Xt1+s) ··· Bn (Xtn+s)
� �
PXtn+s
Xtn+1−tn ∈ Bn+1 B1 (Xt1+s) ··· Bn (Xtn+s)
�
�
�
PXtn
PX0
PX0
� Xtn+1−tn
� Xtn+1
� Xt1
�
∈ Bn+1 B1 (Xt1 ) ··· �
Bn (Xtn )
� �
�Ftn
∈ Bn+1 B1 (Xt1 ) ··· �
Bn (Xtn )
� �
�Ftn
∈ B1,...,Xtn+1 ∈ Bn+1
�
� �
�
�Fs
� �
�
�Fs
= EXs [f(X)] . ✷
Korollar 17.10. Ein stochastischer Prozess (Xn)n∈N0 ist genau dann eine Markovkette,
wenn
� � � � �
Lx (Xn+k) �Fk = LXk (Xn) n∈N0
n∈N0 für jedes k ∈ N0. (17.4)
Beweis. Wenn die bedingten Verteilungen existieren, ist nach Satz 17.9 die Gleichung
(17.4) äquivalent dazu, dass X eine Markovkette ist. Zu zeigen ist also nur,
dass die bedingten Verteilungen auch existieren.
Da E polnisch ist, ist E N0 polnisch und B(E N0 )=B(E) ⊗N0 (siehe Satz 14.8).
Nach Satz 8.36 existiert also eine reguläre Version der bedingten Verteilungen von
(Xn+k)n∈N0 gegeben Fk. ✷
Satz 17.11. Sei I = N0. Ist(Xn)n∈N0 ein stochastischer Prozess mit Verteilungen
(Px, x∈ E), so folgt die schwache Markoveigenschaft in Definition 17.3(iii) schon
aus der Existenz eines stochastischen Kerns κ1 : E ×B(E) → [0, 1] mit der Eigenschaft:
Für jedes A ∈B(E), jedes x ∈ E und jedes s ∈ I gilt
�
Px Xs+1 ∈ A � �
�Fs = κ1(Xs,A). (17.5)
In diesem Fall erhält man die n–Schritt Übergangskerne κn induktiv durch
�
κn = κn−1 · κ1 = κn−1( · ,dx) κ1(x, · ).
E
Speziell ist die Familie (κn)n∈N eine Markov’sche Halbgruppe, und die Verteilung
von X ist durch die Angabe von κ1 eindeutig festgelegt.
Beweis. Setze in Satz 17.9 ti = i für i ∈ N0.Für den Beweis des Satzes wurde nur
(17.5) ausgenutzt. ✷

338 17 Markovketten
Die (schwache) Markoveigenschaft eines Prozesses besagt, dass zu fester Zeit t die
Zukunft (nach t) von der Vergangenheit (bis t) nur durch die Gegenwart (also den
Wert zur Zeit t) abhängt. Wir können diesen Begriff verallgemeinern, indem wir
statt fester Zeiten auch Stoppzeiten zulassen.
Definition 17.12. Sei I ⊂ [0, ∞) abgeschlossen unter Addition. Ein Markovprozess
(Xt)t∈I mit Verteilungen (Px, x∈ E) hat die starke Markoveigenschaft,
falls für jede f.s. endliche Stoppzeit τ und jede B(E) ⊗I −B(R) messbare, beschränkte
Funktion f : EI → R, sowie jedes x ∈ E gilt:
�
Ex f ((Xτ+t)t∈I) � �
�Fτ = EXτ [f(X)] :=
�
E I
κ(Xτ ,dy) f(y). (17.6)
Bemerkung 17.13. Ist I höchstens abzählbar, so ist die starke Markoveigenschaft
äquivalent dazu, dass für jede fast sicher endliche Stoppzeit τ gilt
� � � � �
Lx (Xτ+t) �Fτ = LXτ (Xt) := κ(Xτ , · ). (17.7)
t∈N0
t∈N0
Dies folgt genau wie in Korollar 17.10. ✸
Die meisten relevanten Markovprozesse besitzen auch die starke Markoveigenschaft.
Statt hier den Begriff der Relevanz zu diskutieren, was sich wohl kaum
erschöpfend machen ließe, wollen wir lieber zeigen, dass für abzählbare Zeitmenge
die starke Markoveigenschaft aus der schwachen folgt. In zeitstetigen Situationen
hingegen muss man im Allgemeinen mehr arbeiten, um die starke Markoveigenschaft
zu etablieren.
Satz 17.14. Ist I ⊂ [0, ∞) höchstens abzählbar und abgeschlossen unter Addition,
so hat jeder Markovprozess (Xn)n∈I mit Verteilungen (Px)x∈E die starke
Markoveigenschaft.
Beweis. Sei f : EI → R� messbar � und� beschränkt. � Dann ist für jedes s ∈ I die Zufallsvariable
{τ=s} Ex f (Xs+t)
t∈I |Fτ messbar bezüglich Fs. Mit der Turmeigenschaft
der bedingten Erwartung und Satz 17.9 in der dritten Gleichheit erhalten
wir daher
� � � � � � � � � � �
Ex f (Xτ+t) �Fτ
t∈I = {τ=s} Ex f (Xs+t) �Fτ
t∈I
s∈I
= �
s∈I
= �
s∈I
= EXτ
Ex
Ex
�
�
� � �� �
{τ=s} Ex f (Xs+t)t∈I
�Fs
� �
�
�Fτ
{τ=s} EXs
� � ��
f (Xt)t∈I
� �
�
�Fτ
� � ��
f (Xt)t∈I . ✷

17.1 Begriffsbildung und Konstruktion 339
Wir bringen eine einfache Anwendung der starken Markoveigenschaft.
Satz 17.15 (Reflexionsprinzip). Seien Y1,Y2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
symmetrischer Verteilung L[Y1] =L[−Y1]. Setze X0 =0und Xn := Y1 + ...+
Yn für n ∈ N. Dann gilt für jedes n ∈ N0 und a>0
�
�
P sup Xm ≥ a
m≤n
≤ 2 P[Xn ≥ a] − P[Xn = a]. (17.8)
Gilt P[Y1 ∈{−1, 0, 1}] =1, so gilt für a ∈ N in (17.8) sogar Gleichheit.
Beweis. Sei a>0 und n ∈ N. Definiere die bei (n +1)abgeschnittene Zeit des
ersten Überschreitens von a
τ := inf{m ≥ 0: Xm ≥ a}∧(n +1).
Dann ist τ eine beschränkte Stoppzeit und
sup Xm ≥ a ⇐⇒ τ ≤ n.
m≤n
�
Setze f(m, X) = {m≤n} {Xn−m>a} + 1
�
2 {Xn−m=a} .Dannist
f � τ,(Xτ+m) m∈N0
� = {τ≤n}
� {Xn>a} + 1
2 {Xn=a}
Die starke Markoveigenschaft von X liefert
� �
� ��Fτ
�
E0 f τ,(Xτ+m) m≥0 = ϕ (τ,Xτ ) ,
wobei ϕ(m, x) =Ex[f(m, X)]. (Hierbei bezeichnet Ex die Erwartung für X, falls
X0 = x.) Wegen der Symmetrie der Yi ist
⎧
⎪⎨
≥
ϕ(m, x)
⎪⎩
1
2 , falls m ≤ n und x ≥ a,
= 1
2 , falls m ≤ n und x = a,
=0, falls m>n.
Also gilt
�
{τ ≤ n} = {τ ≤ n}∩{Xτ ≥ a} ⊂ ϕ(τ,Xτ ) ≥ 1
�
∩{τ ≤ n}
2
Nun folgt (17.8) aus
P[Xn >a]+ 1
2 P[Xn = a] =E � f � ��
τ,(Xτ+m)m≥0
� .
= {ϕ(τ,Xτ ) > 0}∩{τ ≤ n}.
� � 1
= E0 ϕ(τ,Xτ ) {τ≤n} ≥
2 P0 [τ ≤ n] .
(17.9)

340 17 Markovketten
Gilt P[Y1 ∈{−1, 0, 1}] =1, und ist a ∈ N,soistXτ = a, falls τ ≤ n. Alsoist
�
{ϕ(τ,Xτ ) > 0}∩{τ ≤ n} = ϕ(τ,Xτ )= 1
�
∩{τ ≤ n}.
2
Daher gilt Gleichheit im letzten Schritt von (17.9) und damit auch in (17.8). ✷
Übung 17.1.1. Sei I ⊂ R X =(Xt)t∈I ein stochastischer Prozess. Definiere für
t ∈ I die σ-Algebren, die die Vergangenheit bis und die Zukunft ab t kodieren:
F≤t := σ(Xs : s ∈ I, s ≤ t) und F≥t := σ(Xs : s ∈ I, s ≥ t).
Man zeige: X hat genau dann die elementare Markoveigenschaft, wenn für jedes
t ∈ I die σ-Algebren F≤t und F≥t unabhängig sind gegeben σ(Xt) (vergleiche
Definition 12.20).
Mit anderen Worten: Ein Prozess hat die elementare Markoveigenschaft genau dann,
wenn Vergangenheit und Zukunft unabhängig sind gegeben die Gegenwart. ♣
17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele
Sei E höchstens abzählbar und I = N0. Ein Markovprozess X =(Xn)n∈N0 auf E
ist nach Definition 17.3 eine diskrete Markovkette (oder Markovkette mit diskretem
Zustandsraum).
Ist X eine diskrete Markovkette, so ist (Px)x∈E festgelegt durch die Angabe von
der Übergangsmatrix
p =(p(x, y))x,y∈I := (Px[X1 = y])x,y∈E.
Die n-Schrittübergangswahrscheinlichkeiten
p (n) (x, y) :=Px [Xn = y]
ergeben sich nämlich als n-faches Matrixprodukt
wobei
p (n) (x, y) =p n (x, y),
p n (x, y) = �
p n−1 (x, z)p(z,y)
z∈E
und p0 = I die Einheitsmatrix ist.
Durch Iteration folgt die Chapman-Kolmogorov’sche Gleichung (siehe (14.13))
für alle m, n ∈ N0 und x, y ∈ E
p (m+n) (x, y) = �
p (m) (x, z) p (n) (z,y). (17.10)
z∈E

17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele 341
Definition 17.16. Eine Matrix (p(x, y)) x,y∈E mit nichtnegativen Einträgen und
�
p(x, y) =1 für jedes x ∈ E
y∈E
heißt stochastische Matrix auf E.
Nun ist eine stochastische Matrix im Wesentlichen ein stochastischer Kern von
E nach E. In Satz 17.8 hatten wir gesehen, dass zu der Halbgruppe von Kernen
(p n )n∈N genau eine diskrete Markovkette existiert, deren Übergangswahrscheinlichkeiten
durch p gegeben sind. Die dort angegeben Argumente waren eher abstrakter
Natur. Wir wollen hier eine Konstruktion von X angeben, mit der man beispielsweise
auch eine Computersimulation bauen kann.
Sei (Rn)n∈N0 eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen mit Werten in EE mit
der Eigenschaft, dass
P[Rn(x) =y] =p(x, y) für alle x, y ∈ E. (17.11)
Beispielsweise wähle man (Rn(x), x ∈ E, n ∈ N) als eine unabhängige Familie
von Zufallsvariablen mit Werten in E und Verteilungen
P[Rn(x) =y] =p(x, y) für alle x, y ∈ E und n ∈ N0.
Man beachte aber, dass wir in (17.11) weder die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen
(Rn(x), x ∈ E) gefordert haben, noch, dass alle Rn die selbe Verteilung
haben (lediglich die eindimensionalen Randverteilungen sind festgelegt). In der Tat
möchte man in vielen wichtigen Anwendungen wohldefinierte Abhängigkeitsstrukturen
haben, um Markovketten mit unterschiedlichen Startzuständen miteinander zu
koppeln. Diesen Faden verfolgen wir erst in Abschnitt 18.2 weiter.
Für x ∈ E definiere
X x 0 = x und X x n = Rn(X x n−1) für n ∈ N.
Schließlich definieren wir Px := L[X x ] als die Verteilung von X x , also als ein
W-Maß auf dem Folgenraum (E N0 , B(E) ⊗N0 ).
Satz 17.17. (i) Der kanonische Prozess X auf (EN0 , B(E) ⊗N0 ) ist bezüglich
der Verteilung (Px)x∈E eine Markovkette mit Übergangsmatrix p.
(ii) Insbesondere gehört zu jeder stochastischen Matrix p genau eine diskrete
Markovkette X mit Übergangswahrscheinlichkeiten p.
Beweis. ” (ii)“ folgt aus (i), da Satz 17.11 die Eindeutigkeit von X liefert.
” (i)“ Für n ∈ N0 und x, y, z ∈ E gilt nach Konstruktion

342 17 Markovketten
Px[Xn+1 = z � � Fn, Xn = y] =P � X x n+1 = z � � σ � Rm, m≤ n � ,X x n = y �
= P � Rn+1(X x n)=z � �σ � Rm, m≤ n � ,X x n = y �
= P � Rn+1(y) =z]
= p(y, z).
Nach Satz 17.11 ist X also eine Markovkette mit Übergangsmatrix p. ✷
Beispiel 17.18. (Irrfahrt auf Z)SeiE = Z, und gelte
p(x, y) =p(0,y− x) für alle x, y ∈ Z.
Wir sagen in diesem Fall, dass p translationsinvariant ist. Eine diskrete Mar-
D
kovkette X mit Übergangsmatrix p ist eine Irrfahrt auf Z. Esistnämlich Xn =
X0 + Z1 + ...+ Zn, wo(Zn) n∈N u.i.v. sind mit P [Zn = x] =p(0,x).
Die Rn aus der expliziten Konstruktion erhalten wir durch Rn(x) :=x + Zn. ✸
Beispiel 17.19 (Simulation am Computer). Wir betrachten die Situation wo E =
{1,...,k} sogar endlich ist und wollen eine Markovkette X mit Übergangsmatrix
p am Computer simulieren. Wir nehmen an, dass der Computer einen Zufallszahlengenerator
bereitstellt, der eine Folge (Un)n∈N unabhängiger uniform auf [0, 1]
verteilter Zufallsvariablen erzeugt.
Wir setzen r(i, 0) = 0, r(i, j) =p(i, 1) + ...+ p(i, j) für i, j ∈ E, und definieren
Yn durch
Rn(i) =j ⇐⇒ Un ∈ [r(i, j − 1),r(i, j)).
Per Konstruktion ist dann P[Rn(i) =j] =r(i, j) − r(i, j − 1) = p(i, j). ✸
Beispiel 17.20 (Verzweigungsprozess als Markovkette). Wir wollen den Galton-
Watson Verzweigungsprozess (siehe Definition 3.9) als Markovkette auf E = N0
auffassen.
Sei hierzu (qk)k∈N0 ein Wahrscheinlichkeitsvektor, den wir als Verteilung der Nachkommenschaft
eines Individuums auffassen. Definiere q∗0 k = {0}(k) und
k�
q ∗n
k =
l=0
q ∗(n−1)
k−l ql für n ∈ N
als n-fache Faltung von q sowie die Matrix p durch p(x, y) =q∗x y für x, y ∈ N0.
Seien nun (Yn,i,n ∈ N0,i ∈ N0) u.i.v. mit P[Yn,i = k] =qk. Für x ∈ N0 definieren
wir den Verzweigungsprozess X mit x Urahnen und Nachkommenverteilung q
durch X0 = x und Xn := �Xn−1 i=1 Yn−1,i. Um zu zeigen, dass X eine Markovkette
ist, berechnen wir

17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele 343
�
P[Xn = xn
�X0 = x, X1 = x1,...,Xn−1 = xn−1]
= P[Yn−1,1 + ...+ Yn−1,xn−1 = xn]
= P ∗xn−1
({xn}) =q Y1,1 ∗xn−1
xn = p(xn−1,xn).
Also ist X eine Markovkette auf N0 mit Übergangsmatrix p. ✸
Beispiel 17.21 (Wright’sches Evolutionsmodell). In der Biologie beschreibt das
Wright’sche Evolutionsmodell ([159]) die Vererbung eines genetischen Merkmales
mit zwei möglichen Ausprägungen, etwa A und B, (zum Beispiel Resistenz/keine
Resistenz gegen ein bestimmtes Antibiotikum) in einer Population konstanter Größe
N ∈ N mit diskreter Generationenfolge. Die Individuen werden dabei als haploid
angenommen, die Chromosomen liegen also einfach vor (wie etwa bei gewissen
Einzellern) und nicht als Paare (wie etwa bei Säugetieren).
Wir betrachten hier den Fall, wo keines der beiden Merkmale einen Selektionsvorteil
bietet. Es wird also angenommen, dass sich jedes Individuum der neuen Generation
zufällig (gleichverteilt) eines der Individuen der vorangehenden Generation
als Ahn (oder Vorgänger) aussucht und dessen komplettes Erbgut übernimmt. Die
Wahl wird für jedes Individuum unabhängig getroffen, wobei mehrere Individuen
auf den selben Ahn zurückgehen können. Beträgt die Anzahl der Individuen vom
Typ A in der Elterngeneration k ∈{0,...,N}, so ist dieselbe Anzahl in der Kindergeneration
zufällig und binomialverteilt mit Parametern N und k/N.
Wir können die Genfrequenzen (also die relativen Anteile k/N) in diesem Modell
offenbar durch eine Markovkette X auf E = {0, 1/N,...,(N − 1)/N, 1} mit
Übergangsmatrix p(x, y) = bN,x({Ny}) beschreiben. Man beachte, dass X ein
(beschränktes) Martingal ist. Nach dem Martingalkonvergenzsatz konvergiert X also
Px-fast sicher gegen eine Zufallsvariable X∞ mit Ex[X∞] =Ex[X0] =x.
Ähnlich wie beim Wählermodell (siehe Beispiel 11.16), das in der Tat sehr eng verwandt
mit diesem Modell ist, können wir argumentieren, dass X∞ nur die stabilen
Randwerte 0 und 1 annehmen kann. Es gilt also Px[limn→∞ Xn = 1] = x =
1 − Px[limn→∞ Xn =0]. ✸
Beispiel 17.22 (Diskretes Moran-Modell). Wir wollen ein dem Wright’schen Evolutionsmodell
verwandtes Modell mit Überlappung der Generationen betrachten.
Die Situation ist wie beim Wright’schen Modell, jedoch soll jetzt pro Zeitschritt
immer nur genau ein Individuum durch ein neues ersetzt werden, dessen Typ durch
eine zufällige Wahl aus der Elterngeneration bestimmt wird.
Da die Typen des zu ersetzenden und des neuen Individuums unabhängig sind,
erhalten wir als Modell für die Genfrequenzen eine Markovkette X auf E =
{0, 1
N ,...,1} mit Übergangsmatrix
⎧
x(1 − x), falls y = x +1/N,
⎪⎨ x
p(x, y) =
⎪⎩
2 +(1−x) 2 , falls y = x,
x(1 − x), falls y = x − 1/N,
0, sonst.

344 17 Markovketten
Auch hier ist X wieder ein beschränktes Martingal, und wir können den quadratischen
Variationsprozess ausrechnen:
n−1 �
〈X〉n = E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�
2
Xi−1 =
N 2
n−1 �
Xi(1 − Xi). (17.12)
✸
i=0
Übung 17.2.1 (Diskretes Martingalproblem). Sei E ⊂ R höchstens abzählbar
und X eine Markovkette auf E mit Übergangsmatrix p und der Eigenschaft, dass es
für jedes x eine höchstens dreielementige Menge Ax ⊂ E gibt mit p(x, y) =0für
jedes y ∈ E \ Ax.Seid(x) := �
y∈E (y − x) p(x, y) für x ∈ E.
(i) Man zeige: Durch Mn := Xn − �n−1 k=0 d(Xk) wird ein Martingal M definiert
mit quadratischem Variationsprozess 〈M〉n = �n−1 i=0 f(Xi) für eine eindeutig
bestimmte Funktion f : E → [0, ∞).
(ii) Man zeige: Die Übergangsmatrix p ist durch Angabe von f und d eindeutig
bestimmt.
(iii) Man berechne für das Moran-Modell (Beispiel 17.22) die Übergangsmatrix
aus der expliziten Form (17.12) des quadratischen Variationsprozesses. ♣
i=0
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit
Sei E abzählbar und (Xt) t∈[0,∞) ein Markovprozess auf E mit Übergangswahrscheinlichkeiten
pt(x, y) =Px[Xt = y] (für x, y ∈ E). (Manche Autoren nennen
solch einen Prozess auch Markovkette in stetiger Zeit.)
Sind x, y ∈ E mit x �= y, sosagenwir,dassXmit Rate q(x, y) von x nach y
springt, falls der folgende Limes existiert
q(x, y) := lim
t↓0
1
t Px[Xt = y].
Wir nehmen nun an, dass q(x, y) für alle y �= x existiert, und dass
�
q(x, y) < ∞ für jedes x ∈ E (17.13)
gilt. Wir setzen dann
y�=x
Mit dieser Festsetzung gilt
lim
t↓0
q(x, x) =− �
q(x, y). (17.14)
y�=x
1�
�
Px [Xt = y] − {x=y} = q(x, y) für alle x, y ∈ E. (17.15)
t

17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit 345
Definition 17.23. Gelten (17.13), (17.14) und (17.15), soheißtq die Q-Matrix von
X. Manchmal wird q auch der Generator der Halbgruppe (pt)t≥0 genannt.
Beispiel 17.24 (Poissonprozess). Der Poissonprozess mit Rate α>0 (vergleiche
Kapitel 5.5) hat die Q-Matrix q(x, y) =α( {y=x+1} − {y=x}). ✸
Satz 17.25. Gilt q(x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ E mit x �= y, gelten (17.13), (17.14),
und ist
λ := sup |q(x, x)| < ∞, (17.16)
x∈E
so ist q die Q-Matrix eines eindeutig bestimmten Markovprozesses X.
Ganz naiv betrachtet legt (17.15) nahe, dass man pt = etq in einem geeigneten Sinne
definiert. Dann wäre rein formal q = d
dtpt �
� . Der folgende Beweis zeigt, dass
t=0
diese formale Argumentation unter den angegebenen Bedingungen rigoros gemacht
werden kann.
Beweis. Sei I die Einheitsmatrix. Definiere
p(x, y) = 1
q(x, y)+I(x, y) für x, y ∈ E.
λ
Dann ist p eine stochastische Matrix und q = λ(p − I). Sei � (Yn)n∈N0 , � P Y � �
x x∈E
eine diskrete Markovkette mit Übergangsmatrix p, und sei � (Tt)t≥0, � P T � �
n n∈N0
ein Poissonprozess mit Rate λ. SeiXt := YTt und Px = P Y x ⊗ P T 0 .Dannist
X := ((Xt)t≥0, (Px)x∈E) ein Markovprozess und
pt(x, y) :=Px [Xt = y] =
= e −λt
∞�
n=0
λ n t n
∞�
P T 0 [Tt = n] P Y x [Yn = y]
n=0
n! pn (x, y).
Diese Potenzreihe (in t) istüberall konvergent (da p als linearer Operator endliche
Norm �p�2 ≤ 1 hat) gegen die Matrix-Exponentialfunktion e λtp (x, y), und es gilt
pt(x, y) =e −λt e λtp (x, y) =e λt(p−I) (x, y) =e tq (x, y).
Durch gliedweise Differentiation der Potenzreihe erhalten wir d
dtpt(x, y) � �
t=0
q(x, y). Damit ist X der gewünschte Markovprozess.
Wir nehmen nun an, dass (�pt)t≥0 die Übergangswahrscheinlichkeiten eines weiteren
Markovprozesses � X sind, mit dem selben Generator q, also mit
lim
s↓0
1�
�ps(x, y) − I(x, y)
s
� = q(x, y).
=

346 17 Markovketten
Man prüft leicht nach, dass
lim
s↓0
1�
�pt+s(x, y) − pt(x, y)
s
� =(q · pt)(x, y)
gilt, das heißt, es gilt (d/dt)pt(x, y) =qpt(x, y) und analog (d/dt)�pt = q �pt(x, y).
Damit gilt ebenfalls
pt(x, y) − �pt(x, y) =
� t
0
� q(ps − �ps) � (x, y) ds.
Setzen wir rs = ps − �ps,soist�rs�2 ≤ 2 und �q�2 ≤ 2λ, also
sup �rs�2 ≤ sup
s≤t
s≤t
� t
0
�qru�2 du ≤�q�2 sup
s≤t
� t
0
�ru�2 du ≤ 2λt sup �rs�2.
s≤t
Für tt]
= P[Tn ≤ s + t − Sn |Sn ≤ t, Tn >t− Sn] =P[Tn ≤ s]
=1− exp(−n 2 s).
lim s
s↓0 −1 P[Xt+s = n +1|Xt = n] =n 2
lim s
s↓0 −1� P[Xt+s = n|Xt = n] − 1 � = −n 2 ,
lim
s↓0 s −1 � P[Xt+s = m|Xt = n] − I(m, n) � = q(m, n) für alle m, n ∈ N.

Schreiben wir
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit 347
τ n =inf{t ≥ 0:Xt = n} = Sn für n ∈ N,
so gilt E1[τ n ]= �n−1 k=1 1
k2 �
. Speziell ist also E1 supn∈N τ n� < ∞, das heißt, X
überschreitet in endlicher Zeit alle Schranken. Wir sagen, dass X explodiert. ✸
Beispiel 17.27 (Eine Variante des Pólya’schen Urnenmodells). Wir betrachten eine
Variante des Pólya’schen Urnenmodells mit schwarzen und roten Kugeln (vergleiche
Beispiel 12.29), wo nicht jeweils einfach nur eine weitere Kugel der selben
Farbe zurückgelegt wird, sondern für die k-te Kugel, die von einer Farbe gezogen
wird, werden rk weitere Kugeln zurückgelegt. Dabei sind die Zahlen r1,r2,...∈ N
die Parameter des Modells. Der Fall 1=r1 = r2 = ...entspricht dem klassischen
Pólya’schen Urnenmodell. Sei
�
1, falls die n-te Kugel schwarz ist,
Xn :=
0, sonst.
Beim klassischen Modell hatten wir gesehen (Beispiel 12.29), dass der Anteil der
schwarzen Kugeln gegen eine betaverteilte Zufallsvariable Z konvergiert, und dass
gegeben Z die Folge X1,X2,... unabhängig und BerZ verteilt ist. Ganz ähnliche
Aussagen bekommen wir in dem Fall, wo r = r1 = r2 = ... ist für ein r ∈ N.
In der Tat ändern sich hier nur die Parameter der Betaverteilung. Insbesondere (da
die Betaverteilung keine Atome in 0 und 1 hat), werden von jeder Farbe fast sicher
unendlich viele Kugeln gezogen. Es gilt also P[B] =0,woB das Ereignis ist, dass
von einer der Farben nur endlich viele Kugeln gezogen werden.
Wir werden jetzt sehen, dass dies nicht so sein muss, wenn die Zahlen rk nur rasch
genug wachsen. Wir nehmen an, dass anfangs je eine rote und eine schwarze Kugel
in der Urne liegen und schreiben wn =1+ �n k=1 rk für die Gesamtzahl von Kugeln
einer Farbe, nachdem die Farbe bereits n-mal gezogen wurde (n ∈ N0).
Wir betrachten zunächst eine extreme Situation wo wn =2nfür jedes n ∈ N. Die
Größe
Sn =2(X1 + ...+ Xn) − n
zählt, wie viel mehr schwarze Kugeln als rote Kugeln bis zum n-ten Schritt gezogen
wurden. Dann ist für jedes n ∈ N0
P[Xn+1 =1|Sn] = 2Sn
1+2 Sn
und P[Xn+1 =0|Sn] = 2−Sn
. −Sn 1+2
Zusammen erhalten wir, dass (Zn)n∈N0 := (|Sn|)n∈N0 eine Markovkette auf N0 ist
mit Übergangsmatrix
p(z,z ′ ⎧
⎪⎨
)=
⎪⎩
2 z /(1 + 2 z ), falls z ′ = z +1> 1,
1, falls z ′ = z +1=1,
1/(1 + 2 z ), falls z ′ = z − 1,
0, sonst.

348 17 Markovketten
Das Ereignis B von oben können wir schreiben als
B = � Zn+1 Zn für alle n ∈ N0 das Ereignis, dass Z auf direktem Weg
nach ∞ flieht und τz =inf{n ∈ N0 : Zn ≥ z}. Offenbar ist
Pz[A] =
∞�
z ′ =z
p(z ′ ,z ′ +1)≥ 1 −
∞�
z ′ =z
1
1+2 z′ ≥ 1 − 2 1−z .
Man kann leicht zeigen, dass P0[τz < ∞] =1ist für jedes z ∈ N0. Wir erhalten
für jedes z ∈ N0 mit der starken Markoveigenschaft
P0[B] ≥ P0[Zn+1 >Zn für alle n ≥ τz] =Pz[A] ≥ 1 − 2 1−z
und damit P0[B] =1. Damit ist nachgewiesen, dass fast sicher irgendwann nur
noch Kugeln einer Farbe gezogen werden.
Wir wollen nun von diesem extremen Beispiel weg und mit (noch) subtileren Methoden,
die an das obige Beispiel mit der Explosion des Markovprozesses anknüpfen,
arbeiten.
Wir wollen nun zeigen, dass P[B] =1, falls �∞ n=0 1 < ∞. Hierzu betrach-
wn
ten wir unabhängige Zufallsvariablen T s 1 ,T r 1 ,T s 2 ,T r 2 ,... mit PT r n = PT s n =
expwn−1 . Ferner sei T r ∞ = �∞ n=1 T r n und T s ∞ = �∞ n=1 T s n. Offenbar ist E[T r ∞]=
�∞ n=0 1/wn < ∞, also ist insbesondere P[T r ∞ < ∞] =1. Die analoge Aussage
gilt für T s ∞. Man beachte, dass T r ∞ und T s ∞ unabhängig sind und Dichten haben
(weil T r 1 und T s 1 Dichten haben), also gilt P[T r ∞ = T s ∞]=0.
Seien nun
Rt =sup � n ∈ N : T r 1 + ...+ T r n−1 ≤ t �
und
St =sup � n ∈ N : T s 1 + ...+ T s n−1 ≤ t � .
Seien R := {T r 1 + ... + T r n,n ∈ N} und S := {T s 1 + ... + T s n,n ∈ N} die
Sprungzeitpunkte von (Rt) und (St), sowieU := R ∪ S = {u1,u2,...}, wobei
u1

17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz 349
Also ist (Xn)n∈N0 das erweiterte Urnenmodell mit Gewichten (wn)n∈N0 . Wir betrachten
nun das Ereignis B, dass von jeder Farbe unendlich viele Kugeln gezogen
werden. Offenbar ist {Xn =1unendlich oft} = {sup S =supU} und {Xn =
0 unendlich oft} = {sup R =supU}. Wegensup S = T s ∞ und sup R = T r ∞ ist
also P[B] =P[T r ∞ = T s ∞]=0. ✸
Übung 17.3.1. Seien r, s, R, S ∈ N. Man betrachte das Pólya’sche Urnenmodell
(Xn)n∈N0 mit rk = r und sk = s für alle k ∈ N und anfänglich R roten Kugeln
und S schwarzen Kugeln. Man zeige, dass der Anteil der schwarzen Kugeln fast
sicher gegen eine Zufallsvariable Z mit Beta-Verteilung konvergiert und bestimme
die Parameter. Man zeige, dass (Xn)n∈N0 u.i.v. ist gegeben Z und Xi ∼ BerZ für
jedes i ∈ N0. ♣
Übung 17.3.2. Man zeige, dass fast sicher unendlich viele Kugeln jeder Farbe ge-
∞�
zogen werden, falls
1
= ∞. ♣
wn
n=0
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz
Sei im Folgenden X =(Xn)n∈N0 eine Markovkette auf dem abzählbaren Raum E
mit Übergangsmatrix p.
Definition 17.28. Für jedes x ∈ E sei τx := τ 1 x := inf{n >0: Xn = x} und
τ k x =inf � n>τ k−1
x : Xn = x �
für k ∈ N, k≥ 2.
τ k x heißt k-te Eintrittszeit von X in x. Für x, y ∈ E sei
F (x, y) :=Px[τ 1 �
y < ∞] =Px es gibt ein n ≥ 1 mit Xn = y �
die Wahrscheinlichkeit jemals von x nach y zu gehen. Speziell ist F (x, x) die
Rückkehrwahrscheinlichkeit (nach dem ersten Sprung) von x nach x.
Man beachte, dass τ 1 x > 0 selbst bei Start in X0 = x gilt.
�
k Satz 17.29. Für alle x, y ∈ E und k ∈ N gilt Px τy < ∞ � = F (x, y) F (y, y) k−1 .
Beweis. Wir führen den Beweis per Induktion über k.Für k =1ist die Aussage per
Definition richtig. Sei nun k ≥ 2. Dann ist wegen der starken Markoveigenschaft
von X (siehe Satz 17.14)

350 17 Markovketten
1/2
2
1
1
1/3
1/6
1/2
3
1/2
3/4
1/2
4 6
Abb. 17.1. Markovkette mit acht Zuständen. Die Zahlen sind die Übergangswahrscheinlichkeiten
für die entsprechenden Pfeile.
Der Zustand 2 ist absorbierend, die Zustände 1, 3, 4 und 5 transient, die Zustände 6, 7 und 8
(positiv) rekurrent.
� k
Px τy < ∞ � = Ex
= Ex
�
�
Px
�
1/2
τ k y < ∞ � �F τ k−1
y
F (y, y) · k−1
{τy

1
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz 351
r r
0 1 2 3
1�r 1�r
1�r 1�r
Abb. 17.2. Markovkette auf N0 mit Parameter r ∈ (0, 1). Die Kette ist positiv rekurrent,
wenn r ∈ (0, 1/2), nullrekurrent, wenn r =1/2 und transient für r ∈ (1/2, 1).
(ii) In Abb. 17.2 hat die Kette eine Tendenz, nach rechts auszuwandern, falls r> 1
2
ist. Daher ist in diesem Fall jeder Zustand transient. Ist hingegen r ∈ (0, 1
2 ),
so hat die Kette einen Drall nach links (außer in 0) und besucht daher jeden
Zustand immer wieder, ist also rekurrent. Mit etwas mehr Nachdenken kann
man zeigen (siehe Übung 17.6.4), dass die Kette in diesem Fall sogar positiv
rekurrent ist und im verbleibenden Fall r = 1
2 nullrekurrent ✸
Definition 17.33. Mit N(y) = �∞ n=0 {Xn=y} bezeichnen wir die Gesamtzahl der
Besuche von X in y und mit
∞�
G(x, y) =Ex[N(y)] = p n (x, y)
die Greenfunktion von X.
Satz 17.34. (i) Für alle x, y ∈ E gilt (mit 1/0 :=∞)
� F (x,y)
1−F (y,y) ,
G(x, y) =
1
1−F (y,y) ,
�
falls x �= y
= F (x, y) G(y, y)+
falls x = y
{x=y}. (17.17)
n=0
(ii) Ein Punkt x ∈ E ist genau dann rekurrent, wenn G(x, x) =∞.
Beweis. (ii) folgt aus (i). Wir müssen also noch (17.17) zeigen. Nach Satz 17.29 ist
∞�
G(x, y) =Ex[N(y)] = Px[N(y) ≥ k]
= {x=y} +
=
∞�
k=1
k=1
� F (x,y)
1−F (y,y) , falls x �= y,
1
1−F (x,x) , falls x = y.
� k
Px τy < ∞ � = {x=y} +
∞�
F (x, y) F (y, y) k−1
Die zweite Gleichheit in (17.17) folgt hieraus direkt. ✷
k=1
r

352 17 Markovketten
Satz 17.35. Ist x rekurrent und F (x, y) > 0, dann ist auch y rekurrent, und es gilt
F (x, y) =F (y, x) =1.
Beweis. Sei F (x, y) > 0. Dann gibt es ein k ∈ N und Punkte x1,...,xk ∈ E mit
xk = y und xi �= x für jedes i =1,...,ksowie
Px [Xi = xi für jedes i =1,...,k] > 0.
Speziell ist pk (x, y) > 0. Nach der Markoveigenschaft ist
� 1
1 − F (x, x) =Px τx = ∞ � �
≥ Px X1 = x1,...,Xk = xk, τ 1 x = ∞ �
� 1
= Px [X1 = x1,...,Xk = xk] · Py τx = ∞ �
= Px [X1 = x1,...,Xk = xk](1− F (y, x)) .
Ist nun F (x, x) =1, dann ist auch F (y, x) =1.WegenF (y, x) > 0 existiert ein
l ∈ N mit p l (y, x) > 0.Alsoistfür n ∈ N0
Mithin ist, falls x rekurrent ist,
G(y, y) ≥
p l+n+k (y, y) ≥ p l (y, x) p n (x, x) p k (x, y).
∞�
n=0
p l+n+k (y, y) ≥ p l (y, x)p k (x, y)G(x, x) =∞.
Folglich ist auch y rekurrent. Wenn wir jetzt im Argument x und y vertauschen,
dann erhalten wir noch F (x, y) =1. ✷
Definition 17.36. Eine diskrete Markovkette heißt
– irreduzibel, falls F (x, y) > 0 für alle x, y ∈ E gilt, oder äquivalent G(x, y) > 0.
– schwach irreduzibel, falls F (x, y)+F (y, x) > 0 für alle x, y ∈ E gilt.
Satz 17.37. Eine irreduzible diskrete Markovkette ist entweder rekurrent oder transient.
Ist |E| ≥2, so gibt es keine absorbierenden Zustände.
Beweis. Das folgt direkt aus Satz 17.35. ✷
Satz 17.38. Ist E endlich und X irreduzibel, so ist X rekurrent.
Beweis. Offenbar ist für jedes x ∈ E
�
∞� �
G(x, y) = p n ∞�
(x, y) = 1=∞.
y∈E
n=0 y∈E
n=0

17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 353
Da E endlich ist, gibt es ein y ∈ E mit G(x, y) =∞. WegenF (y, x) > 0 existiert
ein k ∈ N mit p k (y, x) > 0, also ist p n+k (x, x) ≥ p n (x, y) p k (y, x) und
G(x, x) ≥
∞�
p n (x, y) p k (y, x) =p k (y, x) G(x, y) =∞. ✷
n=0
Übung 17.4.1. Sei x positiv rekurrent und F (x, y) > 0. Man zeige, dass auch y
positiv rekurrent ist. ♣
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten
Wir wollen in diesem Abschnitt die Rekurrenz- und Transienzeigenschaften von
Irrfahrten auf ZD , D =1, 2,...untersuchen. Eine ausführlichere Behandlung findet
der Leser im Buch von Spitzer [147].
Wir wollen untersuchen, ob die symmetrische einfache Irrfahrt X auf ZD , die in
jedem Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu einem der 2D nächsten Nachbarn
springt, rekurrent oder transient ist. Sei also E = ZD und
�
1
2D , falls |x − y| =1,
p(x, y) =
0, sonst.
Der zentrale Grenzwertsatz legt nahe zu vermuten, dass
p n (0, 0) ≈ CD n −D/2
für n →∞
für eine Konstante CD, die von der Dimension abhängt. Wir müssen hier jedoch
zunächst einmal den Fall ausschließen, wo n ungerade ist, denn für ungerades n ist
offenbar pn (0, 0) = 0. Seien also Y1,Y2,... unabhängige ZD-wertige Zufallsvariablen
mit P[Yi = x] =p2 D
(0,x).DannistX2n = Sn := Y1 + ...+ Yn für n ∈ N0,
also G(0, 0) = �∞ n=0 P[Sn =0]. Offenbar hat Y1 =(Y1 1 ,...,YD 1 ) die Kovarianzmatrix
Ci,j := E[Y i
1 · Y j 2
1 ]= D {i=j}. Nach dem lokalen zentralen Grenzwertsatz
(siehe etwa [21, Seite 224ff] für eine eindimensionale Version dieses Satzes oder
Übung 17.5.1 für eine analytische Herleitung) gilt
n D/2 p 2n (0, 0) = n D/2 P[Sn =0] n→∞
−→ 2(4π/D) −D/2 . (17.18)
Nun ist genau dann � ∞
n=1 n−α < ∞, wennα>1 ist, also ist G(0, 0) < ∞ genau
dann, wenn D>2 ist. Wir haben damit einen Satz von Pólya gezeigt:
Satz 17.39 (Pólya (1921)). Die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z D ist genau
dann rekurrent, wenn D ≤ 2.

354 17 Markovketten
Das hier verwendete Vorgehen hat den Nachteil, dass wir den lokalen zentralen
Grenzwertsatz bemüht haben, den wir nicht bewiesen haben. Wir wollen daher weitere
Ansätze betrachten, die ohne dieses Hilfsmittel auskommen und auch an sich
von Interesse sind.
Betrachten wir zunächst die eindimensionale einfache Irrfahrt, die mit Wahrscheinlichkeit
p einen Schritt nach rechts macht und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p einen
Schritt nach links. Dann ist
∞�
� �
2n
G(0, 0) = (p(1 − p))
n
n =
n=0
∞�
� �
−1/2
(−p(1 − p))
n
n .
Unter Benutzung des verallgemeinerten binomischen Lehrsatzes (Lemma 3.5) folgt
⎧
⎨ 1
� , falls p �=
G(0, 0) = (1 − 4p(1 − p))
⎩
1
2 ,
∞, falls p = 1
2 .
(17.19)
Wir erhalten also, dass die einfache Irrfahrt auf Z genau dann rekurrent ist, wenn
sie symmetrisch ist, also falls p = 1
2 gilt.
Die Transienz im Falle p �= 1
2 folgt natürlich auch direkt aus dem starken Gesetz
der großen Zahl, denn limn→∞ 1
nXn = E0[X1] =2p− 1 fast sicher. Tatsächlich
haben wir bei diesem Argument nur benutzt, dass die einzelnen Schritte von X
einen Erwartungswert haben, der ungleich Null ist.
Betrachten wir nun die allgemeinere Situation, wo X nicht notwendigerweise nur zu
den nächsten Nachbarn springt, wo aber immer noch E0[|X1|] < ∞ und E0[X0] =
0 gelten. Das starke Gesetz der großen Zahl liefert hier nicht direkt die gewünschte
Aussage, sondern wir müssen etwas sorgfältiger argumentieren.
Die Markoveigenschaft liefert für jedes N ∈ N und y �= x
k=0
k=0
n=0
N�
N� � 1
GN (x, y) := Px[Xk = y] = Px τy = k
Hieraus folgt für jedes L ∈ N
GN (0, 0) ≥
=
≥
1
2L +1
1
2L +1
1
2L +1
�
|y|≤L
N�
�
Py[Xl = y] ≤ GN (y, y).
� N−k
l=0
GN (0,y)
�
k=0 |y|≤L
N�
p k (0,y)
�
k=1 y: |y/k|≤L/N
p k (0,y).
Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahl ist lim infk→∞
für jedes ε>0, also folgt, wenn wir L = εN setzen
�
|y|≤εk pk (0,y)=1

17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 355
lim inf
N→∞ GN (0, 0) ≥ 1
2ε
für jedes ε>0.
Wir haben damit G(0, 0) = ∞ und folglich die Rekurrenz von X gezeigt.
Zusammen mit der vorangehenden, einfachen Richtung haben wir gezeigt:
Satz 17.40. Eine Irrfahrt auf Z mit �∞ kurrent, wenn �∞ x=−∞ xp(0,x)=0gilt.
x=−∞
|x| p(0,x) < ∞ ist genau dann re-
Wie steht es nun für symmetrische einfache Irrfahrten in Dimension D =2und
höheren Dimensionen? Damit die Irrfahrt nach 2n Schritten wieder im Ursprung
ist, muss sie ki Schritte in die i-te Richtung machen und ki Schritte in die Gegenrichtung,
wobei k1 + ...+ kD =2nist. Wir erhalten also
p 2n (0, 0) = (2D) −2n
�
�
�
2n
, (17.20)
k1,k1,...,kD,kD
k1+...+kD=n
wobei � � N
N! = l1,...,lr l1!···lr! der Multinomialkoeffizienten ist. Speziell ist für D =2
p 2n (0, 0) = 4 −2n
=4 −2n
n�
k=0
� 2n
n
(2n)!
(k!) 2 ((n − k)!) 2
� n �
k=0
� �� � �
n n
= 2
k n − k
−2n
� ��2 2n
,
n
wobei wir im letzten Schritt eine einfache kombinatorische Identität benutzt haben,
die beispielsweise direkt aus der Faltungsformel (bn,p ∗ bn,p)({n}) =b2n,p({n})
folgt. Nach der Stirling’schen Formel gilt nun
√ −2n
lim n 2
n→∞
� 2n
n
�
= 1
√ π ,
also limn→∞ np2n (0, 0) = 1
π . Insbesondere ist also �∞ n=1 p2n (0, 0) = ∞, das
heißt, die zweidimensionale, symmetrische einfache Irrfahrt ist rekurrent.
Für D ≥ 3 lässt sich die Summe über die Multinomialkoeffizienten nicht mehr in
befriedigender Weise ausrechnen. Man kann allerdings immer noch obere Abschätzungen
angeben, die zeigen, dass es ein c = cD gibt, sodass p2n (0, 0) ≤ cn−D/2 gilt,
woraus dann G(0, 0) ≤ c �∞ n=1 n−D/2 < ∞ folgt (siehe etwa [58, Beispiel 6.30]
oder [52, Seite 361]). Wir wollen hier jedoch eine andere Argumentation verfolgen.
Die Sache wäre ganz einfach, wenn die einzelnen Koordinaten der Kette unabhängig
wären. Dann wäre ja die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit 2n alle Koordinaten
gleich Null sind, gleich der D-ten Potenz der Wahrscheinlichkeit, dass etwa die
erste Koordinate gleich Null ist. Für eine Koordinate ist aber (weil sich eine einzelne
Koordinate ja nur mit Wahrscheinlichkeit 1/D bewegt, also nur Varianz 1/D

356 17 Markovketten
hat) die Wahrscheinlichkeit, von der 0 aus startend nach 2n Schritten wieder in 0 zu
sein ungefähr (nπ/D) −1/2 . Bis auf einen Faktor erhielte man so (17.18), ohne dass
man den mehrdimensionalen lokalen zentralen Grenzwertsatz direkt bemüht hätte.
Eine Möglichkeit, die Koordinaten tatsächlich unabhängig zu machen, besteht darin,
die zeitdiskrete Markovkette in einen zeitstetigen Markovprozess auf Z D zu verwandeln,
der die gleiche Greenfunktion hat.
Wir betrachten also D unabhängige Poissonprozesse (T i t )t≥0, i = 1,...,D mit
Rate 1/D und D unabhängige, symmetrische einfache Irrfahrten Z1 ,...,ZD auf
für i = 1,...,D und Yt =
Z. Wir setzen T := T 1 + ... + T D , Y i
t := Zi T i t
(Y 1
t ,...,YD t ).DannistY eine Markovkette in stetiger Zeit mit Q-Matrix q(x, y) =
p(x, y) − {x=y}. DaT ein Poissonprozess mit Rate 1 ist, ist auch (XTt )t≥0 ein
Markovprozess mit Q-Matrix q. Es folgt (XTt )t≥0
D
=(Yt)t≥0. Wir berechnen nun
� ∞
� ∞ ∞�
GY := P0[Yt =0]dt =
0
=
�
P0 X2n =0,Tt =2n
0 n=0
� dt
∞�
p
n=0
2n � ∞
−t t2n
(0, 0) e dt = G(0, 0).
0 (2n)!
Die beiden Prozesse (Xn)n∈N0 und (Yt) t∈[0,∞) haben also die selbe Greenfunktion.
Nun sind aber die Koordinaten von Y tatsächlich unabhängig, also ist
� ∞
GY =
0
P0[Y 1
t =0] D dt.
Wir müssen also nur noch P0[Y 1
t =0]für große t berechnen. Wir können so argu-
mentieren: nach dem Gesetz der großen Zahl ist T 1 t ≈ t/D für große t. Außerdem
gilt P0[Y 1
t ist gerade] ≈ 1
2 . Es gilt also, mit nt = ⌊t/2D⌋ für t →∞(vergleiche
Übung 17.5.2)
P0[Y 1
t =0]∼ 1
2 P�Z 1 2nt =0� = 1
2
� 2nt
nt
�
4 −nt ∼ � 2π/D � −1/2 t −1/2 . (17.21)
Da genau dann � ∞
t 1 −α dt < ∞ gilt, wenn α>1 ist, so gilt auch GY < ∞ genau
dann, wenn D>2 ist. Dies ist aber gerade die Aussage des Satzes von Pólya.
Schließlich stellen wir noch eine dritte Methode vor, um Rekurrenz und Transienz
von Irrfahrten zu untersuchen, die unabhängig von den euklidischen Eigenschaften
des D-dimensionalen Gitters ist und auf der Fourier-Inversionsformel beruht.
Wir betrachten zunächst eine allgemeine (zeitdiskrete) irreduzible Irrfahrt mit Übergangsmatrix
p auf ZD .Mitφ(t) = �
x∈ZD ei〈t,x〉 p(0,x) bezeichnen wir die charakteristische
Funktion eines einzelnen Übergangs. Die Faltung der Übergangswahrscheinlichkeiten
überträgt sich in Potenzen der charakteristischen Funktion, also ist
φ n (t) = �
x∈ZD e i〈t,x〉 p n (0,x).

17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 357
Nach der Fourier-Inversionsformel (Satz 15.10) erhalten wir aus φn die n-Schritt
Übergangswahrscheinlichkeiten zurück durch
�
Speziell ist für λ ∈ (0, 1)
∞�
p n (0,x)=(2π) −D
Rλ := λ
n=0
n p n (0, 0) = (2π) −D
n=0
=(2π) −D
�
=(2π) −D
�
[−π,π) D
[−π,π) D
[−π,π) D
e −i〈t,x〉 φ n (t) dt.
∞�
�
1
1 − λφ(t) dt.
� �
1
Re
1 − λφ(t)
[−π,π) D
λ n φ n (t) dt
Nun ist G(0, 0) = limλ↑1 Rλ, also
X ist rekurrent
�
⇐⇒ lim
λ↑1 [−π,π) D
� �
1
Re
dt = ∞.
1 − λφ(t)
(17.22)
Wäre φ(t) =1für ein t ∈ (−2π, 2π) D \{0},sowäre φ n (t) =1für jedes n ∈ N und
damit nach Übung 15.2.1 P0[〈Xn,t/(2π)〉 ∈Z] =1, also wäre X nicht irreduzibel,
im Widerspruch zur Annahme. Wegen der Stetigkeit von φ ist also für jedes ε>0
Es gilt also der folgende Satz.
dt.
inf � |φ(t) − 1| : t ∈ [−π, π) D \ (−ε, ε) D� > 0.
Satz 17.41 (Chung-Fuchs (1951)). Eine irreduzible Irrfahrt auf ZD mit charakteristischer
Funktion φ ist genau dann rekurrent, wenn für jedes ε>0 gilt:
� � �
1
lim Re
dt = ∞. (17.23)
λ↑1
1 − λφ(t)
(−ε,ε) D
Betrachten wir nun die symmetrische einfache Irrfahrt, so ist φ(t) = 1 �D D i=1 cos(ti).
Entwickeln wir die Kosinusfunktion in eine Taylorreihe um 0, so erhalten wir
cos(ti) =1− 1
2t2i + O(t4 ), also 1 − φ(t) = 1
2D �t�22 + O(�t�4 2). Es folgt, dass
X genau dann rekurrent ist, wenn �
�t�2

358 17 Markovketten
Wir werden in Kapitel 19.3 noch eine weitere, strukturell völlig andere Methode
kennen lernen, um den Satz von Pólya zu beweisen, die auf dem Zusammenhang
von Irrfahrten mit elektrischen Netzwerken beruht.
Tatsächlich können wir mit Hilfe des Satzes von Chung-Fuchs die Greenfunktion
GD(0, 0) der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf ZD berechnen, indem wir das
so genannte Watson Integral
GD(0, 0) = (2π) −D
�
(−π,π] D
D
dx (17.24)
D − (cos(x1)+...+cos(xD))
numerisch berechnen. Hierzu folgen wir [81] (wo sich auch noch eine Verfeinerung
des Verfahrens findet) und führen das D-fache Integral auf ein zweifaches zurück.
Indem wir die Gleichung 1
λ = � ∞
0 e−λt dt für den Integranden benutzen und den
Satz von Fubini verwenden, erhalten wir
und damit
GD(0, 0) = D
(2π) D
� ∞
0
e −Dt
� �
GD(0, 0) = D
(−π,π] D
e t(cos(x1)+...+cos(xD)) �
dx dt
� ∞
e
0
−Dt I0(t) D dt, (17.25)
wobei I0(t) := 1
� π
π 0 et cos(θ) dθ die modifizierte Bessel-Funktion erster Art bezeichnet.
Die Darstellung (17.25) lässt sich vermittels numerischer Integration in
guter Genauigkeit schnell berechnen (siehe Tabelle 17.1).
Für den Fall D =3hat Watson [155] die Darstellung
G3(0, 0) = 12 18 + 12√ 2 − 10 √ 3 − 7 √ 6
π 2
�
K (2 − √ 3)( √ 3 − √ �2 2)
angegeben, wobei K(m) = � 1 � �
2 2 −1/2
(1 − t )(1 − mt ) dt das vollständige ellip-
0
tische Integral erster Ordnung mit Modul m ∈ (−1, 1) ist und eine Darstellung als
schnell konvergierende Reihe besitzt
K(m) = π
�
∞�
�
(2n)!
1+
2
4n (n!) 2
�2 m 2
�
.
n=1
Glasser und Zucker [60] haben einen Ausdruck als Produkt von Gammafunktionen
gefunden:
√ � � � � � � � �
6 1 5 7 11
G3(0, 0) = Γ Γ Γ Γ =1.5163860591519780181 ...
32π3 24 24 24 24

17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 359
Tabelle 17.1. Greenfunktion GD(0, 0) und Rückkehrwahrscheinlichkeit FD(0, 0) der einfachen
symmetrischen Irrfahrt auf Z D , numerisch berechnet mit Formel (17.25).
D GD(0, 0) FD(0, 0)
2 ∞ 1
3 1.51638605915 0.34053732955
4 1.23946712185 0.19320167322
5 1.15630812484 0.13517860982
6 1.11696337322 0.10471549562
7 1.09390631559 0.08584493411
8 1.07864701202 0.07291264996
9 1.06774608638 0.06344774965
10 1.05954374789 0.05619753597
11 1.05313615291 0.05045515982
12 1.04798637482 0.04578912090
13 1.04375406289 0.04191989708
14 1.04021240323 0.03865787709
15 1.03720412092 0.03586962312
16 1.03461657857 0.03345836447
17 1.03236691238 0.03135214040
18 1.03039276285 0.02949628913
19 1.02864627888 0.02784852234
20 1.02709011674 0.02637559869
Übung 17.5.1. Für n ∈ N0 sei pn die Matrix der n-Schritt Übergangswahrscheinlichkeiten
der einfachen symmetrischen Irrfahrt auf ZD . Man leite für n ∈ N die
Formel
p 2n (0, 0) = (2π) −D
�
D −2n� cos(t1)+...+cos(tD) �−2n dt
[−π,π) D
her (siehe Satz 15.10). Man schließe durch geeignete Abschätzung des Integrals die
Konvergenz nD/2p2n (0, 0) n→∞
−→ 2(4π/D) −D/2 (siehe (17.18)). ♣
Übung 17.5.2. Man zeige (17.21) formal. ♣
Übung 17.5.3. Man zeige mit Hilfe von Satz 17.41, dass eine Irrfahrt auf Z 2 mit
�
�
x∈Z2 xp(0,x)=0rekurrent ist, falls x∈Z2 �x�22 p(0,x) < ∞. ♣
Übung 17.5.4. Man zeige mit Hilfe von Satz 17.41, dass für D ≥ 3 jede irreduzible
Irrfahrt auf Z D transient ist. ♣
Übung 17.5.5. Man zeige (17.25) für GD(0, 0) direkt mit den p 2n (0, 0) aus (17.20)
und mit der Reihendarstellung I0(t) = � ∞
k=0 (k!)−2 (t/2) k . ♣

360 17 Markovketten
17.6 Invariante Verteilungen
Sei im Folgenden stets p eine stochastische Matrix auf dem diskreten Raum E sowie
(Xn)n∈N0 eine zugehörige Markovkette.
In diesem Abschnitt interessieren wir uns dafür, welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen
unter der Dynamik der Markovkette erhalten bleiben. Im Kapitel 18 werden
wir unter einfachen Bedingungen zeigen, wann die Verteilung einer Markovkette
für lange Zeiten gegen eine solche Verteilung konvergiert.
Definition 17.42. Ist μ ein Maß auf E und f : E → R eine Abbildung, so schreiben
wir μp({x}) = �
y∈E μ({y})p(y, x) und pf(x) =�y∈E
p(x, y)f(y), falls die
Summen konvergieren.
Definition 17.43. (i) Ein σ-endliches Maß μ auf E heißt invariantes Maß, falls
μp = μ.
μ heißt invariante Verteilung, falls zudem μ(E) =1gilt. Mit I bezeichnen
wir die Menge der invarianten Verteilungen.
(ii) Eine Funktion f : E → R heißt subharmonisch, falls pf existiert und f ≤ pf
gilt. f heißt superharmonisch, falls f ≥ pf gilt und harmonisch, falls f = pf.
Bemerkung 17.44. Im Sinne der linearen Algebra ist ein invariantes Maß ein Links-
Eigenvektor von p und eine harmonische Funktion ein Rechts-Eigenvektor, jeweils
zum Eigenwert 1. ✸
Lemma 17.45. Ist f beschränkt und (sub-, super-) harmonisch, so ist (f(Xn)) n∈N0
ein (Sub-, Super-) Martingal bezüglich der erzeugten Filtration F = σ(X).
Beweis. Sei f beschränkt und subharmonisch. Dann ist
Ex[f(Xn) � �Fn−1] =EXn−1 [f(X1)] = �
p(Xn−1,y)f(y)
y∈E
= pf(Xn−1) ≥ f(Xn−1). ✷
Satz 17.46. Ist X transient, so existiert keine invariante Verteilung.
Beweis. Nach Voraussetzung ist G(x, y) = �∞ n=0 pn (x, y) < ∞ für alle x, y ∈ E,
also pn (x, y) n→∞
−→ 0. Für jedes W-Maß μ auf E ist daher μpn (x) n→∞
−→ 0. Wäre
μ invariant, so wäre aber μpn (x) =μ(x) für jedes n ∈ N. ✷

17.6 Invariante Verteilungen 361
Satz 17.47. Sei x ein rekurrenter Zustand und τ 1 x =inf{n ≥ 1: Xn = x}. Dann
wird ein invariantes Maß μx definiert durch
⎡
τ
μx({y}) =Ex ⎣
1
x−1 ⎤
�
∞� �
⎦ {Xn=y} = Px Xn = y; τ 1 x >n � .
n=0
Beweis. Zunächst müssen wir zeigen, dass μx({y}) < ∞ ist für jedes y ∈ E. Für
y = x ist offenbar μx({x}) =1.Für y �= x und F (x, y) =0ist μx({y}) =0.Sei
nun y �= x und F (x, y) > 0. Dax rekurrent ist, ist F (x, y) =F (y, x) =1, und y
ist rekurrent (Satz 17.35). Sei
�F (x, y) =Px
n=0
� 1
τx >τ 1� y .
Dann ist � F (x, y) > 0 (sonst würde y nicht getroffen) und nach Vertauschung der
Rollen von x und y auch � F (y, x) > 0.
Nach der starken Markoveigenschaft (Satz 17.14) ist
Also ist
Ey
⎡
�
⎣
τ 1
x −1
n=0
Mithin ist
⎡
�
μx({y}) =Ex⎣
τ 1
x −1
n=0
{Xn=y}
Ey
{Xn=y}
⎤ ⎡
�
⎦ =1+Ey ⎣
τ 1
x −1
n=τ 1 y
�
=1+ 1 − � �
F (y, x)
⎡
�
⎣
τ 1
x −1
n=0
{Xn=y}
⎤ ⎡
�
⎦ = Ex⎣
τ 1
x −1
n=τ 1 y
⎤
⎦ =
{Xn=y}; τ 1 x >τ 1 y
Ey
1
�F (y, x) .
⎡
�
⎣
τ 1
x −1
n=0
{Xn=y}; τ 1 x >τ 1 y
⎤
⎦
{Xn=y}
�
Definiere pn(x, y) =Px Xn = y; τ 1 x >n � .Dannistfür jedes z ∈ E
μx p({z}) = �
∞� �
μx({y}) p(y, z) = pn(x, y) p(y, z).
y∈E
1. Fall: x �= z. Dann ist
�
pn(x, y)p(y, z) = �
y∈E
n=0 y∈E
�
Px Xn = y, τ
y∈E
1 x >n,Xn+1 = z �
⎤
⎦ .
⎤
⎦= � F (x, y)
< ∞.
�F (y, x)
� 1
= Px τx >n+1;Xn+1 = z � = pn+1(x, z).

362 17 Markovketten
Also ist (wegen p 0(x, z) =0)
∞�
∞�
∞�
μx p({z}) = pn+1(x, z) = pn(x, z) = pn(x, z) =μx({z}).
n=0
2. Fall: x = z. Jetzt ist
�
pn(x, y)p(y, x) = �
y∈E
y∈E
�
1 Also ist (wegen Px τx =0 � =0)
μx p({x}) =
n=1
n=0
�
Px Xn = y; τ 1 x >n; Xn+1 = x � � 1
= Px τx = n +1 � .
∞�
n=0
� 1
Px τx = n +1 � =1=μx({x}). ✷
Korollar 17.48. Ist x positiv rekurrent, so wird durch π({x}) := μx
Ex [τ 1 für x ∈ E
x]
eine invariante Verteilung π definiert.
Satz 17.49. Ist X irreduzibel, so hat X höchstens eine invariante Verteilung.
Bemerkung 17.50. Man kann auch zeigen: Ein invariantes Maß von X ist bis auf
einen Faktor eindeutig. Der Beweis ist allerdings aufwändiger als der für invariante
Verteilungen. Weil die Aussage hier nicht benötigt wird, verweisen wir lediglich auf
[38, Theorem 5.4.4]. ✸
Beweis. Seien π und ν invariante Verteilungen. Wähle einen beliebigen Wahrscheinlichkeitsvektor
(gn)n∈N mit gn > 0 für jedes n ∈ N. Definiere die stochastische
Matrix �p(x, y) = �∞ n=1 gn pn (x, y). Dannist�p(x, y) > 0 für alle x, y ∈ E
und π�p = π sowie ν�p = ν.
Betrachte nun das signierte Maß μ = π − ν. Es gilt μ�p = μ. Wäre nun μ �= 0,so
gäbe es (wegen μ(E) =0) Punkte x1,x2 ∈ E mit μ({x1}) > 0 und μ({x2}) < 0.
Offensichtlich wäre für jedes y ∈ E dann � �μ({x1}) p(x1,y)+μ({x2}) p(x2,y) � �
�
<
�μ({x1}) p(x1,y) � �
� + �μ({x2}) p(x2,y) � � , also
� �
� μ�p �TV = �
�
� �
�
�
�
� μ({x})�p(x, y) �
�
y∈E x∈E
< � �
|μ({x})| �p(x, y) = �
|μ({x})| = � μ �TV.
y∈E x∈E
Da dies widersprüchlich ist, gilt μ =0. ✷
Es sei daran erinnert, dass I die Menge der invarianten Verteilungen von X ist.
x∈E

17.6 Invariante Verteilungen 363
Satz 17.51. Sei X irreduzibel. X ist genau dann positiv rekurrent, wenn I �= ∅
ist. In diesem Fall ist I = {π} mit
π({x}) =
1
Ex[τ 1 > 0 für jedes x ∈ E.
x]
Beweis. Ist X positiv rekurrent, so ist I �= ∅ nach Korollar 17.48. Sei nun I �= ∅
und π ∈ I.DaX irreduzibel ist, ist π({x}) > 0 für jedes x ∈ E. SeiPπ =
�
x∈E π({x})Px.Seix ∈ E fest und für n ∈ N0
σ n x =sup � m ≤ n : Xm = x � ∈ N0 ∪{−∞}
die letzte Eintrittszeit in x bis zur Zeit n. (Man bemerke, dass dies keine Stoppzeit
ist.) Nach der Markoveigenschaft gilt dann für k ≤ n
�
Xk = x, Xk+1 �= x,...,Xn �= x �
Pπ [σ n x = k] =Pπ
�
= Pπ Xk+1 �= x,...,Xn �= x|Xk = x � Pπ[Xk = x]
�
= π({x}) Px X1,...,Xn−k �= x �
� 1
= π({x}) Px τx ≥ n − k +1 � .
�
1 Also ist für jedes n ∈ N0 (wegen Py τx < ∞ � =1für jedes y ∈ E)
1=
n�
k=0
= π({x})
Pπ [σ n x = k]+Pπ [σ n x = −∞]
n�
k=0
n→∞
−→ π({x})
� 1
Px τx ≥ n − k +1 � � 1
+ Pπ τx ≥ n +1 �
∞�
k=1
� 1
Px τx ≥ k � � � 1
= π({x}) Ex τx .
� �
1 1
Mithin ist Ex τx = π({x}) < ∞, und damit ist X positiv rekurrent. ✷
Übung 17.6.1. Betrachte die Markovkette aus Abb. 17.1 (Seite 350). Man bestimme
die Menge aller invarianten Verteilungen und zeige, dass die Zustände 6, 7 und 8
positiv rekurrent sind mit erwarteten Eintrittszeiten
E6[τ6] = 17
4 , E7[τ7] = 17
5
und E8[τ8] = 17
. ♣
5

364 17 Markovketten
Übung 17.6.2. Sei X =(Xt)t≥0 eine Markovkette auf E in stetiger Zeit mit Q-
Matrix q. Man zeige: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß π auf E ist genau dann eine invariante
Verteilung für X,wenn �
x∈E π({x})q(x, y) =0für alle y ∈ E. ♣
Übung 17.6.3. Sei G eine abzählbare, abelsche Gruppe und p die Übergangsmatrix
einer irreduziblen Irrfahrt X auf G, das heißt, es gilt p(hg, hf) =p(h, f) für alle
h, g, f ∈ G. (Dies verallgemeinert den Begriff der Irrfahrt auf Z D .) Man zeige mit
Hilfe von Satz 17.51: X ist genau dann positiv rekurrent, wenn G endlich ist. ♣
Übung 17.6.4. Sei r ∈ [0, 1] und X die Markovkette auf N0 mit Übergangsmatrix
(siehe Abb. 17.2 auf Seite 351)
⎧
1, falls x =0 und y =1,
⎪⎨ r, falls y = x +1≥ 2,
p(x, y) =
1 − r, falls y = x − 1,
⎪⎩
0, sonst.
Man bestimme das invariante Maß und zeige mit Hilfe von Satz 17.51:
(i) Ist r ∈ � 0, 1
�
2 ,soistXpositiv rekurrent.
(ii) Ist r = 1
2 ,soistXnullrekurrent. (iii) Ist r ∈{0}∪ � 1
2 , 1� ,soistXtransient. ♣

18 Konvergenz von Markovketten
Wir betrachten eine Markovkette X mit invarianter Verteilung π und untersuchen
unter welchen Bedingungen die Verteilung von Xn für n →∞gegen π konvergiert.
Im Wesentlichen ist dafür notwendig und hinreichend, dass der Zustandsraum der
Kette nicht in Unterräume zerfällt, die
– von der Kette nicht verlassen werden,
– oder von der Kette beispielsweise nur für ungerade n beziehungsweise gerade n
besucht werden.
Im ersten Fall wäre die Kette reduzibel, im zweiten hingegen periodisch.
Wir untersuchen Periodizität von Ketten im ersten Abschnitt und zeigen im zweiten
den Konvergenzsatz. Im dritten Abschnitt beschäftigen wir uns mit Anwendungen
des Konvergenzsatzes für Computersimulationen mit der so genannten Markovketten
Monte Carlo Methode. Im letzten Abschnitt beschreiben wir die Geschwindigkeit
der Konvergenz gegen das Gleichgewicht mit Hilfe des Spektrums
der Übergangsmatrix.
18.1 Periodizität von Markovketten
Wir untersuchen, unter welchen Bedingungen eine Markovkette X auf dem abzählbaren
Raum E (und mit Übergangsmatrix p), die in einem beliebigen μ ∈M1(E)
gestartet wird, in Verteilung gegen eine invariante Verteilung π konvergiert, also
μp
n n→∞
−→ π gilt. Sicherlich ist hierzu notwendig, dass π die einzige invariante
Verteilung ist, und damit bis auf Vielfache der einzige Links-Eigenvektor von p zum
Eigenwert 1. Hierfür ist ausreichend, dass die Kette irreduzibel ist (Satz 17.49).
n n→∞
Es sind gewisse Kontraktionseigenschaften von p notwendig, damit μp −→ π
für jedes μ ∈ M1(E) gelten kann. Offenbar ist 1 der betragsmäßig größte Eigenwert
von p. Allerdings ist p nur dann (ausreichend) kontrahierend, wenn die
Vielfachheit dieses Eigenwertes genau 1 ist und keine weiteren (komplexwertigen)
Eigenwerte mit Betrag 1 existieren.
Für die letztgenannte Bedingung ist die Irreduzibilität der Kette nicht hinreichend,
wie wir sehen, wenn wir auf E = {0,...,N − 1} die Markovkette mit Übergangs-

366 18 Konvergenz von Markovketten
matrix p(x, y) = {y=x+1(mod N)} betrachten. Der Eigenwert 1 hat die Vielfachheit
1. Jedoch sind alle N-ten Einheitswurzeln eik/N , k =0,...,N − 1, ebenfalls Eigenwerte
mit Betrag 1. Offenbar ist die Gleichverteilung auf E invariant, jedoch
existiert lim
n→∞ δxpn für kein x ∈ E, denn jeder Punkt wird periodisch immer nur
nach jeweils genau N Schritten besucht. Um Konvergenz zu erzielen, müssen wir
also zunächst Periodizität untersuchen (und ausschließen). Hernach können wir für
irreduzible aperiodische Markovketten einen Konvergenzsatz angeben.
Sind m, n ∈ N, so schreiben wir m � �n, falls m ein Teiler von n ist, also falls n
m ∈ N.
Ist M ⊂ N, so schreiben wir ggT(M) für den größten gemeinsamen Teiler aller
n ∈ M. Sei im Folgenden stets X eine Markovkette auf dem abzählbaren Raum E
mit Übergangsmatrix p.
Definition 18.1. (i) Für x, y ∈ E schreiben wir
N(x, y) := � n ∈ N0 : p n (x, y) > 0 � .
Für jedes x ∈ E heißt dx := ggT(N(x, x)) die Periode des Punktes x.
(ii) Ist dx = dy für alle x, y ∈ E,soheißtd := dx die Periode von X.
(iii) Ist dx =1 für jedes x ∈ E, so heißt X aperiodisch.
1
1
Abb. 18.1. Die linke Markovkette ist periodisch mit Periode 2, die rechte Markovkette ist
aperiodisch.
1/2
1/2
Lemma 18.2. Für jedes x ∈ E existiert ein nx ∈ N mit
1/2
1/2
1/2
1/2
p ndx (x, x) > 0 für jedes n ≥ nx. (18.1)
Beweis. Seien k1,...,kr ∈ N(x, x) mit ggT({k1,...,kr}) =dx.Dannistfür alle
m1,...,mr ∈ N0 auch �r i=1 ki mi ∈ N(x, x). Elementare Zahlentheorie liefert
uns nun, dass für jedes n ≥ nx := r · �r i=1 (ki/dx) Zahlen m1,...,mr ∈ N0
existieren mit ndx = �r i=1 ki mi. Also gilt (18.1). ✷

3
1/2 1/2
2
1
1
18.1 Periodizität von Markovketten 367
1 1
4 1
8
7
Abb. 18.2. Es ist N(8, 8) = {6, 10, 12, 14, 16,...}, also d8 := ggT({6, 10, 12,...}) =2
und n8 =5. Die Kette hat also Periode 2. Hingegen ist n1 =2und n4 =4.
Das Problem, die kleinste Zahl N zu finden, sodass sich jedes ndx, n ≥ N als
nichtnegative ganzzahlige Linearkombination von k1,...,kr darstellen lässt, wird
Frobenius Problem genannt. Die allgemeine Lösung ist unbekannt, allerdings hat
Sylvester [150] für den Fall r =2gezeigt, dass N =(k1/dx − 1)(k2/dx − 1)
minimal ist. Im allgemeinen Fall ist als obere Schranken für N beispielsweise
2max{ki : i =1,...,r} 2 /(rd 2 x) bekannt, siehe etwa [44].
Lemma 18.3. Sei X irreduzibel. Dann gelten:
(i) d := dx = dy für alle x, y ∈ E.
(ii) Für alle x, y ∈ E existieren nx,y ∈ N und Lx,y ∈{0,...,d− 1} mit
5
nd + Lx,y ∈ N(x, y) für jedes n ≥ nx,y. (18.2)
Lx,y ist eindeutig bestimmt, und es gilt
Lx,y + Ly,z + Lz,x =0(modd) für alle x, y, z ∈ E. (18.3)
Beweis. (i) Seien m, n ∈ N0 mit p m (x, y) > 0 und p n (y, z) > 0. Dannist
Also gilt
p m+n (x, z) ≥ p m (x, y) p n (y, z) > 0.
N(x, y)+N(y, z) := � m + n : m ∈ N(x, y), n∈ N(y, z) � ⊂ N(x, z). (18.4)
Sind speziell m ∈ N(x, y), n ∈ N(y, x) und k ≥ ny, soistkdy � ∈ N(y, y), also
m + kdy ∈ N(x, y) und m + n + kdy ∈ N(x, x). Es folgt dx�(m
�
�
+ n + kdy) für
jedes k ≥ ny, also dx�dy.
Analog erhalten wir dy�dx,
also dx = dy.
(ii) Sei m ∈ N(x, y). Dannistm + kd ∈ N(x, y) für jedes k ≥ nx. Also gilt
(18.2) mit
�
m
�
nx,y := nx +
d
und
�
m
�
Lx,y := m − d .
d
Wegen (18.4) ist
1
1
6

368 18 Konvergenz von Markovketten
(nx,y + ny,z)d + Lx,y + Ly,z ∈ N(x, z).
Mit z = x folgt: d � � (Lx,y + Ly,x), also ist Lx,y eindeutig in {0,...,d− 1} und
Lx,y = −Ly,x (mod d). Für allgemeines z folgt: d � � (Lx,y + Ly,z + Lz,x), also gilt
(18.3). ✷
Satz 18.4. Sei X irreduzibel mit Periode d. Dann existiert eine disjunkte Zerlegung
des Zustandsraums
mit der Eigenschaft
E =
d−1 �
i=0
Ei
(18.5)
p(x, y) > 0 und x ∈ Ei =⇒ y ∈ E i+1 (mod d). (18.6)
Bis auf zyklische Vertauschung ist diese Zerlegung eindeutig.
E2
E0
Abb. 18.3. Markovkette mit Periode d =3.
Die Eigenschaft (18.6) besagt gerade, dass X die Mengen Ei nacheinander besucht
und zu jedem Zeitschritt in das nächste Ei wechselt (siehe Abb. 18.3 oder Abb. 18.2,
wo d =2, E0 = {1, 3, 5, 7} und E1 = {2, 4, 6, 8} ist). � Etwas formaler können � wir
dies schreiben als: Ist x ∈ Ei für gewisses i, soistPxXn
∈ Ei+n (mod d) =1.
Beweis. ” Existenz“ Wähle ein beliebiges x0 ∈ E und setze
Ei := � y ∈ E : Lx0,y = i �
für i =0,...,d− 1.
Offenbar gilt (18.5). Sei i ∈{0,...,d− 1} und x ∈ Ei. Isty ∈ E mit p(x, y) > 0,
so ist Lx,y =1, also ist Lx0,y = Lx0,x + Lx,y = i +1(modd).
” Eindeutigkeit“ Sei ( � Ei, i =0,..., � d − 1) eine weitere Zerlegung, die (18.5)
und (18.6) erfüllt. Ohne Einschränkung sei E0 ∩ � E0 �= ∅ (sonst vertausche die � Ei
zyklisch bis dies gilt) und x0 ∈ E0 ∩ � E0 beliebig. Nach Voraussetzung impliziert
E1

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 369
p(x0,y) > 0 nun y ∈ E1 und y ∈ � E1, also y ∈ E1 ∩ � E1. Iterativ erhalten wir, dass
pnd+i (x, y) > 0 impliziert, dass y ∈ Ei ∩ � Ei (für n ∈ N und i =0,...,d− 1).
Da die Kette irreduzibel ist, existieren aber für jedes y ∈ E Zahlen n(y) und i(y),
sodass pn(y) d+i(y) (x0,y) > 0, also y ∈ Ei(y) ∩ � Ei(y). Mithin gilt Ei = � Ei für jedes
i =0,...,d− 1. ✷
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz
Es ist oftmals nützlich, einen gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum für zwei Verteilungen
anzugeben, sodass die jeweiligen Verteilungen sich als die Randverteilungen
ergeben. Wir stellen zunächst das Prinzip der Kopplung abstrakt vor und geben
dann Beispiele an. Schließlich wenden wir die Begriffe auf Markovketten an.
Definition 18.5. Sind (E1, E1,μ1) und (E2, E2,μ2) Wahrscheinlichkeitsräume, so
heißt jedes W-Maß μ auf (E1×E2, E1⊗E2) mit μ( · ×E2) =μ1 und μ(E1× · )=μ2
eine Kopplung von μ1 und μ2.
Beispiel 18.6. Seien X eine reelle Zufallsvariable und f,g : R → R monoton wachsende
Funktionen mit E[f(X) 2 ] < ∞ und E[g(X) 2 ] < ∞. Wir wollen zeigen, dass
die Zufallsvariablen f(X) und g(X) nichtnegativ korreliert sind.
Sei dazu Y eine unabhängige Kopie von X, also eine von X unabhängige Zufallsvariable
mit PY = PX. Speziell ist E[f(X)] = E[f(Y )] und E[g(X)] = E[g(Y )].
Für alle Zahlen x, y ∈ R ist (f(x) − f(y))(g(x) − g(y)) ≥ 0. Alsoist
0 ≤ E �� f(X) − f(Y ) �� g(X) − g(Y ) ��
= E[f(X)g(X)] − E[f(X)] E[g(Y )] + E[f(Y )g(Y )] − E[f(Y )] E[g(X)]
=2Cov[f(X),g(X)]. ✷
Beispiel 18.7. Sind μ, ν ∈M1(Rd ), so schreiben wir μ � ν, falls � fdμ≤ � fdν
für jede monoton wachsende, beschränkte Funktion f : Rd → R. Wir sagen dann,
dass ν stochastisch größer als μ ist. Offenbar ist � eine Halbordnung auf M1(Rd ).
Sind F1 und F2 die Verteilungsfunktionen von μ1 und μ2, so ist offenbar μ1 �
μ2 genau dann, wenn F1(x) ≥ F2(x) für jedes x ∈ Rd . (Einen Überblick über
verschiedene stochastische Ordnungen findet man beispielsweise in [116].)
Wir zeigen jetzt, dass genau dann μ � ν gilt, wenn es eine Kopplung ϕ von μ1 und
μ2 gibt mit ϕ(L) =1,woL := {x =(x1,x2) ∈ Rd × Rd : x1 ≤ x2}.
Sei ϕ eine solche Kopplung. Für monoton wachsendes, beschränktes f : Rd → R
ist f(x1) − f(x2) ≤ 0 für jedes x =(x1,x2) ∈ L, also � fdμ1− � fdμ2 � � =
f(x1) − f(x2) � ϕ(dx) ≤ 0 und damit μ1 � μ2.
L
Gilt andererseits μ1 � μ2, so wird durch F ((x1,x2)) := min(F1(x1),F2(x2)) eine
Verteilungsfunktion auf R d × R d definiert, die zu einer Kopplung ϕ mit ϕ(L) =1
gehört. ✸

370 18 Konvergenz von Markovketten
Beispiel 18.8. Sei (E,ϱ) ein polnischer Raum. Für zwei W-Maße P und Q auf
(E,B(E)) schreiben wir K(P, Q) ⊂M1(E × E) für die Menge der Kopplungen
von P und Q. Wirkönnen dann einen Abstand, die so genannte Wasserstein
Metrik, aufM1(E) definieren durch
� �
�
dW (P, Q) :=inf ϱ(x, y) ϕ(d(x, y)) : ϕ ∈ K(P, Q) . (18.7)
Man kann zeigen (Satz von Kantorovich-Rubinstein [85], siehe auch [37, Seite
420ff]), dass
� �
�
dW (P, Q) =sup fd(P − Q) : f ∈ Lip1(E; R) . (18.8)
Man vergleiche diese Darstellung der Wasserstein Metrik mit derjenigen der Totalvariationsnorm:
� �
�P − Q�TV =sup fd(P − Q) : f ∈L ∞ �
(E) mit �f�∞ ≤ 1 . (18.9)
Tatsächlich können wir auch hier eine Definition durch eine Kopplung angeben: Sei
D := {(x, x) : x ∈ E} die Diagonale in E × E.Dannist
�P − Q�TV =inf � ϕ((E × E) \ D) : ϕ ∈ K(P, Q) � . (18.10)
Siehe [59] für einen Vergleich verschiedener Metriken auf M1(E). ✸
Ein weiteres Beispiel für eine komplexere Kopplung liefert der folgende Satz von
Skorohod, den wir hier nur zitieren.
Satz 18.9 (Skorohod Kopplung). Es seien μ, μ1,μ2,... W-Maße auf einem pol-
n→∞
nischen Raum E mit μn −→ μ. Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,A, P) mit Zufallsvariablen X, X1,X2,... mit PX = μ und PXn = μn
n→∞
jedes n ∈ N sowie Xn −→ X fast sicher.
für
Beweis. Siehe etwa [84, Seite 79]. ✷
Wir wollen die Kopplung diskreter Markovketten betrachten, die in unterschiedlichen
Verteilungen μ und ν gestartet werden. Im Folgenden sei E stets ein abzählbarer
Raum und p eine stochastische Matrix auf E.
Definition 18.10. Eine bivariate Markovkette ((Xn,Yn))n∈N0 mit Werten in E × E
heißt eine Kopplung, falls (Xn)n∈N0 und (Yn)n∈N0 Markovketten mit Übergangsmatrix
p sind.
Eine Kopplung heißt erfolgreich, falls P (x,y)[Xn �= Yn] n→∞
−→ 0 für alle x, y ∈ E.

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 371
Diese Definition der Kopplung von Markovketten ist in gewisser Weise sehr restriktiv,
weil sie die Markoveigenschaft auch wieder für den gekoppelten Prozess fordert.
Für die Anwendungen, die wir im Sinne haben, reicht dies aber völlig aus.
Natürlich sind zwei unabhängig laufende Ketten eine Kopplung, allerdings vielleicht
nicht die interessanteste.
Beispiel 18.11 (Unabhängiges Verschmelzen). Die wichtigste Kopplung sind die
verschmelzenden Markovketten: Wir lassen X und Y unabhängig voneinander mit
Übergangsmatrix p laufen, so lange bis sie sich das erste Mal treffen. Danach laufen
die Ketten gemeinsam weiter. Diese Kopplung nennen wir unabhängiges Verschmelzen,
sie hat die Übergangsmatrix
¯p � (x1,y1), (x2,y2) � ⎧
⎪⎨ p(x1,x2) · p(y1,y2), falls x1 �= y1,
=
p(x1,x2), falls x1 = y1, x2 = y2,
⎪⎩
0, falls x1 = y1, x2�= y2.
Mit τ := inf{n ∈ N0 : Xn = Yn} bezeichnen wir den Verschmelzungszeitpunkt.
Wir können die Kopplung tatsächlich aus zwei unabhängigen Ketten ˜ X und ˜ Y herstellen,
indem wir X := ˜ X setzen, ˜τ := inf{n ∈ N0 : ˜ Xn = ˜ Yn} und
�
˜Yn, falls n

372 18 Konvergenz von Markovketten
einem Beispiel gezeigt, dass wir auf die räumliche Homogenität nicht leicht verzichten
können, wenn wir eine erfolgreiche Kopplung haben möchten. Der Verzicht
auf Rekurrenz fällt leichter, wie der folgende Satz zeigt.
Satz 18.13. Sei X eine beliebige aperiodische und irreduzible Irrfahrt auf Z d mit
Übergangsmatrix p. Dann existiert eine erfolgreiche Kopplung (X, Y ).
Der Beweis ist etwas technisch und kann beim ersten Lesen ausgelassen werden.
Beweis. Sei zunächst der Fall d =1betrachtet. Für jedes L ∈ N definieren wir die
Übergangsmatrix ˇpL einer Irrfahrt auf Z durch
�
ˇpL(x, y) =
p(x, z) p(y, z), falls x �= y,
z∈Z: |z−y|≤L, |z−x|≤L
und ˇpL(x, x) =1− �
y�=x ˇpL(x, y).
Offenbar ist ˇpL stets aperiodisch. Wähle nun L so groß, dass ˇpL irreduzibel ist.
(Dass dies geht, zeigt die folgende Überlegung: Da p aperiodisch und irreduzibel
ist, gibt es zu jedem x ∈ Z ein Nx ∈ N mit p (n) (0,x) > 0 für n ≥ Nx. Für
n ≥ N0 ∨ Nx ist dann ˇp (n) (0,x) > 0, wobei ˇp =ˇp∞ die Symmetrisierung von p
ist, denn
Wegen ˇp (n)
L
p (n) (0,x)=((p (n) ) T p (n) )(0,x) ≥ (p (n) ) T (0, 0) p (n) (0,x) > 0.
(0,x) L→∞
−→ ˇp (n) (0,x), gilt für hinreichend großes L und n ≥ N0 ∨
N−1 ∨ N1, dassˇp (n)
L (0, −1) > 0, ˇp(n)
L (0, 0) > 0, und ˇp(n)
L (0, 1) > 0. Mithin ist ˇpL
irreduzibel.)
Wir konstruieren die Kopplung (X, Y ), indem wir X und Y alle Sprünge der Weite
größer als L gemeinsam ausführen lassen, diejenigen von kürzerer Weite jedoch unabhängig,
solange bis X und Y sich treffen und dann verschmelzen. Wir betrachten
also als Übergangsmatrix für die nicht verschmelzende Kette ( ˜ X, ˜ Y )
˜pL((x1,y1), (x2,y2))
⎧
⎪⎨
p(x1,x2) p(y1,y2), falls |x1 − x2| ≤L, |y1 − y2| ≤L,
=
⎪⎩
p(x1,x2),
0,
falls |x1 − x2| >Lund y1 − y2 = x1 − x2,
sonst.
Schließlich sei (X, Y ) die nach Zeit τ := inf{n ∈ N0 : ˜ Xn = ˜ Yn} verschmelzende
Kette, also X = ˜ X und Yn = ˜ Yn für n ≤ τ und Yn = Xn für n ≥ τ. Offenbarist
(X, Y ) eine Kopplung der Ketten mit Übergangsmatrix p.
Nach Konstruktion ist die Differenz ( ˜ Xn − ˜ Yn)n∈N0 eine Irrfahrt mit Übergangsmatrix
ˇpL, also eine symmetrische irreduzible, aperiodische Irrfahrt mit beschränkter
Sprungweite und damit rekurrent. Für x, y ∈ Z gilt daher

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 373
� � �
P (x,y) Xn �= Yn = Px−y
˜Xk �= ˜ Yk für alle k ≤ n � n→∞
−→ 0.
Wir behandeln jetzt den allgemeinen Fall d ∈ N, indem wir die einzelnen Koordinaten
nacheinander koppeln. Um dies rigoros zu machen, müssen wir etwas
Notationsaufwand treiben. Für x = (x 1 ,...,x d ) und k = 1,...,d − 1 sei
ˆx k =(x 1 ,...,x k ) und ˇx k =(x k+1 ,...,x d ). Wir setzen pk(x, ˆy k )=pk(ˆx k , ˆy k )=
�
ˇy k ∈Z d−k p(x, y), sowiepk(x, (ˇy k | ˆy k )) = p(x, y)/p(x, ˆy k ). Diese Schreibweise
soll suggerieren, dass es sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, von x
nach y zu springen, gegeben, dass wir schon wissen, dass die ersten k Koordinaten
des Ziels durch ˆy k gegeben sind.
Wir setzen noch formal ˆx 0 = ˇxd = 0, ˆx d = ˇx0 = x, p0(x, ˆy 0 ) = 1 und
p0(x, (ˇy 0 | ˆy 0 )) = p(x, y) sowie l(x) :=max � k ∈{0,...,d} : ˆxk =0 � .Sei
jetzt für L ∈ N die Matrix ˇpL,k definiert durch
� k k
ˇpL,k ˇx , ˇy � =
� � � � � � k k k k k k k
pk 0, (ˇz − ˇx | ˆz ) pk 0, (ˇz − ˇy | ˆz ) pk 0, ˆz � ,
z∈Z d
�ˇz k −ˇx k �∞≤L
�ˇz k −ˇy k �∞≤L
falls ˇx k �=ˇy k und ˇpL,k(ˇx k , ˇx k )=1− �
ˇy k �=ˇx k
ˇpL,k(ˇx k , ˇy k ).
Wir nehmen an, dass L groß genug gewählt ist, dass alle ˇpL,k irreduzibel sind. Setze
nun noch
�
(x1,y1), (x2,y2) � =
˜pL,k
⎧
⎪⎨
⎪⎩
�
k p(x1,x2) pk ˆy 1 , (ˇy k 2 | ˆy k 2 ) � , falls ˆy k 1 − ˆy k 2 =ˆx k 1 − ˆx k 2
und �ˇy k 1 − ˇy k 2�∞ ≤ L, �ˇx k 1 − ˇx k 2�∞ ≤ L,
p(x1,x2), falls y2 − y1 = x2 − x1
und �ˇx k 1 − ˇx k ∞�2 >L,
0, sonst.
Schließlich definieren wir die Übergangsmatrix q von (X, Y ) durch
q � (x1,y1), (x2,y2) � �
=˜p L,l(y1−x1) (x1,y1), (x2,y2) � .
Die Zahl l(Xn − Yn) gibt an, wie viele Koordinaten schon gekoppelt sind. Sind
schon genau k Koordinaten gekoppelt, so wird ˜pL,k als Übergangsmatrix genommen.
Unter dieser Matrix bleiben die ersten k Koordinaten gekoppelt. Sei τk :=
inf{n ∈ N0 : l(Xn − Yn) =k}. Zwischen τk und τk+1 ist ( ˇ Y k n − ˇ X k n)n∈N eine
Irrfahrt mit Übergangsmatrix ˇpL,k, also symmetrisch, irreduzibel und mit endlicher
Sprungweite. Damit ist jede einzelne Koordinate eine rekurrente Irrfahrt und insbesondere
τk+1 < ∞ fast sicher. Es folgt, dass für alle x, y ∈ Z d gilt
P (x,y)[Xn �= Yn] =P (x,y)[τd >n] n→∞
−→ 0. ✷

374 18 Konvergenz von Markovketten
Satz 18.14. Sei X eine Markovkette auf E mit Übergangsmatrix p. Existiert eine
erfolgreiche Kopplung, so ist jede beschränkte, harmonische Funktion konstant.
Beweis. Sei f : E → R beschränkt und harmonisch, also pf = f. Seien x, y ∈ E,
und sei (X, Y ) eine erfolgreiche Kopplung. Nach Lemma 17.45 sind (f(Xn))n∈N0
und (f(Yn))n∈N0 Martingale, also gilt
f(x) − f(y) =E (x,y)[f(Xn) − f(Yn)] ≤ 2�f�∞ P (x,y)[Xn �= Yn] n→∞
−→ 0. ✷
Korollar 18.15. Ist X eine irreduzible Irrfahrt auf Z d , so ist jede beschränkte, harmonische
Funktion konstant.
Diese Aussage gilt allgemeiner, wenn wir Z d durch eine lokalkompakte, abelsche
Gruppe ersetzen und geht in dieser Form auf Choquet und Deny [26] zurück, siehe
auch [136].
Beweis. Ist p die Übergangsmatrix von X, sosei¯ X eine Markovkette mit Übergangsmatrix
¯p(x, y) = 1
1
2p(x, y)+ 2 {x}(y). Offenbar haben X und ¯ X die selben
harmonischen Funktionen. Nun ist aber ¯ X eine aperiodische, irreduzible Irrfahrt,
besitzt also nach Satz 18.13 eine erfolgreiche Kopplung für alle Startpunkte. ✷
Satz 18.16. Sei p die Übergangsmatrix einer irreduziblen, positiv rekurrenten, aperiodischen
Kette auf E. Dann ist die verschmelzende Kette eine erfolgreiche Kopplung.
Beweis. Seien ˜ X und ˜ Y zwei unabhängige Markovketten auf E mit Übergangsmatrix
p. Dann hat die bivariate Markovkette Z := ((Xn,Yn))n∈N0 die Übergangsmatrix
�p, die durch
�p � (x1,y1), (x2,y2) � = p(x1,x2) · p(y1,y2)
definiert wird. Wir zeigen zunächst, dass die Matrix �p irreduzibel ist. Nur an dieser
Stelle benötigen wir die Aperiodizität von p. Seien also (x1,y1), (x2,y2) ∈ E × E
gegeben. Dann existiert nach Lemma 18.2 ein m0 ∈ N mit
p n (x1,x2) > 0 und p n (y1,y2) > 0 für jedes n ≥ m0.
Für n ≥ m0 ist daher �p n� (x1,y1), (x2,y2) � > 0.Alsoist�p irreduzibel.
Wir definieren nun die Stoppzeit τ des ersten Eintreffens von ( ˜ X, ˜ Y ) in der Diagonalen
D := {(x, x) : x ∈ E} durch τ := inf � n ∈ N0 : ˜ Xn = ˜ �
Yn .Seiπdie invariante
Verteilung von ˜ X. Offenbar ist dann das Produktmaß π ⊗ π ∈M1(E × E)
eine (und damit die) invariante Verteilung von ( ˜ X, ˜ Y ). Nach Satz 17.51 ist daher
( ˜ X, ˜ Y ) positiv rekurrent, also insbesondere rekurrent. Mithin gilt P (x,y)[τ

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 375
Satz 18.17. Sei X eine Markovkette mit Übergangsmatrix p, zu der eine erfolgreiche
Kopplung existiert. Für alle μ, ν ∈M1(E) gilt dann � � n (μ − ν)p � � n→∞
−→ 0.
TV
Ist � speziell X aperiodisch und positiv rekurrent mit invarianter Verteilung π, so gilt
�Lμ[Xn] − π � � n→∞
−→ 0 für jedes μ ∈M1(E).
TV
Beweis. Es reicht, den Fall μ = δx, ν = δy für gewisse x, y ∈ E zu betrachten.
Summation über x und y liefert dann den allgemeinen Fall. Sei (Xn,Yn)n∈N0 eine
erfolgreiche Kopplung. Dann ist
�
� (δx − δy)p n�� ≤ 2 P
TV (x,y)[Xn �= Yn] n→∞
−→ 0. ✷
Wir fassen den Zusammenhang von Aperiodizität und Verteilungskonvergenz von
X im folgenden Satz zusammen.
Satz 18.18 (Konvergenzsatz für Markovketten). Sei X eine irreduzible, positiv
rekurrente Markovkette auf E mit invarianter Verteilung π. Dann sind äquivalent:
(i) X ist aperiodisch.
(ii) Für jedes x ∈ E gilt
�
� Lx[Xn] − π � � TV
(iii) Für ein x ∈ E gilt (18.11).
(iv) Für jedes μ ∈M1(E) gilt � �
� n μp − π�TV n→∞
−→ 0. (18.11)
n→∞
−→ 0.
Beweis. Die Implikationen (iv) ⇐⇒ (ii) =⇒ (iii) sind klar. Die Implikation
(i) =⇒ (ii) wurde in Satz18.17 gezeigt. Wir zeigen also (iii) =⇒ (i).
” (iii) =⇒ (i)“ Wir nehmen an, dass (i) nicht gilt. Hat X die Periode d ≥ 2, und
ist n ∈ N kein Vielfaches von d, so ist nach Satz 17.51
�
�δxp n − π � � ≥|p
TV n (x, x) − π({x})| = π({x}) > 0.
�
Für jedes x ∈ E gilt daher lim sup �δxp n→∞
n − π � � > 0, folglich gilt (iii) nicht. ✷
TV
Übung 18.2.1. Sei dP die Prohorov-Metrik (siehe (13.3) und Übung 13.2.1). Man
zeige: dP (P, Q) ≤ � dW (P, Q) für alle P, Q ∈M1(E). HatE endlichen Durchmesser
diam(E), soistdW (P, Q) ≤ (diam(E) +1)dP (P, Q) für alle P, Q ∈
M1(E). ♣
Übung 18.2.2. Man zeige durch eine direkte Rechnung, dass der in Beispiel 18.11
aus ˜ X und ˜ Y hergestellte Prozess (X, Y ) eine Kopplung mit Übergangsmatrix ¯p ist.
♣

376 18 Konvergenz von Markovketten
Übung 18.2.3. Sei X eine beliebige aperiodische, irreduzible, rekurrente Irrfahrt
auf Z d . Man zeige, dass dann zu je zwei Startpunkten die unabhängige Verschmelzung
eine erfolgreiche Kopplung ist.
Hinweis: Man zeige, dass die Differenz zweier rekurrenter Irrfahrten stets wieder
rekurrent ist. ♣
Übung 18.2.4. Sei X eine Markovkette auf Z2 mit Übergangsmatrix
⎧
1
4
⎪⎨
p((x1,x2), (y1,y2)) =
⎪⎩
, falls x1 =0, �y − x�2 =1,
1
4 , falls x1 �= 0und y1 = x1 ± 1, x2 = y2,
1
2 , falls x1 �= 0und y1 = x1, x2 = y2,
0, sonst.
Anschaulich ist dies die symmetrische einfache Irrfahrt, bei der alle senkrechten
Übergänge außerhalb der senkrechten Koordinatenachse blockiert werden. Man zeige,
dass X nullrekurrent, irreduzibel und aperiodisch ist, und dass die unabhängige
Verschmelzung keine erfolgreiche Kopplung ist. ♣
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode
Es sei E eine endliche Menge und π ∈M1(E) mit π(x) :=π({x}) > 0 für jedes
x ∈ E. Wir betrachten das Problem, eine Zufallsvariable Y mit Verteilung π mit
dem Computer zu generieren. Dies ist etwa dann relevant, wenn E eine sehr große
Menge ist und Summen vom Typ �
x∈E
f(x)π(x) numerisch approximiert werden
sollen durch Schätzer n−1 �n i=1 f(Yi) (siehe Beispiel 5.21).
Wir nehmen an, dass unser Computer in der Lage ist, Realisierungen von u.i.v. Zufallsvariablen
U1,U2,... zu generieren, die uniform auf [0, 1] verteilt sind. Die Verteilung
π soll jedoch nicht leicht direkt herstellbar sein.
Metropolis-Algorithmus
Wir haben schon gesehen, wie man Markovketten mit dem Computer simulieren
kann (Beispiel 17.19). Die Idee ist nun, eine Markovkette X zu erzeugen, deren
Verteilung gegen π konvergiert. Wenn wir X lange genug laufen lassen, so wird
Xn ungefähr wie π verteilt sein. Gleichzeitig sollte die Kette so gestaltet sein, dass
in jedem Schritt immer nur wenige Übergänge wirklich möglich sind, sodass das
in Beispiel 17.19 beschriebene Verfahren auch effizient umsetzbar ist. (Natürlich
wäre eine Kette mit Übergangsmatrix p(x, y) =π(y) gegen π konvergent, aber das
Problem ließe sich hiermit nicht vereinfachen.) Die so beschriebene Methode des
Ziehens von π-verteilten Stichproben wird Markovketten Monte Carlo Methode
oder MCMC (für Markov chain Monte Carlo) genannt (siehe [18, 110, 115]).

18.3 Markovketten Monte Carlo Methode 377
Sei q die Übergangsmatrix einer beliebigen irreduziblen Markovkette auf E (mit
q(x, y) =0für möglichst viele y ∈ E). Wir erstellen hieraus die Metropolis-Matrix
(siehe [69, 112]).
Definition 18.19. Wir definieren eine stochastische Matrix p auf E durch
⎧ �
⎪⎨ q(x, y)min 1,
p(x, y) =
⎪⎩
π(y)q(y,x)
�
π(x)q(x,y) , falls x �= y, q(x, y) > 0,
0, falls x �= y, q(x, y) =0,
1 − �
z�=x p(x, z), falls x = y.
p heißt Metropolis-Matrix zu q und π.
Man sieht direkt, dass p reversibel ist, dass also für alle x, y ∈ E gilt
π(x) p(x, y) =π(y) p(y, x). (18.12)
Speziell ist π invariant (Nachrechnen!). Wir erhalten sofort den folgenden Satz.
Satz 18.20. Ist q irreduzibel, so ist die Metropolis-Matrix p zu q und π irreduzibel
mit eindeutiger Gleichgewichtsverteilung π. Ist zudem q aperiodisch, oder π nicht
die Gleichverteilung auf E,soistp aperiodisch.
Zur Simulation einer Kette X, die gegen π konvergiert, können wir nun, ausgehend
von einer Referenzkette, die Übergänge nach q macht, den Metropolis-
Algorithmus verwenden: Schlägt die Kette mit Übergangsmatrix q einen Übergang
vom aktuellen Zustand x nach y vor, so akzeptieren wir diesen Vorschlag mit Wahrscheinlichkeit
π(y)q(y, x)
∧ 1.
π(x)q(x, y)
Ansonsten bleiben wir in x stehen.
In der Definition von p taucht π nur in der Form des Quotienten π(y)/π(x) auf. In
vielen Fällen von Interesse ist dieser Quotient relativ leicht berechenbar, auch wenn
π(x) und π(y) selber nicht leicht zu bestimmen sind. Wir wollen dies an einem
Beispiel erläutern.
Beispiel 18.21 (Ising Modell). Das Ising Modell ist ein thermodynamisches (und
quantenmechanisches) Modell für Ferromagnetismus in Kristallen, das von folgenden
Annahmen ausgeht:
– Atome sitzen auf den Punkten des Gitters Λ (zum Beispiel Λ = {0,...,N−1} 2 ),
– jedes Atom i ∈ Λ hat ein magnetisches Moment (Spin): x(i) ∈{−1, 1}, das
entweder nach oben zeigt (x(i) =+1) oder nach unten (x(i) =−1),
– benachbarte Atome wechselwirken miteinander,

378 18 Konvergenz von Markovketten
– auf Grund thermischer Schwankungen ist der Zustand des Systems zufällig und
verteilt nach der so genannten Boltzmann-Verteilung π auf dem Zustandsraum
≥ 0.
E := {−1, 1} Λ ,abhängig von der inversen Temperatur β = 1
T
Wir definieren die lokale Energiefunktion, die das Energieniveau eines Atoms in
i ∈ Λ als Funktion des Zustands x des Gesamtsystems angibt
H i (x) = 1
2
�
j∈Λ: i∼j
{x(i)�=x(j)}.
Hierbei bedeutet i ∼ j, dassi und j Nachbarn sind in Λ (damit meinen wir koordinatenweise
mod N, wir sprechen auch von periodischen Randbedingungen). Die
Gesamtenergie (oder Hamiltonfunktion) des Systems im Zustand x ist die Summe
der Einzelenergien,
H(x) = �
H i (x) = �
i∈Λ
i∼j
{x(i)�=x(j)}.
Die Boltzmann-Verteilung π auf E := {−1, 1} Λ zur inversen Temperatur β ≥ 0
wird definiert durch
π(x) =Z −1
β exp(−βH(x)),
wobei die Zustandssumme Zβ = �
exp(−βH(x)) (oder Partitionsfunktion)
x∈E
die Normierungskonstante ist, die π zu einem W-Maß macht.
Makroskopisch beobachtbar ist nicht jeder einzelne Spin, sondern nur die mittlere
Magnetisierung, die sich als Betrag des Mittelwerts der einzelnen Spins ergibt
mΛ(β) = �
�
�
�
� 1 � �
�
π(x) � x(i) �
�#Λ
� .
x∈E
Wenn wir sehr große Systeme betrachten, sind wir nahe am so genannten thermodynamischen
Limes
m(β) := lim mΛ(β).
Λ↑Zd Man kann mit einem Konturargument, ähnlich wie bei der Perkolation, zeigen (siehe
[119]), dass (für d ≥ 2) eine Zahl βc = βc(d) ∈ (0, ∞) existiert, mit
�
> 0, falls β>βc,
m(β)
(18.13)
=0, falls β

1
0.8
0.6
0.4
0.2
Magnetisierung
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode 379
0
0.84 0.85 0.86 0.87 0.88
Inverse Temperatur
0.89 0.9 0.91 0.92
Abb. 18.4. Magnetisierungskurve im Ising-Modell auf einem 1000 × 1000-Gitter, per Computersimulation
berechnet. Die senkrechte Linie markiert die kritische Temperatur.
sind die Stoffe magnetisch, oberhalb sind sie es nicht. Dabei nimmt der Magnetisierungsgrad
bei fallender Temperatur noch zu. Das Ising-Modell, das wir jetzt untersuchen,
soll (zumindest in Computer-Simulationen) diesen Effekt einer kritischen
Temperatur nachbilden.
Wir definieren den Zustand xi,σ , bei dem an der Stelle i der Spin σ ∈{−1, +1}
eingesetzt wird
x i,σ �
σ, falls j = i,
(j) =
x(j), falls j �= i.
Außerdem definieren wir den Zustand x i , bei dem der Spin in i umgedreht wird
x i := x i,−x(i) . Als vorschlagende Kette, oder Referenzkette, wählen wir nun eine
Kette mit Übergangswahrscheinlichkeiten
q(x, y) =
�
1
#Λ , falls y = xi für ein i ∈ Λ,
0, sonst.
In Worten: Wir suchen einen Punkt i ∈ Λ zufällig (uniform verteilt) aus und drehen
den Spin an dieser Stelle um. Offenbar ist q irreduzibel.
Der Metropolis-Algorithmus zu dieser Kette akzeptiert den Vorschlag der Referenzkette
sicher, falls π(x i ) ≥ π(x). Andernfalls wird der Vorschlag mit Wahrscheinlichkeit
π(x i )/π(x) akzeptiert. Nun ist aber

380 18 Konvergenz von Markovketten
Abb. 18.5. Gleichgewichte des Ising-Modells für ein 800 × 800 Gitter. (schwarzer Punkt =
spin +1) Links: kälter als die kritische Temperatur (β >βc), rechts: wärmer.
Abb. 18.6. Ising-Modell (150 × 150 Gitter) unterhalb der kritischen Temperatur. Die Computersimulation
zeigt auch nach langer Laufzeit noch nicht das Gleichgewicht, sondern metastabile
Zustände, in denen man die Weiss’schen Bezirke gut sehen kann.
H(x i ) − H(x) = �
j: j∼i
j: j∼i
{x(j)�=−x(i)} − �
j: j∼i
= −2 �
�
{x(j)�=x(i)} − 1
�
.
2
{x(j)�=x(i)}
Also ist π(xi )/π(x) =exp � − 2β � �
j∼i {x(j)=x(i)} − 1
��
2 , und dieser Ausdruck
ist leicht zu berechnen, da er nur von den 2d Nachbarspins abhängt und zudem die
Kenntnis von Zβ nicht benötigt. Wir erhalten also als Metropolis-Übergangsmatrix

18.3 Markovketten Monte Carlo Methode 381
⎧ � �
1
⎪⎨ #Λ 1 ∧ exp 2β
p(x, y)=
⎪⎩
�
( {x(j)�=x(i)}−
j: j∼i
1
2 )
��
, falls y = xi für ein i ∈ Λ,
1 − �
i∈Λ p(x, xi ), falls x = y,
0, sonst.
Praktisch wird man diese Kette simulieren, indem man sich unabhängige Zufallsvariablen
I1,I2,... und U1,U2,... verschafft mit In ∼UΛ und Un ∼U [0,1]. Man
setzt nun
Fn(x) =
� �
In x , falls Un ≤ exp 2β �
j: j∼i ( {x(j)�=x(i)} − 1
2 )
�
,
x, sonst,
und definiert die Markovkette (Xn)n∈N durch Xn = Fn(Xn−1) für n ∈ N. ✸
Gibbs-Sampler
Wir betrachten eine Situation, in der, wie im obigen Beispiel, ein Zustand aus vielen
Komponenten x =(xi)i∈Λ ∈ E besteht, wobei Λ eine endliche Menge ist. Alternativ
zur Metropolis-Kette betrachten wir ein weiteres Verfahren, um eine Markovkette
mit gegebener invarianter Verteilung herzustellen. Beim so genannten Gibbs-
Sampler oder heat bath algorithm ist die Idee, den Zustand lokal an die stationäre
Verteilung anzupassen. Ist x der momentane Zustand, dann verfährt man wie folgt.
Für i ∈ Λ setze
x−i := {y ∈ E : y(j) =x(j) für j �= i}.
Definition 18.22 (Gibbs-Sampler). Sei q ∈M1(Λ) mit q(i) > 0 für jedes i ∈ Λ.
Die Übergangsmatrix p auf E mit
�
qi
p(x, y) =
π(xi,σ )
π(x−i) , falls y = xi,σ für ein i ∈ Λ,
0, sonst.
heißt Gibbs-Sampler zur invarianten Verteilung π.
In Worten verfährt eine nach p konstruierte Kette in jedem Schritt wie folgt:
(1) Wähle eine Komponente I gemäß einer Verteilung (qi)i∈Λ.
(2) Ersetze in x durch x I,σ mit Wahrscheinlichkeit π(x I,σ )/π(x−I).
Falls I = i ist, dann hat der neue Zustand also die Verteilung L(X|X−i = x−i),
wobei X eine Zufallsvariable mit Verteilung π bezeichnet. Man beachte, dass man
auch beim Gibbs-Sampler die Verteilung π nur bis auf die Normierungskonstante
zu kennen braucht (in einem etwas allgemeineren Rahmen lassen sich der Gibbs-
Sampler und der Metropolis Algorithmus als Spezialfälle ein und desselben Verfahren
auffassen). Für Zustände x und y, die sich nur in der i-ten Komponente unterscheiden,
gilt (wegen x−i = y−i)

382 18 Konvergenz von Markovketten
π(x) p(x, y) =π(x) qi
π(y)
π(x)
= π(y) qi = π(y) p(y, x).
π(x−i) π(y−i)
Der Gibbs-Sampler beschreibt also eine reversible Markovkette mit Gleichgewicht
π. Die Irreduzibilität des Gibbs-Samplers ist von Fall zu Fall zu klären.
Beispiel 18.23 (Ising Modell). Im oben beschriebenen Ising-Modell ist x−i =
{x i,−1 ,x i,+1 }. Daher ist für i ∈ Λ und σ ∈{−1, +1}
π(x i,σ� � x−i) =
π(x i,σ )
π({x i,−1 ,x i,+1 })
e −βH(xi,σ )
=
e−βH(xi,−1 ) + e−βH(xi,+1 )
� �
= 1+expβ
� H(x i,σ ) − H(x i,−σ ) ���−1 � �
= 1+exp2β
�
j: j∼i ( {x(j)�=σ} − 1
2 )
�� −1
Der Gibbs-Sampler des Ising-Modells ist also die Markovkette (Xn)n∈N0 mit Werten
in E = {−1, 1} Λ und mit Übergangsmatrix
⎧ � �
⎨ 1
#Λ 1+exp 2β
p(x, y)=
⎩
�
( {x(j)�=x(i)}−
j: j∼i
1
2 )
��−1 , falls y = xi für ein i ∈ Λ,
0, sonst.
✸
Perfekte Simulation
Die bislang betrachtete MCMC Methode baut auf dem Prinzip Hoffnung: Wir lassen
die Kette lange laufen und hoffen, dass sie sich in einem Zustand nahe dem
Gleichgewicht befindet. Selbst wenn wir die Konvergenzgeschwindigkeit bestimmen
können (und das ist oft nicht ganz leicht – wir kommen dazu in Abschnitt 18.4),
werden wir doch nie einen Zustand bekommen, der exakt wie das Gleichgewicht
verteilt ist.
Tatsächlich ist es, zumindest theoretisch, möglich, ein der MCMC Methode verwandtes
Verfahren anzugeben, das perfektes Ziehen von Stichproben nach der Verteilung
π ermöglicht, sogar, wenn wir über die Konvergenzgeschwindigkeit gar
nichts wissen. Hierzu nehmen wir an, dass F1,F2,... u.i.v. zufällige Abbildungen
E → E sind mit P[F (x) =y] =p(x, y) für alle x, y ∈ E. Wir hatten gesehen,
dass wir die Markovkette X mit Start in x durch Xn = Fn ◦ Fn−1 ◦···◦F1(x)
konstruieren können.
Nun gilt F n 1 (x) :=F1◦ ...◦ Fn(x) D = Fn ◦ ...◦ F1(x). Also gilt P[F n 1 (x) =
y] n→∞
−→ π(y) für jedes y. Ist nun aber F n 1 die konstante Abbildung, etwa F n 1 ≡ x∗ .

18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
(für ein zufälliges x ∗ ), so ist auch F m 1 ≡ x ∗ für jedes m ≥ n. Wenn man also
durch geschickte Wahl der Verteilung der Fn erreichen kann, dass die Stoppzeit
T := inf{n ∈ N : F n 1 ist konstant} fast sicher endlich ist (und das geht immer), so
ist P[F T 1 (x) =y] =π(y) für alle x, y ∈ E. Ein einfacher Algorithmus für dieses
Verfahren sieht so aus:
(1) Setze F ← idE und n ← 0.
(2) Setze n ← n +1. Erzeuge Fn und setze F ← F ◦ Fn.
(3) Falls F nicht die konstante Abbildung ist, gehe zu (2).
(4) Ausgabe F (∗).
Dieses Verfahren wird Kopplung aus der Vergangenheit (coupling from the past)
genannt und geht auf Propp und Wilson [130] zurück (siehe auch [54, 55, 158, 129,
131, 91]). Interessante Simulationen sowie ein Forschungsüberblick finden sich im
Internet unter http://www.dbwilson.com/.
Praktisch ergeben sich zwei Probleme: Es muss die komplette Abbildung Fn erzeugt
und mit F verknüpft werden. Die Rechenzeit dafür ist mindestens von der
Ordnung der Größe des Raums E. Außerdem erfordert das Prüfen von F auf Konstanz
einen Rechenaufwand von gleicher Größenordnung. Das Verfahren lässt sich
effektiv nur durchführen, wenn man mehr Struktur zur Verfügung hat, etwa, wenn
E eine Halbordnung mit einem kleinsten Element 0 und einem größten Element 1
besitzt (wie beim Ising-Modell) und man die Abbildungen Fn so wählen kann, dass
sie fast sicher monoton wachsend sind. In diesem Fall braucht man immer nur F (0)
und F (1) zu berechnen, und F ist konstant, falls F (0) =F (1).
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit
Bei den bisherigen Betrachtungen ist die Frage nach der Geschwindigkeit der Konvergenz
der Verteilung PXn gegen π ignoriert worden. Für praktische Anwendungen
ist aber dies genau die wichtigste Frage. Wir wollen hier nicht auf die Details
eingehen, sondern das Thema nur kurz anreißen. Ohne Einschränkung sei
E = {1,...,N}. Istpreversibel (Gleichung (18.12)), so wird durch f ↦→ pf ein
symmetrischer linearer Operator auf L2 (E,π) definiert (Übung!). Alle Eigenwerte
λ1,...,λN (mit Mehrfachnennung je nach Vielfachheit) sind reell und dem Betrage
nach nicht größer als 1, dapstochastisch ist. Wir können also die Eigenwerte dem
Betrage nach ordnen: λ1 =1≥|λ2| ≥... ≥|λN |. Istpirreduzibel und aperiodisch,
so ist |λ2| < 1. Seiμ1 = π, μ2,...,μN eine Orthonormalbasis aus Links-
Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ1,...,λN .Für jedes μ = α1μ1 + ...+ αN μN
ist dann μpn = �N i=1 λni αi μi, also
�μp n − π�TV ≤ C|λ2| n
(18.14)

384 18 Konvergenz von Markovketten
für eine Konstante C (die nicht einmal von μ abhängt). Eine ähnliche Formel gilt
für den Fall, wo p nicht reversibel ist, wobei Korrekturterme der Ordnung maximal
n V −1 auftreten. Dabei ist V die Größe des größten Jordan-Kästchens zum Eigenwert
λ2 in der Jordan’schen Normalform von p, speziell also höchstens die Vielfachheit
des betragsmäßig zweitgrößten Eigenwertes.
Die Konvergenzgeschwindkeit ist also exponentiell mit einer Rate, die durch die
Spektrallücke 1 −|λ2| zum zweitgrößten Eigenwert von p bestimmt ist. Die analytische
Bestimmung der Spektrallücke ist für große Räume E häufig extrem schwer.
Beispiel 18.24. Sei r ∈ (0, 1) und N ∈ N, N ≥ 2,sowieE = {0,...,N− 1}.Wir
betrachten die Übergangsmatrix
⎧
⎨ r, falls j = i +1(modN),
p(i, j) = 1 − r,
⎩
0,
falls j = i − 1(modN),
sonst.
p ist die Übergangsmatrix der einfachen (asymmetrischen) Irrfahrt auf dem diskreten
Torus Z/(N), die mit Wahrscheinlichkeit r einen Schritt nach rechts springt, mit
Wahrscheinlichkeit 1 − r hingegen einen Schritt nach links springt. Offenbar ist p
irreduzibel, und p ist genau dann aperiodisch, wenn N ungerade ist. Offensichtlich
ist die Gleichverteilung UE die eindeutige invariante Verteilung.
Fall 1: N ungerade. Man prüft leicht nach, dass p die Eigenwerte
λk := rθk +(1− r) θk =cos � 2πk
N
� +(2r − 1) i sin � 2πk
N
� , k =0,...,N − 1,
hat, wobei θk = e2πi k/N , k =0,...,N − 1, dieN-ten Einheitswurzeln sind, und
die zugehörigen (Rechts-) Eigenvektoren
x k := � θ 0 k,θ 1 k,...,θ N−1�
k .
Die Beträge der Eigenwerte bekommen wir durch |λk| = f(2πk/N), wobei
f(ϑ) = � 1 − 4r(1 − r)sin(ϑ) 2 für ϑ ∈ R.
Da N ungerade ist, ist |λk| maximal (außer für k =0)für k = N−1
2 und k = N+1
2
mit dem Wert γ := � 1 − 4r(1 − r)sin(π/N) 2 . Da die Eigenwerte alle unterschiedlich
sind, hat jeder Eigenwert die Vielfachheit 1, und es gibt ein C < ∞
mit
für alle n ∈ N, μ∈M1(E).
�μp n −UE�TV ≤ Cγ n
Fall 2: N gerade. In diesem Fall ist p nicht aperiodisch, nichtsdestoweniger haben
die Eigenwerte und Eigenvektoren die selbe Gestalt wie im ersten Fall. Um eine
aperiodische Kette zu erhalten, bilden wir für ε>0 die Übergangsmatrix
pε := (1 − ε)p + εI,

18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
wo I die Einheitsmatrix auf E ist. pε beschreibt die Irrfahrt auf E, die mit Wahrscheinlichkeit
ε am Ort stehen bleibt und mit Wahrscheinlichkeit 1−ε einen Sprung
gemäß p macht. Offenbar ist pε irreduzibel und aperiodisch. Die Eigenwerte sind
λε,k =(1− ε)λk + ε, k =0,...,N − 1,
mit zugehörigen Eigenvektoren x k wie oben. Offenbar ist λε,0 =1, und λ ε,N/2 =
2ε − 1 ist der betragsmäßig zweitgrößte Eigenwerte, falls ε>0 sehr klein ist. Für
größere ε ist |λε,1| > |λ ε,N/2|. Genauer gilt: Setzen wir
ε0 :=
(1 − (2r − 1) 2 )sin(2π/N) 2
(1 − (2r − 1) 2 )sin(2π/N) 2 + 2 cos(2π/N) ,
so ist der Betrag γε des betragsmäßig zweitgrößten Eigenwertes
und
γε = |λε,1|
=
� �(1 − ε)cos � 2π
N
γε = |λ ε,N/2| =1− 2ε, falls ε ≤ ε0,
� �2 � � ��
2π 2
+ ε + (1 − ε)(2r − 1) sin N
falls ε ≥ ε0.
Es ist nicht schwer zu zeigen, dass ε ↦→ |λε,N/2| monoton fallend ist und ε ↦→ |λε,1|
monoton wachsend. Daher ist γε minimal für ε = ε0.
Es gibt also ein C

386 18 Konvergenz von Markovketten
wobei m(μ) = � pN(x) μ(dx) ist, und die Wahrscheinlichkeit pN (x), dass die in x
gestartete Kette N trifft, gegeben ist durch
⎧
⎪⎨
1 −
pN (x) =
⎪⎩
� �
1−r x
r
1 − � � , falls r �=
1−r N
r
1
2 ,
x
1
, falls r =
N 2 .
Wie schnell geht nun die Konvergenz in (18.15)? Auch hier ist die Konvergenz
exponentiell schnell, und die Rate wird wieder durch den zweitgrößten Eigenwert
von p bestimmt.
Wir wollen nun also das Spektrum von p bestimmen. Klar sind x0 =(1, 0,...,0)
und xN =(0,...,0, 1) Links-Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Damit nun x =
(x0,...,xN ) ein Links-Eigenvektor zum Eigenwert λ ist, müssen die folgenden
Gleichungen erfüllt sein:
und
λxk = rxk−1 +(1− r)xk+1 für k =2,...,N − 2, (18.16)
λxN−1 = rxN−2. (18.17)
Gelten (18.16) und (18.17) für x1,...,xN−1, so setzen wir x0 := 1−p
λ−1 x1 und
xN := p
λ−1 xN−1 und erhalten dadurch tatsächlich xp = λx. Wir machen den
Ansatz
wobei
λ =(1− r)ρ(θ + θ) und xk = ϱ k (θ k − θ k ) für k =1,...,N − 1,
ρ = � r/(1 − r) und θ ∈ C \{−1, +1} mit |θ| =1.
Es gilt also θθ =1und (1 − r)ρ k+1 = rρ k−1 . Daher ist für jedes k =2,...,N− 1
λxk =(1− r) ρ k+1 (θ k − θ k )(θ + θ)
=(1− r) ρ k+1� (θ k+1 − θ k+1 )+θθ (θ k−1 − θ k−1 ) �
= rρ k−1 (θ k−1 − θ k−1 )+(1− r) ρ k+1 (θ k+1 − θ k+1 )
= rxk−1 +(1− r) xk+1,
das heißt, es gilt (18.16). Die selbe Rechnung mit k = N − 1 zeigt, dass (18.17)
genau dann gilt, wenn θ N −θ N =0ist, also wenn θ 2N =1gilt. Wir erhalten also für
θ die N − 1 unterschiedlichen Werte (man beachte, dass die komplex konjugierten
der hier angegeben Werte zu den selben λn führen)
θn = e (n/N)πi
Die zugehörigen Eigenwerte sind
�
nπ
�
λn = σ cos
N
für n =1,...,N − 1.
für n =1,...,N − 1.

Dabei ist die Varianz des einzelnen Irrfahrt-Schrittes:
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 387
σ 2 := 4r(1 − r). (18.18)
Da alle Eigenwerte reell sind, sind die zugehörigen Eigenvektoren gegeben durch
x n � �n/2 r
�
nπ
�
k =2
sin , k =1,...,N − 1.
1 − r N
Für n =1und n = N − 1 ist |λn| = σ cos � �
π
N der betragsmäßig zweitgrößte
Eigenwert. Es folgt, dass es ein C>0 gibt, sodass für jedes μ ∈M1(E) gilt
μp n � �
π
��n ({1,...,N − 1}) ≤ C σ cos
für jedes n ∈ N.
N
Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel bis zur n-ten Runde
noch nicht entschieden ist, ist maximal C � σ cos(π/N) �n .
Ein alternativer Zugang zu den Eigenwerten geht über die Nullstellen des charakteristischen
Polynoms
χN(x) =det(p − xI), x ∈ R.
Man sieht sofort, dass χ1(x) = (1 − x) 2 und χ2(x) = −x(1 − x) 2 gilt. Über
die Entwicklungsformel der Determinante durch Streichen von Zeilen und Spalten
erhalten wir die Rekursionsformel
χN(x) =−xχN−1(x) − r(1 − r) χN−2(x). (18.19)
Wir erhalten als Lösung (Nachrechnen!)
wobei
χN(x) =(−1) N−1 (σ/2) N−1 (1 − x) 2 UN−1
Um(x) :=
k=1
�
(−1) k
� �
m − k
(2x)
k
m−2k
⌊m/2⌋
k=0
� x/σ � , (18.20)
das m-te Chebyshev Polynom zweiter Art bezeichnet.
Für x ∈ (−σ, σ) kann man mit Hilfe der de Moivre’schen Formel zeigen, dass
χN(x) =(−1) N−1 (σ/2) N−1 (1 − x) 2 sin � N arccos � x/σ ��
�
1 − (x/σ) 2
=(1−x) 2
N−1 � � �
πk
� �
(18.21)
σ cos − x .
N
Neben der doppelten Nullstelle 1 erhalten wir als Nullstellen
σ cos � πk/N), k =1,...,N − 1. ✸

388 18 Konvergenz von Markovketten
Übung 18.4.1. Man zeige (18.20). ♣
Übung 18.4.2. Man zeige (18.21). ♣
Übung 18.4.3. Sei ν(dx) = 2
√
π 1 − x2 [−1,1](x) dx. Man zeige, dass die Chebyshev
Polynome zweiter Art bezüglich ν orthogonal sind:
�
UmUn dν = m=n. ♣
⎛
⎞
1/2 1/3 1/6
⎜
⎟
Übung 18.4.4. Sei E = {1, 2, 3} und p = ⎝ 1/3 1/3 1/3⎠.
Man bestimme die
0 3/4 1/4
invariante Verteilung und die exponentielle Konvergenzrate. ♣
Übung 18.4.5. Sei E = {0,...,N − 1}, r ∈ (0, 1) und
⎧
⎨ r, falls j = i +1(modN),
p(i, j) = 1 − r,
⎩
0,
falls j = i (mod N),
sonst.
Man zeige, dass p die Übergangsmatrix einer irreduziblen, aperiodischen Irrfahrt ist,
bestimme die invariante Verteilung und bestimme die exponentielle Konvergenzgeschwindigkeit.
♣
Übung 18.4.6. Sei N ∈ N und E = {0, 1} N der N-dimensionale Hyperkubus, das
heißt, zwei Punkte x, y ∈ E sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sie
sich in genau einer Koordinate unterscheiden. Sei p die Übergangsmatrix der Irrfahrt
auf E, die mit Wahrscheinlichkeit ε>0 am Ort bleibt, mit Wahrscheinlichkeit 1−ε
hingegen zu einem (uniform gewählten) zufälligen Nachbarpunkt springt.
Man beschreibe p formal, zeige dass p aperiodisch und irreduzibel ist, und bestimme
die invariante Verteilung sowie die exponentielle Konvergenzgeschwindigkeit. ♣

19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Wir betrachten eine symmetrische einfache Irrfahrt auf Z2 . Nach dem Satz von
Pólya (Satz 17.39) ist diese Irrfahrt rekurrent. Was passiert aber, wenn wir eine
einzelne Kante aus dem Gitter L2 von Z2 entfernen? Intuitiv sollte dies nichts an
der Rekurrenz ändern. Die in Kapitel 17.5 verwendeten Rechnungen sind allerdings
in dieser Hinsicht nicht sehr robust und können hier nicht mehr zum Beweis der
Rekurrenz benutzt werden. Noch unübersichtlicher wird die Situation, wenn wir die
Irrfahrt auf die obere Halbebene {(x, y) : x ∈ Z,y ∈ N0} von Z2 beschränken. Wie
sieht es hier mit der Rekurrenz aus? Oder wir betrachten die Situation von Kantenperkolation
auf Z2 .Wirfixieren einen Parameter p ∈ [0, 1] und definieren jede
Kante von L2 mit Wahrscheinlichkeit p als offen und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p
als geschlossen. Nachdem dies im ersten Schritt geschehen ist, wird die Irrfahrt auf
dem zufälligen Teilgraphen der offenen Kanten betrachtet. Der Irrfahrer wählt in jedem
Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der benachbarten offenen Kanten
aus. Für p> 1
2 existiert genau eine unendlich große Zusammenhangskomponente
offener Kanten (Satz 2.47). Ist die Irrfahrt auf dieser (zufälligen) Komponente
rekurrent oder transient?
Ziel dieses Kapitels ist es, einen Zusammenhang zwischen gewissen Markovketten
und elektrischen Netzwerken herzustellen, der
– es in manchen Fällen erlaubt, zwischen Rekurrenz und Transienz anhand von
leicht berechenbaren Größen zu entscheiden,
– in anderen Fällen ein Vergleichskriterium bietet, das besagt, dass eine Irrfahrt auf
einem Teilgraphen rekurrent ist, wenn die Irrfahrt auf dem ursprünglichen Graphen
rekurrent ist. Damit lässt sich für alle oben betrachteten Irrfahrten Rekurrenz
nachweisen.
Dieses Kapitel lehnt sich an [109] und [36] an.
19.1 Harmonische Funktionen
Sei in diesem Kapitel stets E eine abzählbare Menge und X eine diskrete Markovkette
auf E mit Übergangsmatrix p und Greenfunktion G.

390 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Definition 19.1. Sei A ⊂ E. Eine Funktion f : E → R heißt harmonisch auf
E \ A, falls pf(x) = �
y∈E p(x, y)f(y) existiert und pf(x) =f(x) für jedes
x ∈ E \ A gilt.
Satz 19.2 (Superpositionsprinzip). Sind f und g harmonisch auf E \A und α, β ∈
R, soistauchαf + βg harmonisch auf E \ A.
Beweis. Trivial. ✷
Beispiel 19.3. Sei X transient und a ∈ E ein transienter Zustand (also ein nicht
absorbierender). Dann ist f(x) :=G(x, a) harmonisch auf E \{a}: Für x �= a ist
∞�
pf(x) =p p n ∞�
(x, a) = p n (x, a) =G(x, a) − {a}(x) =G(x, a). ✸
n=0
n=1
Beispiel 19.4. Für jedes x ∈ E sei τx := inf{n >0: Xn = x}. Für A ⊂ E sei
τ := τA := inf
x∈A τx
die Zeit des ersten Eintritts in A. Wir nehmen an, dass A so gewählt ist, dass
Px[τA < ∞] =1für jedes x ∈ E. Seig : A → R eine beschränkte Funktion.
Wir definieren
�
g(x), falls x ∈ A,
f(x) :=
(19.1)
Ex[g(Xτ )], falls x ∈ E \ A.
Dann ist f harmonisch in E \ A. Wir geben hierfür zwei Beweise an.
1. Beweis Nach der Markoveigenschaft ist für x �∈ A und y ∈ E
�
Ex g(Xτ ) � �X1 = y � �
g(y),
=
Ey[g(Xτ )],
�
falls y ∈ A
= f(y).
falls y ∈ E \ A
Also ist für x ∈ E \ A
f(x) =Ex[g(Xτ )] = �
y∈E
�
Ex g(Xτ ); X1 = y �
= � �
p(x, y) Ex g(Xτ ) � �X1 = y � = �
p(x, y) f(y) =pf(x).
y∈E
2. Beweis Wir verändern die Markovkette, indem wir einen Zustand Δ als Falle
hinzufügen. Es gelte also ˜ E = E ∪{Δ} und
⎧
⎪⎨
p(x, y), falls x ∈ E \ A, y �= Δ,
˜p(x, y) =
⎪⎩
0,
1,
falls x ∈ E \ A, y = Δ,
falls x ∈ A ∪{Δ}, y= Δ.
(19.2)
y∈E

19.1 Harmonische Funktionen 391
Die so erzeugte Markovkette ˜ X ist transient mit Δ als einzigem absorbierenden
Zustand. Weiterhin ist genau dann pf = f auf E \ A, wenn˜pf = f auf E \ A ist.
Wegen ˜ G(y, y) =1für y ∈ A ist (vergleiche Satz 17.34)
Px[Xτ = y] =Px[˜τy < ∞] = ˜ F (x, y) = ˜ G(x, y) für alle x ∈ E \ A, y ∈ A.
Nun ist x ↦→ ˜ G(x, y) harmonisch auf E \ A. Nach dem Superpositionsprinzip ist
auch
f(x) = �
˜G(x, y) g(y) (19.3)
y∈A
harmonisch auf E \ A. Wegen dieser Darstellung heißt, in Analogie zur kontinuierlichen
Potentialtheorie, ˜ G die Greenfunktion für die Gleichung (p − I)f =0auf
E \ A. ✸
Definition 19.5. Wir nennen das Gleichungssystem
(p − I)f(x) =0, für x ∈ E \ A,
f(x) =g(x), für x ∈ A,
das zu p − I gehörige Dirichlet-Problem auf E \ A mit Randwerten g auf A.
(19.4)
Im Folgenden wollen wir stets annehmen, dass F (x, y) > 0 ist für jedes x ∈ E \ A
und jedes y ∈ A. Speziell ist dies natürlich erfüllt, wenn X irreduzibel ist.
Satz 19.6 (Maximumprinzip). Sei f eine harmonische Funktion auf E \ A. Gibt
es ein x0 ∈ E \ A mit f(x0) =sup x∈E f(x), soistf konstant.
Beweis. Für n ∈ N sei Gn := � x ∈ E : pn (x0,x) > 0 � . Nach Voraussetzung ist
f(x0) =p n f(x0) = �
p n (x0,x)f(x) ≤ f(x0),
x∈Gn
also f(x) =f(x0) für jedes x ∈ Gn. WegenF (x0,x) > 0 für jedes x ∈ E, ist
� ∞
n=1 Gn = E, also f(x) =f(x0) für jedes x ∈ E. ✷
Satz 19.7 (Eindeutigkeitssatz für harmonische Funktionen). Ist E \ A endlich
und sind f1 und f2 harmonisch auf E \ A und f1 = f2 auf A, dann ist f1 = f2.
Mit anderen Worten: Das Dirichlet-Problem (19.4) besitzt eine eindeutige Lösung,
die durch (19.3) (oder äquivalent (19.1)) gegeben ist.
Beweis. Nach dem Superpositionsprinzip ist f := f1−f2 harmonisch auf E\A mit
f � � ≡ 0.Istsupx∈E f(x) > 0, so gibt es ein x0 ∈ E\A mit f(x0) =supx∈E f(x).
A
Nach dem Maximumprinzip ist dann aber f konstant und damit f ≡ 0. ✷

392 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Übung 19.1.1. Sei p die substochastische E × E Matrix, die durch p(x, y) =
˜p(x, y), x, y ∈ E, (mit ˜p aus (19.2)) definiert wird, also p(x, y) =p(x, y) x∈E\A,
und sei I die Einheitsmatrix auf E. Man zeige:
(i) I − p ist invertierbar.
(ii) Setzen wir G := (I − p) −1 ,soistG(x, y) = ˜ G(x, y) für alle x, y ∈ E \ A und
G(x, y) = {x=y}, falls x ∈ A. Speziell ist
G(x, y) =Px[XτA = y] für x ∈ E \ A und y ∈ A. ♣
19.2 Reversible Markovketten
Definition 19.8. Die Markovkette X heißt reversibel bezüglich des Maßes π, falls
π({x}) p(x, y) =π({y}) p(y, x) für alle x, y ∈ E. (19.5)
Die Gleichung (19.5) heißt auch die Gleichung der detaillierten Balance (detailed
balance).
X heißt reversibel, falls es ein π gibt, bezüglich dessen X reversibel ist.
Bemerkung 19.9. Ist X reversibel bezüglich π, dannistπ ein invariantes Maß für
X,denn
πp({x}) = �
π({y}) p(y, x) = �
π({x}) p(x, y) =π({x}).
y∈E
Nach Bemerkung 17.50 ist π daher bis auf konstante Vielfache eindeutig. ✸
Beispiel 19.10. Sei (E,K) ein Graph mit Eckenmenge (oder Menge der Knoten) E
und Kantenmenge K (siehe Seite 64). Mit 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∈K bezeichnen wir eine
(ungerichtete) Kante, die x und y verbindet. Sei C := (C(x, y), x,y∈ E) eine
Familie von Gewichten mit C(x, y) =C(y, x) ≥ 0 für alle x, y ∈ E und
C(x) := �
C(x, y) < ∞ für jedes x ∈ E.
y∈E
Setzen wir p(x, y) := C(x,y)
C(x) für alle x, y ∈ E, soistX reversibel bezüglich
π({x}) =C(x). Es gilt nämlich
π({x}) p(x, y) =C(x)
C(x, y)
C(x)
= C(y, x) =C(y)
y∈E
= C(x, y)
C(y, x)
C(y)
= π({y}) p(y, x). ✸

19.3 Elektrische Netzwerke 393
Definition 19.11. Seien (E,K), C und X wie in Beispiel 19.10. Dann heißt X Irrfahrt
auf E mit Gewichten C. Ist speziell C(x, y) = {〈x,y〉∈K}, dann heißt X
einfache Irrfahrt auf (E,K).
Die Irrfahrt mit Gewichten C ist also reversibel. Es gilt aber auch die Umkehrung.
Satz 19.12. Ist X eine reversible Markovkette, so ist X eine Irrfahrt auf E mit
Gewichten C(x, y) =p(x, y) π({x}), falls π ein invariantes Maß ist. Da π bis auf
Vielfache eindeutig ist, sind die Gewichte bis auf konstante Vielfache festgelegt.
Beweis. Klar. ✷
Übung 19.2.1. Man zeige: p ist genau dann reversibel bezüglich π, wenn die lineare
Abbildung f ↦→ pf in L 2 (π) selbstadjungiert ist. ♣
Übung 19.2.2. Sei K ∈ N und Zahlen W1,...,WK ∈ R und β>0 gegeben. Wir
definieren
p(i, j) := 1
Z exp(−βWj) für alle i, j =1,...,K,
wobei Z := �K j=1 exp(−βWj) die Normalisierungskonstante ist.
In K (nummerierten) Urnen befinden sich insgesamt N ununterscheidbare Kugeln.
In jedem Zeitschritt wird (uniform) eine der N Kugeln zufällig ausgesucht. Ist i
die Nummer der Urne, aus der die Kugel gezogen wurde, so wird die Kugel mit
Wahrscheinlichkeit p(i, j) in die Urne mit der Nummer j gelegt.
(i) Man gebe eine formale Beschreibung als Markovkette an.
(ii) Man bestimme den invarianten Zustand π und zeige, dass die Kette reversibel
bezüglich π ist. ♣
19.3 Elektrische Netzwerke
Ein (endliches) elektrisches Netzwerk (E,C) ist ein (endliches) System E von
Punkten, die paarweise mit Drähten der Leitfähigkeit (conductivity) C(x, y) ∈
[0, ∞), x, y ∈ E verbunden sind. Wir interpretieren C(x, y) =0so, dass es ” keinen
Draht zwischen x und y“ gibt. Symmetrie erfordert C(x, y) =C(y, x). Mit
R(x, y) =
1
∈ (0, ∞]
C(x, y)
bezeichnen wir den Widerstand der Verbindung 〈x, y〉. Ist(E,K) ein Graph und
C(x, y) = {〈x,y〉∈K}, so bezeichnen wir (E,C) als Einheitsnetzwerk auf (E,K).

394 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Sei nun A ⊂ E. Wir legen an den Punkten x0 ∈ A jeweils elektrische Spannungen
u(x0) an (zum Beispiel durch Anschluss einer oder mehrerer Batterien). Wie groß
ist dann die Spannung u(x) in x ∈ E \ A?
Definition 19.13. Eine Abbildung I : E × E → R heißt ein Fluss auf E \ A, falls
sie antisymmetrisch ist (I(x, y) =−I(y, x)) und das Kirchhoff’sche Gesetz erfüllt:
wobei
I(x) =0, für x ∈ E \ A,
I(A) =0,
I(x) := �
I(x, y) und I(A) := �
I(x).
y∈E
x∈A
(19.6)
Definition 19.14. Ein Fluss I : E × E → R auf E \ A heißt elektrischer Fluss,
falls es eine Funktion u : E → R gibt, bezüglich der das Ohm’sche Gesetz gilt:
I(x, y) =
u(x) − u(y)
R(x, y)
für alle x, y ∈ E, x �= y.
Wir nennen dann I(x, y) die Stromstärke von x nach y und u(x) die elektrische
Spannung in x.
Satz 19.15. Eine elektrische Spannung u in (E,C) ist harmonisch auf E \ A:
u(x) = � 1
C(x, y) u(y) für jedes x ∈ E \ A.
C(x)
y∈E
Speziell ist die elektrische Spannung durch Angabe der Werte auf A festgelegt,
wenn das Netzwerk irreduzibel ist.
Beweis. Nach dem Ohm’schen und dem Kirchhoff’schen Gesetz ist
u(x) − � C(x, y)
C(x, y)
1 �
u(y) =� (u(x) − u(y)) = I(x, y) =0.
C(x) C(x) C(x)
y∈E
y∈E
y∈E
Nach dem Eindeutigkeitssatz für harmonische Funktionen (Satz 19.7) ist u hierdurch
und durch die Werte auf A eindeutig festgelegt. ✷
Korollar 19.16. Sei X eine Markovkette auf E mit Kantengewichten C. Dann ist
u(x) =Ex[u(XτA )].
Betrachte A = {x0,x1}, x0 �= x1, und u(x0) =0, u(x1) =1.DannistI(x1) der
gesamte Stromfluss in das Netzwerk und −I(x0) der gesamte Stromfluss aus dem
Netzwerk. Das Kirchhoff’sche Gesetz besagt, dass der Stromfluss divergenzfrei ist,

19.3 Elektrische Netzwerke 395
und dass in Summe genauso viel Strom rein- wie rausfließt. Mit anderen Worten
eben I(x0)+I(x1) =0.
In Anlehnung an das Ohm’sche Gesetz definieren wir den effektiven Widerstand
zwischen x0 und x1 durch
Reff(x0 ↔ x1) = u(x1) − u(x0)
I(x1)
= 1 1
= −
I(x1) I(x0)
1
und die effektive Leitfähigkeit durch Ceff(x0 ↔ x1) = Reff (x0↔x1) .DaI und u
eindeutig durch die Angabe von x0, x1 und C festgelegt sind, sind Ceff(x0 ↔ x1)
und Reff(x0 ↔ x1) Größen, die sich aus C berechnen lassen.
Wir betrachten nun zwei Mengen A0,A1 ⊂ E mit A0 ∩ A1 = ∅, A0,A1 �= ∅,
und setzen u(x) =0für jedes x ∈ A0 sowie u(x) =1für jedes x ∈ A1. Sei
I der zugehörige elektrische Fluss. In Analogie zu oben treffen wir die folgende
Definition.
Definition 19.17. Wir nennen Ceff(A0 ↔ A1) :=I(A1) die effektive Leitfähigkeit
zwischen A0 und A1 und Reff(A0 ↔ A1) := 1
zwischen A0 und A1.
I(A1) den effektiven Widerstand
Beispiel 19.18. (i) Sei E = {0, 1, 2} mit C(0, 2) = 0, und A0 = {x0} = {0},
A1 = {x1} = {2}. Wir setzen u(0) = 0 und u(2) = 1. Dann ist (mit p(x, y) =
C(x, y)/C(x))
u(1) = 1 · p(1, 2) + 0 · p(1, 0) =
Der gesamte Fluss ist
I({2}) =u(1) C(0, 1) =
=
C(1, 2)
C(1, 2) + C(1, 0) =
R(1, 0)
R(1, 0) + R(1, 2)
Reff(1 ↔ 0)
Reff(1 ↔ 0) + Reff(1 ↔ 2) .
1
R(0, 1) + R(1, 2) =
1
1 1
C(0,1) + C(1,2)
Entsprechend ist Reff(0 ↔ 2) = 1
I({2}) = R(0, 1) + R(1, 2) und Ceff(0 ↔ 2) =
�
1
C(0,1)
+ 1
C(1,2)
� −1.
(ii) (Reihenschaltung) Sei n ∈ N, n ≥ 2 und E = {0,...,n} mit Leitfähigkeiten
C(k − 1,k) > 0 und C(k, l) =0, falls |k − l| > 1. Wie in (i) bekommen wir für
k ∈{1,...,n− 1}
Reff(0 ↔ k)
u(k) =
Reff(0 ↔ k)+Reff(k ↔ n) .
Induktiv (in n) erhalten wir also
.

396 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
n−1 �
Reff(0 ↔ n) = R(k, k +1).
k=0
Wir erhalten so eine Aussage über die Ruinwahrscheinlichkeit der korrespondierenden
Markovkette X auf {0,...,n} durch
Pk[τn

x =0
0
u(0)=0
R
R
R
R
R
R
1
2
3
4
5
6
19.3 Elektrische Netzwerke 397
x =1
1
u(6)=1
Abb. 19.2. Parallelschaltung von sechs Widerständen. Der effektive Gesamtwiderstand be-
trägt Reff(0 ↔ 1) = (R −1
1
+ ...+ R−1
6 )−1 .
Satz 19.20 (Energieerhaltungssatz). Sei A = A0 ∪ A1, und sei I ein Fluss (das
heißt eine antisymmetrische Funktion, die dem Kirchhoff’schen Gesetz genügt, nicht
aber notwendigerweise dem Ohm’schen Gesetz) auf E \ A. Ferner sei w : E → R
eine Funktion, die auf A0 und A1 jeweils konstant ist: w � � ≡: w0 und w
A0
� � ≡:
A1
w1. Dann gilt
(w1 − w0)I(A1) = 1 �
(w(x) − w(y)) I(x, y).
2
x,y∈E
Dies ist die diskrete Version des Satzes von Gauß für (wI), wobei man beachte,
dass das Kirchhoff’sche Gesetz besagt, dass I auf E \ A divergenzfrei ist.
Beweis. Wir berechnen
�
(w(x) − w(y))I(x, y) = � �
w(x) �
x,y∈E
x∈E
y∈E
= � �
w(x) �
x∈A
y∈E
Definition 19.21. Sei I ein Fluss auf E \ A.Mit
�
I(x, y)
�
I(x, y)
− �
y∈E
− �
y∈A
�
w(y) �
x∈E
�
w(y) �
x∈E
�
I(x, y)
�
I(x, y)
= w0I(A0)+w1I(A1)−w0(−I(A0))−w1(−I(A1))
=2(w1−w0)I(A1). ✷
LI := L C I := 1
2
�
x,y∈E
I(x, y) 2 R(x, y)
bezeichnen wir die Leistung von I im Netzwerk (E,C).

398 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Satz 19.22 (Thomson’sches oder Dirichlet’sches Prinzip der Leistungsminimierung).
Seien I,J Einheitsflüsse von A1 nach A0 (das heißt I(A1) =J(A1) =1). I
sei zudem ein elektrischer Fluss (erfülle also das Ohm’sche Gesetz mit einer Spannungsfunktion
u, die auf A0 und A1 jeweils konstant ist). Dann gilt
LI ≤ LJ
mit Gleichheit genau dann, wenn I = J ist. Speziell ist der elektrische Einheitsfluss
eindeutig festgelegt.
Beweis. Sei D = J − I �≡ 0 der Differenzfluss. Dann ist offenbar D(A0) =
D(A1) =0. Wir erhalten
�
J(x, y)
x,y∈E
2 R(x, y)
= � � �2R(x, I(x, y)+D(x, y) y)
x,y∈E
= � � 2 2
I(x, y) + D(x, y)
x,y∈E
� R(x, y)+2 �
I(x, y) D(x, y) R(x, y)
x,y∈E
= � � 2 2
I(x, y) + D(x, y) � R(x, y)+2 � � �
u(y) − u(x) D(x, y).
x,y∈E
x,y∈E
Nach dem Energieerhaltungssatz ist der letzte Term
2 � � �
u(y) − u(x) D(x, y) =2D(A1)(u1 − u0) =0.
x,y∈E
Es folgt (wegen D �≡ 0)
LJ = LI + 1
2
�
x,y∈E
D(x, y) 2 R(x, y) >LI. ✷
Beweis (Rayleigh’sches Monotonieprinzip, Satz 19.19) Seien I und I ′ die elektrischen
Einheitsflüsse von A1 nach A0 bezüglich C beziehungsweise C ′ . Nach
dem Thomson’schen Prinzip, dem Energieerhaltungssatz und der Voraussetzung
R(x, y) ≤ R ′ (x, y) für alle x, y ∈ E ist
u(1) − u(0)
Reff(A0 ↔ A1) = = u(1) − u(0)
I(A1)
= 1 �
I(x, y)
2
2 R(x, y)
≤ 1
2
x,y∈E
�
x,y∈E
I ′ (x, y) 2 R(x, y) ≤ 1
2
�
x,y∈E
I ′ (x, y) 2 R ′ (x, y)
= u ′ (1) − u ′ (0) = R ′ eff(A0 ↔ A1). ✷

19.4 Rekurrenz und Transienz
19.4 Rekurrenz und Transienz 399
Wir betrachten die Situation, wo E abzählbar ist und A1 = {x1} für ein x1 ∈ E.
Sei X eine Irrfahrt auf E mit Gewichten C =(C(x, y), x,y∈ E), also mit Übergangswahrscheinlichkeiten
p(x, y) =C(x, y)/C(x) (vergleiche Definition 19.11).
Um die Ergebnisse über endliche elektrische Netzwerke aus dem letzten Abschnitt
anwenden zu können, nehmen wir zudem immer an, dass A0 ⊂ E so gewählt ist,
dass E \ A0 endlich ist. Es sei dann stets u = ux1,A0 die eindeutig bestimmte
Spannungsfunktion auf E mit u(x1) =1und u(x) =0für jedes x ∈ A0. Nach
Satz 19.7 ist u harmonisch und hat die Darstellung
�
ux1,A0 (x) =Ex {Xτ A0∪{x1 } =x1}
�
= Px [τx1

400 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Beweis. Klar, weil
Ceff(x1 ↔∞)=C(x1)inf � �
pF (x1,A0) : |E \ A0| < ∞, x1�∈ A0 , (19.9)
und weil pF (x1,A0) monoton fallend in A0 ist. ✷
Satz 19.25. Es gilt
Speziell gilt
pF (x1) = 1
C(x1) Ceff(x1 ↔∞). (19.10)
x1 ist rekurrent ⇐⇒ Ceff(x1 ↔∞)=0 ⇐⇒ Reff(x1 ↔∞)=∞.
Beweis. Sei An 0 ↓∅eine absteigende Folge mit |E \ An 0 | < ∞ und x1 �∈ An 0 für
jedes n ∈ N. Setze Fn := � τAn 0 1. Der effektive Widerstand von 0 nach ∞ ist nach
dem Monotonieprinzip
Reff(0 ↔∞) = lim
n→∞ Reff(0 ↔{−n, n})
≤ lim
n→∞ Reff(0 ↔ n)
=
∞�
�
1 − p
n=0
p
� n
=
p
< ∞. ✸
2p − 1

19.4 Rekurrenz und Transienz 401
Beispiel 19.28. Die symmetrische einfache Irrfahrt auf E = Z2 ist rekurrent.
Hier ist wieder C(x, y) = {|x−y|=1}. SeiBn = {−n,...,n} 2 und ∂Bn =
Bn \ Bn−1. Wir stellen ein Netzwerk C ′ mit größeren Leitfähigkeiten her, indem
wir ringförmige Supraleiter entlang ∂B einfügen Wir ersetzen also C(x, y) durch
C ′ �
∞,
(x, y) =
C(x, y),
falls x, y ∈ ∂Bn
sonst.
für ein n ∈ N,
Abb. 19.3. Elektrisches Netzwerk auf Z 2 . Die fetten Linien stellen Supraleiter dar. Zwischen
dem n-ten und dem (n +1)-ten Supraleiter sind genau 4(2n +1)Kanten.
Dann ist R ′ eff (Bn ↔ B c n)=
die Bn mit B c n verbinden), und daher ist
1
4(2n+1) (merke: 4(2n +1)ist die Anzahl der Kanten,
R ′ eff(0 ↔∞)=
∞�
n=0
1
= ∞.
4(2n +1)
Nach dem Monotonieprinzip ist daher Reff(0 ↔∞) ≥ R ′ eff (0 ↔∞)=∞. ✸
5
4
3
2
1
0

402 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
0
1
2 3
n n+1
4 Kanten 12 Kanten 20 Kanten 4*(2n+1) Kanten
Abb. 19.4. Effektives Netzwerk, das aus Z 2 durch Einfügen der Supraleiter entsteht. Die
Ringe der Supraleiter sind hier zu einzelnen Punkten verschmolzen.
Beispiel 19.29. Sei (E,K) ein beliebiger zusammenhängender Teilgraph des quadratischen
Gitters (Z 2 , L 2 ). Dann ist die einfache Irrfahrt auf (E,K) (siehe Definition
19.11) rekurrent. Nach dem Monotonieprinzip ist nämlich
R (E,K)
eff (0 ↔∞) ≥ R (Z2 ,L 2 )
eff (0 ↔∞)=∞. ✸
Wir formulieren das Vorgehen in den letzten Beispielen als Satz.
Satz 19.30. Seien C und C ′ Kantengewichte auf E mit C ′ (x, y) ≤ C(x, y) für
alle x, y ∈ E. Ist die Markovkette X zu den Gewichten C rekurrent, so ist es auch
die Markovkette X ′ zu den Gewichten C ′ .
Sei speziell (E,K) ein Graph und (E ′ ,K ′ ) ein Teilgraph. Ist die einfache Irrfahrt
auf (E,K) rekurrent, so ist auch die einfache Irrfahrt auf (E ′ ,K ′ ) rekurrent.
Beweis. Das folgt direkt aus Satz 19.25 zusammen mit dem Rayleigh’schen Monotonieprinzip
(Satz 19.19). ✷
Beispiel 19.31. Die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z3 ist transient. Zum Beweis
konstruieren wir einen Teilgraphen, für den wir R ′ eff (0 ↔∞) < ∞ ausrechnen
können.
Skizze Wir betrachten die Menge aller unendlichen Pfade, die in 0 starten und
– einen Schritt in x-Richtung, y-Richtung oder z-Richtung gehen (rechts, oben oder
hinten, nicht links, unten oder vorne),
– eine eventuell andere Richtung x, y oder z wählen und dann zwei Schritte in diese
Richtung gehen,

19.4 Rekurrenz und Transienz 403
– in der n-ten Stufe eine der Richtungen x, y oder z wählen und 2 n+1 Schritte in
diese Richtung gehen.
Wir bezeichnen etwa mit xyyxxxxzzzzzzzz ... den Pfad, der zunächst die x-
Richtung, dann y, dannx, dannz und so fort gewählt hat. Zwei Pfade benutzen
offenbar nach dem Zeitpunkt, wo sich ihre Wege trennen, keine gemeinsamen Kanten
mehr. Allerdings werden manche Knoten von mehreren Pfaden getroffen.
x
y
z
zx
xx
xy
xz
zy
yx
yy
yz
zz
zzz
xxx
xzz
xyy
yxx
yyy
yzz
zyy
zxx
Abb. 19.5. Schema der ersten drei Schritte des Graphen von Beispiel 19.31. Links sind die
tatsächlichen Kanten eingezeichnet, wobei beispielsweise xyy bedeutet, dass zunächst in
Schritt in x-Richtung gemacht wurde, dann einer in y-Richtung und jetzt die weiterführende
Kante in y-Richtung betrachtet wird. Rechts sind die Knoten an den Enden von xz/zx,
xy/yx und yz/zy jeweils in zwei Knoten aufgelöst und mit einem ” Supraleiter“ (fette
Linien) verbunden. Wenn wir die Supraleiter entfernen, so erhalten wir das Netzwerk aus
Abb. 19.6, dessen effektiver Widerstand R ′ eff(0 ↔∞) nicht kleiner ist als derjenige in Z 3 .
(Wird an die Wurzel die Spannung 1 und an den rechten Punkten jeweils die Spannung 0
angelegt, so fließt aus Symmetriegründen durch die Supraleiter kein Strom. Das Netzwerk
hier ist also sogar äquivalent zu dem in Abb. 19.6.)
Wenn wir das elektrische Netzwerk mit Einheitswiderständen und Spannung 1 im
Ursprung sowie Spannung 0 an allen Punkten von Pfaden nach der n-ten Stufe betrachten,
so hängt aus Symmetriegründen die Spannung an jedem Knoten des Netzwerks
nur vom Abstand (kürzester Weg entlang Pfaden) zum Ursprung ab. Wir erhalten
also ein äquivalentes Netzwerk, wenn wir mehrfach benutzte Knoten durch
entsprechend mehrere Knoten ersetzen (siehe Abb. 19.5). So erhalten wir ein Netzwerk,
das eine Baumstruktur hat: jeweils nach 2 n Schritten verzweigt jeder Pfad in
x
y
z
xx
xy
zy
zx
yx
yz
xz
yy
zz
xxx
xzz
xyy
yxx
yyy
yzz
zyy
zzz
zxx

404 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
drei Pfade (siehe Abb. 19.6). Die 3 n Pfade von der n-ten Generation zur (n +1)ten
Generation sind disjunkte Pfade der Länge 2 n−1 .SindB(n) alle Punkte bis zur
n-ten Generation, so ist
�
R ′ eff(0 ↔ B(n +1) c n−1
)= R ′ eff(B(k) ↔ B(k) c n−1
)= 2 k 3 −k .
R eff (02)=5/9
k=0
�
k=0
0 1 2 3
R(01)=1/3 R(12)=2/9 R(23)=4/27
R (03)=19/27
eff
Abb. 19.6. Ein Baum als Teilgraph von Z 3 , auf dem die Irrfahrt immer noch transient ist.

Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1
3
∞�
k=0
19.5 Netzwerkreduktion 405
� �k 2
=1< ∞. Für diesen Baum ist die Irrfahrt
3
transient, nach Satz 19.30 also auch für Z 3 . ✸
Beispiel 19.32. Die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z d , d ≥ 3, ist transient. Dies
gilt nach Satz 19.30, weil wir Z 3 als Teilgraphen von Z d auffassen können und hier
die Irrfahrt transient ist. ✸
19.5 Netzwerkreduktion
Beispiel 19.33. Wir betrachten die Irrfahrt auf dem Graphen aus Abb. 19.7, die in x
startet und an jedem Punkt mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu einem der Nachbarpunkte
springt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit P trifft die Kette den Punkt 1 bevor
sie den Punkt 0 trifft? Wir können den Graphen als elektrisches Netzwerk auffassen
0
x
1
Abb. 19.7. Ausgangssituation
mit gleichem Widerstand (etwa 1) an jeder Kante, Spannung 0 in 0 und Spannung
1 in 1. Wenn wir die beiden effektiven Widerstände Reff(0 ↔ x) und Reff(x ↔ 1)
kennen, erhalten wir als Spannung
P = u(x) =
Reff(0 ↔ x)
. (19.11)
Reff(0 ↔ x)+Reff(x ↔ 1)
Um die effektiven Widerstände auszurechnen, wollen wir das Netzwerk schrittweise
vereinfachen, bis nur noch zwei Kanten übrig sind: von 0 nach x und von x nach 1.
Die erforderlichen Schritte werden im Folgenden vorgestellt und dann im Beispiel
angewandt. ✸

406 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Um ein elektrisches Netzwerk zu reduzieren, kann man vier elementare Transformationen
anwenden:
1. Entfernen von Schleifen Die drei Punkte ganz rechts im Graphen bilden eine
Schleife, die ohne Veränderungen im Rest des Netzwerks entfernt werden kann.
Insbesondere kann jede Kante entfernt werden, die 0 und 1 direkt verbindet.
2. Zusammenfassen von seriellen Kannten Zwei (oder mehr) Kanten, die seriell
liegen, und deren dazwischen liegende Knoten keine weiteren Verbindungen haben,
können durch ein Kante ersetzt werden, deren Widerstand die Summe der einzelnen
Widerstände ist (siehe Abb. 19.1).
3. Zusammenfassen von parallelen Kannten Zwei (oder mehr) Kanten mit Widerständen
R1,...,Rn, die die selben Knoten verbinden, können durch eine Kante
mit Widerstand R =(R −1
1 + ...+ R−1 n ) −1 ersetzt werden (siehe Abb. 19.2).
4. Stern-Dreieck-Transformation (Siehe Übung 17.5.1) Der sternförmige Ausschnitt
eines Netzwerk links in Abb. 19.8 ist äquivalent zum dreieckigen Ausschnitt
rechts, wenn die Widerstände R1,R2,R3, � R1, � R2, � R3 die folgende Bedingung
erfüllen
wobei
x1
Ri ˜ Ri = δ für jedes i =1, 2, 3, (19.12)
� −1
δ = R1R2R3 R1 + R−1 2
R1
R3
x3
x2
�
+ R−1 3 =
z R2
x1
Abb. 19.8. Stern-Dreieck-Transformation
�R1 � R2 � R3
�R1 + � R2 + � .
R3
Wir lösen nun die Aufgabe aus Beispiel 19.33 konkret. Wir nehmen an, dass anfangs
jede Kante den Widerstand 1 hat. Kanten, die im Verlauf der Reduktion andere
Widerstände als 1 haben, werden mit dem entsprechenden Widerstand beschriftet.
�R2
�R3
x3
�R1
x2

Schritt 1. Die Schleife am rechten Rand wird entfernt.
19.5 Netzwerkreduktion 407
Schritt 2. Die Serien an der oberen, rechten und unteren Ecke werden durch je
einen Widerstand der Größe 2 ersetzt.
0
x
1
0
Abb. 19.9. Schritt 1 und 2
Schritt 3. Der linke untere Knoten wird mit der Stern-Dreieck-Transformation
entfernt. Hier ist R1 =1, R2 =2, R3 =1, δ =5, � R1 = δ/R1 =5, � R2 = δ/R2 =
5/2 und � R3 = δ/R3 =5.
Schritt 4. Die parallelen Kanten mit Widerständen R1 =5und R2 =1werden
ersetzt durch eine Kante mit R =( 1
5 +1)−1 = 5
6 .
0
2
x 1
5/2
5
5
2
0
x
Abb. 19.10. Schritt 3 und 4
x
5/2
5
2
2
2
5/6
1
2
1
2

408 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Schritt 5. Der rechte untere Knoten wird mit der Stern-Dreieck-Transformation
entfernt. Hier ist R1 =5, R2 =2, R3 = 5
6 , δ =95/6, � R1 = δ/R1 =19/6,
�R2 = δ/R2 =95/12 und � R3 = δ/R3 =19.
Schritt 6. Die parallelen Kanten werden durch je eine Kante ersetzt mit Widerstand
( 12 2
95 + 5 )−1 = 19
6
10 beziehungsweise ( 19 +1)−1 = 19
25 . Zudem wird die direkte
Kante zwischen Punkt 0 und Punkt 1 entfernt.
0
x
5/2
95/12
2
19/6
19
0
1
x
Abb. 19.11. Schritt 5 und 6
19/10
2
19/25
Schritt 7. Der rechte untere Knoten wird mit der Stern-Dreieck-Transformation
entfernt. Hier ist R1 = 19
10 , R2 = 19
25 , R3 = 1, δ = 513
125 , � R1 = δ/R1 = 54
25 ,
�R2 = δ/R2 = 27
5 und � R3 = δ/R3 = 513
125 .
Schritt 8. Die parallelen Kanten werden durch je eine Kante ersetzt mit Widerstand
( 5
27 +1)−1 = 27
25 1
32 beziehungsweise ( 54 + 2 )−1 = 27
26 . Zudem wird die direkte
Kante zwischen Punkt 0 und Punkt 1 entfernt.
0
x
27/5
2
54/25
513/125
0
1
x
27/32
Abb. 19.12. Schritt 7 und 8
27/26
Wir haben jetzt also die effektiven Widerstände Reff(0 ↔ x) = 27
32 und Reff(x ↔
1) = 27
26 . Mit Gleichung (19.11) erhalten wir als Wahrscheinlichkeit, dass die Irrfahrt
1 erreicht, bevor sie 0 erreicht:
P =
27
32
27
32
+ 27
26
= 13
. ✸
29
1
1

Alternative Lösung
19.5 Netzwerkreduktion 409
Wir können die Lösung des Problems aus Beispiel 19.33 auch ohne Netzwerke,
alleine mit linearer Algebra angeben. Welche Lösung eleganter ist, ist wohl Geschmackssache.
Zunächst stellen wir die Übergangsmatrix p der Markovkette auf
(hierfür werden die Knoten des Graphen von 1 bis 12 durchnummeriert wie in
Abb. 19.13). Der Startpunkt ist die 2, das ” Gewinnfeld“ ist die 3 und das ” Verlustfeld“
die 5. Nun wird die Matrix p der in 3 und 5 getöteten Kette gebildet und
5
2
9
1
6
12
3
10
7
4
11
Abb. 19.13. Graph mit nummerierten Knoten
G =(I − p) −1 berechnet. Nach Übung 19.1.1 (mit A = {3, 5}, x =2und y =3)
ist die Wahrscheinlichkeit 3 vor 5 zu treffen P = G(2, 3) = 13
29 .
⎛
1 1 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
⎜ 1
1 1
⎜ 3 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0
⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎜
1 1
⎜ 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0
⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎜ 1 1
1 1
⎜ 0 4 4 0 0 0 0 0 4 4 0
p := ⎜
1 1
1 1
⎜
0 0 4 4 0 0 0 0 0 4 4
⎜
1
1
⎜ 0 0 0
⎜
2 0 0 0 0 0 0 2
⎜
1 1
⎜ 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0
⎜
1 1
0 0 0 0 0
⎜
3 3 0 0 0 0
⎜
1 1
⎝ 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
1
3
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0 0 0 0 0 1
2
1
2 0 0
8

410 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
G := (I − p) −1 ⎛
143
⎜ 116
⎜ 27
⎜ 58
⎜ 0
⎜ 3
⎜ 58
⎜ 0
⎜ 19
= ⎜ 116
⎜ 3
⎜ 58
⎜ 3
⎜ 58
⎜ 5
⎜ 58
⎜ 3
⎜ 29
⎜ 3
⎝ 58
81
116
81
58
0
9
58
0
57
116
9
58
9
58
15
58
9
29
9
58
21
29
13
29
1
24
29
0
18
29
24
29
24
29
11
29
19
29
24
29
3
58
3
29
0
165
58
0
15
58
39
29
68
29
7
29
20
29
107
58
8
29
16
29
0
5
29
1
11
29
5
29
5
29
18
29
10
29
5
29
19
58
19
29
0
15
29
0
95
58
15
29
15
29
25
29
30
29
15
29
3
29
6
29
0
78
29
0
15
29
78
29
78
29
14
29
40
29
78
29
3
58
3
29
0
68
29
0
15
58
39
29
97
29
7
29
20
29
68
29
15
116
15
58
0
21
58
0
75
116
21
58
21
58
93
58
21
29
21
58
9
58
9
29
0
30
29
0
45
58
30
29
30
29
21
29
60
29
30
29
3
58
3
29
0
107
58
0
15
58
39
29
68
29
7
29
20
29
165
58
11
116
11
58
0
27
58
0
55
116
27
58
27
58
45
58
27
29
27
58
11
116
33
116
15
29
27
58
Übung 19.5.1. Man zeige die Gültigkeit der Stern-Dreieck-Transformation. ♣
Übung 19.5.2. Man zeige für den unten stehenden hexagonalen Graphen, dass die
Wahrscheinlichkeit, von x aus startend die 1 vor der 0 zu treffen, gleich 8
17 ist
(i) mit der Methode der Netzwerkreduktion,
(ii) mit der Methode der Matrixinversion. ♣
1
14
29
x
55
58
27
29
27
58
135
116
81
58
0
27
58
215
116
⎞
⎟
⎠

Übung 19.5.3. Man betrachte den Graphen aus Abb. 19.14.
19.5 Netzwerkreduktion 411
(i) Zeige für die effektive Leitfähigkeit zwischen den Punkten a und z, dass
Ceff(a ←→ z) = √ 3.
(ii) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit Pa[τz

412 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung
(Vergleiche [163], [135] und [76, 77].) Wir betrachten eine Markovkette X auf
Z, die in jedem Schritt entweder einen Punkt nach links oder einen Punkt nach
rechts springt, jeweils mit Wahrscheinlichkeit w −
i beziehungsweise w+ i , falls X
in i ∈ Z ist. Es seien also w −
i ∈ (0, 1) und w+ i := 1 − w −
i für i ∈ Z. DannistX
die Markovkette mit Übergangsmatrix
⎧
⎪⎨ w
pw(i, j) =
⎪⎩
−
i , falls j = i − 1,
w +
i , falls j = i +1,
0, sonst.
Um X durch die Leitfähigkeiten eines elektrischen Netzwerks zu beschreiben, setzen
wir ϱi := w −
i /w+ i für i ∈ Z sowie Cw(i, j) :=0 falls |i − j| �= 1 und
� �i k=0
Cw(i +1,i):=Cw(i, i +1) :=
ϱ−1
k , falls i ≥ 0,
�−1 k=i ϱk, falls i

19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung 413
Satz 19.34. (i) Gilt R − w < ∞ oder R + w < ∞, so gilt (mit ∞
∞ =1)
�
P0 Xn
n→∞
−→ −∞ � =
R + w
R − w + R + w
�
und P0 Xn
(ii) Gilt R − w = ∞ und R + w = ∞, so gilt lim inf
fast sicher.
n→∞
−→ +∞ � =
R − w
R − w + R + w
n→∞ Xn = −∞ und lim sup Xn = ∞
n→∞
Beweis. (i) Ohne Einschränkung sei R − w < ∞. Der andere Fall folgt aus Symmetriegründen.
Sei τN := inf � n ∈ N0 : Xn ∈{−N,N} � .DaX transient ist, ist
P0[τN < ∞] =1und (wie in (19.7))
�
P0 XτN = −N� = Rw,eff(0 ↔ N)
Rw,eff(−N ↔ N) =
Es folgt, wiederum, weil X transient ist,
�
P0 Xn
Rw,eff(0 ↔ N)
Rw,eff(0 ↔−N)+Rw,eff(0 ↔ N) .
n→∞
−→ −∞ � = P � sup{Xn : n ∈ N0} < ∞ �
= lim
N→∞ P� sup{Xn : n ∈ N0}

414 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Definition 19.35. Der Prozess X heißt heißt Irrfahrt in der zufälligen Umgebung
W (random walk in random environment).
Seien ϱi := W − +
i /W i für i ∈ Z und R −
W
und R+
W
wie oben definiert.
Satz 19.36. (i) Gilt E[log(ϱ0)] < 0,sogiltXn n→∞
−→ ∞ f.s.
(ii) Gilt E[log(ϱ0)] > 0,sogiltXn n→∞
−→ −∞ f.s.
(iii) Gilt E[log(ϱ0)] = 0,sogiltlim inf
n→∞ Xn = −∞ und lim sup Xn = ∞ f.s.
n→∞
Beweis. (i) und (ii) Aus Symmetriegründen reicht es, (ii) zu zeigen. Sei also c :=
E[log(ϱ0)] > 0. Nach dem starken Gesetz der großen Zahl gibt es ein n − 0 = n− 0 (ω)
mit
Es folgt
1�
k=−n
R −
W =
n=1
ϱ −1
k =exp
�
−
∞�
1�
k=−n
ϱ −1
k ≤
1�
k=−n
n −
0 −1
�
n=1
Analog gibt es ein n + 0 = n+ 0 (ω) mit
Es folgt
R +
W =
∞�
n�
k=0
n�
ϱk ≥
n=0 k=0
ϱk >e cn/2
�
log(ϱi) −∞ und lim supn→∞ k=−n log(ϱ−1 k ) > −∞
fast sicher, wenn E[log(ϱ0)] = 0 gilt. Wenn log(ϱ0) von endlicher Varianz ist,
folgt dies aus dem Zentralen Grenzwertsatz. Im allgemeinen Fall folgt dies aus
Satz 20.21. ✷

20 Ergodentheorie
Gesetze der großen Zahl, zum Beispiel für u.i.v. Zufallsvariablen X1,X2,... besagen,
dass n−1 �n i=1 Xi
n→∞
−→ E[X1] fast sicher konvergiert. Wir können also die
Mittelung über die tatsächliche Realisierung vieler Zufallsvariablen mit der Mittelung
über die möglichen Realisierungen eines Xi vertauschen. In der statistischen
Physik spricht man von der Äquivalenz von Zeitmittel und Scharmittel, oder der Mittelung
entlang einer Trajektorie (griechisch odos) des Systems gegenüber der Mittelung
aller möglichen Zustände mit gleicher Energie (griechisch ergon). Hieraus
leitet sich der Begriff der Ergodentheorie ab, die Gesetze der großen Zahl für Zufallsvariablen
mit Abhängigkeiten, aber zeitlicher Stationarität liefert.
20.1 Begriffsbildung
Definition 20.1. Sei I eine unter Addition abgeschlossene Menge (die wichtigsten
Beispiele für uns sind I = N0, I = N, I = Z, I = R, I =[0, ∞), I = Z d usw.).
Ein stochastischer Prozess X =(Xt)t∈I heißt stationär, falls
L [(Xt+s)t∈I] =L [(Xt)t∈I] für jedes s ∈ I. (20.1)
Bemerkung 20.2. Ist I = N0, I = N oder I = Z, so ist (20.1) äquivalent zu
L [(Xn+1)n∈I] =L [(Xn)n∈I] . ✸
Beispiel 20.3. (i) Ist X =(Xt)t∈I u.i.v., so ist X stationär. Ist lediglich PXt =
PX0 für jedes t ∈ I (ohne die Unabhängigkeit), so ist X im Allgemeinen nicht
stationär. Beispielsweise sei I = N0 und X1 = X2 = X3 = ..., jedoch X0 �=
X1 .DannistX nicht stationär.
(ii) Ist X eine Markovkette mit invarianter Verteilung π ,sowie L[X0] =π,dann
ist X stationär.
(iii) Sind (Yn)n∈Z u.i.v. und reell, sowie c1,...,ck ∈ R, danndefiniert
k�
Xn := cl Yn−l
l=1

416 20 Ergodentheorie
einen stationären Prozess X. X heißt manchmal auch moving average oder gleitendes
Mittel mit Gewichten (c1,...,ck). Eine genauere Betrachtung ergibt, dass
X sogar dann stationär ist, wenn Y nur als stationär vorausgesetzt wird. ✸
Lemma 20.4. Ist (Xn)n∈N0 stationär,solässt sich X zu einem stationären Prozess
� �
Xn
�
n∈Z fortsetzen.
Beweis. Sei � X der kanonische Prozess auf Ω = EZ .Sei� P {−n,−n+1,...} � ∈
{−n,−n+1,...} E � definiert durch
M1
�P {−n,−n+1,...}� � X−n ∈ A−n, � X−n+1 ∈ A−n+1,... �
= P � X0 ∈ A−n,X1 ∈ A−n+1,... � .
Dann ist � �
P � {−n,−n+1,...} ,n ∈ N projektiv und {−n, −n +1,...} ↑ Z. Nach
dem Satz von Ionescu-Tulcea (Satz 14.32) existiert der projektive Limes � P :=
�P {−n,−n+1,...} . Per Konstruktion ist � X stationär bezüglich � P und
lim
←−
n→∞
�P ◦ � ( � Xn)n∈N0
� −1 = P ◦ � (Xn)n∈N0
� −1. ✷
Im Folgenden sei stets (Ω,A, P) ein W-Raum und τ : Ω → Ω eine messbare
Abbildung.
Definition 20.5. Ein Ereignis A ∈ A heißt invariant, falls τ −1 (A) = A und
quasi-invariant, falls τ −1 (A) = A P–f.s. Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse
bezeichnen wir mit
I = � A ∈A: τ −1 (A) =A �
Lemma 20.6. Eine messbare Abbildung f :(Ω,A) → (R, B(R)) ist genau dann
I-messbar, wenn f ◦ τ = f ist.
Beweis. Für Indikatorfunktionen f = A ist dies klar. Der allgemeine Fall folgt
mit den üblichen Approximationsargumenten (siehe Satz 1.96(i)). ✷
Zur Erinnerung: Eine σ-Algebra I heißt P-trivial, falls P[A] ∈{0, 1} für jedes
A ∈I gilt.
Definition 20.7. (i) τ heißt maßtreu, falls
P � τ −1 (A) � = P[A] für jedes A ∈A.
In diesem Falle heißt (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes dynamisches System.
(ii) Ist τ maßtreu und I P-trivial, so heißt (Ω,A, P,τ) ergodisch.

20.1 Begriffsbildung 417
Beispiel 20.8. Sei n ∈ N \{1}, Ω = Z/(n), A =2 Ω und P die Gleichverteilung
auf Ω.Seir ∈{1,...,n} und
τ : Ω → Ω, x ↦→ x + r (mod n).
Dann ist τ maßtreu. Ist d = ggT(n, r) und für i =0,...,d− 1
Ai = � i, τ(i),τ 2 (i),...,τ n−1 (i) � = i + 〈r〉,
so sind A0,...,Ad−1 die disjunkten Nebenklassen des Normalteilers 〈r〉 ✂ Ω.Also
ist Ai ∈Ifür i =0,...,d− 1, und jedes A ∈Iist Vereinigung von gewissen Ai.
Mithin gilt:
(Ω,A, P,τ) ist ergodisch ⇐⇒ ggT(r, n) =1. ✸
Beispiel 20.9 (Rotation). Sei Ω =[0, 1), A = B(Ω), P = λ das Lebesgue-Maß,
r ∈ (0, 1) und τr(x) =x + r (mod 1).Offenbarist(Ω,A, P,τr) ein maßerhaltendes
dynamisches System.
Sei zunächst r rational, also r = p
q für gewisse teilerfremde Zahlen p, q ∈ N. Setze
A0 = � 0, 1
� �q−1 2q und A = n=0 τ n r (A0). Wegenτq =idΩ, istA∈Iund P[A] = 1
2 ,
also ist (Ω,A, P,τr) nicht ergodisch.
Sei nun r ∈ (0, 1) irrational. Offenbar gilt für jedes x ∈ [0, 1) und ε>0, dass
�∞ k=1
τ −k
r (Bε(x)) = [0, 1), weil {x, τ −1
r (x),τ −2
r (x),...}⊂[0, 1) dicht ist. Also
gilt für jede offene Menge V ∈ I entweder V = ∅ oder V = [0, 1). Sei nun
A ∈Ibeliebig mit P[A] > 0. Nach dem Approximationssatz für Maße (Satz 1.65)
existiert ein offene Menge U ⊂ A mit P[U] > 0. Setzen wir
V =
∞�
k=−∞
τ k r (U) ⊂
∞�
k=−∞
τ k r (A) =A,
so ist V offen und V ∈I, also V =[0, 1) und damit A =[0, 1).
Wir haben also gezeigt:
(Ω,A, P,τr) ist ergodisch ⇐⇒ r ist irrational. ✸
Beispiel 20.10. Sei X =(Xn)n∈N0 ein stochastischer Prozess mit Werten in einem
polnischen Raum E. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass X der kanonische
Prozess auf dem W-Raum (Ω,A, P) = � EN0 , B(E) ⊗N0 , P � ist. Definiere
den Shift
τ : Ω → Ω, (ωn)n∈N0 ↦→ (ωn+1)n∈N0 .
Dann ist Xn(ω) =X0(τ n (ω)).AlsoistXgenau dann stationär, wenn (Ω,A, P,τ)
ein maßerhaltendes dynamisches System ist. ✸
Definition 20.11. Der stochastische Prozess X (aus Beispiel 20.10) heißt ergodisch,
falls (Ω,A, P,τ) ergodisch ist.

418 20 Ergodentheorie
Beispiel 20.12. Seien (Xn)n∈N0 u.i.v. und Xn(ω) =X0(τ n (ω)). IstA ∈I,soist
für n ∈ N
A = τ −n (A) ={ω : τ n (ω) ∈ A} ∈σ(Xn,Xn+1,...).
Also ist (mit T die terminale σ-Algebra von (Xn)n∈N, siehe Definition 2.34)
I⊂T =
∞�
σ(Xn,Xn+1,...).
n=1
Nach dem Kolmogorov’schen 0 − 1 Gesetz (Satz 2.37) ist T P-trivial, also ist auch
I P-trivial und damit (Xn)n∈N0 ergodisch. ✸
Übung 20.1.1. Sei G eine endliche Gruppe von maßtreuen messbaren Abbildungen
auf (Ω,A, P) und A0 := {A ∈A: g(A) =A für alle g ∈ G}.
Man zeige: Für jedes X ∈L 1 (P) gilt
20.2 Ergodensätze
E[X |A0] = 1
#G
�
X ◦ g. ♣
In diesem Abschnitt ist stets (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes dynamisches System.
Ferner sei f : Ω → R messbar und
g∈G
Xn(ω) =f ◦ τ n (ω) für jedes n ∈ N0.
Also ist X =(Xn)n∈N0 ein stationärer, reeller stochastischer Prozess. Sei
�
n−1
Sn = Xk
k=0
die n-te Partialsumme. Die Ergodensätze beschäftigen sich mit Gesetzen der großen
Zahl für die (Sn). Als Vorbereitung bringen wir ein Lemma.
Lemma 20.13 (Hopf’sches Maximal-Ergodenlemma). Sei X0 ∈ L1 Mn =max{0,S1,...,Sn}, n∈ N. Dann gilt
(P). Setze
E � X0
�
{Mn>0} ≥ 0 für jedes n ∈ N.
Beweis. Für k ≤ n ist Mn(τ(ω)) ≥ Sk(τ(ω)). Alsoist
X0 + Mn ◦ τ ≥ X0 + Sk ◦ τ = Sk+1.

20.2 Ergodensätze 419
Daher ist X0 ≥ Sk+1 − Mn ◦ τ für k =1,...,n. Offensichtlich ist S1 = X0 und
Mn ◦ τ ≥ 0, also auch (für k =0) X0 ≥ S1 − Mn ◦ τ und damit auch
Außerdem ist offenbar
X0 ≥ max{S1,...,Sn}−Mn ◦ τ. (20.2)
{Mn > 0} c ⊂{Mn =0}∩{Mn ◦ τ ≥ 0} ⊂{Mn − Mn ◦ τ ≤ 0}. (20.3)
Aus (20.2) und (20.3) und der Maßtreue von τ folgt
E � � � �
X0 {Mn>0} ≥ E (max{S1,...,Sn}−Mn ◦ τ) {Mn>0}
= E � �
(Mn − Mn ◦ τ) {Mn>0}
≥ E � Mn − Mn ◦ τ � = E[Mn] − E[Mn] = 0. ✷
Satz 20.14 (Individueller Ergodensatz, Birkhoff 1931). Sei f = X0 ∈L 1 (P).
Dann gilt
n−1
1 �
n
k=0
�
Xk = 1
n−1
n
k=0
Ist speziell τ ergodisch, so gilt 1
n
f ◦ τ k n→∞
n−1 �
Xk
k=0
�
−→ E[X0
�I] P-f.s.
n→∞
−→ E[X0] P-f.s.
Beweis. Ist τ ergodisch, so ist E[X0 |I] = E[X0] und der Zusatz folgt aus der
ersten Aussage.
Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Nach Lemma 20.6 ist E[X0 |I] ◦ τ =
E[X0 |I] P–f.s. Wir können also � Xn := Xn − E[X0 |I] betrachten und daher
ohne Beschränkung der Allgemeinheit E[X0 |I]=0annehmen. Setze
Z := lim sup
n→∞
1
n Sn.
Sei ε>0 und F := {Z > ε}. Zu zeigen ist, dass P[F ]=0gilt. Hieraus folgt
1
dann P[Z >0]=0und analog mit −X auch lim inf
n→∞ nSn ≥ 0 fast sicher, also
1
nSn n→∞
−→ 0 f.s.
Offenbar ist Z ◦ τ = Z, also F ∈I. Setze
X ε n := (Xn − ε) F , S ε n := X ε 0 + ...+ X ε n−1,
M ε n := max{0,S ε 1,...,S ε n}, Fn := {M ε n > 0}.

420 20 Ergodentheorie
Dann ist F1 ⊂ F2 ⊂ ... und
∞�
n=1
Fn =
�
1
sup
k∈N k Sε k > 0
�
=
�
1
sup
k∈N k Sk
�
>ε ∩ F = F,
also Fn ↑ F . Majorisierte Konvergenz liefert E [Xε n→∞
0 Fn ] −→ E [Xε 0].
Nach dem Maximal-Ergodenlemma (angewandt auf Xε )istE [Xε 0 Fn ] ≥ 0, also
0 ≤ E [X ε 0]=E [(X0 − ε) F ]=E [E [X0 |I] F ] − εP[F ]=−εP[F ].
Mithin ist P[F ]=0. ✷
Als Folgerung erhält man den statistischen Ergodensatz oder L p -Ergodensatz, den
von Neumann 1931 vor Birkhoff gefunden hat. Zur Vorbereitung bringen wir ein
elementares Lemma.
Lemma 20.15. Sei p ≥ 1, und seien X0,X1,... identisch verteilte, reelle Zufallsvariablen
mit E[|X0| p � n−1
� � �
�
] < ∞. Setzen wir Yn :=
für n ∈ N, soist
(Yn)n∈N gleichgradig integrierbar.
� 1
n
Xk�
k=0
p
Beweis. Offenbar ist die einelementige Familie {|X0| p } gleichgradig integrierbar.
Nach Satz 6.19 existiert also eine monoton wachsende, konvexe Abbildung
f :[0, ∞) → [0, ∞) mit f(x)
x →∞für x →∞und C := E[f(|X0| p )] < ∞. Nach
Satz 6.19 reicht es wiederum zu zeigen, dass E[f(Yn)] ≤ C für jedes n ∈ N. Nach
der Jensen’schen Ungleichung (für x ↦→ |x| p )ist
Yn ≤ 1
n−1
n
k=0
�
|Xk| p .
Die Jensen’sche Ungleichung (diesmal auf f angewandt) liefert dann
�
n−1
1 �
f(Yn) ≤ f |Xk|
n
p
�
≤ 1
n−1 �
f(|Xk|
n
p ),
k=0
also E[f(Yn)] ≤ 1
n−1 �
n E[f(|Xk| p )] = C. ✷
k=0
Satz 20.16 (L p -Ergodensatz, von Neumann 1931). Sei (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes
dynamisches System, p ≥ 1, X0 ∈L p (P) und Xn = X0 ◦ τ n . Dann
gilt
n−1
1 �
n
Xk
k=0
Ist speziell τ ergodisch, so gilt 1
n
k=0
n→∞
−→ E[X0 |I] in L p (P).
n−1 �
Xk
k=0
n→∞
−→ E[X0] in L p (P).

Beweis. Setze
Yn :=
�
�
� n−1
� 1 �
�
�
� Xk − E[X0 |I] �
�n
�
k=0
p
für jedes n ∈ N.
20.3 Beispiele 421
Nach Lemma 20.15 ist (Yn)n∈N gleichgradig integrierbar, und nach dem Birkhoff’schen
Ergodensatz gilt Yn
lim
n→∞
n→∞
−→ 0 fast sicher. Nach Satz 6.25 gilt daher
E[Yn] =0.
Ist τ ergodisch, so ist E[X0 |I]=E[X0]. ✷
20.3 Beispiele
Beispiel 20.17. Sei (X, (Px)x∈E) eine positiv rekurrente, irreduzible Markovkette
auf dem abzählbaren Raum E mit invarianter Verteilung π.Dannistπ({x}) > 0 für
jedes x ∈ E. Setze Pπ = �
x∈E π({x})Px. DannistXstationär auf (Ω,A, Pπ).
Wir schreiben τ für den Shift, also Xn = X0 ◦ τ n .
∞�
Sei nun A ∈ I invariant. Dann ist A ∈ T = σ(Xn,Xn+1,...). Nach der
starken Markoveigenschaft ist daher für jede endliche Stoppzeit σ (mit Fσ die σ-
Algebra der σ-Vergangenheit)
n=1
Pπ[X ∈ A � �Fσ] =PXσ [X ∈ A]. (20.4)
In der Tat ist {X ∈ A} = {X ∈ τ −n (A)} = {(Xn,Xn+1,...) ∈ A}. Für B ∈Fσ
erhalten wir mit der Markoveigenschaft (in der dritten Zeile)
� �
Eπ {X∈B} {X∈A} =
=
=
∞� �
n=0 x∈E
∞� �
n=0 x∈E
∞� �
n=0 x∈E
�
Pπ X ∈ B, σ = n, Xn = x, X ∈ A �
�
Pπ X ∈ B, σ = n, Xn = x, X ◦ τ n ∈ A �
�
Pπ X ∈ B, σ = n, Xn = x � Px[X ∈ A]
�
= Eπ {X∈B} PXσ [X ∈ A]� .
Ist speziell x ∈ E und σx =inf{n ∈ N0 : Xn = x}, soistσx < ∞, weil X
rekurrent und irreduzibel ist. Es folgt aus (20.4) für jedes x ∈ E
Pπ[X ∈ A] =Eπ [Px[X ∈ A]] = Px[X ∈ A].
Also ist PXn [X ∈ A] =Pπ[X ∈ A] fast sicher und daher (mit σ = n in (20.4))

422 20 Ergodentheorie
Pπ[X ∈ A � �X0,...,Xn] =PXn [X ∈ A] =Pπ[X ∈ A].
Nun ist A ∈I⊂σ(X1,X2,...), also
Pπ[X ∈ A � �X0,...,Xn] n→∞
−→ Pπ[X ∈ A � �σ(X0,X1,...)] = {X∈A}.
Damit folgt Pπ[X ∈ A] ∈{0, 1}. Mithin ist X ergodisch.
Der Birkhoff’sche Ergodensatz liefert also für jedes x ∈ E
n−1
1 �
n
k=0
{Xk=x}
n→∞
−→ π({x}) Pπ − f.s.
In diesem Sinne ist π({x}) die mittlere Aufenthaltsdauer von X in x. ✸
Beispiel 20.18. Es seien P und Q W-Maße auf dem Messraum (Ω,A), und es seien
(Ω,A,P,τ) und (Ω,A,Q,τ) ergodisch. dann ist P = Q oder P ⊥ Q. Ist
nämlich P �= Q, dann existiert f mit |f| ≤1 und � fdP �= � fdQ. Nach dem
Birkhoff’schen Ergodensatz gilt aber
⎧ �
n−1
1 �
n
k=0
� n−1
f ◦ τ k n→∞
−→
⎪⎨ fdP P–f.s.,
�
⎪⎩ fdQ Q–f.s.
Setzen wir A := � 1
k n→∞
n k=0 f ◦ τ −→ � fdP � ,soistP (A) =1und Q(A) =0.
Also ist P ⊥ Q. ✸
Übung 20.3.1. Sei (Ω,A) ein Messraum und τ : Ω → Ω eine messbare Abbildung.
(i) Man zeige, dass die Menge M := {μ ∈M1(Ω) : μ ◦ τ −1 = μ} der unter τ
invarianten Maße eine konvexe Menge ist.
(ii) Ein Element μ aus M heißt extremal, wenn aus μ = λμ1 +(1− λ)μ2 für
gewisse μ1,μ2 ∈Mund λ ∈ (0, 1) schon μ = μ1 = μ2 folgt. Man zeige,
dass μ ∈Mgenau dann extremal ist, wenn τ bezüglich μ ergodisch ist. ♣
Übung 20.3.2. Sei p =2, 3, 5, 6, 7, 10,...quadratfrei (das heißt, es gibt keine Zahl
r =2, 3, 4,..., deren Quadrat ein Teiler von p ist) und q ∈{2, 3,...,p− 1}. Für
jedes n ∈ N sei an die führende Ziffer der p-adischen Entwicklung von q n .
Man zeige die folgende Variante des Benford’schen Gesetzes: Für jedes d ∈
{1,...,p− 1} gilt
1
n #�i ≤ n : ai = d � n→∞
−→
log(d +1)−log(d) . ♣
log(p)

20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten 423
Sei (Xn)n∈N ein stationärer Prozess mit Werten in R d . Setze Sn := � n
k=1 Xk für
jedes n ∈ N0. Ferner sei
Rn = � �{S1,...,Sn} � �
die Anzahl der von S bis zur Zeit n besuchten Punkte (der so genannte Range).
Außerdem sei A := {Sn �= 0für jedes n ∈ N} das ” Fluchtereignis“.
Satz 20.19. Es gilt lim
n→∞
1
n Rn = P[A|I] fast sicher.
Beweis. Wir nehmen an, dass X der kanonische Prozess ist auf (Ω,A, P) =
� (R d ) N , B(R d ) ⊗N , P � , und dass τ : Ω → Ω der Shift ist, also Xn = X0 ◦ τ n .
Offenbar ist
Rn =# � k ≤ n : Sl �= Sk für jedes l ∈{k +1,...,n} �
≥ # � k ≤ n : Sl �= Sk für jedes l>k �
=
n�
k=1
A ◦ τ k .
Der Birkhoff’sche Ergodensatz liefert nun
lim inf
n→∞
1
n Rn ≥ P[A|I] f.s. (20.5)
Für die andere Ungleichung betrachte Am = {Sl �= 0für jedes l =1,...,m}.
Dann ist für n ≥ m
Rn ≤ m +# � k ≤ n − m : Sl �= Sk für jedes l ∈{k +1,...,n} �
≤ m +# � k ≤ n − m : Sl �= Sk für jedes l ∈{k +1,...,k+ m} �
n−m �
= m +
k=1
Am ◦ τ k .
Der Ergodensatz liefert wieder
lim sup
n→∞
1
n Rn
�
≤ P[Am
�I] f.s. (20.6)
Wegen Am ↓ A und P[Am
�
�I] n→∞
−→ P[A|I] fast sicher (nach Satz 8.14(viii)) folgt
aus (20.5) und (20.6) die Aussage. ✷

424 20 Ergodentheorie
Satz 20.20. Sei X = (Xn)n∈N � ein stationärer Prozess mit Werten in Z und
E[|X1|] < ∞ sowie E[X1
�I]=0f.s. Sei Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N. Dann
gilt
P � Sn =0 für unendlich viele n ∈ N � =1.
Speziell ist jede Irrfahrt auf Z mit zentrierten Zuwächsen rekurrent (Satz von
Chung-Fuchs [28]).
Beweis. Setze A = {Sn �= 0für jedes n ∈ N}.
1. Schritt Wir zeigen P[A] =0. (Ist X u.i.v., so ist S eine Markovkette, und
es folgt hieraus direkt die Rekurrenz von 0. Nur für den allgemeinen Fall stationärer
Prozesse X brauchen wir einen weiteren Schritt.) Nach dem Ergodensatz
gilt 1
nSn n→∞ �
−→ E[X1 �I] =0f.s. Es folgt für jedes m ∈ N
�
1
lim sup
n→∞ n max
� �
� �
�Sk�
1
= lim sup
k=1,...,n
n→∞ n max
�
� �
�Sk�
k=m,...,n
Also ist
|Sk|
≤ max
k≥m k
m→∞
−→ 0.
�
1
lim
n→∞ n max
k=1,...,n Sk
� �
1
= lim
n→∞ n min
k=1,...,n Sk
�
=0.
�
Nun ist Rn ≤ 1+
Satz 20.19 ist dann P[A] =0
max
k=1,...,n Sk
� �
−
min
k=1,...,n Sk
�
,also 1
n Rn
n→∞
−→ 0. Nach
2. Schritt Setze σn := inf{m ∈ N : Sm+n = Sn} und Bn := {σn < ∞} für
∞�
n ∈ N0 und B := Bn.
n=0
Wegen {σ0 = ∞} = A ist P[σ0 < ∞] =1. Stationarität impliziert P[σn < ∞] =
1 für jedes n ∈ N0, also P[B] =1.
Setze τ0 =0und iterativ τn+1 = τn + στn für n ∈ N0. Dannistτnder Zeitpunkt
der n-ten Rückkehr von S nach 0.AufBist τn < ∞ für jedes n ∈ N0, also
P � Sn =0 unendlich oft � = P � τn < ∞ für alle n ∈ N � ≥ P[B] =1. ✷
Wenn in Satz 20.20 die Zufallsvariablen Xn nicht ganzzahlig sind, kann man nicht
hoffen, dass Sn =0für irgendein n ∈ N mit positiver Wahrscheinlichkeit gilt. Andererseits
gilt auch hier eine Art Rekurrenzeigenschaft, nämlich Sn/n n→∞
−→ 0 fast
sicher nach dem Ergodensatz. Damit ist allerdings noch nicht ausgeschlossen, dass
n→∞
vielleicht Sn −→ ∞ mit positiver Wahrscheinlichkeit gelten könnte, etwa, wenn

20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten 425
Sn von der Größenordnung √ n wächst. Der nächste Satz zeigt uns, dass der Partialsummenprozess
nur linear schnell nach ∞ gehen kann, wenn die Xn integrierbar
sind.
Satz 20.21. Sei (Xn)n∈N ein reeller ergodischer Prozess und jedes Xn integrierbar.
Sei Sn = X1 +...+Xn für n ∈ N0. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
n→∞
(i) Sn −→ ∞ fast sicher.
�
�
n→∞
(ii) P −→ ∞ > 0.
Sn
Sn
(iii) lim
n→∞ n = E[X1] > 0 fast sicher.
Sind die Zufallsvariablen X1,X2,...u.i.v. mit E[X1] =0und P[X1 =0]< 1, so
gilt lim infn→∞ Sn = −∞ und lim supn→∞ Sn = ∞ fast sicher.
Beweis. (i) ⇐⇒ (ii)“ Offenbar ist {Sn
”
also Wahrscheinlichkeit 0 oder 1.
n→∞
−→ ∞} ein invariantes Ereignis, hat
” (iii) =⇒ (i)“ Dies ist trivial.
” (i) =⇒ (iii)“ Die Gleichheit folgt aus dem individuellen Ergodensatz. Es reicht
also zu zeigen, dass lim infn→∞ Sn/n > 0 fast sicher gilt.
Für n ∈ N0 und ε>0 sei
A ε n := � Sm >Sn + ε für alle m ≥ n +1 � .
Sei S− := inf{Sn : n ∈ N0}. Nach Voraussetzung (i) ist S− > −∞ fast sicher
und τ := sup{n ∈ N0 : Sn = S− } fast sicher endlich. Es gibt also ein N ∈ N mit
P[τ 0.
ergodisch. Nach dem individuellen
Da (Xn)n∈N ergodisch ist, ist auch � Aε n n∈N0
Ergodensatz gilt daher 1 �n−1 n i=0 Aε n→∞
n
−→ p fast sicher. Also existiert ein n0 =
n0(ω) mit �n−1 i=0 Aε pn
≥ n 2 für alle n ≥ n0. Es folgt Sn ≥ pnε
2 für n ≥ n0, also
lim infn→∞ Sn/n ≥ pnε
2 > 0.
Der Zusatz folgt, weil lim inf Sn und lim sup Sn keinen endlichen Wert annehmen
können und damit terminal messbar sind, also fast sicher konstant gleich −∞ oder
+∞. Nach dem schon Gezeigten ist aber Sn
n→∞
−→ ∞ ausgeschlossen, also gilt
lim infn→∞ Sn = −∞. Analog folgt lim supn→∞ Sn = ∞. ✷
Bemerkung 20.22. Satz 20.21 gilt auch ohne die Integrierbarkeitsbedingung für die
Xn. Siehe [92]. ✸

426 20 Ergodentheorie
20.5 Mischung
Ergodizität stellt einen relativ schwachen Begriff für Unabhängigkeit“ oder Durch-
” ”
mischung“ dar. Auf dem anderen Ende der Skala steht als stärkster Begriff u.i.v.“.
”
Hier wollen wir dazwischen liegende Mischungsbegriffe betrachten.
Sei im Folgenden stets (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes dynamisches System und
Xn := X0 ◦ τ n . Wir beginnen mit einer einfachen Betrachtung.
Satz 20.23. (Ω,A, P,τ) ist genau dann ergodisch, wenn für alle A, B ∈Agilt
lim
n→∞
n−1
1 �
n
k=0
Beweis. ” =⇒ “ Sei (Ω,A, P,τ) ergodisch. Setze
Yn := 1
n−1 �
n
k=0
P � A ∩ τ −k (B) � = P[A] P[B]. (20.7)
τ −k (B) = 1
n−1 �
n
k=0
n→∞
B ◦ τ k .
Nach dem Birkhoff’schen Ergodensatz gilt Yn −→ P[B] fast sicher. Also gilt
n→∞
−→ A P[B] fast sicher. Majorisierte Konvergenz liefert
Yn A
n−1
1 �
P
n
� A ∩ τ −k (B) � = E [Yn A] n→∞
−→ E [ A P[B]] = P[A] P[B].
k=0
” ⇐= “ Gelte nun (20.7). Sei A ∈I(invariante σ-Algebra) und B = A. Offenbar
ist A ∩ τ −k (A) =A für jedes k ∈ N0. Also ist nach (20.7)
P[A] = 1
n−1 �
P
n
� A ∩ τ −k (A) � n→∞
−→ P[A] 2 .
k=0
Mithin ist P[A] ∈{0, 1}, also I trivial und damit τ ergodisch. ✷
Wir betrachten jetzt folgende Verschärfung von (20.7).
Definition 20.24. Ein maßerhaltendes dynamisches System (Ω,A, P,τ) heißt mischend,
falls
lim
n→∞ P � A ∩ τ −n (B) � = P[A] P[B] für alle A, B ∈A. (20.8)
Bemerkung 20.25. Gelegentlich wird die Mischungseigenschaft (20.8) auch als
stark mischend bezeichnet. Im Gegensatz dazu heißt (Ω,A, P,τ) schwach mischend,
falls

1
lim
n→∞ n
20.5 Mischung 427
n−1 � � � � �
� −n
P A ∩ τ (B) − P[A] P[B] � =0 für alle A, B ∈A. ✸
i=0
” Stark mischend“ impliziert schwach mischend“ (siehe Übung 20.5.1). Anderer-
”
seits gibt es schwach mischende Systeme, die nicht stark mischend sind (siehe [82]).
Beispiel 20.26. Sei I = N0 oder I = Z und (Xn)n∈I eine u.i.v. Folge mit Werten
im Messraum (E,E), also τ der Shift auf dem Produktraum Ω = EI , P =
(PX0 )⊗I . Seien A, B ∈E⊗I . Zu jedem ε>0 gibt es Ereignisse Aε und Bε , die nur
von endlich vielen Koordinaten abhängen und mit P[A△Aε ]

428 20 Ergodentheorie
Beweis. (i) Dies haben wir schon in Beispiel 20.17 gezeigt.
(ii) Da X irreduzibel ist, ist π({x}) > 0 für jedes x ∈ E nach Satz 17.51.
” =⇒ “ Sei X periodisch mit Periode d ≥ 2. Istn∈ N kein Vielfaches von d, so
ist pn (x, x) =0. Mithin gilt für A = B = {X0 = x}
lim inf
n→∞ Pπ[X0 = x, Xn = x] = lim inf
n→∞ π({x}) pn (x, x)
Also ist X nicht mischend.
=0�= π({x}) 2 = Pπ[X0 = x] 2 .
” ⇐= “ Sei X aperiodisch. Zur Vereinfachung der Notation können wir annehmen,
dass X der kanonische Prozess auf EN0 ist. Seien A, B ⊂ Ω = EN0 messbar.
Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N und Ãε ∈ E {0,...,N} , sodass, mit
Aε = Ãε × E {N+1,N+2,...} gilt, dass P[A △ Aε ]

21 Die Brown’sche Bewegung
In Beispiel 14.45 hatten wir einen (kanonischen) Prozess (Xt) t∈[0,∞) hergestellt mit
unabhängigen, stationären, normalverteilten Zuwächsen. Ein solcher Prozess kann
beispielsweise als Modell eines Flimmerteilchens in einer Suspension dienen oder
als Grundlage für Aktienkursmodelle. Jetzt sind wir nicht nur an den Eigenschaften
von X zu einem oder mehreren festen Zeitpunkten interessiert, sondern auch an Eigenschaften,
die den ganzen Pfad t ↦→ Xt betreffen, beispielsweise am Funktional
F (X) :=sup t∈[0,1] Xt. Ist aber F überhaupt eine Zufallsvariable?
Wir werden in diesem Kapitel Stetigkeitseigenschaften von Pfaden stochastischer
Prozesse untersuchen, die die Messbarkeit von interessanten Funktionalen sichern.
Danach konstruieren wir eine Version von X, die stetige Pfade hat, die so genannte
Brown’sche Bewegung. Ohne Übertreibung kann man sagen, dass dies das zentrale
Objekt der Wahrscheinlichkeitstheorie ist.
21.1 Stetige Modifikationen
Die Pfade eines kanonischen Prozesses sind natürlich nicht per se stetig, da ja jede
Abbildung als Pfad auftaucht. Es wird also wichtig sein zu entscheiden, welche
Pfade zumindest P-fast sicher keine Rolle spielen.
Definition 21.1 (Modifikation / ununterscheidbare Prozesse). Seien X und Y
stochastische Prozesse auf (Ω,A, P) mit Zeitbereich I und Zustandsraum E.
(i) X und Y heißen Modifikationen oder Versionen voneinander, falls für jedes
t ∈ I gilt
P-fast sicher.
Xt = Yt
(ii) X und Y heißen ununterscheidbar, falls es ein N ∈Agibt mit P[N] =0und
{Xt �= Yt} ⊂N für jedes t ∈ I.
Offenbar ist ” ununterscheidbar“ stärker als ” Modifikation“. Unter gewissen Stetigkeitsannahmen
an die Prozesse fallen die Begriffe allerdings zusammen.

430 21 Die Brown’sche Bewegung
Definition 21.2. Seien (E,d) und (E ′ ,d ′ ) metrische Räume und γ ∈ (0, 1]. Eine
Abbildung ϕ : E → E ′ heißt im Punkte r ∈ E Hölder-stetig der Ordnung γ (kurz:
Hölder-γ-stetig), falls es ein ε>0 und ein C 0 gibt, sodass für alle s, r ∈ E mit d(s, t) 0, und gilt für ein ε>0 und
ein C(ε) < ∞, sowie für alle s, t ∈ I mit |t − s| ≤ε
|f(t) − f(s)| ≤C(ε) |t − s| γ ,
so ist f Hölder-stetig der Ordnung γ mit Konstante C := C(ε) ⌈T/ε⌉ 1−γ .
Beweis. (i) Klar, weil |t − s| γ ≤|t− s| γ′ für alle s, t ∈ I mit |t − s| ≤1.
(ii) Für t ∈ I und ε>0 sei Uε(t) :={s ∈ I : |s − t| 0 und C(t) < ∞ so gewählt, dass
|f(r) − f(s)| ≤C(t) ·|r − s| γ
für alle r, s ∈ Ut := U ε(t)(t).
Zu der offenen Überdeckung U := {Ut, t ∈ I} von I gibt es eine endliche
Teilüberdeckung U ′ = {Ut1 ,...,Utn }.Seiϱ > 0 eine Lebesgue’sche Zahl der
Überdeckung U ′ , das heißt, ϱ>0 ist so gewählt, dass für jedes t ∈ I ein U ∈ U
existiert mit Uϱ(t) ⊂ U. Setze
C := max � C(t1),...,C(tn), 2�f�∞ϱ γ� .

21.1 Stetige Modifikationen 431
Für s, t ∈ I mit |t − s| < ϱ gibt es ein i ∈ {1,...,n} mit s, t ∈ Uti . Nach
Voraussetzung ist |f(t) − f(s)| ≤C(ti) |t − s| γ ≤ C |t − s| γ . Seien nun s, t ∈ I
mit |s − t| ≥ϱ. Dannist
�γ �
|t − s|
|f(t) − f(s)| ≤2�f�∞
ϱ
≤ C |t − s| γ .
Also ist f Hölder-stetig von der Ordnung γ mit Konstante C.
(iii) Sei n = � T
ε
� .Für s, t ∈ I gilt nach Voraussetzung |t−s|
n
≤ ε und daher
|f(t) − f(s)| ≤
n�
�
�
�
�
k=1
f
�
s +(t− s) k
� �
��
k − 1 ���
− f s +(t− s)
n
n
≤ C(ε) n 1−γ |t − s| γ = C |t − s| γ . ✷
Definition 21.4 (Pfadeigenschaften). Sei I ⊂ R und X =(Xt,t ∈ I) ein reellwertiger
stochastischer Prozess auf einem W-Raum (Ω,A, P) mit Werten in einem
metrischen Raum (E,d) sowie γ ∈ (0, 1]. Für jedes ω ∈ Ω nennen wir die Abbildung
I → E, t ↦→ Xt(ω) einen Pfad von X.
Wir sagen, dass X fast sicher stetige Pfade hat, oder kurz, dass X f.s. stetig ist, falls
für fast jedes ω ∈ Ω der Pfad t ↦→ Xt(ω) stetig ist. Analog definieren wir lokal
Hölder-γ-stetige Pfade und so weiter.
Lemma 21.5. Seien X und Y Modifikationen voneinander. Es gelte eine der Bedingungen
(i) I ist abzählbar.
(ii) I ⊂ R ist ein Intervall und X und Y sind fast sicher rechtsstetig.
Dann sind X und Y ununterscheidbar.
Beweis. Setze Nt := {Xt �= Yt} für t ∈ I und ¯ N = �
t∈I Nt. Nach Voraussetzung
gilt P[Nt] =0für jedes t ∈ I. Zu zeigen ist jeweils: Es existiert N ∈Amit ¯ N ⊂ N
und P[N] =0.
(i) Ist I abzählbar, so ist N := ¯ N messbar und P[N] ≤ �
t∈I P[Nt] =0.
(ii) Sei nun I ⊂ R ein Intervall, und seien X und Y fast sicher rechtsstetig. Setze
¯R := {X und Y sind rechtsstetig}
und wähle R ∈Amit R ⊂ ¯ R und P[R] =1. Setze
�
�I
Q ∩ I, falls I rechtsseitig offen ist,
:=
(Q ∩ I) ∪ max I, falls I rechtsseitig abgeschlossen ist,

432 21 Die Brown’sche Bewegung
und � N := �
r∈� I Nr. Nach (i) gilt P[ � N]=0. Weiter gilt für jedes t ∈ I
Nt ∩ R ⊂ �
(Nr ∩ R) ⊂ � N.
Also gilt
¯N ⊂ R c ∪ �
r≥t, r∈ � I
t∈I
Nt ⊂ R c ∪ � N =: N,
und damit P[N] ≤ P[R c ]+P[ � N]=0. ✷
Wir kommen zum Hauptsatz dieses Abschnitts.
Satz 21.6 (Kolmogorov-Chentsov). Sei X =(Xt, t∈ [0, ∞)) ein reellwertiger
Prozess. Für jedes T>0 gebe es Zahlen α, β, C > 0 mit
Dann gelten:
E [|Xt − Xs| α ] ≤ C|t − s| 1+β
für alle s, t ∈ [0,T]. (21.2)
(i) Es existiert eine Modifikation � X =( � Xt, t∈ � [0, ∞)) von X, die lokal Hölderstetige
Pfade hat von jeder Ordnung γ ∈ 0, β
�
α .
�
(ii) Sei γ ∈ 0, β
�
α . Zu jedem ε>0 und T 0 sind dann nach Lemma 21.5 die Prozesse X S und
X T ununterscheidbar auf [0,S∧ T ], also ist
ΩS,T :=
�
es gibt ein t ∈ [0,S∧ T ] mit X T t �= X S t
eine Nullmenge, und damit ist auch Ω∞ := �
S,T ∈N
˜Xt(ω) :=Xt t (ω) für ω ∈ Ω \ Ω∞, und ˜ X ist eine stetige Modifikation von X.
�
ΩS,T eine Nullmenge. Mithin ist
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei T =1. Wir zeigen, dass X eine auf [0, 1]
stetige Modifikation besitzt. Die Chebyshev’sche Ungleichung liefert für ε>0
also
P [|Xt − Xs| ≥ε] ≤ Cε −α |t − s| 1+β
(21.4)

21.1 Stetige Modifikationen 433
s→t
Xs −→ Xt stochastisch. (21.5)
Die Idee ist, zunächst � X auf den binär rationalen Zahlen zu konstruieren und dann
stetig auf [0, 1] fortzusetzen. Dafür wird (21.5) gebraucht. Speziell ist für γ > 0
sowie n ∈ N und k ∈{1,...,2n }
P �� �
�Xk2−n − X (k−1)2−n� −γn
≥ 2 � ≤ C 2 −n(1+β−αγ) .
Wir setzen
An = An(γ) := � max � |X k2 −n − X (k−1)2 −n|, k∈{1,...,2 n } � ≥ 2 −γn� ,
sowie
∞�
Bn := Am,
m=n
und N := lim sup An =
n→∞
Es folgt dann für jedes n ∈ N
∞�
Bn.
n=1
�
P[An] ≤ P � |Xk2−n − X (k−1)2−n| ≥2 −γn� ≤ C 2 −n(β−αγ) .
2 n
k=1
Wir wählen jetzt ein γ ∈ (0,β/α) und erhalten
P[Bn] ≤
∞�
m=n
P[Am] ≤ C 2−(β−αγ)n
1 − 2 αγ−β
n→∞
−→ 0, (21.6)
also P[N] =0. Sei nun ω ∈ Ω \ N fest und n0 = n0(ω) so, dass ω �∈ ∞�
Also gilt
�
� Xk2 −n(ω) − X (k−1)2 −n(ω) � � < 2 −γn
n=n0
An.
für k ∈{1,...,2 n },n≥ n0. (21.7)
Wir definieren die Mengen endlicher dyadischer Zahlen Dm = {k2 −m ,k =
0,...,2 m } und D = �
Dm. Jedes t ∈ Dm besitzt eine eindeutige Binärdar-
stellung
t =
m∈N
m�
bi(t)2 −i
i=1
für gewisse bi(t) ∈{0, 1}, i=1,...,m.
Seien m ≥ n ≥ n0 sowie s, t ∈ Dm,s≤ t mit |s−t| ≤2−n .Dannistbi(t−s) =0
für i

434 21 Die Brown’sche Bewegung
rn−1 = s, rm = t und rl+1 − rl ≤ 2 −(l+1) für l = n − 1,...,m.
Also ist nach (21.7)
|Xt(ω) − Xs(ω)| ≤
m−1 �
l=n−1
�
� Xrl+1 (ω) − Xrl (ω)� � ≤
m�
l=n
2 −γl ≤ 2−γn
. (21.8)
1 − 2−γ Setze nun C0 =2 γ (1 − 2 −γ ) −1 < ∞. Seien s, t ∈ D mit |s − t| ≤2 −n0 . Indem
wir n ≥ n0 minimal wählen mit |t − s| ≥2 −n , erhalten wir aus (21.8)
|Xt(ω) − Xs(ω)| ≤C0 |t − s| γ . (21.9)
Wie im Beweis von Lemma 21.3(iii) folgt hieraus, dass (mit K := C02 (n+1)(1−γ) )
|Xt(ω) − Xs(ω)| ≤K |t − s| γ
für alle s, t ∈ D. (21.10)
Mit anderen Worten: Auf den binärrationalen Zahlen D ist X(ω) (global) Hölderγ-stetig.
Speziell ist X auf D gleichmäßig stetig, lässt sich also eindeutig stetig auf
[0, 1] fortsetzen: Für t ∈ D setze � Xt := Xt.Für t ∈ [0, 1]\D und {sn, n∈ N} ⊂D
mit sn −→ t ist (Xsn (ω)) n∈N eine Cauchy-Folge. Also existiert der Limes
�Xt(ω) := lim
D∋s→t Xs(ω), (21.11)
und es gilt dann die zu (21.10) analoge Aussage auch für beliebige s, t ∈ [0, 1]
�
�
� � Xt(ω) − � �
�
Xs(ω) � ≤ K |t − s| γ
für alle s, t ∈ [0, 1]. (21.12)
Also ist � X lokal Hölder-stetig von der Ordnung γ. Nach (21.5) und (21.11) gilt
P � Xt �= � �
Xt =0für jedes t ∈ [0, 1]. AlsoistX� eine Modifikation von X.
Um (ii) zu zeigen, sei ε>0, und sei n ∈ N so groß gewählt, dass (siehe (21.6))
P[Bn] ≤ C 2−(β−αγ)n
0 sowie jedes T>0 und gewisses C

21.1 Stetige Modifikationen 435
Übung 21.1.1. Man zeige die Aussage von Bemerkung 21.7. ♣
Übung 21.1.2. Sei X =(Xt)t≥0 ein reellwertiger Prozess mit stetigen Pfaden. Man
zeige, dass für alle 0 ≤ a

436 21 Die Brown’sche Bewegung
21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften
Definition 21.8. Ein reellwertiger stochastischer Prozess B =(Bt, t ∈ [0, ∞))
heißt Brown’sche Bewegung, falls
(i) B0 =0,
(ii) B hat unabhängige, stationäre Zuwächse (vergleiche Definition 9.7),
(iii) Bt ∼N0,t für t>0,
(iv) P-fast sicher gilt: t ↦→ Bt ist stetig.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5 1 1.5 2
Abb. 21.1. Computersimulation einer Brown’schen Bewegung.
Satz 21.9. Es existiert ein W-Raum (Ω,A, P) und eine Brown’sche Bewegung B
auf (Ω,A, P). Die Pfade von B sind f.s. lokal Hölder-γ-stetig für jedes γ< 1
2 .
Beweis. Wie in Beispiel 14.45 oder Korollar 16.10 gibt es einen stochastischen
D
Prozess X, der (i), (ii) und (iii) erfüllt. Offenbar ist Xt−Xs = √ t − sX1 ∼N0,t−s
für alle t>s≥ 0. Es gilt daher für jedes n ∈ N und Cn := E[X2n n ]= (2n)!
2nn! < ∞
�
E (Xt − Xs) 2n�
��√t �2n
= E − sX1
�
= Cn |t − s| n .
Sei nun n ≥ 2 und γ ∈ (0, n−1
2n ). Satz 21.6 liefert die Existenz einer Version B
von X mit Hölder-γ-stetigen Pfaden. Da alle stetigen Versionen eines Prozesses
äquivalent sind, ist B lokal Hölder-γ-stetig für jedes γ ∈ (0, n−1
2n ) und jedes n ≥ 2,
also für jedes γ ∈ (0, 1
2 ). ✷

21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften 437
Erinnerung: Ein stochastischer Prozess (Xt)t∈I heißt Gauß’scher Prozess, falls für
jedes n ∈ N und alle t1,...,tn ∈ I gilt
(Xt1 ,...,Xtn ) ist n–dimensional normalverteilt.
Wir nennen X zentriert, falls E[Xt] =0für jedes t ∈ I. Die Funktion
heißt Kovarianzfunktion von X.
Γ (s, t) :=Cov[Xs,Xt] für s, t ∈ I,
Bemerkung 21.10. Durch die Kovarianzfunktion sind die endlichdimensionalen
Verteilungen eines zentrierten, Gauß’schen Prozesses eindeutig festgelegt, denn eine
mehrdimensionale Normalverteilung ist durch den Erwartungswertvektor und
Kovarianzmatrix vollständig beschrieben. ✸
Satz 21.11. Für einen stochastischen Prozess X =(Xt) t∈[0,∞) sind äquivalent:
(i) X ist eine Brown’sche Bewegung.
(ii) X ist ein stetiger, zentrierter, Gauß’scher Prozess mit Cov[Xs,Xt] =s ∧ t für
alle s, t ≥ 0.
Beweis. Nach Bemerkung 21.10 ist X durch (ii) eindeutig bestimmt. Es reicht also
zu zeigen, dass Cov[Xs,Xt] =min(s, t) für die Brown’sche Bewegung X gilt.
Dies ist aber richtig, denn für t>ssind Xs und Xt − Xs unabhängig, also ist
Cov[Xs,Xt] =Cov[Xs,Xt − Xs]+ Cov[Xs,Xs] =Var[Xs] =s. ✷
Korollar 21.12 (Skalierungseigenschaft der Brown’schen Bewegung). Ist B eine
Brown’sche Bewegung und K �= 0, dann ist auch (KB K 2 t)t≥0 eine Brown’sche
Bewegung.
Beispiel 21.13. Ein weiteres Beispiel für einen stetigen, Gauß’schen Prozess ist die
Brown’sche Brücke X, die die Kovarianzfunktion Γ (s, t) =s ∧ t − st hat. Wir
konstruieren die Brown’sche Brücke wie folgt: Sei B = (Bt, t ∈ [0, 1]) eine
Brown’sche Bewegung und
Xt := Bt − tB1.
Offenbar ist X ein zentrierter, Gauß’scher Prozess mit stetigen Pfaden. Die Kovarianzfunktion
Γ von X errechnet sich zu
Γ (s, t) =Cov[Xs,Xt] =Cov[Bs − sB1,Bt − tB1]
= Cov[Bs,Bt] − s Cov[B1,Bt] − t Cov[Bs,B1]+st Cov[B1,B1]
=min(s, t) − st − st + st =min(s, t) − st. ✸

438 21 Die Brown’sche Bewegung
Satz 21.14. Sei (Bt)t≥0 eine Brown’sche Bewegung und
�
tB1/t, falls t>0,
Xt =
0, falls t =0.
Dann ist X eine Brown’sche Bewegung.
Beweis. Offenbar ist X ein Gauß’scher Prozess. Für s, t > 0 ist
Cov[Xs,Xt] =ts · Cov[B 1/s,B 1/t] =ts min � s −1 ,t −1� =min(s, t).
Offenbar ist t ↦→ Xt stetig in allen t>0. Für die Stetigkeit in t =0betrachte
lim sup Xt = lim sup
t↓0
t→∞
≤ lim sup
n→∞
1
t Bt
1
n Bn + lim sup
n→∞
1
n sup � Bt − Bn, t∈ [n, n +1] � .
Nach dem Starken Gesetz der großen Zahl ist limn→∞ 1
n Bn =0f.s. Nach einer
Verallgemeinerung des Spiegelungsprinzips (Satz 17.15, siehe auch Satz 21.19) ist
für x>0 (mit der Abkürzung B [a,b] := {Bt : t ∈ [a, b]})
P � sup B [n,n+1] − Bn >x � = P � sup B [0,1] >x � =2P[B1 >x]
= 2
� ∞
√ e
2π x
−u2 /2 1
du ≤
x e−x2 /2
.
∞�
Speziell ist P � sup B [n,n+1] − Bn >n ε� < ∞ für jedes ε>0. Nach dem
n=1
Lemma von Borel-Cantelli (Satz 2.7) ist daher
lim sup
n→∞
1
n sup � Bt − Bn, t∈ [n, n +1] � =0 fast sicher.
Mithin ist X auch in 0 stetig. ✷
Satz 21.15 (Blumenthal’sches 0-1 Gesetz). Sei B eine Brown’sche Bewegung
und F =(Ft)t≥0 = σ(B) die erzeugte Filtration, sowie F + �
0 = t>0 Ft. Dann
ist F + 0 eine P-triviale σ-Algebra.
Beweis. Setze Y n =(B 2 −n +t − B 2 −n) t∈[0,2 −n ], n ∈ N. Dannist(Y n )n∈N eine
unabhängige Familie von Zufallsvariablen (mit Werten in C([0, 2 −n ])). Die termi-
nale σ-Algebra T = �
n∈N σ(Y m ,m≥ n) ist nach dem Kolmogorov’schen 0-1
Gesetz (Satz 2.37) P–trivial. Andererseits ist σ(Y m ,m≥ n) =F 2 −n+1, also ist
F + 0
�
= Ft = �
t>0
n∈N
F 2 −n+1 = T
P–trivial. ✷

21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften 439
Beispiel 21.16. Sei B eine Brown’sche Bewegung. Für jedes K>0 ist
P � inf � t>0: Bt ≥ K √ t � =0 � =1. (21.14)
Um dies einzusehen, setze As := � inf{t >0: Bt ≥ K √ t } 0: Bt ≥ K √ t � �
= 0 = �
As ∈ F + 0 .
Dann ist P[A] ∈{0, 1}. Wegen der Skalierungseigenschaft der Brown’schen Bewegung
ist P[A] =inf
s>0 P[As] ≥ P[B1 ≥ K] > 0 und deshalb P[A] =1. ✸
Das eben untersuchte Beispiel zeigt insbesondere für jedes t ≥ 0, dassBin t fast
sicher nicht Hölder- 1
2-stetig ist. Hier ist Vorsicht mit der Reihenfolge der Quantoren
angebracht: Wir haben nicht gezeigt, dass B fast sicher in keinem t ≥ 0 Hölder-
1
2-stetig wäre (siehe aber Bemerkung 22.4). Wir können allerdings ohne großen
Aufwand den folgenden Satz zeigen, der für den Fall γ =1auf Paley, Wiener und
Zygmund [118] zurückgeht. Der hier vorgestellte Beweis beruht auf einer Idee von
Dvoretzky, Erdös und Kakutani (siehe [39]).
Satz 21.17 (Paley-Wiener-Zygmund (1933)). Für jedes γ> 1
2 sind die Pfade der
Brown’schen Bewegung (Bt)t≥0 fast sicher in keinem Punkte Hölder-stetig der
Ordnung γ. Insbesondere sind die Pfade fast sicher nirgends differenzierbar.
Beweis. Sei γ> 1
2 . Es reicht, B =(Bt) t∈[0,1] zu betrachten. Wir bezeichnen mit
Hγ,t die Menge der in t Hölder-γ-stetigen Abbildungen [0, 1] → R und setzen
Hγ := �
t∈[0,1] Hγ,t. Das Ziel ist zu zeigen, dass fast sicher B �∈ Hγ gilt.
Ist t ∈ [0, 1) und w ∈ Hγ,t, so existiert zu jedem δ>0 ein c = c(δ, w) mit der
Eigenschaft, dass |ws − wt| ≤c |s − t| γ ist für jedes s ∈ [0, 1] mit |s − t| 2
2γ−1 ,soistfür n ∈ N mit n ≥ n0 := ⌈(k +1)/δ⌉,
i = ⌊tn⌋ +1und l ∈{0,...,k− 1} speziell
�
� � � � �
�w(i+l+1)/n − w �
(i+l)/n ≤ �w(i+l+1)/n − wt
� + �w(i+l)/n − wt
� γ −γ
≤ 2c (k +1) n .
Für N ≥ 2c (k +1) γ ist also w ∈ AN,n,i, wobei
AN,n,i :=
k−1 �
l=0
s>0
�
w : � �
�w (i+l+1)/n − w �
(i+l)/n ≤ Nn −γ�
.
Setzen wir AN,n = �n n≥n0 AN,n und A = �∞ N=1 AN ,soist
offenbar Hγ ⊂ A. Nun ist wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse, und weil die
Dichte der Standardnormalverteilung nirgends größer als 1 ist
i=1 AN,n,i, AN = �
P[B ∈ AN,n,i] =P � |B 1/n| ≤Nn −γ� k = P � |B1| ≤Nn −γ+1/2� k
≤ N k n k(−γ+1/2) .

440 21 Die Brown’sche Bewegung
Nach Wahl von k und wegen der Stationarität der Zuwächse von B gilt
P � �
B ∈ AN ≤ lim
n→∞ P
�
�
≤ lim sup
n→∞
m≥n
AN,m
�
≤ lim sup
n→∞
n P[B ∈ AN,n,1] ≤ N k lim sup
n→∞
P[AN,n] ≤ lim sup
n→∞
n�
i=1
n 1+k(−γ+1/2) =0
P[AN,n,i]
und damit P[B ∈ A] =0. Mithin ist fast sicher B �∈ Hγ. ✷
Übung 21.2.1. Sei B eine Brown’sche Bewegung und λ das Lebesgue-Maß auf
[0, ∞).
(i) Bestimme Erwartungswert und Varianz von � 1
0 Bs ds.(Für die Messbarkeit des
Integrals siehe Übung 21.1.2.)
(ii) Zeige, dass λ � {t : Bt =0} � =0fast sicher gilt.
(iii) Bestimme Erwartungswert und Varianz von
� 1
0
� � 1
0
� 1
Bt −
0
�2 Bs ds dt. ♣
Übung 21.2.2. Sei B eine Brown’sche Bewegung. Zeige, dass auch (B 2 t −t)t≥0 ein
Martingal ist. ♣
Übung 21.2.3. Sei B eine Brown’sche Bewegung und σ > 0. Zeige, dass auch
� �
exp σBt − σ2
2 t�� ein Martingal ist. ♣
t≥0
Übung 21.2.4. Sei B eine Brown’sche Bewegung und a0} dx.
(iii) Die Verteilung von τb hat die Dichte fb(x) = b
√ 2π e −b2 /(2x) x −3/2 . ♣

21.3 Starke Markoveigenschaft 441
Übung 21.2.6. Sei B eine Brown’sche Bewegung, a ∈ R und b>0 sowie τ =
inf{t ≥ 0: Bt = at + b}. Man zeige für λ ≥ 0
E � e −λτ � �
=exp − ba − b � a2 + λ2 �
und folgere P[τ

442 21 Die Brown’sche Bewegung
Weiter gilt
Fτn ↓Fτ+ :=
= lim
n→∞ Ex
�
σ>τ ist Stoppzeit
Fσ ⊃ Fτ .
Nach (21.16) und (21.17) sowie dem Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale
(Satz 12.14) gilt also im Sinne von L1-Limiten EBτ [F (B)] = lim
n→∞ Ex
� �
F (Bτ n ��
�Fτ
+t)t≥0 n
�
� � ��
F (Bτ+t)t≥0 �Fτ n
� � � �� �
= Ex F (Bτ+t)t≥0
�Fτ+ .
Die linke Seite ist Fτ -messbar. Die Turmeigenschaft der bedingten Erwartung liefert
also (21.15). ✷
Mit Hilfe der starken Markoveigenschaft zeigen wir das Reflexionsprinzip für die
Brown’sche Bewegung.
Satz 21.19 (Reflexionsprinzip für die Brown’sche Bewegung). Für jedes a>0
und T>0 gilt
P � sup � Bt : t ∈ [0,T] � >a � =2P[BT >a] ≤ 2√ T
√ 2π
1
a e−a2 /2T .
Beweis. Wegen der Skalierungseigenschaft der Brown’schen Bewegung (Korollar
21.12) können wir ohne Einschränkung T =1annehmen. Sei τ := inf{t ≥
0: Bt ≥ a}∧1. Aus Symmetriegründen ist Pa[B1−τ >a]= 1
2 , falls τa]=P[B1 >a � �τ

21.3 Starke Markoveigenschaft 443
Beweis. Ohne Einschränkung sei T = 1 und ζ = ζ1. Sei� B eine weitere, unabhängige
Brown’sche Bewegung. Nach dem Reflexionsprinzip gilt
P[ζ ≤ t] =P � Bs �= 0für jedes s ∈ [t, 1] �
=
=
=
� ∞
−∞
� ∞
−∞
� ∞
P0
−∞
P � Bs �= 0für jedes s ∈ [t, 1] � �Bt = a � P[Bt ∈ da]
�
P �Bs
|a| > 0 für jedes s ∈ [0, 1 − t] � P[Bt ∈ da]
� | � B1−t| ≤|a| � P[Bt ∈ da] = P � | � B1−t| ≤|Bt| � .
Sind X, Y unabhängig und N0,1-verteilt, so ist � Bt, � � D= �√ √ �
B1−t tX, 1 − tY .
Es folgt
P[ζ ≤ t] =P �√ 1 − t |Y |≤ √ t |X| �
= P � Y 2 ≤ t(X 2 + Y 2 ) �
= 1
2π
� ∞
−∞
dx
Durch Polarkoordinatentransformation erhalten wir
P[ζ ≤ t] = 1
2π
� ∞
rdre
0
−r2 � 2π
/2
0
� ∞
dy e
−∞
−(x2 +y 2 )/2
{y2≤t(x2 +y2 )}.
dϕ {sin(ϕ) 2≤t} = 2
π arcsin
�√ �
t . ✷
Übung 21.3.1. (Schwierig!) Sei Px die Verteilung der Brown’schen Bewegung mit
Start in x ∈ R. Seia>0 und τ =inf � t ≥ 0:Bt ∈{0,a} � . Man zeige mit Hilfe
des Spiegelungsprinzips, dass für jedes x ∈ (0,a) gilt
P x [τ

444 21 Die Brown’sche Bewegung
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse
In vielen Situationen kann man keine stetige Version eines Prozesses erwarten, etwa
beim Poissonprozess, der ja gewissermaßen von seinen Sprüngen lebt. Oft kann
jedoch eine Version mit rechtsstetigen Pfaden, die einen endlichen linksseitigen
Grenzwert besitzen, etabliert werden. Wir wollen hier knapp den Existenzsatz für
solche Prozesse für Feller’sche Halbgruppen plausibel machen.
Definition 21.21. Sei E ein polnischer Raum. Eine Abbildung f :[0, ∞) → E heißt
RCLL (right continuous with left limits) oder càdlàg (continue à droit, limites à
gauche), falls f(t) =f(t+) := lims↓t f(s) für jedes t ≥ 0 und falls der linksseitige
Grenzwert f(t−) := lims↑t f(s) für jedes t>0 existiert und endlich ist.
Bemerkung 21.22. Ist F eine beliebige Filtration und F +,∗
t die Vervollständigung
von F + t ,soerfüllt F +,∗ die üblichen Bedingungen. ✸
Definition 21.23. Eine Filtration F =(Ft)t≥0heißt rechtsstetig, falls F = F + ,
wo F + t = �
s>t Fs. Wir sagen, dass eine Filtration F die üblichen Bedingungen
erfüllt, falls F rechtsstetig ist und F0 jede P-Nullmenge enthält.
Satz 21.24 (Doob’sche Regularisierung). Sei F eine Filtration, die die üblichen
Bedingungen erfüllt, und X =(Xt)t≥0 ein F-Supermartingal mit der Eigenschaft,
dass t ↦→ E[Xt] rechtsstetig ist. Dann gibt es eine Modifikation � X von X mit RCLL
Pfaden.
Beweis. Für a, b ∈ Q + , a < b und I ⊂ [0, ∞) sei U a,b
I die Anzahl der Aufkreuzungen
von (Xt)t∈I über [a, b]. Nach der Aufkreuzungsungleichung (Lemma
11.3) folgt für jedes N > 0 und jede endliche Menge I ⊂ [0,N], dass
E[U a,b
I ] ≤ (E[|XN |] +|a|)/(b − a). Setzen wir U a,b a,b
N = UQ + ∩[0,N] , so folgt
E[U a,b
N ] ≤ (E[|XN |]+|a|)/(b − a). Für λ>0 ist nach Übung 11.1.1
λ P � sup{|Xt| : t ∈ Q + ∩ [0,N]} >λ �
�
= λ sup P � sup{|Xt| : t ∈ I} >λ � : I ⊂ Q + �
∩ [0,N] endlich
≤ 12 E[|X0|]+9E[|XN |].
Betrachte das Ereignis
A := � � �
N∈N
a,b∈Q +
0≤a

21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 445
�Xt(ω) := lim
Q + Xs(ω)
∋s↓t, s>t
und ist RCLL. Für ω ∈ Ac setzen wir Xt(ω) =0.DaF die üblichen Bedingungen
erfüllt, ist � X an F adaptiert. Da X ein Supermartingal ist, ist (Xs)s≤N für jedes N
gleichgradig integrierbar. Also gilt (nach Voraussetzung), dass
E[ � Xt] = lim
Q + E[Xs] =E[Xt].
∋s↓t, s>t
Da X ein Supermartingal ist, ist aber für s>t
Xt ≥ E[Xs |Ft] Q+ ∋s↓t, s>t
−→ E[ � Xt |Ft] = � Xt in L 1 .
Folglich ist Xt = � Xt fast sicher, also � X eine Modifikation von X. ✷
Korollar 21.25. Sei (νt)t≥0 eine stetige Faltungshalbgruppe mit � |x|ν1(dx) < ∞.
Dann existiert ein Markov-Prozess X mit unabhängigen, stationären Zuwächsen
PXt−Xs = νt−s für alle t>sund mit RCLL Pfaden.
Sei E ein lokalkompakter, polnischer Raum und C0(E) die Menge der (beschränkten)
stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden. Ist κ ein stochastischer
Kern von E nach E und ist f messbar und beschränkt, so schreiben wir κf(x) =
� κ(x, dy) f(y).
Definition 21.26. Eine Markov’sche Halbgruppe (κt)t≥0 auf E heißt Feller’sche
Halbgruppe, falls
f(x) = lim κtf(x) für jedes x ∈ E, f ∈ C0(E)
t→0
und κtf ∈ C0(E) für jedes f ∈ C0(E).
Sei X ein zu (κt)t≥0 gehöriger Markovprozess bezüglich einer Filtration F, die die
üblichen Bedingungen erfüllt.
Sei g ∈ C0(E), g ≥ 0. Setze h = � ∞
e −s κsh = e −s
� ∞
0
0 e−tκtgdt.Dannist � ∞
e −t κsκtgdt=
s
e −t κtgdt≤ h.
Also ist Xg := (e−th(Xt))t≥0 ein F-Supermartingal.
Die Fellereigenschaft und Satz 21.24 sichern nun die Existenz einer RCLL Version
�X g von Xg . Mit etwas mehr Arbeit kann man zeigen, dass mit einer abzählbaren
Menge G ⊂ C0(E) ein Prozess � X durch alle � Xg , g ∈ G, eindeutig festgelegt ist
und eine RCLL Version von X ist. Siehe etwa [139, Kapitel III.7ff].
Wir wollen nun rückblicken, wie wir die starke Markoveigenschaft der Brown’schen
Bewegung in Abschnitt 21.3 hergeleitet hatten. Tatsächlich wurde dort lediglich
die Rechtsstetigkeit der Pfade sowie eine Stetigkeit im Anfangspunkt benötigt, die
genau die Fellereigenschaft ist. Mit etwas Arbeit kann man daher den folgenden
Satz zeigen (siehe etwa [139, Kapitel III.8ff] oder [137, Kapitel III, Theorem 2.7]).

446 21 Die Brown’sche Bewegung
Satz 21.27. Sei (κt)t≥0 eine Feller’sche Halbgruppe auf dem lokalkompakten, polnischen
Raum E. Dann existiert ein starker Markovprozess (Xt)t≥0 mit RCLL Pfaden
und Übergangskernen (κt)t≥0.
Einen solchen Prozess X nennen wir auch einen Feller-Prozess.
Übung 21.4.1 (Doob’sche Ungleichung). Sei X = (Xt)t≥0ein Martingal oder
|Xt|.
nichtnegatives Submartingal mit RCLL Pfaden. Für T ≥ 0 sei |X| ∗ T
Man zeige die Doob’schen Ungleichungen:
(i) Für jedes p ≥ 1 und λ>0 gilt λ p P � |X| ∗ T ≥ λ � ≤ E � |XT | p� .
(ii) Für jedes p>1 gilt E � |XT | p� ≤ E � (|X| ∗ T )p� ≤
� p
p−1
= sup
t∈[0,T ]
� p
E � |XT | p� .
Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass auf die Rechtsstetigkeit von X nicht ohne
Weiteres verzichtet werden kann. ♣
Übung 21.4.2 (Martingalkonvergenzsätze). Sei X ein stochastischer Prozess mit
RCLL Pfaden. Man zeige mit Hilfe der Doob’schen Ungleichung (Übung 21.4.1),
dass die Martingalkonvergenzsätze (f.s. Konvergenz (Satz 11.4), f.s. und L 1 -Konvergenz
für gleichgradig integrierbare Martingale (Satz 11.7) und der L p -Martingalkonvergenzsatz
(Satz 11.10)) sinngemäß für X gelten. ♣
Übung 21.4.3. Sei p ≥ 1 und X1 ,X2 ,X3 ,...p-fach integrierbare Martingale. Für
jedes t ≥ 0 gebe es ein � Xt ∈Lp (P) mit Xn n→∞
t −→ � Xt in Lp .
(i) Zeige: ( � Xt)t≥0 ist ein Martingal.
(ii) Zeige mit Hilfe der Doob’schen Ungleichung: Ist p>1 und sind X 1 ,X 2 ,...
f.s. stetig, so gibt es ein stetiges Martingal X mit den Eigenschaften: X ist eine
Modifikation von � X und Xn t
n→∞
−→ Xt in Lp für jedes t ≥ 0. ♣
Übung 21.4.4. Sei X ein stochastischer Prozess mit Werten in einem polnischen
Raum E mit RCLL Pfaden, und sei F = σ(X) die von X erzeugte Filtration, sowie
F + := (F + t )t≥0 definiert durch F + t = �
s>t Fs. SeiU⊂ E offen und C ⊂ E
abgeschlossen. Für jede Menge A ⊂ E sei τA := inf{t >0: Xt ∈ A}. Man zeige:
(i) τC ist eine F-Stoppzeit (und eine F + -Stoppzeit).
(ii) τU ist eine F + -Stoppzeit, jedoch im Allgemeinen (selbst für stetiges X) keine
F-Stoppzeit. ♣
Übung 21.4.5. Man zeige die Aussage von Bemerkung 21.22 und folgere: Ist F
eine Filtration und B eine Brown’sche Bewegung, die ein F-Martingal ist. Dann ist
B auch ein F +,∗ -Martingal. ♣

21.5 Konstruktion durch L 2 -Approximation
21.5 Konstruktion durch L 2 -Approximation 447
Wir geben eine funktionalanalytische Konstruktion der Brown’schen Bewegung
durch eine L 2 –Approximation an. Der Einfachheit halber betrachten wir als Zeitintervall
[0, 1] statt [0, ∞).
Es sei also H = L2 ([0, 1]) der Hilbertraum der quadratintegrierbaren (bezüglich
des Lebesgue-Maßes λ) Funktionen [0, 1] → R mit Skalarprodukt
�
〈f,g〉 = f(x)g(x) λ(dx)
[0,1]
und Norm �f� = � 〈f,f〉 (vergleiche Kapitel 7.3). Zwei Funktionen f,g ∈ H
werden als gleich angesehen, wenn f = gλ-f.ü. Sei (bn)n∈N eine Orthonormalbasis
(ONB) von H, also 〈bm,bn〉 = {m=n} und
lim
n→∞
�
�
�f −
n� �
�
〈f,bm〉bm�
=0 für jedes f ∈ H.
m=1
Speziell gilt für jedes f ∈ H die Parseval’sche Gleichung
und für f,g ∈ H
�f� 2 =
〈f,g〉 =
∞�
m=1
〈f,bm〉 2
(21.21)
∞�
〈f,bm〉〈g, bm〉. (21.22)
m=1
Betrachte jetzt eine u.i.v. Folge (ξn) n∈N von N0,1-Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,A, P). Für n ∈ N und t ∈ [0, 1] setze
� �
n�
�
ξmbm(s) λ(ds) =
n�
ξm〈 [0,t],bm〉.
X n t =
[0,t](s)
Offenbar ist für n ≥ m
E � (X m t − X n t ) 2� = E
=
m=1
�� n�
n�
k=m+1
k=m+1
m=1
� �
ξk [0,t],bk
�� �n
� �2 [0,t],bk ≤
∞�
k=m+1
l=m+1
� �2. [0,t],bk
Wegen � ∞
k=1 〈 [0,t],bk〉 2 = � [0,t]� 2 = t

448 21 Die Brown’sche Bewegung
Also ist (X n t ) n∈N eine Cauchy-Folge in L 2 (P) und hat wegen der Vollständigkeit
von L 2 (P) (siehe Satz 7.3) einen L 2 -Grenzwert Xt. Offenbar gilt dann auch für
N ∈ N und 0 ≤ t1,...,tN ≤ 1
lim
n→∞ E
� N�
i=1
� n→∞
k=1
� X n ti − Xti
�
�2 =0.
Speziell gilt also � Xn t1 ,...,Xn tN −→ (Xt1 ,...,XtN ) P-stochastisch.
Offenbar ist � Xn t1 ,...,Xn �
tN Gauß-verteilt und zentriert. Für s, t ∈ [0, 1] gilt
Cov [X n s ,X n ��
n�
� �
t ]=E ξk [0,s],bk
�� �n
� �
ξl [0,t],bl
��
=
=
n�
k,l=1
n�
l=1
E[ξkξl] � �� �
[0,s],bk [0,t],bl
� �� �
[0,s],bk [0,t],bk
k=1
n→∞
−→ � [0,s], [0,t]
� =min(s, t).
Also ist (Xt) t∈[0,1] ein zentrierter, Gauß’scher Prozess mit
Cov[Xs,Xt] =min(s, t). (21.23)
Bis auf die Stetigkeit der Pfade ist X also eine Brown’sche Bewegung. Eine stetige
Version von X liefert jetzt der Satz von Kolmogorov-Chentsov (Satz 21.6). Wir
können X aber auch direkt als stetigen Prozess konstruieren, indem wir die ONB
(bn)n∈N geschickt wählen, beispielsweise die Haar-Funktionen bn,k: Seib0,1 ≡ 1
und für n ∈ N und k =1,...,2 n sei
⎧
2
⎪⎨
bn,k(t) =
⎪⎩
n/2 2k − 2 − 1
, falls ≤ t

X n :=
21.5 Konstruktion durch L 2 -Approximation 449
n� 2 m
�
m=0 k=1
ξm,k Bm,k
und definieren Xt als den L 2 (P)-Limes Xt = L 2 − lim
n→∞ Xn .
Satz 21.28 (Brown’sche Bewegung, L2 –Approximation).
X ist eine Brown’sche Bewegung, und es gilt
�
lim �X n − X � � =0 P–fast sicher. (21.24)
∞
n→∞
Beweis. Da gleichmäßige Limiten stetiger Funktionen wieder stetig sind, folgt aus
(21.24) die Stetigkeit von X und aus (21.23) (zusammen mit Satz 21.11), dass X
eine Brown’sche Bewegung ist. Es reicht also, (21.24) zu zeigen.
Da (C([0, 1]), � · �∞) vollständig ist, reicht es zu zeigen, dass P-fast sicher Xn eine Cauchy-Folge in (C([0, 1]), � · �∞) ist. Man beachte, dass �Bn,k�∞ ≤ 2−n/2 und Bn,kBn,l =0, falls k �= l.Alsoist
�
� n n−1
X − X � � ≤ 2
∞ −n/2 max � |ξn,k|, k=1,...,2 n� .
Mithin ist
�
P �X n − X n−1 �∞ > 2 −n/4�
≤
�
2 n
k=1
n 2
=2 √
2π
≤ 2 n+1 exp
�
P |ξn,k| > 2 n/4�
� ∞
2n/4 e −x2 /2
dx
�
−2 (n/2)−1�
.
Offenbar ist ∞�
P[�Xn − Xn−1�∞ > 2−n/4 ] < ∞, also nach dem Lemma von
n=1
Borel-Cantelli
���X n n−1
P − X � � > 2
∞ −n/4
�
höchstens endlich oft =1.
Es folgt lim
n→∞ sup �X
m≥n
m − Xn�∞ =0 P–fast sicher. ✷
Beispiel 21.29 (Stochastisches Integral). Wir nehmen an, dass (ξn)n∈N eine u.i.v.
Folge von N0,1 verteilten Zufallsvariablen ist, sowie (bn)n∈N eine Orthonormal-
basis von L2 �n ([0, 1]), sodass Wt := limn→∞ k=1 〈 [0,t],bk〉, t ∈ [0, 1], eine
Brown’sche Bewegung ist. Für f ∈ L2 ([0, 1]) definieren wir
∞�
I(f) := ξn〈f,bn〉.
n=1

450 21 Die Brown’sche Bewegung
Nach der Parseval’schen Gleichung und der Bienaymé Formel ist
also gilt:
Wir nennen
�f� 2 2 =
∞�
〈f,bn〉 2 = Var � I(f) � = E � I 2� ,
n=1
I : L 2 ([0, 1]) → L 2 (P), f ↦→ I(f) ist eine Isometrie. (21.25)
� t
0
f(s) dWs := I � � 2
f [0,t] , t ∈ [0, 1], f∈ L ([0, 1]),
das stochastische Integral von f bezüglich W . Durch Xt := � t
0 f(s) dWs wird ein
stetiger, zentrierter, Gauß’scher Prozess definiert mit Kovarianzfunktion
Cov[Xs,Xt] =
� s∧t
0
f 2 (u) du.
In der Tat ist klar, dass X zentriert und Gauß’sch ist (als Limes von Gauß’schen
Partialsummenprozessen) mit der angegebenen Kovarianzfunktion. Ferner folgt
die Stetigkeit wie für die Brown’sche Bewegung mit den vierten Momenten der
Zuwächse, die wir bei normalverteilten Zufallsvariablen aus den Varianzen berechnen
können (vergleiche Satz 21.9).
In dem Spezialfall f = �n i=1 αi (ti−1,ti] für gewisses n ∈ N und 0=t0

21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451
Übung 21.5.3. Sei d ∈ N. Man zeige mit Hilfe einer geeigneten Orthonormalbasis
auf [0, 1] d :
(i) Es gibt einen Gauß’schen Prozess (Wt) t∈[0,1] d mit Kovarianzfunktion
Cov[Wt,Ws] =
d�
i=1
� �
ti ∧ si .
(ii) Es existiert eine Modifikation von W , sodass t ↦→ W fast sicher stetig ist (siehe
Bemerkung 21.7).
Ein Prozess W mit den Eigenschaften (i) und (ii) heißt Brown’sches Blatt. ♣
21.6 Der Raum C([0, ∞))
Sind Funktionale, die vom ganzen Pfad der Brown’schen Bewegung abhängen,
messbar? Ist beispielsweise sup{Xt, t∈ [0, 1])} messbar? Für allgemeine stochastische
Prozesse ist dies sicherlich falsch, weil das Supremum von mehr als abzählbar
vielen Koordinaten abhängt. Für Prozesse mit stetigen Pfaden ist dies jedoch richtig,
wie wir in diesem Abschnitt in allgemeinem Rahmen zeigen werden.
Es liegt nahe, dass man die Brown’sche Bewegung als kanonischen Prozess auf dem
Raum Ω := C([0, ∞)) der stetigen Pfade begreift.
Wir sammeln zunächst ein paar Eigenschaften von Ω = C([0, ∞)) ⊂ R [0,∞) .Wir
definieren die Auswertungsabbildung
Xt : Ω → R, ω ↦→ ω(t), (21.26)
also die Einschränkung der kanonischen Projektion R [0,∞) → R auf Ω.
Für f,g ∈ C � [0, ∞) � �
�
und n ∈ N sei dn(f,g) := �(f − g) � �
�
� ∧ 1 und
[0,n]
d(f,g) =
� ∞
∞�
2 −n dn(f,g). (21.27)
n=1
Satz 21.30. d ist eine vollständige Metrik auf Ω := C � [0, ∞) � , die die Topologie
der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen erzeugt. Der Raum (Ω,d)
ist separabel, also polnisch.
Beweis. Offenbar ist jedes dn eine vollständige Metrik auf (C([0,n]), � · �∞)).Zu
jeder Cauchy-Folge (fN ) in (Ω,d) und jedem n ∈ N existiert daher ein gn ∈ Ω
mit dn(fN ,gn) N→∞
−→ 0. Offenbar ist gn(x) =gm(x) für jedes x ≤ m ∧ n, also

452 21 Die Brown’sche Bewegung
existiert ein g ∈ Ω mit g(x) =gn(x) für jedes x ≤ n für jedes n ∈ N. Offenbar gilt
dann d(fN ,g) N→∞
−→ 0, also ist d vollständig.
Die Menge der Polynome mit rationalen Koeffizienten ist abzählbar und nach dem
Satz von Weierstraß dicht in jedem (C([0,n]), � · �∞)) also dicht in (Ω,d). ✷
Satz 21.31. Bezüglich der Borel’schen σ-Algebra B(Ω,d) sind die kanonischen
Projektionen Xt, t ∈ [0, ∞) messbar. Andererseits erzeugen die Xt schon B(Ω,d).
Es gilt also
(B(R)) ⊗[0,∞)� �Ω
= σ � Xt, t∈ [0, ∞) � = B(Ω,d).
Beweis. Die erste Gleichung gilt per definitionem. Für die zweite betrachten wir
die gegenseitigen Inklusionen.
” ⊂“ Offenbar ist jedes Xt : Ω −→ R stetig, also (B(Ω,d)–B(R)) messbar.
Mithin ist σ � Xt, t∈ [0, ∞) � ⊂B(Ω,d).
” ⊃“ Wir zeigen, dass für jedes ω ∈ Ω und für jedes ε ∈ (0, 1) die ε-Umgebung
Uε(ω) = � ω ′ ∈ Ω : d(ω, ω ′ )

21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, ∞)) 453
Definition 21.33. Sei P das W-Maß auf Ω = C([0, ∞)), bezüglich dessen der
kanonische Prozess X eine Brown’sche Bewegung ist. Dann heißt P Wiener-Maß.
Das Tripel (Ω,A, P) heißt Wiener-Raum, und X heißt kanonische Brown’sche
Bewegung oder Wiener-Prozess.
Bemerkung 21.34. Manchmal soll eine Brown’sche Bewegung nicht in X0 =0
starten, sondern in einem beliebigen Punkt x.MitPx bezeichnen wir dann dasjenige
Maß auf C([0, ∞)),für das � X =(Xt − x, t ∈ [0, ∞)) eine Brown’sche Bewegung
(mit � X0 =0)ist. ✸
Übung 21.6.1. Man zeige: Die Abbildung F∞ : Ω → [0, ∞], ω ↦→ sup{ω(t) :t ∈
[0, ∞)} ist A-messbar. ♣
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, ∞))
Seien X und (X n )n∈N Zufallsvariablen mit Werten in C([0, ∞)), also stetige stochastische
Prozesse, mit Verteilungen PX und (PX n)n∈N.
Definition 21.35. Wir sagen, dass die endlichdimensionalen Verteilungen (finite dimensional
distributions) von (X n ) gegen die von X konvergieren, falls für jedes
k ∈ N und t1,...,tk ∈ [0, ∞) gilt
n n→∞
Wir schreiben dann X =⇒
fdd
Lemma 21.36. Aus Pn n→∞
−→
fdd
(X n t1 ,...,Xn n→∞
tk ) =⇒ (Xt1 ,...,Xtk ).
n→∞
X oder PXn −→
fdd
P und Pn n→∞
−→
fdd
PX.
Q folgt P = Q.
Beweis. Nach Satz 14.12(iii) legen die endlichdimensionalen Verteilungen P eindeutig
fest. ✷
Satz 21.37. Schwache Konvergenz in M1(Ω,d) impliziert fdd-Konvergenz:
Pn
n→∞
−→ P =⇒ Pn n→∞
−→
fdd
Beweis. Sei k ∈ N und t1,...,tk ∈ [0, ∞). Die Abbildung
ϕ : C([0, ∞)) → R k , ω ↦→ (ω(t1),...,ω(tk))
ist stetig. Nach dem Continuous Mapping Theorem (Satz 13.25 auf Seite 245) gilt
−1 n→∞
Pn ◦ ϕ −→ P ◦ ϕ−1 , also Pn n→∞
−→ P . ✷
fdd
P.

454 21 Die Brown’sche Bewegung
Die Umkehrung des Satzes ist nicht richtig. Es gilt aber Folgendes.
Satz 21.38. Seien (Pn)n∈N und P W-Maße auf C([0, ∞)). Dann sind äquivalent:
(i) Pn n→∞
−→
fdd
P und (Pn)n∈N ist straff.
(ii) Pn
n→∞
−→ P schwach.
Beweis. ” (ii) =⇒ (i)“ Dies folgt direkt aus dem Satz von Prohorov (Satz 13.29
mit E = C([0, ∞))).
” (i) =⇒ (ii)“ Nach dem Satz von Prohorov ist (Pn)n∈N relativ folgenkompakt.
Sei Q ein Limespunkt von (Pnk )k∈N entlang einer Teilfolge (nk). Dann gilt
fdd
−→ Q, k →∞. Nach Lemma 21.36 ist P = Q. ✷
Pnk
Als nächstes wollen wir uns ein nützliches Kriterium für Straffheit von Mengen
{Pn} ⊂M1(C([0, ∞))) verschaffen. Wir beginnen mit einer Wiederholung der
Charakterisierung von Relativkompaktheit in C([0, ∞)) von Arzelà und Ascoli (siehe
etwa [156, Satz II.3.4]).
Für N,δ > 0 und ω ∈ C([0, ∞)) setze
V N (ω, δ) :=sup � |ω(t) − ω(s)| : |t − s| ≤δ, s, t ≤ N � .
Satz 21.39 (Arzelà-Ascoli). Eine Menge A ⊂ C([0, ∞)) ist genau dann relativ
kompakt, wenn die beiden folgenden Bedingungen gelten.
(i) {ω(0), ω∈ A} ⊂R ist beschränkt.
(ii) Für jedes N gilt lim sup V
δ↓0 N (ω, δ) =0.
ω∈A
Satz 21.40. Eine Familie (Pi, i∈ I) von W-Maßen auf C([0, ∞)) ist genau dann
schwach relativkompakt, wenn die beiden folgenden Bedingungen gelten.
(i) (Pi ◦ X −1
0 ,i∈ I) ist straff, das heißt, für jedes ε>0 gibt es ein K > 0,
sodass
Pi({ω : |ω(0)| >K}) ≤ ε für jedes i ∈ I. (21.28)
(ii) Für alle η, ε > 0 und N ∈ N gibt es ein δ>0, sodass
Pi({ω : V N (ω, δ) >η}) ≤ ε für jedes i ∈ I. (21.29)
Beweis. ” =⇒ “ Nach dem Satz von Prohorov (Satz 13.29) folgt aus der schwachen
Relativkompaktheit von (Pi, i∈ I) die Straffheit dieser Familie. Zu jedem
ε>0 gibt es daher eine kompakte Menge A ⊂ C([0, ∞)) mit Pi(A) > 1 − ε

21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, ∞)) 455
für jedes i ∈ I. Aus der Charakterisierung der Kompaktheit von A im Satz von
Arzelà-Ascoli folgen nun (i) und (ii).
” ⇐= “ Wir nehmen jetzt an, dass (i) und (ii) gelten. Seien also für ε>0 und
k, N ∈ N die Zahlen Kε und δN,k,ε so gewählt, dass
�
sup Pi {ω : |ω(0)| >Kε}
i∈I
� ≤ ε
2
und
Setze
CN,ε =
��
sup Pi ω : V
i∈I
N (ω, δN,k,ε) > 1
��
≤ 2
k
−N−k−1 ε.
�
ω : |ω(0)| ≤Kε, V N (ω, δN,k,ε) ≤ 1
k
�
für jedes k ∈ N .
Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli ist Cε := �
N∈N CN,ε in C([0, ∞)) relativ kompakt,
und wir haben
Pi(C c ε) ≤ ε
2 +
∞�
k,N=1
�� N
Pi ω : V (ω, δN,k,ε) > 1/k �� ≤ ε für jedes i ∈ I.
Es folgt die Aussage. ✷
Korollar 21.41. Sind (Xi, i ∈ I) und (Yi, i ∈ I) Familien von Zufallsvariablen
in C([0, ∞)), und sind (PXi ,i ∈ I) und (PYi ,i ∈ I) straff, dann ist auch
,i∈ I) straff.
(PXi+Yi
Beweis. Wende die Dreiecksungleichung an, um im vorigen Satz (i) und (ii) nachzuweisen.
✷
Ein wichtiges Hilfsmittel, um schwache Relativkompaktheit nachzuweisen, ist das
folgende.
Satz 21.42 (Kolmogorov’sches Kriterium für schwache Relativkompaktheit).
Sei (X i ,i∈ I) eine Folge von stetigen stochastischen Prozessen. Es gelte:
(i) Die Familie (P[Xi 0 ∈ · ], i∈ I) der Startverteilungen ist straff.
(ii) Es gibt Zahlen C, α, β > 0, sodass für alle s, t ∈ [0, ∞) und jedes i ∈ I gilt
E � |X i s − X i t| α� ≤ C |s − t| β+1 .
Dann ist die Familie (P X i,i∈ I) =(L[X i ],i∈ I) von Verteilungen der X i
schwach relativkompakt in M1(C([0, ∞))).

456 21 Die Brown’sche Bewegung
Beweis. Wir prüfen die Bedingungen von Satz 21.40. Die erste Bedingung aus
Satz 21.40 ist genau (i).
Nach dem Satz von Kolmogorov-Chentsov (Satz 21.6(ii)) gibt es zu γ ∈ (0,β/α)
und ε>0 sowie N>0 eine Konstante K, sodass für jedes i ∈ I gilt
P � |X i t − X i s|≤K |t − s| γ für alle s, t ∈ [0,N] � ≥ 1 − ε.
Offenbar impliziert dies (21.29) mit δ =(η/K) 1/γ . ✷
21.8 Satz von Donsker
Seien Y1,Y2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit E[Y1] =0und Var[Y1] =σ2 > 0. Für
t>0 sei Sn t = �⌊nt⌋ i=1 Yi und � Sn t = 1 √ S
σ2n n t . Nach dem zentralen Grenzwertsatz
gilt L[ � Sn t ] n→∞
−→ N0,t. Bezeichnet B =(Bt, t≥ 0) eine Brown’sche Bewegung,
so gilt also
L[ � S n t ] n→∞
−→ L[Bt] für jedes t>0.
Nach dem mehrdimensionalen Zentralen Grenzwertsatz (Satz 15.56) gilt nun auch
(für N ∈ N und t1,...,tN ∈ [0, ∞))
L[( � S n t1 ,..., � S n n→∞
tN )] −→ L[(Bt1 ,...,BtN )] (21.30)
Wir definieren jetzt ¯ S n wie � S n , aber linear interpoliert
Dann gilt für ε>0
P �� � � S n t − ¯ S n t
¯S n t = 1
√ σ 2 n
⌊nt⌋
�
i=1
Yi +
�
� >ε � ≤ ε −2 E � ( � S n t − ¯ S n t ) 2� ≤ 1
ε 2 n
(tn −⌊tn⌋)
√ Y⌊nt⌋+1. (21.31)
σ2n 1 2
E[Y
σ2 1 ]= 1
ε2n n→∞
−→ 0.
Nach dem Satz von Slutzky (Satz 13.18) gilt daher die Konvergenz der endlichdimensionalen
Verteilungen gegen das Wiener-Maß PW :
P ¯ S n
n→∞
=⇒
fdd
PW . (21.32)
Wir wollen diese Konvergenzaussage verstärken zur schwachen Konvergenz der W-
Maße auf C([0, ∞)). Dazu formulieren wir als Hauptsatz dieses Abschnitts den
Funktionalen Zentralen Grenzwertsatz, der in dieser Allgemeinheit auf Donsker
[35] zurückgeht. Sätze von diesem Typ werden auch Invarianzprinzipien genannt,
weil die Grenzverteilung die selbe ist für alle Verteilungen von Yi mit Erwartungswert
0 und selber Varianz.

21.8 Satz von Donsker 457
Satz 21.43 (Donsker’sches Invarianzprinzip). Im Sinne der schwachen Konvergenz
auf C([0, ∞)) konvergieren die Verteilungen von ¯ S n gegen das Wiener-Maß
L[ ¯ S n ] n→∞
−→ PW . (21.33)
Beweis. Wegen (21.32) und Satz 21.38 reicht es zu zeigen, dass (L[ ¯ Sn], n∈ N)
straff ist. Dafür möchten wir das Kolmogorov’sche Momentenkriterium anwenden.
Wie wir schon beim Beweis der Existenz der Brown’schen Bewegung gesehen haben,
reichen hierfür aber zweite Momente nicht aus, sondern wir benötigen vierte
Momente, damit wir β>0 wählen können. Die Strategie ist also, zunächst die Yi
abzuschneiden, um vierte Momente zu erhalten, und dann für den abgeschnittenen
Teil und den Hauptteil separat Straffheit zu zeigen.
Für K>0 definieren wir
Y K
i := Yi {|Yi|≤K/2} −E[Yi {|Yi|≤K/2}] und Z K i := Yi −Y K
i
für i ∈ N.
Dann gilt E[Y K
i ]=E[ZK i ]=0sowie Var[ZK K→∞
i ] −→ 0 und Var[Y K
i ] ≤ σ2 ,
i ∈ N. Außerdem ist offenbar |Y K
i |≤K für jedes i. Setze
Es seien ¯ T K,n
t
n�
T K n :=
i=1
n�
Y K
i und U K n :=
i=1
Z K i
K,n
und Ūt die linearen Interpolationen von
�T K,n
t := 1
√ σ 2 n T K,n
⌊nt⌋ und � U K,n
t := 1
√ σ 2 n U K,n
⌊nt⌋
für n ∈ N.
für t ≥ 0.
Offenbar ist ¯ Sn = ¯ T K,n + Ū K,n . Nach Korollar 21.41 reicht es zu zeigen,
dass für eine noch zu wählende Folge (Kn)n∈N gilt: (L[ Ū Kn,n ],n ∈ N) und
(L[ ¯ T Kn,n ],n∈ N) sind straff.
Wir betrachten zunächst den Restterm. U K ist ein Martingal. Die Doob’sche Ungleichung
(Satz 11.2) liefert
�
�
P
sup |U
l=1,...,n
K l | >ε √ n
≤ ε −2 Var � Z K� 1
für jedes ε>0.
Gilt jetzt Kn ↑∞, n →∞, so haben wir für jedes N>0
�
�
P sup �Ū
t∈[0,N]
Kn,n
�
�
�
t >ε ≤ N
ε2 Var�Z Kn�
n→∞
1 −→ 0,
Kn,n n→∞
also Ū =⇒ 0 in C([0, ∞)). Speziell ist (L[ Ū Kn,n ],n∈ N) straff.

458 21 Die Brown’sche Bewegung
Wir berechnen nun für N>0 und s, t ∈ [0,N] die vierten Momente der Differenzen
¯ T Kn,n
t+s − ¯ T Kn,n
s des Hauptteils. Im Folgenden setzen wir Kn = n1/4 . Sei nun
n ∈ N fest gewählt. Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall 1: t

E � ( ¯ T Kn,n
t+s − ¯ T Kn,n
s
) 4� ≤ n −2 σ −4 E � (T Kn
Kn
⌈(t+s)n⌉ − T⌊sn⌋ )4�
= n −2 σ −4 E � (T Kn
⌈(t+s)n⌉−⌊sn⌋ )4�
≤ 3tnK2 n
n 2 σ 2 +3t2 = 3
≤ 3
σ 2 t3/2 +3t 2 ≤
21.8 Satz von Donsker 459
σ 2 tn−1/2 +3t 2
�
3
σ2 +3√ �
N t 3/2 .
(21.36)
Nach (21.34) und (21.36) gibt es also zu jedem N > 0 eine Konstante C =
C(N,σ 2 ), sodass für jedes n ∈ N und alle s, t ∈ [0,N] gilt
E � ( ¯ T Kn,n
t+s − ¯ T Kn,n
s
) 4� ≤ Ct 3/2 .
Nach dem Kolmogorov’schen Momentenkriterium (Satz 21.42 mit α =4und β =
1/2) ist also (L[ ¯ T Kn,n ],n∈ N) straff in M1(C([0, ∞))). ✷
Übung 21.8.1. Seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion
F .EsseiGn :[0, 1] → [−1, 1], t ↦→ n−1/2 �n �
i=1 [0,t](F (Xi)) − t � und
Mn := �Gn�∞. Ferner sei M =supt∈[0,1] |Bt|,woB eine Brown’sche Brücke ist.
(i) Man zeige E[Gn(t)] = 0 und Cov[Gn(s),Gn(t)] = s∧t−st für s, t ∈ [0, 1].
(ii) Man zeige E[(Gn(t) − Gn(s)) 4 ] ≤ C � (t − s) 2 + |t − s|/n � für ein C>0.
(iii) Man folgere, dass eine geeignete stetige Version von Gn schwach gegen B
konvergiert. Beispielsweise kann Hn(t) =n−1/2 �n �
i=1 hn(F (Xi) − t) − t �
genommen werden, wo hn(s) =1− (s/εn ∨ 0) ∧ 1 für eine geeignete Folge
εn ↓ 0.
n→∞
(iv) Man zeige schließlich Mn =⇒ M.
Bemerkung: Die Verteilung von M lässt sich durch die Formel von Kolmogorov-
Smirnov ([97] und [146]) ausdrücken (siehe etwa [125]):
∞�
P[M >x]=2 (−1) n−1 e −2n2x 2
. (21.37)
n=1
Vergleiche hierzu auch (21.20). Mit Hilfe der Statistik Mn können Zufallsvariablen
bei bekannter Verteilung auf Unabhängigkeit getestet werden. Seien X1,X2,...
und ˜ X1, ˜ X2,... unabhängige Zufallsvariablen mit unbekannten, stetigen Verteilungsfunktionen
F und ˜ F und empirischen Verteilungsfunktionen Fn und ˜ F . Ferner
sei
Dn := sup |Fn(t) −
t∈R
˜ Fn(t)|.
Unter der Annahme, dass F = ˜ F gilt, konvergiert � n/2 Dn in Verteilung gegen
M. Diese Tatsache ist Grundlage von nichtparametrischen Tests auf Verteilungsgleichheit.
♣

460 21 Die Brown’sche Bewegung
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen ∗
In diesem Abschnitt untersuchen wir die Konvergenz reskalierter Galton-Watson-
Prozesse (Verzweigungsprozesse). Ähnlich wie für Summen unabhängiger Zufallsvariablen
zeigen wir zunächst die Konvergenz zu einem festen Zeitpunkt gegen die
Verteilungen eines Grenzprozesses. Hernach zeigen wir Konvergenz der endlichdimensionalen
Verteilungen und schließlich mit Hilfe des Kolmogorov’schen Straffheitskriteriums
die Konvergenz im Pfadraum C([0, ∞)).
Wir betrachten einen Galton-Watson-Prozess (Zn)n∈N0 mit geometrischer Nachkommenverteilung
p(k) =2 −k−1
für k ∈ N0.
Das heißt, wir betrachten u.i.v. Zufallsvariablen Xn,i, n, i ∈ N0 auf N0 mit
P[Xn,i = k] =p(k), k ∈ N0 und definieren, ausgehend vom Startzustand Z0,
rekursiv
Zn �
Zn+1 = Xn,i.
i=1
Z ist also eine Markovkette mit Übergangswahrscheinlichkeiten p(i, j) =p∗i (j),
wobei p∗i die i-te Faltungspotenz von p ist. Mit anderen Worten: Sind Z, Z1 ,...,Zi unabhängige Kopien des Galton-Watson-Prozesses, mit Z0 = i und Z1 0 = ... =
Zi 0 =1,soist
Z D = Z 1 + ...+ Z i . (21.38)
Wir betrachten nun die Erzeugendenfunktion ψ (1) (s) := ψ(s) := E[sX1,1 ] von
X1,1, s ∈ [0, 1], und deren Iterierte ψ (n) := ψ (n−1) ◦ ψ für n ∈ N. Dann ist nach
Lemma 3.10 Ei[sZn ]=E1[sZn ] i = � ψ (n) (s) �i
.Für die geometrische Verteilung
können wir ψ (n) leicht ausrechnen.
Lemma 21.44. Für den Verzweigungsprozess mit kritischer, geometrischer Nachkommenverteilung
ist die n-te Iterierte der Erzeugendenfunktion
Beweis. Wir berechnen
ψ(s) =
ψ (n) (s) =
∞�
k=0
n − (n − 1)s
n +1− ns .
2 −k−1 s k =
1
−s +2 .
Um die Iterierten auszurechnen, betrachten wir zunächst allgemeine linear rationale
Funktionen der Form f(x) = ax+b
cx+d .Für f von dieser Form definieren wir die Matrix
� �
ab
Mf = .Für zwei linear rationale Funktionen f und g ist Mf◦g = Mf · Mg.
cd
Wir berechnen leicht

und induktiv
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen ∗
� �
0 1
Mψ = ,
−1 2
M 2 � �
−12
ψ = ,
−2 3
M 3 � �
−23
ψ =
−3 4
M n ψ =
461
� �
−(n − 1) n
. ✷
−n n+1
Setzen wir s = e −λ , so erhalten wir die Laplace-Transformierten von Zn
Ei[e −λZn ]=ψ (n) (e −λ ) i .
Nach Beispiel 6.29 ergeben sich die Momente von Zn durch Differenzieren. Es gilt
also:
Lemma 21.45. Die Momente von Zn sind
Ei[Z k k dk
n]=(−1)
dλk �
ψ (n) (e −λ ) i�� . (21.39)
�λ=0
Speziell sind die ersten sechs Momente
Ei[Zn] =i
Ei[Z 2 n]=2in+ i 2
Ei[Z 3 n]=6in 2 +6i 2 n + i 3
Ei[Z 4 n]=24in 3 +36i 2 n 2 +(12i 3 +2i) n + i 4
(21.40)
Ei[Z 5 n] = 120in 4 + 240i 2 n 3 + (120i 3 +30i) n 2 +(20i 4 +10i 2 ) n + i 5
Ei[Z 6 n] = 720in 5 + 1800i 2 n 4 + (1200i 3 + 360i) n 3
+ (300i 4 + 240i 2 )n 2 +(30i 5 +30i 3 +2i)n + i 6 .
Insbesondere ist Z ein Martingal, und die ersten sechs zentrierten Momente sind
Ei[(Zn − i) 2 ]=2in
Ei[(Zn − i) 3 ]=6in 2
Ei[(Zn − i) 4 ]=24in 3 +12i 2 n 2 +2in
Ei[(Zn − i) 5 ] = 120in 4 + 120i 2 n 3 +30in 2
(21.41)
Ei[(Zn − i) 6 ] = 720in 5 + 1080i 2 n 4 + (120i 3 + 360i) n 3 +60i 2 n 2 +2in.
Beweis. Die genauen Formeln für die ersten sechs Momente erhält man durch stures
Ausrechnen von (21.39). ✷
Wir betrachten jetzt die folgende Reskalierung: Wir fixieren x ≥ 0 und starten mit
Z0 = ⌊nx⌋ Individuen und betrachten ˜ Zn t := Z⌊tn⌋ n für t ≥ 0. Wir schreiben kurz

462 21 Die Brown’sche Bewegung
Lx[ ˜ Z n ]:=L ⌊nx⌋[(n −1 Z ⌊nt⌋)t≥0]. (21.42)
Offenbar ist Ex[ ˜ Zn t ]= ⌊nx⌋
n ≤ x für jedes n, also ist (Lx[ ˜ Zn t ], n∈ N) straff. Indem
wir Laplace-Transformierte betrachten, sehen wir sogar, dass für jedes λ ≥ 0 die
Folge der Verteilungen konvergiert:
lim
n→∞ Ex[e −λ ˜ Z n
t ] = lim
n→∞
�
ψ (⌊tn⌋) (e −λ/n �nx )
� −λ/n
nt − (nt − 1)e
= lim
n→∞ nt +1− nt e−λ/n �
= lim 1 −
n→∞
�nx
1 − e −λ/n
n(1 − e −λ/n )t +1
�nx
�
xn(1 − e
=exp − lim
n→∞
−λ/n )
n(1 − e−λ/n �
)t +1
�
=exp − λ
λ +1/t (x/t)
�
:= ψt(λ) x .
(21.43)
Die Funktion ψ x t ist aber die Laplace-Transformierte der zusammengesetzten Poisson-Verteilung
CPoi (x/t) exp1/t (siehe Definition 16.3).
Wir betrachten jetzt den stochastischen Kern κt(x, dy) := CPoi (x/t) exp1/t (dy).
Dies ist genau derjenige Kern auf [0, ∞), dessen Laplace-Transformierte gegeben
ist durch � ∞
0
κt(x, dy) e −λy = ψt(λ) x . (21.44)
Lemma 21.46. (κt)t≥0 ist eine Markov’sche Halbgruppe, und es existiert ein Markovprozess
(Yt)t≥0 mit Übergangskernen Px[Yt ∈ dy] =κt(x, dy).
Beweis. Es reicht, die Chapman-Kolmogorov Gleichung κt · κs = κs+t zu zeigen.
Wir berechnen die Laplace-Transformierten dieser Kerne: Für λ ≥ 0 erhalten wir
durch zweimaliges Anwenden von (21.44)
� �
κt(x, dy)κs(y, dz) e −λz �
=
�
κt(x, dy)exp − λy
λs +1
�
λ
�
λs+1
=exp − λ
λs+1t +1x
�
�
λx
=exp −
λ(t + s)+1
�
= κt+s(x, dz) e −λz . ✷
Als nächstes zeigen wir, dass Y eine stetige Version besitzt. Dafür berechnen wir
Momente und ziehen den Satz von Kolmogorov-Chentsov (Satz 21.6) heran.
�

21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen ∗
Lemma 21.47. Wir erhalten die k-ten Momente von Yt durch Ableiten der Laplace-
Transformierten
Ex[Y k
k dk
t ]=(−1)
dλ k (ψ(λ)x ) � � λ=0
�
wobei ψt(λ) =exp−
λ
�
λt+1 . Speziell sind die ersten Momente
Ex[Yt ]=x
Ex[Y 2
t ]=2xt+ x 2
Ex[Y 3
t ]=6xt 2 +6x 2 t + x 3
Ex[Y 4
t ]=24xt 3 +36x 2 t 2 +12x 3 t + x 4
Ex[Y 5
t ] = 120xt 4 + 240x 2 t 3 + 120x 3 t 2 +20x 4 t + x 5
Ex[Y 6
t ] = 720xt 5 + 1800x 2 t 4 + 1200x 3 t 3 + 300x 4 t 2 +30x 5 t + x 6 (21.45)
.
Es ist also Y ein Martingal, und die ersten zentrierten Momente sind
Ex[(Yt − x) 2 ]=2xt
Ex[(Yt − x) 3 ]=6xt 2
Ex[(Yt − x) 4 ]=24xt 3 +12x 2 t 2
Ex[(Yt − x) 5 ] = 120xt 4 + 120x 2 t 3
Ex[(Yt − x) 6 ] = 720xt 5 + 1080x 2 t 4 + 120x 3 t 3 .
,
463
(21.46)
Satz 21.48. Es existiert eine stetige Version des Markovprozesses Y mit Übergangskernen
(κt)t≥0 gegeben durch (21.44). Diese Version nennen wir Feller’sche
Verzweigungsdiffusion oder den Feller’schen stetigen Verzweigungsprozess.
Beweis. Für festes N>0 und s, t ∈ [0,N] gilt
�
Ex (Yt+s − Ys) 4� �
= Ex EYs [(Yt − Y0) 4 ] � �
= Ex 24Ys t 3 +12Y 2
s t 2�
=24xt 3 + 12(2sx + x 2 ) t 2 ≤ � 48Nx+12x 2� t 2 .
Mithin erfüllt Y die Bedingung aus Satz 21.6 (Kolmogorov-Chentsov) mit α =4
und β =1. ✷
Bemerkung 21.49. (i) Indem man alle höheren Momente heranzieht, kann man
zeigen, dass die Pfade von Y Hölder-stetig sind von jeder Ordnung γ ∈ (0, 1
2 ).
(ii) Man kann zeigen, dass Y die (eindeutige, starke) Lösung der stochastischen
(Itô’schen) Differentialgleichung (siehe Beispiele 26.11 und 26.31)
dYt = � 2Yt dWt
(21.47)
ist, wobei W eine Brown’sche Bewegung ist. ✸

464 21 Die Brown’sche Bewegung
Satz 21.50. Es gilt Lx[ ˜ Z n ] n→∞
−→
fdd
Lx[Y ].
Beweis. Wie in (21.43) erhalten wir für 0 ≤ t1 ≤ t2 und λ1,λ2 ≥ 0, sowiex≥0 lim
n→∞ Ex
�
e −(λ1 ˜ Z n
t +λ2 1 ˜ Z n
t ) 2 �
= lim
n→∞ Ex
� �
Ex e −λ2 ˜ Z n �
� t2 � ˜ Z n �
t1 e −λ1 ˜ Z n �
t1 = lim
n→∞ Ex
� �
λ2
exp −
λ2(t2 − t1)+1 ˜ Z n t1
⎛ �
� ⎞
λ2
λ2(t2−t1)+1 + λ1 x
=exp⎝−�
� ⎠
λ2
λ2(t2−t1)+1 + λ1
�
= Ex exp(−(λ1Yt1 + λ2Yt2 ))� .
t1 +1
�
e −λ1 ˜ Z n
�
t1 Wir erhalten also
�
Lx λ1 ˜ Z n t1 + λ2 ˜ Z n � n→∞ � �
t2 −→ Lx λ1Yt1 + λ2Yt2 .
Nach der Cramér-Wold Device (Satz 15.55) folgt hieraus
��
Lx
˜Z n
t1 , ˜ Z n �� n→∞ ��
t2 −→ Lx Yt1 ,Yt2
��
.
Wir können dieses Vorgehen jetzt iterieren und erhalten so für jedes k ∈ N und
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ...≤ tk
�� � �
Lx
˜Z n n→∞ �� � �
ti −→ Lx Yti .
i=1,...,k
i=1,...,k
Dies ist aber die Behauptung. ✷
Wir zeigen nun, dass die Konvergenz sogar im Pfadraum gilt. Hierzu müssen wir
den reskalierten Prozess noch stetig machen. Wir nehmen an, dass (Zn)i∈N0 i , n ∈ N
eine Folge von Galton-Watson-Prozessen ist, mit Zn 0 = ⌊nx⌋. Wirdefinieren die
linearen Interpolationen
¯Z n t := � t − n −1 � �
⌊tn⌋ Z n ⌊tn⌋+1 − Zn �
⌊tn⌋ + 1
n Zn ⌊tn⌋ .
Satz 21.51 (Lindvall (1972)). Die reskalierten Galton-Watson-Prozesse ¯ Z n konvergieren
für n →∞gegen die Feller’sche Diffusion Y im Sinne der schwachen
Konvergenz in M1(C([0, ∞))):
Lx[ ¯ Z n ] n→∞
−→ Lx[Y ].
Beweis. Die Konvergenz der endlichdimensionalen Verteilungen ist schon gezeigt.
Nach Satz 21.38 reicht es, die Straffheit von (Lx[ ¯ Z n ],n∈ N) in M1(C([0, ∞)))

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 465
zu zeigen. Hierzu verwenden wir das Kriterium von Kolmogorov � (Satz 21.42 mit
α =4und β =1). Wir berechnen also die vierten Momente Ex ( Z¯ n
t+s − ¯ Zn s ) 4� für
s, t ∈ [0,N] und für festes N>0. Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall 1: t< 1
n . Sei k = ⌊(t + s)n⌋. Wir nehmen zunächst an, dass ⌊sn⌋ = k.
Dann ist (nach Lemma 21.45)
�
Ex ( Z¯ n
t+s − ¯ Z n s ) 4� = n −4 (tn) 4 � n
E⌊nx⌋ (Zk+1 − Z n k ) 4�
= t 4 � n
E⌊nx⌋ 24Zk + 12(Z n k ) 2 +2Z n� k
= t 4 � 26⌊nx⌋ +24⌊nx⌋k + ⌊nx⌋ 2�
≤ 26xt 3 +24xs t 2 + x 2 t 2
≤ (50Nx+ x 2 ) t 2 .
Der Fall ⌊sn⌋ = k − 1 liefert eine ähnliche Abschätzung. Insgesamt erhalten wir
eine Konstante C = C(N,x) mit
�
Ex ( Z¯ n
s+t − ¯ Z n s ) 4� ≤ Ct 2
für alle s, t ∈ [0,N] mit t< 1
. (21.48)
n
Fall 2: t ≥ 1
n . Wir setzen jetzt k := ⌈(t + s)n⌉−⌊sn⌋ ≤tn +1≤ 2tn.Dannist
(nach Lemma 21.45)
�
Ex ( Z¯ n
t+s − ¯ Z n s ) 4�
≤ n −4 � n
E⌊nx⌋ (Z⌊(t+s)n⌋ − Z n ⌊sn⌋ )4�
= n −4 �
E⌊nx⌋ EZn ⌊sn⌋ [(Zn k − Z n 0 ) 4 ] �
= n −4 �
E⌊nx⌋ 24Z n ⌊sn⌋k3 + 12(Z n ⌊sn⌋ )2k 2 +2Z n ⌊sn⌋k �
≤ n −4 � 24xn(2tn) 3 +(24xn sn +12x 2 n 2 )(2tn) 2 +4xtn 2�
≤ 192xt 3 +(96xs +48x 2 )t 2 +4xn −1 t 2
(21.49)
≤ (292Nx+48x 2 ) t 2 .
Die Abschätzungen aus (21.48) und (21.49) ergeben zusammen, dass die Voraussetzungen
des Kolmogorov’schen Straffheitskriteriums (Satz 21.42) erfüllt sind mit
α =4und β =1. Also ist die Folge (Lx[ ¯ Z n ],n∈ N) straff. ✷
21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale
Nach dem Satz von Paley-Wiener-Zygmund (Satz 21.17) sind die Pfade t ↦→ Wt
der Brown’schen Bewegung fast sicher nirgends differenzierbar, sind also von lokal
unendlicher Variation. Insbesondere lässt sich das in Beispiel 21.29 betrachtete
stochastische Integral � 1
0 f(s) dWs nicht als Lebesgue-Stieltjes Integral verstehen.

466 21 Die Brown’sche Bewegung
Um jedoch Integrale von diesem Typ auch für eine größere Klasse von Integranden
und Integratoren zu definieren, wollen wir hier vorbereitend die Pfadeigenschaften
der Brown’schen Bewegung, und allgemeiner von stetigen lokalen Martingalen, genauer
untersuchen.
Definition 21.52. Sei G :[0, ∞) → R stetig. Wir definieren für jedes t ≥ 0 die
Variation bis t durch
V 1
t (G) :=sup
� n−1 � �
�Gti+1 − Gti
i=0
�
�
� :0=t0 ≤ t1 ≤ ...≤ tn = t, n ∈ N .
Wir sagen, dass G von lokal endlicher Variation ist, falls V 1
t (G) < ∞ für alle
t ≥ 0 und schreiben CV für den Vektorraum der stetigen Funktionen G mit stetiger
Variation t ↦→ V 1
t (G).
Bemerkung 21.53. Offenbar gilt V 1 (F + G) ≤ V 1 (F )+V 1 (G) und V 1 (αG) =
|α| V 1 (G) für alle stetigen F, G :[0, ∞) → R und für alle α ∈ R. AlsoistCV
tatsächlich ein Vektorraum. ✸
Bemerkung 21.54. (i) Ist G von der Form Gt = � t
f(s) ds für eine lokal inte-
0
grierbare Funktion f,soistG∈CV mit V 1
t (G) = � t
|f(s)| ds.
(ii) Ist G = G + − G − die Differenz zweier stetiger, monoton wachsender Funktionen
G + und G − ,soist
V 1
t (G) − V 1
s (G) ≤ (G + t − G + s )+(G − t − G − s ) für alle t>s, (21.50)
also ist G ∈CV. Gleichheit gilt in (21.50), wenn G − und G +
0
” nicht auf den selben
Mengen wachsen“, also formal gesprochen die Verteilungsfunktionen gegenseitig
singulärer Maße μ − und μ + sind. Diese Maße μ − und μ + sind dann die Jordan-
Zerlegung des signierten Maßes μ = μ + − μ − , dessen Verteilungsfunktion G ist.
Das Lebesgue-Stieltjes Integral wird dann definiert durch
� t
0
�
F (s) dGs :=
(iii) Ist G ∈CV,sosindoffenbar
G + t := 1�
�
1
Vt (G)+Gt
2
[0,t]
Fdμ + �
− Fdμ
[0,t]
− . (21.51)
und G − t := 1�
�
1
Vt (G) − Gt
2
eine Zerlegung von G wie in (ii) beschrieben. ✸
Dass die Pfade der Brown’schen Bewegung unendliche Variation haben, folgt schon
aus ihrer Nichtdifferenzierbarkeit. Wir können dies aber auch leicht direkt einsehen.

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 467
Satz 21.55. Sei W eine Brown’sche Bewegung. Dann gilt V 1
t (W )=∞ fast sicher
für jedes t>0.
Beweis. Es reicht, t =1zu betrachten und zu zeigen, dass
Yn :=
2 n
� �
�
i=1
�Wi2−n − W (i−1)2−n� n→∞
�
−→ ∞ f.s. (21.52)
Es ist E[Yn] =2 n/2 E[|W1|] =2 n/2� 2/π und Var[Yn] =1− 2/π. Nach der
Chebyshev’schen Ungleichung ist
∞�
n=1
�
P Yn ≤ 1
2 2n/2� �
2/π ≤
∞�
n=1
2π − 4
2 n
=2π− 4 < ∞.
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli folgt (21.52). ✷
Offenbar ist die Variation ein zu grobes Maß, um wesentliche Pfadeigenschaften
der Brown’schen Bewegung zu messen. Wir wollen daher statt der Zuwächse (in
der Definition der Variation) die (kleineren) quadratischen Zuwächse summieren.
Für die Definition dieser quadratischen Variation ist etwas mehr Vorsicht nötig als
in Definition 21.52 für die Variation.
Definition 21.56. Eine Folge P = (P n )n∈N von abzählbaren Teilmengen von
[0, ∞)
P n := {t0,t1,t2,...} mit 0=t0

468 21 Die Brown’sche Bewegung
Definition 21.58. Für stetige F, G : [0, ∞) → R und p ≥ 1 definieren wir die
p-Variation von G (entlang P) durch
� � �
P,p
(G) :=V (G) := lim �Gt ′ − Gt
�p für T ≥ 0,
V p
T
T
n→∞
t∈Pn T
falls der Grenzwert existiert. Speziell heißt 〈G〉 := V 2 (G) die quadratische Variation
von G. IstT ↦→ V 2 T (G) stetig, so schreiben wir G ∈CqV := C P qV .
Existiert für jedes T ≥ 0 der Grenzwert
�
V P,2
T (F, G) := lim
n→∞
t∈Pn T
� �� �
Ft ′ − Ft Gt ′ − Gt ,
so nennen wir 〈F, G〉 := V 2 (F, G) :=V P,2 (F, G) die quadratische Kovariation
von F und G (entlang P).
p′
(G) < ∞, soistVT (G) =0. Speziell ist
〈G〉 ≡0, falls G von lokal endlicher Variation ist. ✸
Bemerkung 21.59. Ist p ′ >pund V p
T
Bemerkung 21.60. Aufgrund der Dreiecksungleichung ist
� � � � � �
�Gt ′ − Gt
� ≥ �Gt ′ − Gt
� für alle n ∈ N, T≥ 0.
t∈P n+1
T
t∈P n T
Daher existiert der Limes im Fall p =1stets und stimmt, unabhängig von der Zerlegungsfolge
P, mit V 1 (G) aus Definition 21.52 überein. Ähnliche Ungleichungen
gelten für V 2 nicht, daher braucht der Limes nicht zu existieren oder kann von der
Wahl von P abhängen. Wir werden im Folgenden jedoch für die Pfade einer großen
Klasse von stetigen stochastischen Prozessen zeigen, dass V 2 zumindest für eine
geeignete Zerlegungsfolge fast sicher existiert und (unabhängig von der gewählten
Zerlegungsfolge) fast sicher eindeutig ist. ✸
Bemerkung 21.61. (i) Existieren 〈F + G〉T und 〈F − G〉T , so existiert die Kovarianz
〈F, G〉T , und es gilt die Polarisationsformel
〈F, G〉T = 1�
�
〈F + G〉T −〈F − G〉T .
4
(ii) Existieren 〈F 〉T , 〈G〉T und 〈F, G〉T , so folgt aus der Cauchy-Schwarz’schen
Ungleichung für die approximierenden Summen
� � �
〈F, G〉T ≤ 〈F 〉T 〈G〉T . ✸
V 1 T
Bemerkung 21.62. Ist f ∈ C1 (R) und G ∈CqV, soist(Übung!) im Sinne des
Lebesgue-Stieltjes Integrals
〈f(G)〉T =
� T
0
(f ′ (Gs)) 2 d〈G〉s. ✸

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 469
Korollar 21.63. Ist F von lokal endlicher quadratischer Variation und gilt 〈G〉 ≡0
(speziell also, falls G von lokal endlicher Variation ist), so ist 〈F, G〉 ≡ 0 und
〈F + G〉 = 〈F 〉.
Satz 21.64. Für die Brown’sche Bewegung W und jede zulässige Zerlegungsfolge
gilt
〈W 〉T = T für alle T ≥ 0 f.s.
Beweis. Wir beweisen dies nur für den Fall, wo
∞�
|P n | < ∞ (21.53)
n=1
gilt. Für den allgemeinen Fall skizzieren wir das Vorgehen.
Gelte also (21.53). Falls 〈W 〉 existiert, ist T ↦→ 〈W 〉T monoton wachsend. Daher
reicht es zeigen, dass 〈W 〉T für jedes T ∈ Q + = Q ∩ [0, ∞) existiert und 〈W 〉T =
T fast sicher gilt. Da ( � Wt)t≥0 = � T −1/2 �
WtT eine Brown’sche Bewegung ist
t≥0
und 〈 � W 〉1 = T −1 〈W 〉T gilt, reicht es, den Fall T =1zu betrachten.
Setze
Yn := �
t∈Pn 2
(Wt ′ − Wt) für alle n ∈ N.
1
Dann ist E[Yn] = �
t∈Pn (t
1
′ − t) =1 und
Var[Yn] = �
Var � (Wt ′ − Wt) 2� = �
(t ′ − t) 2 ≤ 2 |P n |.
t∈P n 1
t∈P n 1
Nach Voraussetzung (21.53) gilt also �∞ n=1 Var[Yn] ≤ 2 �∞ n=1 |Pn | < ∞, also
n→∞
gilt Yn −→ 1 fast sicher.
Verzichten wir auf die Bedingung (21.53), so gilt immer noch Var[Yn] n→∞
−→ 0,
also Vn
n→∞
−→ 1 stochastisch. Es ist allerdings nicht zu schwer zu zeigen, dass
(Yn)n∈N ein Rückwärtsmartingal ist (siehe etwa [132, Theorem I.28]) und daher
fast sicher gegen 1 konvergiert. ✷
Korollar 21.65. Sind W und � W unabhängige Brown’sche Bewegungen, so gilt
〈W, � W 〉T =0.
Beweis. Die stetigen Prozesse ((W + � W )/ √ 2) und (W − � W )/ √ 2) haben unabhängige,
normalverteilte Zuwächse, sind also Brown’sche Bewegungen. Nach
Bemerkung 21.61(i) gilt
4 � W, � W �
T = � W + � W �
T − � W − � W �
T
2 � (W + � W )/ √ 2 �
T − 2� (W − � W )/ √ 2 �
=2T − 2T =0. ✷
T

470 21 Die Brown’sche Bewegung
Nach Übung 21.4.2 ist (W 2 t − t)t≥0 ein stetiges Martingal. Offenbar ist auch
(Wt � Wt )t≥0 ein stetiges Martingal. Nach dem Gezeigten sind also die Prozesse
W 2 −〈W 〉 und W � W −〈W, � W 〉 Martingale. Wir werden sehen (Satz 21.70), dass
die quadratische Variation 〈M(ω)〉 eines quadratintegrierbaren, stetigen Martingals
M stets existiert (für fast alle ω), und dass der Prozess 〈M〉 eindeutig charakterisiert
ist durch die Eigenschaft, dass M 2 −〈M〉 ein Martingal ist.
Um eine ähnliche Aussage auch für stetige Martingale zu erhalten, die nicht quadratisch
integrierbar sind, treffen wir die folgende Definition.
Definition 21.66 (Lokales Martingal). Sei F eine Filtration auf (Ω,F, P) und τ
ein F-Stoppzeit. Ein adaptierter, reeller stochastischer Prozess M =(Mt)t≥0 heißt
lokales Martingal bis τ, falls es eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten gibt mit τn ↑ τ
fast sicher, und so, dass für jedes n ∈ N der gestoppte Prozess M τn =(Mτn∧t)t≥0
ein gleichgradig integrierbares Martingal ist. Eine solche Folge (τn)n∈N heißt lokalisierende
Folge für M. M heißt lokales Martingal schlechthin, falls M ein lokales
Martingal bis τ ≡∞ist. Mit Mloc,c bezeichnen wir den Raum der stetigen lokalen
Martingale.
Bemerkung 21.67. Sei M ein stetiger, adaptierter Prozess und τ eine Stoppzeit.
Dann sind äquivalent:
(i) M ist ein lokales Martingal bis τ.
(ii) Es gibt eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten mit τn ↑ τ fast sicher, sodass
jedes M τn ein Martingal ist.
(iii) Es gibt eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten mit τn ↑ τ fast sicher, sodass
jedes M τn ein beschränktes Martingal ist.
In der Tat: (iii) =⇒ (i) =⇒ (ii) ist trivial. Gelte also (ii), und sei τ ′ n definiert durch
τ ′ n := inf{t ≥ 0: |Mt| ≥n} für jedes n ∈ N.
Da M stetig ist, gilt τ ′ n ↑∞.Alsoist (σn)n∈N := (τn ∧ τ ′ n) eine lokalisierende
Folge für M, sodass jedes M σn ein beschränktes Martingal ist. ✸
Bemerkung 21.68. Ein beschränktes lokales Martingal M ist stets auch ein Martingal.
In der Tat: Ist |Mt| ≤C

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 471
Beispiel 21.69. (i) Ein Martingal ist offenbar stets ein lokales Martingal.
(ii) In Bemerkung 21.68 hatten wir gesehen, dass beschränkte lokale Martingale
auch Martingale sind. Andererseits ist selbst ein gleichgradig integrierbares lokales
Martingal nicht notwendigerweise ein Martingal: Sei W =(W 1 ,W 2 ,W 3 )
eine dreidimensionale Brown’sche Bewegung (das heißt, W 1 , W 2 und W 3 sind
unabhängige Brown’sche Bewegungen) mit Start in W0 = x ∈ R 3 \{0}. Sei
u(y) =�y� −1
für y ∈ R d \{0}.
Man prüft leicht nach, dass u harmonisch ist, dass also △ u(y) =0ist für alle
y �= 0. Wir werden später sehen (Korollar 25.33 zur Itô-Formel), dass hieraus folgt,
dass M := (u(Wt))t≥0 ein lokales Martingal ist. Durch
τn := inf � t>0: Mt ≥ n � =inf � t>0: �Wt� ≤1/n � , n ∈ N,
wird eine lokalisierende Folge für M definiert. Andererseits liefert eine explizite
−1/2 Rechnung mit der dreidimensionalen Normalverteilung E[Mt] ≤ t
t→∞
−→ 0,
also ist M integrierbar aber kein Martingal. Wegen Mt
t→∞
−→ 0 in L1 ist M sogar
gleichgradig integrierbar. ✸
Satz 21.70. Sei M ein stetiges lokales Martingal.
(i) Es existiert ein eindeutig bestimmter, stetiger, monoton wachsender, adaptierter
Prozess 〈M〉 =(〈M〉t)t≥0 mit 〈M〉0 =0, sodass gilt:
� �
2
Mt −〈M〉t ist ein stetiges lokales Martingal.
t≥0
(ii) Ist M ein stetiges, quadratisch integrierbares Martingal, so ist M 2 −〈M〉
ein Martingal.
(iii) Für jede zulässige Zerlegungsfolge P =(Pn )n∈N gilt
U n T := �
t∈P n T
� �2 n→∞
Mt ′ − Mt −→ 〈M〉T stochastisch für alle T ≥ 0.
Der Prozess 〈M〉 heißt quadratischer Variationsprozess von M.
Bemerkung 21.71. Indem wir in (iii) gegebenenfalls zu einer (von T abhängigen)
Teilfolge P ′ übergehen, können wir annehmen, dass U n T
n→∞
−→ 〈M〉T fast sicher
gilt. Durch ein Diagonalfolgenargument erhalten wir (wie im Beweis des Satzes von
n→∞
−→ 〈M〉T fast sicher für alle T ∈ Q +
und T ↦→ 〈M〉T
−→ 〈M〉T für alle T ≥ 0 fast sicher. Also ist für diese Zerlegungsfolge
Helly) eine Zerlegungsfolge, sodass U n T
gilt. Aufgrund der Monotonie und der Stetigkeit von T ↦→ U n T
folgt U n n→∞
T

472 21 Die Brown’sche Bewegung
die pfadweise definierte quadratische Variation fast sicher gleich dem quadratischen
Variationsprozess:
〈M(ω)〉 = V 2 (M(ω)) = 〈M〉(ω). ✸
Beweis (von Satz 21.70). Schritt 1. Sei zunächst |Mt| ≤C fast sicher für
alle t ≥ 0 für ein C

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 473
Da M ein Martingal ist, ist für s1,s2 ∈Pm T und t1 ∈Pn s1,s ′ , t2
1
∈Pn s2,s ′ t1

474 21 Die Brown’sche Bewegung
Damit ist (21.55) gezeigt.
Schritt 2. Sei nun M ∈Mloc,c und (τN )N∈N eine lokalisierende Folge, sodass
jedes M τN ein beschränktes Martingal ist (siehe Bemerkung 21.67). Nach Schritt 1
gilt für T ≥ 0 und N ∈ N
U N,n
T
:= �
t∈P n T
� M τN
t ′
τN
− M
t
� 2 n→∞
−→ 〈M τN 〉T in L 2 .
Wegen U N,n
T = U N+1,n
T , falls T ≤ τN , gibt es einen stetigen Prozess U mit
U N,n n→∞
T −→ UT stochastisch, falls T ≤ τN . Also gilt 〈M τN 〉T = 〈M〉T := UT ,
falls T ≤ τN .WegenτN↑∞fast sicher, gilt für alle T ≥ 0
U n T
n→∞
−→ 〈M〉T stochastisch.
Da � (M τN
T )2 −〈MτN �
〉T T ≥0 ein stetiges Martingal ist und 〈M τN 〉 = 〈M〉 τN gilt,
folgt M 2 −〈M〉 ∈Mloc,c.
Schritt 3. Wir müssen noch (ii) zeigen. Sei also M ein stetiges, quadratintegrierbares
Martingal und (τn)n∈N eine lokalisierende Folge für das lokale Martingal
M 2 −〈M〉. SeiT > 0 und τ ≤ T eine Stoppzeit. Da M 2 ein nichtnegatives
Submartingal ist, ist M 2 τn∧τ ≤ E[MT |Fτn∧τ ], also ist (M 2 τn∧τ )n∈N gleichgradig
integrierbar und damit
E � M 2� τ = lim
n→∞ E�M 2 �
τn∧τ = lim
n→∞ E� � � � � � � � 2 2
〈M〉τn∧τ +E M0 = E 〈M〉τ +E M0 ,
wobei wir im letzten Schritt den Satz über monotone Konvergenz ausgenutzt haben.
Nach dem Optional Sampling Theorem ist also M 2 −〈M〉 ein Martingal.
Schritt 4. (Eindeutigkeit) Seien A und A ′ stetige, monoton wachsende, adaptierte
Prozesse mit A0 = A ′ 0, sodass M 2 − A und M 2 − A ′ lokale Martingale sind.
Dann ist auch N = A − A ′ ein lokales Martingal, und für fast alle ω hat der Pfad
N(ω) endliche Variation. Daher ist 〈N〉 ≡0 und damit N 2 −〈N〉 = N 2 ein stetiges
lokales Martingal mit N0 =0.Sei(τn)n∈Neine lokalisierende Folge für N 2 .Dann
ist E � N 2 �
2
τn∧t =0für jedes n ∈ N und t ≥ 0, also ist Nτn∧t =0fast sicher und
damit N 2 t = limn→∞ N 2 τn∧t =0fast sicher. Es folgt A = A ′ . ✷
Korollar 21.72. Sei M ein stetiges lokales Martingal mit 〈M〉 ≡0. Dann ist Mt =
M0 für alle t ≥ 0 fast sicher. Speziell gilt dies, falls die Pfade von M von lokal
endlicher Variation sind.
Korollar 21.73. Seien M,N ∈ Mloc,c. Dann existiert ein eindeutig bestimmter
stetiger, adaptierter Prozess 〈M,N〉 von fast sicher lokal endlicher Variation mit
〈M,N〉0 =0, sodass gilt:
MN −〈M,N〉 ist ein stetiges lokales Martingal.

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 475
〈M,N〉 heißt quadratischer Kovariationsprozess von M und N. Es gilt für jede
zulässige Zerlegungsfolge P und jedes T ≥ 0
�
〈M,N〉T = lim
n→∞
t∈Pn T
� �� �
Mt ′ − Mt Nt ′ − Nt stochastisch. (21.60)
Beweis. Existenz. Offenbar gilt M + N,M − N ∈Mloc,c.Wirdefinieren
〈M,N〉 := 1�
�
〈M + N〉−〈M − N〉 .
4
Als Differenz monoton wachsender Funktionen ist 〈M,N〉 von lokal endlicher Variation.
Wegen Satz 21.70(iii) folgt (21.60). Weiter ist
MN −〈M,N〉 = 1�
� 2 1�
�
2
(M + N) −〈M + N〉 − (M − N) −〈M − N〉
4
4
ein lokales Martingal.
Eindeutigkeit. Seien A und A ′ mit A0 = A ′ 0 = 0 stetig, adaptiert und von
lokal endlicher Variation, sodass MN − A und MN − A ′ in Mloc,c sind. Dann ist
A − A ′ ∈Mloc,c von lokal endlicher Variation, also A − A ′ =0. ✷
Korollar 21.74. Ist M ∈Mloc,c und A stetig und adaptiert mit 〈A〉 ≡0, soist
〈M + A〉 = 〈M〉.
Ist M ein stetiges lokales Martingal bis zur Stoppzeit τ, soistM τ ∈Mloc,c, und
wir schreiben 〈M〉t := 〈M τ 〉t für t

476 21 Die Brown’sche Bewegung
E � M τ0
� �
�Fs t = E
�
lim
n→∞
M τ0∧τn
t
= lim
n→∞ E�M τ0∧τn
t
= lim
n→∞
M τ0∧τn
s
� �
�Fs
�
� Fs
�
= M τ0
s .
Also ist M τ0 ein Martingal. ✷
Korollar 21.76. Ist M ∈Mloc,c und E � �
〈M〉t < ∞ für jedes t ≥ 0, soistMein quadratintegrierbares Martingal.
Übung 21.10.1. Zeige, dass die Zufallsvariablen (Yn)n∈N aus dem Beweis von
Satz 21.64 ein Rückwärtsmartingal bilden. ♣
Übung 21.10.2. Sei f :[0, ∞) → R stetig und X ∈CP qV für die zulässige Zerlegungsfolge
P. Man zeige:
� T
0
f(s) d〈X〉s = lim
�
n→∞
t∈Pn T
f(t) � 2
Xt ′ − Xt)
für alle T ≥ 0. ♣
Übung 21.10.3. Man zeige durch ein Gegenbeispiel: Ist M ein stetiges lokales Martingal
mit M0 =0und τ ein Stoppzeit mit E � �
〈M〉τ = ∞, so folgt hieraus nicht
notwendigerweise E � M 2 �
τ = ∞. ♣

22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Für Summen unabhängiger Zufallsvariablen kennen wir bislang zwei Grenzwertsätze:
das Gesetz der großen Zahl und den Zentralen Grenzwertsatz. Das Gesetz der
großen Zahl beschreibt für großes n ∈ N das typische oder Mittelwertverhalten von
Summen von n Zufallsvariablen, während der Zentrale Grenzwertsatz die typischen
Fluktuationen um diesen Mittelwert quantitativ erfasst.
In Kapitel 23 werden wir die untypisch großen Fluktuationen (große Abweichungen)
quantitativ erfassen. Dagegen ist das Thema dieses Kapitels die genauere quantitative
Erfassung der typischen Fluktuationen, aber nun im gesamten zeitlichen Verlauf
n →∞. Die Botschaft lautet in etwa: Während zu fester Zeit die Partialsumme
Sn um etwa √ n von ihrem Erwartungswert abweicht (Zentraler Grenzwertsatz), ist
die maximale Fluktuation von der Ordnung √ n log log n (Satz von Hartman und
Wintner, Satz 22.9).
Wir beginnen mit der etwas leichteren Aufgabe, diese Fluktuationen zunächst für
die Brown’sche Bewegung auszurechnen (Satz 22.1). Danach werden wir sehen,
wie man Summen unabhängiger Zufallsvariablen (mit endlicher Varianz) in eine
Brown’sche Bewegung einbetten kann (Satz von Skorohod, Satz 22.5), um damit
die Aussage des Satzes von Hartman und Wintner zu zeigen.
Wir folgen in diesem Kapitel in Teilen der Darstellung in [38, Kapitel 7.9].
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown’sche Bewegung
Sei (Bt)t≥0 eine Brown’sche Bewegung. In Beispiel 21.16 haben wir als Anwendung
des Blumenthal’schen 0-1 Gesetzes gesehen, dass lim sup t↓0 Bt/ √ t = ∞ f.s.
Da nach Satz 21.14 auch (tB 1/t)t≥0 eine Brown’sche Bewegung ist, folgt
lim sup
t→∞
Bt
√ t = ∞ f.s.
Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, √ t durch eine Funktion zu ersetzen, sodass
der Limes superior endlich und nichttrivial wird.

478 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Satz 22.1 (Gesetz vom iterierten Logarithmus für die Brown’sche Bewegung).
Es gilt
Bt
lim sup � =1 f.s. (22.1)
t→∞ 2t log log(t)
Bevor wir den Satz beweisen, bringen wir ein elementares Lemma.
Lemma 22.2. Sei X ∼N0,1 standardnormalverteilt. Dann ist für jedes x>0
1
√ 2π
1
x + 1 e
x
−x2 /2 1
≤ P[X ≥ x] ≤ √2π
1
x e−x2 /2 . (22.2)
Beweis. Sei ϕ(t) = 1
√ 2π e −t2 /2 die Dichte der Standardnormalverteilung. Partielle
Integration liefert die zweite Ungleichung in (22.2):
� ∞
1
P[X ≥ x] = (tϕ(t)) dt = −1
x t t ϕ(t)
�
�
� ∞
� ∞
1 1
− ϕ(t) dt ≤
x x t2 x ϕ(x).
Analog ist
P[X ≥ x] ≥ 1 1
ϕ(x) −
x x2 � ∞
ϕ(t) dt =
x
1 1
ϕ(x) − P[X ≥ x].
x x2 Hieraus folgt die erste Ungleichung in (22.2). ✷
Beweis von Satz 22.1
1. Schritt: ≤“ Betrachte zunächst die Folge tn = α
” n für ein α>1. Später
wollen wir α ↓ 1 gehen lassen. Setze f(t) = 2α2log log t. Dann ist nach dem
Spiegelungsprinzip (Satz 21.19) und mit der Abkürzung B [a,b] := {Bt : t ∈ [a, b]}
�
P sup B [tn,tn+1] > � � �
tnf(tn) ≤ P t −1/2
n+1 sup B [0,tn+1] > � �
f(tn)/α
�
= P sup B [0,1] > � �
f(tn)/α
�
α
≤
f(tn) e−f(tn)/2α
= (log α) −α
�
α
f(tn) n−α
(22.3)
≤ n −α
wobei wir im vorletzten Schritt benutzt haben, dass
für hinreichend großes n,
f(tn)
2α = α� log(n log α) � = α log n + α log log α.

22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown’sche Bewegung 479
Wegen α>1 ist die rechte Seite von (22.3) summierbar in n
∞� �
P sup B [tn,tn+1] > � �
tnf(tn) < ∞.
n=1
Das Lemma von Borel-Cantelli (Satz 2.7) liefert jetzt (merke: t ↦→ � tf(t) ist monoton
wachsend)
Bt
lim sup � ≤ 1 f.s.
t→∞ tf(t)
Wir lassen α ↓ 1 gehen und erhalten
lim sup
t→∞
Bt
√ 2t log log t ≤ 1 f.s. (22.4)
2. Schritt: ” ≥“ Wir zeigen nun die andere Ungleichung in (22.1). Hierfür lassen
wir α →∞gehen. Setze β := α
α−1
> 1 und g(t) = 2
β 2 log log t.Wähle n0 so groß,
dass βg(tn) ≥ 1 ist für n ≥ n0. Dann ist nach der Brown’schen Skalierung (merke:
tn − tn−1 = 1
β tn) und (22.2) (wegen (x + 1
x )−1 ≥ 1 1
2 x für x =(βg(tn)) 1/2 ≥ 1)
�
P Btn − Btn−1 > � � �
tng(tn) = P B1 > � �
βg(tn)
≥ 1 1 1
√ �
2π 2 βg(tn) e−βg(tn)/2
= 1 1
1
√ (log α)−1/β �
2π 2 βg(tn) n−1/β .
Ist ε ∈ (0, 1 − 1/β), soistfür hinreichend großes n ∈ N die rechte Seite der
vorangehenden Gleichung ≥ n−ε n−1/β ≥ n−1 .Alsoist
∞� �
P Btn − Btn−1 > � �
tng(tn) = ∞.
n=2
Die Ereignisse sind unabhängig, daher liefert das Lemma von Borel-Cantelli
�
P Btn − Btn−1 > � tng(tn)
�
für unendlich viele n =1. (22.5)
tn log log tn n→∞
Wegen
−→ α folgt aus (22.4) zusammen mit der Symmetrie
tn−1 log log tn−1
der Brown’schen Bewegung für ε>0
Btn−1 > −(1 + ε)α−1/2� 2tn log log tn für fast jedes n ∈ N f.s. (22.6)
Aus (22.5) und (22.6) folgt
lim sup
n→∞
Btn √ ≥
2tn log log tn
1
β − (1 + ε)α−1/2 α − 1
= − (1 + ε)α−1/2
α
Bt
Lassen wir nun α →∞, so erhalten wir lim sup √ ≥ 1 f.s. Zusammen
t→∞ 2t log log t
mit (22.4) folgt die Aussage des Satzes. ✷
f.s.

480 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Korollar 22.3. Es gilt fast sicher lim sup
t↓0
Bt
� 2t log log(1/t) =1.
Beweis. Nach Satz 21.14 ist (tB 1/t) eine Brown’sche Bewegung. Wende hierauf
Satz 22.1 an. ✷
Bemerkung 22.4. Die Aussage von Korollar 22.3 betrifft die typischen Punkte der
Brown’schen Bewegung B. Wie sieht es aber aus, wenn wir nach der Existenz von
Punkten t fragen, in denen sich B schneller als � 2t log log(1/t) bewegt? Auskunft
gibt hier ein Satz von Paul Lévy [103]: Bezeichnen wir mit h(δ) := � 2δ log(1/δ)
den Lévy’schen Stetigkeitsmodul,soist
�
P lim
δ↓0
sup |Bt − Bs|/h(δ) =1
s,t∈[0,1]
0≤t−s≤δ
�
=1. (22.7)
(Siehe etwa [137, Theorem I.2.5] für einen Beweis.) Hieraus folgt insbesondere,
-stetig ist. ✸
dass B fast sicher nicht lokal Hölder- 1
2
22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz
Um das Ergebnis des vorigen Abschnitts auf Summen von quadratintegrierbaren,
zentrierten Zufallsvariablen zu übertragen, brauchen wir eine Einbettung von solchen
Zufallsvariablen in eine Brown’sche Bewegung. Die gewünschte Darstellung
liefert der Satz von Skorohod. Mit dieser Technik lässt sich auch ein alternativer
Beweis des Satzes von Donsker (Invarianzprinzip, Satz 21.43) angeben.
Satz 22.5 (Skorohod’scher Einbettungssatz). Sei X eine reelle Zufallsvariable
mit E[X] =0und Var[X] < ∞. Dann existiert auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
eine Filtration F und eine Brown’sche Bewegung B, die ein
F-Martingal ist, sowie eine F–Stoppzeit τ mit
Bτ
D
= X und E[τ] =Var[X].
Bemerkung 22.6. Man kann auch zeigen, dass F = σ(B) gewählt werden kann.
Das ist allerdings aufwändiger und wird hier nicht benötigt. ✸
Korollar 22.7. Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit E[X1] =0und
Var[X1] < 1. Ferner sei Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N. Dann gibt es auf einem
geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum eine Filtration F und eine Brown’sche Bewe-
gung B, die ein F-Martingal ist, sowie F–Stoppzeiten 0=τ0 ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ ...mit:
(τn − τn−1)n∈N ist u.i.v., E[τ1] =Var[X1] und (Bτn )n∈N
D
=(Sn)n∈N.

22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz 481
Zur Vorbereitung des Beweises bringen wir ein Lemma. Wir wollen dabei als Integranden
Maße zulassen. Wir verwenden deshalb folgende Notation: Ist μ ∈M(E)
ein Maß und f ∈L 1 (μ) nichtnegativ, so wird � μ(dx)f(x)δx := fμ definiert, wobei
fμdas Maß mit Dichte f bezüglich μ ist. Dies ist konsistent, denn für messbares
A ⊂ E ist dann
��
μ(dx)f(x)δx
� �
(A) =
�
μ(dx)f(x)δx(A) = μ(dx)f(x) A(x) =fμ(A).
Lemma 22.8. Sei μ ∈M1(R) mit � xμ(dx) =0und σ2 := � x2 μ(dx) < ∞.
Dann existiert ein W-Maß θ ∈M1((−∞, 0) × [0, ∞)) mit
� �
v
μ = θ(d(u, v))
v − u δu + −u
v − u δv
�
. (22.8)
Es ist σ 2 = − � uv θ(d(u, v)).
Beweis. Wir setzen m := �
Dann ist
[0,∞)
vμ(dv) =− �
(−∞,0)
uμ(du) und
θ(d(u, v)) := m −1 (v − u) μ(du)μ(dv) für u

482 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Beweis (Satz 22.5). Wir nehmen zunächst an, dass X nur die zwei Werte u0: Bt ∈{u, v} � .
D
Nach Übung 21.2.4 ist E[Bτu,v ]=0also Bτu,v = X,sowieE[τu,v] =−uv.
Sei nun X beliebig mit E[X] =0und σ2 := E[X2 ] < ∞. Setze μ = PX und
θ = θμ wie in Lemma 22.8. Ferner sei Ξ =(Ξu,Ξv) eine Zufallsvariable mit
Werten in (−∞, 0) × [0, ∞) und Verteilung θ.
Sei F =(Ft)t≥0, wobei Ft := σ(Ξ, Bs : s ∈ [0,t]) ist. Setze τ := τΞu,Ξv .Auf
Grund der Stetigkeit von B und wegen τ ≤ τu,v, falls uΞv, istfür
jedes t ≥ 0
{τ ≤ t} = �
u,v∈Q
u

Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n setzen wir
22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz 483
(σ, +) := (σ1,...,σn, +) ∈{−, +} n+1 .
Für σ ∈{−, +} 0 := {∅} setzen wir (∅, +) = (+). Analog verfahren wir für (σ, −).
Wir definieren sukzessive Mengen A σ und Punkte μ σ für σ ∈{−, +} n , n ∈ N0
durch
A ∅ := R, μ ∅ := E[X],
A (σ,−) := A σ ∩ (−∞,μ σ ), A (σ,+) := A σ ∩ [μ σ , ∞),
μ (σ,+) := E � X � � (σ,+)
X ∈ A � ,
� � �
E X �X ∈ A (σ,−)� , falls P � X ∈ A (σ,−)� > 0,
μ (σ,−) :=
μ σ , sonst.
Man beachte, dass die Abbildung σ ↦→ μσ monoton ist in der lexikographischen
Ordnung ((σ, −) ≤ σ ≤ (σ, +) für jedes σ).
Setze
Gn := σ � {X ∈ A σ },σ∈{−, +} m ,m≤ n �
für n ∈ N0,
und G∞ := σ( �
n∈N Gn). Dannist
Xn := E[X � � Gn] für n ∈ N0,
ein Martingal bezüglich der Filtration (Gn)n∈N0 . Nach der Jensen’schen Ungleichung
ist E[X2 n] ≤ E[X2 ] < ∞ für jedes n ∈ N0. Nach dem L2-Martingalkonver genzsatz (Satz 11.10) gilt daher
Xn
n→∞
−→ X∞ := E[X � �G∞] f.s. und in L 2 . (22.9)
Für x ∈ R und n ∈ N sei σ(n, x) =(σ1(n, x),...,σn(n, x)) ∈{−, +} n (eindeutig)sogewählt,
dass x ∈ A σ(n,x) . Offenbar ist dann σm(n, x) =σm(n ′ ,x)
für alle n, n ′ ≥ m, also existiert ein (eindeutiges) σ(x) ∈{−, +} N mit σ(n, x) =
(σ1(x),...,σn(x)) (der projektive Limes der σ(n, x), n ∈ N). Es ist dann
Ferner ist
μ σ(x)
n
x ∈ A σ(x)
n
:= μ (σ1(x),...,σn(x)) ⎧
⎨
=
⎩
:= A (σ1(x),...,σn(x)) .
Setze fn(x) :=μ σ(x)
n , f∞ = lim inf
n→∞ fn(x). Dannist
sup A σ(x)
n+1 , falls σn+1 = −
inf A σ(x)
n+1 , falls σn+1 =+.
fn(X) =E[X � � Gn] fast sicher für jedes n ∈ N ∪{∞}.
(22.10)

484 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Wir nehmen daher im Folgenden an, dass wir die Version Xn := fn(X), n ∈
N ∪{∞}fest gewählt haben. Offenbar sind fn, n ∈ N, und f∞ monoton wachsend.
Schließlich setzen wir noch Aσ(x) := �∞ .
n=1 Aσ(x) n
1. Schritt Wir zeigen, dass X∞ = X f.s. Sei zunächst |X| ≤ C f.s. für ein
C>0. Wir berechnen
E[(Xn − Xn−1) 2 �
]=E E � (Xn − Xn−1) 2 � �
�Gn−1 �
�
≥ E E � |Xn − Xn−1| � � �
2 �Gn−1 �
= E E � |X − Xn−1| � � �
2 �Gn−1 Auf Grund der Martingaleigenschaft ist
≥ E � |X − Xn−1|] 2 ≥ (2C) −2 E � (X − Xn−1) 2� 2
E � (X − Xn) 2� = E � (X − Xn−1) 2� − E � (Xn − Xn−1) 2� .
Setzen wir an := E � (X − Xn) 2� /(4C 2 ), so folgt a0 ≤ 1 und
an ≤ an−1 − a 2 n−1
für jedes n ∈ N.
1
Induktiv erhalten wir an ≤ 1/(n +1),dennesista1≤ max x(1 − x) =
x∈[0,1]
4 , und
für n ≥ 2 ist wegen an−1 ≤ 1/2
an ≤ max
x∈[0,an−1] x(1 − x) =an−1(1
n − 1
− an−1) ≤
n2 n − 1
≤
n2 1
=
− 1 n +1 .
Es folgt Xn
n→∞
−→ X in L2 und damit X∞ = X fs.
Sei nun X nicht mehr notwendigerweise beschränkt. Für K>0 setzen wir
X K ⎧
⎨
X, falls |X| ≤K,
:= E[X |X >K],
⎩
E[X |X K,
falls X

22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz 485
2. Schritt Wir zeigen: die Folge (Xn)n∈N0 ist ein Markovprozess mit (inhomogenen)
Übergangswahrscheinlichkeiten
P � Xn+1 = μ (σ,±) � �
� (σ,∓) σ
�
μ − μ
Gn] =
� �
μ (σ,+) − μ (σ,−) , falls Xn = μ σ . (22.11)
Hierdurch ist die Verteilung von (Xn)n∈N0 natürlich eindeutig festgelegt.
Offenbar ist (Xn)n∈N0 ein Markovprozess, weil σ(Xn) =Gn per Konstruktion gilt.
Aus der Martingaleigenschaft E[Xn+1|Xn = μ σ ]=μ σ ergeben sich die Übergangswahrscheinlichkeiten.
3. Schritt Wir definieren Stoppzeiten τ0 =0und
�
τn+1 := inf t ≥ τn : Bt ∈ � μ σ : σ ∈{−, +} n+1��
,
sowie τ := sup n∈N τn. Wegen der Monotonie von σ ↦→ μ σ liegt für σ ∈{−, +} n
in (μ (σ,−) ,μ σ ) und (μ σ ,μ (σ,+) ) kein weiteres μ ϱ , ϱ ∈ {−, +} n+1 .Alsoist
P[Bτn+1 ∈{μ(σ,−) ,μ (σ,+) } � �Bτn = μσ �
]=1. Nach dem Optional Sampling Theorem
(Übung 21.1.3) ist � E[Bτn+1
Fτn ]=Bτn und damit
P � Bτn+1 = μ(σ,±) � �Fτn ]=
�
� (σ,∓) σ μ − μ � �
μ (σ,+) − μ (σ,−) , falls Bτn = μσ .
Also ist (Bτn )n∈N0 ein Markovprozess mit den selben Übergangswahrscheinlichkeiten
wie (Xn)n∈N0 , und damit gilt
Also gilt auch Bτn
Sukzessive erhält man
(Bτn )n∈N0
D
=(Xn)n∈N0 .
n→∞
−→ Bτ fast sicher und Bτ
E[τ1] =−μ − μ + = Var[X1].
E[τn] =
D
= X. Ferner ist
n�
Var[Xm − Xm−1].
m=1
Da (Xn)n∈N ein Martingal ist, sind die Differenzen unkorreliert, also
E[τ] =
∞�
n=1
Var[Xn+1 − Xn] = lim
n→∞ Var[Xn] =Var[X],
nach (22.9) und wegen X = X∞. Damit ist der Beweis von Bemerkung 22.6 erbracht.
✷

486 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
22.3 Satz von Hartman-Wintner
Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für
u.i.v. Zufallsvariablen Xn, n ∈ N mit zweiten Momenten, der auf Hartman und
Wintner (1941) (siehe [68]) zurückgeht. (In der einfacheren Situation, wo die Xn
Bernoulli Zufallsvariablen sind, hat bereits Khinchin (1923) die obere Abschätzung
im Gesetz vom iterierten Logarithmus gefunden.)
Satz 22.9 (Hartman-Wintner, Gesetz vom iterierten Logarithmus).
Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit E[X1] =0und Var[X1] =1.
Sei Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N. Dann gilt
lim sup
n→∞
Sn
√ 2n log log n =1 f.s. (22.12)
Wir beweisen den Satz, indem wir ihn auf das Gesetz vom iterierten Logarithmus
für die Brown’sche Bewegung zurückführen. Zu diesem Zweck fassen wir die Partialsummen
Sn als Werte der Brown’schen Bewegung B zu gewissen Stoppzeiten
τ1 ≤ τ2 ≤ ... auf. Dass dies funktioniert, sichert der Skorohod’sche Einbettungssatz.
Beweis. Nach Korollar 22.7 gibt es auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
ein Filtration F und eine Brown’sche Bewegung B, die ein F-Martingal ist,
D
sowie Stoppzeiten τ1 ≤ τ2 ≤ ..., sodass (Sn)n∈N = (Bτn )n∈N. Ferner sind
(τn − τn−1)n∈N u.i.v. mit E[τn − τn−1] =Var[X1] =1.
Nach dem Gesetz vom iterierten Logarithmus für die Brown’sche Bewegung (siehe
Satz 22.1) ist
Bt
lim sup √ =1 f.s.
t→∞ 2t log log t
Es reicht also zu zeigen, dass
lim sup
t→∞
Bt − Bτ ⌊t⌋
√ 2t log log t =0 f.s.
Nach dem starken Gesetz der großen Zahl (Satz 5.17) gilt 1
nτn ε>0 und t0 = t0(ω) so groß, dass
1
1+ε ≤ τ⌊t⌋ ≤ 1+ε für jedes t ≥ t0.
t
Setze
Es reicht zu zeigen, dass lim sup
t→∞
ε) n , n ∈ N, und setze
Mt := sup
s∈[t/(1+ε),t(1+ε)]
|Bs − Bt|.
n→∞
−→ 1 f.s. Sei also
Mt
√ 2t log log t =0. Betrachte die Folge tn =(1+

M ′ n := sup |Bs − Btn−1
s∈[tn−1,tn+2]
|.
Dann ist (nach der Dreiecksungleichung) für t ∈ [tn,tn+1]
Mt ≤ 2M ′ n.
22.3 Satz von Hartman-Wintner 487
Setze δ := (1 + ε) 3 − 1. Dannisttn+2 − tn−1 = δtn−1. Brown’sche Skalierung
und das Spiegelungsprinzip (Satz 21.19) ergeben nun
�
P M ′ n > � �
3δtn−1 log log tn−1
�
= P sup |Bs| >
s∈[0,1]
� �
3loglogtn−1
�
≤ 2 P sup Bs > � �
3loglogtn−1
s∈[0,1]
�
=4P B1 > � �
3loglogtn−1
�
2
≤ � exp −
3loglogtn−1
3
�
log log tn−1
2
≤ n −3/2
für n hinreichend groß.
(Lemma 22.2)
Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich also über n summieren, und das Lemma von
Borel-Cantelli liefert
lim sup
t→∞
Mt
√ t log log t ≤ lim sup
n→∞
2M ′ n
� tn−1 log log tn−1
≤ 2 √ 3δ.
Lassen wir nun ε → 0 gehen, so geht δ =(1+ε) 3 − 1 → 0, und der Beweis ist
vollständig. ✷

23 Große Abweichungen
Wir haben (bis auf das Gesetz vom iterierten Logarithmus) bislang zwei Typen von
Grenzwertsätzen für Partialsummen Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N, von identisch
verteilten, reellen Zufallsvariablen (Xi)i∈N mit Verteilungsfunktion F gesehen:
(1) (Schwache) Gesetze der großen Zahl besagen (unter gewissen Annahmen an die
Familie (Xi)i∈N), dass für jedes x>0
P �� � Sn − n E[X1] � � ≥ xn � n→∞
−→ 0. (23.1)
Hieraus abgeleitet erhalten wir für die empirischen Verteilungsfunktionen Fn :
x ↦→ 1 �n n→∞
n i=1 (−∞,x](Xi) die stochastische Konvergenz �Fn − F �∞ −→ 0.
Wir wollen dies umformulieren zu: Für jede Verteilungsfunktion G �= F und
jedes ε>0 mit ε

490 23 Große Abweichungen
23.1 Satz von Cramér
Seien X1,X2,... u.i.v. mit PXi = N0,1. Dannistfür jedes x>0
P[Sn >xn]=P � X1 >x √ n � =1− Φ � x √ n � =(1+εn)
wobei (nach Lemma 22.2) εn
n→∞
−→ 0 gilt. Es gilt also
1
lim
n→∞ n log P�Sn >xn � = − x2
2
1
√ 2πn e −nx2 /2 ,
für jedes x>0. (23.4)
Man könnte versucht sein zu glauben, dass ein Zentraler Grenzwertsatz die Aussage
(23.4) auch für alle zentrierten u.i.v. Folgen (Xi) mit endlicher Varianz liefert. Dies
ist allerdings falsch, wie der folgende Satz zeigt. Die großen Abweichungen werden
eben stärker durch die Schwänze der Verteilung von Xi beeinflusst, als dies bei
den mittleren Fluktuationen der Fall ist, die durch die Varianz komplett determiniert
werden. Der folgende Satz zeigt dies exemplarisch anhand der Bernoulli-Verteilung.
Satz 23.1. Seien X1,X2,...u.i.v. mit P[X1 = −1] = P[X1 =1]= 1
2 . Dann gilt
für jedes x ≥ 0
1
lim
n→∞ n log P[Sn >xn]=−I(x), (23.5)
wobei die Ratenfunktion I gegeben ist durch
�
1+z
2 log(1 + z)+
I(z) =
1−z
2 log(1 − z), falls z ∈ [−1, 1],
(23.6)
∞, falls |z| > 1.
Bemerkung 23.2. Wir verstehen hierbei 0log0 = 0, wodurch I stetig wird in
[−1, 1] mit I(−1) = I(1) = log 2. Man bemerke: I ist strikt konvex auf [−1, 1]
mit I(0) = 0; I ist monoton wachsend auf [0, 1] und monoton fallend auf [−1, 0].✸
Beweis. Für x = 0 und x > 1 ist die Aussage trivial. Für x = 1 ist P[Sn ≥
n] =2−n , daher gilt auch hier (23.5) trivialerweise. Es reicht also, x ∈ (0, 1) zu
∼ bn,1/2 binomialverteilt, also
betrachten. Es ist Sn+n
2
P � Sn ≥ xn � =2 −n
�
k≥(1+x)n/2
� �
n
.
k
Wir setzen an(x) =⌈n(1 + x)/2⌉ für n ∈ N und erhalten, weil k ↦→ � � n
k monoton
fallend ist für k ≥ n
2 :
�� �
� � �
n
n
Qn(x) :=max : an(x) ≤ k ≤ n = . (23.7)
k
an(x)

Wir machen die Abschätzung
Die Stirling’sche Formel
liefert nun
1
lim log Qn(x)
n→∞ n
= lim
n→∞
23.1 Satz von Cramér 491
2 −n Qn(x) ≤ P � Sn ≥ xn � ≤ (n +1)2 −n Qn(x). (23.8)
1
n log
1
= lim
n→∞ n log
lim
n→∞
1
n! nn e −n√ 2πn =1
n!
an(x)! · (n − an(x))!
n n
an(x) an(x) · (n − an(x)) n−an(x)
�
= lim log(n) −
n→∞
an(x)
n log � an(x) � n − an(x)
− log
n
� n − an(x) ��
�
= lim log(n) −
n→∞
1+x
2
= − 1+x
2
−
log 1+x
2
1 − x
2
− 1 − x
2
�
log 1+x
2 +log(n)
�
�
1 − x
log
2 +log(n)
��
log
1 − x
2
= −I(x)+log2.
Wegen (23.8) folgt hieraus (23.5). ✷
Ein allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Ratenfunktion I (unter gewissen
restriktiven Annahmen an die Verteilung von (Xi)) liefert der Satz von Cramér [30].
Satz 23.3 (Cramér (1938)). Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
logarithmischer momentenerzeugender Funktion
Λ(t) :=logE � e tX1� < ∞ für jedes t ∈ R. (23.9)
Sei
Λ ∗ � �
(x) :=suptx
− Λ(t)
t∈R
für x ∈ R,
die Legendre-Transformierte von Λ. Dann gilt für jedes x>E[X1]
lim
n→∞
1
n log P� Sn ≥ xn � = −I(x) :=−Λ ∗ (x). (23.10)

492 23 Große Abweichungen
Beweis. Indem wir gegebenenfalls Xi − x betrachten, können wir E[Xi] < 0 und
x = 0 annehmen. (Ist nämlich ˜ Xi := Xi − x und ˜ Λ und ˜ Λ∗ wie oben für ˜ Xi
definiert, so ist ˜ Λ(t) =Λ(t) − t · x und daher ˜ Λ∗ (0) = supt∈R(− ˜ Λ(t)) = Λ∗ (x).)
Setze ϕ(t) :=eΛ(t) und
ϱ := e −Λ∗ (0) =inf
t∈R ϕ(t).
Nach (23.9) und dem Differentiationslemma (Satz 6.28) ist ϕ unendlich oft differenzierbar,
und die ersten beiden Ableitungen sind
ϕ ′ (t) =E � X1 e tX1�
und ϕ ′′ (t) =E � X 2 1 e tX1� .
Also ist ϕ strikt konvex und ϕ ′ (0) = E[X1] < 0.
Sei zunächst der Fall P[X1 ≤ 0] = 1 betrachtet. Dann ist ϕ ′ (t) < 0 für jedes t ∈ R
und ϱ = lim ϕ(t) =P[X1 =0]. Es folgt
t→∞
und damit die Behauptung.
P[Sn ≥ 0] = P[X1 = ...= Xn =0]=ϱ n
Sei nun P[X1 < 0] > 0 und P[X1 > 0] > 0. Dannistlim ϕ(t) = ∞ =
t→∞
lim ϕ(t).Daϕ strikt konvex ist, besitzt ϕ eine eindeutige Minimalstelle τ ∈ R,
t→−∞
also
ϕ(τ) =ϱ und ϕ ′ (τ) =0.
Wegen ϕ ′ (0) < 0 ist τ>0. Mit Hilfe der Markov’schen Ungleichung (Satz 5.11)
erhalten wir die Abschätzung
P[Sn ≥ 0] = P � e τSn ≥ 1 � ≤ E � e τSn� = ϕ(τ) n = ϱ n .
Wir erhalten so die obere Schranke:
lim sup
n→∞
1
n log P[Sn ≥ 0] ≤ log ϱ = −Λ ∗ (0).
Im Rest des Beweises müssen wir also die umgekehrte Ungleichung zeigen:
lim inf
n→∞
1
n log P[Sn ≥ 0] ≥ log ϱ. (23.11)
Wir verwenden eine Methode der exponentiellen Größenverzerrung der Verteilung
μ := PX1 von X1, die untypische Werte typisch macht, damit man sie besser untersuchen
kann. Wir definieren also die Cramér-Transformierte ˆμ ∈M1(R) von
μ durch
ˆμ(dx) =ϱ −1 e τx μ(dx) für x ∈ R.
Seien ˆ X1, ˆ X2,...unabhängig und identisch verteilt mit PXi ˆ =ˆμ. Dannist

Also ist
23.1 Satz von Cramér 493
ˆϕ(t) :=E � e t ˆ X1 � = 1
�
e
ϱ R
tx e τx μ(dx) = 1
ϕ(t + τ).
ϱ
E � ˆ X1] = ˆϕ ′ (0) = 1
ϱ ϕ′ (τ) =0,
Var � ˆ X1] = ˆϕ ′′ (0) = 1
ϱ ϕ′′ (τ) ∈ (0, ∞).
Setzen wir ˆ Sn = ˆ X1 + ...+ ˆ Xn,soist
�
P[Sn ≥ 0] =
μ(dx1) ···μ(dxn)
�
=
= ϱ n E
{x1+...+xn≥0}
{x1+...+xn≥0}
�
e −τ ˆ Sn
� ϱe −τx1 � ˆμ(dx1) ··· � ϱe −τxn� ˆμ(dxn)
{ ˆ Sn≥0}
Wir erhalten also (23.11), wenn wir zeigen können, dass
lim inf
n→∞
�
.
1
�
log E e
n −τ ˆ Sn
{ ˆ Sn≥0}
Nach dem Zentralen Grenzwertsatz (Satz 15.37) ist für c>0
1
�
log E e
n −τ ˆ Sn
{ ˆ Sn≥0}
�
≥ 1
n
≥ 1
n log
�
log E
e −τ ˆ Sn
{0≤ ˆ Sn≤c √ �
n }
�
e −τc√ � ˆ �
n Sn
P √n ∈ [0,c]
�
�
≥ 0. (23.12)
n→∞ −τc
−→ lim
n→∞
√ n 1
+ lim
n n→∞ n log � N0,Var[X1]([0,c]) �
=0. ✷
Beispiel 23.4. Ist PX1 = N0,1, soist
Λ(t) = log � E � e tX1�� � � ∞
1
=log √2π e
−∞
tx e −x2 �
/2
dx = t2
2 .
Weiter ist
Λ ∗ (z) =sup
t∈R
�
� �
tz − Λ(t) =sup tz −
t∈R
t2
�
=
2
z2
2 .
Die Ratenfunktion stimmt also mit der aus (23.4) überein. ✸
1
Beispiel 23.5. Ist PX1 = 2δ−1 + 1
2δ1, soistΛ(t) =logcosh(t). Der Maximierer
t∗ = t∗ (z) aus dem Variationsproblem für Λ∗ erfüllt die Gleichung z = Λ ′ (t∗ )=
tanh(t∗ ).Alsoist

494 23 Große Abweichungen
Λ ∗ (z) =zt ∗ − Λ(t ∗ )=z arc tanh(z) − log � cosh(arc tanh(z)) � .
Nun ist arc tanh(z) = 1 1+z
log
2 1 − z
Es folgt
cosh � arc tanh(z) � =
für z ∈ (−1, 1) und
Λ ∗ (z) = z
z
log(1 + z) − log(1 − z)+1
2 2 2
= 1+z
2
log(1 + z)+
1
√
1 − z2 =
1
� .
(1 − z)(1 + z)
1 − z
2
log(1 − z).
log(1 − z)+1 log(1 + z)
2
Dies ist aber gerade die Ratenfunktion aus Satz 23.1. ✸
−1 e−|x|
Übung 23.1.1. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit Dichte f(x) =c ,
1+|x| 3
� ∞
e
wobei c =
−∞
−|x|
dx. Man untersuche die logarithmische momentenerzeu-
1+|x| 3
gende Funktion Λ auf Unstetigkeitsstellen und skizziere den Graphen von Λ. ♣
23.2 Prinzip der großen Abweichungen
Wir wollen in diesem Abschnitt die Idee des Satzes von Cramér, die Wahrscheinlichkeiten
seltener, oder untypischer, Ereignisse vermittels einer exponentiellen Rate
und einer Ratenfunktion zu quantifizieren, in einen formalen Rahmen stellen. In diesem
Rahmen kann die gesamte Theorie großer Abweichungen entwickelt werden;
der Leser sei etwa auf die Bücher [32], [33] oder [74] verwiesen.
Sei E ein polnischer Raum mit vollständiger Metrik d. Wir schreiben Bε(x) ={y ∈
E : d(x, y) 0.
Eine Abbildung f : E → R =[−∞, ∞] heißt halbstetig von unten, falls für
jedes a ∈ R die Niveaumenge f −1 ([−∞,a]) ⊂ E abgeschlossen ist. (Speziell sind
also stetige Abbildungen stets halbstetig von unten. Allerdings ist (0,1) : R → R
halbstetig von unten, jedoch nicht stetig.) Äquivalent hierzu ist die Bedingung, dass
limε↓0 inf f(Bε(x)) = f(x) ist für jedes x ∈ E. (Man beachte, dass inf f(A) =
inf{f(x) : x ∈ A}.) Ist K ⊂ E kompakt und nichtleer, so nimmt f auf K das
Infimum an. In der Tat: Für den Fall, wo f(x) =∞ für jedes x ∈ K ist, ist die
Aussage trivial. Sei nun inf f(K) < ∞. Istan ↓ inf f(K) streng monoton fallend,
so ist K∩f −1 ([−∞,an]) �= ∅ kompakt für jedes n ∈ N, also ist auch der unendliche
Schnitt nichtleer
f −1 ∞�
(inf f(K)) = K ∩ f −1 ([−∞,an]) �= ∅.
n=1

23.2 Prinzip der großen Abweichungen 495
Definition 23.6 (Ratenfunktion). Eine von unten halbstetige Funktion I : E →
[0, ∞] heißt Ratenfunktion. Sind alle Niveaumengen I −1 ([−∞,a]), a ∈ [0, ∞),
kompakt, so nennen wir I eine gute Ratenfunktion.
Definition 23.7 (Prinzip großer Abweichungen). Sei I eine Ratenfunktion und
(με)ε>0 eine Familie von W-Maßen auf E. Wir sagen, dass (με)ε>0 ein Prinzip
großer Abweichungen (kurz: LDP für Large Deviations Principle) mit Ratenfunktion
I erfüllt, falls
(LDP 1) lim inf ε log(με(U)) ≥−inf I(U)
ε→0
für jedes offene U ⊂ E,
(LDP 2) lim sup ε log(με(C)) ≤−inf I(C)
ε→0
für jedes abgeschlossene C ⊂ E.
Wir sagen, dass eine Familie (Pn)n∈N von W-Maßen auf E ein LDP mit Rate rn ↑
∞ und Ratenfunktion I erfüllt, falls (LDP 1) und (LDP 2) für die Folge εn =1/rn
und für μ 1/rn = Pn gelten.
Oftmals werden die Bedingungen (LDP 1) und (LDP 2) kurz untere Schranke und
obere Schranke genannt. In vielen Fällen ist die untere Schranke leichter zu zeigen
als die obere.
Bevor wir zeigen, dass der Satz von Cramér im Wesentlichen schon ein LDP ist,
bringen wir noch zwei mehr technische Aussagen.
Satz 23.8. Die Ratenfunktion in einem LDP ist eindeutig.
Beweis. Es erfülle (με)ε>0 das LDP mit Ratenfunktionen I und J. Dannistfür
jedes x ∈ E und δ>0
I(x) ≥ inf I(Bδ(x))
≥−lim inf
ε→0 ε log � με(Bδ(x)) �
�
Bδ(x) ��
≥−lim sup ε log
ε→0
� με
≥ inf I � Bδ(x) � δ→0
−→ J(x).
Es folgt I(x) ≥ J(x) und analog J(x) ≥ I(x). ✷
Lemma 23.9. Sei N ∈ N, und seien ai ε, i =1,...,N, ε>0, nichtnegative Zahlen.
Dann gilt
N�
lim sup ε log a
ε→0
i ε = max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i ε).
i=1

496 23 Große Abweichungen
Beweis. Summe und Maximum unterscheiden sich höchstens um den Faktor N:
max
i=1,...,N ε log(ai ε) ≤ ε log
N�
i=1
Maximum und Limes (superior) vertauschen, also ist
max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i �
ε) = lim sup ε log
ε→0
� �N
�
ε log
≤ lim sup
ε→0
≤ lim sup
ε→0
a i ε ≤ ε log(N) + max
i=1,...,N ε log(ai ε).
max
i=1,...,N ai ε
i=1
a i ε
�
ε log(N)+ max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i ε)
= max lim sup ε log(a
i=1,...,N ε→0
i ε). ✷
Beispiel 23.10. Wir nehmen an, dass die Bedingungen aus dem Satz von Cramér
(Satz 23.3) gelten. Es seien also X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
Λ(t) =log(E[etX1 ]) < ∞ für jedes t ∈ R. Ferner sei Sn = X1 + ...+ Xn für
jedes n. Wir wollen zeigen, dass aus dem Satz von Cramér folgt, dass Pn := PSn/n ein LDP mit Rate n und guter Ratenfunktion I(x) =Λ∗ (x) :=supt∈R(tx − Λ(t))
erfüllt. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass E[X1] =0ist. Die Funktion
I ist überall endlich, stetig, strikt konvex und hat die eindeutige Minimalstelle bei
I(0) = 0. Der Satz von Cramér besagt, dass limn→∞ 1
n log(Pn([x, ∞))) = −I(x)
für x>0 und (aus Symmetriegründen) limn→∞ 1
n log(Pn((−∞,x])) = −I(x) für
x0
1
−I(x) ≥ lim
n→∞
≥ sup lim
ε>0 n→∞
n log Pn((x, ∞))
1
n log Pn([x + ε, ∞)) = − inf I(x + ε) =−I(x)
ε>0
1
und für x

lim sup
n→∞
1
n
log Pn(C)
≤ lim sup
n→∞
=max
23.2 Prinzip der großen Abweichungen 497
1
n log � � � � ��
− +
Pn (−∞,x ] + Pn [x , ∞)
�
lim sup
n→∞
1 � � −
log Pn (−∞,x ] , lim sup
n n→∞
=max � − I(x − ), −I(x + ) � = − inf I(C).
1
n
� � +
log Pn [x , ∞) �
Damit ist (LDP 2) gezeigt.
Sei nun U ⊂ R offen. Sei x ∈ U, x>0, (falls es solch ein x gibt). Dann existiert
ein ε>0 mit (x − ε, x + ε) ⊂ U ∩ (0, ∞). Nun ist
lim
n→∞
1 � �
log Pn (x − ε, ∞) = −I(x − ε) > −I(x + ε)
n
= lim
n→∞
1 � �
log Pn [x + ε, ∞) .
n
Es folgt
lim inf
n→∞
1
n log Pn(U) ≥ lim
n→∞
1
n log Pn((x
= lim
n→∞
− ε, x + ε))
1
n log � = lim
n→∞
� � � ��
Pn (x − ε, ∞) − Pn [x + ε, ∞)
1
n log � � ��
Pn (x − ε, ∞) = −I(x − ε) ≥ −I(x).
Analog folgt dies auch für x ∈ U ∩ (−∞, 0), also ist
lim inf
n→∞
1
n log Pn(U) ≥ inf I(U \{0}) = inf I(U),
wobei wir im letzten Schritt ausgenutzt haben, dass U offen und I stetig ist. Damit
ist die untere Schranke (LDP 1) gezeigt. ✸
Tatsächlich kann man auf die Bedingung, dass Λ(t) < ∞ für alle t ∈ R gilt, verzichten.
Da offenbar Λ(0) = 0 ist, ist Λ ∗ (x) ≥ 0 für jedes x ∈ R. Die Abbildung Λ ∗
ist eine konvexe Ratenfunktion, jedoch im Allgemeinen keine gute Ratenfunktion.
Wir zitieren die folgende Verstärkung des Satzes von Cramér (siehe [32, Theorem
2.2.3]).
Satz 23.11 (Cramér). Sind X1,X2,...u.i.v. reelle Zufallsvariablen, dann erfüllt
(P Sn/n)n∈N ein LDP mit Ratenfunktion Λ ∗ .
Übung 23.2.1. Sei E = R. Man zeige, dass με := N0,ε ein LDP mit guter Ratenfunktion
I(x) =x 2 /2 erfüllt. Man zeige ferner, dass in der oberen Schranke
(LDP 2) strikte Ungleichheit auftreten kann. ♣

498 23 Große Abweichungen
Übung 23.2.2. Sei E = R. Man zeige, dass με := N 0,ε 2 ein LDP mit guter Ratenfunktion
I(x) =∞· R\{0}(x) erfüllt. Man zeige ferner, dass in der unteren
Schranke (LDP 1) strikte Ungleichheit auftreten kann. ♣
Übung 23.2.3. Sei E = R. Man zeige, dass με := 1
2N−1,ε + 1
2N1,ε ein LDP mit
guter Ratenfunktion I(x) =min( 1
2 (x +1)2 , 1
2 (x − 1)2 ) erfüllt. ♣
Übung 23.2.4. Man berechne Λ und Λ ∗ für den Fall, wo X1 ∼ exp θ für θ>0
und interpretiere die Aussage von Satz 23.11 für diesen Fall. Man prüfe, dass Λ ∗
die eindeutige Nullstelle bei E[X1] hat. (Ergebnis: Λ ∗ (x) =θx − log(θx) − 1 falls
x>0 und = ∞ sonst.) ♣
Übung 23.2.5. Man berechne Λ und Λ ∗ für den Fall, wo X1 Cauchy verteilt ist und
interpretiere die Aussage von Satz 23.11 für diesen Fall. ♣
Übung 23.2.6. Sei Xλ ∼ Poiλ für jedes λ>0. Man zeige, dass με := PεX λ/ε ein
LDP mit guter Ratenfunktion I(x) =x log(x/λ) +λ − x für x ≥ 0 (und = ∞
sonst) erfüllt. ♣
Übung 23.2.7. Sei (Xt)t≥0 die Irrfahrt auf Z in stetiger Zeit, die mit Rate 1
2 einen
Schritt nach rechts springt und mit Rate 1
2 einen Schritt nach links springt. Man
zeige, dass (PεX )ε>0 ein LDP erfüllt mit der konvexen guten Ratenfunktion
1/ε
I(x) =1+xarcsinh(x) − √ 1+x2 . ♣
23.3 Satz von Sanov
Dieser Abschnitt ist an die Darstellung in [32] angelehnt.
Wir wollen hier ein Prinzip der großen Abweichungen vorstellen, das nicht auf einem
linearen Raum basiert, wie der Satz von Cramér, sondern für empirische Verteilungen
unabhängiger Zufallsvariablen mit Werten in einer endlichen Menge Σ,
die meist Alphabet genannt wird, annehmen.
Sei μ ein W-Maß auf Σ mit μ({x}) > 0 für jedes x ∈ Σ. Seien ferner X1,X2,...
u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten in Σ und Verteilung PX1 = μ. Wir wollen ein
Prinzip großer Abweichungen für die empirischen Maße
ξn(X) := 1
n
n�
δXi
i=1
herleiten. Man beachte, dass nach dem Gesetz der großen Zahl P-fast sicher gilt,
dass ξn(X) n→∞
−→ μ. Als Zustandsraum ergibt sich also E = M1(Σ), ausgestattet
mit der Metrik d(μ, ν) =�μ − ν�TV der Totalvariation. (Da Σ nur endlich viele

23.3 Satz von Sanov 499
Punkte enthält, sind in E die vage Konvergenz, die schwache Konvergenz und die
Konvergenz in Totalvariation identisch.) Es sei weiterhin
�
�
En := μ ∈M1(Σ) : nμ({x}) ∈ N0 für jedes x ∈ Σ
der mögliche Wertebereich der Zufallsvariablen ξn(X).
Wir erinnern an den Begriff der Entropie von μ
�
H(μ) :=− log � μ({x}) � μ(dx).
Ist ν ∈M1(Σ), sodefinieren wir die relative Entropie (oder Kullback-Leibler
Information nach [101]) von ν gegeben μ durch
� � �
ν({x})
H(ν |μ) := log
ν(dx). (23.13)
μ({x})
Da μ({x}) > 0 ist für alle x ∈ Σ, ist der Integrand ν-f.s. endlich und damit ist
auch das Integral endlich. Eine einfache Anwendung der Jensen’schen Ungleichung
liefert, dass H(μ) ≥ 0 und H(ν |μ) ≥ 0 ist (siehe Lemma 5.26 und Übung 5.3.3),
sowie H(ν |μ) =0genau dann, wenn ν = μ ist. Außerdem ist offenbar
�
H(ν |μ)+H(ν) =− log � μ({x}) � ν(dx). (23.14)
Da die Abbildung ν ↦→ Iμ(ν) :=H(ν |μ) stetig ist, ist Iμ eine Ratenfunktion.
Lemma 23.12. Für jedes n ∈ N und ν ∈ En gilt
(n +1) −#Σ e −nH(ν |μ) ≤ P[ξn(X) =ν] ≤ e −nH(ν |μ) . (23.15)
Beweis. Wir betrachten die Menge möglicher Werte für das n-Tupel (X1,...,Xn),
sodass ξn(X) =ν ist:
An(ν) :=
�
k =(k1,...,kn) ∈ Σ n : 1
n
Für jedes k ∈ An(ν) ist (vergleiche (23.14))
n�
i=1
δki
�
= ν .
P[ξn(X) =ν] =#An(ν) P[X1 = k1,...,Xn = kn]
=#An(ν) �
μ({x}) nν({x})
x∈Σ
=#An(ν) exp
� �
n
�
ν(dx) logμ({x})
=#An(ν) exp � − n[H(ν)+H(ν |μ)] � .

500 23 Große Abweichungen
Seien nun Y1,Y2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten in Σ und Verteilung PY1 =
ν. Dann ist wie in der Rechnung für X (wegen H(ν |ν) =0)
1 ≥ P[ξn(Y )=ν] = #An(ν) e −nH(ν) ,
also #An(ν) ≤ enH(ν) . Hieraus folgt die zweite Ungleichung in (23.15).
Die Zufallsvariable nξn(Y ) ist multinomialverteilt mit Parametern (nν({x}))x∈Σ,
also ist die Abbildung En → [0, 1], ν ′ ↦→ P[ξn(Y )=ν ′ ] maximal in ν ′ = ν. Es
folgt
#An(ν) = e nH(ν) P[ξn(Y )=ν] ≥ enH(ν)
≥ (n +1) −#Σ e nH(ν) .
#En
Hieraus folgt die erste Ungleichung in (23.15). ✷
Wir kommen jetzt zum Hauptsatz dieses Abschnitts, dem Satz von Sanov (siehe
[142] und [143]).
Satz 23.13 (Sanov (1957)). Seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten
in der endlichen Menge Σ und mit Verteilung μ. Dann erfüllt die Familie
(P ξn(X))n∈N der Verteilungen der empirischen Maße ein LDP mit Rate n und
Ratenfunktion Iμ = H( · |μ).
Beweis. Für jedes A ⊂ E ist nach Lemma 23.12
P � ξn(X) ∈ A � = �
P[ξn(X) =ν]
ν∈A∩En
≤ �
Es folgt
lim sup
n→∞
ν∈A∩En
−nH(ν |μ)
e
≤ #(A ∩ En)exp � − n inf Iμ(A ∩ En) �
≤ (n +1) #Σ exp � − n inf Iμ(A) � .
1
n log P[ξn(X) ∈ A] ≤−inf Iμ(A),
also die obere Schranke im LDP (sogar für allgemeines A).
Analog erhalten wir mit der ersten Ungleichung aus Lemma 23.12
P � ξn(X) ∈ A � ≥ (n +1) −#Σ exp � − n inf Iμ(A ∩ En) �
und damit
lim inf
n→∞
1
n log P�ξn(X) ∈ A � ≥−lim sup inf Iμ(A ∩ En). (23.16)
n→∞

23.3 Satz von Sanov 501
Man beachte, dass wir für diese Ungleichung im Infimum nicht einfach A ∩ En
durch A ersetzen können. Wir zeigen vielmehr, dass dies für offenes A zumindest
asymptotisch geht. Sei also A ⊂ E offen. Für ν ∈ A gibt es ein ε>0 mit Bε(ν) ⊂
n→∞
A.Für n ≥ (2 #Σ)/ε ist En ∩ Bε(ν) �= ∅, also existiert eine Folge νn −→ ν mit
νn ∈ En ∩ A für hinreichend großes n ∈ N. DaIμ stetig ist, gilt
lim sup
n→∞
inf Iμ(A ∩ En) ≤ lim
n→∞ Iμ(νn) =Iμ(ν).
Da ν ∈ A beliebig war, folgt lim sup n→∞ inf Iμ(A ∩ En) =infIμ(A). ✷
Beispiel 23.14. Sei Σ = {−1, 1} und μ = 1
2δ−1 + 1
2δ1 die Gleichverteilung auf Σ.
Schreiben wir m = m(ν) =ν({1}) − ν({−1}), dann ist die relative Entropie von
ν ∈M1(Σ)
H(ν |μ) = 1+m
2
log(1 + m) +
1 − m
2
log(1 − m).
Dies ist genau die Ratenfunktion, die wir bereits aus Satz 23.1 kennen. ✸
Wir wollen den Zusammenhang zwischen den LDPs von Sanov und von Cramér,
der im letzten Beispiel angedeutet wurde, nun formal herstellen, indem wir eine
Variante des Satzes von Cramér für R d -wertige Zufallsvariablen, die nur endlich
viele Werte annehmen, aus dem Satz von Sanov herleiten.
Beispiel 23.15. Sei Σ ⊂ Rd endlich und μ ein W-Maß auf Σ. Seien ferner
X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten in Σ und Verteilung PX1 = μ sowie
Sn = X1 + ...+ Xn für jedes n ∈ N. Wir setzen Λ(t) = log E � e 〈t,X1〉� für t ∈ Rd und Λ∗ � �
d (x) =supt∈Rd 〈t, x〉−Λ(t) für x ∈ R .
Wir zeigen, dass � �
PSn/n n∈N ein LDP mit Rate n und Ratenfunktion Λ∗ erfüllt.
Es sei ξn(X) das empirische Maß von X1,...,Xn. SeiE := M1(Σ). Definiere
die Abbildung
m : E → R d ,
�
ν ↦→ xν(dx) = �
xν({x}),
die ν das erste Moment zuordnet. Offenbar ist dann 1
n Sn = m(ξn(X)). Für
x ∈ R d und A ⊂ R d seien Ex := m −1 ({x}) ={ν ∈ E : m(ν) =x} und
EA = m −1 (A) ={ν ∈ E : m(ν) ∈ A}. Die Abbildung ν ↦→ m(ν) ist stetig,
also ist EA offen (beziehungsweise abgeschlossen), falls A offen (beziehungsweise
abgeschlossen) ist. Mit Ĩ(x) :=infIμ(Ex) (wobei Iμ(ν) =H(ν |μ) die relative
Entropie ist) gilt nach dem Satz von Sanov für offenes U ⊂ R d
lim inf
n→∞
1
n log PSn/n(U) = lim inf
n→∞
x∈Σ
1
n log P � � −1
ξn(X) m (U)
≥−inf
μ I � m −1 (U) � = − inf Ĩ(U).

502 23 Große Abweichungen
Analog ist für abgeschlossenes C ⊂ R d
lim sup
n→∞
1
n log P Sn/n(C) ≥−inf Ĩ(C).
Mit anderen Worten: (P Sn/n)n∈N erfüllt ein LDP mit Rate n und Ratenfunktion Ĩ.
Es ist also nur noch zu zeigen, dass Ĩ = Λ∗ gilt.
Man beachte, dass t ↦→ Λ(t) differenzierbar (mit Ableitung Λ ′ ) und strikt konvex
ist. Daher besitzt das Variationsproblem für Λ∗ (x) einen eindeutigen Maximierer
t∗ (x). Genauer gilt
Λ ∗ (x) =〈t ∗ (x),x〉−Λ(t ∗ (x))
und Λ∗ (x) > 〈t, x〉−Λ(t) für alle t �= t∗ (x),sowieΛ ′ (t∗ (x)) = x.
Nach der Jensenschen Ungleichung ist für jedes ν ∈M1(Σ)
�
Λ(t) = log e 〈t,y〉 μ(dy)
� �
�
〈t,y〉 μ({y})
=log e ν(dy)
ν({y})
� �
�
〈t,y〉 μ({y})
≥ log e ν(dy)
ν({y})
= 〈t, m(ν)〉−H(ν |μ)
mit Gleichheit genau dann, wenn ν = νt,woνt({y}) =μ({y})e 〈t,y〉−Λ(t) .Alsoist
〈t, x〉−Λ(t) ≤ inf H(ν |μ)
ν∈Ex
mit Gleichheit, falls νt ∈ Ex. Nun ist aber m(νt) =Λ ′ (t), also ist νt∗ (x) ∈ Ex und
damit
Λ ∗ (x) =〈t ∗ (x),x〉−Λ(t ∗ (x)) = inf H(ν |μ) = Ĩ(x). ✸
ν∈Ex
Das Beweisprinzip, das wir im letzten Beispiel verwandt haben, um das LDP mit
Ratenfunktion Ĩ herzuleiten, wird Kontraktionsprinzip genannt. Wir formulieren
es als Satz.
Satz 23.16 (Kontraktionsprinzip). Die Familie (με)ε>0 von W-Maßen auf E erfülle
ein LDP mit Ratenfunktion I. IstFein topologischer Raum und m : E → F
stetig, so erfüllen die Bildmaße (με ◦ m−1 )ε>0 ein LDP mit Ratenfunktion Ĩ(x) =
inf I(m−1 ({x})).
23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie
Wir nehmen an, dass (με)ε>0 eine Familie von W-Maßen ist, die ein LDP mit Ratenfunktion
I erfüllt. Wir wissen also, dass die Masse von με für kleine ε>0 mehr und

23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie 503
mehr um die Nullstellen von I herum konzentriert liegt. In der statistischen Physik
ist es oftmals von Interesse, Funktionen bezüglich με (wobei 1/ε als ” Systemgröße“
verstanden wird) zu integrieren, die ihren größten Wert nicht in den Nullstellen von
I annehmen, und die zudem noch exponentiell mit 1/ε skalieren. Es soll also die
Asymptotik von Z φ ε := � e φ(x)/ε με(dx) für ε → 0 untersucht werden. Unter harmlosen
Stetigkeitsannahmen tragen zu dem Integral hauptsächlich diejenigen Punkte
x bei, für die φ(x) groß ist, die aber gleichzeitig nicht zu unwahrscheinlich sind,
also diejenigen x, für die φ(x) − I(x) die größten Werte annimmt. Die Beiträge
messen wir durch die gekippten W-Maße μ φ ε (dx) =(Z φ ε ) −1 e φ(x)/ε με(dx), für die
wir ein LDP herleiten. Als Anwendung folgern wir das Prinzip der Minimierung der
freien Energie in der statistischen Physik und analysieren speziell den Weiss’schen
Ferromagneten.
Satz 23.17 (Varadhan’sches Lemma (1966)). Sei I eine gute Ratenfunktion und
(με)ε>0 eine Familie von W-Maßen, die ein LDP mit Ratenfunktion I erfüllt. Sei
ferner φ : E → R stetig und erfülle die Bedingung
�
Dann gilt
inf lim sup ε log
M>0 ε→0
�
lim ε log
ε→0
e φ(x)/ε {φ(x)≥M} με(dx) =−∞. (23.17)
e φ(x)/ε � �
με(dx) =supφ(x)
− I(x) . (23.18)
x∈E
Bemerkung 23.18. Die Bedingung (23.17) folgt aus der etwas griffigeren Bedingung,
dass es ein α>1 gibt mit
�
lim sup ε log e
ε→0
αφ/ε dμε < ∞. (23.19)
In der Tat: Für jedes M ∈ R ist
�
ε log
e φ(x)/ε {φ(x)≥M} με(dx) =M + ε log
�
e (φ(x)−M)/ε {φ(x)≥M} με(dx)
�
≤ M + ε log e α(φ(x)−M)/ε με(dx)
�
= −(α − 1)M + ε log e αφ(x)/ε με(dx).
Hieraus und aus (23.19) folgt sofort (23.17). ✸
Beweis. Wir zeigen mit unterschiedlichen Argumenten, dass die rechte Seite in
(23.18) eine untere Schranke und eine obere Schranke für die linke Seite ist.

504 23 Große Abweichungen
Untere Schranke Für jedes x ∈ E und r>0 ist
�
lim inf ε log
ε→0
e φ/ε �
dμε ≥ lim inf ε log
ε→0
Br(x)
e φ/ε dμε
≥ inf φ(Br(x)) − I(x) r→0
−→ φ(x) − I(x).
Obere Schranke Für M>0 und ε>0 definieren wir
�
�
F ε M :=
Wir setzen
e
{φ≥M}
φ(x)/ε με(dx) und G ε M :=
FM := lim sup
ε→0
{φ0
�
lim ε log e
ε→0 φ(x)/ε με(dx) =FM ∨ GM .
Da nach Voraussetzung infM>0 FM = −∞ gilt, reicht es zu zeigen, dass
� �
sup GM ≤ sup φ(x) − I(x) . (23.20)
M>0
x∈E
Sei δ>0. Für jedes x ∈ I gibt es ein r(x) > 0 mit
inf I � B 2r(x)(x) � ≥ I(x) − δ und sup φ � B 2r(x)(x) � ≤ φ(x) − δ.
Sei a ≥ 0. DaI eine gute Ratenfunktion ist, ist die Niveaumenge K := I −1 ([0,a])
kompakt. Wir finden also endlich viele Punkte x1,...,xN ∈ I −1 ([0,a]), sodass
� N
i=1 B r(xi)(xi) ⊃ K. Es gilt daher
G ε M ≤
�
{φ

23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie 505
Satz 23.19 (Gekipptes LDP). Es erfülle (με)ε>0 ein LDP mit der guten Ratenfunktion
I. Ferner sei φ : E → R stetig und erfülle die Bedingung (23.17). Wir
definieren Z φ ε := � e φ/ε dμε und μ φ ε ∈M1(E) durch
μ φ ε (dx) =(Z φ ε ) −1 e φ(x)/ε με(dx).
Ferner definieren wir Iφ : E → [0, ∞] durch
� � � �
φ(z) − I(z) − φ(x) − I(x) . (23.21)
I φ (x) =sup
z∈E
Dann erfüllt (μ φ ε )ε>0 ein LDP mit der Ratenfunktion I φ .
Beweis. Dies bleibt dem Leser zur Übung überlassen. (Vergleiche [33, Aufgabe
2.1.24], siehe auch [42, Abschnitt II.7].) ✷
Wir wollen das Varadhan’sche Lemma im Kontext der statistischen Physik betrachten.
Sei hierzu Σ ein polnischer Raum, den wir als Raum der möglichen Zustände
eines einzelnen Teilchens auffassen wollen. Ferner sei λ ∈M1(Σ) eine Verteilung,
die wir als a priori Verteilung eines Teilchens ohne Berücksichtigung der Energie
auffassen wollen. Ist Σ endlich oder eine beschränkte Menge eines Rd ,soistλty pischerweise die Gleichverteilung auf Σ. Wenn wir n ununterscheidbare Teilchen
unabhängig nach λ auf Positionen z1,...,zn ∈ Σ setzen, so können wir den Zustand
dieses Ensembles als x := 1 �n n i=1 δzi beschreiben. Mit μ0n ∈M1(M1(Σ))
bezeichnen wir die so gewonnene a priori Verteilung von x.
Wir machen nun die Annahme, dass sich die Energie Un(x) eines Zustandes schreiben
lässt als Un(x) =nU(x), woU(x) als die mittlere Energie eines Teilchens bei
Gesamtzustand x interpretiert wird.
Es sei T ≥ 0 die Temperatur des Systems und β := 1/T die so genannte inverse
Temperatur. Eine wichtige Rolle in der statistischen Physik spielt die Zustandssumme
oder Partitionsfunktion
�
e −βUn dμ 0 n.
Z β n :=
Ein Postulat der statistischen Physik besagt, dass der Zustand x nach der Boltzmann-Verteilung
verteilt ist:
μ β n(dx) =(Z β n) −1 e −βUn(x) μ 0 n(dx) (23.22)
Das Varadhan’sche Lemma (genauer: das gekippte LDP) und der Satz von Sanov
erlauben uns, die Brücke zum Variationsprinzip für die freie Energie zu schlagen.
Wir nehmen nun an, dass Σ eine endliche Menge ist und λ = UΣ die Gleichverteilung
auf Σ. Nach dem Satz von Sanov erfüllt (μ 0 n)n∈N ein LDP mit Rate n und

506 23 Große Abweichungen
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
–0.002
m
–0.004
–0.006
–0.008
beta=0.9
beta=1.0
beta=1.1
Abb. 23.1. Die verschobene freie Energie F β (m) − F β (0) des Weiss’schen Ferromagneten
ohne äußeres Feld (h =0).
Ratenfunktion I(x) =H(x|λ), woH(x|λ) die relative Entropie von x bezüglich λ
ist. Nach (23.14) ist H(x|λ) = log(#Σ) − H(x), woH(x) die Entropie von x ist.
Wir definieren die freie Energie (oder das Helmholtz-Potential) pro Teilchen als
F β (x) :=U(x) − β −1 H(x).
Der Satz über das gekippte LDP liefert nun, dass die Folge der Boltzmann-Verteilungen
(μ β n)n∈N ein LDP erfüllt mit Rate n und Ratenfunktion
I β (x) =F β (x) − inf
y∈M1(Σ) F β (y).
Für großes n ist die Boltzmann Verteilung auf diejenigen x konzentriert, die die freie
Energie minimieren. Dies können für unterschiedliche Temperaturen (also Werte
von β) sehr unterschiedliche Zustände sein. Daher treten bei kritischen Temperaturen
Phasenübergänge auf, und chemische Reaktionen laufen bei unterschiedlichen
Temperaturen in unterschiedlichen Richtungen ab.
Beispiel 23.20. Wir betrachten den Weiss’schen Ferromagneten. Dies ist ein mikroskopisches
Modell für Magnetismus, das davon ausgeht, dass jedes von n ma-
gnetischen Teilchen eine von den zwei Ausrichtungen σi ∈ Σ = {−1, +1} hat.
Die mittlere Magnetisierung m = 1 �n i=1 σi beschreibt den Zustand des Systems
n
vollständig (da die Teilchen ununterscheidbar sind) und ist die relevante makroskopische
Messgröße. Die Grundidee ist, dass es energetisch günstiger ist, wenn Teilchen
magnetisch parallel ausgerichtet sind, als wenn sie antiparallel ausgerichtet

23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie 507
0.1
0.05
m
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
–0.05
–0.1
beta=0.9
beta=1.0
beta=1.1
beta=1.5
Abb. 23.2. Die verschobene freie Energie F β (m) − F β (0) des Weiss’schen Ferromagneten
mit äußerem Feld h =0.04.
sind. Wir wollen die räumliche Struktur der Wechselwirkung ignorieren und annehmen,
dass jedes Teilchen mit jedem anderen in gleicher Weise wechselwirkt (mean
field Annahme). Außerdem wollen wir annehmen, dass es ein äußeres Magnetfeld
der Stärke h gibt. Bis auf Konstanten ist die Energie pro Teilchen daher
U(m) =− 1
2 m2 − hm.
Die Entropie des Zustands m ist
H(m) =− 1+m
log
2
Die freie Energie pro Teilchen ist also
� 1+m
2
�
1 − m
− log
2
� 1 − m
F β (m) =− 1
2 m2 − hm + β −1� 1+m
�
1+m
�
log +
2 2
1 − m
�
1 − m
��
log .
2 2
Um die Minimalstellen von F β zu bestimmen, berechnen wir die Ableitung
0 ! = d
dm F β (m) =−m − h + β −1 arctanh(m).
Wir erhalten so für m die Gleichung
m = tanh(β(m + h)). (23.23)
2
�
.

508 23 Große Abweichungen
Im Fall h =0hat (23.23) stets die Lösung m =0.Istβ≤ 1, soistdieseLösung
eindeutig, und F β hat das globale Minimum in m =0.Istβ>1, so besitzt (23.23)
zwei weitere Lösungen m β,0
− ∈ (−1, 0) und m β,0
+ = −m β,0
bestimmt werden können.
− , die nur numerisch
In diesem Fall besitzt F β in 0 ein lokales Maximum und in m β,0
± globale Minima.
Da für große n nur noch solche Werte angenommen werden, für die F β minimal ist,
liegt die Verteilung konzentriert um 0, falls β ≤ 1 und konzentriert um m β,0
± , falls
β>1. Im letzterem Fall ist die betragsmäßige Magnetisierung � �m β,0�
�
± = m β,0
+ > 0.
Wir haben also einen Phasenübergang zwischen einer Phase bei hoher Temperatur
(β ≤ 1), wo keine Magnetisierung auftritt, und niedriger Temperatur (β > 1),
wo so genannte spontane Magnetisierung auftritt (das heißt ohne Einwirkung eines
äußeren Feldes).
Ist h �= 0, so besitzt F β in m =0keine Minimalstelle. Vielmehr ist F β asymmetrisch
und besitzt ein globales Minimum m β,h mit selbem Vorzeichen wie h, sowie
für großes β noch eine weiteres lokales Minimum mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.
Die exakten Werte für die Magnetisierung können wieder nur numerisch
bestimmt werden. Wir können m β,h jedoch für hohe Temperaturen (β klein) approximativ
bestimmen, indem wir die Näherung tanh(β(m + h)) ≈ β(m + h)
verwenden. Wir erhalten so
m β,h h
≈
β−1 − 1 =
h
T − Tc
für T →∞, (23.24)
wo die Curie-Temperatur Tc =1die kritische Temperatur für das Auftreten von
spontaner Magnetisierung ist. Die Beziehung (23.23) heißt Curie-Weiss’sches Gesetz.
✸
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
m
h=0.2
h=0.04
h=0.001
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Abb. 23.3. Weiss’scher Ferromagnet: Magnetisierung m β,h
+ als Funktion von β.
beta

24 Der Poisson’sche Punktprozess
Poisson’sche Punktprozesse können als ein Grundbaustein zur Konstruktion sehr
unterschiedlicher stochastischer Objekte verwendet werden, wie etwa unbegrenzt
teilbare Verteilungen, Markovprozesse mit komplexer Dynamik, Objekte der stochastischen
Geometrie und so fort.
Wir geben in diesem Kapitel kurz den allgemeinen Rahmen zufälliger Maße an,
konstruieren den Poisson’schen Punktprozess und charakterisieren ihn durch seine
Laplace-Transformierte. Als Anwendungen konstruieren wir einen Subordinator
und zeigen, dass der Poisson’sche Punktprozess das invariante Maß von Systemen
unabhängiger Irrfahrten ist. Über den Zusammenhang zu Subordinatoren schlagen
wir im dritten Abschnitt die Brücke zu den in der Populationsgenetik wichtigen
Poisson-Dirichlet und GEM Verteilungen.
24.1 Zufällige Maße
Sei E im Folgenden ein lokalkompakter, polnischer Raum (etwa E = R d oder
E = Z d ) mit Borel’scher σ-Algebra B(E). Sei
Bb(E) = � B ∈B(E) : B ist relativ kompakt �
das System der beschränkten Borel’schen Mengen und M(E) der Raum der Radon-
Maße auf E (siehe Definition 13.3).
Definition 24.1. Wir bezeichnen mit M = σ(IA : A ∈ Bb(E)) die kleinste σ-
Algebra auf M(E), bezüglich der alle Abbildungen
messbar sind.
IA : μ ↦→ μ(A), A ∈Bb(E),
Wir schreiben B + (E) für die Menge der messbaren Abbildungen E → [0, ∞] und
BR b (E) für die Menge der beschränkten, messbaren Abbildungen E → R mit kompaktem
Träger. Das Integral If (μ) := � fdμist für jedes f ∈B + (E) wohldefiniert
und für jedes f ∈BR b (E) wohldefiniert und endlich.

510 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Satz 24.2. Sei τv die vage Topologie auf M(E). Dann ist
M = B(τv) =σ(If : f ∈ Cc(E)) = σ(If : f ∈ C + c (E)).
Beweis. Übung! (Siehe [83, Lemma 4.1].) ✷
Sei � M(E) der Raum aller Maße auf E mit σ-Algebra � M = σ(IA : A ∈Bb(E)).
Offenbar ist M = � M � � die Spur-σ-Algebra von
M(E)
� M auf M(E). Wir brauchen
diesen etwas größeren Raum, um zufällige Maße so zu definieren, dass fast sicher
wohldefinierte Operationen wieder zufällige Maße ergeben.
Definition 24.3. Ein zufälliges Maß auf E ist eine Zufallsvariable X auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) mit Werten in ( � M(E), � M) und mit P[X ∈
M(E)]=1.
Satz 24.4. Sei X ein zufälliges Maß auf E. Dann ist die Mengenfunktion E[X] :
B(E) → [0, ∞], A ↦→ E[X(A)] ein Maß. Wir nennen E[X] das Intensitätsmaß
von X. X heißt integrierbar, falls E[X] ∈M(E).
Beweis. Offenbar ist E[X] endlich additiv. Seien A, A1,A2,... ∈B(E) mit An ↑
A. Betrachte die Zufallsvariablen Yn := X(An) und Y = X(A). Dann gilt Yn ↑ Y ,
also nach dem Satz über monotone Konvergenz E[X](An) =E[Yn] n→∞
−→ E[Y ]=
E[X](A). Mithin ist E[X] stetig von unten und damit ein Maß (nach Satz 1.36). ✷
Satz 24.5. Die Verteilung PX eines zufälligen Maßes X ist eindeutig bestimmt sowohl
durch die Verteilungen von
� (If1 ,...,Ifn ): n ∈ N; f1,...,fn ∈ C + c (E) �
(24.1)
als auch von
� (IA1 ,...,IAn ): n ∈ N; A1,...,An ∈Bb(E) paarweise disjunkt � . (24.2)
Beweis. Das Mengensystem
I = � (If1 ,...,Ifn )−1 (A) : n ∈ N; f1,...,fn ∈ C + c (E), A∈B([0, ∞) n ) �
ist schnittstabil und nach Satz 24.2 ein Erzeuger von M. AlsoistdasMaßPX
eindeutig durch die Werte auf I festgelegt.
Die Aussage folgt analog für
�
(IA1 ,...,IAn ): n ∈ N; A1,...,An ∈Bb(E) � .
Sind A1,...,An ∈Bb(E) beliebig, so existieren 2n − 1 paarweise disjunkte Mengen
B1,...,B2n−1 mit Ai = �
k: Bk⊂Ai Bk für jedes i =1,...,n. Die Verteilung
von (IA1 ,...,IAn ) lässt sich aus der von (IB1 ,...,IB2n ) berechnen. ✷
−1

Im Folgenden sei i = √ −1.
Definition 24.6. Wir bezeichnen mit
� � �
LX(f) =E exp −
��
fdX , f ∈B + (E),
die Laplace-Transformierte von X und mit
� � �
ϕX(f) =E exp i
��
fdX , f ∈B R b (E),
die charakteristische Funktion von X.
24.1 Zufällige Maße 511
Satz 24.7. Die Verteilung PX eines zufälligen Maßes X ist eindeutig bestimmt sowohl
durch die Werte der Laplace-Transformierten LX(f), f ∈ C + c (E), als auch
durch die Werte der charakteristischen Funktion ϕX(f), f ∈ Cc(E).
Beweis. Dies folgt aus Satz 24.5 und dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische
Funktionen (Satz 15.8) beziehungsweise Laplace-Transformierte (Übung 15.1.2)
von Zufallsvariablen auf [0, ∞) n . ✷
Definition 24.8. Wir sagen, dass ein zufälliges Maß X auf E unabhängige Zuwächse
hat, falls für je endlich viele paarweise disjunkte Mengen A1,...,An die
Zufallsvariablen X(A1),...,X(An) unabhängig sind.
Korollar 24.9. Die Verteilung eines zufälligen Maßes X auf E mit unabhängigen
Zuwächsen ist durch (P X(A), A∈Bb(E)) eindeutig bestimmt.
Beweis. Dies folgt direkt aus Satz 24.5. ✷
Definition 24.10. Sei μ ∈ M(E). Ein zufälliges Maß X mit unabhängigen Zuwächsen
heißt Poisson’scher Punktprozess (PPP) mit Intensitätsmaß μ, falls für
jedes A ∈ Bb(E) gilt, dass P X(A) = Poi μ(A). Wir schreiben dann PPPμ :=
PX ∈M1(M(E)) und sagen kurz, dass X ein PPPμ ist.
Bemerkung 24.11. Die Definition des PPP (und die Konstruktion im folgenden
Satz) funktioniert auch, wenn (E,E,μ) lediglich ein σ-endlicher Maßraum ist. Die
Charakterisierung mit Hilfe von Laplace-Transformierten und charakteristischen
Funktionen ist allerdings etwas einfacher im hier betrachteten Fall lokalkompakter,
polnischer Räume. ✸
Satz 24.12. Zu jedem μ ∈M(E) existiert ein Poisson’scher Punktprozess X mit
Intensitätsmaß μ.

512 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Beweis. Da μ ∈M(E) ist, ist μσ-endlich. Sei also En ↑ E mit μ(En) < ∞
für jedes n ∈ N. Setze μ1 = μ(E1 ∩ · ) und μn = μ((En \ En−1) ∩ · )
für n ≥ 2. SindX1,X2,... unabhängige Poisson’sche Punktprozesse mit Intensitätsmaßen
μ1,μ2,...,sohatX = �∞ n=1 Xn das Intensitätsmaß E[X] =μ, also
ist X ein zufälliges Maß (siehe Übung 24.1.1). Außerdem sieht man leicht, dass X
unabhängige Zuwächse hat und
P X(A) = P X1(A) ∗ P X2(A) ∗ ...=Poi μ1(A) ∗ Poi μ2(A) ∗ ...=Poi μ(A).
Also ist X ∼ PPPμ.
Es reicht also, den Fall μ(E) ∈ (0, ∞) zu betrachten, den wir im Folgenden annehmen
wollen. Setze ν = μ( · )/μ(E) ∈M1(E). Seien N,Y1,Y2,... unabhängige
Zufallsvariablen mit N ∼ Poiμ(E) und PYi = ν für jedes i ∈ N. Wirdefinieren
X(A) =
N�
n=1
A(Yn) für A ∈B(E).
Die Zufallsvariablen A(Y1), A(Y2),...sind unabhängig und Ber ν(A)-verteilt, also
ist X(A) ∼ Poi μ(A) (siehe Satz 15.14(iii)). Seien A1,A2,...∈B(E) paarweise
disjunkt und
� �
ψ(t) =E exp i
n�
l=1
tl Al (Y1)
��
=1+
l=1
n�
ν(Al) � e itl
� n
− 1 , t ∈ R ,
die charakteristische Funktion von ( A1 (Y1),..., An (Y1)). Sei ferner ϕ die charakteristische
Funktion von (X(A1),...,X(An)) und ϕl die von X(Al) für l =
1,...,n, also ϕl(tl) =exp(μ(Al)(e itl − 1)). Nach Satz 15.14(iii) ist
� �
ϕ(t) =E exp i
n�
l=1
��
tl X(Al)
=exp � μ(E)(ψ(t) − 1) �
� �n
=exp μ(Al) � e itl
�
− 1 �
=
l=1
n�
ϕl(tl).
Also sind X(A1),...,X(An) unabhängig. Es folgt X ∼ PPPμ. ✷
Übung 24.1.1. Seien X1,X2,... zufällige Maße und λ1,λ2,... ∈ [0, ∞) sowie
X := �∞ n=1 λnXn. Man zeige, dass X genau dann ein zufälliges Maß ist, wenn
P[X(B) < ∞] =1für jedes B ∈Bb(E). Man folgere: Ist X eine Zufallsvariable
mit Werten in � �
M(E), � M(E) � und E[X] ∈M(E), soistXein zufälliges Maß. ♣
Übung 24.1.2. Sei τw die Topologie der schwachen Konvergenz auf M1(E) und
σ(τw) die Borel’sche σ-Algebra auf M1(E). Man zeige: M � � = σ(τw). ♣
M1(E)
l=1

24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses 513
24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses
Satz 24.13. Sei μ ∈M(E) atomlos, also μ({x}) =0für jedes x ∈ E, und sei X
ein zufälliges Maß auf E mit P[X(A) ∈ N0 ∪{∞}]=1für jedes A ∈B(E). Dann
sind äquivalent:
(i) X ∼ PPPμ
(ii) X ist fast sicher doppelpunktfrei, also P[X({x}) ≥ 2 für ein x ∈ E] =0, und
P[X(A) =0]=e −μ(A)
Beweis. (i) =⇒ (ii) Das ist klar.
für jedes A ∈Bb(E). (24.3)
(ii) =⇒ (i) Sind A1,...,An ∈Bb(E) paarweise disjunkt, so ist
P � X(A1) =0,...,X(An) =0 � = P � X � � �
A1 ∪ ...∪ An =0
= e −μ(A1∪...∪An)
=
n�
e −μ(Al)
=
l=1
n�
P[X(Al) =0].
Also sind die Zufallsvariablen � X(A) :=X(A)∧1 unabhängig für disjunkte Mengen
A. Der Rest des Beweises geht wie im Beweis von Satz 5.34. Sei A ∈ Bb(E).
Wähle A0 ⊂ A mit μ(A0) =μ(A)/2 (das geht nach Übung 8.3.1, weil μ atomlos
ist) und setze A1 = A \ A0. Wähle nun in gleicher Weise Ai,0,Ai,1 ⊂ Ai für
i =0, 1 und sukzessive disjunkte Mengen Ai,0,Ai,1 ⊂ Ai für i ∈{0, 1} n−1 mit
μ(Ai) =2−nμ(A) für jedes i ∈{0, 1} n . Setze
Nn(A) := �
�X(Ai).
i∈{0,1} n
Da X doppelpunktfrei ist, gilt Nn(A) ↑ X(A) fast sicher. Andererseits ist nach Voraussetzung
Nn(A) ∼ b 2 n ,2 −n μ(A) für n ∈ N, also konvergiert die charakteristische
Funktion
ϕ Nn(A)(t) = � 1+2 −n μ(A)(e it −1) � 2 n n→∞
−→ exp � μ(A)(e it −1) � = ϕPoi μ(A) (t).
Mithin gilt P Nn(A)
n→∞
−→ Poi μ(A), also X(A) ∼ Poi μ(A).
Sind nun A1,...,Ak ∈ Bb(E) paarweise disjunkt, so sind die analog konstruierten
Nn(A1),...,Nn(Ak) unabhängig, also sind auch die Limiten X(Al) =
limn→∞ Nn(Al), l =1,...,kunabhängig. ✷
l=1

514 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Satz 24.14. Sei μ ∈ M(E) und X ein Poisson’scher Punktprozess mit Intensitätsmaß
μ. Dann hat X die Laplace-Transformierte
��
LX(f) =exp μ(dx) � e −f(x) − 1 ��
, f ∈B + (E),
und die charakteristische Funktion
��
ϕX(f) =exp μ(dx) � e if(x) − 1 ��
, f ∈B R b (E).
Beweis. Es reicht, die Aussage für Elementarfunktion f = �n l=1 αl Al mit komplexen
Zahlen α1,...,αn und paarweise disjunkten Mengen A1,...,An ∈Bb(E)
zu zeigen. (Die Aussagen für allgemeines f folgen dann mit den üblichen Approximationsargumenten.)
Für solches f ist aber
E � exp � − If (X) �� �
�n
= E e −αlX(Al)
�
=
=
l=1
l=1
n�
l=1
n� �
exp μ(Al) � e −αl
�
− 1 �
�
�n
=exp μ(Al) � e −αl
�
− 1 �
l=1
� �
=exp
� �
−αlX(Al)
E e
μ(dx) � e −f(x) − 1 ��
. ✷
Korollar 24.15 (Momente des PPP). Sei μ ∈M(E) und X ∼ PPPμ.
(i) Ist f ∈L 1 (μ), soistE[ � fdX]= � fdμ.
(ii) Ist f ∈L 2 (μ) ∩L 1 (μ), soistVar[ � fdX]= � f 2 dμ.
Beweis. Ist f ∈ L1 (μ), so vertauschen für die charakteristische Funktion Integral
und Differentiation d
dtϕX(tf) =iϕX(tf) � f(x) eitf(x) μ(dx), also ist (nach
Satz 15.31)
E � If (X) � = 1 d
i dt ϕX(tf) � �
� = fdμ.
t=0
Ist f ∈L 1 (μ) ∩L 2 (μ), solässt sich das Argument iterieren
d2 dt2 ϕX(tf)
� �
=−ϕX(tf)
f 2 (x) e itf(x) � �
μ(dx)+
f(x) e itf(x) �2 �
μ(dx) ,
also gilt E � If (X) 2� = − d2
dt2 ϕX(tf) � � = If 2(μ)+If (μ)
t=0
2 . ✷

24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses 515
Satz 24.16 (Abbildungssatz). Seien E und F lokalkompakte, polnische Räume und
φ : E → F eine messbare Abbildung. Sei μ ∈M(E) mit μ ◦ φ −1 ∈M(F ) und
X ein PPP auf E mit Intensitätsmaß μ. Dann ist X ◦ φ −1 ein PPP auf F mit
Intensitätsmaß μ ◦ φ −1 .
Beweis. Für f ∈B + (F ) ist
� � �
LX◦φ−1(f) =LX(f ◦ φ) =exp e −f(φ(x)) � �
− 1 μ(dx)
� �
�e �� −f(y) −1
=exp
− 1 μ ◦ φ � �
(dy) .
Die Aussage folgt nun aus Satz 24.16 und Satz 24.7. ✷
Satz 24.17. Sei ν ∈ M((0, ∞)) und X ∼ PPPν auf (0, ∞). Setze Y :=
� xX(dx). Dann sind äquivalent
(i) P[Y < ∞] > 0,
(ii) P[Y < ∞] =1,
(iii) � ν(dx) � 1 ∧ x � < ∞.
Gelten (i)–(iii), so ist Y eine unbegrenzt teilbare, nichtnegative Zufallsvariable mit
Lévy-Maß ν.
Beweis. Sei Y∞ = �
[1,∞) xX(dx) und Yt := �
xX(dx) für t ∈ [0, 1). Offen-
(t,1)
bar ist Y = Y0 + Y∞. Außerdem ist offenbar
P[Y∞ < ∞] > 0 ⇐⇒ P[Y∞ < ∞] =1 ⇐⇒ ν([1, ∞)) < ∞. (24.4)
Gilt (iii), so ist E[Y0] = �
(0,1) xν(dx) < ∞, also Y0 < ∞ f.s. (und wegen (24.4)
auch Y < ∞ f.s.). Gilt andererseits (iii) nicht, so ist Y∞ = ∞ f.s. oder E[Y0] =∞.
Während für Y∞ die Erwartung unendlich sein kann, auch wenn Y∞ f.s. endlich
ist, ist dies für Y0 nicht möglich, denn Y0 setzt sich im Gegensatz zu Y∞ nicht aus
wenigen großen, sondern aus vielen kleinen Beiträgen zusammen, sodass ein Gesetz
der großen Zahl gilt. Konkret ist nach Korollar 24.15
�
Var[Yt] = x 2 �
ν(dx) ≤ xν(dx) =E[Yt] < ∞
(t,1)
(t,1)
für jedes t ∈ (0, 1), also nach der Chebyshev’schen Ungleichung
�
P Yt < E[Yt]
�
4 Var[Yt]
≤
2 E[Yt] 2
t→0
−→ 0.
Also ist Y0 =sup t∈(0,1) Yt ≥ E[Y0]/2 =∞ fast sicher.

516 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Es gelten nun (i) – (iii). Nach Satz 24.14 hat Y die Laplace-Transformierte
E[e −tY ��
]=exp ν(dx) � e −tx − 1 ��
.
Nach der Lévy-Khinchin Formel (Satz 16.14) ist Y unbegrenzt teilbar mit Lévy-
Maß ν. ✷
Beispiel 24.18. Nach Korollar 16.10 existiert zu jeder nichtnegativen unbegrenzt
teilbaren Verteilung μ mit Lévy-Maß ν ein stochastischer Prozess (Yt)t≥0 mit unabhängigen
stationären Zuwächsen und Yt ∼ μ∗t (also mit Lévy-Maß tν). Diesen
Prozess können wir hier direkt konstruieren: Sei X ein PPP auf (0, ∞) × [0, ∞) mit
Intensitätsmaß ν ⊗ λ (wo λ das Lebesgue-Maß ist). Setze Y0 =0und
�
Yt :=
xX(d(x, s)).
(0,∞)×(0,t]
Nach dem Abbildungssatz ist X( · × (s, t]) ∼ PPP (t−s)ν, also ist Yt − Ys unbegrenzt
teilbar mit Lévy-Maß (t−s)ν. Die Unabhängigkeit der Zuwächse ist evident.
Man beachte, dass t ↦→ Yt rechtsstetig und monoton wachsend ist.
Der so konstruierte Prozess Y heißt Subordinator mit Lévy-Maß ν. ✸
Wir können das Vorgehen des letzten Beispiels verallgemeinern, indem wir als Zeitmenge
allgemeinere Mengen als [0, ∞) zulassen.
Definition 24.19. Ein zufälliges Maß Y heißt unbegrenzt teilbar, wenn für jedes n ∈
N u.i.v. zufällige Maße Y1,...,Yn existieren mit Y = Y1 + ...+ Yn.
Satz 24.20. Sei ν ∈M((0, ∞) × E) mit
�
A(t)(1∧ x) ν(d(x, t)) < ∞ für jedes A ∈Bb(E),
und sei α ∈M(E).SeiXein PPPν und
�
Y (A) :=α(A)+ x A(t) X(d(x, t)) für A ∈B(E).
Dann ist Y ein unbegrenzt teilbares zufälliges Maß mit unabhängigen Zuwächsen.
Für A ∈B(E) hat Y (A) das Lévy-Maß ν( · × A).
Wir nennen ν das kanonische Maß und α den deterministischen Anteil von Y .
Beweis. Das folgt direkt aus Satz 24.16 und Satz 24.17. ✷

24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses 517
Bemerkung 24.21. Wir können Y schreiben als Y = α + � xδt X(d(x, t)), woδt
die Einheitsmasse in t ∈ E ist. Wenn wir nun statt xδt allgemeinere Maße χ ∈
M(E) zulassen, so erhalten wir eine Darstellung
�
Y = α + χX(dχ),
M(E)
wo X ∼ PPPν auf M(E) und ν ∈M(M(E)) mit � ν(dχ)(χ(A)∧1) < ∞ für jedes
A ∈Bb(E). Man kann zeigen, dass dies die allgemeinste Form eines unbegrenzt
teilbaren Maßes auf E ist. Wir nennen ν das kanonische Maß von Y und α den deterministischen
Anteil. Y ist charakterisiert durch die Laplace-Transformierte, die
der Lévy-Khinchin Formel genügt:
LY (f) =exp
� �
−
�
fdα+
ν(dχ) � e − � fdχ − 1 � �
. ✸
Satz 24.22 (Färbungssatz). Sei F ein weiterer lokalkompakter, polnischer Raum
und μ ∈M(E) atomlos sowie (Yx)x∈E u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten in F und
Verteilung ν ∈M1(F ). Dann ist
�
Z(A) := A(x, Yx) X(dx), A ∈B(E × F ),
ein PPPμ⊗ν auf E × F .
Beweis. Übung! ✷
Wir wollen die Aussage des Färbungssatzes in nahe liegender Weise verallgemeinern:
Die Annahme, dass das Maß μ atomlos ist, sorgt schließlich nur dafür, dass X
keine Doppelpunkte hat, also für jede Einheitsmasse, die X produziert, eine andere
Zufallsvariable Yx zur Verfügung steht. Außerdem wollen wir für jeden Punkt x
eine eigene Verteilung von Yx erlauben.
Seien also E,F lokalkompakte, polnische Räume, μ ∈ M(E) und κ ein stochastischer
Kern von E nach F mit μκ := � μ(dx)κ(x, · ) ∈ M(F ). Seien
(Yx,t) x∈E, t∈[0,1] unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen PYx,t = κ(x, · )
für x ∈ E und t ∈ [0, 1].
Wir definieren zu X ∼ PPPμ das Lifting ˜ X als den PPP auf E × [0, 1] mit
Intensitätsmaß μ ⊗ λ � � [0,1] ,woλ das Lebesgue-Maß ist. Offenbar ist dann X D =
˜X( · × [0, 1]). Das zufällige Maß ˜ X können wir also als Realisierung von X auffassen,
wobei wir den einzelnen Punkten von X willkürlich eine Markierung mit
Werten aus [0, 1] gegeben haben, um sie zu unterscheiden. Wir setzen nun
X κ �
(A) := ˜X(d(x, t)) A(Yx,t) für A ∈B(F ).

518 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Satz 24.23. Xκ ist ein zufälliges Maß mit PXκ = PPPμκ.
Beweis. Offenbar ist Xκ (A) fast sicher ein Maß. Für A ∈Bb(F ) ist
E[X κ ��
�
(A)] = E ˜X(d(x, t)) κ(x, A) =(μκ)(A) < ∞
nach Voraussetzung, also ist X κ (A) < ∞ fast sicher, und damit ist X κ ein
zufälliges Maß. Wir berechnen die Laplace-Transformierte von X κ .Seig(x) :=
− log E[e−f(Yx,t) ]. Dann ist (weil ˜ X doppelpunktfrei ist)
� � �
��
LXκ(f) =E exp − ˜X(d(x, t)) f(Yx,t)
⎡
= E ⎣
�
e −f(Yx,t)
⎤ ⎡
⎦ = E ⎣
�
⎡
= E ⎣
(x,t): ˜ X({(x,t)})=1
�
(x,t): ˜ X({(x,t)})=1
⎤
e −g(x) ⎦ = LX(g)
(x,t): ˜ X({(x,t)})=1
E[e −f(Yx,t) ⎤
] ⎦
��
=exp μ(dx) � E[e −f(Yx,t) ] − 1 ��
��
=exp
�
μ(dx) κ(x, dy) � e −f(y) − 1 ��
��
=exp μκ(dy) � e −f(y) − 1 ��
. ✷
Beispiel 24.24 (PPP als invariante Verteilung). Als Anwendung des letzten Satzes
betrachten wir einen stochastischen Prozess auf E = Zd oder E = Rd ,deraus
unabhängigen Irrfahrten besteht. Wir nehmen also an, dass wir u.i.v. Zufallsvariablen
Zi n, i, n ∈ N mit Verteilung ν ∈ E haben. Wir nehmen zudem an, dass das i-te
Teilchen unseres Irrfahrtenprozesses zur Zeit n die Position Si n := Si 0 + �n l=1 Zi l
hat, wobei Si 0 ein willkürlicher, eventuell zufälliger, Startpunkt ist. Wenn wir die
Teilchen als ununterscheidbar annehmen, reicht es, die Teilchen an jedem Ort zusammenzuzählen.
Wir betrachten also
∞�
Xn(A) := A(S i n) für A ⊂ E.
i=1
Jedes Xn ist ein Maß auf E und, wenn wir die Teilchen anfangs nicht zu sehr konzentrieren,
lokal endlich, also ein zufälliges Maß. Nehmen wir an, dass X0 ∼ PPPμ
für ein μ ∈M(E) ist. Wir setzen κ(x, · )=δx ∗ν und schreiben κn für die n-fache
Anwendung von κ, also κn (x, · )=δx ∗ ν∗n . Wir erhalten so Xκ D
0 = X1. Inder
Tat: Das unabhängige Bewegen der einzelnen Teilchen in der Definition von X κ 0

24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
ist genau die Dynamik der unabhängigen Irrfahrten. Da nun auch X1 ein PPP ist,
erhalten wir iterativ X κ n
ist X0
519
D
= Xn+1 und damit Xn ∼ PPPμκn = PPPμ∗ν∗n. Speziell
D
= Xn genau dann, wenn μ ∗ ν = μ gilt. Offenbar ist dies richtig, wenn
E = Z d und μ das Zählmaß oder E = R d und μ das Lebesgue-Maß. Ist beispielsweise
E = Z d , so kann man unter relativ schwachen Annahmen an ν zeigen, dass
das Zählmaß μ = λ die einzige Lösung von μ ∗ ν = μ ist. In dem Fall ist jedes invariante
Maß eine Konvexkombination von PPPs mit verschiedenen Intensitätsmaßen
θλ. ✸
Übung 24.2.1. Man zeige die Aussage von Korollar 24.15 ohne charakteristische
Funktionen direkt über die Approximation mit Elementarfunktionen. ♣
Übung 24.2.2. Man zeige den Färbungssatz (Satz 24.22). ♣
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
Ziel dieses Abschnitts ist die Lösung des folgenden Problems: Wir brechen einen
Stock der Länge 1 an einer zufälligen (uniform verteilten) Stelle in zwei Stücke
und legen das linke Stück (mit der Länge W1) beiseite. Mit dem restlichen Stock
verfahren wir in gleicher Weise und legen das linke Stück der Länge W2 beiseite.
Sukzessive sammeln wir die Bruchstücke mit Längen W1,W2,W3,... Wie sieht
die gemeinsame Verteilung von (W1,W2,...) aus? Ferner wollen wir die Zahlen
W1,W2,... der Größe nach umsortieren und W (1) ≥ W (2) ≥ ... nennen. Wie
sieht die Verteilung von (W (1),W (2),...) aus? Und schließlich: was hat dies mit
Poisson’schen Punktprozessen zu tun?
Zur Beantwortung der Fragen müssen wir etwas weiter ausholen. Wir hatten gesehen,
wie die Beta-Verteilung in natürlicher Weise bei dem Pólya’schen Urnenmodell
als Grenzverteilung der Frequenzen der beiden Kugelfarben auftritt. Offenbar kann
man das Pólya’sche Modell auch mit n ≥ 2 Farben betrachten. Die Grenzverteilung
ist dann die n-dimensionale Verallgemeinerung der Beta-Verteilung, nämlich die so
genannte Dirichlet-Verteilung.
Definition 24.25. Sei n ∈{2, 3,...} und θ1,...,θn > 0.DieDirichlet-Verteilung Dirθ1,...,θn ist die Verteilung auf dem (n − 1)-dimensionalen Simplex
Δn := {(x1,...,xn) ∈ [0, 1] : x1 + ...+ xn =1},
die für messbares A ⊂ Δn definiert ist durch
�
Dirθ1,...,θn (A) = A(x1,...,xn) fθ1,...,θn (x1,...,xn) dx1 ···dxn−1,
wobei
fθ1,...,θn (x1,...,xn) = Γ (θ1 + ...+ θn)
Γ (θ1) ···Γ (θn) xθ1−1 1
···x θn−1
n .

520 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Die Parameter θ1,...,θn entsprechen (falls ganzzahlig) den Anzahlen der Kugeln
der einzelnen Farben, die ursprünglich in der Urne liegen. Wenn wir nun nicht ganz
so genau hinschauen und Kugeln zweier Farben, etwa n−1 und n zusammenfassen,
so sollten wir als Grenzverteilung für die Frequenzen Dirθ1,...,θn−2,θn−1+θn erhalten.
Sei (Mt)t≥0 der Moran-Gamma-Subordinator, also ein stochastischer Prozess
mit rechtsstetigen, monoton wachsenden Pfaden t ↦→ Mt und unabhängigen,
stationären, Gamma-verteilten Zuwächsen: Mt − Ms ∼ Γ1,t−s für t>s≥ 0.
Einen wichtigen Zusammenhang zwischen der Dirichlet-Verteilung und M liefert
der folgende Satz.
Satz 24.26. Seien n ∈ N und θ1,...,θn > 0 sowie Θ := θ1 + ... + θn. Seien
X ∼ Dirθ1,...,θn und Z ∼ Γ1,Θ unabhängige Zufallsvariablen. Dann sind die
Zufallsvariablen Si := Z · Xi, i =1,...,nunabhängig und Si ∼ Γ1,θi .
Beweis. Sei im Folgenden stets xn := 1 − � n−1
i=1 xi und s = � n
j=1 sj. SeiΔ ′ n :=
{x1,...,xn−1 > 0: � n−1
i=1 xi < 1}. Die Verteilung von (X1,...,Xn−1,Z) hat
(für x ∈ Δ ′ n und z ≥ 0) die Dichte
f(x1,...,xn−1,z)=
n� �
j=1
x θj−1
j
�
/Γ (θj)
z Θ−1 e −z .
Betrachte die Abbildung F : Δ ′ n−1 × (0, ∞) → (0, ∞) n , (x1,...,xn−1,z) ↦→
(zx1,...,zxn). Die Abbildung ist invertierbar mit Umkehrabbildung
F −1 :(s1,...,sn) ↦→ (s1/s,...,sn−1/s, s).
Die Ableitung von F hat die Determinante det(F ′ (x1,...,xn−1,z)) = z n−1 . Nach
der Transformationsformel für Dichten (Satz 1.101) hat (S1,...,Sn) die Dichte
g(s1,...,sn) =
=
=
f(F −1 (s1,...,sn))
| det(F ′ (F −1 (s1,...,sn)))|
n� �
(sj/s) θj−1 /Γ (θj) � sΘ−1e−s j=1
s n−1
n� �
(sj/s) θj−1 e −sj /Γ (θj) � .
j=1
Dies ist aber die Dichte von unabhängigen Gamma-Verteilungen. ✷
Korollar 24.27. Ist ti := �i j=1 θj für i =0,...,n, so sind die Zufallsvariablen
X =((Mti−Mti−1 )/Mtn , i =1,...,n) und S := Mtn unabhängig und X ∼
sowie S ∼ Γ1,tn .
Dirθ1,...,θn
Korollar 24.28. Sei (X1,...,Xn) ∼ Dirθ1,...,θn . Dann sind X1 ∼ β θ1, � n
i=2 θi und
(X2/(1 − X1),...,Xn/(1 − X1)) ∼ Dirθ2,...,θn unabhängig.

24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
Beweis. Sei M wie in Korollar 24.27. Dann ist X1 = Mt1 /Mtn ∼ βθ1,tn−θ1 und
�
Mtn −Mt1 X1 = Mt1 �
X2
+1
� −1
,...,
1 − X1
Xn
�
1 − X1
521
nur von Mt1 und Mtn − Mt1 abhängig. Andererseits ist
=
�
Mt2 − Mt1
Mtn − Mt1
,...,
Mtn − Mtn−1
Mtn − Mt1
unabhängig von Mt1 und nach Korollar 24.27 auch unabhängig von Mtn − Mt1
sowie Dirθ2,...,θn-verteilt. ✷
Korollar 24.29. Seien V1,V2,... unabhängig und Vi ∼ βθi,θi+1+...+θn sowie Vn =
1. Dann ist
�
� n−2 � � �
V1, (1 − V1)V2, (1 − V1)(1 − V2)V3,..., (1 − Vi) ∼ Dirθ1,...,θn .
Beweis. Das folgt durch Iteration der Aussage von Korollar 24.28. ✷
Eine natürliche Fragestellung ist, was passiert, wenn wir immer mehr Farben differenzieren
(statt zusammenzufassen). Wir wollen der Einfachheit halber eine symmetrische
Situation annehmen, bei der θ1 = ... = θn = θ/n für ein θ>0 ist. Wir
betrachten also
Dirθ;n := Dirθ,...,θ für θ>0.
Ist Xn =(Xn 1 ,...,Xn n ) ∼ Dirθ/n;n, so ist aus Symmetriegründen E[Xn i ]=1/n
für jedes n ∈ N und i =1,...,n. Offenbar gilt also (Xn 1 ,...,Xn n→∞
k ) =⇒ 0 für
jedes k ∈ N. Eine Möglichkeit, einen nicht-trivialen Grenzwert zu erhalten ist, die
Werte der Größe nach zu ordnen Xn (1) ≥ Xn (2) ≥ ...
Definition 24.30. Sei θ>0 und (Mt) t∈[0,θ] ein Moran-Gamma-Subordinator. Seien
m1 ≥ m2 ≥ ... ≥ 0 die der Größe nach sortierten Sprunghöhen von M und
˜mi = mi/Mθ, i =1, 2,... Die Verteilung der Zufallsvariablen (˜m1, ˜m2,...) auf
S := {(x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ 0) : x1 + x2 + ... =1} heißt Poisson-Dirichlet-
Verteilung PDθ mit Parameter θ>0.
Genau genommen müssen wir noch nachweisen, dass �∞ i=1 ˜mi =1ist. Sei hierzu
Y ein PPP auf (0, ∞) × (0,θ] mit Intensitätsmaß ν ⊗ λ, woλ das Lebesgue-Maß
ist und ν(dx) = e−xx−1 dx das Lévy-Maß der Γ1,1-Verteilung. Wir können M
definieren durch Mt := �
(x,s): Y ({x,s})=1,s≤t x. Nun ist m1 =sup{x ∈ (0, ∞) :
Y ({x}×(0,θ]) = 1} und sukzessive mn =sup{x

522 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Beweis. Die Idee ist, die Zufallsvariablen Xn , n ∈ N, so durch die Zuwächse
des Moran-Gamma-Subordinators (Mt) t∈[0,θ] darzustellen, dass aus der Verteilungskonvergenz
eine fast sichere Konvergenz wird. Es sei also Xn i =(Mθi/n −
Mθ(i−1)/n)/Mθ. Nach Korollar 24.27 ist Xn ∼ Dirθ/n;n. Seien t1,t2,... ∈ (0,θ]
die Positionen der Sprünge m1 ≥ m2 ≥ ... Offenbar ist Xn (1) ≥ ˜m1 für jedes n.
Ist n so groß, dass |t1 − t2| >θ/nist, so ist Xn (2) ≥ ˜m2. Sukzessive erhalten wir
lim infn→∞ Xn (i) ≥ ˜mi fast sicher. Nun ist aber (mit der Festsetzung Xn (i) =0für
i>n) �∞ i=1 Xn (i) =1für jedes n ∈ N. Nach dem Lemma von Fatou ist daher
1=
∞�
˜mi ≤
i=1
∞�
i=1
lim inf
n→∞ Xn (i)
≤ lim inf
n→∞
∞�
X n (i) =1.
Es folgt limn→∞ X n (i) =˜mi fast sicher. ✷
Anstatt die Werte von X n strikt der Größe nach zu ordnen, können wir ein anderes
Verfahren anwenden, das Konvergenz der Verteilungen sichert. Stellen wir uns vor,
dass wir in einer Population ein genetisches Merkmal haben, das wir unterschiedlich
fein messen können. Wenn wir n unterschiedliche Werte unterscheiden wollen, so
soll Xn i den Anteil der Bevölkerung mit dem Merkmal i bezeichnen.
Wir greifen nun sukzessive zufällig Individuen aus der Population heraus. Das erste
Individuum habe den Typ In 1 .MitIn 2 bezeichnen wir den Typ des ersten Individuums,
das nicht vom Typ In 1 ist. Sukzessive sei In k der Typ des ersten Individuums,
das nicht von einem der Typen In 1 ,...,In k−1 ist. Wir betrachten nun den Vektor
ˆX n =( ˆ Xn 1 ,..., ˆ Xn n ), wo ˆ Xn k = Xn In . Da die Wahrscheinlichkeit für I1 = i pro-
k
portional zur Größe der Sub-Population mit Merkmal i ist, nennen wir ˆ Xn den
sukzessive größenverzerrt gezogenen Vektor.
Die Verteilung von ˆ Xn ändert sich nicht, wenn wir die Reihenfolge der Xn 1 ,...,Xn n
verändern. Speziell können wir statt Xn die Ordnungsstatistik (Xn (1) ,...,Xn (n) )
wählen und erhalten ebenfalls ˆ Xn als sukzessive größenverzerrt gezogenen Vektor.
Insbesondere können wir für X ∼ PDθ den sukzessiv größenverzerrten Vektor ˆ X
definieren. Gilt Xn ∼ Dirθ/n;n, so folgt aus Satz 24.31 sofort, dass ˆ n n→∞
X =⇒ ˆ X.
Hiermit können wir die Verteilung von ˆ X ausrechnen.
Satz 24.32. Sei θ>0 und seien X n ∼ Dir θ/n;n, n ∈ N, sowie X ∼ PDθ. Seien
ferner V1,V2,... u.i.v. Zufallsvariablen auf [0, 1] mit Dichte x ↦→ θ(1 − x) θ−1 .Wir
setzen Z1 = V1 und Zk = � � k−1
i=1 (1 − Vi) � Vk für k ≥ 2. Dann gilt:
(i) ˆ n n→∞
X =⇒ ˆ X.
(ii) ˆ X D = Z.
Die Verteilung von Z heißt GEMθ-Verteilung (für Griffiths-Engen-McCloskey).
i=1

24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
Beweis. Die Aussage (i) wurde bereits in der Diskussion vor dem Satz gezeigt. Um
(ii) zu zeigen, berechnen wir die Verteilung von ˆ X n und zeigen, dass sie gegen die
von Z konvergiert.
Sei ˆ X n,1 der Vektor X n,1 =(X n I n 1 ,X2,...,X n I n 1 −1,Xn I n 1 +1,...,Xn n ), bei dem nur
die erste Koordinate größenverzerrt gezogen wurde. Wir zeigen:
Sei f(x) = � Γ (θ)/Γ (θ/n) n� · � n
523
ˆX n,1 ∼ Dir (θ/n)+1,θ/n,...,θ/n. (24.5)
die Dichte von Dir θ/n;n. Die Dichte
k=1 x(θ/n)−1
k
f n,1 von Xn,1 berechnen wir durch Zerlegung nach dem Wert i von In 1 :
f n,1 (x) =
= nΓ (θ)
=
n�
x1 f(x2,...,xi,x1,xi+1,...,xn) =nx1 f(x)
i=1
Γ (θ/n)
n�
xθ/n
n 1 x
i=2
(θ/n)−1
i
Γ (θ +1)
Γ ((θ/n)+1)Γ (θ/n)
n�
xθ/n
n−1 1 x
i=2
(θ/n)−1
i .
Dies ist aber die Dichte von Dir (θ/n)+1,θ/n,...,θ/n. Nach Korollar 24.28 ist ˆ Xn,1 D =
(V n
1 , (1 − V n
1 )Y1,...,(1 − V n
1 )Yn−1), wobei V n
1 ∼ β (θ/n)+1,θ(n−1)/n und Y =
(Y1,...,Yn−1) ∼ Dirθ/n;n−1 unabhängig sind. Indem wir das Gezeigte nun auf Y
anwenden, erhalten wir sukzessive
wobei
Z n 1 = V n
1 und Z n � k−1 �
k =
i=1
und wobei V n
1 ,...,Vn n−1 unabhängig sind und V n
ˆX n D = Z n , (24.6)
(1 − V n
i )
�
V n
k
für k ≥ 2,
i ∼ β (θ/n)+1,θ(n−i)/n. Nun prüft
n→∞
man aber leicht nach, dass β (θ/n)+1,θ(n−i)/n −→ β1,θ für jedes i ∈ N, und β1,θ
hat die Dichte x ↦→ θ(1 − x) θ−1 . Es gilt also V n n→∞
i =⇒ Vi für jedes i und damit
n n→∞
Z =⇒ Z und ˆ n n→∞
X =⇒ Z. Zusammen mit (i) folgt hieraus die Aussage (ii). ✷
Unsere eingangs gestellte Frage nach den Größen W1,W2,... der Bruchstücke
von sukzessiv uniform verteilt zerbrochenen Stöcken ist damit geklärt: Der Vektor
(W (1),W (2),...) ist PD1-verteilt, und (W1,W2,...) ist GEM1-verteilt.
Der China-Restaurant Prozess
Wir wollen eine weitere Situation kennen lernen, in der die Poisson-Dirichlet-
Verteilung in natürlicher Weise auftaucht. Da die technischen Details etwas knifflig

524 24 Der Poisson’sche Punktprozess
werden, begnügen wir uns damit, die Situation zu beschreiben und zwei wichtige
Sätze anzugeben. Eine exzellente und vollständige Beschreibung findet sich in
[121].
Wir betrachten ein China-Restaurant mit abzählbar vielen (natürlich runden) nummerierten
Tischen, an denen jeweils beliebig viele Gäste Platz finden. Anfangs sei
das Restaurant leer. Nacheinander treffen (abzählbar viele) Gäste ein. Der erste Gast
setzt sich an den (natürlich freien) Tisch mit der Nummer Eins. Sitzen bereits n
Gäste an k Tischen, so hat der (n +1)-teGastdieMöglichkeit, sich entweder an
einen der k besetzten Tische zu setzen, oder sich an den freien Tisch mit der kleinsten
Nummer zu setzen. Wir wollen annehmen, dass die Wahl zufällig erfolgt und
dass sich der Gast an den l-ten besetzten Tisch (mit N n l Gästen) mit Wahrscheinlichkeit
(N n l − α)/(n + θ) setzt, mit Wahrscheinlichkeit (θ + kα)/(n + θ) jedoch
den ersten noch freien Tisch besetzt. Hierbei sind α ∈ [0, 1] und θ > −α. Be-
zeichnet N n l
die Anzahl der Gäste zur Zeit n am l-ten besetzten Tisch, so nennen
wir (N n )n∈N =(Nn 1 ,Nn 2 ,...)n∈N den China-Restaurant Prozess mit Parametern
(θ, α).
Ist speziell α = 0,sokönnen wir den China-Restaurant Prozess auch so interpretieren:
Die Wahrscheinlichkeit, sich links neben einen der Gäste zu setzen (also
an dessen Tisch) beträgt 1/(n + θ), die Wahrscheinlichkeit, einen neuen Tisch
zu besetzen dagegen θ/(n + θ). Um das asymptotische Verhalten von N n /n =
(N n 1 /n, N n 2 /n,...) zu beschreiben, müssen wir die Poisson-Dirichlet-Verteilung
und die GEM Verteilung um einen Parameter erweitern.
Definition 24.33. Sei α ∈ [0, 1) und θ > −α. Seien V1,V2,... unabhängig
und Vi ∼ β1−α,θ+iα. Wirdefinieren Z = (Z1,Z2,...) durch Z1 = V1 und
Zk = � � k−1
i=1 (1 − Vi) � Vk für k ≥ 2. Dann heißt GEMα,θ := PZ die GEM-
Verteilung mit Parametern (α, θ). Die Verteilung des nach Größe sortierten Vektors
(Z (1),Z (2),...) heißt Poisson-Dirichlet-Verteilung mit Parametern (α, θ), oder
kurz PDα,θ.
Explizite Formeln für die Dichte der endlichdimensionalen Verteilungen von PDα,θ
finden sich etwa in [124]. Man bemerke, dass wir im Falle α =0die bisherigen einparametrigen
Verteilungen GEMθ =GEM0,θ und PDθ =PD0,θ zurückgewinnen.
Satz 24.34. Seien α ∈ [0, 1), θ>−α und (N n )n∈N der China-Restaurant Prozess
n→∞
mit Parametern (α, θ). Dann gilt PN n /n −→ PDα,θ.
Beweis. Siehe [122] oder [121, Theorem 25]. ✷
Ähnlich wie für die einparametrige Poisson-Dirichlet-Verteilung gibt es eine Darstellung
von PDα,θ durch die nach Größe geordneten Sprünge eines geeigneten
Subordinators. Sei im Folgenden α ∈ (0, 1) und (Mt) t∈[0,1] ein α-stabiler Subordinator,
also ein Subordinator mit Lévy-Maß ν(dx) =x −α−1 dx. Seien ferner

24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung ∗
m1 ≥ m2 ≥ ... ≥ 0 die Sprünge von M und ˜mi = mi/M1 für i ∈ N, und
˜m =(˜m1, ˜m2,...). Wir zitieren den folgenden Satz aus [121, Section 4.2].
Satz 24.35. Sei α ∈ (0, 1).
(i) Es gilt ˜m ∼ PDα,0
(ii) Ist θ>−α, soistPDα,θ ≪ PDα,0 = P[˜m ∈ · ] mit
PDα,θ(dx) =
−θ
M1 E[M −θ
1
] P[˜m ∈ dx].
Übung 24.3.1. Sei (X, 1 − X) ∼ Dirθ1,θ2 . Man zeige, dass dann X ∼ βθ1,θ2 Betaverteilt
ist. ♣
Übung 24.3.2. Sei X =(X1,...,Xn) ∼ Dirθ1,...,θn . Man zeige:
(i) Für jede Permutation σ auf {1,...,n} ist
(X σ(1),...,X σ(n)) ∼ Dirθ σ(1),...,θ σ(n) .
(ii) Es gilt (X1,...,Xn−2,Xn−1 + Xn) ∼ Dirθ1,...,θn−2,θn−1+θn . ♣
Übung 24.3.3. Sei (N n )n∈N der China-Restaurant Prozess mit Parametern (0,θ).
(i) Man zeige für θ =1:
(a) P[N n 1 = k] =1/n für jedes k =1,...,n.
(b) P[N n l = kl |N n 1 = k1,...,Nn l−1 = kl−1] =1/(n − (k1 + ...+ kl−1)) für
kl =1,...,n− (k1 + ...+ kl−1).
(c) Man folgere die Aussage von Satz 24.34 für den Fall α =0und θ =1.
(ii) Man zeige für θ>0:
(a) n P[N n 1 = ⌊nx⌋] n→∞
−→ θ(1 − x) θ−1 für x ∈ (0, 1).
(b) n P � N n l = ⌊nxl⌋|N n 1 = ⌊nx1⌋,...,Nn l−1 = ⌊nxl−1⌋ � n→∞
−→ (θ/yl)(1 −
xl/yl) θ−1 für x1,...,xl ∈ (0, 1) mit yl =1− (x1 + ...+ xl−1) >xl.
(c) Man folgere wie in (i) die Aussage von Satz 24.34 für α =0und θ>0. ♣
525

25 Das Itô-Integral
Das Itô-Integral erlaubt es, stochastische Prozesse bezüglich der Zuwächse einer
Brown’schen Bewegung oder etwas allgemeinerer Prozesse zu integrieren. Wir entwickeln
das Itô-Integral zunächst für die Brown’sche Bewegung und dann für für
verallgemeinerte Diffusionsprozesse. Im dritten Abschnitt leiten wir die Itô-Formel
her. Diese Substitutionsformel für das Itô-Integral erlaubt es, in konkreten Fällen,
mit dem Itô-Integral wirklich zu rechnen. Wir wenden die Itô-Formel im vierten
Abschnitt an, um eine stochastische Lösung des Dirichlet-Problems zu formulieren.
Hiermit zeigen wir im fünften Abschnitt, dass die Brown’sche Bewegung (wie die
symmetrische einfache Irrfahrt) in niedrigen Dimensionen rekurrent ist, in hohen
Dimensionen hingegen transient.
25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung
Sei W =(Wt)t≥0 eine Brown’sche Bewegung auf dem Raum (Ω,F, P) bezüglich
der Filtration F, die die üblichen Bedingungen erfüllt (siehe Definition 21.23).
Das heißt, W ist eine Brown’sche Bewegung und ist ein F-Martingal. Das Ziel dieses
Abschnittes ist es, für eine möglichst große Klasse von sinnvollen Integranden
H : Ω × [0, ∞) → R, (ω, t) ↦→ Ht(ω) ein Integral
I W � t
t (H) = Hs dWs
0
zu definieren, sodass (I W t (H))t≥0 ein stetiges F-Martingal ist. Da fast alle Pfade
s ↦→ Ws(ω) der Brown’schen Bewegung lokal unendliche Variation haben,
ist W (ω) nicht die Verteilungsfunktion eines signierten Lebesgue-Stieltjes-Maßes
auf [0, ∞). Daher können wir I W t (H) nicht im klassischen Rahmen der Integrationstheorie
definieren. Die grundlegende Idee, um dieses Integral zu konstruieren,
besteht darin, es im Sinne eines L 2 -Grenzwertes zu etablieren. Hierzu betrachten
wir zunächst ein elementares Beispiel.
Beispiel 25.1. Es seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen mit P[Xn = 1] =
P[Xn = −1] = 1
2 .Sei (hn)n∈N eine Folge reeller Zahlen. Unter welchen Bedingungen
an (hn)n∈N ist die Reihe

528 25 Das Itô-Integral
R := �
n∈N
hn Xn
(25.1)
wohldefiniert? Ist �
n∈N |hn| < ∞, so konvergiert die Reihe für jedes ω absolut.
In diesem Falle tritt kein Problem auf. Wie steht es aber, wenn nur die schwächere
Summierbarkeitsbedingung �
n∈N h2n < ∞ gilt? In diesem Falle konvergiert die
Reihe in (25.1) nicht mehr für jedes ω, allerdings gilt E[hn Xn] =0für jedes
n ∈ N und �∞ n=1 Var[hn Xn] = �∞ n=1 h2n < ∞. AlsoistRN := �N k=1 hk Xk,
n ∈ N, konvergent im L2-Sinne (für N →∞). Wir können daher die Reihe R in
(25.1) als L2-Limes der Partialsummen RN definieren. Dabei ist zu beachten, dass
(zumindest formal) bei den approximierenden Summen die Reihenfolge der Summanden
eine Rolle spielt. Wir haben also gewissermaßen �∞ �
n=1 anstatt n∈N
konstruiert.
Eine äquivalente Betrachtung, die allerdings einen leicht anderen Geschmack hat
und von der formalen Beschreibung her auf das Kommende hinweist, ist die folgende.
Mit ℓ2 bezeichnen wir den Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen reeller
Zahlen mit Skalarprodukt 〈h, g〉 = �∞ n=1 hn gn und Norm �g� = 〈g, g〉 1/2 .Sei
ℓf der Unterraum der Folgen, die nur endlich viele Glieder ungleich Null haben.
Dann ist R(h) = �
n∈N hn Xn für h ∈ ℓf wohldefiniert (als endliche Summe).
Wegen
E � R(h) 2� = Var[R(h)] = �
Var � � �
hn Xn = h 2 n = �h� 2
n∈N
ist die Abbildung R : ℓf →L2 (P) eine Isometrie. Da ℓf ⊂ ℓ2 dicht liegt, können
wir R stetig auf ℓ2 fortsetzen. Ist also h ∈ ℓ2 und (hN )N∈N eine Folge in ℓf mit �hN − h� N→∞
−→ 0, soistR(hN ) N→∞
−→ R(h) im L2-Sinne. Speziell ist
h N n := hn {n≤N}, n ∈ N, N ∈ N, eine approximierende Folge für h, und es gilt
R(h N )= � N
n=1 hn Xn. Daher ist die oben beschriebene Approximation von R
mit den Partialsummen RN als Spezialfall in dieser Konstruktion enthalten. ✸
Das Programm für die Konstruktion des Itô-Integrals I W t (H) sieht nun so aus:
Zunächst betrachten wir elementare Integranden H, für die die Abbildung t ↦→
Ht(ω) eine Treppenfunktion ist, sodass das Integral als endliche Summe definiert
werden kann. Danach erweitern wir das Integral wie in Beispiel 25.1 auf Integranden,
die sich in einem gewissen L 2 -Sinne durch elementare Integranden approximieren
lassen.
Definition 25.2. Wir bezeichnen mit E den Vektorraum der Abbildungen H : Ω ×
[0, ∞) → R von der Form
n�
Ht(ω) = hi−1(ω) (ti−1,ti],
i=1
wobei n ∈ N, 0=t0

25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung 529
Wir nennen E den Vektorraum der elementaren vorhersagbaren Prozesse und versehen
E mit einer (Pseudo-)Norm � · �E durch
�H� 2 E =
n�
i=1
E � h 2 ��
� ∞
i−1 (ti − ti−1) =E H
0
2 �
s ds .
Definition 25.3. Für H ∈E und t ≥ 0 definieren wir
und
I W t (H) =
I W ∞ (H) =
n�
i=1
� �
hi−1 Wti∧t − Wti−1∧t
n�
i=1
Offenbar ist für jede beschränkte Stoppzeit τ
E � I W τ (H) � =
=
� �
hi−1 Wti − Wti−1 .
n�
E � hi−1 (W τ ti − W τ ti−1 )�
i=1
n�
E � hi−1 E � W τ ti − W τ �
ti−1
i=1
� Fti−1
�� = 0,
da die gestoppte Brown’sche Bewegung W τ nach den Optional Stopping Theorem
ein F-Martingal ist. Also ist (wieder nach dem OST) (I W t (H))t≥0 ein F-
Martingal. Speziell ist E �� I W ti+1 (H) − IW ti (H)�� I W tj+1 (H) − IW tj (H)�� = 0 für
i �= j, also gilt
E � I W ∞ (H) 2� =
=
=
n�
i=1
n�
i=1
n�
i=1
Aus diesen Betrachtungen folgt sofort:
��IW E ti (H) − I W ti−1 (H)� 2 �
�
E h 2 � � �
2
i−1 Wti − Wti−1
E � h 2 �
i−1 (ti − ti−1) = �H� 2 E.
(25.2)
Satz 25.4. (i) Die Abbildung I W ∞ : E→L 2 (Ω,F, P) ist eine isometrische lineare
Abbildung (bezüglich � · �E und � · �2).
(ii) Der Prozess � I W t (H) �
t≥0 ist ein L2 -beschränktes, stetiges F-Martingal.
Beweis. Lediglich die Linearität ist noch zu zeigen. Dies ist aber trivial. ✷

530 25 Das Itô-Integral
Die Idee ist nun, die Abbildung I W ∞ von E auf einen geeigneten Abschluss E
von E stetig fortzusetzen. Als Unterraum von welchem Raum sollen wir aber E
abschließen? Eine minimale Forderung ist die Messbarkeit von (ω, t) ↦→ Ht(ω)
(bezüglich F⊗B([0, ∞)) sowie die Adaptiertheit von H.
Definition 25.5. Ein stochastischer Prozess X = (Xt)t≥0 mit Werten in einem
polnischen Raum E heißt
(i) produktmessbar, falls (ω, t) ↦→ Xt(ω) messbar ist bezüglich F⊗B([0, ∞))–
B(E),
(ii) progressiv messbar, falls für jedes t ≥ 0 die Abbildung Ω × [0,t], (ω, s) ↦→
Xs(ω) messbar ist bezüglich Ft ⊗B([0,t])–B(E),
(iii) vorhersagbar (oder previsibel), falls (ω, t) ↦→ Ht(ω) messbar ist bezüglich
der vorhersagbaren σ-Algebra P auf Ω × [0, ∞):
P := σ � X : X ist linksstetiger, adaptierter Prozess � .
Bemerkung 25.6. Jedes H ∈E ist vorhersagbar. Diese Eigenschaft sichert, dass
I M (H) für jedes (auch unstetiges) Martingal M ein Martingal ist. Da wir jedoch
hier nicht die Integrationstheorie für unstetige Martingale entwickeln wollen, ist der
Begriff der Vorhersagbarkeit für uns im Folgenden nicht so wichtig. ✸
Bemerkung 25.7. Ist H progressiv messbar, so ist H offenbar auch produktmessbar
und adaptiert. Mit etwas mehr Aufwand kann man die partielle Umkehrung
zeigen: Ist H adaptiert und produktmessbar, so gibt es eine progressiv messbare
Modifikation von H. (Siehe etwa [113, Seite 68ff].) ✸
Satz 25.8. Ist H adaptiert und f.s. rechtsstetig oder linksstetig, so ist H progressiv
messbar. Insbesondere ist jeder vorhersagbare Prozess progressiv messbar.
Beweis. Siehe Übung 21.1.4. ✷
Wir betrachten E als Unterraum von
�
E0 := H : produktmessbar, adaptiert und �H� 2 �
:= E
� ∞
Sei E der Abschluss von E in E0.
0
H 2 � �
t dt < ∞ .
Satz 25.9. Ist � H progressiv messbar (etwa linksstetig oder rechtsstetig und adap-
� �
∞
tiert) und E
< ∞,soistH ∈ E.
0 H2 t dt
Beweis. Sei H progressiv messbar und E
� � ∞
0 H2 t dt
�
< ∞. Es reicht zu zeigen,
dass für jedes T>0 eine Folge (H n )n∈N in E existiert mit

25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung 531
� � T
E (Hs − H
0
n s ) 2 �
n→∞
ds −→ 0. (25.3)
Schritt 1. Sei zunächst H stetig und beschränkt. Setze H n 0 =0 und
H n t = H i2 −n T falls i2 −n TT.DannistH n ∈E, und es gilt H n t (ω) n→∞
−→ Ht(ω) für alle
t>0 und ω ∈ Ω. Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz gilt (25.3).
Schritt 2. Sei nun H progressiv messbar und beschränkt. Es reicht zu zeigen,
dass es stetige, adaptierte Prozesse Hn , n ∈ N, gibt, für die (25.3) gilt. Sei
H n � t∧T
t := n
Hs ds für t ≥ 0, n∈ N.
(t−1/n)∨0
Dann ist H n stetig und adaptiert und durch �H�∞ beschränkt. Nach dem Hauptsatz
der Differential- und Integralrechnung (siehe Übung 13.1.7) gilt
H n t (ω) n→∞
−→ Ht(ω) für λ − fast alle t ∈ [0,T] und für jedes ω ∈ Ω. (25.4)
Nach dem Satz von Fubini und dem Satz über majorisierte Konvergenz gilt daher
� � T
E (Hs − H n s ) 2 �
ds =
�
�
Hs(ω) − H n s (ω) �2 n→∞
(P ⊗ λ)(d(ω, s)) −→ 0.
0
Ω×[0,T ]
Schritt 3. Sei nun H progressiv messbar und E � � ∞
0 H2 t dt � < ∞. Es reicht
zu zeigen, dass es eine Folge (H n )n∈N von beschränkten, progressiv messbaren
Prozessen gibt, sodass (25.3) gilt. Offenbar kann hierzu aber H n t = Ht {|Ht|

532 25 Das Itô-Integral
Satz 25.11. (i) Die Abbildung IW ∞ : E→L2 (Ω,F, P) ist linear und
E � I W ∞ (H) 2� � � ∞
= E H 2 �
s ds .
(ii) Für jedes H ∈ E wird durch ĨW t (H) :=I W (H (t) ) ein L 2 -beschränktes
F-Martingal ĨW (H) definiert, das eine stetige Modifikation I W (H) besitzt.
Definition 25.12 (Itô-Integral als Prozess). Sei IW (H) die stetige Modifikation
des Martingals (IW (H (t) ))t≥0 aus Satz 25.11(ii). Wir bezeichnen mit
� t
Hr dWs := I
s
W t (H) − I W s (H) für 0 ≤ s ≤ t ≤∞
das Itô-Integral von s bis t von H bezüglich der Brown’schen Bewegung W .
Beweis (von Satz 25.11). (i) Dies folgt direkt aus der Definition von I W ∞ (H).
(ii) Sei (H n )n∈N eine Folge in E mit �H n − H� n→∞
I W � n (t)
∞ (H ) � = I W t (H n )=E � I W ∞ (H) � �
�Ft 0
−→ 0. Nach Satz 25.4(ii) ist
für alle t ≥ 0, n∈ N.
Wegen � � n (t) (t) (H ) − H � � �
� ≤ �Hn − H� n→∞
−→ 0 folgt (zusammen mit Korollar
8.20)
Ĩ W t (H) = lim
n→∞ IW t (H n ) = lim
n→∞ E�I W ∞ (H n ) � � �
�Ft
W
= E I∞ (H) � �
�Ft .
Mithin ist ĨW (H) ein L 2 -beschränktes Martingal und I W t (H n ) n→∞
−→ ĨW t (H) in
L 2 für jedes t ≥ 0. Nach Satz 25.4(ii) ist I W (H n ) stetig für jedes n ∈ N, und
nach Übung 21.4.3 existiert eine stetige Modifikation I W (H) von ĨW (H). ✷
Als letzten Schritt bei der Konstruktion des Itô-Integrals wollen wir uns von der
strengen Integrierbarkeitsbedingung E � � ∞
0 H2 s ds � < ∞ lösen. Hierzu machen
wir zunächst die folgende einfache Feststellung.
Lemma 25.13. Sei τ eine Stoppzeit und H, G ∈ E mit Hs = Gs für jedes s ≤ τ.
Dann gilt für die Itô-Integrale
� τ
� ∞
0
Hs dWs :=
0
H (τ)
� ∞
s dWs =
0
G (τ)
� τ
s dWs =:
0
Gs dWs f.s.
Speziell gilt für jedes t ≥ 0 auf {τ ≥ t}
� τ∧t
0
Hs dWs =
� t
Hs dWs.
0

25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung 533
Beweis. Klar. ✷
Definition 25.14. Sei Eloc der Raum der progressiv messbaren stochastischen Prozesse
H mit
� T
H 2 s ds < ∞ f.s. für jedes T>0.
0
Lemma 25.15. Für jedes H ∈Eloc existiert eine Folge (τn)n∈N von Stoppzeiten
mit τn ↑∞fast sicher und E � � τn
0 H2 s ds � < ∞, also mit H (τn) ∈ E für jedes
n ∈ N.
Beweis. Setze
�
τn := inf t ≥ 0:
� t
0
H 2 �
s ds ≥ n .
Nach der Definition von Eloc gilt τn ↑∞fast sicher und nach Konstruktion ist
�
�H (τn)�� 2 = E � � τn
0 H2 s ds � ≤ n. ✷
Definition 25.16. Sei H ∈Eloc und (τn)n∈N wie in Lemma 25.15. Wir definieren
für t ≥ 0 das Itô-Integral als den fast sicheren Grenzwert
Satz 25.17. Sei H ∈Eloc.
� t
� t
0
Hs dWs := lim
n→∞
0
H (τn)
s dWs. (25.5)
(i) Der Grenzwert in (25.5) ist wohldefiniert, stetig in t und (f.s.) unabhängig von
der Wahl der Folge (τn)n∈N.
(ii) Ist τ ein Stoppzeit mit E � � τ
0 H2 s ds � �
< ∞, so ist das gestoppte Itô-Integral
� �
τ∧t
ein L2-beschränktes, stetiges Martingal.
0
Hs dWs
t≥0
(iii) Ist speziell E � � T
0 H2 s ds � < ∞ für jedes T>0,soist
quadratintegrierbares, stetiges Martingal.
Beweis. (i) Nach Lemma 25.13 ist auf dem Ereignis {τn ≥ t}
� t
0
Hs dWs =
� t
0
H (τn)
s dWs.
� � t
0 Hs
�
dWs
t≥0 ein
Also existiert der Limes, ist stetig und unabhängig von der Wahl der Folge (τn)n∈N.
(ii) Dies folgt direkt aus Satz 25.11.
(iii) Da wir τn = n wählen können, folgt dies aus (ii). ✷

534 25 Das Itô-Integral
Satz 25.18. Sei H progressiv messbar und E � � T
0 H2 s ds � < ∞ für alle T > 0.
Dann definiert
� t
Mt := Hs dWs, t ≥ 0,
ein quadratintegrierbares, stetiges Martingal, und
�
(Nt)t≥0 := M 2 � t
t −
ist ein stetiges Martingal mit N0 =0.
0
0
H 2 s ds
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass N ein Martingal ist. Offenbar ist N adaptiert.
Sei τ ein beschränkte Stoppzeit. Dann ist
E � �
�
Nτ = E M 2 � τ
τ − H 2 �
s ds
0
�� � ∞
= E
0
H (τ)
�2� s dWs − E
�
� � ∞
0
t≥0
�
� � (τ) 2
H s ds =0.
Nach dem Optional Stopping Theorem (siehe Übung 21.1.3(iii)) ist N damit als
Martingal erkannt. ✷
Wir erinnern an den Begriff des lokales Martingals und der quadratischen Variation
aus Kapitel 21.10.
Korollar 25.19. Ist H ∈Eloc, so ist das Itô-Integral Mt = � t
0 Hs dWs ein stetiges
lokales Martingal mit quadratischem Variationsprozess 〈M〉t = � t
0 H2 s ds.
Beispiel 25.20. (i) Wt = � t
0 1 dWs ist ein quadratintegrierbares Martingal, und
(W 2 t − t)t≥0 ist ein stetiges Martingal.
(ii) Wegen E � � T
0 W 2 s ds � 2
T = 2 < ∞ für alle T ≥ 0 ist Mt := � t
0 Ws dWs �
ein
stetiges, quadratintegrierbares Martingal, und M 2 t − � t
0 W 2 �
s ds ist ein
t≥0
stetiges Martingal.
(iii) Sei H progressiv messbar und beschränkt sowie Mt := � t
0 Hs dWs.Dannist
M progressiv messbar (weil stetig und adaptiert) und
� � T
E M
0
2 � � T � � s
s ds = E
0 0
� H 2 �2 �
r dr
ds ≤ T 2 �H�2 ∞
.
2
Also ist � Mt := � t
0 Ms dWs �
ein quadratisch integrierbares, stetiges Martingal
und �M 2
t − � t
0 M 2 �
s dWs ist ein stetiges Martingal. ✸
t≥0

25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen
Ist
so ist das elementare Integral
H =
I M t (H) =
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen 535
n�
hi−1 (ti−1,ti] ∈E, (25.6)
i=1
n�
i=1
� �
hi−1 Mti∧t − Mti−1∧t
ein Martingal (beziehungsweise lokales Martingal), wenn M ein Martingal (beziehungsweise
lokales Martingal) ist, und es gilt
E � (I M ∞ (H)) 2� =
n�
E � h 2 i−1(Mti − Mti−1 )2� n�
= E � h 2 i−1(〈M〉ti −〈M〉ti−1 )�
i=1
� � ∞
= E
0
H 2 t d〈M〉t
�
,
falls der Ausdruck auf der rechten Seite endlich ist. Grob gesprochen können wir
die Prozedur, mit der wir das Itô-Integral für die Brown’sche Bewegung in Abschnitt
25.1 für Integranden H ∈ E definiert hatten, wiederholen, um ein Integral
bezüglich M für eine große Klasse von Integranden zu definieren. Für die Definition
der Norm auf E müssen wir im Prinzip nur dt (die quadratische Variation der
Brown’schen Bewegung) durch d〈M〉t ersetzen:
� � ∞ �
.
�H� 2 M := E
0
i=1
H 2 t d〈M〉t
Das Problem besteht nicht darin, das elementare Integral auf E fortzusetzen, sondern
darin zu prüfen, welche Prozesse in E liegen. Für unstetige Martingale etwa
müssen die Integranden vorhersagbar sein, damit das Integral ein Martingal wird
(abgesehen von der Schwierigkeit, dass wir die Existenz einer quadratischen Variation
für solche Martingale nicht etabliert haben und dies in diesem Rahmen auch
nicht tun werden). Dies hatten wir in Kapitel 9.3 schon für den Fall diskreter Zeit
gesehen. Haben wir nun ein stetiges Martingal M mit stetiger quadratischer Variation
〈M〉 vorliegen, so tritt immer noch folgendes Problem auf: Im Beweis von
Satz 25.9 wurde in Schritt 2 benutzt, dass Hn t (ω) n→∞
−→ Ht(ω) für Lebesgue-fast
alle t und alle ω gilt, um zu zeigen, dass progressiv messbare H in E liegen. Ist
d〈M〉t nun nicht absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, so reicht dies aber
nicht aus, um die Konvergenz der Integrale bezüglich d〈M〉t zu folgern. Im Fall
absolutstetiger quadratischer Variation hingegen geht der Beweis glatt durch. Wie
in Abschnitt 25.1 erhalten wir:

536 25 Das Itô-Integral
Satz 25.21. Sei M ein stetiges lokales Martingal mit absolutstetiger quadratischer
Variation 〈M〉 und H progressiv messbar mit � T
0 H2 s d〈M〉s < ∞ f.s. für jedes
T ≥ 0. Dann ist das Itô-Integral Nt := � t
0 Hs dMs wohldefiniert und ist
ein stetiges lokales Martingal mit quadratischer Variation 〈N〉t = � t
0 H2 s d〈M〉s.
Für jede Folge (τn)n∈N mit τn ↑ ∞ und � �H (τn)�� < ∞ und jede Familie
M
(Hn,m ,n,m∈N) ⊂Emit � �Hn,m − H (τn)�� m→∞
−→ 0 gilt
M
� t
0
Hs dMs = lim
n→∞ lim
m→∞ IM t (H m,n ) für alle t ≥ 0 stochastisch.
Als gewisse Verallgemeinerung erhalten wir den folgenden Satz.
Satz 25.22. Seien M 1 und M 2 stetige lokale Martingal mit absolutstetiger quadratischer
Variation. Sei Hi progressiv messbar mit � T
0 (Hi s) 2 d〈M i 〉s < ∞ für
alle i = 1, 2 und T < ∞. SeiNi t := � t
0 Hi s dM i s für i = 1, 2. Dann sind
N 1 und N 2 stetige lokale Martingale mit quadratischer Kovariation 〈N i ,Nj 〉t =
� t
0 Hi sH j s d〈M i ,Mj 〉s.SindM1und M 2 unabhängig, so ist 〈N 1 ,N2 〉≡0.
Beweis. Seien zunächst H1 ,H2 ∈E. Dann gibt es Zahlen 0=t0

25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen 537
Wir betrachten im Folgenden Prozesse, die sich als Itô-Integral bezüglich einer
Brown’schen Bewegung schreiben lassen, und geben für diese Prozesse einen detaillierteren
Beweis von Satz 25.21 an.
Definition 25.23. Sei W eine Brown’sche Bewegung und σ und b progressiv
messbare stochastische Prozesse mit � t
0 σ2 s +|bs| ds < ∞ fast sicher für alle t ≥ 0.
Dann nennen wir den Prozess X mit
� t
Xt =
0
σs dWs +
� t
0
bs ds für t ≥ 0
einen verallgemeinerten Diffusionsprozess (oder kurz: verallgemeinerte Diffusion)
mit Diffusionskoeffiezenten σ und Drift b.
Haben σ und b speziell die Gestalt σs =˜σ(Xs) und bs = ˜b(Xs) für gewisse
Abbildungen ˜σ : R → [0, ∞) und ˜b : R → R,sonennenwirX eine Diffusion (im
engeren Sinne).
Im Gegensatz zu verallgemeinerten Diffusionen sind Diffusionen im engeren Sinne
unter gewissen Regularitätsannahmen an die Koeffizienten stets Markovprozesse,
wie wir noch sehen werden (vergleiche Satz 26.8, 26.10 und 26.26).
Eine Diffusion X hat stets die Gestalt X = M + A, wobei Mt = � t
0 σs dWs
ein stetiges lokales Martingal mit quadratischer Variation 〈M〉t = � t
0 σ2 s ds ist
(nach Korollar 25.19) und At = � t
0 bs ds ein stetiger Prozess von lokal endlicher
Variation.
Offenbar ist für H aus (25.6)
� t
0
Hs dMs =
=
n�
� �
hi−1 Mti∧t − Mti−1∧t
i=1
n�
� ti∧t
hi−1
� t
σs dWs =
i=1 ti−1∧t
0
Für progressiv messbares H mit � T
T ≥ 0 definieren wir daher das Itô-Integral
� t
0
Hs dMs :=
0 H2 s d〈M〉s = � T
� t
0
(Hsσs) dWs.
(Hs σs) dWs.
0 (Hsσs) 2 ds < ∞ für alle
Wir erhalten ohne Weiteres, speziell ohne auf Satz 25.21 zurückzugreifen, den folgenden
Satz.
Satz 25.24. Sei X = M + A eine verallgemeinerte Diffusion mit σ und b wie in
Definition 25.23 und H progressiv messbar mit

538 25 Das Itô-Integral
� T
H
0
2 s σ 2 s ds < ∞ f.s. für alle T ≥ 0 (25.7)
und � T
|Hsbs| ds < ∞ f.s. für alle T ≥ 0, (25.8)
so ist der durch
� t
Yt :=
0
0
Hs dXs :=
� t
0
Hs dMs +
� t
0
Hs dAs :=
� t
0
Hsσs dWs +
� t
Hsbs ds
0
definierte Prozess Y eine verallgemeinerte Diffusion mit Diffusionskoeffizienten
(Hsσs)s≥0 und Drift (Hsbs)s≥0. Speziell ist Nt := � t
0 Hs dMs ein stetiges lokales
Martingal mit Variationsprozess 〈N〉t = � t
0 H2 s d〈M〉s = � t
0 H2 s σ2 s ds.
Übung 25.2.1. Sei M ein stetiges lokales Martingal mit absolutstetiger quadratischer
Variation 〈M〉 (etwa eine verallgemeinerte Diffusion), und sei H progressiv
messbar und stetig mit � T
0 H2 s d〈M〉s < ∞ für jedes T ≥ 0. Sei ferner
P =(P (n) )n∈N eine zulässige Zerlegungsfolge (siehe Definition 21.56). Zeige:
� T
0
Hs dMs = lim
25.3 Die Itô-Formel
n→∞
t∈Pn T
�
Ht(Mt ′ − Mt) stochastisch für alle T ≥ 0. ♣
Dieser und die beiden folgenden Abschnitte sind inhaltlich an ein Vorlesungsskript
von Hans Föllmer angelehnt.
Ist t ↦→ Xt eine differenzierbare Abbildung mit Ableitung X ′ und F ∈ C1 (R)
mit Ableitung F ′ , so gilt die klassische Substitutionsformel
� t
F (Xt) − F (X0) =
0
F ′ � t
(Xs) dXs =
0
F ′ (Xs)X ′ s ds. (25.9)
Diese Formel bleibt richtig, wenn X stetig und von lokal endlicher Variation ist
(siehe Kapitel 21.10), also die Verteilungsfunktion eines absolutstetigen signierten
Maßes auf [0, ∞) ist. Dann existiert die Ableitung X ′ als Radon-Nikodym Ableitung
fast überall, und man kann leicht zeigen, dass (25.9) auch in diesem Fall
gilt.
Die Pfade der Brown’schen Bewegung W sind nirgends differenzierbar (Satz 21.17
von Paley-Wiener-Zygmund) und haben (folglich) überall lokal unendliche Variation.
Wir können also eine einfache Substitutionsformel wie in (25.9) nicht erwarten,
und in der Tat sieht man leicht ein, dass sie falsch sein muss: Wählen wir

25.3 Die Itô-Formel 539
F (x) =x 2 , so ist die rechte Seite in (25.9) (mit X durch W ersetzt) � t
0 2Ws dWs,
also ein Martingal. Die linke Seite hingegen ist W 2 t , also ein Submartingal, das erst
durch Subtraktion von t zu einem Martingal wird. In der Tat ist dieses fehlende
t der zusätzliche Term, den wir in der Substitutionsformel für Itô-Integrale, der
so genannten Itô-Formel, bekommen. Eine (etwas haarsträubende) Heuristik führt
uns erstaunlicherweise auf die richtige Spur: Für kleine t ist Wt ungefähr von der
Größe √ t. Wenn wir nun formal dWt = √ dt schreiben und für F ∈ C 2 (R) eine
Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung durchführen, so erhalten wir
dF (Wt) =F ′ (Wt) dWt + 1
2 F ′′ (Wt)(dWt) 2 = F ′ (Wt) dWt + 1
2 F ′′ (Wt) dt,
oder als Integral geschrieben
� t
F (Wt) − F (W0) = F
0
′ � t
1
(Ws) dWs +
0 2 F ′′ (Ws) ds. (25.10)
(Für gewisse diskrete Martingale haben wir eine analoge Formel schon in Beispiel
10.9 hergeleitet.) Hauptanliegen dieses Abschnittes ist es zu zeigen, dass diese
Formel, die Itô-Formel für die Brown’sche Bewegung genannt wird, in der Tat korrekt
ist.
Die weitere Diskussion in diesem Abschnitt hängt nicht explizit davon ab, dass
wir bezüglich der Brown’schen Bewegung integrieren, sondern benutzt lediglich,
dass die Funktion, bezüglich der wir integrieren, stetige quadratische Variation hat
(entlang einer geeigneten zulässigen Zerlegungsfolge P = (Pn )n∈N)), für die
Brown’sche Bewegung nämlich 〈W 〉t = t.
Sei im Folgenden also P =(P n )n∈N eine zulässige Zerlegungsfolge (siehe Definition
21.56 für die Definition und die Notation CqV = C P qV , Pn T , Pn S,T , t′ und so
weiter) und X ∈ C([0, ∞)) mit stetiger quadratischer Variation (entlang P)
T ↦→ 〈X〉T = V 2 �
T (X) = lim (Xt ′ − Xt) 2 .
n→∞
t∈PT
Für die Brown’sche Bewegung ist W ∈CP qV fast sicher für jede zulässige Zerlegungsfolge
(Satz 21.64) und 〈W 〉T = T .Für stetige lokale Martingale M kann
man immerhin durch Übergang zu einer geeigneten Teilfolge P ′ von P sicherstellen,
dass M ∈CP′ qV fast sicher gilt (Satz 21.70).
Sei also P fest gewählt und X ∈CqV eine (deterministische) Funktion.
Satz 25.25 (Pfadweise Itô-Formel). Sei X ∈CqV und F ∈ C 2 (R). Dann existiert
für alle T ≥ 0 der Limes
� T
und es gilt die Itô-Formel
0
F ′ (Xs) dXs := lim
n→∞
t∈Pn T
�
F ′ (Xt)(Xt ′ − Xt), (25.11)

540 25 Das Itô-Integral
� T
F (XT )=F (X0) = F
0
′ (Xs) dXs + 1
� T
F
2 0
′′ (Xs) d〈X〉s. (25.12)
Dabei ist das rechte Integral in (25.12) als klassisches (Lebesgue-Stieltjes-) Integral
zu verstehen.
Bemerkung 25.26. Ist M ein stetiges lokales Martingal, so ist nach Übung 25.2.1
das Itô-Integral � T
0 F (Ms) dMs der stochastische Limes von �
t∈P n T
F ′ (Mt)(Mt ′ −
Mt) für n →∞. Tatsächlich stimmt also für X = M(ω) das pfadweise Integral
in (25.11) mit dem Itô-Integral (f.s.) überein. Speziell gilt für das Itô-Integral der
Brown’schen Bewegung die Itô-Formel (25.10). ✸
Beweis (von Satz 25.25).
und dass (25.12) gilt.
Wir müssen zeigen, dass der Limes in (25.11) existiert
Für n ∈ N und t ∈Pn T (mit Nachfolger t′ ∈Pn T ) liefert die Taylor-Formel
F (Xt ′) − F (Xt) =F ′ 1
(Xt)(Xt ′ − Xt)+ 2F ′′ (Xt) · (Xt ′ − Xt) 2 + Rn t , (25.13)
wobei wir das Restglied
R n t = � F ′′ (ξ) − F ′′ (Xt) � · 1
2
2 (Xt ′ − Xt)
(für eine geeignete Zwischenstelle ξ zwischen Xt und Xt ′) wie folgt abschätzen.
Da X stetig ist, ist C := {Xt : t ∈ [0,T]} kompakt und F ′′�
�C gleichmäßig
stetig. Zu jedem ε>0 gibt es also ein δ>0 mit
|F ′′ (Xr) − F ′′ (Xs)|

25.3 Die Itô-Formel 541
Da ε>0 beliebig war, gilt also �
t∈Pn |R
T
n t | n→∞
−→ 0. Es gilt (siehe Übung 21.10.2)
�
t∈P n T
1
2 F ′′ (Xt)(Xt ′ − Xt) 2 n→∞
−→ 1
� T
F
2 0
′′ (Xs) d〈X〉s.
Daher muss auch die Summe des verbleibenden Terms in (25.13) konvergieren, das
heißt, es existiert der Limes in (25.11). ✷
Als direkte Folgerung erhalten wir die Itô-Formel für das Itô-Integral bezüglich Diffusionen.
Satz 25.27 (Itô-Formel für Diffusionen). Sei Y = M + A, wobei Mt � =
t
0 σs dWs und At = � t
0 bs ds, eine (verallgemeinerte) Diffusion ist (siehe Definition
25.23). Sei F ∈ C2 (R). Dann gilt die Itô-Formel
F (Yt) − F (Y0) =
=
� t
0
� t
0
F ′ (Ys) dMs +
� t
F ′ (Ys)σs dWs +
Speziell gilt für die Brown’sche Bewegung
F (Wt) − F (W0) =
� t
0
0
� t
F ′ (Ws) dWs + 1
2
� t
F ′ (Ys) dAs + 1
F
2 0
′′ (Ys) d〈M〉s
�
F
0
′ (Ys)bs + 1
2 F ′′ (Ys)σ 2 �
s ds.
(25.14)
� t
0
F ′′ (Ws) ds. (25.15)
Als Anwendung der Itô-Formel bringen wir eine Charakterisierung der Brown’schen
Bewegung als stetiges lokales Martingal mit einer bestimmten quadratischen Variation.
Satz 25.28 (Lévy’sche Charakterisierung der Brown’schen Bewegung).
Sei X ∈Mloc,c mit X0 =0. Dann sind äquivalent
(i) (X2 t − t)t≥0 ist ein lokales Martingal,
(ii) 〈X〉t = t für alle t ≥ 0,
(iii) X ist eine Brown’sche Bewegung.
Beweis (iii) =⇒ (i) Das ist klar.
(i) ⇐⇒ (ii) Das ist klar, weil der quadratische Variationsprozess eindeutig ist.
(ii) =⇒ (iii) Es reicht zu zeigen, dass Xt − Xs ∼N0,t−s gegeben Fs für t>
s ≥ 0. Wegen des Eindeutigkeitssatzes für charakteristische Funktionen reicht es zu
zeigen, dass (mit i = √ −1)für A ∈Fs und λ ∈ R gilt:
ϕA,λ(t) :=E � e iλ(Xt−Xs) � −λ
A = P[A] e 2 (t−s)/2
.

542 25 Das Itô-Integral
Wir wenden die Itô-Formel separat auf Real- und Imaginärteil an und erhalten
e iλXt − e iλXs � t
=
s
Es folgt
E � e iλ(Xt−Xs) � �
�Fs − 1
�� t
= E iλe iλ(Xr−Xs) �
�
dXr �
s
iλe iλXr dXr − 1
2
� Fs
�
− 1
2 λ2 �� t
E
s
� t
λ
s
2 e iλXr dr.
e iλ(Xr−Xs) �
�
dr �
Nun sind Mt := Re � t
s iλeiλ(Xr−Xs) dXr und Nt := Im � t
s iλeiλ(Xr−Xs) dXr,
t ≥ s, stetige lokales Martingale mit 〈M〉t = � t
s λ2 sin(λ(Xr − Xs)) 2 dr ≤ λ2 (t −
s) und 〈N〉t = � t
s λ2 cos(λ(Xr − Xs)) 2 dr ≤ λ2 (t − s). Nach Korollar 21.76 sind
M und N daher Martingale, also gilt
�� t
E iλe iλ(Xr−Xs) � �
�
dXr � =0.
s
s
� Fs
Der Satz von Fubini liefert (wegen A ∈Fs)
ϕA,λ(t) − ϕA,λ(s) =E � e iλ(Xt−Xs) �
A − P[A]
= − 1
2 λ2
� t
E � e iλ(Xr−Xs) � 1
A dr = −
2 λ2
Das heißt, ϕA,λ ist die Lösung des linearen Anfangswertproblems
ϕA,λ(s) =P[A] und
� t
d
dt ϕA,λ(t) =− 1
2 λ2 ϕA,λ(t).
s
� Fs
�
.
ϕA,λ(r) dr.
Die eindeutige Lösung hiervon ist ϕA,λ(t) =P[A] e −λ2 (t−s)/2 . ✷
Als Folgerung aus dem Satz erhalten wir, dass wir jedes lokale Martingal, dessen
quadratischer Variationsprozess absolutstetig (als Funktion der Zeit) ist, als Itô-
Integral bezüglich einer Brown’schen Bewegung schreiben können.
Satz 25.29 (Itô’scher Martingal-Darstellungssatz). Sei M ein stetiges lokales
Martingal mit absolutstetiger quadratischer Variation t ↦→ 〈M〉. Dann gibt es,
eventuell auf einer Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsraums, eine Brown’sche Bewegung
W mit
� �
t
d〈M〉s
Mt =
dWs für alle t ≥ 0.
ds
0
Beweis. Wir nehmen an, dass auf dem Wahrscheinlichkeitsraum eine Brown’sche
Bewegung � W definiert ist, die unabhängig von M ist. (Gegebenenfalls muss der
Wahrscheinlichkeitsraum hierzu erweitert werden.) Sei

ft := lim
n→∞ n� �
〈M〉t −〈M〉 t−1/n
25.3 Die Itô-Formel 543
für t>0.
Dann ist f eine progressiv messbare Version der Radon-Nikodym Ableitung d〈M〉t
dt .
Klar ist � T
0 {ft>0} f −1
t d〈M〉t = T0, also sind die folgenden
Integrale wohldefiniert, und
� t
Wt :=
0
{fs>0} f −1/2
� t
s dMs +
0
{fs=0} d � Ws
ist als Summe stetiger lokaler Martingale selber eines. Nach Satz 25.22 ist
〈W 〉t =
=
= t.
� t
0
� t
0
{fs>0} f −1
� t
s d〈M〉s +
0
{fs>0} f −1
� t
s fs ds +
0
{fs=0} ds
{fs=0} ds
Nach Satz 25.28 ist W damit als Brown’sche Bewegung erkannt. Andererseits ist
� t
0
f 1/2
s dWs =
=
� t
0
� t
0
{fs>0} f 1/2
s
{fs>0} dMs.
f −1/2
s dMs +
� t
0
{fs=0} f 1/2
s
d � Ws
Nun ist aber Mt − � t
0 {fs>0} dMs = � t
0 {fs=0} dMs ein stetiges lokales Martingal
mit quadratischer Variation � t
0 {fs=0} d〈M〉s =0, also fast sicher gleich Null.
Also ist Mt = � t 1/2
f 0 s dWs, wie gewünscht. ✷
Wir kommen nun zu einer mehrdimensionalen Verallgemeinerung der (pfadweisen)
Itô-Formel. Sei hierzu Cd qV der Raum der stetigen Abbildungen X :[0, ∞) → Rd ,
t ↦→ Xt =(X1 t ,...,Xd t ), sodass für k, l =1,...,d die quadratische Kovariation
(siehe Definition 21.58) 〈Xk ,Xl 〉 existiert und stetig ist. Ferner sei C2 (Rd )
der Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen F auf Rd mit partiellen
Ableitungen ∂kF und ∂k∂lF , k, l =1,...,d.Mit∇F bezeichnen wir den
Gradienten und mit △ =(∂2 1 + ...+ ∂2 d ) den Laplace-Operator.
Satz 25.30 (Mehrdimensionale pfadweise Itô-Formel). Sei X ∈Cd qV
C
und F ∈
2 (Rd ). Dann gilt
� T
F (XT ) − F (X0) = ∇F dXs +
0
1
� T
2 0
d�
∂k∂lF (Xs) d〈X k ,X l 〉s.
Dabei ist
� T
0
∇F (Xs) dXs :=
k,l=1
d�
� T
∂kF (Xs) dX
k=1
0
k s .

544 25 Das Itô-Integral
Beweis. Das geht wie im eindimensionalen Fall. Die Details verbleiben zur Übung.
✷
Korollar 25.31 (Produktregel). Sind X, Y, X − Y,X + Y ∈CqV, so gilt
XT YT = X0Y0 +
� T
0
Ys dXs +
� T
0
Xs dYs + 〈X, Y 〉T für alle T ≥ 0.
Beweis. Nach Voraussetzung (und der Polarisationsformel) existiert 〈X, Y 〉. Nach
Satz 25.30 mit F (x, y) =xy folgt die Aussage. ✷
Sei nun Y = M + A eine d-dimensionale verallgemeinerte Diffusion, also
M k t =
d�
l=1
� t
0
σ k,l
s dW l s und A k t =
� t
b
0
k s ds für t ≥ 0, k=1,...,d.
Dabei ist W =(W 1 ,...,W d ) eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung und
σ k,l (beziehungsweise b k ) sind progressiv messbare, lokal quadratisch integrierbare
(beziehungsweise lokal integrierbare) stochastische Prozesse für k, l =1,...,d.
Wegen 〈W k ,W l 〉t = t · {k=l} ist 〈Y k ,Y l 〉t = 〈M k ,M l 〉t = � t
0 ak,l
s ds, wobei
a k,l
s :=
d�
i=1
σ k,i
s σ i,l
s
die Kovarianzmatrix der Diffusion M ist. Speziell ist M ∈Cd qV fast sicher. Wir
erhalten als Korollar zur mehrdimensionalen pfadweisen Itô-Formel:
Satz 25.32 (Mehrdimensionale Itô-Formel). Sei Y wie oben und F ∈ C 2 (R d ).
Dann gilt
F (YT ) − F (Y0) =
=
� T
0
d�
k,l=1
+ 1
2
∇F (Ys) dYs + 1
2
� t
0
d�
k,l=1
σ k,l
s ∂kF (Ys) dW l s +
� t
Speziell gilt für die Brown’sche Bewegung
F (Wt) − F (W0) =
d�
k=1
0
� t
0
d�
� T
∂k∂lF (Ys) d〈M
k,l=1
0
k ,M l 〉s
a k,l
s ∂k∂lF (Ys) ds.
∂kF (Ws) dW k s + 1
2
d�
� t
b
k=1
0
k s ∂kF (Ys) ds
� t
0
(25.16)
△ F (Ws) ds. (25.17)

25.3 Die Itô-Formel 545
Korollar 25.33. Der Prozess (F (Wt))t≥0 ist genau dann ein lokales Martingal,
wenn F harmonisch ist (also △ F ≡ 0 gilt).
Beweis. Ist F harmonisch, so ist F (Wt) =F (W0) + �d � t
k=1 0 ∂kF (Ws) dW k s
als Summe von Itô-Integralen ein stetiges lokales Martingal.
Ist andererseits F ein lokales Martingal, so ist auch � t
0 △ F (Ws) ds als Differenz
�
von stetigen lokalen Martingalen ein stetiges lokales Martingal. Da t ↦→
t
0 △ F (Ws) ds von endlicher Variation ist, ist � t
0 △ F (Ws) ds =0für alle t ≥ 0
fast sicher (nach Korollar 21.72). Also ist △ F ≡ 0. ✷
Korollar 25.34 (Zeitabhängige Itô-Formel). Ist F ∈ C 2,1 (R d × R), sogilt
F (WT ,T) − F (W0, 0)
d�
� T
=
k=1
0
∂kF (Ws,s) dW k � T
s +
0
�
∂d+1 + 1
2 (∂2 1 + ...+ ∂ 2 �
d) F (Ws,s) ds.
Beweis. Wende Satz 25.32 an auf Y =(W 1 t ,...,W d t ,t)t≥0. ✷
Übung 25.3.1 (Satz von Fubini für Itô-Integrale). Sei X ∈ CqV und sei g :
[0, ∞) 2 → R stetig und im Inneren nach der zweiten Koordinate stetig differenzierbar
mit Ableitung ∂2g. Man zeige mit Hilfe der Produktregel (Korollar 25.31)
� s �� t � � t �� s
�
g(u, v) du dXv = g(u, v) dXv du.
0
und � s
0
0
�� v
0
�
g(u, v) du dXv =
0
0
� s �� s
0
u
�
g(u, v) dXv du. ♣
Übung 25.3.2 (Stratonovich-Integral). Sei P eine zulässige Zerlegungsfolge, X ∈
C P qV und f ∈ C1 (R) mit Stammfunktion F . Man zeige: Für jedes t ≥ 0 ist das
Stratonovich-Integral
� T
0
f(Xt) ◦ dXt := lim
�
f
n→∞
t∈Pn T
� Xt
′ + Xt
2
wohldefiniert, und es gilt die klassische Substitutionsregel
F (XT ) − F (X0) =
� T
0
F ′ (Xt) ◦ dXt.
�
�Xt �
′ − Xt
Man zeige, dass im Gegensatz zum Itô-Integral das Stratonovich-Integral bezüglich
eines stetigen lokalen Martingals im Allgemeinen kein lokales Martingal ist. ♣

546 25 Das Itô-Integral
25.4 Dirichlet-Problem und Brown’sche Bewegung
Ähnlich wie für diskrete Markovketten (vergleiche Kapitel 19.1) lässt sich die
Lösung des Dirichlet-Problems in einem Gebiet G ⊂ Rd durch eine am Rande
von G gestoppte d-dimensionale Brown’sche Bewegung beschreiben.
Sei im Folgenden G ⊂ Rd eine offene, beschränkte Menge.
Definition 25.35 (Dirichlet-Problem). Sei f : ∂G → R stetig. Eine Funktion
u : G → R heißt Lösung des Dirichlet-Problems auf G mit Randwert f, falls u
stetig ist und in G zweimal stetig differenzierbar, sowie
△ u(x) =0 für x ∈ G,
u(x) =f(x) für x ∈ ∂G.
(25.18)
Für hinreichend glatte Gebiete existiert stets eine Lösung des Dirichlet-Problems
(siehe etwa [80, Korollar 4.3.3]). Gibt es eine Lösung, so ist sie stets eindeutig (wie
aus Satz 25.37 folgt).
Sei im Folgenden W =(W1 ,...,Wd ) eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung
bezüglich der Filtration F, die den üblichen Bedingungen genügt. Wir schreiben
Px und Ex für Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte, wenn W in
W0 = x =(x1 ,...,xd ) ∈ Rd gestartet wird. Ist A ⊂ Rd offen, so ist
τAc := inf � t>0: Wt ∈ A c�
eine F-Stoppzeit (siehe Übung 21.4.4). Da G beschränkt ist, ist G ⊂ (−a, a) ×
Rd−1 für gewisses a>0. AlsoistτGc ≤ τ ((−a,a)×Rd−1 (angewandt auf W
) c. Nach Übung 21.2.4
1 )istfür x ∈ G
�
Ex τGc � �
≤ Ex τGc ≤ τ ((−a,a)×Rd−1 ) c
� 1 1
=(a− x )(a + x ) < ∞. (25.19)
Speziell ist τG c < ∞ Px-fast sicher, also ist WτG c eine Px-fast sicher wohldefinierte
Zufallsvariable mit Werten in ∂G.
Definition 25.36. Für x ∈ G bezeichnen wir mit
das harmonische Maß auf ∂G.
μx,G = Px ◦ W −1
τG c
Satz 25.37. Ist u eine Lösung des Dirichlet-Problems auf G mit Randwert f, so
ist
�
u(x) =Ex f(WτGc ) � �
= f(y) μx,G(dy) für x ∈ G. (25.20)
∂G
Insbesondere ist die Lösung des Dirichlet-Problems stets eindeutig.

25.4 Dirichlet-Problem und Brown’sche Bewegung 547
Beweis. Sei G1 ⊂ G2 ⊂ ... eine Folge offener Mengen mit x ∈ G1, Gn ↑ G
und Gn ⊂ G für jedes n ∈ N. Speziell ist also jedes Gn kompakt und damit ∇u
auf Gn beschränkt. Wir schreiben kurz τ := τG c und τn := τG c n .
Da u harmonisch ist (das heißt, △ u =0), ist nach der Itô-Formel
u(Wt) =u(W0)+
� t
0
∇u(Ws) dWs =
d�
k=1
∂ku(Ws) dW k s
für t

548 25 Das Itô-Integral
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown’schen Bewegung
Die symmetrische einfache Irrfahrt (Xn)n∈N auf Z d ist nach dem Satz von Pólya
(Satz 17.39) genau dann rekurrent (besucht also jeden Punkt unendlich oft), wenn
d ≤ 2 ist. Ist d>2, so ist die Irrfahrt transient und verlässt jede endliche Menge
A ⊂ Z d schließlich. Wir können dieses Verhalten beschreiben durch
lim inf
n→∞ �Xn� =0 f.s. ⇐⇒ d ≤ 2
und
lim
n→∞ �Xn� = ∞ f.s. ⇐⇒ d>2.
Hauptergebnis dieses Abschnitts ist es, dass eine ähnliche Dichotomie auch für die
Brown’sche Bewegung gilt.
Satz 25.38. Sei W = (W 1 ,...,W d ) eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung.
(i) Ist d ≤ 2, soist W rekurrent in dem Sinne, dass
lim inf
t→∞ �Wt − y� =0 f.s. für jedes y ∈ R d .
Insbesondere liegt der Pfad {Wt : t ≥ 0} dicht in Rd fast sicher.
(ii) Ist d>2, soistW transient in dem Sinne, dass
lim
t→∞ �Wt� = ∞ f.s.,
und für jedes y ∈ R d \{0} ist inf{�Wt − y� : t ≥ 0} > 0 fast sicher.
Die Grundidee für den Beweis des Satzes besteht darin, mit Hilfe von geeigneten
Dirichletproblemen und dem Ergebnis von Abschnitt 25.4 die Wahrscheinlichkeiten
dafür auszurechnen, dass W gewisse Kugeln
BR(x) := � y ∈ R d : �x − y�

25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown’schen Bewegung 549
�
1,
f(x) =
0,
falls �x� = r,
falls �x� = R.
(25.24)
Sei ur,R : Gr,R → R definiert durch
V (�x�) − V (R)
ur,R(x) =
V (r) − V (R) ,
wobei V :(0, ∞) → R die Newton’sche Potentialfunktion ist
⎧
⎪⎨
s, falls d =1,
V (s) =Vd(s) = log(s),
⎪⎩
−s
falls d =2,
2−d , falls d>2.
(25.25)
Man prüft leicht nach, dass ϕ : Rd \{0} →R, x ↦→ Vd(�x�) harmonisch ist (also
△ ϕ ≡ 0 erfüllt). Also ist ur,R die Lösung des Dirichlet-Problems auf Gr,R mit
Randwert f. Nach Satz 25.37 ist für x ∈ Gr,R
� � �
Px τr,R = τr = Px �Wτr,R� = r� �
= Ex f(Wτr,R )� = ur,R(x). (25.26)
Satz 25.39. Für r>0 und x, y ∈ Rd mit �x − y� >r gilt
�
Px Wt ∈ Br(y) für ein t>0 � ⎧
⎨
1, falls d ≤ 2,
= � �2−d ⎩ �x−y�
r , falls d>2.
Beweis. Ohne Einschränkung sei y =0.Dannist
Px[τr < ∞] = lim
R→∞ Px[τr,R
V (�x�) − V (R)
= τr] = lim
R→∞ V (r) − V (R)
�
1, falls d =2,
=
Vd(�x�)
Vd(r) , falls d>2,
denn limR→∞ Vd(R) =∞, falls d ≤ 2 und =0, falls d>2. ✷
Beweis (von Satz 25.38). Unter Verwendung der starken Markoveigenschaft der
Brown’schen Bewegung erhalten wir für r>0
�
Px lim inf
t→∞ �Wt�
� �
�x�
inf
R>�x� Px
� �
�Wt� ≤s für ein t>τR
inf
R>�x� Px
�
PWτ [τs < ∞]
R � .

550 25 Das Itô-Integral
Nach Satz 25.39 ist aber (wegen �WτR� = R für R>�x�)
�
1, falls d ≤ 2,
PWτ [τs < ∞] =
R
(s/R) d−2 , falls d>2.
Also ist
�
P lim inf
t→∞ �Wt�
�
� 1,
2.
Hieraus folgt aber die Aussage des Satzes. ✷
Definition 25.40 (Polare Menge). Eine Menge A ⊂ Rd heißt polar, falls
�
Wt �∈ A für alle t>0 � =1 für alle x ∈ R d .
Px
Satz 25.41. Ist d =1, so ist nur die leere Menge polar. Ist d ≥ 2, soist {y} polar
für jedes y ∈ R d .
Beweis. Für d =1ist die Aussage klar, wegen
lim sup Wt = ∞ und lim inf
t→∞
t→∞ Wt = −∞ f.s.
Aufgrund der Stetigkeit von W wird also jeder Punkt y ∈ R immer wieder getroffen.
Sei nun d ≥ 2. Ohne Einschränkung sei y =0.Istx�= 0,soist
�
Px τ{0} < ∞ � � �
= lim τ{0} 0 Px
= lim
R→∞ inf
r>0 ur,R(x) =0,
(25.27)
weil Vd(r) r→0
−→ −∞, falls d ≥ 2.
Ist hingegen x =0, so gilt wegen der starken Markoveigenschaft der Brown’schen
Bewegung (und weil P0[Wt =0]=0 ist für alle t>0)
P0
�
τ{0} < ∞ � =supP0
t>0
=supP0
t>0
� Ws =0 für ein s ≥ t �
� PWt [τ {0} < ∞] � =0,
wobei wir im letzten Schritt (25.27) ausgenutzt haben. ✷

26 Stochastische Differentialgleichungen
Stochastische Differentialgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung von
gewissen stetigen Markovprozessen mit Werten in Rn . Im Gegensatz zu klassischen
Differentialgleichungen ist nicht nur die Ableitung einer Funktion angegeben, sondern
zudem ein Term, der zufällige Fluktuationen beschreibt, die als Itô-Integral
bezüglich einer Brown’schen Bewegung kodiert werden. Je nach dem, ob man die
konkrete Brown’sche Bewegung als treibende Kraft des Rauschens ernst nimmt oder
nicht, spricht man von starken oder schwachen Lösungen. Wir entwickeln im ersten
Abschnitt die Theorie der starken Lösungen unter Lipschitz-Bedingungen an die
Koeffizienten. Im zweiten Abschnitt lernen wir das (lokale) Martingalproblem als
Methode zur Etablierung schwacher Lösungen kennen. Im dritten Abschnitt stellen
wir die Methode der Dualität zur Sicherung der Eindeutigkeit von Lösungen an
Beispielen vor.
Da die Theorie der stochastischen Differentialgleichungen ein sehr weites Feld ist
und die Dinge sehr schnell sehr technisch werden, bringen wir nur kursorisch ein
paar der wichtigsten Ergebnisse, zum Teil ohne Beweis, um sie dann an Beispielen
zu illustrieren.
26.1 Starke Lösungen
Wir betrachten eine stochastische Differentialgleichung (SDGL) von dem Typ
X0 = ξ,
dXt = σ(t, Xt) dWt + b(t, Xt) dt.
(26.1)
Dabei ist W = (W1 ,...,Wm ) eine m-dimensionale Brown’sche Bewegung, ξ
eine von W unabhängige Rn � -wertige Zufallsvariable mit Verteilung μ, σ(t, x) =
σij(t, x) � i=1,...,n eine reelle n × m Matrix sowie b(t, x) =
j=1,...,m
� bi(t, x) �
i=1,...,n ein
n-dimensionaler Vektor. Die Abbildungen (t, x) ↦→ σij(t, x) und (t, x) ↦→ bi(t, x)
seien messbar.
Unter einer Lösung X von (26.1) wollen wir natürlich einen stetigen, adaptierten
stochastischen Prozess X mit Werten in R n verstehen, der die folgende Integralgleichung
erfüllt

552 26 Stochastische Differentialgleichungen
� t
� t
Xt = ξ + σ(s, Xs) dWs + b(s, Xs) ds P − f.s. für alle t ≥ 0. (26.2)
0
0
Koordinatenweise ausgeschrieben heißt dies
X i t = ξ i m�
� t
+ σij(s, Xs) dW
j=1 0
j � t
s +
0
bi(s, Xs) ds für alle i =1,...,n.
Nun ergibt sich folgendes Problem: An welche Filtration F soll X adaptiert sein?
Soll F die Filtration sein, die von ξ und W erzeugt ist, oder darf F eine größere Filtration
sein? Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist bekannt,
dass es, je nach Differentialgleichung, Lösungen geben kann, die aber nicht eindeutig
sind (beispielsweise für f ′ = |f| 1/3 ). Wenn F größer als die von W erzeugte
Filtration ist, können wir weitere Zufallsvariablen definieren, die unter mehreren
Lösungen eine aussuchen. Wir haben also mehr Möglichkeiten, eine Lösung anzugeben
als wenn F = σ(W ) ist. In der Tat wird sich herausstellen, dass man in
manchen Fällen überhaupt erst eine Lösung einer SDGL angeben kann, wenn man
eine größere Filtration zulässt. Grob gesprochen nennen wir X eine starke Lösung
von (26.1), wenn (26.2) gilt und X an F = σ(W ) adaptiert ist, hingegen eine schwache
Lösung, wenn X an eine größere Filtration F adaptiert ist, bezüglich der W aber
immer noch ein Martingal ist. Schwache Lösungen behandeln wir in Abschnitt 26.2.
Definition 26.1 (Starke Lösung). Wir sagen, dass die stochastische Differentialgleichung
(SDGL) (26.1) eine starke Lösung X hat, falls es eine Abbildung
F : R n × C([0, ∞); R m ) → C([0, ∞); R n ) gibt mit den Eigenschaften
(i) (x, w) ↦→ F (x, w) ist für jedes t ≥ 0 messbar bezüglich B(Rn ) ⊗Gm t –
Gn t , wobei (für k = m oder k = n) Gk t := σ(πs : s ∈ [0,t]) die von
den Koordinatenabbildungen πs : C([0, ∞); Rk ) → R, w ↦→ w(s) erzeugte
σ-Algebra ist.
(ii) Der Prozess X = F (ξ,W) erfüllt (26.2).
Bedingung (i) besagt, dass der Pfad (Xs) s∈[0,t] nur von ξ und (Ws) s∈[0,t] abhängt
und sonst von keinen Informationen. Insbesondere ist X an Ft = σ(ξ, Ws : s ∈
[0,t]) adaptiert und progressiv messbar, sodass das Itô-Integral in (26.2) wohldefiniert
ist, falls σ und b nicht zu stark wachsen für große x.
Bemerkung 26.2. Offenbar ist eine starke Lösung einer SDGL stets eine verallgemeinerte
n-dimensionale Diffusion. Sind die Koeffizienten σ und b unabhängig von
t,soistdieLösung eine n-dimensionale Diffusion. ✸
Bemerkung 26.3. Sei X eine starke Lösung und F wie in Definition 26.1. ist W ′
eine m-dimensionale Brown’sche Bewegung auf einem Raum (Ω ′ , F ′ , P ′ ) mit Filtration
F ′ , und ist ξ ′ unabhängig von W ′ und F ′ 0-messbar, so erfüllt X ′ = F (ξ ′ ,W ′ )
die Integralgleichung (26.2), ist also eine starke Lösung von (26.1) mit W ′ statt W .

26.1 Starke Lösungen 553
Die Existenz einer starken Lösung hängt also nicht von der konkreten Realisierung
der Brown’schen Bewegung oder der Filtration F ab. ✸
Definition 26.4. Wir sagen, dass die SDGL (26.1) eine eindeutige starke Lösung
hat, falls es ein F wie in Definition 26.1 gibt, sodass gilt:
(i) Ist W eine m-dimensionale Brown’sche Bewegung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,F, P) mit Filtration F und ξ eine F0-messbare von W unabhängige
Zufallsvariable mit P ◦ ξ−1 = μ, dann ist X := F (ξ,W) eine
Lösung von (26.2).
(ii) Für jede Lösung (X, W) von (26.2) gilt X = F (ξ,W).
Beispiel 26.5. Seien m = n =1und b ∈ R sowie σ>0.DerOrnstein-Uhlenbeck
Prozess
Xt := e bt � t
ξ + σ e (t−s)b dWs, t ≥ 0, (26.3)
ist eine starke Lösung der SDGL X0 = ξ und
0
dXt = σdWt + bXt dt.
In der Terminologie von Definition 26.1 ist (im Sinne des pfadweisen Itô-Integrals
bezüglich w)
�
F (x, w) = t ↦→ e bt � t
x + e (t−s)b �
dw(s)
für alle w ∈CqV (also mit stetiger quadratischer Variation). Wegen P[W ∈CqV] =
1, können wir F (x, w) =0setzen für w ∈ C([0, ∞); R) \CqV.
In der Tat gilt nach dem Satz von Fubini für Itô-Integrale (Übung 25.3.1)
ξ +
� t
0
� t
σdWs + bXs ds
0
� t
= ξ + σWt + be
0
bs � t �� s
ξds+ σb e
0 0
b(s−r) �
dWr ds
= ξ + σWt + � e bt − 1 � � t �� t
ξ + σ be
0 r
b(s−r) �
ds dWr
= e bt � t �
ξ + σ + � e b(t−r) − 1 � �
σ dWr
= Xt.
0
Man kann zeigen (siehe Satz 26.8), dass diese Lösung auch (stark) eindeutig ist. ✸
Beispiel 26.6. Seien α, β ∈ R. Die eindimensionale SDGL X0 = ξ und
0
dXt = αXt dWt + βXt dt (26.4)

554 26 Stochastische Differentialgleichungen
hat die starke Lösung
� �
Xt = ξ exp αWt + β − α2
� �
t .
2
In der Terminologie von Definition 26.1 ist σ(t, x) =αx, b(t, x) =βx und
� � �
F (x, w) = t ↦→ x exp αw(t)+ β − α2
� ��
t
2
für alle w ∈ C([0, ∞); R) und x ∈ R. In der Tat ist nach der zeitabhängigen Itô-
Formel (Korollar 25.34)
� t
� t ��
Xt = ξ + αXs dWs + β − α2
�
+
2
1
2 α2
�
Xs ds.
0
0
Auch in diesem Fall gilt starke Eindeutigkeit der Lösung (siehe Satz 26.8). Der
Prozess X heißt geometrische Brown’sche Bewegung und dient beispielsweise
zur Modellierung von Aktienkursen im so genannten Black-Scholes Modell. ✸
Wir geben nun ein einfaches Kriterium für die Existenz und Eindeutigkeit starker
Lösungen an. Für eine n × m Matrix A definieren wir die Hilbert-Schmidt Norm
�
�A� = Spur � AAT � �
�
�
n� n�
= �
. (26.5)
i=1 j=1
Für b ∈ R n verwenden wir die euklidische Norm �b�. Da alle Normen auf endlichdimensionalen
Vektorräumen äquivalent sind, spielt es keine wesentliche Rolle,
welche Norm wir genau benutzen. Allerdings vereinfacht die hier eingeführte Norm
die Rechnungen, wie das folgende Lemma zeigt.
Lemma 26.7. Sei t ↦→ H(t) =(Hij(t))i=1,...,n, j=1,...,m progressiv messbar und
E � � T
0 H2 ij (t) dt� < ∞ für alle i, j. Dann gilt
�� �
��� T
E
0
�
�2�
H(t) dWt
�
�
wobei �H� die Hilbert-Schmidt Norm aus (26.5) bezeichnet.
Beweis. Für i =1,...,nist Ii(t) := � m
mit Variationsprozess 〈Ii〉t = � t
0
A 2 i,j
� � T
= E �H(t)�
0
2 �
dt , (26.6)
j=1
� m
j=1 H2 ij
E � (Ii(T )) 2� � � T
= E
0
� t
0 Hij(s) dW j s ein stetiges Martingal
(s) ds. Daher ist
m�
j=1
H 2 �
ij(s) ds.

Die linke Seite in (26.6) ist aber gleich
n�
E � (Ii(T )) 2� � � T
= E
i=1
0
n�
m�
i=1 j=1
26.1 Starke Lösungen 555
H 2 �
ij(s) ds.
Die Behauptung folgt nun aus der Definition von �H(s)� 2 . ✷
Satz 26.8. Seien b und σ Lipschitz-stetig in der ersten Koordinate. Das heißt, es
existiere eine Konstante K>0, sodass für alle x, x ′ ∈ R n und t ≥ 0 gilt, dass
�σ(x, t) − σ(x ′ ,t)� + �b(x, t) − b(x ′ ,t)� ≤K �x − x ′ �. (26.7)
Ferner gelte die Wachstumsbedingung
�σ(t, x)� 2 + �b(t, x)� 2 ≤ K 2 (1 + �x� 2 ) für alle x ∈ R n ,t≥ 0. (26.8)
Dann existiert für jeden Anfangswert X0 = x ∈ R n eine eindeutige starke
Lösung X der SDGL (26.1). Diese Lösung ist ein Markovprozess und im Falle,
wo σ und b nicht von t abhängen, ein starker Markovprozess.
Als Hilfsmittel brauchen wir ein Lemma.
Lemma 26.9 (Gronwall). Seien f,g :[0,T] → R integrierbar und C > 0 so,
dass
� t
f(t) ≤ g(t)+C f(s) ds für alle t ∈ [0,T]. (26.9)
Dann ist
f(t) ≤ g(t)+C
� t
0
0
e C(t−s) g(s) ds für alle t ∈ [0,T].
Ist speziell g(t) ≡ G konstant, so ist f(t) ≤ Ge Ct für alle t ∈ [0,T].
Beweis. Seien F (t) = � t
0 f(s) ds und h(t) =F (t) e−Ct . Dann ist nach (26.9)
Integration liefert
Einsetzen in (26.9) liefert
d
dt h(t) =f(t) e−Ct − CF(t) e −Ct ≤ g(t) e −Ct .
F (t) =e Ct h(t) ≤
� t
f(t) ≤ g(t)+CF(t) ≤ g(t)+C
0
e C(t−s) g(s) ds.
� t
0
g(s) e C(t−s) ds. ✷

556 26 Stochastische Differentialgleichungen
Beweis (von Satz 26.8). Es reicht zu zeigen, dass eine eindeutige starke Lösung
bis T für jedes T

und
� t
Jt :=
0
� N
b(s, Xs ) − b(s, X N−1
s ) � ds.
26.1 Starke Lösungen 557
Indem wir die Doob’sche L2 –Ungleichung auf das nichtnegative Submartingal
(�It�2 )t≥0 , Lemma 26.7 sowie (26.7) anwenden, erhalten wir
� �
E
≤ 4 E � �It� 2�
sup �Is�
s≤t
2
=4E
≤ 4K 2
�� t
0
� t
0
�
� σ(s, X N s ) − σ(s, X N−1
s
E
���X N
s − X N−1
�
�
s
2�
ds
) � �2 �
ds
Für Jt bekommen wir mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung
�Jt� 2 � t �
≤ t � N
b(s, Xs ) − b(s, X N−1
s ) � �2 ds.
Also ist
�
E
sup �Js�
s≤t
2
�
≤ t E
0
≤ tK 2
�� t
0
� t
0
�
� b(s, X N s ) − b(s, X N−1
s
���X N
E s − X N−1
�
�2� ds.
s
) � �2 �
ds
Setzen wir
Δ N �
�
(t) :=E sup � N
Xs − X
s≤t
N−1
�
�
s
2
�
,
so erhalten wir mit C := 2K2 (4 + T ) ∨ 2(T +1)K2 (1 + �x�2 )
und
Δ N+1 (t) ≤ C
Δ 1 (t) ≤ 2t
� t
0
� t
0
Δ N (s) ds für N ≥ 1
�b(s, x)� 2 ds + 2
� t
≤ 2(T +1)K 2� 1+�x� 2� · t ≤ Ct
0
�σ(s, x)� 2 ds
(26.12)
(26.13)
nach der Wachstumsvoraussetzung (26.8). Per Induktion folgt Δ N (t) ≤ (Ct)N
N! .Es
folgt mit der Markov’schen Ungleichung
∞�
�
�
P sup �X
s≤t
N s − X N−1
�
�
s
2 > 2 −N
�
≤
N=1
≤
∞�
2
N=1
N Δ N (t)
∞� (2Ct) N
N! ≤ e2Ct < ∞.
N=1

558 26 Stochastische Differentialgleichungen
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli folgt sups≤t �XN s − XN−1 2
s �
N→∞
−→ 0 fast
sicher. Mithin ist fast sicher (XN )N∈N eine Cauchy-Folge in dem Banachraum
(C([0,T]), �·�∞). Also konvergiert XN fast sicher gleichmäßig gegen ein X.
Gleichmäßige Konvergenz impliziert Konvergenz der Integrale, also ist X eine starke
Lösung von (26.2).
Markoveigenschaft Die starke Markoveigenschaft folgt direkt aus der starken
Markoveigenschaft der Brown’schen Bewegung, die die SDGL antreibt. ✷
Wichtige Beispiele für diesen Satz haben wir oben schon kennen gelernt. Viele interessante
Probleme führen jedoch auf stochastische Differentialgleichungen, bei
denen die Koeffizienten nicht Lipschitz-stetig sind. Im eindimensionalen Fall kann
man mit speziellen Vergleichsmethoden zeigen, dass es ausreicht, dass σ Hölder-
in der Ortsvariablen ist.
stetig von der Ordnung 1
2
Satz 26.10 (Yamada-Watanabe). Wir betrachten die eindimensionale Situation
m = n =1.EsgebeK0 und a, b ≥ 0 Parameter sind. Die Bedingungen
von Satz 26.10 sind mit α = 1
2 und K = √ γ + a erfüllt. Die eindeutige
starke Lösung X hat offenbar die Eigenschaft, nichtnegativ zu bleiben, wenn
X0 ≥ 0 ist. (Tatsächlich kann man sogar zeigen dass Xt > 0 für alle t>0 gilt,
falls 2ab/γ ≥ 1, und dass Xt die Null mit Wahrscheinlichkeit 1 beliebig häufig
trifft, falls 2ab/γ < 1. Siehe etwa [78, Beispiel IV.8.2, Seite 237]. Vergleiche Beispiel
26.16.)
Dieser Prozess wird je nach Kontext gelegentlich als Feller’sche Verzweigungsdiffusion
mit Immigration oder als Cox-Ingersoll-Ross Modell für die zeitliche
Entwicklung von Zinsraten bezeichnet.
Wir berechnen für den Fall a = b =0mit der Itô-Formel, dass
e −λXt − e −λx − γ λ2
2
� t
e
0
−λXs � t
Xs ds = λ
0
e −λXs
�
γXs dWs

1.5
1
0.5
0
26.1 Starke Lösungen 559
5 10 15 20 25 30
Abb. 26.1. Cox-Ingersoll-Ross Diffusion mit Parametern γ =1, b =1und a =0.3. Der
Pfad trifft die Null immer wieder, da 2ab/γ =0.6 < 1 ist.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
5 10 15 20 25 30
Abb. 26.2. Cox-Ingersoll-Ross Diffusion mit Parametern γ =1, b =1und a =2.DerPfad
trifft die Null nie, da 2ab/γ =4≥ 1 ist.
ein Martingal ist. Indem wir Erwartungswerte bilden, erhalten wir für die Laplace-
Transformierte ϕ(t, λ, x) =Ex[e −λXt ] die Differentialgleichung
d
λ2
ϕ(t, λ, x) =γ
dt 2 E�Xt e −λXt� = − γλ2
2
d
ϕ(t, λ, x).
dλ
Diese partielle Differentialgleichung hat mit dem Anfangswert ϕ(0,λ,x)=e −λx
die eindeutige Lösung

560 26 Stochastische Differentialgleichungen
�
λ
ϕ(t, λ, x) =exp −
(γ/2)λt +1 x
�
.
Dies ist aber (für γ =2) genau die Laplace-Transformierte der Übergangswahrscheinlichkeiten
des Markov-Prozesses, den wir in Satz 21.48 definiert hatten und
den wir im Satz von Lindvall (Satz 21.51) als Grenzwert von reskalierten Galton-
Watson Verzweigungsprozessen kennen gelernt haben. ✸
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem
Im letzten Abschnitt haben wir starke Lösungen der stochastischen Differentialgleichung
dXt = σ(t, Xt) dWt + b(t, Xt) dt (26.15)
kennen gelernt. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass jedem Pfad der Brown’schen
Bewegung W genau ein Pfad der Lösung X zugeordnet wird. Wir wollen nun zum
Begriff der schwachen Lösung kommen, bei der zusätzliche Information (das heißt
zusätzlicher Zufall) in die Lösung mit eingehen kann.
Definition 26.12 (Schwache Lösung einer SDGL). Eine schwache Lösung von
(26.15) mit Startverteilung μ ∈M1(R n ) ist ein Tripel
wobei gilt:
L = � (X, W), (Ω,F, P), F � ,
– (Ω,F, P) ist ein Wahrscheinlichkeitsraum,
– F = (Ft)t≥0ist eine Filtration auf (Ω,F, P), die die üblichen Bedingungen
erfüllt,
– W ist eine Brown’sche Bewegung auf (Ω,F, P) und bezüglich F ein Martingal.
– X ist stetig und adaptiert (also progressiv messbar),
– P ◦ (X0) −1 = μ,
– sowie
Xt = X0 +
� t
0
σ(s, Xs) dWs +
� t
0
b(s, Xs) ds P-f.s. (26.16)
Eine schwache Lösung L heißt (schwach) eindeutig, falls für jede weitere Lösung
L ′ mit Startverteilung μ gilt: P ′ ◦ (X ′ ) −1 = P ◦ X −1 .
Bemerkung 26.13. Offenbar ist eine schwache Lösung einer SDGL stets eine verallgemeinerte
n-dimensionale Diffusion. Sind die Koeffizienten σ und b unabhängig
von t,soistdieLösung eine n-dimensionale Diffusion. ✸

26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 561
Bemerkung 26.14. Offenbar wird durch jede starke Lösung von (26.15) eine schwache
Lösung definiert. Die Umkehrung ist falsch, wie wir im folgenden Beispiel sehen
werden. ✸
Beispiel 26.15. Betrachte die SDGL (mit Startwert X0 =0)
dXt =sign(Xt) dWt, (26.17)
wobei sign = (0,∞) − (−∞,0) die Vorzeichenfunktion ist. Es gilt genau dann
wenn
� t
Wt =
0
Xt = X0 +
dWs =
� t
0
� t
0
sign(Xs) dWs für alle t ≥ 0, (26.18)
sign(Xs) dXs für alle t ≥ 0. (26.19)
Folgendermaßen gelangen wir zu einer schwachen Lösung von (26.17). Sei X
eine Brown’sche Bewegung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F, P) und
F = σ(X). Definieren wir W durch (26.19), dann ist W ein stetiges F-Martingal
mit quadratischer Variation
〈W 〉t =
� 1
0
(sign(Xs)) 2 ds = t.
Nach der Lévy’schen Charakterisierung (Satz 25.28) ist W damit eine Brown’sche
Bewegung. Also ist ((X, W), (Ω,F, P), F) eine schwache Lösung von (26.3).
Um zu zeigen, dass es keine starke Lösung gibt, nehmen wir eine beliebige schwache
Lösung her und zeigen, dass X nicht an σ(W ) adaptiert ist. Da X nach
(26.18) ein stetiges Martingal mit quadratischer Variation 〈X〉t = t ist, ist X eine
Brown’sche Bewegung.
Seien Fn ∈ C 2 (R) konvexe gerade Funktionen mit Ableitungen F ′ n und F ′′
n , sodass
�
sup �Fn(x) −|x|
x∈R
� � n→∞
−→ 0,
|F ′ n(x)| ≤1 für alle x ∈ R und F ′ n(x) =sign(x) für |x| > 1
n . Insbesondere gilt
� t
und damit � t
F ′ n(Xs) dXs
0
0
� F ′ n(Xs) − sign(Xs) � 2 ds n→∞
−→ 0 f.s.
n→∞
−→
� t
0
sign(Xs) dXs in L 2 . (26.20)
Indem wir gegebenenfalls zu einer Teilfolge übergehen, können wir annehmen, dass
in (26.20) fast sichere Konvergenz gilt.

562 26 Stochastische Differentialgleichungen
Weil F ′′
n gerade ist, gilt
� t
Wt =
0
sign(Xs) dXs = lim
� t
F
n→∞
0
′ n(Xs) dXs
�
= lim Fn(Xt) − Fn(0) −
n→∞
1
2
1
= |Xt|− lim
n→∞ 2
� t
0
� t
0
F ′′
n (|Xs|) ds.
F ′′
�
n (Xs) ds
Da die rechte Seite nur von |Xs|, s ∈ [0,t] abhängt, ist W an G := (σ(|Xs| : s ∈
[0,t])) adaptiert. Also ist σ(W ) ⊂ G�σ(X), und damit ist X nicht an σ(W )
adaptiert. ✸
Beispiel 26.16. Sei n ∈ N und B =(B 1 ,...,B n ) eine n-dimensionale Brown’sche
Bewegung mit Start in y ∈ R n . Setze x := �y� 2 , Xt := �Bt� 2 =(B 1 t ) 2 + ...+
(B n t ) 2 und
n�
� t
1
Wt := √ B
i=1 0 Xs
i s dB i s.
Dann ist W ein stetiges lokales Martingal mit 〈W 〉t = t für jedes t ≥ 0 und
� t �
Xt = x + nt + Xs dWs.
Das heißt, (X, W) ist eine schwache Lösung der SDGL dXt = √ 2Xt dWt + ndt.
X wird auch n-dimensionaler Bessel-Prozess genannt. Nach Satz 25.41 trifft B
(und damit X) den Ursprung für ein t>0 genau dann, wenn n =1ist. Offenbar
kann man X auch für nicht-ganzzahlig n ≥ 0 definieren. Man kann zeigen, dass X
genau dann die Null trifft, wenn n ≤ 1 ist. Vergleiche Beispiel 26.11. ✸
Für den Zusammenhang von Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen
und starken Lösungen zitieren hier lediglich den Satz von Yamada und Watanabe.
Definition 26.17 (Pfadweise Eindeutigkeit). Wir sagen, dass die Lösung der SDGL
(26.15) mit Startverteilung μ pfadweise eindeutig ist, falls für jedes μ ∈M1(R n )
und je zwei schwache Lösungen (X, W) und (X ′ ,W) auf dem selben Raum
(Ω,F, P) mit der selben Filtration F gilt: P[Xt = X ′ t für alle t ≥ 0] = 1.
Satz 26.18 (Yamada und Watanabe). Es sind äquivalent:
(i) Die SDGL (26.15) hat eine eindeutige starke Lösung.
(ii) Für jedes μ ∈M1(Rn ) hat (26.15) eine schwache Lösung, und es gilt pfadweise
Eindeutigkeit.
Gelten (i) und (ii), so ist die Lösung schwach eindeutig.
0

26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 563
Beweis. Siehe [161], [140, Seite 151ff] oder [78, Seite 163ff]. ✷
Beispiel 26.19. Sei X eine schwache Lösung von (26.17). Dann ist auch −X eine
schwache Lösung, das heißt, es gilt keine pfadweise Eindeutigkeit (obwohl man
zeigen kann, dass die Lösung schwach eindeutig ist, siehe Satz 26.25). ✸
Wir betrachten den eindimensionalen Fall m = n =1.IstX eine Lösung (stark
oder schwach) von (26.15), so ist
Mt := Xt −
� t
0
b(s, Xs) ds
ein stetiges lokales Martingal mit quadratischer Variation
〈M〉t =
� t
0
σ 2 (s, Xs) ds.
Wir werden sehen, dass hierdurch eine schwache Lösung von (26.15) charakterisiert
ist (jedenfalls unter milden Wachstumsbedingungen and σ und b).
Sei für alle t ≥ 0 und x ∈ Rn die n×n Matrix a(t, x) symmetrisch und nichtnegativ
definit, und sei (t, x) ↦→ a(t, x) messbar.
Definition 26.20. Wir sagen, dass ein n-dimensionaler stetiger Prozess X eine
Lösung des lokalen Martingalproblems zu a und b mit Startverteilung μ ∈M1(Rn )
(kurz: LMP(a, b, μ)) ist, falls P ◦ X −1
0 = μ ist und für jedes i =1,...,n
M i t := X i � t
t −
0
bi(s, Xs) ds, t ≥ 0,
ein stetiges lokales Martingal ist mit quadratischer Kovariation
〈M i ,M j � t
〉t =
0
aij(s, Xs) ds für alle t ≥ 0, i,j=1,...,n.
Wir sagen, dass die Lösung von LMP(a, b, μ) eindeutig ist, wenn für je zwei
Lösungen X und X ′ gilt: P ◦ X −1 = P ◦ (X ′ ) −1 .
Mit σ T bezeichnen wir die transponierte Matrix zu σ. Offenbar ist a = σσ T dann
eine nichtnegativ semidefinite symmetrische n × n Matrix.
Satz 26.21. X ist genau dann eine Lösung von LMP(σσ T ,b,μ), wenn es (gegebenenfalls
auf einer Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsraums) eine Brown’sche
Bewegung W gibt, sodass (X, W) eine schwache Lösung von (26.15) ist.
Insbesondere existiert genau dann eine eindeutige schwache Lösung der SDGL
(26.15) mit Startverteilung μ, wennLMP(σσ T ,b,μ) eindeutig lösbar ist.

564 26 Stochastische Differentialgleichungen
Beweis. Wir zeigen die Aussage nur für den Fall m = n =1. Der allgemeine Fall
erfordert ein paar Betrachtungen über Wurzeln von nichtnegativ semidefiniten symmetrischen
Matrizen, die jedoch für die Stochastik keine tiefere Einsicht bringen.
Wir verweisen hier lediglich auf [86, Proposition 5.4.6].
” ⇐= “ Ist (X, W) eine schwache Lösung, dann löst X nach Korollar 25.19 das
lokale Martingalproblem.
” =⇒ “ Sei X eine Lösung von LMP(σ2 ,b,μ). Nach Satz 25.29 existiert auf einer
Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsraums eine Brown’sche Bewegung ˜ �
W , sodass
�σ(s, Xs) � � d ˜ Ws gilt. Setzen wir
Mt = � t
0
� t
Wt :=
0
sign(σ(s, Xs)) d ˜ Ws,
so ist Mt = � t
0 σ(s, Xs) dWs, also (X, W) eine schwache Lösung von (26.15). ✷
Ein lokales Martingalproblem ist in gewissem Sinne eine sehr natürliche Art und
Weise, um eine stochastische Differentialgleichung zu schreiben, nämlich als:
X hat lokal die Ableitung (Drift) b und zusätzlich zufällige normalverteilte
Fluktuationen von der Größenordnung σ.
Eine konkrete Brown’sche Bewegung taucht hier gar nicht mehr auf, und bei den
meisten Problemen ist ihr Auftreten auch eher artifiziell. Genau wie man bei der
Beschreibung von Markovketten meist nur die Übergangswahrscheinlichkeiten angibt,
nicht aber die konkrete Realisierung, wie dies etwa in Satz 17.17 beschrieben
wird, möchte man bei vielen stetigen (Zeit und Ort) Prozessen nur die Größe der
Fluktuationen angeben, nicht aber eine konkrete Realisierung.
Technisch gesehen ist die Formulierung von stochastischen Differentialgleichungen
als lokale Martingalprobleme sehr bequem, weil sie Zugang zu einer Reihe von
Techniken schafft wie Martingalungleichungen und Approximationssätze für Martingale,
mit denen sich Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen etablieren lässt.
Wir zitieren hier nur zwei wichtige Ergebnisse.
Satz 26.22 (Existenz von Lösungen). Es seien (t, x) ↦→ b(t, x) und (t, x) ↦→
a(t, x) stetig und beschränkt. Dann existiert für jedes μ ∈M1(R n ) eine Lösung
X des LMP(a, b, μ).
Beweis. Siehe [140, Theorem V.23.5]. ✷
Definition 26.23. Wir sagen, dass das LMP(a, b) gut gestellt ist, wenn es für jedes
x ∈ R n eine eindeutige Lösung X von LMP(a, b, δx) gibt.
Bemerkung 26.24. Erfüllen σ und b die Lipschitzbedingungen wie in Satz 26.8, so
ist das LMP(σσ T ,b) gut gestellt. Dies folgt aus Satz 26.8 und Satz 26.18. ✸

Im Folgenden gelte stets:
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 565
(t, x) ↦→ σ(t, x) bzw. (t, x) ↦→ a(t, x) ist beschränkt auf kompakten Mengen.
(26.21)
Diese Bedingung sichert die Äquivalenz des lokalen Martingalproblems zu dem
etwas gebräuchlicheren Martingalproblem (siehe [86, Proposition 5.4.11]).
Satz 26.25 (Eindeutigkeit im Martingalproblem). Es gelte (26.21).Für jedes x ∈
R n existiere eine Lösung X x von LMP(a, b, δx), deren Verteilung wir mit Px :=
P ◦ (X x ) −1 bezeichnen.
Für je zwei Lösungen X x und Y x von LMP(a, b, δx) gelte
P ◦ (X x T ) −1 = P ◦ (Y x T ) −1
für jedes T ≥ 0. (26.22)
Dann ist LMP(a, b) gut gestellt, und der kanonische Prozess X ist ein starker Markovprozess
bezüglich (Px, x∈ R n ).Ista = σσ T ,soistX unter Px die eindeutige
schwache Lösung der SDGL (26.15).
Beweis. Siehe [48, Theorem 4.4.1 und Problem 49] und [86, Proposition 5.4.11].✷
Eine wesentliche Stärke dieses Satzes liegt darin, dass wir die Eindeutigkeit nicht
des gesamten Prozesses, sondern in (26.22) nur der eindimensionalen Randverteilungen
prüfen müssen. Wir werden in Abschnitt 26.3 Beispiele dafür angeben, wie
dies ausgenutzt werden kann.
Die Frage nach der Existenz von Lösungen einer stochastischen Differentialgleichung
(oder äquivalent: eines lokalen Martingalproblems) ist leichter zu beantworten
als die Frage nach der Eindeutigkeit von Lösungen. Wir wissen bereits, dass
Eindeutigkeit unter Lipschitzbedingungen an die Koeffizienten b und σ (nicht σσT !)
gilt (nach Satz 26.8 und Satz 26.18), da hier starke Eindeutigkeit der Lösungen gilt.
Eine vielleicht auf den ersten Blick verwirrende Erkenntnis ist, dass der Zufall stabilisierend
wirken kann, dass also eine deterministische Differentialgleichung, deren
Lösung nicht eindeutig ist, durch stochastische Störterme eindeutig lösbar werden
kann. Dazu folgendes eindimensionale Beispiel:
dXt =sign(Xt) |Xt| 1/3 dt + σdWt, X0 =0. (26.23)
Ist σ = 0, so haben wir es mit einer deterministischen Differentialgleichung zu
tun, die ein Kontinuum von Lösungen mit Parametern v ∈{−1, +1} und T ≥ 0
hat, nämlich Xt = v 2 √ 2(t − T ) 3/2 {t>T }. Ist σ > 0, so wird die Instabilität
der Gleichung (26.23) an x =0durch Verrauschen aufgelöst. Wir zitieren hier den
folgenden Satz für den zeitunabhängigen Fall aus [140, Satz V.24.1] (siehe auch
[149, Kapitel 10]).

566 26 Stochastische Differentialgleichungen
Satz 26.26 (Stroock-Varadhan). Sei aij : R n → R stetig und bi : R n → R
messbar für i, j =1,...,n. Es gelte
(i) a(x) =(aij(x)) ist symmetrisch und strikt positiv definit für jedes x ∈ Rn ,
(ii) es gibt ein C 0 und jedes beschränkte,
messbare f : R n → R.
Konkrete Beispiele geben wir in Abschnitt 26.3 an. Wir wollen hier nur festhalten,
dass wir eine spezielle Methode entwickelt haben, um Markovprozesse zu konstruieren,
nämlich als Lösung einer stochastischen Differentialgleichung oder eines lokalen
Martingalproblems. Im Rahmen von Modellen in diskreter Zeit haben wir in
Kapitel 17.2 und speziell in Übung 17.2.1 bereits Markovketten als Lösungen von
Martingalproblemen charakterisiert. Dass dort die Angabe der Drift und der quadratischen
Variation ausreichte, um den Prozess eindeutig zu bestimmen, lag daran,
dass wir die Möglichkeiten für das Ziel eines Schrittes auf drei Punkte begrenzt
hatten. Hier hingegen ist die entscheidende Begrenzung die Stetigkeit der Prozesse.
Übung 26.2.1. Sei der zeithomogene eindimensionale Fall (m = n =1) betrachtet.
Seien σ und b so, dass es für jedes X0 ∈ R eine eindeutige schwache Lösung von
−∞
dXt = σ(Xt) dWt + b(Xt) dt
existiert und ein starker Markovprozess ist. Ferner gebe es ein x0 ∈ R mit
� ∞
1
C :=
σ2 (x) exp
�� x
2b(r)
σ2 (r) dr
�
dr < ∞.
(i) Man zeige: Das Maß π ∈M1(R) mit Dichte
x0
π(dx)
dx = C−1 1
σ 2 (x) exp
�� x
x0
2b(r)
σ2 (r) dr
�
ist eine invariante Verteilung für X.
(ii) Für welche Werte von b hat der Ornstein-Uhlenbeck Prozess dXt = σdWt +
bXt dt eine invariante Verteilung? Man bestimme diese Verteilung und vergleiche
das Ergebnis mit dem, was nach expliziter Rechnung mit der Darstellung
in (26.3) zu erwarten war.
(iii) Man bestimme die invariante Verteilung der Cox-Ingersoll-Ross SDGL (26.14)
(alias Feller’sche Verzweigungsdiffusion).

26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 567
(iv) Seien γ,c > 0 und θ ∈ (0, 1). Man zeige, dass die invariante Verteilung der
Lösung X der folgenden SDGL auf [0, 1]
dXt = � γXt(1 − Xt) dWt + c(θ − Xt) dt
gegeben ist durch die Betaverteilung β 2cγ/θ, 2cγ/(1−θ). ♣
Übung 26.2.2. Sei γ>0. Seien X 1 und X 2 Lösungen von dX i t = � γX i t dW i t ,
wo W 1 und W 2 zwei unabhängige Brown’sche Bewegungen sind, mit Startwerten
X 1 0 = x 1 0 > 0 und X 2 0 = x 2 0 > 0. Man zeige, dass Z := X 1 + X 2 eine schwache
Lösung ist von Z0 =0und dZt = √ γZt dWt. ♣
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität
Mit dem Satz von Stroock und Varadhan haben wir ein starkes Kriterium für die
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen.
In vielen Fällen ist jedoch gerade die Bedingung der lokal gleichgradigen Elliptizität
von a (Bedingung (i) in Satz 26.26) nicht erfüllt. Dies trifft insbesondere
dann zu, wenn die Lösungen nur auf Teilmengen von Rn definiert sind.
Wir werden hier ein mächtiges Hilfsmittel kennen lernen, das in vielen Spezialfällen
schwache Eindeutigkeit von Lösungen sichert.
Definition 26.27 (Dualität). Seien X =(X x ,x∈ E) und Y =(Y y ,y∈ E ′ ) Familien
von stochastischen Prozessen mit Werten in den Räumen E beziehungsweise
E ′ und so, dass X x 0 = x f.s. und Y y
0 = y f.s. für alle x ∈ E und y ∈ E′ .Wirsagen,
dass X und Y dual zueinander sind mit Dualitätsfunktion H : E × E ′ → C,
falls für alle x ∈ E, y ∈ E ′ und t ≥ 0 die Erwartungswerte E � H(X x t ,y) � und
E � H(x, Y y
t ) � existieren und gleich sind:
E � H(X x t ,y) � = E � H(x, Y y
t ) � .
Wir nehmen im Folgenden an, dass σij : R n → R und bi : R n → R beschränkt auf
kompakten Mengen sind für alle i =1,...,n, j =1,...,m. Wir betrachten die
zeithomogene stochastische Differentialgleichung
dXt = σ(Xt) dWt + b(Xt) dt. (26.24)
Satz 26.28 (Eindeutigkeit via Dualität). Für jedes x ∈ R n existiere eine Lösung
des lokalen Martingalproblems zu (σσ T ,b,δx). Es gebe eine Familie (Y y ,y∈ E ′ )
von Markovprozessen mit Werten in dem Messraum (E ′ , E ′ ) und eine messbare Ab-
bildung H : R n × E ′ → C, sodass für jedes y ∈ E ′ , x ∈ R n und t ≥ 0 der Erwar-
tungswert E[H(x, Y y
t )] existiert und endlich ist. Ferner sei (H( · ,y), y∈ E ′ ) eine
trennende Funktionenklasse für M1(R n ) (siehe Definition 13.9).

568 26 Stochastische Differentialgleichungen
Für jedes x ∈ R n und jede Lösung X x von LMP(σσ T ,b,δx) gelte die Dualitätsgleichung
E[H(X x t ,y)] = E[H(x, Y y
t )] für alle y ∈ E ′ ,t≥ 0. (26.25)
Dann ist das lokale Martingalproblem zu (σσ T ,b) gut gestellt, also besitzt (26.24)
eine eindeutige schwache Lösung und diese ist ein starker Markovprozess.
Beweis. Nach Satz 26.25 reicht es zu prüfen, dass für jedes x ∈ R n , jede Lösung
X x von LMP(σσ T ,b,δx) und jedes t ≥ 0 die Verteilung P ◦ (X x t ) −1 eindeutig
ist. Da (H( · ,y), y∈ E ′ ) eine trennende Funktionenklasse ist, folgt dies aber aus
(26.16). ✷
Beispiel 26.29 (Wright-Fisher Diffusion). Betrachte die Wright-Fisher SDGL
dXt = [0,1](Xt) � γXt(1 − Xt) dWt, (26.26)
wobei γ > 0 ein Parameter ist. Nach Satz 26.22 existiert für jedes x ∈ R eine
schwache Lösung ( ˜ X,W) von (26.26). ˜ X ist ein stetiges lokales Martingal mit
quadratischer Variation
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
� �
˜X
t =
� t
0
γ ˜ Xs(1 − ˜ Xs) [0,1]( ˜ Xs) ds.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Abb. 26.3. Simulation einer Wright-Fisher Diffusion mit Parameter γ =1.
Sei τ := inf{t >0: ˜ Xt �∈ [0, 1]} und X := ˜ Xτ der in τ gestoppte Prozess. Dann
ist X ein stetiges, beschränktes Martingal mit
〈X〉t =
� t
0
γXs(1 − Xs) [0,1](Xs) ds,

26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 569
also ist (X, W) eine Lösung von (26.26). Nach Konstruktion ist Xt ∈ [0, 1] für alle
t ≥ 0, falls X0 = ˜ X0 ∈ [0, 1] ist.
Sei τ ′ := inf{t >0: ˜ Xt ∈ [0, 1]}. Ist ˜ X0 �∈ [0, 1], soistτ ′ > 0, weil ˜ X stetig ist.
Weil ˜ ′
τ X
ein stetiges lokales Martingal ist mit � ˜ X τ ′� ≡ 0, ist ˜ X τ ′
t = ˜ X0 für alle
t ≥ 0. Daraus folgt aber, dass ˜ Xt = ˜ X0 ist für alle t0 und t ≥ 0 gilt wegen der Markov-Eigenschaft von Y
g x,n � � � � Yt+h
Yt (t + h) =En x = En EYh x ��
=
=
n�
m=1
� Yt Pn[Yh = m] Em x �
n�
Pn[Yh = m] g x,m (t).
m=1

570 26 Stochastische Differentialgleichungen
Es folgt
d
dt gx,n �
−1
(t) = lim h g
h↓0 x,n (t + h) − g x,n �
(t)
n�
Pn[Yh = m] � g x,m (t) − g x,n �
(t)
= lim
h↓0 h −1
=
m=1
n�
q(n, m) g x,m (t)
m=1
� �
n
�
= γ g
2
x,n−1 (t) − g x,n �
(t) .
(26.29)
Offenbar ist g x,1 (t) =x für alle x ∈ [0, 1] und t ≥ 0 und g x,n (0) = x n . Das heißt,
g x,n löst (26.28), und daher gilt (26.27).
Nach Satz 15.4 ist die Familie (H( · ,n), n ∈ N) ⊂ C([0, 1]) trennend für
M1([0, 1]), also sind die Bedingungen von Satz 26.28 erfüllt, und X ist die eindeutige
schwache Lösung von (26.26) und ist ein starker Markovprozess. ✸
Bemerkung 26.30. Das Martingalproblem für die Wright-Fisher Diffusion sieht
fast genauso aus wie das diskrete Martingalproblem für das Moran-Modell (siehe
Beispiel 17.22) M N =(M N n )n∈N0 mit Populationsgröße N: M N ist ein Martingal
mit Werten in der Menge {0, 1/N,...,(N − 1)/N, 1} quadratischem Variations-
prozess
� M N �
n
2
=
N 2
n−1 �
k=0
M N k
� � N
1 − Mk .
In jedem Schritt kann M N nur entweder am Ort bleiben oder um 1/N nach oben
oder unten springen. In Übung 17.2.1 hatten wir gesehen, dass dadurch der Prozess
M N schon eindeutig beschrieben ist. Man kann zeigen, ähnlich wie in Satz 21.51
für Verzweigungsprozesse, dass die zeitlich reskalierten Moran-Prozesse ˜ M N t =
M N ⌊N 2t⌋ gegen die Wright-Fisher Diffusion mit γ =2konvergieren. Die Wright-
Fisher Diffusion tritt also als Limes-Modell eines genealogischen Modells auf und
beschreibt die Genfrequenz (das heißt, den relativen Anteil) eines bestimmten Allels
in einer Population, die durch die Generationenfolge in zufälliger Weise fluktuiert.
✸
Beispiel 26.31 (Feller’sche Verzweigungsdiffusion). Sei (ZN n )n∈N0 ein Galton-
Watson Verzweigungsprozess mit kritischer, geometrischer Nachkommenverteilung
pk =2−k−1 , k ∈ N0 und ZN 0 = N für jedes N ∈ N. DannistZNein diskretes
Martingal, und es gilt
��ZN E n − Z N � � �
2 ��Z N
n−1 n−1 = Z N n−1
� ∞ �
k=0
pk k 2 �
− 1 =2Z N n−1.

3
2
1
0
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 571
1 2 3 4 5
Abb. 26.4. Simulation einer Feller’schen Verzweigungsdiffusion mit Parameter γ =1.
Daher hat Z N die quadratische Variation
Sei nun
〈Z N n−1 �
〉n =
k=0
2Z N k .
Z N t := � t − N −1 � �
⌊tN⌋ Z N ⌊tN⌋+1 − ZN �
⌊tN⌋ + 1
n ZN ⌊tN⌋
eine linear interpolierte Version von N −1Z N ⌊tN⌋ . Nach dem Satz von Lindvall
N N→∞
(Satz 21.51) gibt es einen stetigen Markovprozess Z, sodass Z −→ Z in Verteilung
gilt. Da man zeigen kann, dass auch die Momente konvergieren, gilt, dass Z
ein stetiges Martingal ist und quadratische Variation
〈Z〉t =
� t
0
2Zs ds
hat. Tatsächlich hatten wir in Beispiel 26.11 bereits gezeigt, dass Z die Lösung der
SDGL
dZt = � 2Zt dWt
(26.30)
mit Start in Z0 =1ist. Dort hatten wir auch gezeigt, dass Z dual ist zu Y y
t =
� tγ
2
�−1 1 + y
mit H(x, y) =e−xy . Hieraus folgt die Eindeutigkeit der Lösung von
(26.30) und die starke Markoveigenschaft von Z. ✸
Man kann einwenden, dass in den Beispielen 26.29 und 26.31 nur eindimensionale
Situationen betrachtet wurden, für die wir nach dem Satz von Yamada-
Watanabe (Satz 26.10) sowieso schon um die Eindeutigkeit sogar einer starken

572 26 Stochastische Differentialgleichungen
Lösung wissen. Die wahre Stärke der Methode der Dualität kann sich also erst in
höherdimensionalen Problemen entfalten. Hierzu betrachten wir als Beispiel eine
Erweiterung von Beispiel 26.29.
Beispiel 26.32 (Wechselwirkende Wright-Fisher Diffusionen).
Die Wright-Fisher Diffusion aus Beispiel 26.29 beschreibt die Fluktuationen der
Genfrequenz eines Allels in einer großen Population. Wir wollen nun mehrere Populationen
betrachten, die auf den Punkten i ∈ S := {1,...,N} leben, und miteinander
durch Migration, die durch Wechselwirkungsraten r(i, j) ≥ 0 quantifiziert
wird, in Wechselwirkung stehen. Als Modell für die Genfrequenzen Xt(i)
am Ort i zur Zeit t stellen wir daher die folgende N-dimensionale SDGL für
X =(X(1),...,X(N)) auf:
dXt(i) = � γXt(i)(1 − Xt(i)) dW i N�
t + r(i, j) � Xt(j) − Xt(i) � dt. (26.31)
Dabei ist W =(W 1 ,...,W N ) eine N-dimensionale Brown’sche Bewegung. Diese
SDGL hat nach Satz 26.22 schwache Lösungen, jedoch greift keines unserer
allgemeinen Kriterien für schwache Eindeutigkeit. Wir werden daher die schwache
Eindeutigkeit vermittels Dualität zeigen.
Es ist, ähnlich wie in Beispiel 26.29, nicht schwer zu zeigen, dass Lösungen von
(26.31), die in X0 = x ∈ E := [0, 1] S starten, in [0, 1] S bleiben. Die Diagonalterme
r(i, i) tauchen in (26.31) nicht auf, daher können wir sie noch beliebig festsetzen
und wählen r(i, i) = − �
j�=i r(i, j). SeiY = (Yt)t≥0 der Markovprozess auf
E ′ := SN0 mit der folgenden Q-Matrix
⎧
j=1
ϕ(i) r(i, j), falls η = ϕ − {i} + {j} für
gewisse i, j ∈ S, i �= j,
⎪⎨
q(ϕ, η) =
γ
⎪⎩
� � ϕ(i)
2 , falls η = ϕ − {i} für ein i ∈ S,
� �
ϕ(i)r(i, i) − γ
i∈S
� � ϕ(i)
2
�
, falls η = ϕ,
0, sonst.
Dabei bezeichnet ϕ ∈ E ′ einen generischen Zustand mit ϕ(i) Teilchen am Ort
i ∈ S, und {i} ∈ E ′ bezeichnet den Zustand mit genau einem Teilchen am Ort
i. Der Prozess Y beschreibt ein System von Teilchen, die unabhängig voneinander
mit Rate r(i, j) vom Ort i zum Ort j springen. Sind mehrere Teilchen an einem Ort
i, so verschmilzt jedes der � � ϕ(i)
2 Paare von Teilchen mit der selben Rate γ zu einem
Teilchen. Die gängige genealogische Interpretation dieses Prozesses ist, dass er (in
umgekehrter Zeit) die Ahnenlinien einer Stichprobe von je Y0(i) Individuen ein den
Orten i ∈ S, beschreibt. Durch Migration wechseln die Linien den Ort. Haben zwei
Individuen den selben Vorfahren, so verschmelzen zwei Linien. Offenbar ist für
einen gemeinsamen Vorfahren notwendig aber nicht hinreichend, dass beide Linien
am selben Ort sind.

26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 573
Für x ∈ R n und ϕ ∈ E ′ schreiben wir x ϕ := �
i∈S x(i)ϕ(i) . Wir zeigen, dass X
und Y dual zueinander sind mit der Dualitätsfunktion H(x, ϕ) =x ϕ :
Ex[X ϕ
t ]=Eϕ[x Yt ] für alle ϕ ∈ S N0 ,x∈ [0, 1] S ,t≥ 0. (26.32)
Sei mx,ϕ (t) :=Ex[X ϕ
t ] und gx,ϕ (t) :=Eϕ[xYt ]. Offenbar hat H die Ableitungen
∂iH( · ,ϕ)(x) =ϕ(i)xϕ− {i} und ∂i∂iH( · ,ϕ)(x) =2 � � ϕ(i) ϕ−2
2 x {i}. Nach der
Itô-Formel ist
X ϕ
t − X ϕ
0 −
� t
0
�
ϕ(i)r(i, j) � Xs(j) − Xs(i) � X ϕ− {i}
ds
i,j∈S
− �
i∈S
� t
0
t
� �
ϕ(i) �Xs(i)(1 γ
− Xs(i))
2
� X ϕ−2 {i}
s ds
ein Martingal. Indem wir Erwartungswerte bilden, erhalten wir ein System von linearen
Integralgleichungen
m x,0 (t) =1
m x,ϕ (t) =x ϕ � t �
+
0
i,j∈S
� t
+
0
�
ϕ(i)r(i, j) m x,ϕ+ �
{j}− {i}(s) x,ϕ
− m (s) ds
γ �
� �
ϕ(i)
�
m
2
x,ϕ− �
{i} x,ϕ
(s) − m (s) ds.
i∈S
(26.33)
Dieses System von Gleichungen lässt sich per Induktion über n = �
i∈I ϕ(i)
eindeutig lösen. Wir wollen die Lösung jedoch nicht explizit ausrechnen, sondern
nur zeigen, dass sie mit g x,ϕ (t) übereinstimmt, indem wir zeigen, dass g ein
äquivalentes System von Differentialgleichungen löst.
Für g erhalten wir wie in (26.29)
d
dt gx,ϕ (t) = �
η∈E ′
q(ϕ, η) g x,ϕ (t)
= � �
r(i, j) g x,ϕ+ �
{j}− {i}(t) x,ϕ
− g (t)
i,j∈S
+ �
� �
ϕ(i)
�
γ g
2
x,ϕ− �
{i} x,ϕ
(t) − g (t) .
i∈S
(26.34)
Zusammen mit dem Startwert g x,0 (t) =1und g x,ϕ (0) = x ϕ ist das System (26.34)
von Differentialgleichungen äquivalent zu (26.33). Also gilt die Dualität (26.32),
und damit ist die SDGL (26.31) eindeutig schwach lösbar. (Tatsächlich kann man
zeigen, dass es eine eindeutige starke Lösung gibt, sogar wenn S abzählbar unendlich
ist und r gewisse Regularitätsannahmen erfüllt, beispielsweise die Q-Matrix
einer Irrfahrt auf S = Z d ist, siehe [144].) ✸

574 26 Stochastische Differentialgleichungen
Übung 26.3.1 (Aussterbewahrscheinlichkeit der Feller’schen Verzweigungsdiffusion).
Sei γ > 0 und Z die Lösung von dZt := √ γZt dWt mit Anfangswert
Z0 = z>0. Man zeige mit Hilfe der Dualität
�
Pz[Zt =0]=exp − 2z
�
. (26.35)
γt
Man bestimme mit Hilfe von Lemma 21.44 die Wahrscheinlichkeit, dass ein Galton-
Watson Verzweigungsprozess X mit kritischer, geometrischer Nachkommenverteilung
und X0 = N ∈ N bis zur Zeit n ∈ N ausgestorben ist und vergleiche das
Ergebnis mit (26.35). ♣

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Notation
A
Indikatorfunktion der Menge A
2 Ω Potenzmenge, 1
#A Kardinalität der Menge A
A c Komplement Ω \ A der Menge A ⊂ Ω,1
A ∩ B Schnittmenge
A ∪ B Vereinigungsmenge
A ⊎ B disjunkte Vereinigungsmenge (eigentlich ist hierin eine
Aussage enthalten)
A ⊂ B Aist (nicht notwendigerweise echte) Teilmenge von B
A \ B Differenzmenge
A △ B symmetrische Differenz zweier Mengen, 29
A × B kartesisches Produkt von A und B
A Teilmenge von 2 Ω , typischerweise eine σ-Algebra, 1
A � �
B
Spur-Mengensystem auf B,10
A⊗A ′ Produkt der σ-Algebren A und A, 260
B(E) Borel’sche σ-Algebra von E, 8
Berp
βr,s
bn,p
b − r,p
Bernoulliverteilung, 43
Beta-Verteilung mit Parametern r und s, 46
Binomialverteilung, 44, 289
negative Binomialverteilung, 44, 289
C(E),Cb(E),Cc(E) Raum der stetigen (beschränkten) Funktionen, bzw. mit
kompakten Träger, 236
CqV
Funktionen mit stetiger quadratischer Variation, 467
C Menge der komplexen Zahlen, 78
Caua
Cauchy Verteilung, 289

584 Notation
Cov[X, Y ] Kovarianz der Zufallsvariablen X und Y ,98
CPoiν
δx
zusammengesetzte Poisson-Verteilung, 317
Dirac-Verteilung, 12
E[X] Erwartungswert der Zufallsvariablen X,97
E[X; A] =E[X A], 167
E[X |F] bedingter Erwartungswert, 169
exp θ
F =(Ft)t∈I
Exponentialverteilung, 45, 289
Filtration, 185
f.s, f.ü. fast sicher und fast überall, 31
G(x, y) Greeenfunktion einer Markovkette, 351
Γθ,r Gammaverteilung mit Größenparameter θ > 0 und
Formparameter r>0, 46, 289
γp = b − 1,p
geometrische Verteilung mit Parameter p, 44
ggT(M) größter gemeinsamer Teiler aller m ∈ M ⊂ N, 366
H ·X diskretes stochastisches Integral von H bezüglich X, 192
I Menge der invarianten Verteilungen einer Markovkette,
360
i.i.d. independent and identically distributed, 55
Im(z) Imaginärteil von z ∈ C, 281
λ, λ n Lebesgue-Maß, n-dimensionales, 25
Lip(E) Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf E, 237
L p ,L p Lebesgue’sche Räume p-fach integrierbarer Funktionen,
89, 139, 140
L(X) Verteilung der Zufallsvariablen X
M(E), Mf (E),
M≤1, M1(E) Menge der (endlichen bzw. (Sub-)W-) Maße auf E, 17,
235
Mloc,c
Raum der stetigen lokalen Martingale, 470
μ ⊗ ν Produkt der Maße μ und ν, 27, 264
μ ∗ ν Faltung der Maße μ und ν, 60, 266
μ ⊗n n-faches Produktmaß, 264
μ ∗n n-fache Faltungspotenz, 60
μ ≪ ν μist absolutstetig bezüglich ν, 151

μ ⊥ ν μist singulär bezüglich ν, 151
μ ≈ ν μund ν sind äquivalent, 151
N, N0
N = {1, 2, 3,...}, N0 = N ∪{0}
N μ,σ 2 Normalverteilung, 45, 289
dμ � dν Radon-Nikodym-Ableitung 152
Notation 585
Ω Raum der Elementarereignisse, auf dem P definiert ist
P generisches Wahrscheinlichkeitsmaß
P[A|B], P[A|F] bedingte Wahrscheinlichkeiten, 166, 169
PX = P ◦ X −1 Verteilung der Zufallsvariablen X, 42
Poiλ
Poissonverteilung mit Parameter λ ≥ 0, 45, 289
p n (x, y) =p (n) (x, y) n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten einer Markovkette,
340
P n S,T , Pn T
ϕX
ψX
siehe Seite 467
charakteristische Funktion der Zufallsvariablen X, 288
Erzeugendenfunktion der Zufallsvariablen X, 75
Q Menge der rationalen Zahlen
R Menge der reellen Zahlen
R = R ∪{−∞, +∞} Zweipunktkompaktifizierung der reellen Zahlen
Re(z) Realteil von z ∈ C, 281
sign(x) = (0,∞)(x) − (−∞,0)(x), Vorzeichen von x ∈ R, 37
σ( · ) von · erzeugte σ-Algebra oder Filtration, 6, 34, 185
τ k x
Zeit des k-ten Besuches einer Markovkette in x, 349
T ( · ) terminale σ-Algebra, 61
UA
uniforme Verteilung auf A, 12, 33, 289
u.i.v. unabhängig und identisch verteilt, 55
V 1 (G), V 2 (G) Variation und quadratische Variation von G, 466, 467
Var[X] Varianz der Zufallsvariablen X, 97
〈X〉 quadratischer Variationsprozess von X, 200, 467, 471,
475
f(t) ∼ g(t), t→ a : ⇐⇒ limt→a f(t)/g(t) =1
X ∼ μ Die Zufallsvariable X hat Verteilung μ, 42
x ∨ y, x ∧ y, x + ,x − Maximum, Minimum, Positivteil, Negativteil reeller Zahlen,
37

586 Notation
⌊x⌋, ⌈x⌉ Abgerundetes und Aufgerundetes von x,36
z komplex konjugierte Zahl zu z ∈ C, 281
Z Menge der ganzen Zahlen
D
= Gleichheit in Verteilung, 42
D
−→
n→∞
, n→∞
=⇒ Konvergenz der Verteilungen, 243
n→∞
=⇒
fdd
, n→∞
−→
fdd
Konvergenz der endlichdimensionalen Verteilungen, 453

Glossar englischer Ausdrücke
a.a. = almost all fast alle
a.e. = almost everywhere fast überall
a.s. = almost surely fast sicher
array (of random variables) Schema von Zufallsvariablen
backward martingale Rückwärtsmartingal
bond, edge Kante (eines Graphen)
Brownian motion Brown’sche Bewegung
central limit theorem Zentraler Grenzwertsatz
completion Vervollständigung
compound Poisson zusammengesetzt Poisson
conductivity Leitfähigkeit
continuous stetig
convolution Faltung
decompostition Zerlegung
density Dichte
derivative Ableitung
distribution Verteilung
dominated convergence majorisierte Konvergenz
dynamical system Dynamisches System
expectation (conditional) Erwartungswert (bedingter)
ergodic theorem Ergodensatz
event Ereignis
exchangeable austauschbar
extension theorem Fortsetzungssatz, Erweiterungssatz
flow (electric) Fluss (elektrischer)
iff = if and only if dann und nur dann, wenn
i.i.d. = independent and identically unabhängig und identisch verteilt
distributed
increment Zuwachs
indistinguishable ununterscheidbar
integer (number) ganze Zahl
joint distribution gemeinsame Verteilung
large deviation große Abweichung

588 Glossar englischer Ausdrücke
law Verteilung
level set Niveaumenge
Markov chain Markovkette
(strong) Markov property (starke) Markoveigenschaft
map Abbildung
marginal (distribution) Randverteilung
mean Mittelwert
measurable space Messraum
measure Maß
measure preserving maßerhaltend
mixing mischend
modulus (of a number) Absolutbetrag (einer Zahl)
modulus of continuity Stetigkeitsmodul
null array asymptotisch vernachlässigbares Schema
partition function Zustandssumme
p.d.f. = probability distribution function Verteilungsfunktion
p.g.f. = probability generating function Erzeugendenfunktion
phase transition Phasenübergang
predictable, previsible previsibel, vorhersagbar
probability Wahrscheinlichkeit
random walk Irrfahrt
random variable Zufallsvariable
representation Darstellung
semigroup Halbgruppe
σ-field σ-Algebra
size-biased (sampling) größenverzerrtes Ziehen einer Stichprobe
tight straff
trace Spur
transition kernel Übergangskern
uniform distribution Gleichverteilung
uniformly integrable gleichgradig integrierbar
urn model Urnenmodell
(probability) weight (Wahrscheinlichkeits-)gewicht
vertex Punkt/Knoten eines Graphen
w.p. = with probability

Namensregister
Banach, Stefan, 1892 (Krakau) – 1945
(Lemberg, Ukraine), 147
Bayes, Thomas, 1702 (London) – 1761
(Tunbridge Wells, England), 166
Bernoulli, Jakob, 1654 (Basel) – 1705
(Basel), 18
Bienaymé, Irénée-Jules, 1796 (Paris) – 1878
(Paris), 100
Blackwell, David, 1919, 103
Bochner, Salomon, 1899 (Krakau) – 1982
(Houston, Texas), 298
Boltzmann, Ludwig, 1844 (Wien) – 1906
(Duino bei Triest), 378
Borel, Emile, 1871 (Saint-Affrique,
Frankreich) – 1956 (Paris), 8
Brown, Robert, 1773 (Montrose, Scotland)
– 1858 (London), 436
Cantelli, Francesco Paolo, 1875 (Palermo) –
1966 (Rom), 51
Carathéodory, Constantin, 1873 (Berlin) –
1950 (München), 19
Cauchy, Augustin Louis, 1789 (Paris) –
1857 (bei Paris), 101
Cesàro, Ernesto, 1859 (Neapel) – 1906
(Torre Annunziata, Italien), 62
Chebyshev, Pafnutij Lvovich (Qebyxev,
Pafnuti� Lvoviq), 1821 (Okatavo,
Russland) – 1894 (Sankt Petersburg),
104
Cramér, Harald, 1893 (Stockholm) – 1985
(Stockholm), 312
Curie, Pierre, 1859 (Paris) – 1906 (Paris),
508
Dieudonné, Jean Alexandre 1906 (Lille,
Frankreich) – 1992 (Paris), 282
Dirac, Paul Adrien Maurice, 1902 (Bristol)
– 1984 (Tallahassee, Florida), 12
Dirichlet, Lejeune, 1805 (Düren) – 1859
(Göttingen), 391
Doob, Joseph Leo, 1910 (Cincinnati, Ohio)
– 2004 (Urbana, Illinois), 199
Dynkin, Eugene, 1924 (Sankt Petersburg),
4
Egorov, Dmitrij Fedorovich
(Egorov, Dmitri� Fedoroviq),
1869 (Moskau) – 1931 (Kasan), 130
Esseen, Carl-Gustav, 1918 (Linköping,
Schweden) – 2001 (Uppsala ?), 311
Fatou, Pierre, 1878 (Lorient, Frankreich) –
1929 (Pornichet, Frankreich), 91
Feller, William, 1906 (Zagreb) – 1970 (New
York), 306
Fischer, Ernst, 1875 (Wien) – 1954 (Köln),
147
Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768
(Auxerre, Frankreich) – 1830 (Paris).,
286
Fréchet, Maurice René, 1878 (Maligny,
Frankreich) – 1973 (Paris), 147
Fubini, Guido, 1879 (Venedig) – 1943 (New
York), 264
Galton, Francis, 1822 (bei Birmingham) –
1911 (Grayshott House, England), 81
Gauß, Carl-Friedrich, 1777 (Braunschweig)
– 1855 (Göttingen), 45
Gibbs, Josiah Willard, 1839 (New Haven,
Connecticut) – 1903 (New Haven,
Connecticut), 381
Green, George, 1793 (Nottingham) – 1841
(Nottingham), 351

590 Namensregister
Hahn, Hans, 1879 (Wien) – 1934 (Wien),
156
Helly, Eduard, 1884 (Wien) – 1943
(Chicago), 250
Hesse, Ludwig Otto, 1814 (Königsberg) –
1874 München, 144
Hewitt, Edwin, 1920 (Everett, Washington),
228
Hilbert, David, 1862 (Königsberg) – 1943
(Göttingen), 147
Hopf, Eberhard, 1902 (Salzburg) – 1983,
418
Hölder, Otto Ludwig, 1859 (Stuttgart) –
1937 (Leipzig), 146
Ionescu-Tulcea, Cassius, 1923, 273
Ising, Ernst, 1900 (Köln) – 1988 (Peoria,
Illinois), 377
Itô, Kiyosi, 1915 (Hokusei-cho, Japan),
449
Jensen, Johan Ludwig, 1859 (Nakskov,
Dänemark) – 1925 (Kopenhagen), 144
Jordan, Camille, 1838 (bei Lyon) – 1922
(Paris), 158
Kesten, Harry, 1931, 70
Khinchin, Aleksandr Jakovlevich
(Hinqin, Aleksandr �kovleviq)
1894 (Kondrovo, Russland) – 1959
(Moskau), 320
Kirchhoff, Gustav Robert, 1824 (Königsberg)
– 1887 (Berlin), 394
Kolmogorov, Andrej Nikolaevich
(Kolmogorov, Andre� Nikolaeviq),
1903 (Tambow, Russland) –
1987 (Moskau), 63
Laplace, Pierre-Simon, 1749 (Beaumonten-Auge,
Normandie) – 1827 (Paris),
137
Lebesgue, Henri Léon, 1875 (Beauvais,
Oise, Frankreich) – 1941 (Paris), 18
Legendre, Adrien-Marie, 1752 (Paris) –
1833 (Paris), 491
Levi, Beppo, 1875 (Turin, Italien) – 1961
(Rosario, Santa Fe, Argentinien), 91
Lévy, Paul Pierre, 1886 (Paris) – 1971
(Paris), 296, 480
Lindeberg, Jarl Waldemar, 1876 – 1932,
305
Lipschitz, Rudolph, 1832 (Königsberg) –
1903 (Bonn), 237
Lusin, Nikolai Nikolaevich
(Lusin, Nikola� Nikolaeviq),
1883 (Irkutsk, Russland) – 1950
(Moskau), 238
Lyapunov, Aleksandr Mikhajlovich
(L�punov Aleksandr Miha�loviq),
1857 (Jaroslavl, Russland)
– 1918 (Odessa), 305
Markov, Andrej Andreevich (Markov,
Andre� Andreeviq), 1856 (Ryazan,
Russland) – 1922 (Sankt Petersburg),
104
Menshov, Dmitrij Evgen’evich
(Menxov, Dmitri� Evgenъeviq),
1892 (Moskau) – 1988
(Moskau), 117
Minkowski, Hermann, 1864 (Alexotas, heute:
Kaunas, Litauen) – 1909 (Göttingen),
146
Neumann, John von, 1903 (Budapest) –
1957 (Washington D.C.), 152
Nikodym, Otton Marcin, 1889 (Zablotow,
Galizien, Ukraine) – 1974 (Utica, New
York), 152
Ohm, Georg Simon, 1789 (Erlangen) – 1854
(München), 394
Ornstein, Leonard Salomon, 1880
(Nijmegen) – 1941 (Utrecht), 553
Paley, Raymond E.A.C., 1907 (Bournemouth,
England) – 1933 (Banff, Alberta),
439
Parseval, Marc-Antoine,
1755 (Rosières-aux-Salines, Frankreich)
– 1836 (Paris), 447
Pascal, Blaise, 1623 (Clermont-Ferrand,
Frankreich) – 1662 (Paris), 44
Plancherel, Michel, 1885 (Bussy (Fribourg),
Schweiz) – 1967 (Zürich?), 287
Poisson, Siméon Denis, 1781 (Pithiviers,
Frankreich) – 1840 (bei Paris), 45
Pólya, George, 1887 (Budapest) – 1985
(Palo Alto), 297

Prohorov, Yurij Vasil’evich (Prohorov,
�ri� Vasilьeviq), 1929, 248
Rademacher, Hans, 1892 (Hamburg-
Wandsbek) – 1969 (Haverford,
Pennsylvania), 117
Radon, Johann, 1887 (Tetschen, Böhmen) –
1956 (Wien), 152
Riemann, Georg Friedrich Bernhard, 1826
(Breselenz, Kreis Lüchow-Dannenberg)
– 1866 (Selasca, Italien), 50
Riesz, Frigyes, 1880 (Györ, Ungarn) – 1956
(Budapest), 147
Saks, Stanislav (Saks, Stanislav),
1897 (Kalish, Russland (heute Polen))
– 1942 (Warschau, von der Gestapo
ermordet), 220
Savage, Jimmie Leonard, 1917 (Detroit,
Michigan) – 1971 (New Haven,
Connecticut), 228
Schwarz, Hermann Amandus, 1843
(Hermsdorf, Schlesien) – 1921 (Berlin),
101
Slutzky, Evgenij Evgen’evich (Slutzky,
Evgeni� Evgenъeviq), 1880
(Novoe, Gouvernement Jaroslavl,
Russland) – 1948 (Moskau), 243
Stieltjes, Thomas Jan, 1856 (Zwolle,
Overijssel) – 1894 (Toulouse), 26
Stone, Marshall Harvey, 1903 (New York) –
1989 (Madras, Indien), 282
Namensregister 591
Thomson, William (Lord Kelvin), 1824
(Belfast) – 1907 (Largs, Ayrshire,
Schottland), 398
Uhlenbeck, George Eugene, 1900 (Batavia,
heutiges Jakarta) – 1988 (Boulder,
Colorado), 553
Varadhan, S.R. Srinivasa, 1945 (Madras,
Indien), 503
Watson, George Neville, 1886 (Westward
Ho, England) – 1965 (Leamington Spa,
England), 358
Watson, Henry William, 1827 (bei London)
– 1903 (bei Coventry), 81
Weierstraß, Karl, 1815 (Ostenfelde,
Westfalen) – 1897 (Berlin), 282
Weiss, Pierre-Ernest, 1865 (Mulhouse,
Frankreich) – 1940 (Lyon), 506
Wiener, Norbert, 1894 (Columbia, Missouri)
– 1964 (Stockholm), 453
Wintner, Aurel Friedrich, 1903 (Budapest) –
1958 (Baltimore), 486
Wright, Sewall, 1889 (Melrose, Massachusetts)
– 1988 (Madison, Wisconsin),
343
Yaglom, Akiva Moiseevich (�glom,
Akiva Moiseeviq), 1921
(Kharkov), 220
Zygmund, Antoni, 1900 (Warschau) – 1992
(Chicago), 439

Sachregister
0-1 Gesetze
– Blumenthal 438
–für invariante Ereignisse 427
– Hewitt-Savage 228
– Kolmogorov 63
∅-stetig 15
abgeschlossen 8
Abschluss 234
absolutstetig 151
absorbierend 350
adaptiert 185
additiv 11
Algebra 3, 282
Anziehungsbereich einer Verteilung 329
aperiodisch 366
Approximationssatz für Maße 29
äquivalente Maße 151
äquivalentes Martingalmaß 196
Arbitrage 196
Arkussinus-Gesetz 442
asymptotisch vernachlässigbar 305
Aufkreuzung 211
äußeres Maß 21
austauschbar 221
austauschbare σ-Algebra 223
Auswertungsabbildung 451
Azuma’sche Ungleichung 192
Banachraum 147
bedingte
– Erwartung 169
– Unabhängigkeit 229
– Verteilung 176
– Wahrscheinlichkeit 166, 169
Benford’sches Gesetz 422
Bernoulli-Maß 29
Bernoulli-Verteilung 43
Bernstein-Chernov Abschätzung 106
Bernstein-Polynom 106
Berry-Esseen, Satz von 311
beschränkt in L p
132
Bessel-Prozess 562
Beta-Verteilung 46, 232, 303, 519
– Momente 104
Bienaymé-Gleichung 100
Bildmaß 40
binäres Modell 195
Binomialverteilung 44
Black-Scholes Formel 197
Black-Scholes Modell 554
Blackwell-Girshick 103
Blumenthal’sches 0-1 Gesetz 438
Bochner 298
Boltzmann-Verteilung 378, 505
Borel-Cantelli Lemma 51
– bedingte Version 219
Borel-Maß 235
Borel’scher Raum 179
Borel’sche σ-Algebra 8
Borel’sches Paradoxon 182
Box-Muller Methode 60
Brown’sche Bewegung 279, 436
– Existenzsatz 436
– kanonische 453
–Lévy Charakterisierung 541
– Skalierungseigenschaft 437
Brown’sche Brücke 437, 450
Brown’sches Blatt 451
càdlàg 444
Call 196
Carathéodory 19
Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung 101
– bedingte 174
Cauchy-Verteilung 46, 289, 547

594 Sachregister
Cesàro-Limes 62
CFW 315
Chapman-Kolmogorov’sche Gleichung
277, 340
charakteristische Funktion 285, 511
– Inversionsformel 286
Chebyshev Polynom 387
Chebyshev’sche Ungleichung 104
China-Restaurant Prozess 524
Cholesky-Faktorisierung 313
Chung-Fuchs, Satz von 357, 424
Claim 196
Continuous Mapping Theorem 245
Cox-Ingersoll-Ross Modell 558
Cox-Ross-Rubinstein’sches Modell 197
Cramér-Lundberg’sche Ungleichung 207
Cramér-Transformierte 492
Cramér-Wold Device 312
Curie-Temperatur 378, 508
Curie-Weiss’sches Gesetz 508
detaillierte Balance 392
Diagonalfolgenargument 250
dicht 234
Dichte 13, 26, 45, 57, 89, 150
Dichtetransformationsformel
– mehrdimensional 41
Differentiationslemma 137
Diffusionsprozess 537
Dirac-Maß 12
Dirichlet-Problem 546
– diskretes 391
Dirichlet’sches Prinzip 398
Dirichlet-Verteilung 519
domain of attraction 329
Donsker, Satz von 456
Doob’sche Regularisierung 444
Doob’sche Ungleichung 210
Doob–Zerlegung 199
Dreireihensatz 310
Drift 537
Dualität 567
Dualraum 160
dynamisches System 416
Dynkin-System 4
einfache Irrfahrt 393
Einheitsmasse 12
Einschluss- Ausschlussformel 15
Einschränkung 10
Eintrittszeit 349
elektrischer Fluss 394
Elementarfunktion 39
empirische Verteilung 231
empirische Verteilungsfunktion 111
Entropie 112, 114, 499
– relative 499
Ereignis 17, 42
– invariantes 71
Ergodensatz
– Individueller (Birkhoff) 419
– Statistischer (von Neumann) 420
ergodisch 416
Erwartungswert 97
Erzeugendenfunktion 75
Erzeuger 6
erzeugte σ-Algebra 6, 34
Etemadi
– Ungleichung von 118
Euler’sche Primzahlformel 50
Explosion 347
Exponentialverteilung 45
Faktorisierungslemma 40
Falle
Faltung
390
– Dichten 266
– diskrete Verteilungen 59
–MaßeaufR n
60, 266
Faltungshalbgruppe 280
Färbungssatz 517
fast alle 31
fast sicher 31
fast überall 31
Fatou, Lemma von 91
Feinheit 467
Feller-Eigenschaft 445
– starke 566
Feller-Prozess 446
Feller’sche Halbgruppe 445
Feller’sche Verzweigungsdiffusion
558, 570
463,
Filtration 185
– rechtsstetige 444
– übliche Bedingungen 444
de Finetti, Satz von 229, 257
Fischer-Riesz, Satz von 147
Fluchtwahrscheinlichkeit 399

Fluss 394
Fortsetzungssatz für Maße 19, 23
Fourier-Inversionsformel 286
freie Energie 506
Frobenius Problem 367
f.s. siehe fast sicher
f.ü. siehe fast überall
Fubini, Satz von 265
–für Itô-Integrale 545
–für Übergangskerne 270
Funktionaler Zentraler Grenzwertsatz 456
Galton-Watson-Prozess 81
– Reskalierung 460
Gambler’s Ruin 205, 385
Gamma-Verteilung 46
–Lévy-Maß 322
– Subordinator 520
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung
168
GEM-Verteilung 522, 524
gemeinsame Verteilung 56
gemeinsame Verteilungsfunktion 56
Generator 345
geometrische Brown’sche Bewegung 554
geometrische Verteilung 44
Gesetz der großen Zahl
– Konvergenzraten 115
– schwaches 104
– starkes 104, 108, 227
gestoppter Prozess 204
Gewichtsfunktion 13
Gibbs-Sampler 381
gitterverteilt 294
gleichgradig gleichmäßig stetig 295
gleichgradig integrierbar 130
Gleichverteilung 12, 33
gleitendes Mittel 185, 416
Graph 64
Greenfunktion 351, 391
– Tabelle 359
Gronwall Lemma 555
große Abweichungen 491
größenverzerrte Verteilung 256
Haar-Funktionen 448
Hahn’scher Zerlegungssatz 156
Halbring 3
halbstetig von unten 494
Sachregister 595
haploid 343
harmonische Funktion 360, 390
harmonisches Maß 546
Hartman-Wintner, Satz von 486
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
239
heat bath algorithm 381
Hedge 196
Helly, Satz von 250
Helmholtz-Potential 506
Hilbertraum 147
Hilbert-Schmidt Norm 554
Hilbert-Schmidt Operator 271
Hölder’sche Ungleichung 146
Hölder-stetig 430
Hopf 418
hypergeometrische Verteilung 45
identisch verteilt 42
i.i.d. siehe u.i.v.
Indikatorfunktion 5
Inhalt 12
Inneres 234
integrierbar 86
Integral 83, 84, 86,87
– Riemann 93
– stochastisches 449, 450
integrierbar 97
– quadrat 97
– stochastischer Prozess 184
Intensitätsmaß 510
invariantes Ereignis 416
Invarianzprinzip von Donsker 457
inverse Temperatur 505
Inversionsformel 286
Irrfahrt 334
– auf einem Graphen 393
– Greenfunktion (Tabelle) 359
–inzufälliger Umgebung 414
– Range 423
– Rekurrenz 353
– Satz von Chung-Fuchs 424
– Satz von Pólya 353
– symmetrische 184
Ising-Modell 377, 382
Iterierter Logarithmus
– Brown’sche Bewegung 477
– Hartman-Wintner 486
ItoFormel

596 Sachregister
–Itô-Formel
– – mehrdimensional 544
Itô-Formel 539
– diskrete 202
– pfadweise 539
Itô-Integral 531
– Produktregel 544
– Satz von Fubini 545
Jensen’sche Ungleichung 144, 172
Jordan, Satz von 158
kanonische Brown’sche Bewegung 453
kanonischer Prozess 261
kanonisches Maß 320, 323, 516
Kantenperkolation 65, 389
Kaufoption 196
Kelvin siehe Thomson
Kesten-Stigum, Satz von 220
Khinchin’sches Gesetz vom iterierten
Logarithmus 486
Kirchhoff’sches Gesetz 394
Kolmogorov-Chentsov, Satz von 432
Kolmogorov’sche Ungleichung 116
Kolmogorov’scher Dreireihensatz 310
Kolmogorov’scher Erweiterungssatz 275
Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz 63
Kolmogorov’sches Kriterium für schwache
Relativkompaktheit 455
Kolmogorov-Smirnov Test 459
komplementstabil 1
konkave Funktion 142
Kontraktionsprinzip 502
Konvergenz
– dem Maße nach 126
– fast sichere 126
–fastüberall 126
– im Mittel 127
–imp-ten Mittel 140
– in Verteilung 243
– majorisierte 135
– schnelle 128
– schwache 78, 240
– stochastische 126
– vage 240
– von Verteilungsfunktionen 244
konvexe Funktion 142
konvexe Menge 141
Koordinatenabbildung 260
Kopplung 67, 369
Kopplung aus der Vergangenheit 383
korreliert 98
Kovarianz 98
Kovarianzfunktion 437
Kullback-Leibler Information 499
Ladungsverteilung 156
λ-System siehe Dynkin-System
langsam variierend 329
Laplace-Operator 543
Laplace-Raum 12
Laplace-Transformation 137, 284, 461,
511
Large Deviations siehe Prinzip großer
Abweichungen
LDP siehe Prinzip großer Abweichungen
Lebesgue-Borel-Maß siehe Lebesgue-
Maß
Lebesgue-Integral 89
Lebesgue-Maß 25,32
Lebesgue’scher Konvergenzsatz 135
Lebesgue’scher Zerlegungssatz 152
Lebesgue-Stieltjes Integral 466
Lebesgue-Stieltjes-Maß 26
Legendre-Transformierte 491
Leistung (elektrisches Netzwerk) 397
Leitfähigkeit 393
Lévy-Abstand 246
Lévy-Khinchin Formel 320, 323
–für zufällige Maße 517
Lévy-Maß 320, 323
– allgemeine stabile Verteilung 328
– Cauchy-Verteilung 326
– Gamma-Verteilung 322
– symmetrische stabile Verteilung 327
Lévy’scher Stetigkeitsmodul 480
Lévy’scher Stetigkeitssatz 296
Limes inferior 5
Lindeberg-Bedingung 305
Lipschitz-stetig 237
logarithmische momentenerzeugende
Funktion 491
Log-Normalverteilung 284
lokal beschränkt 193
lokal endlich 235
lokales Martingal 470
lokalisierende Folge 470
lokalkompakt 234

Lokalzeit 201
L p –beschränkt 132
Lusin 238
LV 156
Lyapunov-Bedingung 305
Markoveigenschaft
– elementare 333
– schwache 334
– starke 338
Markovkern 175
Markovkette 334
– aperiodische 366
– diskrete 340
– invariante Verteilung 360
– invariantes Maß 360
– irreduzibel 352
– Konvergenzgeschwindigkeit 383
– Konvergenzsatz 375
– Kopplung 370
– Monte Carlo Methode 376
– nullrekurrent 350
– Periode eines Punktes 366
– positiv rekurrent 350
– rekurrent 350
– reversible 392
– schwach irreduzibel 352
– transient 350
– unabhängiges Verschmelzen 371
Markovprozess 334
Markov’sche Halbgruppe 277
Markov’sche Ungleichung 104
– bedingte 174
Martingal 188
– Konvergenzsatz (L 1 ) 213
– Konvergenzsatz (L p ) 214
– Konvergenzsatz (f.s.) 212
– Konvergenzsatz (rückwärts) 226
– Konvergenzsätze (RCLL) 446
– lokales 470
– quadratische Variation 200
–Rückwärts- 226
Martingaldarstellungssatz 542
Martingalproblem 563
– diskretes 344
– gut gestelltes 564
Martingaltransformierte 192
Maß 12
– äußeres 21
Sachregister 597
– Bernoulli 29
– Borel 235
– Einschränkung 32
– harmonisches 546
– invariantes 360
– Lebesgue 25
– lokal endliches 235
– Produkt- 29, 276
– Radon 235
– reguläres 235
– σ-endliches 12
– signiertes 156
– stationäres 360
– Wahrscheinlichkeits- 12
Maßraum 17
maßtreue Abbildung 416
Maximal-Ergodenlemma 418
MCMC 376
mean field 507
mehrstufiges Binomialmodell 197
Mellin-Transformierte 287
messbar
– Abbildung 33
– Borel 8
– Lebesgue 32
– μ– 22
– Menge 17
Messraum 17
– Isomorphie 179
Metrik
–aufC([0, ∞)) 451
–Lévy 246
– Prohorov 240
– stochastische Konvergenz 127
– vollständige 234
– Wasserstein 370
metrisierbar 234
Metropolis-Algorithmus 377
Minkowski’sche Ungleichung 146
mischend 426
Modifikation 429
Momente 97
– absolute 97
Momentenproblem 301
monoton 11
Monotonieprinzip von Rayleigh 396
Monte Carlo Simulation 111
Moran-Gamma-Subordinator 520

598 Sachregister
Moran-Modell 343
de Morgan’sche Regeln 2
moving average 416
negative Binomialverteilung 44, 77
Niveaumenge 494
Normalverteilung 45
– mehrdimensionale 45, 312
Nullmenge 31
nullrekurrent 350
offen 8
Ohm’sches Gesetz 394
Optional Sampling Theorem 203, 208
– stetige Zeit 435
Optional Stopping Theorem 204
– stetige Zeit 435
Ornstein-Uhlenbeck Prozess 553
orthogonale Polynome 388
orthogonales Komplement 148
Parseval’sche Gleichung 447
partiell stetig 296
Partitionsfunktion 378, 505
Pascal-Verteilung 44
perfekte Simulation 382
Periode 366
Perkolation 64, 389
Petersburger Spiel 92, 185, 193
Pfad 431
pfadweise eindeutig 562
Phasenübergang 378, 508
π-System siehe schnittstabil
Plancherel’sche Gleichung 287
Poisson-Approximation 79
Poisson-Dirichlet-Verteilung 521, 524
Poissonprozess 120, 335
Poisson’sche Summationsformel 443
Poisson’scher Punktprozess 511
Poisson-Verteilung 45
– zusammengesetzte 317
polare Menge 550
Polarisationsformel 468
polnischer Raum 180, 235
Pólya, Satz von 297, 353
Pólya’sches Urnenmodell 232, 276, 519
– verallgemeinertes 347, 349
Portemanteau-Theorem 242
positiv rekurrent 350
positiv semidefinit 298
Präfixcode 113
Prämaß 12
previsibel 185, 530
Prinzip großer Abweichungen 495
Produktmaß 27, 29, 264, 274, 276
produktmessbar 530
Produktraum 260
Produkt-σ-Algebra 260
Produkttopologie 260
progressiv messbar 530
Prohorov 248
Prohorov-Metrik 240, 375
projektive Familie 274
projektiver Limes 275
Propp-Wilson Algorithmus 382
Punkte trennend 282
Punktperkolation 65
Q-Matrix 345
Quader 9
quadratintegrierbar 97
quadratische Variation 468
quadratischer Kovariationsprozess 475
quadratischer Variationsprozess 200, 471
Quellenkodierungssatz 114
Radon-Maß 235
Radon-Nikodym-Ableitung 152
Rand 234
random walk in random environment 414
Ratenfunktion 490, 495
Rayleigh’sches Monotonieprinzip 396
RCLL 444
Rechteckzylinder 262
Reflexionsprinzip 339
– Brown’sche Bewegung 442
reguläre Version der bedingten Verteilung
176
Regularität von Maßen 31, 235
Rejection Sampling 182
rekurrent 350
relativ kompakt 234
replizierbar 196
reversibel 377, 392
Riemann-Integral 93
Riemann’sche Zetafunktion 50
Ring 3
risikoneutral 196

Rückwärtsmartingal 226
Satz
– Approximation von Maßen 29
– Arzelà-Ascoli 454
– Beppo Levi 91
– Berry-Esseen 311
– Bochner 298
– Borel-Cantelli Lemma 51
– – bedingte Version 219
– Carathéodory 19, 23
– Choquet-Deny 374
– Chung-Fuchs 357, 424
– Continuous Mapping Theorem 245
– Cramér 491, 497
– Donsker 457
– Dreireihen 310
– Egorov 130
– Etemadi 108
– Fatou’sches Lemma 91
– de Finetti 229, 257
– Fischer-Riesz 147
– Fortsetzung zu Maßen 19, 23
– Fubini 265
– Fubini für Itô-Integrale 545
– Fubini für Übergangskerne 270
– Glivenko-Cantelli 111
– große Abweichungen 491
– Hahn’scher Zerlegungssatz 156
– Hartman-Wintner 486
– Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung 239
– Helly 250
– Hewitt-Savage 228
– Ionescu-Tulcea 273
– iterierter Logarithmus 478, 486
– Jordan’scher Zerlegungssatz 158
– Kantorovich-Rubinstein 370
– Kesten-Stigum 220
– Kolmogorov-Chentsov 432
– Kolmogorov’sche Ungleichung 116
– Kolmogorov’scher Dreireihensatz 310
– Kolmogorov’scher Erweiterungssatz
275
– Kolmogorov’sches Kriterium für
schwache Relativkompaktheit 455
– Lebesgue’scher Zerlegungssatz 152
–Lévy-Khinchin 320, 323
– Lindeberg-Feller 306
Sachregister 599
– Lusin 238
– majorisierte Konvergenz 135
– Martingalsdarstellung 542
– monotone Konvergenz 91
– Optional Sampling 203, 208
– Optional Sampling, stetige Zeit 435
– Optional Stopping 204
– Optional Stopping, stetige Zeit 435
– Paley-Wiener-Zygmund 439
– π–λ 7
– Poisson-Approximation 79
–Pólya 297, 353
– Portemanteau 242
– Prohorov 248
– Quellenkodierungssatz 114
– Rademacher–Menshov 117
– Radon-Nikodym 152, 217
– Rayleigh’sches Monotonieprinzip 396
– reguläre bedingte Verteilungen 176,
180
– Sanov 500
– Shannon 112
– Skorohod’sche Einbettung 480
– Slutzky 243
– Stetigkeitssatz von Lévy 296
– Stone-Weierstraß 282
– Stroock-Varadhan 566
– Thomson’sches Prinzip 398
– Varadhan’sches Lemma 503
– Yamada-Watanabe 558
Schauderfunktionen 448
Schema von Zufallsvariablen 305
schnittstabil 1
schwache Konvergenz 240
schwache Lösung 560
schwache Topologie 240
SDGL siehe stochastische Differentialgleichung
Semiring 3
separabel 234
Shannon 112
Shift 417
σ-additiv 11
σ-Algebra 2
– austauschbare 223
–derτ-Vergangenheit 187
– invariante 416
– Produkt- 260

600 Sachregister
– terminale 61, 224
σ-kompakt 234
σ-Ring 3
σ-subadditiv 12
signiertes Maß 156
singulär 151
Skalarprodukt 147
Skorohod’scher Einbettungssatz 480
Slutzky, Satz von 243
Spannung 394
Spektrallücke 384
Spiegelungsprinzip 339
Spielstrategie 193
Spin 377
Spur 10
stabile Verteilung 298, 327
– im weiteren Sinne 328
Standardabweichung 97
starke Lösung 552
starke Lösung 552
starke Markoveigenschaft 338
stationär 415
stetig von oben/ unten 15
Stetigkeitslemma 136
Stetigkeitsmodul, Lévy’scher 480
Stetigkeitssatz, Lévy’scher 296
Stirling’sche Formel 301, 491
stochastisch größer 369
Stochastische Differentialgleichung
– pfadweise Eindeutigkeit 562
– schwache Lösung 560
– starke Lösung 552
– starke Lösung unter Lipschitz-
Bedingungen 555
stochastische Differentialgleichung 551
stochastische Kerne
– Produkt 268
stochastische Matrix 341
stochastische Ordnung 369
stochastischer Kern 175
– Halbgruppe 277
– konsistente Familie 276
– Verkettung 269
stochastischer Prozess 183
– adaptiert 185
– Dualität 567
– Explosion 347
– Galton-Watson 81, 219
– Gauß’scher 184, 437
– gestoppter 204
– integrierbarer 184
– Markoveigenschaft 333
– Modifikation 429
– Pfad 431
– Poisson 335
– previsibel 530
– previsibler 185
– produktmessbar 530
– progressiv messbar 530
– starke Markoveigenschaft 338
– stationärer 184
– stationäre Zuwächse 184
– unabhängige Zuwächse 184
– ununterscheidbar 429
– Version 429
– vorhersagbar 530
– vorhersagbarer 185
stochastisches Integral 449, 450
– diskretes 192
Stone-Weierstraß, Satz von 282
Stoppzeit 186
straff 248
Stratonovich-Integral 545
Streuung 97
Stromstärke 394
Student’sche t-Verteilung 316
Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße 236
subadditiv 11
subharmonisch 360
Submartingal 188
Subordinator 516
Supermartingal 188
symmetrische Differenz 29
symmetrische einfache Irrfahrt 184
tail σ-field siehe terminale σ-Algebra
terminale σ-Algebra 61, 224
Thomson’sches Prinzip 398
Topologie 8
– schwache 240
– vage 240
topologischer Raum 8
total beschränkt 235
totale Wahrscheinlichkeit 166
totalstetig 154
Totalvariationsnorm 158
Transformationsformel 41

transient 350
translationsinvariant 342
trennende Familie 237
Tschebyscheff siehe Chebyshev
Turmeigenschaft 170
t-Verteilung 316
Übergangskern 175
Übergangsmatrix 340
Übergangswahrscheinlichkeiten 334
übliche Bedingungen 444
u.i.v. 55
unabhängige Inkremente siehe unabhängige
Zuwächse
unabhängige Kopie 369
unabhängige Zuwächse 511
Unabhängigkeit
– bedingte 229
– von Ereignissen 49
– von Mengensystemen 53
– von Zufallsvariablen 55
unbegrenzt teilbar 315
–zufälliges Maß 516
Ungleichung
– Azuma 192
– Bernstein-Chernov 106
– Cauchy-Schwarz 101
– Chebyshev 104
– Doob 210
– Etemadi 118
–Hölder 146
– Jensen 144
– Kolmogorov 116
–Markov siehe Chebyshev
– Minkowski 146
– Young 146
uniforme Verteilung 33
unkorreliert 98
Unstetigkeitsstellen 11
ununterscheidbar 429
vage Konvergenz 240
vage Topologie 240
Varadhan’sches Lemma 503
Varianz 97
Variation 466
– p 468
– quadratische 468
Verkettung von Kernen 269
Sachregister 601
Version 429
Verteilung 42
– Anziehungsbereich 329
– Bernoulli 43
– Beta 46, 232, 303, 519
– binomial 44
– Boltzmann 378
– Cauchy 46, 289, 547
– compound Poisson 317
– Exponential- 45
– Gamma 46, 303
– GEM 522, 524
– geometrische 44
– hypergeometrische 45
– negativ binomial 44, 77
– Normal 45
– Pascal 44, 77
– Poisson 45
– Poisson-Dirichlet 519, 521, 524
– stabile 327
– t- 316
– uniforme 12, 33
– zusammengesetzt Poisson 317
– zweiseitig exponential 289
Verteilungsfunktion 21, 27
– einer Zufallsvariablen 42
– empirische 111
Vervollständigung 32
Verwerfungsmethode 182
Verzweigungsprozess 81, 219
Vitali-Menge 9
vollständig 32, 234
vorhersagbar 185, 530
voter model siehe Wählermodell
Wahrscheinlichkeitsmaß 12
Wahrscheinlichkeitsraum 17
Wahrscheinlichkeitsvektor 13
Wald’sche Identität 99
Wasserstein Metrik 370
Watson Integral 358
Weierstraß’scher Approximationssatz 106
Weiss’scher Ferromagnet 506
Widerstand 393
Wiener-Prozess 453
W-Maß siehe Wahrscheinlichkeitsmaß
Wright’sches Evolutionsmodell 343
Wright-Fisher Diffusion 568
– wechselwirkende 572

602 Sachregister
Wählermodell 216
Young’sche Ungleichung 146
Zentraler Grenzwertsatz 304
– Berry-Esseen 311
– Lindeberg-Feller 306
– mehrdimensional 313
zentriert 97
Zerlegungsfolge, zulässige 467
zufälliges Maß 510
Zufallsvariable 42
zulässige Zerlegungsfolge 467
zusammengesetzte Poissonverteilung 317
Zustandssumme 378, 505
Zweistufenexperiment 259
Zylindermenge 18, 262
Zählmaß 13