Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.3 Fortsetzung von Maßen 31
(iii) Sei A ∈M(μ ∗ ) und (En)n∈N wie oben. Wähle zu m, n ∈ N ein An,m ∈
σ(A) mit An,m ⊃ A ∩ En und μ ∗ (An,m) ≤ μ ∗ (A ∩ En)+ 2−n
m .
Setze Am := ∞�
A+ := ∞�
m=1
n=1
An,m ∈ σ(A). DannistAm⊃ A und μ∗ (Am \ A) ≤ 1
m . Setze
Am. Dannistσ(A) ∋ A+ ⊃ A und μ ∗ (A+ \ A) =0.Wähle analog
(A−) c ∈ σ(A) mit (A−) c ⊃ A c und μ ∗ ((A−) c \A c )=0.DannistA+ ⊃ A ⊃ A−
und μ(A+ \ A−) =μ ∗ (A+ \ A−) =μ ∗ (A+ \ A)+μ ∗ (A \ A−) =0. ✷
Bemerkung 1.67. (Regularität von Maßen) (Vergleiche auch Satz 13.6 auf Seite
236.) Sei λ n das Lebesgue-Maß auf (R n , B(R n )). SeiA der Semiring der Quader
der Form [a, b) ⊂ R n . Nach Satz 1.23 ist B(R n )=σ(A). Nach dem Approximationssatz
gibt es zu A ∈B(R n ) und ε>0 abzählbar viele A1,A2,... ∈A
mit
λ n� ∞ �
�
Ai \ A