Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation 201
Beispiel 10.7. Seien Y1,Y2,... unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen
mit E[Yn] = 1 für n ∈ N. Setze Xn := �n i=1 Yi für n ∈ N0. Dann
ist X =(Xn)n∈N0 ein quadratisch integrierbares Martingal (warum?) bezüglich
F = σ(X) und
E � (Xn − Xn−1) 2 � � �
�Fn−1 = E (Yn − 1) 2 X 2 � �
�
n−1 Fn−1 = Var[Yn] X 2 n−1.
Also ist 〈X〉n = �n i=1 Var[Yi] X2 i−1 . Wir sehen, dass der quadratische Variationsprozess
also durchaus ein echt zufälliger Prozess sein kann. ✸
Beispiel 10.8. Sei (Xn)n∈N0 die eindimensionale symmetrische einfache Irrfahrt:
n�
Xn = Ri für jedes n ∈ N0,
i=1
wobei R1,R2,R3,... u.i.v. sind mit P[Ri =1]=1− P[Ri = −1] = 1
2 .
Offenbar ist X ein Martingal, also |X| ein Submartingal. Sei |X| = M + A die
Doob-Zerlegung von |X|. Dannist
n� �
An = E[|Xi| � �Fi−1] −|Xi−1| � .
Nun ist
Also gilt
i=1
⎧
⎪⎨
|Xi−1| + Ri, falls Xi−1 > 0,
|Xi| = |Xi−1|−Ri,
⎪⎩
1,
falls Xi−1 < 0,
falls Xi−1 =0.
E[|Xi| � �
|Xi−1|, falls |Xi−1| �= 0,
�Fi−1] =
1, falls |Xi−1| =0.
Mithin ist
An =# � i ≤ n − 1:|Xi| =0 �
die Lokalzeit von X in 0. Es folgt (wegen P[X2j =0]= � � 2j −j
j 4 und P[X2j+1 =
0] = 0):
E[|Xn|] =E � #{i ≤ n − 1: Xi =0} �
n−1 �
= P[Xi =0]=
i=0
⌊(n−1)/2⌋ �
j=0
� �
2j
4
j
−j . ✸
Beispiel 10.9. Wir wollen das vorangehende Beispiel jetzt noch etwas verallgemeinern.
Offenbar brauchten wir (außer in der letzten Formel) nicht, dass X eine Irrfahrt
ist, sondern lediglich, dass die Differenzen (ΔX)n := Xn − Xn−1 nur die Werte