Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

524 24 Der Poisson’sche Punktprozess
werden, begnügen wir uns damit, die Situation zu beschreiben und zwei wichtige
Sätze anzugeben. Eine exzellente und vollständige Beschreibung findet sich in
[121].
Wir betrachten ein China-Restaurant mit abzählbar vielen (natürlich runden) nummerierten
Tischen, an denen jeweils beliebig viele Gäste Platz finden. Anfangs sei
das Restaurant leer. Nacheinander treffen (abzählbar viele) Gäste ein. Der erste Gast
setzt sich an den (natürlich freien) Tisch mit der Nummer Eins. Sitzen bereits n
Gäste an k Tischen, so hat der (n +1)-teGastdieMöglichkeit, sich entweder an
einen der k besetzten Tische zu setzen, oder sich an den freien Tisch mit der kleinsten
Nummer zu setzen. Wir wollen annehmen, dass die Wahl zufällig erfolgt und
dass sich der Gast an den l-ten besetzten Tisch (mit N n l Gästen) mit Wahrscheinlichkeit
(N n l − α)/(n + θ) setzt, mit Wahrscheinlichkeit (θ + kα)/(n + θ) jedoch
den ersten noch freien Tisch besetzt. Hierbei sind α ∈ [0, 1] und θ > −α. Be-
zeichnet N n l
die Anzahl der Gäste zur Zeit n am l-ten besetzten Tisch, so nennen
wir (N n )n∈N =(Nn 1 ,Nn 2 ,...)n∈N den China-Restaurant Prozess mit Parametern
(θ, α).
Ist speziell α = 0,sokönnen wir den China-Restaurant Prozess auch so interpretieren:
Die Wahrscheinlichkeit, sich links neben einen der Gäste zu setzen (also
an dessen Tisch) beträgt 1/(n + θ), die Wahrscheinlichkeit, einen neuen Tisch
zu besetzen dagegen θ/(n + θ). Um das asymptotische Verhalten von N n /n =
(N n 1 /n, N n 2 /n,...) zu beschreiben, müssen wir die Poisson-Dirichlet-Verteilung
und die GEM Verteilung um einen Parameter erweitern.
Definition 24.33. Sei α ∈ [0, 1) und θ > −α. Seien V1,V2,... unabhängig
und Vi ∼ β1−α,θ+iα. Wirdefinieren Z = (Z1,Z2,...) durch Z1 = V1 und
Zk = � � k−1
i=1 (1 − Vi) � Vk für k ≥ 2. Dann heißt GEMα,θ := PZ die GEM-
Verteilung mit Parametern (α, θ). Die Verteilung des nach Größe sortierten Vektors
(Z (1),Z (2),...) heißt Poisson-Dirichlet-Verteilung mit Parametern (α, θ), oder
kurz PDα,θ.
Explizite Formeln für die Dichte der endlichdimensionalen Verteilungen von PDα,θ
finden sich etwa in [124]. Man bemerke, dass wir im Falle α =0die bisherigen einparametrigen
Verteilungen GEMθ =GEM0,θ und PDθ =PD0,θ zurückgewinnen.
Satz 24.34. Seien α ∈ [0, 1), θ>−α und (N n )n∈N der China-Restaurant Prozess
n→∞
mit Parametern (α, θ). Dann gilt PN n /n −→ PDα,θ.
Beweis. Siehe [122] oder [121, Theorem 25]. ✷
Ähnlich wie für die einparametrige Poisson-Dirichlet-Verteilung gibt es eine Darstellung
von PDα,θ durch die nach Größe geordneten Sprünge eines geeigneten
Subordinators. Sei im Folgenden α ∈ (0, 1) und (Mt) t∈[0,1] ein α-stabiler Subordinator,
also ein Subordinator mit Lévy-Maß ν(dx) =x −α−1 dx. Seien ferner