Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.4 Beispiel: Perkolation 65
Dieses Gitter ist für uns der Ausgangspunkt für ein stochastisches Modell eines
porösen Mediums. Wir stellen uns die Kanten als Röhren vor, entlang derer Wasser
fließen kann. Nun soll das Medium allerdings nicht völlig homogen wasserdurchlässig
sein, sondern eine amorphe Struktur besitzen, etwa wie Bimsstein. Zu
diesem Zweck wollen wir zufällig einen gewissen Anteil 1 − p (wobei p ∈ [0, 1] ein
Parameter ist) der Kanten zerstören, sodass das Wasser nur durch die verbliebenen
Kanten fließen kann. Die Frage, die sich stellt, ist, bei welchen Werten von p die intakten
Röhren unendlich große verbundene Systeme bilden und bei welchen Werten
alle verbundenen Systeme nur endliche Größe haben.
Wir kommen jetzt zur formalen Beschreibung des Modells. Wir wählen einen Parameter
p ∈ [0, 1] und eine unabhängige Familie identisch verteilter Zufallsvariablen
(X p
k )k∈K mit X p
k =Berp, also P[X p
k =1]=1−P[Xp k =0]=p für jedes k ∈ K.
Dann definieren wir
K p := {k ∈ K : X p
k =1} (2.10)
als die Menge der intakten (oder offenen) Kanten. Entsprechend nennen wir die Kanten
K \ Kp defekt (oder geschlossen). Auf diese Weise haben wir einen (zufälligen)
Teilgraphen (Zd ,Kp ) von (Zd ,K) hergestellt. Wir nennen (Zd ,K) auch ein Perkolationsmodell
(genauer: ein Modell für Kantenperkolation, im Gegensatz zu
Punktperkolation, wo die einzelnen Punkte geschlossen oder offen sind). Ein (offener)
Pfad (der Länge n) in diesem Teilgraphen ist eine Folge π =(x0,x1,...,xn)
von Punkten in Zd mit 〈xi−1,xi〉 ∈Kp für jedes i =1,...,n. Wir sagen, dass zwei
Punkte x, y ∈ Zd durch einen offenen Pfad verbunden werden können, wenn es ein
n ∈ N und einen offenen Pfad (x0,x1,...,xn) mit x0 = x und xn = y gibt. In diesem
Fall schreiben wir x ←→p y. Offenbar ist ←→p“ eine Äquivalenzrelation, je-
”
doch eine zufällige, weil sie von den Werten der Zufallsvariablen (X p
k )k∈K abhängt.
Für x ∈ Zd nennen wir
C p (x) :={y ∈ Z d : x ←→p y} (2.11)
den (zufälligen) offenen Cluster von x, also die Zusammenhangskomponente von x
in dem Graphen (Z d ,K p ).
Lemma 2.40. Für je zwei Punkte x, y ∈ Z d ist {x←→ py} eine Zufallsvariable.
Insbesondere ist #C p (x) eine Zufallsvariable für jedes x ∈ Z d .
Beweis. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass x =0ist. Wir setzen
fn(y) =1, falls es einen offenen Pfad von 0 nach y der Länge höchstens n gibt, und
fn(y) =0sonst. Offenbar ist fn(y) ↑ {0←→ py}, also reicht es, die Messbarkeit
von fn zu zeigen. Sei Bn := {−n, −n +1,...,n − 1,n} d und Kn := {k ∈
K : k ∩ Bn �= ∅}. DannistYn := (X p
k : k ∈ Kn) :Ω →{0, 1} Kn messbar
(bezüglich 2 ({0,1}Kn )) nach Satz 1.90. Nun ist aber fn eine Funktion von Yn, sagen
wir fn = gn◦Yn für gewisses gn : {0, 1} Kn →{0, 1}. Nach dem Verknüpfungssatz
(Satz 1.80) ist daher fn messbar.
Der Zusatz folgt, weil #C p (x) = �
y∈Z d {x←→ py}. ✷