Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 89
Definition 4.12 (Lebesgue-Integral). Sei λ das Lebesgue-Maß auf R n und f :
R n → R messbar bezüglich B ∗ (R n ) – B(R) (wobei B ∗ (R n ) die Lebesgue’sche
σ-Algebra ist, siehe Beispiel 1.71) und λ-integrierbar. Dann nennen wir
�
fdλ
das Lebesgue-Integral von f. IstA∈B(Rn ) und f : Rn → R messbar (oder
f : A → R messbar bezüglich B∗ (Rn ) � � – B(R) und damit f A messbar bezüglich
A
B ∗ (R n ) – B(R)), so schreiben wir
�
A
�
fdλ:= f A dλ.
Definition 4.13. Sei μ ein Maß auf (Ω,A) und f : Ω → [0, ∞) messbar. Wir sagen,
dass das durch
�
ν(A) := ( A f) dμ für A ∈A
definierte Maß fμ := ν die Dichte f bezüglich μ hat.
Bemerkung 4.14. Wir müssen noch zeigen, dass ν ein Maß ist und prüfen hierzu
die Bedingung von Satz 1.36 nach. Offenbar ist ν(∅) =0. Endliche Additivität folgt
aus der Additivität des Integrals (Lemma 4.6(iii)) und Stetigkeit von unten aus dem
Satz von der monotonen Konvergenz (Satz 4.20). ✸
Satz 4.15. Es ist g ∈L1 (fμ) genau dann, wenn (gf) ∈L1 (μ). In diesem Fall gilt
�
�
gd(fμ)= (gf) dμ.
Beweis. Die Aussage gilt zunächst für Indikatorfunktionen und wird dann mit den
üblichen Argumenten auf Elementarfunktionen, nichtnegative Funktionen sowie
schließlich auf messbare Funktionen fortgesetzt. ✷
Definition 4.16. Für messbares f : Ω → R definieren wir
��
�f�p := |f| p �1/p dμ , falls p ∈ [1, ∞),
und
�f�∞ := inf � K ≥ 0:μ({|f| >K}) =0 � .
Ferner definieren wir für jedes p ∈ [1, ∞] den Vektorraum
L p �
�
(μ) := f : Ω → R ist messbar und �f�p < ∞ .