Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

92 4 Das Integral
Beispiel 4.22 (Petersburger Spiel). Wir wollen durch ein Beispiel zeigen, dass auf
die Voraussetzung der Existenz einer integrierbaren Minorante im Lemma von Fatou
nicht verzichtet werden kann. Wir betrachten ein Glücksspiel in einem Casino,
bei dem in jeder Runde ein vom Spieler gewählter Einsatz entweder verdoppelt
zurückgezahlt wird oder verloren geht. Dies ist etwa beim Roulette der Fall, wo der
Spieler zum Beispiel auf Rot“ setzen kann. Kommt eine rote Zahl, so gewinnt der
”
Spieler seinen Einsatz verdoppelt zurück, ansonsten verliert er ihn. Es gibt 37 Felder,
von denen 18 rot sind und 18 schwarz, sowie die Null, die grün ist. Die Gewinnchance
sollte also p = 18 1
37 < 2 betragen. Dieses Glücksspiel werde unendlich oft unabhängig
hintereinander ausgeführt. Wir können es also auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,A, P) realisieren, wobei (Ω = {−1, 1} N , A =(2 {−1,1} ) ⊗N die von
den Zylindern [ω1,...,ωn] erzeugte σ-Algebra ist und P =((1−p)δ−1 + pδ1) ⊗N
das Produktmaß. Wir bezeichnen mit Dn : Ω →{−1, 1}, ω ↦→ ωn das Ergebnis der
n-ten Runde für jedes n ∈ N. Macht der Spieler in der n-ten Runde den (zufälligen)
Einsatz Hn, so beträgt die Summe der Gewinne nach der n-ten Runde
n�
Sn = HnDn.
i=1
Wir nehmen nun an, dass der Spieler die folgende Strategie verfolgt: In der ersten
Runde ist der Einsatz H1 =1. Gewinnt er, so setzt er in den folgenden Spielen gar
nicht mehr, also ist Hn =0für jedes n ≥ 2, falls D1 =1. Verliert er hingegen, so
setzt er in der zweiten Runde den doppelten Einsatz, also ist H2 =2, falls D1 = −1.
Gibt die zweite Runde einen Gewinn, so setzt er ab der dritten Runde gar nicht
mehr, andernfalls verdoppelt er wiederum seinen Einsatz in der dritten Runde und
so weiter. Wir erhalten also als Strategie
�
0, falls es ein i ∈{1,...,n− 1} gibt mit Di =1,
Hn =
2n−1 , sonst.
Man beachte, dass Hn nur von D1,...,Dn−1 abhängt, also messbar ist bezüglich
σ(D1,...,Dn−1). Dies ist offenbar ein wichtige Forderung an jede Spielstrategie,
da man die Entscheidung über den Einsatz aufgrund der vorhandenen Kenntnis zum
jeweiligen Zeitpunkt treffen muss und nicht in die Zukunft blicken kann.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt n kein Spiel gewonnen wurde ist
(1 − p) n , also ist P[Sn =1−2n ]=(1−p) n und P[Sn =1]=1− (1 − p) n .Man
erwartet also im Mittel einen Gewinn von
�
Sn dP =(1−p) n (1 − 2 n )+(1− (1 − p) n )=1− � 2(1− p) �n ≤ 0,
da p ≤ 1
2 ist (in den profitablen Spielbanken). Wir setzen nun
�
−∞, falls − 1=D1 = D2 = ...,
S =
1, sonst.