Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

20 Ergodentheorie
Gesetze der großen Zahl, zum Beispiel für u.i.v. Zufallsvariablen X1,X2,... besagen,
dass n−1 �n i=1 Xi
n→∞
−→ E[X1] fast sicher konvergiert. Wir können also die
Mittelung über die tatsächliche Realisierung vieler Zufallsvariablen mit der Mittelung
über die möglichen Realisierungen eines Xi vertauschen. In der statistischen
Physik spricht man von der Äquivalenz von Zeitmittel und Scharmittel, oder der Mittelung
entlang einer Trajektorie (griechisch odos) des Systems gegenüber der Mittelung
aller möglichen Zustände mit gleicher Energie (griechisch ergon). Hieraus
leitet sich der Begriff der Ergodentheorie ab, die Gesetze der großen Zahl für Zufallsvariablen
mit Abhängigkeiten, aber zeitlicher Stationarität liefert.
20.1 Begriffsbildung
Definition 20.1. Sei I eine unter Addition abgeschlossene Menge (die wichtigsten
Beispiele für uns sind I = N0, I = N, I = Z, I = R, I =[0, ∞), I = Z d usw.).
Ein stochastischer Prozess X =(Xt)t∈I heißt stationär, falls
L [(Xt+s)t∈I] =L [(Xt)t∈I] für jedes s ∈ I. (20.1)
Bemerkung 20.2. Ist I = N0, I = N oder I = Z, so ist (20.1) äquivalent zu
L [(Xn+1)n∈I] =L [(Xn)n∈I] . ✸
Beispiel 20.3. (i) Ist X =(Xt)t∈I u.i.v., so ist X stationär. Ist lediglich PXt =
PX0 für jedes t ∈ I (ohne die Unabhängigkeit), so ist X im Allgemeinen nicht
stationär. Beispielsweise sei I = N0 und X1 = X2 = X3 = ..., jedoch X0 �=
X1 .DannistX nicht stationär.
(ii) Ist X eine Markovkette mit invarianter Verteilung π ,sowie L[X0] =π,dann
ist X stationär.
(iii) Sind (Yn)n∈Z u.i.v. und reell, sowie c1,...,ck ∈ R, danndefiniert
k�
Xn := cl Yn−l
l=1