Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1
n
n�
i=1
Xi
In der Tat: Setzen wir Y−n := 1
n
�
−→ E[X1 �E] f.s. und in L1 .
n→∞
12.2 Rückwärtsmartingale 227
n�
Xi, so ist (nach Beispiel 12.13) (Y−n)n∈N ein
i=1
Rückwärtsmartingal bezüglich (Fn)n∈−N =(E−n)n∈−N, und daher gilt
Y−n
�
−→ Y−∞ = E[X1
� 1 E] f.s. und in L .
n→∞
Nun ist nach Beispiel 2.36(ii) Y−∞ schon T -messbar, also � (wegen T ⊂ E und der
Turmeigenschaft der bedingten Erwartung) Y−∞ = E[X1
�T ]. ✸
Beispiel 12.16 (Starkes Gesetz der großen Zahl). Sind Z1,Z2,...reell und u.i.v.
mit E[|Z1|] < ∞, dann gilt
1
n
n�
Zi
i=1
n→∞
−→ E[Z1] fast sicher.
Nach dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz (Satz 2.37) ist die terminale σ-Algebra T
nämlich trivial, also gilt
�
E[Z1
�T ]=E[Z1] fast sicher.
In Korollar 12.19 werden wir sehen, dass � im Falle unabhängiger Zufallsvariablen
auch E schon P-trivial ist, woraus E[Z1
�E]=E[Z1] folgt. ✸
Wir schließen diesen Abschnitt, indem wir Beispiel 12.15 auf Mittelwerte von Funktionen
von k ∈ N Variablen verallgemeinern. Diese Schlussfolgerung aus dem Konvergenzsatz
für Rückwärtsmartingale wird im folgenden Abschnitt in essenzieller
Weise benötigt.
Satz 12.17. Sei X =(Xn)n∈N eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit
Werten in E, seik∈ N und ϕ : Ek → R messbar mit E[|ϕ(X1,...,Xk)|] < ∞.
Wir schreiben ϕ(X) =ϕ(X1,...,Xk) und setzen An(ϕ) := 1 �
n! ϱ∈S(n) ϕ(Xϱ ).
Dann gilt
E[ϕ(X) � � E]=E[ϕ(X) � �T ] = lim
n→∞ An(ϕ) f.s. und in L 1 . (12.7)
Beweis. Nach Satz 12.10 ist An(ϕ) =E[ϕ(X) � �En]. Alsoist(A−n(ϕ)) n≥k ein
Rückwärtsmartingal bezüglich (E−n)
n∈−N . Nach Satz 12.14 ist also
An(ϕ) n→∞
−→ E � ϕ(X) � �
�E f.s. und in L1 . (12.8)
Wir können wie für das arithmetische Mittel (Beispiel 12.16) argumentieren, dass
limn→∞ An(ϕ) schon T -messbar ist. In der Tat ist