Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Grenzwertsatz 313
Beweis. Gelte (15.11). Sei λ ∈ Rd und s ∈ R. Die Abbildung Rd → C, x ↦→
eis〈λ,x〉 ist stetig und beschränkt, also gilt E[eis〈λ,Xn〉 ] n→∞
−→ E[eis〈λ,X∞〉 ]. Damit
gilt (15.12).
Gelte nun (15.12). Dann ist (Xn,l)n∈N straff, l = 1,...,d.Alsoist(Xn)n∈N
straff und damit relativ folgenkompakt (Satz von Prohorov). Für jeden schwachen
Häufungspunkt Q von (PXn )n∈N ist für jedes λ ∈ Rd �
Q(dx) e i〈λ,x〉 = E � e i〈λ,X∞〉� .
Also gilt Q = PX∞ und damit (15.11). ✷
Satz 15.56 (Zentraler Grenzwertsatz im R d ). Seien (Xn)n∈N u.i.v. Zufallsvek-
toren mit E[Xn,i] = 0 und E[Xn,iXn,j] = Cij, i, j = 1,...,d.SeiS∗ n :=
X1+...+Xn √ . Dann gilt
n
PS ∗ n
n→∞
−→ N0,C schwach.
Beweis. Sei λ ∈ Rd . Setze Xλ n = 〈λ, Xn〉, Sλ n = 〈λ, S∗ n〉 und S∞ ∼N0,C. Dann
ist E[Xλ n]=0und Var[X λ n]=〈λ, Cλ〉. Nach dem eindimensionalen Zentralen
n→∞
Grenzwertsatz gilt PSλ −→ N
n
0,〈λ,Cλ〉 = P 〈λ, S∞〉. Nach Satz 15.55 zeigt dies
die Aussage. ✷
Übung 15.6.1. Sei μ ∈ R d , C eine symmetrische positiv semidefinite reelle d × d
Matrix und X ∼Nμ,C (im Sinne von Bemerkung 15.54). Man zeige: Für jedes
m ∈ N und jede reelle m × d Matrix A gilt AX ∼N Aμ,ACA T . ♣
Übung 15.6.2. (Cholesky-Faktorisierung) Sei C eine positiv definite symmetrische
reelle d × d Matrix. Dann existiert eine reelle d × d Matrix A = (akl)
mit A · A T = C. Man kann A sogar als untere Dreiecksmatrix wählen. Sei
W := (W1,...,Wd) T ,woW1,...,Wd unabhängig und N0,1 verteilt sind. Wir
setzen X := AW + μ. Man zeige: X ∼Nμ,C. ♣