Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.1 Trennende Funktionenklassen 283
4. Schritt Sei f ∈ Cb(E; R), ε>0 und gx wie im 3. Schritt für jedes x ∈ E.
Da f und gx stetig sind, existiert zu jedem x ∈ E eine offene Umgebung Vx ∋ x
mit gx(y) ≥ f(y) − ε für jedes y ∈ Vx. Wir bilden eine endliche Überdeckung
Vx1 ,...,Vxn von E und definieren g := max(gx1 ,...,gxn ).Dannistg∈ C nach
Schritt 2 und �g − f�∞ 0 beliebig war, gilt also
C = Cb(E; R).
5. Schritt Sei nun K = C betrachtet. Nach Voraussetzung sind mit f auch der
Realteil Re(f) =(f + ¯ f)/2 und der Imaginärteil Im(f) =(f − ¯ f)/2i in C. Speziell
ist C0 := {Re(f) : f ∈C}⊂Ceine reelle Algebra, die nach Voraussetzung Punkte
trennt und die konstanten Funktionen enthält. Also ist C0 dicht in Cb(E; R).Wegen
C = C0 + iC0 folgt, dass C dicht in Cb(E; C) ist. ✷
Korollar 15.3. Sei E ein kompakter, metrischer Raum. Sei K = R oder K = C.
Sei C⊂Cb(E; K) eine Punkte trennende Familie, die stabil ist unter Multiplikation
und 1 enthält. Ist K = C, soseiCzusätzlich abgeschlossen bezüglich komplexer
Konjugation.
Dann ist C eine trennende Familie für Mf (E).
Beweis. Seien μ1,μ2 ∈Mf (E) mit � gdμ1 = � gdμ2für jedes g ∈C.SeiC ′ die
Algebra der endlichen Linearkombinationen von Elementen aus C. Aufgrund der
Linearität des Integrals gilt � gdμ1 = � gdμ2für jedes g ∈C ′ .
Zu jedem f ∈ Cb(E,R) und jedem ε > 0 existiert nach dem Satz von Stone-
Weierstraß ein g ∈C ′ mit � �
�f − g�∞ 0 beliebig war, gilt Gleichheit und damit μ1 = μ2 (nach Satz 13.11). ✷
Als einfache Schlussfolgerungen bekommen wir die folgenden Sätze.
Satz 15.4. Die Verteilung einer beschränkten reellen Zufallsvariablen X ist durch
die Angabe aller Momente eindeutig bestimmt.
Beweis. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass X nur Werte in E :=
[0, 1] annimmt. Für n ∈ N definiere die Abbildung fn : [0, 1] → [0, 1] durch
fn : x ↦→ x n . Ferner sei f0 ≡ 1. Die Familie C = {fn, n ∈ N0} ist Punkte
trennend und abgeschlossen unter Multiplikation, also trennend für Mf (E). PX
ist also eindeutig festgelegt durch Angabe der Momente E[X n ]= � x n PX(dx),
n ∈ N. ✷