Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn ∈M1(R), denn
νn(R) =
kn�
�
l=1
x 2 PXn,l (dx) =
15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 309
kn�
Var[Xn,l] =1,
l=1
Für ε>0 gilt aber νn((−ε, ε) c )=Ln(ε) n→∞
−→ 0, also νn
Lemma 15.49. Gilt (i) in Satz 15.43, so gilt
�
�
1
n→∞
ft(x) μn(dx)+it μn(dx) −→ −
x t2
2 .
n→∞
−→ δ0. ✷
Beweis. Wegen (x ↦→ ft(x)/(1 + x2 )) ∈ Cb(R) ist nach Lemma 15.48
�
�
ft(x) μn(dx) = ft(x)
1
n→∞
νn(dx) −→ ft(0) = −
1+x2 t2
2 .
Nun ist (x ↦→ x/(1 + x2 )) ∈ Cb(R) und E[Xn,l] =0für jedes n und l, also
�
1
x μn(dx)
kn�
�
= E
Xn,l
�
kn�
�
= E
Xn,l
�
− Xn,l
l=1
kn�
�
= − E
l=1
�
= −
1+X 2 n,l
l=1
X 2 n,l · Xn,l
1+X 2 n,l
�
1+X 2 n,l
x
n→∞
νn(dx) −→ 0. ✷
1+x2 Beweis von Satz 15.43
” (i) =⇒ (ii)“ Wir müssen für jedes t ∈ R zeigen, dass lim
n→∞ log ϕn(t) =− t2
2 .
Nach Lemma 15.46 ist dies äquivalent zu
lim
n→∞
kn�
l=1
� ϕn,l(t) − 1 � = − t2
2 .
Nun ist ft(x) x2
1+x 2 = e itx − 1 − itx
1+x 2 . Also gilt
kn� �
ϕn,l(t) − 1
l=1
� kn�
� �
x
= ft(x)
l=1
2 itx
+
1+x2 1+x2 �
PXn,l (dx)
�
=
�
ft dμn + it
1
x μn(dx)
n→∞
−→ − t2
2
(nach Lemma 15.49) ✷