Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

96 4 Das Integral
Hieraus folgt (4.7).
Gilt g(t) :=μ({f ≥ t}) =∞ für ein t>0, so sind beide Seiten in (4.8) gleich ∞.
Sei im Folgenden also g(t) < ∞ für alle t>0.
Für ε>0 und k ∈ N setze f ε := f {f≥ε} sowie f ε k =2kfε und
Dann gilt α ε k
α ε k =2 −k
≤ 2 −k
∞�
α ε k := 2 −k
μ({f
n=1
ε ≥ n2 −k }).
k→∞
−→ � ∞
ε g(t) dt. Ferner gilt nach (4.7) (mit f ε k statt f)
∞�
μ({f ε �
k ≥ n}) ≤ f ε dμ
n=1
∞�
Wegen 2 −k g(ε) k→∞
∞�
μ({f
n=0
ε k >n}) =2 −k
μ({f
n=0
ε >n2 −k }) ≤ α ε k +2 −k g(ε).
−→ 0 folgt � ∞
ε g(t) dt = � f ε dμ. Wegenfε↑f für ε ↓ 0 folgt
(4.8) aus dem Satz über monotone Konvergenz. ✷
Übung 4.3.1. Sei f :[0, 1] → R beschränkt. Zeige: f ist genau dann (eigentlich)
Riemann-integrierbar, wenn fλ-f.ü. stetig ist. ♣
Übung 4.3.2. Ist f :[0, 1] → R Riemann-integrierbar, so ist f Lebesgue-messbar.
Man zeige durch ein Beispiel, dass f nicht Borel-messbar sein muss. (Hinweis: Man
verwende ohne Beweis die Existenz einer Teilmenge von [0, 1], die nicht Borelmessbar
ist und konstruiere hieraus eine nicht-Borel’sche Menge, deren Abschluss
eine Nullmenge ist.) ♣