Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

110 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
∞�
P �� �Tkn − E� �� �
Tkn
� −2
>δkn ≤ δ
n=1
= δ −2
∞�
n=1
k −2
n
∞�
n=1
Var [Tkn ]
k 2 n
kn�
Var[Ym] =δ −2
m=1
≤ 4(1 − α −2 ) −1 δ −2
∞�
m=1
∞�
Var[Ym] �
m=1
n: kn≥m
k −2
n
m −2 E � Y 2 �
m < ∞ nach Lemma 5.20.
(Im dritten Schritt durften wir die Summationsreihenfolge vertauschen, weil alle
Summanden nichtnegativ sind.) Da δ>0 beliebig war, folgt (mit dem Lemma von
Borel-Cantelli)
Tkn − E [Tkn ]
lim
=0
n→∞ kn
fast sicher. (5.8)
Nach dem Satz über monotone Konvergenz (Satz 4.20) gilt
E[Yn] =E � X1
� n→∞
{|X1|≤n} −→ E[X1].
n→∞
Also gilt E[Tkn ]/kn −→ E[X1] und wegen (5.8) auch Tkn /kn
Wie im Beweis von Satz 5.16 gilt jetzt auch (weil Yn ≥ 0)
Tl
lim
l→∞ l = E[X1] fast sicher.
n→∞
−→ E[X1] f.s.
Nach Lemma 5.18 folgt hieraus die Behauptung von Satz 5.17. ✷
Beispiel 5.21 (Monte Carlo Integration). Betrachte eine Funktion f :[0, 1] → R,
deren Integral I := � 1
f(x) dx numerisch bestimmt werden soll. Wir nehmen an,
0
dass uns der Computer Zahlen X1,X2,... generiert, die wir als unabhängige Zufallszahlen
auffassen können, die auf [0, 1] gleichverteilt sind. Für n ∈ N definieren
wir den Schätzwert
�In := 1
n�
f(Xi).
n
i=1
Unter der Annahme, dass f ∈L1 ([0, 1]) ist, liefert das starke Gesetz der großen
Zahl � n→∞
In −→ I fast sicher.
Allerdings haben wir im letzten Satz keine Aussage zur Geschwindigkeit der Konvergenz,
also zur Größe P[| � In − I| >ε] bekommen. Um genauere Schätzungen für
das Integral zu bekommen, benötigen wir zusätzliche Information, etwa den Wert
V1 := � f 2 (x) dx − I2 , falls f ∈L2 ([0, 1]) ist. (Für beschränktes f etwa lässt sich
V1 leicht nach oben abschätzen.) Dann ist nämlich Var[ � In] =V1/n, also ist nach
der Chebyshev’schen Ungleichung
�
P | � In − I| >εn −1/2�
≤ V1/ε 2 .