Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤
11.2 Martingalkonvergenzsätze 211
p
p − 1 E� (|X| ∗ n ∧ K) p� (p−1)/p · E � |Xn| p� 1/p .
Indem wir beide Seiten zur p-ten Potenz erheben und durch E � (|X| ∗ n ∧ K) p�p−1 teilen (hier wird das Abschneiden bei K gebraucht, damit wir sicher durch eine
endliche Zahl teilen), erhalten wir
E � (|X| ∗ n ∧ K) p� � �p p
≤
E
p − 1
� |Xn| p� .
Jetzt lassen wir K nach ∞ gehen. ✷
Übung 11.1.1. Sei (Xn)n∈N0 ein Submartingal oder Supermartingal. Man zeige mit
Hilfe von Satz 11.2 und der Doob-Zerlegung, dass für jedes n ∈ N und λ>0
λ P � |X| ∗ n ≥ λ � ≤ 12 E[|X0|]+9E[|Xn|]. ♣
11.2 Martingalkonvergenzsätze
In diesem Abschnitt zeigen wir die gängigen Martingalkonvergenzsätze und geben
ein paar kleinere Beispiele an. Wir beginnen mit dem Herzstück der Martingalkonvergenzsätze,
der Aufkreuzungsungleichung.
� �
Sei F =(Fn)n∈N0 eine Filtration und F∞ = σ
n∈N0 Fn
� .Sei(Xn)n∈N0 re-
ellwertig und an F adaptiert. Seien a, b ∈ R mit a < b. Stellen wir uns X als
Aktienkurs vor, so wäre es eine sinnvolle Handelsstratgie, immer dann die Aktie
zu kaufen, wenn ihr Kurs unter a gefallen ist, und zu verkaufen, sobald der Kurs
wieder über b gestiegen ist – jedenfalls dann, wenn wir sicher wissen, dass der Kurs
immer wieder über b steigt. Jedes Mal, wenn der Kurs der Aktie eine solche Aufkreuzung
von a nach b macht, erhalten wir einen Gewinn von mindestens b − a.
Indem wir den maximal möglichen Gewinn nach oben abschätzen, erhalten wir eine
obere Abschätzung für die Zahl der Aufkreuzungen. Ist diese aber endlich für je
zwei Werte a