Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

238 13 Konvergenz von Maßen
Beweis. (i) Seien μ1,μ2 ∈ M(E) mit � fdμ1 = � fdμ2 für jedes f ∈
Lip 1(E;[0, 1]). IstA ∈E,soistμi(A) =sup{μi(K) : K ⊂ A ist kompakt},
da das Radon-Maß μi von innen regulär ist (i =1, 2). Es reicht also zu zeigen, dass
μ1(K) =μ2(K) für jede kompakte Menge K.
Sei nun K ⊂ E kompakt. Da μ1 und μ2 lokal endlich sind, existiert zu jedem
x ∈ K eine offene Menge Ux ∋ x mit μ1(Ux) < ∞ und μ2(Ux) < ∞. Da
K kompakt ist, können wir endlich viele Punkte x1,...,xn ∈ K finden, sodass
K ⊂ U := �n j=1 Uxj . Nach Konstruktion ist μi(U) < ∞, also U ∈ L1 (μi) für
i =1, 2. DaUc abgeschlossen ist, und U c ∩ K = ∅, istδ := d(U c ,K) > 0. Für
die Abbildung ρK,ε aus Lemma 13.10 ist also K ≤ ρK,ε ≤ U ∈ L1 ε→0
(μi), falls
ε ∈ (0,δ). WegenρK,ε −→ K �folgt aus dem Satz über majorisierte Konvergenz
(Korollar 6.26) μi(K) = limε→0 ρK,ε dμi. Nun ist aber ερK,ε ∈ Lip1(E;[0, 1])
für jedes ε>0, also nach Voraussetzung
�
ρK,ε dμ1 = ε −1
�
(ερK,ε) dμ1 = ε −1
�
�
(ερK,ε) dμ2 = ρK,ε dμ2.
Es folgt μ1(K) =μ2(K), also μ1 = μ2.
(ii) Ist E lokalkompakt, so können wir in (i) die Umgebungen Ux zusätzlich relativ
kompakt wählen. Es ist dann U relativ kompakt, also hat ρK,ε für ε ∈ (0,δ) einen
kompakten Träger, ist also in Cc(E). ✷
Übung 13.1.1. (i) Man zeige, dass C([0, 1]) eine abzählbare, dichte Teilmenge
besitzt.
(ii) Man zeige, dass der Raum (Cb([0, ∞)), � · �∞) der stetigen, beschränkten
Funktionen mit der Supremumsnorm nicht separabel ist.
(iii) Man zeige, dass der Raum Cc([0, ∞)) der stetigen Funktionen mit kompaktem
Träger, ausgestattet mit der Supremumsnorm, separabel ist. ♣
Übung 13.1.2. Man zeige: Ist μ ein lokal endliches Maß, so ist μ(K) < ∞ für jede
kompakte Menge K. ♣
Übung 13.1.3 (Satz von Lusin). Sei Ω ein polnischer Raum, μ ein σ-endliches
Maß auf (Ω,B(Ω)) und f : Ω → R eine Abbildung. Man zeige, dass die beiden
folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) Es gibt eine Borel-messbare Abbildung g : Ω → R mit f = g μ-fast überall.
(ii) Zu jedem ε>0 gibt es eine kompakte Menge Kε mit μ(Ω \ Kε)