Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Beweis. Für jedes a ∈ R gilt
�
inf
n∈N Xn
�−1 ([−∞,a)) =
∞�
n=1
1.4 Messbare Abbildungen 39
X −1
n ([−∞,a)) ∈A.
Nach Satz 1.81 folgt hieraus die Messbarkeit von inf
n∈N Xn. Analog geht der Beweis
für sup Xn.
n∈N
Für n ∈ N setzen wir Yn := inf
m≥n Xm. DannistYnmessbar, und damit auch
lim inf Yn. Analog folgt der Beweis für den Limes superior. ✷
n→∞ Xn := sup
n∈N
Ein wichtiges Beispiel für messbare Abbildungen (Ω,A) → (R, B(R)) sind Elementarfunktionen.
Definition 1.93 (Elementarfunktion). Sei (Ω,A) ein Messraum. Eine Abbildung
f : Ω → R heißt Elementarfunktion, wenn es ein n ∈ N und paarweise disjunkte,
messbare Mengen A1,...,An ∈A, sowie Zahlen α1,...,αn ∈ R gibt mit
n�
f = αi Ai .
i=1
Bemerkung 1.94. Eine messbare Abbildung, die nur endlich viele Werte annimmt
ist eine Elementarfunktion. (Übung!) ✸
Definition 1.95. Sind f,f1,f2,...Abbildungen Ω → R mit
f1(ω) ≤ f2(ω) ≤ ... und lim
n→∞ fn(ω) =f(ω) für jedes ω ∈ Ω,
so schreiben wir fn ↑ f und sagen, dass (fn)n∈N punktweise monoton aufsteigend
gegen f konvergiert. Analog schreiben wir fn ↓ f, falls (−fn) ↑ (−f).
Satz 1.96. Sei (Ω,A) ein Messraum und f : Ω → [0, ∞] messbar. Dann gelten
die folgenden Aussagen.
(i) Es gibt eine Folge nichtnegativer Elementarfunktionen (fn)n∈N mit fn ↑ f.
∞�
(ii) Es gibt A1,A2,...∈Aund α1,α2,...≥ 0 mit f = αn An .
Beweis. (i) Für n ∈ N0 definiere fn =(2 −n ⌊2 n f⌋) ∧ n. Dannistfn messbar
(nach Satz 1.92 und Beispiel 1.85(ii)) und nimmt höchstens n2 n +1Werte an, ist
also eine Elementarfunktion. Offenbar gilt fn ↑ f.
n=1