Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19.3 Elektrische Netzwerke 393
Definition 19.11. Seien (E,K), C und X wie in Beispiel 19.10. Dann heißt X Irrfahrt
auf E mit Gewichten C. Ist speziell C(x, y) = {〈x,y〉∈K}, dann heißt X
einfache Irrfahrt auf (E,K).
Die Irrfahrt mit Gewichten C ist also reversibel. Es gilt aber auch die Umkehrung.
Satz 19.12. Ist X eine reversible Markovkette, so ist X eine Irrfahrt auf E mit
Gewichten C(x, y) =p(x, y) π({x}), falls π ein invariantes Maß ist. Da π bis auf
Vielfache eindeutig ist, sind die Gewichte bis auf konstante Vielfache festgelegt.
Beweis. Klar. ✷
Übung 19.2.1. Man zeige: p ist genau dann reversibel bezüglich π, wenn die lineare
Abbildung f ↦→ pf in L 2 (π) selbstadjungiert ist. ♣
Übung 19.2.2. Sei K ∈ N und Zahlen W1,...,WK ∈ R und β>0 gegeben. Wir
definieren
p(i, j) := 1
Z exp(−βWj) für alle i, j =1,...,K,
wobei Z := �K j=1 exp(−βWj) die Normalisierungskonstante ist.
In K (nummerierten) Urnen befinden sich insgesamt N ununterscheidbare Kugeln.
In jedem Zeitschritt wird (uniform) eine der N Kugeln zufällig ausgesucht. Ist i
die Nummer der Urne, aus der die Kugel gezogen wurde, so wird die Kugel mit
Wahrscheinlichkeit p(i, j) in die Urne mit der Nummer j gelegt.
(i) Man gebe eine formale Beschreibung als Markovkette an.
(ii) Man bestimme den invarianten Zustand π und zeige, dass die Kette reversibel
bezüglich π ist. ♣
19.3 Elektrische Netzwerke
Ein (endliches) elektrisches Netzwerk (E,C) ist ein (endliches) System E von
Punkten, die paarweise mit Drähten der Leitfähigkeit (conductivity) C(x, y) ∈
[0, ∞), x, y ∈ E verbunden sind. Wir interpretieren C(x, y) =0so, dass es ” keinen
Draht zwischen x und y“ gibt. Symmetrie erfordert C(x, y) =C(y, x). Mit
R(x, y) =
1
∈ (0, ∞]
C(x, y)
bezeichnen wir den Widerstand der Verbindung 〈x, y〉. Ist(E,K) ein Graph und
C(x, y) = {〈x,y〉∈K}, so bezeichnen wir (E,C) als Einheitsnetzwerk auf (E,K).