Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.3 Der Satz von Prohorov 249
Satz 13.29 (Satz von Prohorov (1956)). Sei (E,d) ein metrischer Raum und F⊂
M≤1(E).
(i) Es gilt
F ist straff =⇒ F ist schwach relativ folgenkompakt.
(ii) Ist E zudem polnisch, so gilt auch die Umkehrung
F ist straff ⇐= F ist schwach relativ folgenkompakt.
Korollar 13.30. Sei E ein kompakter, metrischer Raum. Dann sind die Mengen
M≤1(E) und M1(E) schwach folgenkompakt.
Korollar 13.31. Ist E ein lokalkompakter, separabler, metrischer Raum, so ist
M≤1(E) vag folgenkompakt.
Beweis. Seien x1,x2,... dicht in E. DaE lokalkompakt ist, existiert zu jedem
n ∈ N eine offene Umgebung Un ∋ xn, deren Abschluss U n kompakt ist. Dann ist
aber auch En := � n
k=1 U n kompakt für jedes n ∈ N. Für jede kompakte Menge
K ⊂ E gibt es nun eine endliche Überdeckung K ⊂ � n
k=1 Uk ⊂ En, wobei
n = n(K) von K abhängt.
Nach Korollar 13.30 gibt es zu jedem n ∈ N ein ˜μn ∈M≤1(Kn) und eine Teilfolge
(kn l )l∈N mit ˜μn =w-lim
l→∞ μkn �
� . Mit Hilfe des Diagonalfolgenarguments können
l
Kn
wir annehmen, dass (k n+1
l
)l∈N eine Teilfolge von (kn l )l∈N
�
ist und damit ˜μn+1�
=
Kn
˜μn für jedes n ∈ N. Es existiert also ein μ ∈M≤1(E) mit μ � � =˜μn für jedes
Kn
n ∈ N.Für jedes f ∈ Cc(E) ist der Träger in einem Km enthalten, also gilt (wegen
μkn � n→∞
� −→ μ n
Km
� � schwach)
Km
�
�
n→∞
−→ fdμ,
und damit μk n n
fdμk n n
n→∞
−→ μ vag. ✷
Bemerkung 13.32. Die Implikation in Satz 13.29(ii) ist die weitaus einfachere,
wenn auch weniger nützliche. Hier wird benötigt, dass E polnisch ist, denn eine
einelementige Familie ist offenbar immer schwach kompakt, jedoch nur unter Zusatzannahmen
straff – beispielsweise eben, wenn E polnisch ist (Lemma 13.5). ✸
Beweis (von Satz 13.29(ii)). Wir gehen zunächst ähnlich vor wie im Beweis von
Lemma 13.5. Sei {x1,x2,...}⊂E dicht. Für n ∈ N setze An,N := N�
B1/n(xi). i=1
Dann gilt An,N ↑ E für N →∞für jedes n ∈ N.Sei