Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne 269
Korollar 14.23 (Produkte mit Kernen). Sei (Ω1, A1,μ) ein endlicher Maßraum,
(Ω2, A2) ein Messraum und κ ein endlicher Übergangskern von Ω1 nach Ω2.
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ ⊗ κ auf (Ω1 ×
Ω2, A1 ⊗A2) mit
�
μ ⊗ κ(A1 × A2) = κ(ω1,A2) μ(dω1) für alle A1 ∈A1, A2∈A2. A1
Ist κ stochastisch und μ ein W-Maß, so ist μ ⊗ κ ein W-Maß.
Beweis. Wende Satz 14.22 an mit κ2 = κ und κ1(ω0, · )=μ. ✷
Korollar 14.24. Seien n ∈ N und (Ωi, Ai), i =0,...,n, Messräume. Für i =
� �
i−1 i−1 �
1,...,nsei κi ein substochastischer Kern von × Ωk, Ak nach (Ωi, Ai)
k=0 k=0
oder von (Ωi−1, Ai−1) nach (Ωi, Ai). Dann definiert die Rekursion κ1 ⊗ ··· ⊗
κi := (κ1 ⊗···⊗κi−1) ⊗ κi für jedes i =1,...,neinen substochastischen Kern
i�
� i
i�
�
κk := κ1 ⊗ ··· ⊗ κi von (Ω0, A0) nach × Ωk, Ak . Sind alle κi
k=1
k=1 k=0
i�
stochastisch, so ist jedes κk stochastisch.
k=1
Ist μ ein endliches Maß auf (Ω0, A0), soistμi := μ ⊗ i�
κk ein endliches Maß
k=1
� i i�
�
auf × Ωk, Ak .Istμein W-Maß und jedes κi stochastisch, so ist μi ein
k=0 k=0
Wahrscheinlichkeitsmaß.
Beweis. Die Aussagen folgen per Induktion aus Satz 14.22. ✷
Definition 14.25 (Verkettung von Kernen). Seien (Ωi, Ai) Messräume, i =0, 1, 2,
und κi ein substochastischer Kern von (Ωi−1, Ai−1) nach (Ωi, Ai), i =1, 2. Wir
definieren die Verkettung von κ1 und κ2 durch
κ1 · κ2 : Ω0 ×A2 → [0, ∞)
�
(ω0,A2) ↦→ κ1(ω0,dω1) κ2(ω1,A2).
Ω1
Satz 14.26. Bezeichnen wir mit π2 : Ω1 × Ω2 → Ω2 die Projektion auf die zweite
Koordinate, so ist
(κ1 · κ2)(ω0,A2) =(κ1⊗ κ2) � ω0,π −1 �
2 (A2) für jedes A2 ∈A2.
Speziell ist die Verkettung κ1 · κ2 ein (sub-)stochastischer Kern von (Ω0, A0) nach
(Ω2, A2).