Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

358 17 Markovketten
Wir werden in Kapitel 19.3 noch eine weitere, strukturell völlig andere Methode
kennen lernen, um den Satz von Pólya zu beweisen, die auf dem Zusammenhang
von Irrfahrten mit elektrischen Netzwerken beruht.
Tatsächlich können wir mit Hilfe des Satzes von Chung-Fuchs die Greenfunktion
GD(0, 0) der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf ZD berechnen, indem wir das
so genannte Watson Integral
GD(0, 0) = (2π) −D
�
(−π,π] D
D
dx (17.24)
D − (cos(x1)+...+cos(xD))
numerisch berechnen. Hierzu folgen wir [81] (wo sich auch noch eine Verfeinerung
des Verfahrens findet) und führen das D-fache Integral auf ein zweifaches zurück.
Indem wir die Gleichung 1
λ = � ∞
0 e−λt dt für den Integranden benutzen und den
Satz von Fubini verwenden, erhalten wir
und damit
GD(0, 0) = D
(2π) D
� ∞
0
e −Dt
� �
GD(0, 0) = D
(−π,π] D
e t(cos(x1)+...+cos(xD)) �
dx dt
� ∞
e
0
−Dt I0(t) D dt, (17.25)
wobei I0(t) := 1
� π
π 0 et cos(θ) dθ die modifizierte Bessel-Funktion erster Art bezeichnet.
Die Darstellung (17.25) lässt sich vermittels numerischer Integration in
guter Genauigkeit schnell berechnen (siehe Tabelle 17.1).
Für den Fall D =3hat Watson [155] die Darstellung
G3(0, 0) = 12 18 + 12√ 2 − 10 √ 3 − 7 √ 6
π 2
�
K (2 − √ 3)( √ 3 − √ �2 2)
angegeben, wobei K(m) = � 1 � �
2 2 −1/2
(1 − t )(1 − mt ) dt das vollständige ellip-
0
tische Integral erster Ordnung mit Modul m ∈ (−1, 1) ist und eine Darstellung als
schnell konvergierende Reihe besitzt
K(m) = π
�
∞�
�
(2n)!
1+
2
4n (n!) 2
�2 m 2
�
.
n=1
Glasser und Zucker [60] haben einen Ausdruck als Produkt von Gammafunktionen
gefunden:
√ � � � � � � � �
6 1 5 7 11
G3(0, 0) = Γ Γ Γ Γ =1.5163860591519780181 ...
32π3 24 24 24 24