Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
Für den Fall quadratintegrierbarer Martingale gibt es ein handliches Kriterium für
die L 2 -Beschränktheit, das wir hier als Korollar festhalten (siehe Definition 10.3).
Korollar 11.11. Sei X ein quadratintegrierbares Martingal X mit quadratischem
Variationsprozess 〈X〉. Dann sind folgende vier Aussagen äquivalent:
(i) supn∈N E[X2 n] < ∞,
(ii) limn→∞ E[〈X〉n] < ∞,
(iii) X konvergiert in L2 ,
(iv) X konvergiert fast sicher und in L2 .
Beweis. (i) ⇐⇒ (ii)“ Wegen Var[Xn − X0] =E[〈X〉n] (siehe Satz 10.4) ist
”
X genau dann in L2 beschränkt, wenn (ii) gilt.
” (iv) =⇒ (iii) =⇒ (i)“ Dies ist trivial.
” (i) =⇒ (iv)“ Dies ist die Aussage von Satz 11.10. ✷
Bemerkung 11.12. Die Aussage von Satz 11.10 ist für p = 1 im Allgemeinen
falsch. Siehe Übung 11.2.1. ✸
Lemma 11.13. Sei X ein quadratintegrierbares Martingal mit quadratischem Variationsprozess
〈X〉, und sei τ eine Stoppzeit. Dann hat der gestoppte Prozess X τ
den quadratischen Variationsprozess 〈X τ 〉 = 〈X〉 τ := (〈X〉τ∧n)n∈N0 .
Beweis. Übung! ✷
Nehmen wir statt wie in Korollar 11.11 nicht die Beschränktheit der Erwartungswerte
der quadratischen Variation an, sondern lediglich die fast sichere Beschränktheit,
so erhalten wir immerhin noch fast sichere Konvergenz von X, im Allgemeinen
nicht jedoch L 2 -Konvergenz.
Satz 11.14. Sei X ein quadratintegrierbares Martingal mit sup n∈N〈X〉n < ∞ fast
sicher. Dann konvergiert X fast sicher.
Beweis. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass X0 =0ist, sonst betrachten
wir das Martingal (Xn − X0)n∈N0 , das den selben quadratischen Variationsprozess
hat. Betrachte für K>0
τK := inf{n ∈ N : 〈X〉n+1 ≥ K}.
Dies ist eine Stoppzeit, da 〈X〉 vorhersagbar ist. Offenbar ist supn∈N〈X〉τK∧n ≤ K
fast sicher. Nach Korollar 11.11 konvergiert der gestoppte Prozess XτK fast sicher
(und in L2 ) gegen eine Zufallsvariable, die wir XτK ∞ nennen wollen. Nach Voraussetzung
gilt P[τK = ∞] → 1 für K →∞, also konvergiert X fast sicher. ✷