Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

476 21 Die Brown’sche Bewegung
E � M τ0
� �
�Fs t = E
�
lim
n→∞
M τ0∧τn
t
= lim
n→∞ E�M τ0∧τn
t
= lim
n→∞
M τ0∧τn
s
� �
�Fs
�
� Fs
�
= M τ0
s .
Also ist M τ0 ein Martingal. ✷
Korollar 21.76. Ist M ∈Mloc,c und E � �
〈M〉t < ∞ für jedes t ≥ 0, soistMein quadratintegrierbares Martingal.
Übung 21.10.1. Zeige, dass die Zufallsvariablen (Yn)n∈N aus dem Beweis von
Satz 21.64 ein Rückwärtsmartingal bilden. ♣
Übung 21.10.2. Sei f :[0, ∞) → R stetig und X ∈CP qV für die zulässige Zerlegungsfolge
P. Man zeige:
� T
0
f(s) d〈X〉s = lim
�
n→∞
t∈Pn T
f(t) � 2
Xt ′ − Xt)
für alle T ≥ 0. ♣
Übung 21.10.3. Man zeige durch ein Gegenbeispiel: Ist M ein stetiges lokales Martingal
mit M0 =0und τ ein Stoppzeit mit E � �
〈M〉τ = ∞, so folgt hieraus nicht
notwendigerweise E � M 2 �
τ = ∞. ♣