Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Beweis.
� m�
Cov d + αi Xi, e+
i=1
n�
j=1
��
�m
= E
=
=
m�
i=1
i=1 j=1
m�
i=1 j=1
βj Yj
�
��
�n
αi(Xi − E[Xi])
j=1
5.1 Momente 101
��
βj(Yj − E[Yj])
n�
αiβj E � (Xi − E[Xi])(Yj − E[Yj]) �
n�
αiβj Cov[Xi,Yj]. ✷
Satz 5.8 (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung). Sind X, Y ∈L2 (P), sogilt
� �2 Cov[X, Y ] ≤ Var[X] Var[Y ].
Es gilt genau dann Gleichheit, wenn es a, b, c ∈ R gibt aX + bY + c =0 f.s.
Beweis. Die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung gilt für jede positiv semidefinite
Bilinearform 〈 · , · 〉 auf einem Vektorraum V . Es gilt jeweils genau dann Gleichheit
〈x, y〉 2 = 〈x, x〉〈y, y〉, wenn es Zahlen a, b ∈ R gibt mit 〈ax − by, ax − by〉 =0.
Wenden wir dies auf die positiv semidefinite Bilinearform Cov[ · , · ] auf L2 (P)
an, so erhalten wir die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung für X, Y ∈L2 (P) mit
Gleichheit genau dann, wenn Var[aX + bY ]=0, also genau dann, wenn (vergleiche
Satz 5.6(ii)) aX + bY = c := E[aX + bY ] fast sicher.
Zeigen wir nun also die Aussage für die allgemeine positiv semidefinite Bilinearform
auf R. Ohne Einschränkung gilt 〈y, y〉 > 0 (sonst ist die Aussage trivial). Es
gilt dann mit θ = − 〈x,y〉
〈y,y〉
0 ≤ � x + θy, x + θy � �
〈y, y〉 = 〈x, x〉 +2θ〈x, y〉 + θ 2 �
〈y, y〉 〈y, y〉
= 〈x, x〉〈y, y〉−〈x, y〉 2 . ✷
Beispiel 5.9. (i) Es sei p ∈ [0, 1] und X ∼ Berp. DannistE[X 2 ]=E[X] =
P[X =1]=p und damit Var[X] =p(1 − p).
(ii) Seien n ∈ N und p ∈ [0, 1] sowie X binomialverteilt X ∼ bn,p. Dannist