Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

330 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
Satz 16.25. Es sei PX im Anziehungsbereich einer α-stabilen Verteilung – es gelte
also Bedingung (ii) oder (iii) aus Satz 16.24 – und es sei (an)n∈N so gewählt, dass
nU(an)
C := lim
n→∞ a2 ∈ (0, ∞)
n
existiert. Es sei ferner μ diejenige stabile Verteilung mit Index α, deren charakteristische
Funktion durch (16.18) gegeben ist mit c + = Cp und c − = C(1 − p).
(i) Im Falle α ∈ (0, 1) sei bn ≡ 0.
(ii) Im Falle α =2 und Var[X] < ∞ sei E[X] =0.
(iii) Im Falle α ∈ (1, 2] sei bn = n E[X] für jedes n ∈ N.
(iv) Im Falle α =1 sei bn = nan E[sin(X/an)] für jedes n ∈ N.
Dann gilt
Sn − bn
an
n→∞
=⇒ μ.
Korollar 16.26. Liegt PX im Anziehungsbereich einer stabilen Verteilung mit Index
α, sogiltE � |X| β� < ∞ für alle β ∈ (0,α) und E � |X| β� = ∞, falls β>α
und α0,
0, sonst.
Man zeige:
(i) F ist die Verteilungsfunktion einer 1
2-stabilen Verteilung.
(ii) Sind X1,X2,... u.i.v. mit Verteilungsfunktion F , so divergiert 1
n
für n →∞fast sicher.
� n
k=0 Xk
Hinweis: Man bestimme die Dichte von F und zeige, dass die Laplace Transformierte
gegeben ist durch λ ↦→ e −√ 2λ . ♣
Übung 16.2.4. Welche der folgenden Verteilungen liegen im Anziehungsbereich einer
stabilen Verteilung und gegebenenfalls zu welchem Parameter?