Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 445
�Xt(ω) := lim
Q + Xs(ω)
∋s↓t, s>t
und ist RCLL. Für ω ∈ Ac setzen wir Xt(ω) =0.DaF die üblichen Bedingungen
erfüllt, ist � X an F adaptiert. Da X ein Supermartingal ist, ist (Xs)s≤N für jedes N
gleichgradig integrierbar. Also gilt (nach Voraussetzung), dass
E[ � Xt] = lim
Q + E[Xs] =E[Xt].
∋s↓t, s>t
Da X ein Supermartingal ist, ist aber für s>t
Xt ≥ E[Xs |Ft] Q+ ∋s↓t, s>t
−→ E[ � Xt |Ft] = � Xt in L 1 .
Folglich ist Xt = � Xt fast sicher, also � X eine Modifikation von X. ✷
Korollar 21.25. Sei (νt)t≥0 eine stetige Faltungshalbgruppe mit � |x|ν1(dx) < ∞.
Dann existiert ein Markov-Prozess X mit unabhängigen, stationären Zuwächsen
PXt−Xs = νt−s für alle t>sund mit RCLL Pfaden.
Sei E ein lokalkompakter, polnischer Raum und C0(E) die Menge der (beschränkten)
stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden. Ist κ ein stochastischer
Kern von E nach E und ist f messbar und beschränkt, so schreiben wir κf(x) =
� κ(x, dy) f(y).
Definition 21.26. Eine Markov’sche Halbgruppe (κt)t≥0 auf E heißt Feller’sche
Halbgruppe, falls
f(x) = lim κtf(x) für jedes x ∈ E, f ∈ C0(E)
t→0
und κtf ∈ C0(E) für jedes f ∈ C0(E).
Sei X ein zu (κt)t≥0 gehöriger Markovprozess bezüglich einer Filtration F, die die
üblichen Bedingungen erfüllt.
Sei g ∈ C0(E), g ≥ 0. Setze h = � ∞
e −s κsh = e −s
� ∞
0
0 e−tκtgdt.Dannist � ∞
e −t κsκtgdt=
s
e −t κtgdt≤ h.
Also ist Xg := (e−th(Xt))t≥0 ein F-Supermartingal.
Die Fellereigenschaft und Satz 21.24 sichern nun die Existenz einer RCLL Version
�X g von Xg . Mit etwas mehr Arbeit kann man zeigen, dass mit einer abzählbaren
Menge G ⊂ C0(E) ein Prozess � X durch alle � Xg , g ∈ G, eindeutig festgelegt ist
und eine RCLL Version von X ist. Siehe etwa [139, Kapitel III.7ff].
Wir wollen nun rückblicken, wie wir die starke Markoveigenschaft der Brown’schen
Bewegung in Abschnitt 21.3 hergeleitet hatten. Tatsächlich wurde dort lediglich
die Rechtsstetigkeit der Pfade sowie eine Stetigkeit im Anfangspunkt benötigt, die
genau die Fellereigenschaft ist. Mit etwas Arbeit kann man daher den folgenden
Satz zeigen (siehe etwa [139, Kapitel III.8ff] oder [137, Kapitel III, Theorem 2.7]).