Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

550 25 Das Itô-Integral
Nach Satz 25.39 ist aber (wegen �WτR� = R für R>�x�)
�
1, falls d ≤ 2,
PWτ [τs < ∞] =
R
(s/R) d−2 , falls d>2.
Also ist
�
P lim inf
t→∞ �Wt�
�
� 1,
2.
Hieraus folgt aber die Aussage des Satzes. ✷
Definition 25.40 (Polare Menge). Eine Menge A ⊂ Rd heißt polar, falls
�
Wt �∈ A für alle t>0 � =1 für alle x ∈ R d .
Px
Satz 25.41. Ist d =1, so ist nur die leere Menge polar. Ist d ≥ 2, soist {y} polar
für jedes y ∈ R d .
Beweis. Für d =1ist die Aussage klar, wegen
lim sup Wt = ∞ und lim inf
t→∞
t→∞ Wt = −∞ f.s.
Aufgrund der Stetigkeit von W wird also jeder Punkt y ∈ R immer wieder getroffen.
Sei nun d ≥ 2. Ohne Einschränkung sei y =0.Istx�= 0,soist
�
Px τ{0} < ∞ � � �
= lim τ{0} 0 Px
= lim
R→∞ inf
r>0 ur,R(x) =0,
(25.27)
weil Vd(r) r→0
−→ −∞, falls d ≥ 2.
Ist hingegen x =0, so gilt wegen der starken Markoveigenschaft der Brown’schen
Bewegung (und weil P0[Wt =0]=0 ist für alle t>0)
P0
�
τ{0} < ∞ � =supP0
t>0
=supP0
t>0
� Ws =0 für ein s ≥ t �
� PWt [τ {0} < ∞] � =0,
wobei wir im letzten Schritt (25.27) ausgenutzt haben. ✷