Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Wir betrachten eine symmetrische einfache Irrfahrt auf Z2 . Nach dem Satz von
Pólya (Satz 17.39) ist diese Irrfahrt rekurrent. Was passiert aber, wenn wir eine
einzelne Kante aus dem Gitter L2 von Z2 entfernen? Intuitiv sollte dies nichts an
der Rekurrenz ändern. Die in Kapitel 17.5 verwendeten Rechnungen sind allerdings
in dieser Hinsicht nicht sehr robust und können hier nicht mehr zum Beweis der
Rekurrenz benutzt werden. Noch unübersichtlicher wird die Situation, wenn wir die
Irrfahrt auf die obere Halbebene {(x, y) : x ∈ Z,y ∈ N0} von Z2 beschränken. Wie
sieht es hier mit der Rekurrenz aus? Oder wir betrachten die Situation von Kantenperkolation
auf Z2 .Wirfixieren einen Parameter p ∈ [0, 1] und definieren jede
Kante von L2 mit Wahrscheinlichkeit p als offen und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p
als geschlossen. Nachdem dies im ersten Schritt geschehen ist, wird die Irrfahrt auf
dem zufälligen Teilgraphen der offenen Kanten betrachtet. Der Irrfahrer wählt in jedem
Schritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der benachbarten offenen Kanten
aus. Für p> 1
2 existiert genau eine unendlich große Zusammenhangskomponente
offener Kanten (Satz 2.47). Ist die Irrfahrt auf dieser (zufälligen) Komponente
rekurrent oder transient?
Ziel dieses Kapitels ist es, einen Zusammenhang zwischen gewissen Markovketten
und elektrischen Netzwerken herzustellen, der
– es in manchen Fällen erlaubt, zwischen Rekurrenz und Transienz anhand von
leicht berechenbaren Größen zu entscheiden,
– in anderen Fällen ein Vergleichskriterium bietet, das besagt, dass eine Irrfahrt auf
einem Teilgraphen rekurrent ist, wenn die Irrfahrt auf dem ursprünglichen Graphen
rekurrent ist. Damit lässt sich für alle oben betrachteten Irrfahrten Rekurrenz
nachweisen.
Dieses Kapitel lehnt sich an [109] und [36] an.
19.1 Harmonische Funktionen
Sei in diesem Kapitel stets E eine abzählbare Menge und X eine diskrete Markovkette
auf E mit Übergangsmatrix p und Greenfunktion G.