Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

244 13 Konvergenz von Maßen
�
lim sup�E[f(Yn)]
− E[f(X)]
n→∞
� �
�
≤ lim sup �E[f(X)] − E[f(Xn)]
n→∞
� �
� + lim sup �E[f(Xn) − f(Yn)]
n→∞
� � =0. ✷
n→∞
Korollar 13.19. Gilt Xn −→ X stochastisch, so gilt auch Xn
Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.
D
−→ X, n →∞.
Beispiel 13.20. Sind X, X1,X2,...u.i.v. (mit nicht-trivialer Verteilung), so gilt trivialerweise
Xn
D
−→ X, jedoch nicht Xn
n→∞
−→ X stochastisch. ✸
Man erinnere sich an die Definition der Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes
in Definition 1.59.
Definition 13.21. Seien F, F1,F2,... Verteilungsfunktionen von W-Maßen auf R.
n→∞
Wir sagen (Fn)n∈N konvergiere schwach gegen F , in Formeln Fn =⇒ F ,
Fn
D
−→ F oder F =w-lim
n→∞ Fn,wenn
F (x) = lim
n→∞ Fn(x) für alle Stetigkeitspunkte x von F. (13.6)
Sind F, F1,F2,... Verteilungsfunktionen von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen, so
setzen wir F (∞) := limx→∞ F (x) und fordern für die schwache Konvergenz
zusätzlich F (∞) ≥ lim supn→∞ Fn(∞).
Man beachte, dass aus (13.6) stets F (∞) ≤ lim infn→∞ Fn(∞) folgt. Gilt nun
D
−→ F , so ist also F (∞) = limn→∞ Fn(∞).
Fn
Beispiel 13.22. Ist F die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf
R und Fn(x) :=F (x + n) für x ∈ R,sokonvergiert(Fn)n∈N punktweise gegen 1.
Dies ist jedoch keine Verteilungsfunktion, da diese für x →−∞gegen Null konvergieren.
Ist andererseits Gn(x) =F (x − n),sokonvergiert(Gn)n∈N punktweise
gegen G ≡ 0. Nun ist aber G(∞) =0< lim sup n→∞ Gn(∞) =1, also liegt auch
in diesem Falle keine schwache Konvergenz vor. In der Tat: es tritt jeweils im Limes
ein Massendefekt ein (bei den Fn nach links, bei den Gn nach rechts). Die Definition
der schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen ist aber so angelegt, dass
kein Massendefekt im Limes eintreten darf. ✸
Satz 13.23. Seien μ, μ1,μ2,... ∈M≤1(R) mit zugehörigen Verteilungsfunktionen
F, F1,F2,... Dann sind äquivalent
(i) μ =w-lim
n→∞ μn,
(ii) Fn
D
−→ F .