Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

80 3 Erzeugendenfunktion
also
ψSn(z) = lim
k→∞ ψSn(z) =
k
∞�
l=1
=exp
(pn,lz +(1− pn,l))
� ∞�
l=1
log � 1+pn,l(z − 1) ��
.
Für |x| < 1
2 ist | log(1 + x) − x| ≤x2 . Nach Voraussetzung gilt max
l∈N pn,l → 0 für
n →∞, also ist für hinreichend großes n
��
� �∞
�
� log
l=1
� 1+pn,l(z − 1) ��
� ∞�
��
���
− (z − 1) pn,l
l=1
∞�
≤ p 2 �
∞�
�
n→∞
n,l ≤
−→ 0.
Zusammen mit (3.11) folgt
lim ψSn(z) = lim
n→∞ n→∞ exp
3.3 Verzweigungsprozesse
l=1
l=1
�
∞�
(z − 1)
l=1
pn,l
pn,l
max
l∈N pn,l
�
= e λ(z−1) . ✷
Seien T,X1,X2,...unabhängige, N0-wertige Zufallsvariablen. Wie sieht die Verteilung
von S := �T n=1 Xn aus? Zunächst bemerken wir, dass S messbar ist, denn
∞�
{S = k} = {T = n}∩{X1 + ...+ Xn = k}.
n=0
Satz 3.8. Sind die X1,X2,...zusätzlich identisch verteilt, so ist die Erzeugendenfunktion
von S gegeben durch ψS(z) =ψT (ψX1 (z)).
Beweis.
ψS(z) =
=
=
∞�
P[S = k] z k
k=0
∞�
k=0 n=0
∞�
n=0
∞�
P[T = n] P[X1 + ...+ Xn = k] z k
P[T = n] ψX1 (z)n �
= ψT ψX1 (z)� . ✷