Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

214 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Bemerkung 11.8. Die Aussage von Satz 11.7 lässt sich so ausdrücken: Der Prozess
(Xn) n∈N0∪{∞} ist ein (Sub-, Super-) Martingal bezüglich (Fn) n∈N0∪{∞}. ✸
Beweis. Wir führen den Beweis für den Fall, wo X ein Submartingal ist. Gleichgradige
Integrierbarkeit impliziert sup{E[X + n ]: n ≥ 0} < ∞. Nach Satz 11.4 existiert
der fast sichere Limes X∞. Nach Satz 6.25 gilt dann E[|Xn − X∞|] n→∞
−→ 0.
Nach Korollar 8.20 impliziert diese L1-Konvergenz schon die L1-Konvergenz der
bedingten Erwartungen E �� �
�
�E[Xn �Fm] − E[X∞
�Fm] � � � n→∞
−→ 0. DaX ein Submartingal
ist, ist � � �− E[Xn
�Fm] − Xm =0für n ≥ m. Die Dreiecksungleichung
liefert also
� �E[X∞ � � �
−
E �Fm] − Xm = lim
n→∞ E
� �E[Xn � � �
− �Fm] − Xm =0.
�
Es folgt, dass E[X∞ �Fm] − Xm ≥ 0 fast sicher. ✷
Korollar 11.9. Sei X ≥ 0 ein Martingal und X∞ = lim
n→∞ Xn. Genau dann ist
E[X∞] =E[X0], wennX gleichgradig integrierbar ist.
Beweis. Das folgt direkt aus Satz 6.25. ✷
Sei p ∈ [1, ∞). Ein reellwertiger stochastischer Prozess (Xi)i∈I heißt L p –beschränkt,
falls sup i∈I E[|Xi| p ] < ∞ (Definition 6.20). Im Allgemeinen folgt aus
der L p –Beschränktheit eines Prozesses (Xi)i∈I nicht, dass (|Xi| p )i∈I gleichgradig
integrierbar wäre. Ist X ein Martingal und p > 1, so folgt dies jedoch aus
der Doob’schen Ungleichung. Insbesondere folgt dann aus fast sicherer Konvergenz
schon die Konvergenz in L p .
Satz 11.10 (Lp-Konvergenzsatz für Martingale).
Sei p>1 und (Xn)n∈N0 ein Lp-beschränktes Martingal. Dann existiert eine F∞messbare
Zufallsvariable X∞ mit E[|X∞| p n→∞
] < ∞, sowie Xn −→ X∞ fast
gleichgradig integrierbar.
sicher und in L p . Speziell ist (|Xn| p )n∈N0
Beweis. Nach Korollar 6.21 ist X gleichgradig integrierbar. Also existiert der fast
sichere Limes X∞. Nach der Doob’schen Ungleichung (Satz 11.2) ist für n ∈ N
E � sup � |Xk| p : k ≤ n �� � �p p
≤
E
p − 1
� |Xn| p� .
Also ist
�
E sup � |Xk| p �
: k ∈ N0
� � �p p
�
≤
sup E
p − 1
� |Xn| p� �
: n ∈ N0 < ∞.
Insbesondere ist (|Xn| p )n∈N0 also gleichgradig integrierbar.
Majorisierte Konvergenz liefert (wegen |Xn − X∞| p ≤ 2p sup{|Xn| p : n ∈ N0})
E � |X∞| p� < ∞ und E � |Xn − X∞| p� n→∞
−→ 0. ✷