Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

56 2 Unabhängigkeit
Xn : Ω → E, (ωm)m∈N ↦→ ωn,
die Projektion auf die n-te Koordinate. Mit anderen Worten: Zu jedem Elementarereignis
ω ∈ Ω liefert Xn(ω) das Ergebnis des n-ten Experiments. Dann gilt nach
(2.4) (in Beispiel 2.4) für n ∈ N und x ∈ En P � Xj = xj für jedes j =1,...,n � = P � [x1,...,xn] � �
�n
= P X −1
�
j ({xj})
=
n�
j=1
P � X −1
j ({xj}) � =
j=1
n�
P[Xj = xj],
sowie P[Xj = xj] =pxj . Nach Satz 2.13(i) sind also (X1,...,Xn) unabhängig
und nach Satz 2.13(ii) auch (Xn)n∈N. ✸
Speziell haben wir den folgenden Satz gezeigt.
Satz 2.19. Sei E eine endliche Menge und (pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor
auf E. Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) und eine unabhängige
Familie (Xn)n∈N von E-wertigen Zufallsvariablen auf (Ω,A, P) mit
P[Xn = e] =pe für jedes e ∈ E.
Wir werden später sehen, dass wir auf die Endlichkeit von E verzichten können
und auch unterschiedliche Verteilungen zulassen können. Für den Moment gibt uns
dieser Satz aber genügend Beispiele für abzählbare Familien von unabhängigen Zufallsvariablen
an die Hand.
Wir wollen nun einfache Kriterien zur Prüfung der Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
herleiten, die sich mit Hilfe von Verteilungsfunktionen beziehungsweise
Dichten ausdrücken lassen.
Definition 2.20. Für jedes i ∈ I sei Xi eine reelle Zufallsvariable. Für jede endliche
Teilmenge J ⊂ I sei
FJ := F (Xj)j∈J : R J → [0, 1],
x ↦→ P � Xj ≤ xj für jedes j ∈ J � �
�
= P
j∈J
j=1
X −1�
j (−∞,xj] ��
.
Dann heißt FJ die gemeinsame Verteilungsfunktion von (Xj)j∈J. Das W-Maß
P (Xj)j∈J auf R J heißt gemeinsame Verteilung von (Xj)j∈J.
Satz 2.21. Eine Familie (Xi)i∈I reeller Zufallsvariablen ist genau dann unabhängig,
wenn für jedes endliche J ⊂ I und jedes x =(xj)j∈J ∈ RJ gilt, dass
FJ(x) = �
F {j}(xj). (2.8)
j∈J