Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.3 Hilberträume 147
wobei wir im letzten Schritt ausgenutzt haben, dass p − p/q =1ist. Teilen wir nun
beide Seiten durch �f + g� p−1
p , so folgt (7.2). ✷
Wir haben in Satz 7.17 die Dreiecksungleichung gezeigt und damit, dass � · �p
eine Norm ist. In Satz 7.3 wurde hingegen gezeigt, dass diese Norm vollständig
ist (jede Cauchy-Folge konvergiert). Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt
Banachraum. Wir haben also den folgenden Satz gezeigt:
Satz 7.18 (Fischer-Riesz). Für p ∈ [1, ∞] ist (L p (μ), � · �p) ein Banachraum.
Übung 7.2.1. Zeige die Hölder’sche Ungleichung mit Hilfe der Jensen’schen Ungleichung
mit der Funktion aus Beispiel 7.13. ♣
Übung 7.2.2. Zeige die Minkowski’sche Ungleichung mit Hilfe der Jensen’schen
Ungleichung mit der Funktion aus Beispiel 7.14. ♣
Übung 7.2.3. Sei X eine reelle Zufallsvariable und p, q ∈ (1, ∞) mit 1
p
+ 1
q =1.
Zeige: X ist genau dann in L p (P), wenn es ein C 0 für jedes x ∈ V \{0}.
Gelten lediglich (i), (ii) und 〈x, x〉 ≥0 für jedes x, soheißt〈 · , · 〉 eine positiv
semidefinite symmetrische Bilinearform.
Ist 〈 · , · 〉 ein Skalarprodukt, so heißt (V,〈 · , · 〉) ein (reeller) Hilbertraum, falls
die durch �x� := 〈x, x〉 1/2 definierte Norm vollständig ist, falls also (V,� · �) ein
Banachraum ist.