Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

520 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Die Parameter θ1,...,θn entsprechen (falls ganzzahlig) den Anzahlen der Kugeln
der einzelnen Farben, die ursprünglich in der Urne liegen. Wenn wir nun nicht ganz
so genau hinschauen und Kugeln zweier Farben, etwa n−1 und n zusammenfassen,
so sollten wir als Grenzverteilung für die Frequenzen Dirθ1,...,θn−2,θn−1+θn erhalten.
Sei (Mt)t≥0 der Moran-Gamma-Subordinator, also ein stochastischer Prozess
mit rechtsstetigen, monoton wachsenden Pfaden t ↦→ Mt und unabhängigen,
stationären, Gamma-verteilten Zuwächsen: Mt − Ms ∼ Γ1,t−s für t>s≥ 0.
Einen wichtigen Zusammenhang zwischen der Dirichlet-Verteilung und M liefert
der folgende Satz.
Satz 24.26. Seien n ∈ N und θ1,...,θn > 0 sowie Θ := θ1 + ... + θn. Seien
X ∼ Dirθ1,...,θn und Z ∼ Γ1,Θ unabhängige Zufallsvariablen. Dann sind die
Zufallsvariablen Si := Z · Xi, i =1,...,nunabhängig und Si ∼ Γ1,θi .
Beweis. Sei im Folgenden stets xn := 1 − � n−1
i=1 xi und s = � n
j=1 sj. SeiΔ ′ n :=
{x1,...,xn−1 > 0: � n−1
i=1 xi < 1}. Die Verteilung von (X1,...,Xn−1,Z) hat
(für x ∈ Δ ′ n und z ≥ 0) die Dichte
f(x1,...,xn−1,z)=
n� �
j=1
x θj−1
j
�
/Γ (θj)
z Θ−1 e −z .
Betrachte die Abbildung F : Δ ′ n−1 × (0, ∞) → (0, ∞) n , (x1,...,xn−1,z) ↦→
(zx1,...,zxn). Die Abbildung ist invertierbar mit Umkehrabbildung
F −1 :(s1,...,sn) ↦→ (s1/s,...,sn−1/s, s).
Die Ableitung von F hat die Determinante det(F ′ (x1,...,xn−1,z)) = z n−1 . Nach
der Transformationsformel für Dichten (Satz 1.101) hat (S1,...,Sn) die Dichte
g(s1,...,sn) =
=
=
f(F −1 (s1,...,sn))
| det(F ′ (F −1 (s1,...,sn)))|
n� �
(sj/s) θj−1 /Γ (θj) � sΘ−1e−s j=1
s n−1
n� �
(sj/s) θj−1 e −sj /Γ (θj) � .
j=1
Dies ist aber die Dichte von unabhängigen Gamma-Verteilungen. ✷
Korollar 24.27. Ist ti := �i j=1 θj für i =0,...,n, so sind die Zufallsvariablen
X =((Mti−Mti−1 )/Mtn , i =1,...,n) und S := Mtn unabhängig und X ∼
sowie S ∼ Γ1,tn .
Dirθ1,...,θn
Korollar 24.28. Sei (X1,...,Xn) ∼ Dirθ1,...,θn . Dann sind X1 ∼ β θ1, � n
i=2 θi und
(X2/(1 − X1),...,Xn/(1 − X1)) ∼ Dirθ2,...,θn unabhängig.