Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
Definition 14.40. Sei E ein polnischer Raum. Sei I ⊂ [0, ∞) eine Halbgruppe
(zum Beispiel I = N0 oder I = [0, ∞)). Eine Familie (κt : t ∈ I) von stochastischen
Kernen heißt eine Halbgruppe von stochastischen Kernen, oder Markov’sche
Halbgruppe, falls sie die Chapman-Kolmogorov’sche Gleichung erfüllt:
κs · κt = κs+t für alle s, t ∈ I. (14.13)
Tatsächlich ist ({κt : t ∈ I}, · ) eine Halbgruppe im algebraischen Sinne, und die
Abbildung t → κt ist ein Halbgruppenhomomorphismus. Insbesondere kommutieren
die Kerne in dem Sinne, dass κs · κt = κt · κs für alle s, t ∈ I.
Lemma 14.41. Ist (κt : t ∈ I) eine Markov’sche Halbgruppe, so ist die für t>s
durch ˜κs,t := κt−s definierte Familie von Kernen konsistent.
Beweis. Das ist trivial. ✷
Satz 14.42 (Kern durch konsistente Familie von Kernen). Sei I ⊂ [0, ∞) mit
0 ∈ I und (κs,t : s, t ∈ I,s