Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

10.2 Optional Sampling und Optional Stopping 203
10.2 Optional Sampling und Optional Stopping
Lemma 10.10. Sei I ⊂ R höchstens abzählbar, (Xt)t∈I � ein Martingal, T ∈ I und τ
eine Stoppzeit mit τ ≤ T . Dann gilt Xτ = E[XT
�Fτ ] und speziell E[Xτ ]=E[X0].
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass E[XT A] =E[Xτ A] für jedes A ∈Fτ gilt.
Nach der Definition von Fτ ist {τ = t}∩A ∈Ft für jedes t ∈ I, also
E[Xτ A] = �
E[Xt {τ=t}∩A] = �
E � �
�
E[XT
�Ft] {τ=t}∩A
t≤T
t≤T
= �
E[XT A {τ=t}] = E[XT A]. ✷
t≤T
Satz 10.11 (Optional Sampling Theorem). Sei X =(Xn)n∈N0 ein Supermartingal,
und seien σ ≤ τ Stoppzeiten.
(i) Gibt es ein T ∈ N mit τ ≤ T , dann ist
�
Xσ ≥ E[Xτ
�Fσ] und speziell E[Xσ] ≥ E[Xτ ].IstX ein Martingal, so gilt jeweils Gleichheit.
(ii) Ist X nichtnegativ und τ < ∞ f.s., �so
gelten E[Xτ ] ≤ E[X0] < ∞,
E[Xσ] ≤ E[X0] < ∞ und Xσ ≥ E[Xτ �Fσ].
(iii) Ist allgemeiner X lediglich adaptiert und integrierbar, so ist X genau dann
ein Martingal, wenn E[Xτ ]=E[X0] für jede beschränkte Stoppzeit τ gilt.
Beweis. (i) Sei X = M + A die Doob-Zerlegung von X, also A vorhersagbar
und monoton fallend, A0 =0, und M ein Martingal. Dann ist nach Lemma 10.10,
angewandt auf M,
�
Xσ = Aσ + Mσ = E[Aσ + MT �Fσ]
�
�
≥ E[Aτ + MT
�Fσ] = E[Aτ + E[MT
�Fτ ] � �Fσ]
�
�
= E[Aτ + Mτ
�Fσ] = E[Xτ
�Fσ]. Wir haben dabei Fτ ⊃Fσ, die Turmeigenschaft und die Monotonie der bedingten
Erwartung (Satz 8.14) ausgenutzt.
n→∞
(ii) Es gilt Xτ∧n −→ Xτ fast sicher. Nach (i) gilt E[Xτ∧n] ≤ E[X0] für jedes
n ∈ N. Nach dem Lemma von Fatou ist also
Analog zeigt man E[Xσ] ≤ E[X0].
E[Xτ ] ≤ lim inf
n→∞ E[Xτ∧n] ≤ E[X0] < ∞.