Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 87
(ii) Sei A = {ω : f(ω) =∞}. Für n ∈ N ist 1
n f {f≥n} ≥ {f≥n}, also nach
Lemma 4.6(i)
� �
μ(A) = A dμ ≤
{f≥n} dμ ≤ 1
�
n
f {f≥n} dμ ≤ 1
�
n
Satz 4.9 (Eigenschaften des Integrals). Seien f,g ∈L 1 (μ).
(i) (Monotonie) Ist f ≤ g fast überall, so ist � fdμ≤ � gdμ.
Ist speziell f = g fast überall, so ist � fdμ= � gdμ.
(ii) (Dreiecksungleichung) Es gilt stets � � � fdμ � � ≤ � |f| dμ.
(iii) (Linearität) Sind α, β ∈ R, dann ist αf + βg ∈L1 (μ) und
�
� �
(αf + βg) dμ = α fdμ+ β gdμ.
fdμ n→∞
−→ 0. ✷
Diese Gleichung gilt auch, wenn höchstens eines der Integrale � fdμund
� gdμeinen der Werte ±∞ annimmt.
Beweis. (i) Es gilt f + ≤ g + und f − ≥ g − f.ü., also ist nach Lemma 4.6(i)
�
Es folgt
�
fdμ =
f + dμ ≤
�
�
f + �
dμ −
g + dμ und
f − dμ ≤
�
�
f − dμ ≥
g + �
dμ −
�
g − dμ.
g − dμ =
(ii) Wegen f + + f − = |f| ist nach Lemma 4.6(iii)
� �
�
�
� � �
� �
fdμ�
= � f + �
dμ − f − � �
�
dμ�
≤ f + �
dμ + f − dμ
�
gdμ.
�
�f + −
= + f � �
dμ = |f| dμ.
(iii) Wegen |αf + βg| ≤ |α| ·|f| + |β| ·|g| ist nach Lemma 4.6(i) und (iii)
auch αf + βg ∈L 1 (μ). Um die Linearität zu zeigen, reicht es die drei folgenden
Eigenschaften zu prüfen.
(a) � (f + g) dμ = � fdμ+ � gdμ.
(b) Für α ≥ 0 ist � αf dμ = α � fdμ.
(c) � (−f) dμ = − � fdμ.