Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

20.1 Begriffsbildung 417
Beispiel 20.8. Sei n ∈ N \{1}, Ω = Z/(n), A =2 Ω und P die Gleichverteilung
auf Ω.Seir ∈{1,...,n} und
τ : Ω → Ω, x ↦→ x + r (mod n).
Dann ist τ maßtreu. Ist d = ggT(n, r) und für i =0,...,d− 1
Ai = � i, τ(i),τ 2 (i),...,τ n−1 (i) � = i + 〈r〉,
so sind A0,...,Ad−1 die disjunkten Nebenklassen des Normalteilers 〈r〉 ✂ Ω.Also
ist Ai ∈Ifür i =0,...,d− 1, und jedes A ∈Iist Vereinigung von gewissen Ai.
Mithin gilt:
(Ω,A, P,τ) ist ergodisch ⇐⇒ ggT(r, n) =1. ✸
Beispiel 20.9 (Rotation). Sei Ω =[0, 1), A = B(Ω), P = λ das Lebesgue-Maß,
r ∈ (0, 1) und τr(x) =x + r (mod 1).Offenbarist(Ω,A, P,τr) ein maßerhaltendes
dynamisches System.
Sei zunächst r rational, also r = p
q für gewisse teilerfremde Zahlen p, q ∈ N. Setze
A0 = � 0, 1
� �q−1 2q und A = n=0 τ n r (A0). Wegenτq =idΩ, istA∈Iund P[A] = 1
2 ,
also ist (Ω,A, P,τr) nicht ergodisch.
Sei nun r ∈ (0, 1) irrational. Offenbar gilt für jedes x ∈ [0, 1) und ε>0, dass
�∞ k=1
τ −k
r (Bε(x)) = [0, 1), weil {x, τ −1
r (x),τ −2
r (x),...}⊂[0, 1) dicht ist. Also
gilt für jede offene Menge V ∈ I entweder V = ∅ oder V = [0, 1). Sei nun
A ∈Ibeliebig mit P[A] > 0. Nach dem Approximationssatz für Maße (Satz 1.65)
existiert ein offene Menge U ⊂ A mit P[U] > 0. Setzen wir
V =
∞�
k=−∞
τ k r (U) ⊂
∞�
k=−∞
τ k r (A) =A,
so ist V offen und V ∈I, also V =[0, 1) und damit A =[0, 1).
Wir haben also gezeigt:
(Ω,A, P,τr) ist ergodisch ⇐⇒ r ist irrational. ✸
Beispiel 20.10. Sei X =(Xn)n∈N0 ein stochastischer Prozess mit Werten in einem
polnischen Raum E. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass X der kanonische
Prozess auf dem W-Raum (Ω,A, P) = � EN0 , B(E) ⊗N0 , P � ist. Definiere
den Shift
τ : Ω → Ω, (ωn)n∈N0 ↦→ (ωn+1)n∈N0 .
Dann ist Xn(ω) =X0(τ n (ω)).AlsoistXgenau dann stationär, wenn (Ω,A, P,τ)
ein maßerhaltendes dynamisches System ist. ✸
Definition 20.11. Der stochastische Prozess X (aus Beispiel 20.10) heißt ergodisch,
falls (Ω,A, P,τ) ergodisch ist.