Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19.4 Rekurrenz und Transienz 401
Beispiel 19.28. Die symmetrische einfache Irrfahrt auf E = Z2 ist rekurrent.
Hier ist wieder C(x, y) = {|x−y|=1}. SeiBn = {−n,...,n} 2 und ∂Bn =
Bn \ Bn−1. Wir stellen ein Netzwerk C ′ mit größeren Leitfähigkeiten her, indem
wir ringförmige Supraleiter entlang ∂B einfügen Wir ersetzen also C(x, y) durch
C ′ �
∞,
(x, y) =
C(x, y),
falls x, y ∈ ∂Bn
sonst.
für ein n ∈ N,
Abb. 19.3. Elektrisches Netzwerk auf Z 2 . Die fetten Linien stellen Supraleiter dar. Zwischen
dem n-ten und dem (n +1)-ten Supraleiter sind genau 4(2n +1)Kanten.
Dann ist R ′ eff (Bn ↔ B c n)=
die Bn mit B c n verbinden), und daher ist
1
4(2n+1) (merke: 4(2n +1)ist die Anzahl der Kanten,
R ′ eff(0 ↔∞)=
∞�
n=0
1
= ∞.
4(2n +1)
Nach dem Monotonieprinzip ist daher Reff(0 ↔∞) ≥ R ′ eff (0 ↔∞)=∞. ✸
5
4
3
2
1
0