Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Die linke Seite in (26.6) ist aber gleich
n�
E � (Ii(T )) 2� � � T
= E
i=1
0
n�
m�
i=1 j=1
26.1 Starke Lösungen 555
H 2 �
ij(s) ds.
Die Behauptung folgt nun aus der Definition von �H(s)� 2 . ✷
Satz 26.8. Seien b und σ Lipschitz-stetig in der ersten Koordinate. Das heißt, es
existiere eine Konstante K>0, sodass für alle x, x ′ ∈ R n und t ≥ 0 gilt, dass
�σ(x, t) − σ(x ′ ,t)� + �b(x, t) − b(x ′ ,t)� ≤K �x − x ′ �. (26.7)
Ferner gelte die Wachstumsbedingung
�σ(t, x)� 2 + �b(t, x)� 2 ≤ K 2 (1 + �x� 2 ) für alle x ∈ R n ,t≥ 0. (26.8)
Dann existiert für jeden Anfangswert X0 = x ∈ R n eine eindeutige starke
Lösung X der SDGL (26.1). Diese Lösung ist ein Markovprozess und im Falle,
wo σ und b nicht von t abhängen, ein starker Markovprozess.
Als Hilfsmittel brauchen wir ein Lemma.
Lemma 26.9 (Gronwall). Seien f,g :[0,T] → R integrierbar und C > 0 so,
dass
� t
f(t) ≤ g(t)+C f(s) ds für alle t ∈ [0,T]. (26.9)
Dann ist
f(t) ≤ g(t)+C
� t
0
0
e C(t−s) g(s) ds für alle t ∈ [0,T].
Ist speziell g(t) ≡ G konstant, so ist f(t) ≤ Ge Ct für alle t ∈ [0,T].
Beweis. Seien F (t) = � t
0 f(s) ds und h(t) =F (t) e−Ct . Dann ist nach (26.9)
Integration liefert
Einsetzen in (26.9) liefert
d
dt h(t) =f(t) e−Ct − CF(t) e −Ct ≤ g(t) e −Ct .
F (t) =e Ct h(t) ≤
� t
f(t) ≤ g(t)+CF(t) ≤ g(t)+C
0
e C(t−s) g(s) ds.
� t
0
g(s) e C(t−s) ds. ✷