Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 569
also ist (X, W) eine Lösung von (26.26). Nach Konstruktion ist Xt ∈ [0, 1] für alle
t ≥ 0, falls X0 = ˜ X0 ∈ [0, 1] ist.
Sei τ ′ := inf{t >0: ˜ Xt ∈ [0, 1]}. Ist ˜ X0 �∈ [0, 1], soistτ ′ > 0, weil ˜ X stetig ist.
Weil ˜ ′
τ X
ein stetiges lokales Martingal ist mit � ˜ X τ ′� ≡ 0, ist ˜ X τ ′
t = ˜ X0 für alle
t ≥ 0. Daraus folgt aber, dass ˜ Xt = ˜ X0 ist für alle t0 und t ≥ 0 gilt wegen der Markov-Eigenschaft von Y
g x,n � � � � Yt+h
Yt (t + h) =En x = En EYh x ��
=
=
n�
m=1
� Yt Pn[Yh = m] Em x �
n�
Pn[Yh = m] g x,m (t).
m=1