Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8.2 Bedingte Erwartungen 169
mit P[Y1 = ... = Yn =1 � �X = x]? Intuitiv sollte dies xn sein. Wir brauchen
einen Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit, der auch für Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit
Null in konsistenter Weise unserer Intuition entspricht. Wir werden
(im nächsten Abschnitt) sehen, dass dies im vorliegenden Beispiel mit Hilfe von
Übergangskernen möglich ist. Zunächst aber betrachten wir die allgemeine Situation.
Sei im Folgenden stets F ⊂ A eine Unter-σ-Algebra und X ∈L1 (Ω,A, P). In
Anlehnung an Lemma 8.10 treffen wir die folgende Definition.
Definition 8.11 (Bedingte Erwartung). Eine Zufallsvariable Y heißt bedingte
Erwartung von X gegeben F, symbolisch E[X |F]:=Y , falls gilt:
(i) Y ist F-messbar.
(ii) Für jedes A ∈Fgilt E[X A] =E[Y A].
Für B ∈Aheißt P[B |F]:=E[ B |F] die bedingte Wahrscheinlichkeit von B
gegeben F.
Satz 8.12. E[X |F] existiert und ist eindeutig (bis auf Gleichheit fast sicher).
Da bedingte Erwartungen nur bis auf Gleichheit f.s. definiert sind, sind alle Gleichheiten
mit bedingten Erwartungen immer nur als Gleichheiten f.s. zu verstehen, auch
wenn nicht explizit darauf hingewiesen wird.
Beweis. Eindeutigkeit. Seien Y und Y ′ Zufallsvariablen, die (i) und (ii) erfüllen.
Setze A = {Y > Y ′ }∈F. Dann ist nach Bedingung (ii)
0 = E[Y A] − E[Y ′ A] = E[(Y − Y ′ ) A].
Wegen (Y − Y ′ ) A ≥ 0, ist dann P[A] =0, also Y ≤ Y ′ fast sicher. Analog folgt
Y ≥ Y ′ fast sicher.
Existenz. Seien X + = X ∨ 0 und X − = X + − X. Durch
Q ± (A) :=E[X ± A] für jedes A ∈F,
werden zwei endliche Maße auf (Ω,F) definiert. Offenbar ist Q ± ≪ P, also liefert
der Satz von Radon-Nikodym (Korollar 7.34) die Existenz von Dichten Y ± , sodass
Q ± �
(A) = Y ± dP = E[Y ± A].
A
Setze nun Y = Y + − Y − . ✷
Definition 8.13. Ist Y eine Zufallsvariable und X ∈ L 1 (P), sodefinieren wir
E[X |Y ]:=E[X |σ(Y )].