Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.1 Begriffsbildung und Konstruktion 339
Wir bringen eine einfache Anwendung der starken Markoveigenschaft.
Satz 17.15 (Reflexionsprinzip). Seien Y1,Y2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
symmetrischer Verteilung L[Y1] =L[−Y1]. Setze X0 =0und Xn := Y1 + ...+
Yn für n ∈ N. Dann gilt für jedes n ∈ N0 und a>0
�
�
P sup Xm ≥ a
m≤n
≤ 2 P[Xn ≥ a] − P[Xn = a]. (17.8)
Gilt P[Y1 ∈{−1, 0, 1}] =1, so gilt für a ∈ N in (17.8) sogar Gleichheit.
Beweis. Sei a>0 und n ∈ N. Definiere die bei (n +1)abgeschnittene Zeit des
ersten Überschreitens von a
τ := inf{m ≥ 0: Xm ≥ a}∧(n +1).
Dann ist τ eine beschränkte Stoppzeit und
sup Xm ≥ a ⇐⇒ τ ≤ n.
m≤n
�
Setze f(m, X) = {m≤n} {Xn−m>a} + 1
�
2 {Xn−m=a} .Dannist
f � τ,(Xτ+m) m∈N0
� = {τ≤n}
� {Xn>a} + 1
2 {Xn=a}
Die starke Markoveigenschaft von X liefert
� �
� ��Fτ
�
E0 f τ,(Xτ+m) m≥0 = ϕ (τ,Xτ ) ,
wobei ϕ(m, x) =Ex[f(m, X)]. (Hierbei bezeichnet Ex die Erwartung für X, falls
X0 = x.) Wegen der Symmetrie der Yi ist
⎧
⎪⎨
≥
ϕ(m, x)
⎪⎩
1
2 , falls m ≤ n und x ≥ a,
= 1
2 , falls m ≤ n und x = a,
=0, falls m>n.
Also gilt
�
{τ ≤ n} = {τ ≤ n}∩{Xτ ≥ a} ⊂ ϕ(τ,Xτ ) ≥ 1
�
∩{τ ≤ n}
2
Nun folgt (17.8) aus
P[Xn >a]+ 1
2 P[Xn = a] =E � f � ��
τ,(Xτ+m)m≥0
� .
= {ϕ(τ,Xτ ) > 0}∩{τ ≤ n}.
� � 1
= E0 ϕ(τ,Xτ ) {τ≤n} ≥
2 P0 [τ ≤ n] .
(17.9)