Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

480 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Korollar 22.3. Es gilt fast sicher lim sup
t↓0
Bt
� 2t log log(1/t) =1.
Beweis. Nach Satz 21.14 ist (tB 1/t) eine Brown’sche Bewegung. Wende hierauf
Satz 22.1 an. ✷
Bemerkung 22.4. Die Aussage von Korollar 22.3 betrifft die typischen Punkte der
Brown’schen Bewegung B. Wie sieht es aber aus, wenn wir nach der Existenz von
Punkten t fragen, in denen sich B schneller als � 2t log log(1/t) bewegt? Auskunft
gibt hier ein Satz von Paul Lévy [103]: Bezeichnen wir mit h(δ) := � 2δ log(1/δ)
den Lévy’schen Stetigkeitsmodul,soist
�
P lim
δ↓0
sup |Bt − Bs|/h(δ) =1
s,t∈[0,1]
0≤t−s≤δ
�
=1. (22.7)
(Siehe etwa [137, Theorem I.2.5] für einen Beweis.) Hieraus folgt insbesondere,
-stetig ist. ✸
dass B fast sicher nicht lokal Hölder- 1
2
22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz
Um das Ergebnis des vorigen Abschnitts auf Summen von quadratintegrierbaren,
zentrierten Zufallsvariablen zu übertragen, brauchen wir eine Einbettung von solchen
Zufallsvariablen in eine Brown’sche Bewegung. Die gewünschte Darstellung
liefert der Satz von Skorohod. Mit dieser Technik lässt sich auch ein alternativer
Beweis des Satzes von Donsker (Invarianzprinzip, Satz 21.43) angeben.
Satz 22.5 (Skorohod’scher Einbettungssatz). Sei X eine reelle Zufallsvariable
mit E[X] =0und Var[X] < ∞. Dann existiert auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
eine Filtration F und eine Brown’sche Bewegung B, die ein
F-Martingal ist, sowie eine F–Stoppzeit τ mit
Bτ
D
= X und E[τ] =Var[X].
Bemerkung 22.6. Man kann auch zeigen, dass F = σ(B) gewählt werden kann.
Das ist allerdings aufwändiger und wird hier nicht benötigt. ✸
Korollar 22.7. Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit E[X1] =0und
Var[X1] < 1. Ferner sei Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N. Dann gibt es auf einem
geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum eine Filtration F und eine Brown’sche Bewe-
gung B, die ein F-Martingal ist, sowie F–Stoppzeiten 0=τ0 ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ ...mit:
(τn − τn−1)n∈N ist u.i.v., E[τ1] =Var[X1] und (Bτn )n∈N
D
=(Sn)n∈N.