Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

134 6 Konvergenzsätze
�
|f| dμ ≤
A
�
{|f|>�g ε/3}
≤ ε
3
A
�
|f| dμ +
�
+ α hdμ +
A
�g ε/3 dμ
�
�g ε/3≥αh
�g ε/3 dμ ≤ ε.
Damit ist (ii) gezeigt. Setzen wir in die Rechnung A = Ω ein, so erhalten wir
�
|f| dμ ≤ 2ε
Damit ist auch (i) gezeigt.
�
+ α
3
hdμ0. Wähle h und δ(ε) > 0 wie in (ii) und C
wie in (i). Setze �h = C
δ(ε) h. Dann ist
�
hdμ= δ(ε)
C
�
�
�
δ(ε)
hdμ≤
C
|f| dμ ≤ δ(ε),
{|f|> � h}
also nach Voraussetzung
�
{|f|> � h}
{|f|> � h}
|f| dμ < ε.
” (ii) =⇒ (iii)“ Es gelte (ii). Sei ε>0 und δ = δ(ε) wie in (ii) gewählt. Sei
K