Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

422 20 Ergodentheorie
Pπ[X ∈ A � �X0,...,Xn] =PXn [X ∈ A] =Pπ[X ∈ A].
Nun ist A ∈I⊂σ(X1,X2,...), also
Pπ[X ∈ A � �X0,...,Xn] n→∞
−→ Pπ[X ∈ A � �σ(X0,X1,...)] = {X∈A}.
Damit folgt Pπ[X ∈ A] ∈{0, 1}. Mithin ist X ergodisch.
Der Birkhoff’sche Ergodensatz liefert also für jedes x ∈ E
n−1
1 �
n
k=0
{Xk=x}
n→∞
−→ π({x}) Pπ − f.s.
In diesem Sinne ist π({x}) die mittlere Aufenthaltsdauer von X in x. ✸
Beispiel 20.18. Es seien P und Q W-Maße auf dem Messraum (Ω,A), und es seien
(Ω,A,P,τ) und (Ω,A,Q,τ) ergodisch. dann ist P = Q oder P ⊥ Q. Ist
nämlich P �= Q, dann existiert f mit |f| ≤1 und � fdP �= � fdQ. Nach dem
Birkhoff’schen Ergodensatz gilt aber
⎧ �
n−1
1 �
n
k=0
� n−1
f ◦ τ k n→∞
−→
⎪⎨ fdP P–f.s.,
�
⎪⎩ fdQ Q–f.s.
Setzen wir A := � 1
k n→∞
n k=0 f ◦ τ −→ � fdP � ,soistP (A) =1und Q(A) =0.
Also ist P ⊥ Q. ✸
Übung 20.3.1. Sei (Ω,A) ein Messraum und τ : Ω → Ω eine messbare Abbildung.
(i) Man zeige, dass die Menge M := {μ ∈M1(Ω) : μ ◦ τ −1 = μ} der unter τ
invarianten Maße eine konvexe Menge ist.
(ii) Ein Element μ aus M heißt extremal, wenn aus μ = λμ1 +(1− λ)μ2 für
gewisse μ1,μ2 ∈Mund λ ∈ (0, 1) schon μ = μ1 = μ2 folgt. Man zeige,
dass μ ∈Mgenau dann extremal ist, wenn τ bezüglich μ ergodisch ist. ♣
Übung 20.3.2. Sei p =2, 3, 5, 6, 7, 10,...quadratfrei (das heißt, es gibt keine Zahl
r =2, 3, 4,..., deren Quadrat ein Teiler von p ist) und q ∈{2, 3,...,p− 1}. Für
jedes n ∈ N sei an die führende Ziffer der p-adischen Entwicklung von q n .
Man zeige die folgende Variante des Benford’schen Gesetzes: Für jedes d ∈
{1,...,p− 1} gilt
1
n #�i ≤ n : ai = d � n→∞
−→
log(d +1)−log(d) . ♣
log(p)