Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

478 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
Satz 22.1 (Gesetz vom iterierten Logarithmus für die Brown’sche Bewegung).
Es gilt
Bt
lim sup � =1 f.s. (22.1)
t→∞ 2t log log(t)
Bevor wir den Satz beweisen, bringen wir ein elementares Lemma.
Lemma 22.2. Sei X ∼N0,1 standardnormalverteilt. Dann ist für jedes x>0
1
√ 2π
1
x + 1 e
x
−x2 /2 1
≤ P[X ≥ x] ≤ √2π
1
x e−x2 /2 . (22.2)
Beweis. Sei ϕ(t) = 1
√ 2π e −t2 /2 die Dichte der Standardnormalverteilung. Partielle
Integration liefert die zweite Ungleichung in (22.2):
� ∞
1
P[X ≥ x] = (tϕ(t)) dt = −1
x t t ϕ(t)
�
�
� ∞
� ∞
1 1
− ϕ(t) dt ≤
x x t2 x ϕ(x).
Analog ist
P[X ≥ x] ≥ 1 1
ϕ(x) −
x x2 � ∞
ϕ(t) dt =
x
1 1
ϕ(x) − P[X ≥ x].
x x2 Hieraus folgt die erste Ungleichung in (22.2). ✷
Beweis von Satz 22.1
1. Schritt: ≤“ Betrachte zunächst die Folge tn = α
” n für ein α>1. Später
wollen wir α ↓ 1 gehen lassen. Setze f(t) = 2α2log log t. Dann ist nach dem
Spiegelungsprinzip (Satz 21.19) und mit der Abkürzung B [a,b] := {Bt : t ∈ [a, b]}
�
P sup B [tn,tn+1] > � � �
tnf(tn) ≤ P t −1/2
n+1 sup B [0,tn+1] > � �
f(tn)/α
�
= P sup B [0,1] > � �
f(tn)/α
�
α
≤
f(tn) e−f(tn)/2α
= (log α) −α
�
α
f(tn) n−α
(22.3)
≤ n −α
wobei wir im vorletzten Schritt benutzt haben, dass
für hinreichend großes n,
f(tn)
2α = α� log(n log α) � = α log n + α log log α.