Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.3 Fortsetzung von Maßen 17
” (iii) =⇒ (iv)“ Seien A1,A2,... ∈Amit An ↓∅und μ(A1) < ∞. Dann gilt
A1 \ An ∈Afür jedes n ∈ N und A1 \ An ↑ A1, also
μ(A1) = lim
n→∞ μ(A1 \ An) =μ(A1) − lim
n→∞ μ(An).
Wegen μ(A1) < ∞ ist lim
n→∞ μ(An) =0.
” (iv) =⇒ (iii)“ (für den Fall μ endlich) Es gelte nun μ(A) < ∞ für jedes A ∈A,
und μ sei ∅-stetig. Seien A, A1,A2,...∈Amit An ↑ A. Dann gilt A \ An ↓∅und
μ(A) − μ(An) =μ(A \ An) n→∞
−→ 0.
Also gilt (iii). ✷
Beispiel 1.37. (Vergleiche Beispiel 1.30(iii).) Sei Ω abzählbar und
A = {A ⊂ Ω :#A