Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

522 24 Der Poisson’sche Punktprozess
Beweis. Die Idee ist, die Zufallsvariablen Xn , n ∈ N, so durch die Zuwächse
des Moran-Gamma-Subordinators (Mt) t∈[0,θ] darzustellen, dass aus der Verteilungskonvergenz
eine fast sichere Konvergenz wird. Es sei also Xn i =(Mθi/n −
Mθ(i−1)/n)/Mθ. Nach Korollar 24.27 ist Xn ∼ Dirθ/n;n. Seien t1,t2,... ∈ (0,θ]
die Positionen der Sprünge m1 ≥ m2 ≥ ... Offenbar ist Xn (1) ≥ ˜m1 für jedes n.
Ist n so groß, dass |t1 − t2| >θ/nist, so ist Xn (2) ≥ ˜m2. Sukzessive erhalten wir
lim infn→∞ Xn (i) ≥ ˜mi fast sicher. Nun ist aber (mit der Festsetzung Xn (i) =0für
i>n) �∞ i=1 Xn (i) =1für jedes n ∈ N. Nach dem Lemma von Fatou ist daher
1=
∞�
˜mi ≤
i=1
∞�
i=1
lim inf
n→∞ Xn (i)
≤ lim inf
n→∞
∞�
X n (i) =1.
Es folgt limn→∞ X n (i) =˜mi fast sicher. ✷
Anstatt die Werte von X n strikt der Größe nach zu ordnen, können wir ein anderes
Verfahren anwenden, das Konvergenz der Verteilungen sichert. Stellen wir uns vor,
dass wir in einer Population ein genetisches Merkmal haben, das wir unterschiedlich
fein messen können. Wenn wir n unterschiedliche Werte unterscheiden wollen, so
soll Xn i den Anteil der Bevölkerung mit dem Merkmal i bezeichnen.
Wir greifen nun sukzessive zufällig Individuen aus der Population heraus. Das erste
Individuum habe den Typ In 1 .MitIn 2 bezeichnen wir den Typ des ersten Individuums,
das nicht vom Typ In 1 ist. Sukzessive sei In k der Typ des ersten Individuums,
das nicht von einem der Typen In 1 ,...,In k−1 ist. Wir betrachten nun den Vektor
ˆX n =( ˆ Xn 1 ,..., ˆ Xn n ), wo ˆ Xn k = Xn In . Da die Wahrscheinlichkeit für I1 = i pro-
k
portional zur Größe der Sub-Population mit Merkmal i ist, nennen wir ˆ Xn den
sukzessive größenverzerrt gezogenen Vektor.
Die Verteilung von ˆ Xn ändert sich nicht, wenn wir die Reihenfolge der Xn 1 ,...,Xn n
verändern. Speziell können wir statt Xn die Ordnungsstatistik (Xn (1) ,...,Xn (n) )
wählen und erhalten ebenfalls ˆ Xn als sukzessive größenverzerrt gezogenen Vektor.
Insbesondere können wir für X ∼ PDθ den sukzessiv größenverzerrten Vektor ˆ X
definieren. Gilt Xn ∼ Dirθ/n;n, so folgt aus Satz 24.31 sofort, dass ˆ n n→∞
X =⇒ ˆ X.
Hiermit können wir die Verteilung von ˆ X ausrechnen.
Satz 24.32. Sei θ>0 und seien X n ∼ Dir θ/n;n, n ∈ N, sowie X ∼ PDθ. Seien
ferner V1,V2,... u.i.v. Zufallsvariablen auf [0, 1] mit Dichte x ↦→ θ(1 − x) θ−1 .Wir
setzen Z1 = V1 und Zk = � � k−1
i=1 (1 − Vi) � Vk für k ≥ 2. Dann gilt:
(i) ˆ n n→∞
X =⇒ ˆ X.
(ii) ˆ X D = Z.
Die Verteilung von Z heißt GEMθ-Verteilung (für Griffiths-Engen-McCloskey).
i=1