Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21 Die Brown’sche Bewegung
In Beispiel 14.45 hatten wir einen (kanonischen) Prozess (Xt) t∈[0,∞) hergestellt mit
unabhängigen, stationären, normalverteilten Zuwächsen. Ein solcher Prozess kann
beispielsweise als Modell eines Flimmerteilchens in einer Suspension dienen oder
als Grundlage für Aktienkursmodelle. Jetzt sind wir nicht nur an den Eigenschaften
von X zu einem oder mehreren festen Zeitpunkten interessiert, sondern auch an Eigenschaften,
die den ganzen Pfad t ↦→ Xt betreffen, beispielsweise am Funktional
F (X) :=sup t∈[0,1] Xt. Ist aber F überhaupt eine Zufallsvariable?
Wir werden in diesem Kapitel Stetigkeitseigenschaften von Pfaden stochastischer
Prozesse untersuchen, die die Messbarkeit von interessanten Funktionalen sichern.
Danach konstruieren wir eine Version von X, die stetige Pfade hat, die so genannte
Brown’sche Bewegung. Ohne Übertreibung kann man sagen, dass dies das zentrale
Objekt der Wahrscheinlichkeitstheorie ist.
21.1 Stetige Modifikationen
Die Pfade eines kanonischen Prozesses sind natürlich nicht per se stetig, da ja jede
Abbildung als Pfad auftaucht. Es wird also wichtig sein zu entscheiden, welche
Pfade zumindest P-fast sicher keine Rolle spielen.
Definition 21.1 (Modifikation / ununterscheidbare Prozesse). Seien X und Y
stochastische Prozesse auf (Ω,A, P) mit Zeitbereich I und Zustandsraum E.
(i) X und Y heißen Modifikationen oder Versionen voneinander, falls für jedes
t ∈ I gilt
P-fast sicher.
Xt = Yt
(ii) X und Y heißen ununterscheidbar, falls es ein N ∈Agibt mit P[N] =0und
{Xt �= Yt} ⊂N für jedes t ∈ I.
Offenbar ist ” ununterscheidbar“ stärker als ” Modifikation“. Unter gewissen Stetigkeitsannahmen
an die Prozesse fallen die Begriffe allerdings zusammen.